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数学建模排队论讲解

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数学建模：排队论2

数学建模：排队论2

无顾客
无顾客
n
无顾客 1 个顾客
n
1 个顾客 无顾客
n
1 个顾客 1 个顾客
n
9
上述四种情况发生概率分别为：
情况
时刻 t 顾客数
区间[ t，t + △t ) 到达顾客 离开顾客
概率
A
n
无顾客 无顾客 pn (t )(1 t )(1 t )
B
n+1
无顾客 1 个顾客 pn1(t )(1 t )t
时刻 t 顾客数
0 1 0
区间[ t，t + △t )
时刻 t + △t
到达顾客 离开顾客 顾客数
无顾客
无顾客
0
无顾客 1 个顾客
0
1 个顾客 1 个顾客
0
16
上述三种情况发生概率分别为：
情况
时刻 t 顾客数
区间[ t，t + △t ) 到达顾客 离开顾客
A
0
无顾客
无顾客
B
1
无顾客 1 个顾客
D
0
12
dpn (t ) dt
pn1(t )
pn1(t )
(
)
pn (t )
解上述方程的解是很困难的。这里只研究系统达到平
稳状态的情况，即系统运行了无限长时间之后，状态
概率分布不再随时间变化，显然此时 dpn (t ) 0
dt
13
由此可得，当 n≥1 时：
pn1 pn1 ( ) pn 0，n 1
第四节 单服务台负指数分 布排队系统
讨论单服务台的排队系统，并设定： 顾客到达过程服从泊松分布。 顾客服务时间服从负指数分布。
2

数学建模--排队论

数学建模--排队论

B表示顾客源的数目；C表示服务规则；
课件
13
M /M /1/ / /FCFS
表示了一个顾客的到达时间间隔服从相同的负指数分布， 服务时间为负指数分布、单个服务台、 系统容量为无限、 顾客量无限、排队规则为先来先服务的排队模型。
课件
14
四、排队系统的主要数量指标和记号
1、队长和排队长 2、等待时间和逗留时间 3、忙期和闲期
排队论（Queueing Theory）
现实生活中的实例：
进餐馆就餐 到图书馆借书 去售票处购票 在车站等车等等
课件
2
一、排队系统的特征及排队论：
顾客为了得到某中服务而到达系统，若不能获得服 务而允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离 开系统。
课件
3
排队的形式：
顾客到达
队列
服务台
服务完成后离去
记
,
并设
1,
n 则：Cn
n1,2,
pnnp0
n1,2,
课件
22
其中：
p0
1
1
n
1
n
n0
1
n1
因此： p n(1)n
n0 ,1 ,
课件
23
②几个主要数量指标
平均队长：
Ln 0nnp n 0n (1)n1
平均排队长：
Lq (n1)pn L(1p0)L n1
2 2 1 ()
课件
24
关于顾客在系统中的逗留时间T，说明服从参数
的负指数分布，P T t e ( ) t
t 0
因此，平均逗留时间W为：
WE(T) 1
顾客在系统中逗留时间为等待时间和接受服务时间之和：

数学建模排队论

数学建模排队论

数学建模排队论
排队论是一种数学理论，它研究的是人们排队等待服务或交通等系统的行为模式。

在排队论中，数学建模被广泛应用于分析和优化这些系统的性能和效率。

排队系统的基本构成包括到达过程、服务过程和队列规则。

到达过程指的是顾客或流量进入系统的过程，它可以用概率分布来描述。

服务过程指的是系统为每个顾客提供服务的时间，同样也可以用概率分布来描述。

队列规则则规定了顾客在等待队列中的顺序以及他们被服务的顺序。

在排队系统中，我们通常关注两个主要的性能指标：平均等待时间和平均队列长度。

平均等待时间指的是顾客在进入系统后需要等待多长时间才能接受服务的时间平均值，而平均队列长度则指的是在某个时间点等待服务的顾客数量的平均值。

为了分析和优化排队系统的性能，我们可以使用数学模型进行建模。

其中最常用的模型包括M/M/1模型、M/M/c模型、M/G/1模型等。

这些模型分别描述了不同的到达过程、服务过程和队列规则，并且可以计算出各种性能指标。

例如，M/M/1模型表示到达过程和服务过程都是泊松分布，并且只有一个服务窗口。

在这种情况下，我们可以使用该模型计算出平均等待时间和平均队列长度，并比较不同服务率下的性能指标。

M/M/c模型则表示到达过程和服务过程都是泊松分布，但是有c个服
务窗口。

在这种情况下，我们可以研究如何合理分配服务窗口的数量以优化系统的性能。

数学建模排队论是一种非常有用的工具，它可以用来分析和优化人们排队等待服务或交通等系统的行为模式。

通过建立数学模型，我们可以更好地理解这些系统的性能和效率，从而为实际应用提供指导。

【数学建模】排队论讲义

【数学建模】排队论讲义

设 T X1 X 2 ，则TX的k 密度函数为
bk (t)
k (kt)k 1
(k 1)!
e k t
,
t 0
1
1
E(T ) ,
D(T ) k 2
如k个服务台串联（k个服务阶段）， 一个顾客接受k个服务共需的服务时间T， T 爱尔朗分布。
‹# ›
1.2 随机过程的有关概念
随机过程(Random process)的定义
1.2 随机过程的有关概念
随机过程的基本类型
二阶矩过本程节内容结束
平稳过程 平稳独立增量过程 常见随机过程 马尔可夫过程？ Poisson过程？ 生灭过程？
马尔可夫过程 离散
马尔可夫链
• 定义对：任意{非X负(整n数),若n 满足0,如1,下2,性...质，}：只要
就有
t1 t2
{X“(n将)} 来”的情况与“过去”无关，
只是通过“现在”与“过去”发生联系，若 “现在”已知，“将来”与“过去”无关。
‹# ›
时齐的马氏链：马氏链{X (n),n 0,1,2,...}
若满足P：{X nm j X n i} Pij (m)
则称{X (n),n 0,1,2,...}
为时齐马尔
排队论
一.概率论及随机过程回顾 二.排队论的基本知识 三.单服务台负指数分布排队系统分析 四.多服务台负指数分布排队系统分析 五.一般服务时间M/G/1模型分析 六.经济分析___排队系统的最优化
一、概率论及随机过程回顾
1.1、随机变量与概率分布
• 随机变量 • 离散型随机变量 • 概率分布和概率分布图 • 数学期望和方差 • 常见离散型随机变量的概率分布 • 二点分布? • 二项式分布? • Poisson分布?

数学建模.排队论讲解

数学建模.排队论讲解

P1
(m 1)
(m n 1) (m n)
P2
Pn 1
Pn
Pn 1
2



由状态转移图，可以建立系统概率平衡方程如下： P 1 mP 0, Pn 1 (m n 1)Pn 1 [(m n) ]Pn , 1 n m 1 Pm Pm 1 ,
E (T ) 1
n!
e

1.5 排队系统的常用分布
同样，对顾客服务时间常用的概率分布也是负指数分布， 概率密度为： t
f (t ) e
(t 0)
其中 表示单位时间内完成服务的顾客数，也称平均服务率． 3）爱尔朗分布：
(k ) k t k 1 kt 分布密度函数： f k (t ) (k 1)! e (t 0, k , 0)
N k k
模型的各数量指标参数如下： 1）系统里没有顾客的概率 1 1 N 1 P
0
1 1
1 1 N
2.2 系统容量有限的 M / M / 1/N / 模型
n P P0，n N 2）系统里有n个顾客的概率 n
3）在系统里的平均顾客数
3）服务时间的分布——在多数情况下，对每一个顾客的服务 时间是一随机变量，其概率分布有定长分布、负指数分布、 爱尔朗分布等.
1.3 排队系统的符号表示（Kendall符号）
根据不同的输入过程、排队规则和服务台数量，可以形成 不同的排队模型，为方便对模型的描述，通常采用如下的符 号形式：
X /Y / Z / A/ B /C
式中 表示平均到达率与平均服务率 之比，称为服务强度.
2.1 标准的 M / M / 1 模型

数模排队理论最全PPT资料

数模排队理论最全PPT资料
• 系统损失概率P损，即效劳系统满员的概率，或 者说，效劳员都忙着，排队位置满座的概率。
排队系统的运行指标
– 队长L系，即系统内顾客数的数学期望。 – 排队长L队，系统内排队顾客数的数学期望。 – 逗留时间W系，顾客在系统内逗留时间的数学期望。 – 排队时间W队，系统内顾客排队等待效劳时间的数学期望。这里
• 排队论的应用： • 广泛用于解决 局的通信线路的占线问题； • 车站、码头、机场等交通的枢纽的堵塞和疏导； • 故障机器的停机待修； • 水库的储存调节等有形无形的排队现象的问题。 • 本章内容 • 排队论的根本知识； • 常见的排队模型； • 讨论排队论系统的经济分析与最优化问题。
排队论的根本概念
数模排队理论
排队论的根本概念
• 在现实世界中，经常会发生为了获得某种效劳而 排队的现象
• 顾客到商店去买东西 • 病人到医院去看病 • 汽车去加油站加油 • 旅客到车站购票 • 当要求效劳的对象的数量超过效劳机构的容量就
会出现排队现象。 • 出现排队现象的原因：顾客到达人数和效劳时间
队模型算法
• 多通道损失制系统
• 模型：设系统内有n个效劳员，顾客来到效劳系统 时如果效劳员正在忙，顾客不能立即得到效劳， 那么顾客离去，另求效劳。
• 多通道损失制系统的各项效率指标：
• 损失概率P损，其中ρ＝λ/μ, λ为单位时间来的顾客
数即顾客流强度，μ为单位时间内一个效劳台效劳
的顾客数即效劳台能力．
• 问题的解决： • 增加效劳设施能减少排队现象，但这样势
必增加投资且可能出现因供大于求而使得 设施经常闲置、导致浪费，这通常不是一 个最经济的解决问题的方法。 • 作为管理人员来说，研究排队问题就是把 排对的时间控制在一定的限度内，在效劳 质量的提高和本钱的降低之间取得平衡， 找到最适当的解。

数学建模排队论模型

数学建模排队论模型

数学建模排队论模型排队论模型是一种数学建模方法，用于研究排队系统中的等待时间、服务效率和资源利用率等问题。

排队论模型可以应用于各种领域，如交通运输、医疗服务、银行业务等。

本文将介绍排队论模型的基本概念和应用。

一、排队论模型的基本概念排队论模型的基本概念包括：顾客到达率、服务率、队列长度、等待时间、系统利用率等。

顾客到达率是指单位时间内到达系统的顾客数量，通常用λ表示。

服务率是指单位时间内一个服务员能够完成服务的顾客数量，通常用μ表示。

队列长度是指系统中正在等待服务的顾客数量。

等待时间是指顾客在队列中等待服务的时间。

系统利用率是指系统中所有服务员的利用率之和。

排队论模型可以分为单队列模型和多队列模型。

单队列模型是指系统中只有一个队列，多个服务员依次为顾客提供服务。

多队列模型是指系统中有多个队列，每个队列对应一个服务员，顾客可以选择任意一个队列等待服务。

二、排队论模型的应用排队论模型可以应用于各种领域，如交通运输、医疗服务、银行业务等。

下面以银行业务为例，介绍排队论模型的应用。

在银行业务中，顾客到达率和服务率是两个重要的参数。

顾客到达率受到银行营业时间、银行位置、顾客数量等因素的影响。

服务率受到银行服务员数量、服务质量、服务时间等因素的影响。

为了提高银行的服务效率和资源利用率，可以采用排队论模型进行优化。

首先需要确定银行的顾客到达率和服务率，然后根据排队论模型计算出等待时间、队列长度、系统利用率等指标。

根据这些指标，可以制定相应的服务策略，如增加服务员数量、优化服务流程、提高服务质量等。

例如，如果银行的顾客到达率较高，服务员数量较少，导致顾客等待时间较长，可以考虑增加服务员数量或优化服务流程，以缩短顾客等待时间。

如果银行的服务率较低，导致服务员利用率较低，可以考虑提高服务质量或增加服务时间，以提高服务员利用率。

三、排队论模型的局限性排队论模型虽然可以应用于各种领域，但也存在一些局限性。

首先，排队论模型假设顾客到达率和服务率是稳定的，但实际情况中这些参数可能会发生变化。

数学建模：第五章 排 队 论

数学建模：第五章 排 队 论
17
令 T0 = 0 Tn ：第 n 个顾客到达时刻， Xn：第 n 个顾客与第 n-1 个顾客到达的时间间隔。 则有
T0 T1 Tn
X n Tn Tn1 , n 1,2,
18
一般假定 { Xn }是独立同分布的，并记其分布函数 为 A( t )。关于{ Xn }的分布，排队论中经常用到的 有以下两种： ➢定长分布（D）：顾客相继到达时间间隔为确定 的常数。
Wq(t)：时刻 t 到达系统的顾客在系统中的等待时间。
pn(t)：时刻 t ，系统中有 n 个顾客的概率。
44
pn(t)
过渡状态
平稳状态
t
45
上述指标一般都是和系统运行的时间有关的随机变量 ，求这些随机变量的瞬时分布一般都是很困难的。 相当一部分排队系统，在运行了一定时间后，都会趋 于一个平稳状态（或称平衡状态），平稳状态下这些 指标和系统所处的时刻无关。
19
➢Poisson流（M）：顾客相继到达时间间隔的密度 函数为：
e t
a(
2. 排队
损失制排队系统
有限排队
队长有限排队系统
排队
混合制排队系统 等待时间有限排队系统
逗留时间有限排队系统 无限排队（等待制排队系统）
21
（1）有限排队
有限排队：排队系统中的顾客数是有限的，即系统 的空间是有限的，当系统被占满时，后面再来的顾 客将不能进入排队系统。
顾客相继到达时间 单个服务台
间隔为负指数分布
顾客源无限
M / M / 1 / ∞ / ∞ / FCFS
服务时间为负指数
分布
系统容量为无限
先到先服务
39
X/Y/Z/A/B/C
省略后三位

数学建模-排队论

数学建模-排队论

①模型特点
顾客总体为m个，每个顾客到达并经过服 务台后，任然回到原来总体，所以任然可 以到来。
②系统的稳态概率 Pn ；
1
P0 m m! ( )i
i0 (m i)!
Pn
m! (m n)!
(
)n
P0
,1
n
m
③系统运行指标 a、 系统中平均顾客数（队长期望值）
Ls m (1 P0)
排队论
（Queueing Theory）
生活中处处可见的排队现象
商店、超市等收款处排队付款 车站、民航、港口等售票处依次购买车船票 各种生产系统、存储系统、运输系统等一系
列现象 大型网游登陆前的排队等等
基本概念
研究随机的排队服务模型的主要工具是 排队论，排队论又称为随机服务系统理 论，是研究由顾客、服务机构及其排队 现象所构成的一种排队系统理论。
PnP10
P1 0 Pn1 (
) Pn
0
n 1
(3)
这是关于 Pn 的差分方程，表明了各状态间的转移 关系，可以用下图表示：
0
1
n-1
n
n+1
由上式可得 Pn ( / )n P0 令 / 1（否则队列将
排至无限远），由概率性质知
Pn 1
n0
将
Pn
的关系带入，
P0
n
n0
1
P0 1
求 limPn(t) Pn，此时系统的状态概率分布不再随时间变化 n
（4）利用 Pn 求系统运行指标
①队长：系统中的顾客数，期望记为 Ls ②排队长：系统中排队等待覅物的顾客数，期望记为 Lq ③逗留时间：一个顾客在系统中的停留时间，期望记为 Ws ④等待时间：一个顾客在系统中排队等待的时间，期望记

19246-数学建模-8排队论

19246-数学建模-8排队论

也就是说过程在t+Δt所处的状态与t以前所处的状 态无关。
②平稳性：即对于足够小的Δt，有：
P1( t，t t ) t ( t )
在[t,t+Δt]内有一个顾客到达的概率与t无关,
而与Δt成正比。
20
λ>0 是常数，它表示单位时间到达的顾客数，称为 概率强度。
③ 普通性：对充分小的Δt,在时间区间（t,t+Δt） 内有2个或2个以上顾客到达的概率是一高阶无穷小.
2.负指数分布
可以证明当输入过程是泊松流时，两顾客相继到 达的时间间隔T独立且服从负指数分布。（等价）
E[T ]
1
Var[T]
1 2
λ表示单位时间内顾客平均到达数。
1/λ表示顾客到达的平均间隔时间。
服务时间的分布：
接受服务，然后离开
对顾客的服务时间：系统处于忙期时两顾客相继离
开系统的时间间隔，一般地也服从负指数分布，
§1.2 排队系统的模型分类
上述特征中最主要的、影响最大的是： ❖顾客相继到达的间隔时间分布 ❖服务时间的分布 ❖服务台数
D.G.Kendall，1953提出了分类法，称为Kendall 记号(适用于并列服务台)即：[X/Y/Z]:[A/B/C]
7
式中：X——顾客相继到达间隔时间分布。
M—负指数分布Markov，D—确定型分布Deterministic， Ek—K阶爱尔朗分布Erlang， GI— 一般相互独立随 机分布(General Independent)， G —一般随机分布。
与时间有关的随机变量的概率，是一个随机过程，
即泊松过程。
18
在一定的假设条件下 一个泊松过程。
顾客的到达过程就是

数学建模中的排队论问题

数学建模中的排队论问题

数学建模中的排队论问题数学建模是运用数学方法来解决实际问题的一种学科，而排队论则是数学建模中的一个重要问题。

排队论是研究人们在排队等待时所产生的等待时间、服务时间、队列长度等问题的数学理论。

在各个领域中，排队论都有广泛的应用，例如交通运输、生产调度、服务管理等。

排队论的基本概念包括顾客、服务台、队列、到达率、服务率等。

顾客是指等待服务的个体，可以是人、机器或其他物体。

服务台是为顾客提供服务的地方，可以是柜台、服务窗口或机器设备。

队列是顾客排队等待的区域。

到达率是指单位时间内到达队列的顾客数量。

服务率则是指单位时间内服务台完成服务的顾客数量。

排队论的目标是通过数学模型来分析和优化排队系统，以提高效率和服务质量。

常用的排队论模型有M/M/1, M/M/c, M/M/∞等，其中M表示到达率和服务率满足泊松分布，1表示一个服务台，c表示多个服务台，∞表示无穷多个服务台。

在现实生活中，排队论的应用非常广泛。

以交通运输为例，交通流量大的道路上常常出现拥堵现象。

排队论可以用来研究交通信号灯的时序控制，从而减少交通阻塞和等待时间。

排队论还可以应用于生产调度问题，如工厂的生产线、餐馆的点餐队列等，通过优化排队系统可以提高生产效率和顾客满意度。

除了基本的排队论模型，还有许多扩展模型用于解决更复杂的实际问题。

例如，考虑到顾客的不满意程度，可以引入优先级排队模型。

考虑到服务台设备可能发生故障，可以引入可靠性排队模型。

排队论也可以与优化算法相结合，寻找最佳的服务策略和资源配置。

在数学建模中，解决排队论问题通常需要进行数学推导、建立数学模型、进行仿真实验以及进行实际数据的拟合和验证。

通过数学建模的方法，可以对排队系统的性能进行全面评估，从而提出改进方案和决策策略。

综上所述，数学建模中的排队论问题在实际应用中具有重要的意义。

通过研究排队论，可以优化排队系统，提高效率和服务质量。

随着科技的进步和数据的丰富，排队论的研究将在各个领域中得到更广泛的应用和发展。

( - 数学建模)排队论模型

( - 数学建模)排队论模型

（- 数学建模）排队论模型第五讲排队论模型【修理工录用问题】工厂平均每天有一台机器发生故障而需要修理，机器的故障数服从泊松分布。

修理一台机器平均花费20元。

现有技术水平不同的修理工人A 和B，A种修理工平均每天能修理1.2台机器，每天工资3元；B种修理工平均每天能修理1.5台机器，每天工资5元，两种修理工修理机器的时间为负指数分布。

问工厂录用哪种工人较合算？本讲主要内容1. 排队论的基本概念2. 单服务台的排队模型3. 多服务台的排队模型4. 排队系统的最优化问题5. 数学建模实例：校园网的设计和调节收费问题5.1 排队论的基本概念5.1.1 什么是排队系统排队论也称随机服务系统理论，它是20世纪初由丹麦数学家Erlang应用数学方法在研究电话话务理论过程中而发展起来的一门学科，在实际中有广泛的应用。

它涉及的是建立一些数学模型，藉以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为。

现实世界中排队的现象比比皆是，如到商店购货、轮船进港、病人就诊、机器等待修理等等。

排队的内容虽然不同，但有如下共同特征：（1）有请求服务的人或物，如候诊的病人、请求着陆的飞机等，我们将此称为“顾客”。

（2）有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称此为“服务员”。

由顾客和服务员就组成服务系统。

（3）顾客随机地一个一个（或者一批一批）来到服务系统，每位顾客需要服务的时间不一定是确定的，服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队，而某些时候服务员又空闲无事。

为了叙述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成部分：1.输入过程即顾客来到服务台的概率分布。

排队问题首先要根据原始资料，由顾客到达的规律、作出经验分布，然后按照统计学的方法（如卡方检验法）确定服从哪种理论分布，并估计它的参数值。

我们主要讨论顾客来到服务台的概率分布服从泊松分布，且顾客的达到是相互独立的、平稳的输入过程。

所谓“平稳”是指分布的期望值和方差参数都不受时间的影响。

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简介
排队论(Queuing Theory)，又称随机服务系统理论 (Random Service System Theory),是一门研究拥挤 现象(排队、等待)的科学。具体地说，它是在研究 各种排队系统概率规律性的基础上，解决相应排队 系统的最优设计和最优控制问题。
目录
§1 排队系统综述及常用分布 §2 单服务台 M / M /1排队模型 §3 多服务台 M / M / C 排队模型 §4 排队系统的优化问题
负指数分布的概率密度为： fT (t) ? ? e? ? t (t ? 0)
间隔时间 T 的期望值：
E (T ) ? 1
?
1.5 排队系统的常用分布
同样，对顾客服务时间常用的概率分布也是负指数分布，
概率密度为： f (t) ? ? e?? t (t ? 0)
其中? 表示单位时间内完成服务的顾客数，也称平均服务率．
1）顾客源 ——可以是有限的，也可以是无限的.
2）顾客到达的方式——描述顾客是怎样来到系统的，是单个 到达还是成批到达.
3）顾客流的概率分布——或称相继顾客到达的时间间隔的分 布，相继到达的时间间隔可以是确定的也可以是随机的， 常见的分布有定长分布、二项分布和负指数分布等.
1.2 排队系统的组成
排队规则：指从队列中挑选顾客进行服务的规律.
多有一个顾客到达系统．即在时间 ?
t
?
?
t内有2个或2个以上顾客
? 到达的概率极小，有 lim Pn ?t ? ? t ?? 0 ?t? 0
n? 2
可以证明，在长为t的时间内到达个顾客的概率为：
Pn ?t ??
(? t) n e? ?t
n!
?t ? 0 ? n ? 0,1,2,?
期望为： E n ( t ) ? ? t
§1 排队系统综述及常用分布
1.1 排队系统的描述
任何一个排队问题的基本排队过程都可以用图1.1表示。 每个顾客由顾客源按一定方式到达服务系统，首先加入队 列排队等待接受服务，然后服务台按一定规则从队列中选 择顾客进行服务，获得服务的顾客立即离开。
图1.1
1.2 排队系统的组成
通常的排队系统可以分为3个组成部分：输入过程、排队 规则和服务台. 输入过程：顾客到达的规律
排队方式还分为单列、多列和循环队列。
1.2 排队系统的组成
服务台： 1）服务台数量及构成形式——从数量上说，服务台有单服务 台和多服务台之分。从构成形式上看，有单队列单服务台、 单队多服务台并联、多队多服务台并联式、单队多服务台串 联式等.
2） 服务方式——指在某一时刻接受服务的顾客数，有单个服 务和成批服务两种.
其中，
X——顾客到达间隔时间概率分布 Y——服务时间的概率分布 Z——服务台数 A——系统容量限制，即系统中允许的最多顾客数 B——顾客源总数 C——服务规则
1.3 排队系统的符号表示（ Kendall 符号）
表示顾客相继到达间隔时间和服务时间的各种分布 符号有：
M——表示到达过程为泊松过程或负指数分布； D——表示定长输入； Ek——表示k阶爱尔朗分布； G——表示一般相互独立的随机分布.
1）泊松分布：
泊松过程具有如下性质：
(1) 平稳性：在时间 t ? ? t 内，到达个顾客的概率只与? t和 n
的大小有关而与时刻起点 t 无关．
(2) 独立性：在时间 t ? ? t内到达 n个顾客的概率与起始时
刻之前到达多少个顾客无关．
(3) 普通性：对于充分小的时间间隔 ? t，在时间 t ? ? t内最
务的顾客数，记为 L s 4.一位顾客花在排队上的平均时间，记为 W q 5.一位顾客花在系统里的平均逗留时间，包括排队时间和
被服务的时间，记为 W s
6.顾客到达系统时，得不到及时的服务，必须排队等待服 务的概率，记为 Pw
7.系统里正好有n 个顾客（包括排队的和正在被服务的顾客 的概率记为Pn
1.5 排队系统的常用分布
1.5 排队系统的常用分布
当 t ? 1 时，即单位时间内到达个顾客的概率为：
Pn ?
Pn (1 ) ?
?
n
e??
n!
其中? 为单位时间内到达系统的顾客的期望值．
2）负指数分布
理论上可以证明若顾客在单位时间内到达系统的个数 X 是
服从参数为 ? 的泊松分布，则顾客到达系统的间隔时间 T 服从 参数为 ?的负指数分布，反之亦然．
1）等待制 —— 当顾客到达时，所有的服务台均被占用，顾客 就排队等待，直到接 受完服务才离去。例如出故障的机器 排队等待维修就是这种情况.
2）损失制——当顾客到达时，所有的服务台均被占用，顾客 随即离去.
3）混合制——介于损失制和等待制之间，即既有等待又有损 失.有队列长度有限和排队等待时间有限两种情况，在限度 以内就排队等待，超过一定限度就 离去.
3）服务时间的分布——在多数情况下，对每一个顾客的服务 时间是一随机变量，其概率分布有定长分布、负指数分布、 爱尔朗分布等.
1.3 排队系统的符号表示（ Kendall 符号）
根据不同的输入过程、排队规则和服务台数量，可以形成 不同的排队模型，为方便对模型的描述，通常采用如下的符 号形式：
X /Y /Z / A/ B/C
比如，M／M／c／N／m／FCFS表示相继到达时间间 隔和服务时间为负指数分布，c个服务台，系统容量为N， 顾客源数目为m，采用先到先服务规则的排队模型.
1.4 排队系统主要数量指标和记号
1.在系统里没有顾客的概率，即所有设施空闲的概率，记 为 P0
2.排队的平均长度，即排队的平均顾客数记为 Lp 3.在系统里的平均顾客数，包括排队的顾客数和正在被服
排队论
Queuing Theory
简介
排队是日常生活和生产中经常遇到的现象。
顾客到商店购买物品 面病对员拥到挤医现院象看，病如果服务设施太少，顾客排队等 待的时旅间客就到会售很票长处，购对买顾车客票会带来不良影响。而随服 务设施学增生加去，食人堂力就、餐物力的支出就越大。 顾客等待出租车 如通何讯做卫到星既与保地证面一若定干的待服传务递质的量信指息标，又使服务 设施费码用头经的济船合只理等，待恰装当卸地货解物决顾客排队时间与服务 设施费要用降大落小的这飞对机矛因盾跑，道这不就空是而排在队空论中所盘要旋研究解决 的问题等。等......