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曾五一 应用统计学 第4章

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应用统计学第4章概率论基础

应用统计学第4章概率论基础

4
市场调查和预测分析估计，产品上市后销售量将达到生产 能力的 80% 以上（畅销）、 50% ～ 80% （销售一般）、不足 50%（滞销）的可能性分别为40%、30%、30%。 另经财务部门所作的财务预测分析，在产品出现”滞销”、” 一般”和”畅销”三种销售状况下，该项目投产后的年净现 金流量将分别为100万元、600万元和1000万元。 考虑到筹资成本和资金的机会成本，贴现率应取6%。
8
以上案例属于“有追加信息的风险型决策”问题，案 例的分析需要用到一些概率知识，包括条件概率、全概率 公式、贝叶斯公式和数学期望等，以及项目净现值等知识。 在本章的最后一节，我们将运用所学的概率知识对该例进 行分析，并且还将讨论信息的价值问题。
9
§4.1 随机试验与随机事件
一．随机试验
人们在研究经济管理以及其他社会问题中，通常总是通过 调查或对社会现象的观察来获取所研究问题的有关数据；在 自然科学领域中，人们也是通过科学实验或对自然现象的观 察来获取所需要的资料。 对社会现象的观察和对自然现象的科学实验在概率论和统 计学中都统称为试验。如果试验可在相同的条件下重复进行， 而且试验的结果不止一个，每次试验前不能确定将会出现哪 一结果，这样的试验就称为随机试验，简称试验。 例如，在一批产品中任意抽取一件进行检验；企业市场调 查人员就本企业的产品和服务进行的用户满意度调查；对某 产品进行的寿命试验等等都是随机试验。
6
销售部经理认为，为减少决策风险，应根据对用户试用 反馈情况进行分析后再作是否投资生产该洗衣机的决定。 销售部经理还提供了过去许多企业在产品正式投产之前采 用类似试用或试销方法的用户反馈结果与产品正式生产上 市后销售状况之间的统计数据，见表1 表1 销售状况与试用结果间的统计资料
统计学课后习题答案(统计学第三版_高等_袁卫、庞皓、曾五一、贾俊平)

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第1章绪论1．什么是统计学?怎样理解统计学与统计数据的关系?2．试举出日常生活或工作中统计数据及其规律性的例子。

3．．一家大型油漆零售商收到了客户关于油漆罐分量不足的许多抱怨。

因此，他们开始检查供货商的集装箱，有问题的将其退回。

最近的一个集装箱装的是2 440加仑的油漆罐。

这家零售商抽查了50罐油漆，每一罐的质量精确到4位小数。

装满的油漆罐应为4.536 kg。

要求：(1)描述总体；(2)描述研究变量；(3)描述样本；(4)描述推断。

答：(1)总体：最近的一个集装箱内的全部油漆；(2)研究变量：装满的油漆罐的质量；(3)样本：最近的一个集装箱内的50罐油漆；(4)推断：50罐油漆的质量应为4.536×50＝226.8 kg。

4．“可乐战”是描述市场上“可口可乐”与“百事可乐”激烈竞争的一个流行术语。

这场战役因影视明星、运动员的参与以及消费者对品尝试验优先权的抱怨而颇具特色。

假定作为百事可乐营销战役的一部分，选择了1000名消费者进行匿名性质的品尝试验(即在品尝试验中，两个品牌不做外观标记)，请每一名被测试者说出A品牌或B品牌中哪个口味更好。

要求：(1)描述总体；(2)描述研究变量；(3)描述样本；(4)一描述推断。

答：(1)总体：市场上的“可口可乐”与“百事可乐”(2)研究变量：更好口味的品牌名称；(3)样本：1000名消费者品尝的两个品牌(4)推断：两个品牌中哪个口味更好。

第2章统计数据的描述——练习题●1.为评价家电行业售后服务的质量，随机抽取了由100家庭构成的一个样本。

服务质量的等级分别表示为：A.好；B.较好；C.一般；D.差；E.较差。

调查结果如下：B EC C AD C B A ED A C B C DE C E EA DBC C A ED C BB ACDE A B D D CC B C ED B C C B CD A C B C DE C E BB EC C AD C B A EB ACDE A B D D CA DBC C A ED C BC B C ED B C C B C(1) 指出上面的数据属于什么类型；(2)用Excel制作一张频数分布表；(3) 绘制一张条形图，反映评价等级的分布。

应用统计学4

应用统计学4


第四章 内容

第一节 总量指标 第二节 相对指标
第一节

总量指标
一、总量指标的意义
（一）总量指标的概念 总量指标是表明社会经济现象在一定时间、地点条件下 的规模或水平的统计指标，又称为绝对指标或绝对数。 总量指标是基础指标，而相对指标和平均指标属于派生 指标。只有对有限总体才能直接计算总量指标。其数值 大小随研究范围大小而增减。一般情况下,其指标值大小 与研究总体范围变动成正比关系.


计算结果表明该公司的劳动生产率实际比计 划超额1.85%完成
1 10% 100% 101.85% 1 8%
[例3] 某产品上年度实际成本为400元，本年 度计划降低5%，实际降低6%，则单位成本 的计划完成程度为： 单位成本的计划完成程度（%）=


计算结果表明该产品已超额完成了单位成本 计划，实际比计划降低了1.05%
北海2010年1-10月主要经济指标




地区生产总值（3季度) 264.80亿元. 其中第一产业50.88亿元 第二产业113.01亿元, 第三产业100.91亿元 财政收入38.27亿元 全社会固定资产投资371.83亿元 城镇居民人均可支配收入14114元 农民人均现金收入(3季度）6796元 实际利用外资6271万美元 外贸进出口总额109479万美元 社会消费品零售总额88.54亿元 居民消费价格总指数102.8 %

总体单位总量表示的是一个总体内所包含的总体单 位总数。它一般反映现象在一定时间、地点条件下 的规模大小。全国普通高校1683(2004)---1983(2009)
总体标志总量是总体各单位的某一数量标志值的综 合，它反映的是被研究总体的总水平或工作总量。 研究某地区的工业企业职工工资情况，“职工人数” 为总体单位总量，“工资总额”为总体标志总量。 一个总体中只有一个单位总量，但可以有多
统计学教材课后答案 第三版 袁卫 庞皓 曾五一 贾俊平主编

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第四章、参数估计1．简述评价估计量好坏的标准答：评价估计量好坏的标准主要有：无偏性、有效性和相合性。

设总体参数θ的估计量有1ˆθ和2ˆθ，如果()1ˆE θθ=，称1ˆθ是无偏估计量；如果1ˆθ和2ˆθ是无偏估计量，且()1ˆD θ小于()2ˆD θ，则1ˆθ比2ˆθ更有效；如果当样本容量n →∞，1ˆθθ→，则1ˆθ是相合估计量。

2.说明区间估计的基本原理答：总体参数的区间估计是在一定的置信水平下，根据样本统计量的抽样分布计算出用样本统计量加减抽样误差表示的估计区间，使该区间包含总体参数的概率为置信水平。

置信水平反映估计的可信度，而区间的长度反映估计的精确度。

3．解释置信水平为95％的置信区间的含义答：总体参数是固定的，未知的，置信区间是一个随机区间。

置信水平为95％的置信区间的含义是指，在相同条件下多次抽样下，在所有构造的置信区间里大约有95％包含总体参数的真值。

4．简述样本容量与置信水平、总体方差、允许误差的关系答：以估计总体均值时样本容量的确定公式为例：()22/22z n E ασ= 样本容量与置信水平成正比、与总体方差成正比、与允许误差成反比。

练习题：●1.解：已知总体标准差σ=5，样本容量n =40，为大样本，样本均值x =25，（1）样本均值的抽样标准差σ5=0.7906 （2）已知置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96，于是，允许误差是E =α/2Z 6×0.7906=1.5496。

●2.解：（1）已假定总体标准差为σ=15元，则样本均值的抽样标准误差为x σ15=2.1429（2）已知置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96，于是，允许误差是E=α/2Z 6×2.1429=4.2000。

（3）已知样本均值为x =120元，置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96，这时总体均值的置信区间为±α/2x Z 0±4.2=124.2115.8 可知，如果样本均值为120元，总体均值95%的置信区间为（115.8，124.2）元。

曾五一《统计学导论》配套题库【章节题库】第四章 概率基础 【圣才出品】

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7．一家电脑配件供应商声称，他所提供的配件 100 个中拥有次品的个数 X 及概率如表
4-5 所示。
表 4-5
次品数（X=xi） 概率（pi）
0 0.75
1 0.12
2 0.08
3 0.05
则该供应商次品数的标准差为（ ）。
A．0.43
B．0.84
C．0.12
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3．一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配件，质量状况如表 4-1 所示。
表 4-1
正品数
次品数
合计
供应商甲
84
6
90
供应商乙
102
8
110
合计
186
14
200
设 A =取出的一个为正品； B =取出的一个为供应商甲供应的配件。从这 200 个配件
N 60,152 ，则超重的概率为（ ）。
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A．0.0427
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B．0.0528
C．0.0785
D．0.0142
【答案】A
【解析】15 个人的体重是相互独立的，设 Xi 为第 i （ i =1，2，…，15）个人的体重，
9．设 X 是参数为 n =4 和 p =0.5 的二项随机变量，则 P X 2 =（ ）。
A．0.3125
B．0.2125
C．0.6875
D．0.7875
【答案】A
【
解
析
】
X B 4，0.5
，
P X 2 P X 1 P X 0 C410.51 0.53 C40 1 0.54 0.3125 。
配套课件 统计学--曾五一

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第三节 统计学的基本概念
三、标志
• 总体各单位普遍具有的属性或特征称为标 志。
• 标志分为品质标志和数量标志两种。 • 尽管标志是总体各单位都具有的普遍属性,
但各单位有关标志的具体表现却未必相同。
第三节 统计学的基本概念
四、统计指标与指标体系
• 统计指标是反映统计总体数量特征的概念 和数值。
• 统计指标是由两项基本要素构成的,即指标 的概念(名称)和指标的取值。
• 统计指标体系是由一系列相互联系的统计 指标所组成的有机整体,用以反映所研究现 象各方面相互依存、相互制约的关系。
第二章 数据的收集、整理 与显示
1 数据的收集
目
2 数据的整理
录
3 数据的显示
第一节 数据的收集
一、数据概述
(一)数据的基本概念
• 我们身边随时都存在各种各样的数据:社会 数据、商务与经济统计数据、自然统计数 据、医学研究数据、卫生统计数据、体育 统计数据,以及网络统计数据等。
• 数据时时存在、处处存在。我们可以做出 如下定义:在统计中,说明某种客观现象的数 量特征的数字叫统计数据。
第一节 数据的收集
(二)数据的计量尺度
• 1.定类尺度 • 2.定序尺度 • 3.定距尺度 • 4.定比尺度
(三)数据的类型
• 1.品质数据和数量数据 • 2.横截面数据、时间序列数据和面板数据。
(三)几何平均数
• 1.简单几何平均数
第一节 统计变量集中趋势的测 定
(四)几何平均数、算术平均数、调和平均数之间的关系
• 首先,作为方法论科学的统计学与各实质性 学科的结合越来越紧密。
• 其次,国际统计学界的主流也从原来的偏重 数理统计学的研究向更加重视应用统计研 究转变。
曾五一《统计学导论》配套题库【课后习题】第四章 概率基础 【圣才出品】

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0.25
3
3
8．发报台分别以概率 0.6 及 0.4 发出信号“·”及“一”。由于通讯系统受到干扰，当发 出信号“·”时，收报台以概率 0.8 及 0.2 收到信号“·”及“一”；当发出信号“一”时，收 报台以概率 0.9 及 0.1 收到信号“一”及“·”。求：
答：（1）A={仅命中第一次，仅命中第二次，仅命中第三次}；B={三次射击命中 0 次， 三次射击命中 1 次}
（2）A={点数之和为 1、3、5、7、9、11}
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3．抽查 4 件产品，设 A 表示“至少有一件次品”， B 表示“次品不少于两件”。问 A 、
解： A =“甲中取得是白球” A =”甲中取得黑球” B =“乙中取得是白球”
由全概公式得：
PB P A PB A P A P B A 2 2 1 1 5 3 4 3 4 12
7．在第 5 题中，如果任意取出的零件是废品，求它属于第二台车床所加工零件的概率。
解：设 B1={第一台车床的产品}； B2 ={第二台车床的产品}； A ={废品}。
有的是英文版的。
二、计算题 1．向三个相邻的军火库掷一个炸弹。三个军火库之间有明显界限，一个炸弹不会同时 炸中两个或两个以上的军火库，但一个军火库爆炸必然连锁引起另外两个军火库爆炸。若投 中第一军火库的概率是 0.025，投中第二军火库以及投中第三军火库的概率都是 0.1。求军 火库发生爆炸的概率。
3．某种动物由出生能活到 20 岁的概率是 0.8，由出生能活到 25 岁的概率是 0.4。问
现龄 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率是多少?
解：设 A=“这种动物活到 20 岁”、B=“这种动物活到 25 岁”。
统计学课后题答案(袁卫庞皓曾五一贾俊平)

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第1章绪论5.简要说明抽样误差和非抽样误差。

答：统计调查误差可分为非抽样误差和抽样误差。

非抽样误差是由于调查过程中各环节工作失误造成的，从理论上看，这类误差是可以避免的。

抽样误差是利用样本推断总体时所产生的误差，它是不可避免的，但可以控制的。

b5E2RGbCAP6．一家大型油漆零售商收到了客户关于油漆罐分量不足的许多抱怨。

因此，他们开始检查供货商的集装箱，有问题的将其退回。

最近的一个集装箱装的是2 440加仑的油漆罐。

这家零售商抽查了50罐油漆，每一罐的质量精确到4位小数。

装满的油漆罐应为 4.536 kg。

要求：p1EanqFDPw(1>描述总体；(2>描述研究变量；(3>描述样本；(4>描述推断。

答：(1>总体：最近的一个集装箱内的全部油漆；(2>研究变量：装满的油漆罐的质量；(3>样本：最近的一个集装箱内的50罐油漆；(4>推断：50罐油漆的质量应为4.536×50＝226.8kg。

7．“可乐战”是描述市场上“可口可乐”与“百事可乐”激烈竞争的一个流行术语。

这场战役因影视明星、运动员的参与以及消费者对品尝实验优先权的抱怨而颇具特色。

假定作为百事可乐营销战役的一部分，选择了1000名消费者进行匿名性质的品尝实验(即在品尝实验中，两个品牌不做外观标记>，请每一名被测试者说出A品牌或B品牌中哪个口味更好。

要求：DXDiTa9E3d(1>描述总体；(2>描述研究变量；(3>描述样本；(4>描述推断。

答：(1>总体：市场上的“可口可乐”与“百事可乐”(2>研究变量：更好口味的品牌名称；(3>样本：1000名消费者品尝的两个品牌(4>推断：两个品牌中哪个口味更好。

第2章统计数据的描述思考题4. 一组数据的分布特征可以从哪几个方面进行测度？答：数据分布特征一般可从集中趋势、离散程度、偏态和峰度几方面来测度。

应用统计学_4

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8
各买1公斤：
x 120 100 80 100（元/公斤）
3
各买100元钱:
x

100
/ 120
300 100 / 100
100
/ 80

97
（元/公斤）
9
调和平均数
调和平均数是各个变量值的倒数的算 术平均数的倒数。
简单调和平均数
xH

(1 /
x1
1/
x2
1
... 1 /
用
—
四分位数
众数
几何平均数
的
测
—
众数
中位数
中位数
度
—
—
四分位数 四分位数
值
—
—
—
众数
17
第二节 离中趋势的描述
标志变异指标是反映总体各单位 标志值的离散状况或变异程度的综合 指标。也称为标志变动度。
18
1、极 差
v 一组数据的最大值与最小值之差，离散程度 的最简单测度值
v 易受极端值影响未考虑数据的分布
v 总体中具有某种特性和属性的单位数(N1)占全部 单位数(N)的比重记为成数P。不具有某种特性和 属性的单位数(N0)占全部单位数(N)的比重记为Q。
P N1 N
Q N0 N
21
假设用1表示数列中具有某种性质的单 位的标志表现，用0表示数列中不具有某种 性质的单位的标志表现，则是非标志的平 均数和标准差分别为：
x i1 n
Xi代表总体各单位的标志值
4
加权算术平均数：x
xi fi fi
xi
fi fi
适用于分组资料， f为权数。
应用统计学(第四版)第4章 习题答案

应用统计学(第四版)第4章 习题答案

第4章习题答案
一、思考题（略）二、选择题
1.D；
2.C ；
3.CD：
4.B ；
5.B ；
6.B；
7.B ；
8.AD ；
9.ACE ；
10.BCEo三、计算题
1.74. 35 件
2.无卜=19.41 ；应=18.29,主要原因在于甲乙两企业的产品结构不同，乙企业单位成本较低的产品A产量相比照重较大，而甲企业那么单位本钱较高的产品B产量比重相对较大，而产品C两企业的产量比重一样，这样就使得甲企业的总平均本钱高于乙企业。

3.8. 74%
4.可采用标准差系数度量，因为成年组和幼儿组的平均身高有较大差异。

々=2.32%,电=3.32%,由此得出幼儿组的身高差异大。

5.（1）众数=82.35,中位数=80.91；
（2）算术平均数=80.44,标准差=12.65；
（3）偏度系数=-0.0121,峰度系数=-0.4224；
（4）略
四、案例分析（见各章案例（一级案例）参考答案）。

《统计学》(曾五一)目录[4页]

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目录第一章绪论 (1)Ⅰ.学习目的 (1)Ⅱ.课程内容要点 (1)第一节什么是统计 (1)第二节统计学的种类及其性质 (2)第三节统计学的基本概念 (4)Ⅲ. 考核知识点与考核要求 (5)Ⅳ. 习题详解 (6)第二章数据收集、整理与显示 (7)Ⅰ．学习目的 (7)Ⅱ．课程内容要点 (7)第一节数据的收集 (7)第二节数据的整理 (10)第三节数据的显示 (11)Ⅲ. 考核知识点与考核要求 (12)Ⅳ.习题详解 (13)第三章数据分布特征描述 (16)Ⅰ．学习目的 (16)Ⅱ．课程内容要点 (16)第一节统计变量集中趋势的测定 (16)第二节统计变量离散程度的测定 (18)第三节变量分布偏度与峰度的描述 (19)Ⅲ.考核知识点与考核要求 (19)Ⅳ.习题详解 (20)第四章对比分析与指数分析 (22)Ⅰ．学习目的 (22)Ⅱ．课程内容 (22)第一节对比分析 (22)第二节指数的概念和种类 (23)第三节综合指数 (23)第四节平均指数 (24)第五节指数因素分析 (25)Ⅲ. 考核知识点与考核要求 (27)Ⅳ.习题详解 (28)第五章概率基础 (32)Ⅰ．学习目的 (32)Ⅱ．课程内容要点 (32)第一节概率的基本概念 (32)第二节随机变量及其分布 (36)第三节几种常见的概率分布 (42)第四节大数定律与中心极限定理 (45)Ⅲ.考核知识点与考核要求 (47)Ⅴ.习题详解 (47)第六章参数估计 (54)Ⅰ.学习目的 (54)Ⅱ.课程内容 (54)第一节抽样分布 (54)第二节估计量的评价标准 (56)第三节简单随机抽样的参数估计 (58)第四节复杂随机抽样的参数估计 (61)Ⅲ.考核知识点与考核要求 (64)Ⅳ.习题详解 (66)第七章假设检验 (75)Ⅰ．学习目的 (75)Ⅱ．课程内容要点 (75)第一节假设检验的基本原理 (75)第二节总体参数假设检验 (76)第三节非参数检验 (82)Ⅲ.考核知识点与考核要求 (86)Ⅳ.习题详解 (87)第八章方差分析 (100)Ⅰ.学习目的 (100)Ⅱ.课程内容要点 (100)第一节方差分析方法引导 (100)第二节单因素方差分析 (102)第三节双因素方差分析 (104)Ⅲ.考核知识点与考核要求 (109)Ⅳ.习题详解 (110)第九章相关与回归分析 (116)Ⅰ. 学习目的和要求 (116)Ⅱ. 课程内容要点 (116)第一节相关与回归分析的基本概念 (116)第二节简单线性相关与回归分析 (117)第三节多元线性相关与回归分析 (122)第四节非线性相关与回归分析 (125)Ⅲ. 考核知识点与考核要求 (126)Ⅳ. 习题详解 (127)第十章时间序列分析 (132)Ⅰ．学习目的 (132)Ⅱ．课程内容要点 (132)第一节时间序列分析概述 (132)第二节时间序列的分析指标 (133)第三节长期趋势的测定 (135)第四节季节变动和循环波动测定 (137)第五节时间序列预测方法 (138)Ⅲ.考核知识点与考核要求 (139)Ⅳ.习题详解 (140)第十一章统计决策 (145)Ⅰ. 学习目的 (145)Ⅱ. 课程内容要点 (145)第一节统计决策的基本概念 (145)第二节完全不确定型决策 (146)第三节一般风险型决策 (148)第四节贝叶斯决策 (149)Ⅲ. 考核知识点与考核要求 (149)Ⅳ. 习题详解 (150)第十二章统计综合评价 (154)Ⅰ．学习目的 (154)Ⅱ．课程内容要点 (154)第一节综合评价概述 (154)第二节评价指标选择与数据预处理 (155)第三节评价结果的综合 (157)Ⅲ.考核知识点与考核要求 (160)Ⅳ.习题详解 (161)。

应用统计学4-69页PPT精品文档

实物单位是根据实物的属性和特点而采用的复合 单位，分为自然单位、度量衡单位、双重单位、 复合单位、标准实物单位等。
价值单位是用货币作为价值尺度来度量物质财富 或劳动成果的一种计量单位。
劳动单位是用劳动消耗时间来表示的计量单位， 如工时、工日等。
计量单位 自然单位 如：台、件
实物单位 度量衡单位 如：米、平方米 标准实物单位 如：标准吨
按反映的时间 状况不同
总体单位 总量
总体标志 总量
时期指标
时点指标
总体单位总量表示的是一个总体内所包含的总体单 位总数。它一般反映现象在一定时间、地点条件下 的规模大小。全国普通高校1683(2019)---1983(2009)
总体标志总量是总体各单位的某一数量标志值的综 合，它反映的是被研究总体的总水平或工作总量。
第四章 内容
第一节 总量指标 第二节 相对指标
第一节 总量指标
一、总量指标的意义
（一）总量指标的概念 总量指标是表明社会经济现象在一定时间、地点条件下
的规模或水平的统计指标，又称为绝对指标或绝对数。 总量指标是基础指标，而相对指标和平均指标属于派生
指标。只有对有限总体才能直接计算总量指标。其数值 大小随研究范围大小而增减。一般情况下,其指标值大小 与研究总体范围变动成正比关系.
劳动单位 如：工日、工时 价值单位 如：元
多个单位的结合运用：
复合单位 （如：人·次、吨·公里） 双重单位 （如：人/平方公里） 多重单位 （如：艘/吨/千瓦）
复合单位,双重单位,标准实物单位
复合单位指两个单位的乘积,例如货物周转量 用”吨公里”,电的度数用”千瓦时”.
双重单位指用两种单位结合起来计算的单位. 标准实物单位指按统一的折算标准来计算事

应用统计学(第三版袁卫-庞皓-曾五一-贾俊平主编)各章节课后习题答案

附录1：各章练习题答案第1章绪论（略）第2章统计数据的描述2.1 （1）属于顺序数据。

（2）频数分布表如下：服务质量等级评价的频数分布服务质量等级家庭数（频率）频率%A1414B2121C3232D1818E1515合计100100（3）条形图（略）2.2 （1）频数分布表如下：（2）某管理局下属40个企分组表按销售收入分组（万元）企业数（个）频率（%）先进企业良好企业一般企业落后企业11119927.527.522.522.5合计40 100.0 2.3 频数分布表如下：某百货公司日商品销售额分组表按销售额分组（万元）频数（天）频率（%）25～30 30～35 35～40 40～45 45～5046159610.015.037.522.515.0合计40 100.0 直方图（略）。

2.4 （1）排序略。

（2）频数分布表如下：100只灯泡使用寿命非频数分布按使用寿命分组（小时）灯泡个数（只）频率（%）650~660 2 2660~670 5 5670~680 6 6680~690 14 14690~700 26 26700~710 18 18710~720 13 13720~730 10 10730~740 3 3740~750 3 3合计100 100 直方图（略）。

2.5 （1）属于数值型数据。

（2）分组结果如下：分组天数（天）-25~-20 6-20~-15 8-15~-10 10-10~-5 13-5~0 120~5 45~10 7合计60（3）直方图（略）。

2.6 （1）直方图（略）。

（2）自学考试人员年龄的分布为右偏。

2.7 （1（2）A 班考试成绩的分布比较集中，且平均分数较高；B 班考试成绩的分布比A 班分散，且平均成绩较A 班低。

2.82.9 （1）x =274.1（万元）；Me=272.5 ；Q L =260.25；Q U =291.25。

（2）17.21=s （万元）。

2.10 （1）甲企业平均成本＝19.41（元），乙企业平均成本＝18.29（元）；原因：尽管两个企业的单位成本相同，但单位成本较低的产品在乙企业的产量中所占比重较大，因此拉低了总平均成本。

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F Y m
所服从的分布为F-分布，（m，n）称为 它的自由度。
第三节 随机向量及其分布简介
一、随机向量及其分布 设 X 1 , X 2 ,, X p 为某一随机试验涉及的p个随机变量，称
( X 1 , X 2 ,, X p )T
为p维随机列向量，（X1 , X 2 ,, X p ）为p维 随机行向量；无论列向量还是横向量， 都简称为p维随机向（变）量。
在随机试验中，可能出现也可能不出现的结果 ，称之为随机事件，简称事件。试验的结果可 能是一个简单事件，也可能是一个复杂事件。 简单事件就是不可以再分解的事件，又称为基 本事件。复杂事件是由简单事件组合而成的事 件。基本事件也称样本点，设试验有n个基本 事件，分别记为(i=1,2,…，n)。集合 Ω={ω1,ω2,…，ωn}，称为样本空间，Ω中的元 素就是样本点。
（2）t-分布
设X服从标准正态分布，Y服从自由度为n 的卡方分布，且它们相互独立，则随机 X 变量：T Y /n 所服从的分布是自由度为n的t-分布。一 般当n大于或等于30时，t-分布与标准正 态分布的差别已非常小，可用标准正态 分布代替它。
（3）F-分布。设X和Y是相互独立的卡方 分布，自由度分别是m和n，则称随机变 X n 量：
如果随机试验的样本空间是有限集合， 所有样本点出现的可能性相同，则事件A 的概率可根据以下公式计算：
m A包含的样本点个数 P A n 样本点总数
这样的概率计算模型，称为古典概型。
2.概率的基本性质 性质1：P(A)≥0； 性质2：P(Ω)=1。 性质1称为概率的非负性，性质2称为概 率的规范性。 性质3：若事件A与事件B互不相容，则： P(A∪B)=P(A)+P(B)
正态分布的密度函数：
px
1 2
x 2
e
2 2
x
= 0.5
=1 态分布的密度函数
pz 1 2
z2 2
e
z
【例4-8】某企业年销售额服从均值为75 万元、标准差为12万元的正态分布。那 么某年该企业销售额在75万元到90万元 之间的概率应为多少？
条件概率的计算公式是：
p( AB) p( A B) p( B)
从条件概率公式我们可得到以下的“乘 法定理”：
p( AB) p( B) p( A B),( p( B) 0) p( AB) p( A) p( B A),( p( A) 0)
【例4-4】甲、乙两企业存在既竞争又合 作的关系，知道甲企业一年中能推出新 产品的概率是20%，乙企业一年中能推 出新产品的概率是18%，两企业一年中 都能推出新产品的概率是12%。若以A记 “甲企业一年中推出新产品”，B记“乙 p( A) p( B 企业一年中推出新产品”，则 =0.20) p( A B) p( AB ， =0.18，) =0.12。试求：
对于事件A与B，若p(AB)=p(B)p(A)，则 称它们是统计独立的，简称相互独立。
四、全概率公式与贝叶斯公式 （一）全概率公式 设事件A1，A2，…，An是样本空间的一个分割，即所 有Ai两两互不相容， p( Ai ) >0，i=1，2，…，n 。而且： A1 A2 An Ω，则有：
第二节 随机变量及其概率分布
一、随机变量的含义 随机变量就是其取值带有随机性的变量 ，在给定的条件下，这种变量取何值事 先不能确定，只能由随机试验的结果来 定，并且随试验的结果而变。 随机变量：离散型随机变量； 连续型随机变量。
二、离散型随机变量的概率分布
X P x1 x2 „ xn „
p(x1) p(x2) „ p(xn) „
三、多元正态分布 ( X 1 , X 2 ,, X p )T 若p维随机向量X= 的密度函数 为：
f ( x1 ,, x p ) 1 ( 2 )
p 1/ 2
1 exp{ ( x ) 1 ( x )} 2
f
X2 ( 1 , 2 ) X1
二元正态分布密度函数
第四章 概率与概率分布
1
本章主要内容：
第一节 随机事件与概率 第二节 随机变量及其概率分布 第三节 随机向量及其分布简介
2
第一节 随机事件与概率
一、随机试验与随机事件 随机试验必须满足以下的性质： （1）每次试验的可能结果不是唯一的； （2）每次试验之前不能确定何种结果会 出现； （3）试验可在相同条件下重复进行。
2 2 2 i
二项分布表 k p(Bk) 0
0 Cn p 0 q n
1
1 C n p 1 q n 1
2
2 C n p 2 q n2
„ „
n
n Cn p n q 0
三、连续型随机变量的概率分布 连续型随机变量的密度函数有以下的性 质： (1) p(x)≥0； (2) px d x 1 ；
解： 设X表示该企业的销售额，要计算的概率 是P(75<X<90)。首先对X进行标准化： X 75 Z= 12 将计算X的概率转化为计算Z的概率： 75 75 X 75 90 75 P P(75<X<90)= 12 12 12 P 0 Z 1.25 =0.394 4
3．关于主观概率 一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生 可能性所给出的个人信念，这样给出的概率称 为主观概率。自主观概率提出以来，使用者越 来越多，特别是在经济领域和决策分析中，应 用非常广泛，因为在那里遇到的随机现象大多 是不能重复试验的，无法通过频率来确定概率 。
三、条件概率与事件独立 （一）条件概率 已知某一事件B已经发生，我们如何利用这项 信息，求与事件B有联系的事件A发生的概率， 这时所求的概率称为条件概率。 设A，B为任意两个事件，其中p( B) 0，在事件B 已经发生的条件下，事件A发生的概率称为条 件概率，记为 p( A B)。
p( Ai ) p( B Ai ) p( Ai B) p( Ai B) n p ( B) p( Ai ) p( B Ai )
i 1
【例4-6】 为了提高某产品的质量，公司经理 考虑增加投资改进生产设备。但从投资效果看 ，有二种状况可能发生： A1：改进生产设备后，高质量产品可占90%； A2：改进生产设备后，高质量产品可占70%。 按经理过去的经验，p(A1)=0.4，p(A2)=0.6； 这是事前概率。经理为了慎重起见，做了一项 小规模试验，试验结果是：改进设备生产五个 产品，全是高质量的产品。试问该经理根据试 验的结果，会不会改变原来的信念？
概率分布有以下性质： (1)0≤p(xi)≤1 (i=1,2, …)； (2) px i 1 。
i
离散型随机变量X的期望值为：
E X xi p xi
i
方差为：
Var( X ) E X xi pxi
确定性现象，是指在一定的条件下，其结果能 够明确预见的现象。我们把确定性现象的结果 也看作一种特殊的随机事件：必然事件，用样 本空间Ω表示。还有一种特殊的随机事件：不 可能事件；不可能事件就是不可能出现的试验 结果，用空集Ф表示。 “A发生或B发生”事件记为A∪B；把“A与B 同时发生”事件记为A∩B，或AB。如果AB=Ф ，称A与B不相容。
二、随机事件的概率 1.概率的定义 概率又称机率，是对随机事件发生可能 性的度量。如何理解概率？最直观的办 法就是进行重复试验，通过试验的频率 来体现概率。
频率试验结果
实验者 Demorgan Buffon Pearson(1) Pearson(2) 投掷硬币的 次数(n) 2 048 4 040 12 000 24 000 正面朝上的 次数(m) 1 061 2 048 6 019 12 012 频率=m/n 0.518 0.506 9 0.501 6 0.500 5

(3) p(a X b) a p( x) d x
b
P(a≤x<b) a b
概率的几何意义
正态分布是最重要的一种连续型随机变量分布 ，原因有三： 第一，它是最常见的一种分布，许多随机变量 服从或近似服从正态分布； 第二，许多有用的分布可以由正态分布推导出 来，如卡方分布、t分布和F分布都可由正态分 布导出； 第三，正态分布在一定条件下，还是一些其他 分布的近似分布，如大样本下的t分布与正态分 布近似。
p( B) p( Ai ) p( B Ai )
i 1 n
这个公式称为全概率公式
【例4-5】某工厂有甲、乙、丙三个车间 生产同一种产品，其产量分别占全厂产 量的25%、35%、40%，其次品率分别 是5%、4%、2%。从全厂产品中任取一 件产品，该产品是次品的概率是多少？
（二）贝叶斯公式 0 在全概率公式的条件下，进一步设 p(B)， 则对任意的i=1，2，…，n，有：
二、随机向量的数字特征 均值向量存在以下性质： E（AX）=AEX； E（AXB）=AE（X）B； E（AX+BY）=AEX+BEY 其中X、Y为随机向量，A、B为阶适合运算的 常数矩阵。 对于相互独立的随机变量X和Y，成立： E（XY）=E（X）E（Y）
随机变量X、Y之间的协方差是：
XY Cov( X , Y ) E[( X EX )(Y EY )]
68.27% -3σ -2σ -σ 0 95.45% 99.73%

2σ
3σ



正态分布常见对称区间概率
2 -分布。设X 1 , X 2 , , X n 是相互独立，且 （1）
服从标准正态分布的随机变量，则称随 机变量： X 2 -分布。 所服从的分布为自由度为n的
2 n i 1 2 i