高中数学必修一至必修五知识点总结完整版

必修一：集合（概念、集合间关系、运算、性质）函数（函数及其表示、定义域、值域、对应关系；函数的基本性质，单调性、奇偶性、对称性、周期性；基本初等函数：指数函数、对数函数、幂函数）函数的应用（函数与方程，函数零点存在定理）必修四：三角函数（任意角，弧度制，弧长公式、扇形面积公式，任意角的三角函数定义，同角三角函数关系，诱导公式）平面向量（概念、模长，线性运算，共线与垂直，共线定理，基底的概念，坐标表示，数量积，向量的投影，向量的夹角）三角恒等变换（和角、差角公式，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式）必修五：解三角形（正弦定理，余弦定理，面积公式）数列（概念，等差、等比数列、通项公式以及前n项和的求法）不等式（不等式的性质，一元二次不等式，简单的线性规划，基本不等式）必修三：算法初步（算法的特征，程序框图，算法案例）统计（简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，用于样本估计总体，直方图、茎叶图，方差、标准差）概率（互斥事件、对立事件，古典概型，几何概型，条件概率）高二：必修二：空间几何体（柱、锥、台、球的体积及表面积，简单组合体，三视图）空间点、线、面的位置关系（3公理及4推论，平行垂直的证明，夹角距离的求解）直线和方程（倾斜角与斜率，直线方程，两直线的位置关系，距离）圆和方程（圆的标准方程、一般方程，直线与圆的位置关系，两圆的位置关系）理科：选修2-1：常用逻辑用语（命题，四种命题，逻辑联结词或且非，全称量词与存在量词，全称命题与特称命题，充分必要性）圆锥曲线（曲线与方程，椭圆、双曲线、抛物线）空间向量与立体几何（夹角及距离的公式）选修2-2：导数及其应用（导数的几何意义，基本初等函数的导数，导数的运算法则，复合函数求导导数的应用，定积分）推理与证明（合情推理与演绎推理，直接证明与间接证明，数学归纳法）复数（概念，运算，几何意义）选修2-3：计数原理（分类加法计数原理，分布乘法计数原理，排列组合，二项式定理）离散型随机变量（随机变量分布列及其方差，两点分布、二项分布、超几何分布）文科：选修1-1：常用逻辑用语（命题，四种命题，逻辑联结词或且非，全称量词与存在量词，全称命题与特称命题，充分必要性）圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）导数及其应用（导数的几何意义，基本初等函数的导数，导数的运算法则，导数的应用）选修1-2：推理与证明（合情推理与演绎推理，直接证明与间接证明）复数（概念，运算，几何意义）理科：选修4-1：几何平面选讲（射影定理，弦切角定理，圆的内接四边形，切割线定理，割线定理，切线长定理，相交弦定理）选修4-4：极坐标与参数方程（极坐标公式，参数方程）文科：选修4-1：几何平面选讲（射影定理，弦切角定理，圆的内接四边形，切割线定理，割线定理，切线长定理，相交弦定理）。

必修一（一）集合1.集合的概念(1)集合是数学中的一个不加定义的原始概念，它是指某些指定对象的全体.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，它具有三个性质，即确定性、无序性和互异性. （2）根据集合所含元素个数的多少，集合可分为有限集、无限集和空集；根据集合所含元素的性质，集合又可为点集、数集等.空集是不含任何元素的集合，用ϕ表示. （3）我们约定用N 表示自然数集，用N *表示正整数集，用Z 表示整数集，用Q 表示有理数集，用R 表示实数集. （4）集合的表示方法有列举法、描述法和图示法(venn 图). 2.集合间的基本关系 （1）集合与元素的关系表示元素和集合之间的关系，有属于“∈”和不属于“∉”两种情形.（2）集合与集合之间的关系集合与集合之间有包含、真包含、不包含、相等等几种关系.若有限集A 中有n 个元素，集合A 的子集个数为2n，非空子集的个数为21n-，真子集的个数为21n -，非空真子集的个数为22n-.3.集合的运算集合与集合之间有交、并、补集三种运算. 4.集合运算中两组常用的结论 （1）①()()() U UU A B A B =痧 ； ②()()()U UU A B A B = 痧 . （2）①A B A B A ⊆⇔= ；②A B A B B ⊆⇔= .（二）函数的概念（1）函数的定义设A ，B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x 在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈.其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}()|f x x A ∈叫做函数的值域.值域是集合B 的子集.③·映射：设A ，B 是两个集合，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应就称为从集合A 到集合B 的映射，记作:f A B →.函数实际上是一种特殊的映射.而映射是一种特殊的对应：一对一，多对一. （2）函数的三要素：定义域、对应关系及值域称为函数的三要素.在函数的三要素中其决定性作用的是定义域及对应关系，定义域及对应关系确定了，这个函数就唯一确定了.（3）相等函数：定义域相同，并且对应关系完全一致的两个函数就称为相等函数. 2.函数的表示方法函数的表示方法主要有三种：解析法、图象法、列表法.分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.（三）函数单调性1.增函数、减函数设函数()f x 的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.2.单调性、单调区间如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间.3.利用定义判断（证明）函数单调性的一般步骤： ①设出自变量；②作差（商）；③判号；④写出结论.2．函数最值的几何意义是对应函数图像上点的纵坐标的最大值或最小值，即图像的最高点或最低点.3．函数的最值与求函数的值域从概念上看是不同的，函数值域的一些边界值不一定是函数值，函数的最值是函数值域中的一个值，函数取得最值时，一定有相应的x 值. 4.判断函数单调性的常见方法 ①定义法；②图象法；③导数法. ④ 5.求函数最值或值域的方法 ①单调性法；②配方法；③换元法；④判别式法；⑤图象法；⑥不等式法等.5.一些重要函数的单调性1y x x=+的单调区间：增区间(,1),(1,)-∞-+∞； 减区间(1,0),(0,1)-. ()0,0by ax a b x=+>>的单调区间：增区间（四）函数奇偶性1.奇偶性(1)奇函数、偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (-x )=f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数.如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (-x )=-f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数. (2)奇偶性 如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么就说函数()f x 具有奇偶性.(3)奇函数、偶函数的性质①奇函数、偶函数的定义域皆关于原点对称（此条件是函数具有奇偶性的必要不充分条件）； ②奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；③若奇函数()f x 在x =0处有定义，那么一定有(0)0f =. ④在定义域的公共部分内，两个偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是偶函数；两个奇函数的和、差仍是奇函数；奇数个奇函数的积为奇函数；偶数个奇函数的积为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数；一个奇函数与一个偶函数（均不恒为零）的和与差既不是奇函数，也不是偶函数. ⑤奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.（五）基本函数：一次二次函数1.函数(0)y kx b k =+≠叫做一次函数，它的定义域和值域皆为R2.一次函数性质 ①当k >0时，为增函数，当k <0时，为减函数；②当b =0时，函数(0)y kx k =≠为正比例函数；③直线y =kx +b 与x 轴的交点为(,0)(0)bk k-≠与y 轴的交点为(0,)b .3.二次函数的解析式的三种形式：①一般式c bx ax x f ++=2)(； ②顶点式k h x a x f +-=2)()(；③零点式))(()(21x x x x a x f --=；4.二次函数的图象与性质 ①()222424b ac b f x ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++⎪⎝⎭(0)a ≠的图象是一条抛物线，顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴方程为2bx a=-，当0a >时开口向上, 当0a <时开口向下；②()2400,0b ac ∆=->∆=∆<时，抛物线与x 轴有2个（1个、无）交点.③单调性：当0a >时，()f x 在(,]2ba-∞-减函数；在(,)2ba-+∞上是增函数.0a <，相反. ④奇偶性：()0当时，为b f x =偶函数；()0当时，b f x≠既不是奇函数也不是偶函数； （六）指数函数1.幂的有关概念正整数指数幂：n a a a a =g g g L g 14444244443个n a ；零指数幂：0a=1(0a ≠) ；负整数指数幂：pa-=1p a(0,a p N +≠∈)； 正分数指数幂：m na=0,1a m n N n +>∈>、且);负分数指数幂：m na-=1m na(0,1a m n Nn +>∈>、且);0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义. 2.幂的运算法则（0,0,ab r s Q >>∈、）r s a a =r s a +；()r s a =rs a ；()r ab =r r a b3.指数函数图像及性质4.指数函数()x f x a =具有性质：()()()(),1(0,1)f x y f x f y f a a a +==>≠ （七）对数函数1.定义：如果)1,0(≠>a aa 且的b 次幂等于N ，就是b a N=，那么数b称以a 为底N 的对数，记作log a b N =，其中a 称对数的底，N 称真数.①以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作Nlg ，②以无理数( 2.71828)e e =为底的对数称自然对数，N e log 记作Nln2.基本性质：①真数N 为正数（负数和零无对数）， ②log 10a =，③log 1a a =，④对数恒等式：log a NaN =.3.运算性质：如果,0,0,1,0>>≠>N M a a 则①log ()log log a a a MN M N =+；②log log log aa a MM N N=-； ③log log na a M n M =.4.换底公式：log log log m am N N a=(0,1,0,1,0),a a m m N >≠>≠>①log log 1a bb a ⋅=，②log log m na a nb b m=. 5.对数函数的图像与性质（八）幂函数：,y x =2y x =3,y x =1y x=12y x =的图像1.当0a>时，幂函数()y x R αα=∈有下列性质：(1)图像都通过点(1,1)；(2)在第一象限内，随x 的增大而增大； (3)在第一象限内，1α>时图像下凸,01α<<时图像上凸.(4)在第一象限内，过()1,1点后，图像向右上方无限伸展. 2.当0<α时，幂函数()y x R αα=∈有下列性质：(1)图像都通过点(1,1)；(2)在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，图像是向下凸的；(3)在第一象限内，图像向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近； (4)在第一象限内，过()1,1点后，α越大，图像下落的速度越快.（九）函数图像变换1．平移变换 ⑴水平平移：()()0y f x a a =±> 的图象，可由()y f x = 的图象向左()+ 或向右()- 平移a 个单位而得到；⑵竖直平移：()()0y f x b b =±> 的图象可由()y f x = 的图象向上()+ 或向下()- 平移b 个单位而得到；注：对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减. 2．对称变换⑴()y f x =- 与()y f x = 的图象关于y 轴对称; ⑵()y f x =- 与()y f x = 的图象关于x 轴对称; ⑶()y f x =-- 与()y f x = 的图象关于原点对称;⑷()1y f x -=与()y f x = 的图象关于直线y=x 对称;⑸()y f x = 的图象可将()y f x = 的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折上去，其余部分不变; ⑹()y fx = 的图象可将()y f x = ，()0x ≥的部分作出，再利用偶函数的图象关于y 轴对称，作出0x < 的部分.3.伸缩变换 ⑴()()0y Af x A => 的图象，可将()y f x = 图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变而得到; ⑵()()0yf ax a => 的图象，可将()y f x = 图象上所有点的横坐标变为原来的1a，纵坐标不变而得到.（十）函数的应用1．函数零点的定义：对于函数()()(),0y f x x D f x =∈=使 成立的_实数x _叫做函数()()y f x x D =∈的零点 . 2.二分法定义：对于区间[],a b 上连续，且()()0f a f b < 的函数()y f x =,通过不断把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法.注：该法一般求的是近似解. 3．解函数应用题，一般可按以下四步进行． (1)阅读理解，认真审题． (2)引进数学符号，建立数学模型．(3)利用数学的方法将得到的常规数学问题给出解答，求得结果．(4)转译成具体问题做出回答．必修二（一）多面体和旋转体1．多面体和旋转体的概念（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱．（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．（3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台．（4）圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．（5）圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．（6）圆台：①用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.②圆台还可以看成是以直角梯形的直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体.（7）球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．2．多面体和旋转体的面积和体积公式 （1）圆柱的侧面积：S=2πrl ；（2）圆锥的侧面积：S=πrl ； （3）圆台的侧面积：S =π（r+ r ′）l ； （4）球的表面积：24πV R =； （5）柱体的体积：V=Sh ； （6）锥体的体积：13V Sh =； （7）台体的体积：1()3V S S h '=； （8）球的体积：24π3V R =.（二）画法1．我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影，中心投影的投影线交于一点．2．我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影，平行投影的投影线是平行的．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．3．光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图叫做几何体的侧视图；光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图叫做几何体的俯视图；几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．一般地，一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样．一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边．4．斜二测画法的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴交于点O ．画直观图时，把它们画成对应的x '轴与y '轴，两轴交于点O '，且使x O y '''∠=45°（或135°），它们确定的平面表示水平平面．（2）已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴或y '轴的线段．（3）已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．（三）点线面位置关系1．四个公理公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；用符号表示为：A lB l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂，，且，；公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；用符号表示为：P P l αβαβ∈∈⇒= ，且； 公理4 平行于一条直线的两条直线互相平行； 用符号表示为：m l n l m n ⇒∥，且∥∥； 2．异面直线（1）我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．（2）空间两条直线的位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩ 直　线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线 直　线：同一平面内，没有公共点； 直　线：不同在任何一个平面内，没有公共点.（3）已知两条异面直线a 、b ，经过空间任一点O 作直线a '∥a ，b '∥b ，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）．（4）定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面之间的位置关系： （1）直线在平面内——有无数个公共点； （2）直线与平面相交——有且只有一个公共点； （3）直线与平面平行——没有公共点；直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． 4．平面与平面之间的位置关系： （1）两个平面平行——没有公共点； （2）两个平面相交——有一条公共直线．（四）平行问题1．定义：直线与平面没有公共点，则称此直线l 与平面α平面，记作l ∥α；2．直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；用符号表示：a b a b a αβα⊄⊂⇒，，且∥∥．2．直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行；用符号表示：a a b a b αβαβ⊂=⇒ ∥，，∥． 3．平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；用符号表示：a b a b P ββαα⊂⊂=⇒，，，∥，∥∥． 几个结论：①如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行；4．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；且符号表示：a b αβαγβγ==⇒ ∥，，∥． 5．直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．用符号表示：a b a b αα⊥⊥⇒，∥．（五）垂直问题 1．定义：如果直线l 和平面α内的所有直线都垂直，那么直线l 和平面α垂直，记作l ⊥α．直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足．2．直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．用符号表示：l a b a b A a αααα⊥⊂⊂=⇒⊥ ，，，且．3．直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．用符号表示：a b a b αα⊥⊥⇒，∥．4．平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；用符号表示：a a αβαβ⊂⊥⇒⊥，． 5．平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号表示：l a a l a αβαβαβ⊥=⊂⊥⇒⊥ ，，，．几个结论：①如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面；②如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．（六）角问题1．已知两条异面直线a 、b ，经过空间任一点O 作直线a '∥a ，b '∥b ，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）．两异面直线所成角范围02π⎛⎤⎥⎝⎦，．2．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．直线和平面所成角范围02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．3．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．在二面角α-l -β的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来衡量．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角范围[0]π，．（七）直线的概念与方程1、直线倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时,我们取x 轴为基准, x 轴的正方向与直线l 向上的方向所成的角α叫做直线l 的倾斜角.并规定:直线l 与x 轴平行或重合时,它的倾斜角为0.直线的倾斜角的取值范围是[)180,0.2、直线斜率的概念：把一条直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示.直线倾斜角α与斜率k 的关系式为αtan =k.当k=0时,直线平行于x轴或者与x 轴重合;当k>0时,直线的倾斜角为锐角;当k<0时,直线的倾斜角为钝角;倾斜角为90的直线没有斜率.3、两点斜率公式 ：直线上两点A(1x ,1y ),B(2x ,2y ),当1x =2x 时,直线的斜率不存在,当1x ≠2x 时,直线的斜率为1212x x y y k --=.4、直线方程的点斜式:设直线l 经过点),(000y x P ,且斜率为k ,则方程)(00x x k y y -=-称为直线方程的点斜式.当直线的斜率不存在时,不能够用点斜式来表示,直线方程此时为0x x=.5、直线方程的斜截式：直线方程b kx y +=由直线的斜率k 和它在y 轴上的截距b 确定,所以方程bkx y +=被称为直线方程的斜截式.斜率不存在时,直线方程斜截式不存在.6、直线方程的两点式：已知经过两点),)(,(),,(2121222111y y x x y x P y x P ≠≠的直线方程为121121x x x x y y y y --=--称为直线方程为直线方程的两点式.直线两点式方程的前提是直线的斜率存在且斜率不为0. 7、直线方程的截距式直线在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则直线方程1=+bya x 称为直线方程的截距式.应用截距式的前提有斜率存在且不为0,还要求直线不能过原点.8、直线方程的一般式：二元一次方程0Ax By C ++=（,A B 不同时为0）为表示的直线方程称为直线方程的一般形式.当0≠B时,可变形为BC x BA y --=,它表示一条斜率为B A -且在y 轴上截距为C B-的直线; （八）直线的关系和距离1、直线平行的条件： 两条不重合的直线21l l 、， 根据两条直线平行的定义及性质可知1l //212αα=⇔l ,再由k 与α的关系可知:21//l l 时21k k =或者21k k 、均不存在；反之21k k =或者21k k 、均不存在时两条直线平行。

全部覆盖数学必修 1 至 5 的所有知识点以及相关公式，方便复习和及时总结，数学必修 1-5 常用公式及结论必修 1：一、集合 1、含义与表示：〔1〕集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性（2〕集合的分类；有限集，无限集〔3〕集合的表示法：列举法，描述法，图示法2、集合间的关系：子集：对任意x A，都有 x B ，那么称 A 是 B 的子集。

记作A B真子集：假设 A 是 B 的子集，且在 B 中至少存在一个元素不属于 A，那么 A 是 B 的真子集，A B记作A B集合相等：假设：A B, B A ,那么3.元素与集合的关系：属于不属于：空集：4、集合的运算：并集：由属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合叫并集，记为 A U B交集：由集合 A 和集合 B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为 A I B补集：在全集 U 中，由所有不属于集合 A 的元素组成的集合叫补集，记为 C U A5．集合 { a1, a2 ,L , a n} 的子集个数共有 2n个；真子集有 2n–1 个；非空子集有2n–1个；6. 常用数集：自然数集： N 正整数集： N *整数集：Z有理数集：Q实数集： R二、函数的奇偶性1、定义：奇函数<=> f ( – x ) =– f ( x)，偶函数<=> f ( – x )= f ( x) 〔注意定义域〕2、性质：〔1〕奇函数的图象关于原点成中心对称图形；（ 2〕偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形；（ 3〕如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；（ 4〕如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数．二、函数的单调性 、定义：对于定义域为 D 的函数 f(x) ，假设任意的12∈ ，且 1 < x 21x , xD x①f ( x 1 ) < f( x2) <=>f ( x 1 ) – f ( x2) < 0 <=>f ( x )是增函数②f ( x 1 ) > f ( x2) <=>f ( x 1 ) – f ( x2) > 0 <=>f ( x )是减函数2、复合函数的单调性 : 同增异减三、二次函数 y = ax 2 + bx + c 〔 a 0〕的性质1、顶点坐标公式：b , 4ac b 2 ， 对称轴： xb ，最大〔小〕值：4acb 22a4a2a4a2. 二次函数的解析式的三种形式(1) 一般式 f (x) ax 2 bx c(a 0) ; (2) 顶点式 f (x) a( x h)2 k (a 0) ;(3) 两根式 f (x)a( x x 1 )( x x 2 )(a 0) .四、指数与指数函数1、幂的运算法那么：〔 1〕 a m ? a n = am + n，〔2〕 amn= an? b nnn〔 5〕 aan 〔 6〕 a= 1 (b bn1a mma n2、根式的性质〔1〕 ( n a )n a .a nam n，〔 〕m )n= a m n 〔4〕( ab )3 ( a1 na ≠ 0) 〔7〕a n〔 8〕 amma n〔 〕a n9〔2〕当n奇数，n a n a ；当 n 偶数，n a n| a |a, a0.a, a04、指数函数 y = a x ( a > 0 且 a≠1) 的性：〔 1〕定域： R ；域：( 0 , +∞ )〔2〕象定点〔0，1〕Y Ya > 10 < a < 1110XX5. 指数式与数式的互化：log a N b a b N (a0, a 1,N0) .五、数与数函数1数的运算法：〔 1〕a b= N <=> b = log N〔〕 1 = 0〔〕a= 1〔〕log aa 2 log a 3 log a4ab= b 〔 5〕 a log a N = N〔 6〕 loga (MN) = log a M + log a N〔7〕log a (M) = log aNM -- logaN〔〕N b= b log N〔〕底公式：log N8 loga a9a = logb Nlog b a〔 10〕推log m n nlogb (a0,且a 1, m,n0 ,且m,1,N0 ).a bam 1 n〔 11〕log a N =1〔 12〕常用数： lg N = log10N 〔13〕自然log N a数： ln A = log e A〔其中e =⋯〕 2、数函数 y = log a x ( a > 0且 a ≠ 1) 的性：〔 1〕定义域： ( 0 , + ∞ ) ； 值域： R〔 2〕图象过定点〔 1，0〕Ya >1Ya < 1六、幂函数 y = xa0 <的图象 : 〔1〕 根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 .0 XX1 1a > 10 < a < a < 0211例如： y = xyx x 2yx 1x七 . 图象平移：假设将函数 yf (x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位，得到函数 y f ( x a) b 的图象； 规律：左加右减，上加下减八 . 平均增长率的问题如果原来产值的根底数为 N ，平均增长率为 p ，那么对于时间 x 的总产值 y ，有y N (1 p) x .九、函数的零点： 1. 定义：对于 y f ( x) ，把使 f (x) 0 的 X 叫 yf ( x) 的零点。

高中数学复习全册知识总结，必修1-5重点
归纳，赶快背
高中数学必修1-5重点归纳如下：
一、必修一：函数与导数
1、定义域，值域；函数的分类以及函数的性质判断；
2、延拓函数定义及延拓函数的图象；
3、定义导数，求解一次函数的导数，包括指数函数和对数函数的导数；
4、求极限，利用极限的运算求导数；
5、求多变量函数的偏导数，梯度和方向导数；
二、必修二：应用类函数几何
1、单调函数，偶函数，周期函数及其变换；
2、指数函数，对数函数及其变换；
3、不定积分，定积分，面积函数及其在定义域上的性质；
4、反函数及其图象；
三、必修三：统计与概率
1、实践统计，频率表；
2、概率的定义及其分类，概率的计算；
3、随机事件的相互独立性，正、多项式分布，正态分布；
四、必修四：空间初步
1、定义空间中的点，直线，平面；
2、平行线，平行平面，非平行线，空间的顶点；
3、空间的距离，空间的弦长，空间的体积；
4、垂心线，平面斜率，直线斜率，平面及直线的相交；
五、必修五：曲面与向量
1、曲线求法，勒让德定理；
2、向量的定义，向量的运算；
3、平行四边形，平行四边形内角和；
4、向量积，叉积及其共面与垂直；。

高一数学必修1知识网络集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。

、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。

、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。

真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。

集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩函数,,,A B A x B y f B A B x y x f y y x y →映射定义：设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素， 在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，定义 按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。

高一到高三所有数学知识点高中阶段，数学是一门必修科目，涵盖了广泛的数学知识点和概念。

以下是高一到高三的所有数学知识点的综述。

一、高一数学知识点1. 函数与方程- 定义域、值域与奇偶性- 一次函数与一元一次方程- 二次函数与一元二次方程- 指数函数与对数函数- 复合函数与反函数2. 直线与圆- 直线的斜率与方程- 圆的方程与性质- 直线与圆的交点与切线3. 三角函数- 基本概念与关系- 三角函数的图像与性质- 三角函数的应用4. 数列与数学归纳法- 等差数列与等比数列的性质- 数列的通项公式与求和公式- 数学归纳法的基本原理与应用5. 平面向量- 平面向量的定义与基本运算- 向量的数量积与向量的夹角- 向量的坐标表示与平面几何应用二、高二数学知识点1. 平面解析几何- 平面方程与直线方程- 平面的位置关系与距离公式- 直线与平面的位置关系2. 函数的导数与微分- 导数的定义与性质- 基本导数公式与求导法则- 函数的极值与最值- 微分的概念与应用3. 不等式与不等式组- 不等式的性质与解法- 一元不等式组与二元不等式组的解法 - 线性规划问题4. 概率与统计- 随机事件与概率的基本概念- 事件的独立性与条件概率- 离散型随机变量与概率分布- 统计与抽样调查5. 三角恒等式与解三角形- 三角函数的和差化积公式- 三角方程的解法与应用- 三角形的面积与相似关系三、高三数学知识点1. 数列与数学归纳法的推广- 等差数列与等比数列的推广- 数列极限的概念与性质- 数学归纳法的扩展应用2. 函数与导数的进一步研究- 高阶导数与高阶导数的求法- 函数的单调性、凹凸性与极值 - 函数的图像与曲线的绘制3. 三角函数的进一步研究- 三角函数的定义域、值域与周期 - 三角方程的解法与应用- 角度制与弧度制的相互转化4. 平面解析几何的进一步研究- 高次曲线的方程与性质- 平面曲线的切线与法线方程- 曲线在直角坐标系中的方程5. 矩阵与向量的进一步研究- 矩阵的基本操作与运算规则- 线性方程组的矩阵表示与解法- 向量空间与线性相关性以上是高一到高三所有数学知识点的综述，这些知识点构成了高中数学的核心内容。

高中数学必考知识点归纳整理高中数学必考知识点必修一：1、集合与函数的概念 (部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用 (比较抽象，较难理解)必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。

这部分知识高考占22---27分2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题3、圆方程：必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。

09年理科占到5分，文科占到13分必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。

高考必考5分)不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。

文科：选修1—1、1—2选修1--1：重点：高考占30分1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考2、圆锥曲线：3、导数、导数的应用(高考必考)选修1--2：1、统计：2、推理证明：一般不考，若考会是填空题3、复数：(新课标比老课本难的多，高考必考内容)理科：选修2—1、2—2、2—3选修2--1：1、逻辑用语2、圆锥曲线3、空间向量：(利用空间向量可以把立体几何做题简便化)选修2--2：1、导数与微积分2、推理证明：一般不考3、复数选修2--3：1、计数原理：(排列组合、二项式定理)掌握这部分知识点需要大量做题找规律，无技巧。

高中数学 必修1知识点1 第一章 函数概念2 （1）函数的概念3 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在4 集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对5 应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．6 ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．7 ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． 8 （2）区间的概念及表示法9 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足10 a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合11 叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记12 做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．13注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须14 a b <，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）． 15 （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：16 ①()f x 是整式时，定义域是全体实数．17②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．18 ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．19 ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． 20 ⑤tan y x =中，()π⑥零（负）指数幂的底数不能为零．22 ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初23 等函数的定义域的交集．24 ⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数25 [()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．26 ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． 27 ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． 28 （4）求函数的值域或最值29 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中30 存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质31 是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：32 ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．33 ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围34 确定函数的值域或最值．35 ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程36 2()()()0a y x b y x c y ++=37则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值38 域或最值．39 ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．40 ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问41 题转化为三角函数的最值问题．42 ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． 43 ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． 44 ⑧函数的单调性法．45（5）函数的表示方法4647表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．48解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两49个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．50（6）映射的概念51①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B52中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫53做集合A到B的映射，记作:f A B→．54②给定一个集合A到集合B的映射，且,∈∈．如果元素a和元素b对应，那么我们把a Ab B55元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．56（6）函数的单调性57①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一58 个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．59 ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =60 为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，61则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．62 （7）打“√”函数()(0)af xx a x=+>的图象与性质63()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，64 分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数． 65 （8）最大（小）值定义66 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存67在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；68 （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．69②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都70 有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作71 max ()f x m =．72 （9）函数的奇偶性73 ①定义及判定方法74函数的性 质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇．函数．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=f(x)．．．．．．．,那么函数f(x)叫做偶函．．数．． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．75 ③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相76 反．77 ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个78 偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数． 79 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 80 〖2.1〗指数函数81 【2.1.1】指数与指数幂的运算 82 （1）根式的概念83 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次84 n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 负的n 次方根用符85号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．86 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；87 当n 为偶数时，0a ≥．88 ③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，89 (0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． 90（2）分数指数幂的概念91 ①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于92 0．93②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,mm n n aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数94 指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 95 （3）分数指数幂的运算性质96 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ 97③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 98 【2.1.2】指数函数及其性质 99 （4）指数函数100101 〖2.2〗对数函数102 【2.2.1】对数与对数运算 103 （1）对数的定义104 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N105叫做真数． 106 ②负数和零没有对数．107 ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． 108 （2）几个重要的对数恒等式109 log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．110 （3）常用对数与自然对数111 常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 112（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么113①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= 114③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N =115⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a bN N b b a =>≠且 116【2.2.2】对数函数及其性质 117 （5）对数函数118(6)反函数的概念119 设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果120 对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式121 子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯122 上改写成1()y f x -=． 123 （7）反函数的求法124 ①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=； 125③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域． 126 （8）反函数的性质127 ①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．128②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域． 129③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上． 130 ④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数． 131 〖2.3〗幂函数 132 （1）幂函数的定义133一般地，函数y xα134=叫做幂函数，其中x为自变量，α是常数．135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象157 分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点158 对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．159 ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．160③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函161 数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．162④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中163 ,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则164 qpy x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．165 ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，166 其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直167 线y x =下方．168 〖补充知识〗二次函数 169 （1）二次函数解析式的三种形式170 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：171 12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法172 ①已知三个点坐标时，宜用一般式．173 ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． 174 ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． 175 （3）二次函数图象的性质176①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是177 24(,)24b ac b a a--． 178②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a=-时，179 2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba -+∞上递减，180当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．181③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点182 ********(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． 183（4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布184 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但185 尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）186 的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．187 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从188以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=- ③判别式：∆ ④端点函189 数值符号． 190 ①k ＜x 1≤x 2 ⇔191192 ②x 1≤x 2＜k ⇔193194 ③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0195196 ④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔ 197198199 ⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑200 f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合201202203⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 204 此结论可直接由⑤推出．205 （5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值206 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．207 （Ⅰ）当0a >时（开口向上） 208 ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a=- ③若2b q a ->，则()m f q = 209210 211 212 213 214 215 216 217 ①若02b x a -≤，则()M f q =b ()f p 218 219 220 221 2222230x 0x225226 (Ⅱ)当0a <时(开口向下) 227 ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a=- ③若2bq a ->，则()M f q = 228229 230 231 232 233 234235 236 237 ①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b xa->，则()m f p =．238 239 240 241 242 243244ff fx246 第三章 函数的应用247 一、方程的根与函数的零点248 1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数249 ))((D x x f y ∈=的零点。

数学必修知识点归纳一、必修一。

（一）集合。

1. 集合的概念。

- 集合是由一些确定的、互不相同的对象所组成的整体。

这些对象称为集合的元素。

- 表示方法：列举法（如{1,2,3}）、描述法（如{xx > 0}）。

2. 集合间的关系。

- 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么A是B的子集，记作A⊆ B。

- 真子集：如果A⊆ B且A≠ B，则A是B的真子集，记作A⊂neqq B。

- 相等：如果A⊆ B且B⊆ A，则A = B。

3. 集合的运算。

- 交集：A∩ B={xx∈ A且x∈ B}。

- 并集：A∪ B ={xx∈ A或x∈ B}。

- 补集：设U为全集，A⊆ U，则∁_UA={xx∈ U且x∉ A}。

（二）函数。

1. 函数的概念。

- 设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A→ B为从集合A到集合B的一个函数，记作y = f(x),x∈ A。

2. 函数的三要素。

- 定义域：自变量x的取值范围。

- 值域：函数值y的取值范围，是定义域在对应关系下的像集。

- 对应关系：函数中x与y的对应规则。

3. 函数的性质。

- 单调性。

- 增函数：设函数y = f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D 内的任意两个自变量的值x_1,x_2，当x_1 < x_2时，都有f(x_1)，那么就说函数y = f(x)在区间D上是增函数。

- 减函数：同理，当x_1 < x_2时，都有f(x_1)>f(x_2)，则函数在区间D上是减函数。

- 奇偶性。

- 奇函数：对于函数y = f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= - f(x)，则y = f(x)是奇函数，其图象关于原点对称。

- 偶函数：对于函数y = f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，则y = f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称。