高三理科数学周练四

宁夏六盘山高级中学2021届高三数学下学期第4次周练卷理制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日时间是：2021年4月20日 16:25—17:05班级________．姓名________．得分________．1.如图，在直三棱柱中，，D为上一点，E为AC上一点，且，．Ⅰ求证：；Ⅱ求证：平面；Ⅲ求四棱锥的体积．2.如下图，在四棱锥中，底面四边形ABCD是菱形，，是边长为2的等边三角形，，．Ⅰ求证：底面ABCD ；Ⅱ求直线CP 与平面BDF 所成角的大小； Ⅲ在线段PB 上是否存在一点M ，使得平面BDF ？假如存在，求的值，假如不存在，请说明理由3．如图在椎体P ABCD -中，ABCD 是边长为1的棱形，且DAB ∠=60︒，2PA PD ==2PB =，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．〔Ⅰ〕证明：AD ⊥平面DEF ； 〔Ⅱ〕求二面角P AD B --的余弦值．PABCDFE4.如下图，直角梯形ABCD中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面ABCD．Ⅰ求证：平面ABE；Ⅱ求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值；Ⅲ在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，假设存在，求出线段BP的长，假设不存在，请说明理由．答案和解析1.如图，在直三棱柱中，，D为上一点，E为AC上一点，且，．Ⅰ求证：；Ⅱ求证：平面；Ⅲ求四棱锥的体积．【答案】Ⅰ证明：在中，，，，，那么，底面ABC，，又，平面，平面，又平面，；Ⅱ证明：在平面中，过E作交于F，，，，那么．，且，那么四边形BDFE为平行四边形，，平面，平面，平面；Ⅲ解：，，．2. 【答案】Ⅰ证明：因为底面ABCD是菱形，，所以O为AC，BD中点．又因为，，所以，，且，AC、底面ABCD，所以底面ABCD；Ⅱ解：由底面ABCD是菱形可得，又由Ⅰ可知，．如图，以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．由是边长为2的等边三角形，，可得．所以．所以，，，由可得，设平面BDF的法向量为y，，那么即令，那么，所以0，，因为，所以直线CP与平面BDF所成角的正弦值为，所以直线CP与平面BDF所成角的大小为；Ⅲ解：设，那么，假设使平面BDF，仅需且平面BDF，即，解得，所以在线段PB 上存在一点M ，使得平面BDF ，此时．3．【解析】法一：〔Ⅰ〕证明：取AD 中点G ，连接PG ，BG ，BD ．因PA=PD ，有PG AD ⊥，在ABD ∆中，1,60AB AD DAB ==∠=︒，有ABD ∆为等边 三角形，因此,BG AD BG PG G ⊥⋂=， 所以AD ⊥平面PBG ,.AD PB AD GB ⇒⊥⊥又PB//EF ，得AD EF ⊥，而DE//GB 得AD ⊥DE ，又FE DE E ⋂=， 所以AD ⊥平面DEF ．D CBAPF E G〔Ⅱ〕,PG AD BG AD ⊥⊥，PGB ∴∠为二面角P —AD —B 的平面角，在2227,4Rt PAG PG PA AG ∆=-=中 在3sin 602Rt ABG BG AB ∆⋅中,==2227342144cos 27732PG BG PB PGB PG BG +-+-∴∠===-⋅⋅⋅法二：〔Ⅰ〕取AD 中点为G ，因为,.PA PD PG AD =⊥又,60,AB AD DAB ABD =∠=︒∆为等边三角形，因此，BG AD ⊥，从而AD ⊥平面PBG ．延长BG 到O 且使得PO ⊥OB ，又PO ⊂平面PBG ，PO ⊥AD ，,AD OB G ⋂=所以PO ⊥平面ABCD ．以O 为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB ，OP 分别为x 轴，z 轴，平行于AD 的直线为y 轴，建立如下图空间直角坐标系． 设11(0,0,),(,0,0),(,,0),(,,0).22P m G n A n D n -则yz xPABC D OFE G||||sin 60GB AB=︒=11(((,0),(,).2222n m B nC n E n F ∴++++ 由于3(0,1,0),(,0,0),()2242n mAD DE FE ===+- 得0,0,,,AD DE AD FE AD DE AD FE DE FE E ⋅=⋅=⊥⊥⋂=AD ∴⊥平面DEF ．〔Ⅱ〕1(,,),()2PA n mPB n m =--=+-22,1,2m m n ====解之得 取平面ABD 的法向量1(0,0,1),n =- 设平面PAD 的法向量2(,,)n a b c =由22330,0,0,0,2222b b PA n ac PD n a c ⋅=--=⋅=+-=得由得 取23(1,0,).2n = 123212cos ,.7714n n -∴<>==-⋅4.【答案】解：Ⅰ证明：四边形EDCF 为矩形，，平面平面ABCD ， 平面平面，平面EDCF ， 平面ABCD ．由题意，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，过D 作平行于AB 直线为y 轴，DE 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如下图：那么0，，2，，0，，2，，，2，，设平面ABE的法向量为y，，，令，那么，所以平面ABE的法向量为0，，又2，，，；又平面ABE，平面ABE；Ⅱ，，，0，，设平面BEF的法向量为b，，令，那么，那么平面BEF的法向量为，设平面ABE与平面EFB所成锐二面角为，，平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值是；Ⅲ设2，，；制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日，，又平面ABE 的法向量为0，，设直线BP与平面ABE 所成角为，，，化简得，解得或者；当时，，；当时，，；综上，．．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。

2018 届高三上学期周考数学（理）试卷（四）一．选择题（ 12 小题，每题 5 分，共 60 分）1．已知会集 A={x∈N|1＜x＜log2k} ，会集 A 中最稀有 3 个元素，则（）A．k＞8B．k≥8C．k＞16D．k≥162．复数的共轭复数的虚部是（）A．B．C．﹣1 D．13．已知 f （ x）=x﹣sinx ，命题 p：? x∈（0，），f （ x）＜ 0，则（）A．p 是假命题，￢ p： ? x∈（ 0，），f （x）≥ 0B．p 是假命题，￢ p： ? x∈（ 0，），f （x）≥ 0C．p 是真命题，￢ p： ? x∈（ 0，），f （x）≥ 0D．p 是真命题，￢ p： ? x∈（ 0，），f （x）≥ 04．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有以下问题：“眺望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数量都是上一层的 2 倍，已知这座塔共有 381 盏灯，请问塔顶有几盏灯？”A．3 B．4C．5D．65．设函数 f （x）=sin （2x﹣）的图象为C，下边结论中正确的选项）是（A．函数 f （ x）的最小正周期是2πB．函数f （ x）在区间（﹣，）上是增函数C．图象C 可由函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位获得D．图象 C 关于点（，0）对称6．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，履行该程序框图，若输入的a，b 分别为 14， 18，则输出的 a=（）A．0 B．2C．4D．147．若不等式组表示的地域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的地域为Γ，向Ω地域平均随机撒360 颗芝麻，则落在地域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10C． 150 D．508．2015 年 4 月 22 日，亚非领导人会议在印尼雅加达举行，某五国领导人A，B，C，D，E，除 B 与 E、D 与 E 不仅独会见外，其余领导人两两之间都要单独会晤，现安排他们在两天的上午、下午单独会见（每人每个半天最多只进行一次会晤），那么安排他们单独会见的不同样方法共有（）A．48 种B．36 种C．24 种D．8 种9．实数 x，y 满足，则xy的最小值为（）A．2 B．C．D．110．如图，在△ OMN中， A，B 分别是 OM，ON的中点，若=x +y（x，y∈ R），且点 P 落在四边形 ABNM内（含界限），则的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]11． F1，F2 分别是双曲线﹣=1（a，b＞0）的左右焦点，点P 在双曲线上，满足=0，若△ PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．+1 D．+112．以以下列图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F 分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F 的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x， x∈ [0 ，1] ，给出以下四个命题：①平面 MENF⊥平面 BDD′B′；②当且仅当 x= 时，四边形 MENF的面积最小；③四边形MENF周长 L=f （ x），x∈[0 ，1] 是单调函数；④四棱锥 C′﹣ MENF的体积 V=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（）A．①④B．②C．③D．③④二. 填空题（ 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．双曲线﹣y2=1的焦距是，渐近线方程是．14．已知三棱锥 A﹣ BCD中，AB⊥面 BCD，△BCD为边长为 2 的正三角形，AB=2，则三棱锥的外接球体积为．15．已知 a=cosxdx，则 x（x﹣）7的张开式中的常数项是．（用数字作答）16．（填空题压轴题：观察函数的性质，字母运算等）设函数 f （x）的定义域为 D，假如存在正实数k，使对任意 x∈ D，都有 x+k∈D，且 f （x+k）＞ f （x）恒建立，则称函数 f （x）为 D上的“ k 型增函数”．已知 f （x）是定义在 R上的奇函数，且当 x＞0 时， f （x）=|x ﹣ a| ﹣2a，若 f （x）为 R 上的“ 2011 型增函数”，则实数 a 的取值范围是．三．解答题17．在△ ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bcos2 +acos2 = c．（Ⅰ）求证： a， c， b 成等差数列；（Ⅱ）若 C=，△ ABC的面积为2，求c．18．某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T，T 只与道路畅达状况有关，对其容量为 100 的样本进行统计，结果以下：T（分钟）25303540频数（次）20304010（Ⅰ）求 T 的分布列与数学希望ET；（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发，前去新校区做一个50 分钟的讲座，结束后马上返回老校区，求刘教授从走开老校区到返回老校区共用时间不超出120分钟的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中， PC⊥底面 ABCD，底面 ABCD是直角梯形，AB⊥AD， AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，PE=2BE．（I ）求证：平面 EAC⊥平面 PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E 的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20．已知椭圆的离心率为，且过点．若点M（x0，y0）在椭圆 C 上，则点称为点M的一个“椭点”．（I ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）若直线 l ：y=kx+m与椭圆 C订交于 A，B 两点，且 A，B 两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断△AOB的面积能否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明原由．21．已知函数 f （x）=lnx ﹣x2+ax，（1）当 x∈（ 1，+∞）时，函数 f （x）为递减函数，求 a 的取值范围；（2）设 f' （x）是函数 f （x）的导函数， x1，x2 是函数 f （ x）的两个零点，且 x1＜ x2，求证（3）证明当 n≥2 时，．[ 坐标系与参数方程 ]22．在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极x坐标系，已知点 M的极坐标为（ 2，），曲线C的参数方程为（α为参数）．（1）直线 l 过 M且与曲线 C 相切，求直线 l 的极坐标方程；（2）点 N 与点 M关于 y 轴对称，求曲线 C上的点到点 N的距离的取值范围．[ 不等式选讲 ]23．已知 ? x0∈R使得关于 x 的不等式 |x ﹣1| ﹣|x ﹣ 2| ≥t 建立．（Ⅰ）求满足条件的实数t 会集 T；（Ⅱ）若 m＞1，n＞1，且关于 ? t ∈T，不等式 log3m?log3n ≥t 恒建立，试求 m+n的最小值．答案：一．选择题（ 12 小题，每题 5 分，共 60 分）3 个元素，则（）1．已知会集 A={x∈N|1＜x＜log2k} ，会集 A 中最稀有A．k＞8B．k≥8C．k＞16D．k≥16【考点】会集的表示法．【剖析】第一确立会集 A，由此获得 log2k ＞ 4，由此求得 k 的取值范围．【解答】解：∵会集A={x∈N|1＜x＜log2k} ，会集A 中最稀有3 个元素，∴A={2， 3， 4} ，∴l og2k ＞4，∴k＞16．应选： C．2．复数的共轭复数的虚部是（）A．B．C．﹣1 D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【剖析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出原复数的共轭复数得答案．【解答】解：∵=，∴复数的共轭复数为﹣i ，虚部为﹣1．应选： C．3．已知 f （ x）=x﹣sinx ，命题 p：? x∈（0，），f（x）＜0，则（）【考点】命题的否定．【剖析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解： f （ x） =x﹣sinx ，x∈（ 0，），f′（x）=1﹣cosx＞0，∴ f（x）是（ 0，）上是增函数，∵f（0）=0，∴f （x）＞ 0，∴命题 p：? x∈（ 0，），f（x）＜0是假命题，￢p：? x∈（ 0，），f（x）≥ 0，应选： A．4．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有以下问题：“眺望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数量都是上一层的 2 倍，已知这座塔共有 381 盏灯，请问塔顶有几盏灯？”A．3 B．4C．5D．6【考点】等差数列的前n 项和．【剖析】设出塔顶灯的盏数，由题意可知灯的盏数自上而下构成等比数列，且公比为 2，此后由等比数列的前 7 项和等于 381 列式计算即可．选： A．5．设函数 f （x）=sin （2x﹣）的图象为C，下边结论中正确的选项）是（A．函数 f （ x）的最小正周期是2πB．函数f （ x）在区间（﹣，）上是增函数C．图象C 可由函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位获得D．图象 C 关于点（，0）对称【考点】正弦函数的图象．【剖析】由条件利用正弦函数的周期性、单调性、以及图象的对称性，y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得出结论【解答】解：依据函数 f （x）=sin （2x﹣）的周期为=π，可得 A 错误；选： D．6．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，履行该程序框图，若输入的a，b 分别为14， 18，则输出的a=（）A．0B．2C． 4D．14【考点】程序框图．a，b 的【剖析】由循环结构的特色，先判断，再履行，分别计算出当前的值，即可获得结论．【解答】解：由 a=14，b=18，a＜b，则 b 变成 18﹣14=4，由 a＞ b，则 a 变成 14﹣ 4=10，由 a＞ b，则 a 变成 10﹣ 4=6，由 a＞ b，则 a 变成 6﹣4=2，由 a＜ b，则 b 变成 4﹣2=2，由 a=b=2，则输出的 a=2．应选： B．7．【考点】几何概型；简单线性规划．【剖析】作出两平面地域，计算两地域的公共面积，得出芝麻落在地域Γ内的概率．【解答】解：作出平面地域Ω如图：则地域Ω的面积为 S△ABC==．地域Γ表示以 D（）为圆心，以为半径的圆，则地域Ω和Γ的公共面积为 S′=+=．∴芝麻落入地域Γ的概率为=．∴落在地域Γ中芝麻数约为 360×=30π+20≈ 114．应选 A．8．2015 年 4 月 22 日，亚非领导人会议在印尼雅加达举行，某五国领导人A，B，C，D，E，除 B 与 E、D 与 E 不仅独会见外，其余领导人两两之间都要单独会晤，现安排他们在两天的上午、下午单独会见（每人每个半天最多只进行一次会晤），那么安排他们单独会见的不同样方法共有（）A．48 种B．36 种C．24 种D．8 种【考点】摆列、组合及简单计数问题．【剖析】单独会见，共有AB，AC，AD， AE，BC，BD，CD，CE共 8 种状况，再分步，即可得出结论．【解答】解：单独会见，共有AB，AC， AD，AE，BC，BD，CD， CE共 8 种情况，设为第 n 次，分成四个时段，每个时段 [ 即某个上午或下午 ] 有两次，各个时段没有关系．设第一次会见有E，则有两种方法（不防设为AE），则第二次会见在 BCD内任选（设为 BC），有三种方法，第三次设再有 E 则有一种方法（ CE），第四次在 ABD内任选则有两种方法（设为 AD），则剩下的排序只有 4 种，则有 2× 3× 1× 2× 4=48种．应选： A．9．【考点】函数的最值及其几何意义；基本不等式在最值问题中的应用；三角函数的化简求值．【解答】解：∵，∴2cos2（x+y﹣1）=∴2cos2（x+y﹣1）=，故 2cos2（x+y﹣1）=x﹣y+1+，由基本不等式可得（ x﹣ y+1）+≥2，或（x﹣y+1）+≤﹣2，∴2cos2（x+y﹣1）≥ 2，由三角函数的有界性可得 2cos2（ x+y﹣1）=2，故 cos2（x+y﹣ 1） =1，即 cos（x+y﹣ 1） =± 1，此时 x﹣y+1=1，即 x=y，∴x+y﹣ 1=kπ，k∈Z，故 x+y=2x=kπ+1，解得 x=，故 xy=x?x=（）2，当 k=0 时， xy 的最小值，应选： B10．如图，在△ OMN中，A，B 分别是 OM，ON的中点，若=x +y（x，y∈R），且点 P 落在四边形 ABNM内（含界限），则的取值范围是（）A．[，]B．[ ， ]C．[ ， ]D．[ ， ]【考点】平面向量的基本定理及其意义．【解答】解：若 P 在线段 AB上，设=λ，则有==，∴=，因为=x+y（x，y∈ R），则 x=，y=，故有 x+y=1，若 P 在线段 MN上，设 =λ，则有=，故 x=1，y=0 时，最小值为，当 x=0，y=1 时，最大值为故范围为 []因为在△ OMN中， A，B 分别是 OM，ON的中点，则 =x +y = x+ y （x，y∈R），则 x=，y=，故有 x+y=2，当 x=2，y=0 时有最小值，当 x=0，y=2 时，有最大值故范围为 []若 P 在暗影部分内（含界限），则∈应选： C．．11．【考点】双曲线的简单性质．【剖析】设P 为双曲线的右支上一点，由向量垂直的条件，运用勾股定理和双曲线的定义，可得 |PF1|+|PF2| ，|PF1| ?|PF2| ，再由三角形的面积公式，可得内切圆的半径，再由直角三角形的外接圆的半径即为斜边的一半，由条件联合离心率公式，计算即可获得所求值．【解答】解：设 P 为双曲线的右支上一点，=0，即为⊥，由勾股定理可得 |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2 ，①由双曲线的定义可得 |PF1| ﹣|PF2|=2a ，②①﹣②2，可得 |PF1| ?|PF2|=2 （c2﹣a2），可得 |PF1|+|PF2|=，由题意可得△ PF1F2的外接圆的半径为|F1F2|=c，设△ PF1F2的内切圆的半径为r ，可得|PF1| ?|PF2|=r （|PF1|+|PF2|+|F1F2|），解得r=（﹣ 2c），即有化简可得=8c2﹣ 4a2=（ 4+2，） c2，即有 c2=a2，则 e= == +1．应选： D．12．以以下列图，正方体 ABCD﹣A′B′C′ D′的棱长为 1，E，F 分别是棱AA′，CC′的中点，过直线 E，F 的平面分别与棱 BB′、 DD′交于 M，N，设BM=x， x∈ [0 ，1] ，给出以下四个命题：①平面 MENF⊥平面 BDD′B′；②当且仅当 x= 时，四边形 MENF的面积最小；③四边形MENF周长 L=f （ x），x∈[0 ，1] 是单调函数；④四棱锥 C′﹣ MENF的体积 V=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（）A．①④B．②C．③D．③④【考点】命题的真假判断与应用．【剖析】①利用面面垂直的判判断理去证明 EF⊥平面 BDD'B'．②四边形 MENF 的对角线 EF 是固定的，因此要使面积最小，则只需 MN的长度最小即可．③判断周长的变化状况．④求出四棱锥的体积，进行判断．【解答】解：①连结 BD，B'D' ，则由正方体的性质可知， EF⊥平面 BDD'B'，因此平面 MENF⊥平面 BDD'B'，因此①正确．②连结 MN，因为 EF⊥平面 BDD'B'，因此 EF⊥MN，四边形 MENF的对角线EF 是固定的，因此要使面积最小，则只需 MN的长度最小即可，此时当 M为棱的中点时，即 x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．因此②正确．③因为 EF⊥ MN，因此四边形 MENF是菱形．当 x∈[0 ，] 时，EM的长度由大变小．当 x∈[，1]时，EM的长度由小变大．因此函数L=f （x）不仅调．因此③错误．④连结 C'E， C'M，C'N，则四棱锥则切割为两个小三棱锥，它们以C'EF 为底，以 M，N 分别为极点的两个小棱锥．因为三角形C'EF 的面积是个常数． M，N 到平面 C'EF 的距离是个常数，因此四棱锥C' ﹣MENF的体积 V=h（x）为常函数，因此④正确．因此四个命题中③假命题．因此选 C．二. 填空题（ 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．双曲线﹣y2=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【剖析】确立双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．【解答】解：双曲线=1 中， a=，b=1，c=，∴焦距是 2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为： 2；y=±x．14．已知三棱锥 A﹣ BCD中，AB⊥面 BCD，△BCD为边长为 2 的正三角形，AB=2，则三棱锥的外接球体积为π．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【剖析】由已知联合三棱锥和正三棱柱的几何特色，可得此三棱锥外接球，r ，即为以△ BCD为底面以 AB为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径和球心距 d，可得球的半径R，即可求出三棱锥的外接球体积．答案为：π ．15．已知a=cosxdx ，则x（ x ﹣）7的张开式中的常数项是﹣128．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【剖析】利用微积分基本定理可得a，再利用二项式定理的通项公式即可得出答案为：﹣ 128．16．（填空题压轴题：观察函数的性质，字母运算等）设函数 f （x）的定义域为 D，假如存在正实数k，使对任意 x∈ D，都有 x+k∈D，且 f （x+k）＞ f （x）恒建立，则称函数 f （x）为 D上的“ k 型增函数”．已知 f （x）是定义在 R上的奇函数，且当 x＞0 时， f （x）=|x ﹣ a| ﹣2a，若 f （x）R 上的“ 2011 型增函数”，数【考点】奇偶性与性的合．【解答】解：∵ f （x）是定在a| 2a，a 的取范是R 上的奇函数，且当x＞0．， f （ x） =|x∴又 f （ x） R上的“ 2011 型增函数”，当 x＞ 0 ，由定有 |x+2011 a| 2a＞ |x a| 2a，即 |x+2011 a| ＞|xa| ，其几何意到点 a 小于到点 a 2011 的距离，因为 x＞0 故可知 a+a2011＜0 得 a＜当 x＜0 ，分两研究，若 x+2011＜0，有 |x+2011+a|+2a ＞|x+a|+2a ，即 |x+a| ＞|x+2011+a| ，其几何意表示到点 a 的距离小于到点 a 2011 的距离，因为 x＜0，故可得 a a 2011＞ 0，得 a＜；若 x+2011＞0，有 |x+2011 a| 2a＞ |x+a|+2a ，即 |x+a|+|x+2011 a| ＞4a，其几何意表示到到点 a 的距离与到点 a 2011 的距离的和大于 4a，当 a≤ 0 ，然建立，当 a＞0 ，因为 |x+a|+|x+2011+a|≥| a a+2011|=|2a 2011| ，故有 |2a 2011| ＞ 4a，必有 2011 2a＞ 4a，解得上， x∈ R 都建立的数 a 的取范是故答案：．三．解答17、【考点】数列与三角函数的合；正弦定理；余弦定理的用．【剖析】（Ⅰ）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，三角形的内角和，化求解即可．（Ⅱ）利用三角形的面以及余弦定理化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）明：由正弦定理得：即，∴sinB+sinA+sinBcosA+cosBsinA=3sinC ⋯∴s inB+sinA+sin （A+B）=3sinC∴s inB+sinA+sinC=3sinC ⋯∴s inB+sinA=2sinC∴a+b=2c⋯∴a，c，b 成等差数列．⋯（Ⅱ）∴ab=8⋯c2=a2+b22abcosC=a2+b2ab=（a+b）23ab=4c2 24．⋯∴c2=8 得⋯18．某校新、老校区之开程所需T，T 只与道路通状况有关，其容量 100 的本行，果以下：（Ⅰ）求 T 的分布列与数学希望ET；（Ⅱ）刘教授从老校区出，前去新校区做一个50 分的座，束后马上返回老校区，求刘教授从走开老校区到返回老校区共用不超120分的概率．【考点】失散型随机量的希望与方差；失散型随机量及其分布列．【剖析】（Ⅰ）求 T 的分布列即求出相的率，率 =数÷ 本容量，数学希望ET=25×0.2+30 × 0.3+35 ×0.4+40 ×0.1=32 （分）；（Ⅱ） T1，T2 分表示往、返所需，事件 A 于“刘教授内行程中的不超 70 分”，先求出 P（）=P（T1=35，T2=40）+P（T1=40，T2=35）+P（T1=40，T2=40）=0.09 ，即 P（A）=1 P（） =0.91 ．【解答】解（Ⅰ）由果可得 T 的率分布以率估概率得T 的分布列从而数学希望 ET=25× 0.2+30 ×0.3+35 ×0.4+40 ×0.1=32 （分）（Ⅱ） T1，T2 分表示往、返所需，T1，T2 的取互相独立，且与T 的分布列同样，设事件 A 表示“刘教授共用时间不超出120 分钟”，因为讲座时间为50 分钟，因此事件 A 对应于“刘教授内行程中的时间不超出70 分钟”P（）=P（T1+T2＞70）=P（T1=35，T2=40）+P（T1=40，T2=35）+P（T1=40，T2=40）=0.4 ×0.1+0.1 × 0.4+0.1 ×故 P（ A）=1﹣P（）故答案为：（Ⅰ）分布列如上表，数学希望ET=32（分钟）（Ⅱ）19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中， PC⊥底面 ABCD，底面 ABCD是直角梯形，AB⊥AD， AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，PE=2BE．（I ）求证：平面 EAC⊥平面 PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E 的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判断．【解答】（I ）证明：∵ PC⊥底面 ABCD， AC? 平面ABCD，∴PC⊥AC．∵AB=2，AD=CD=1，∴ AC=BC= ，∴ AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又 BC∩ PC=C，∴AC⊥平面 PBC，又 AC? 平面 EAC，∴平面 EAC⊥平面 PBC．（I I ）解：取 AB的中点 F，两角 CF，则 CF⊥ AB，以点 C 为原点，建立空间直角坐标系，可得： C（0，0， 0），A（1，1，0），B（1，﹣ 1，0），设 P（ 0，0，a）（a＞0），则 E，=（1，1，0），=（0，0，a），=，=0，取 =（1，﹣ 1，0），则∴为平面 PAC的法向量．设 =（x，y，z）为平面 EAC的法向量，则，即，取 =（a，﹣ a，﹣ 4），∵二面角 P﹣AC﹣E 的余弦值为，∴===，解得a=4，∴ =（4，﹣ 4，﹣ 4），=（ 1， 1，﹣ 4）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=||===，∴直线 PA与平面 EAC所成角的正弦值为．20．【考点】椭圆的简单性质．【解答】解：（I ）由题意知 e= =，a2﹣b2=c2，即又，可得 a2=4， b2=3，即有椭圆的方程为+=1；（I I ）设 A（x1，y1），B（x2，y2），则，因为以 PQ为直径的圆经过坐标原点，因此，即，由得（ 3+4k2） x2+8kmx+4（m2﹣ 3）=0，△=64m2k2﹣16（ 3+4k2）（m2﹣ 3）＞ 0，化为 3+4k2﹣m2＞0．x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（ kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2x1x2+km（ x1+x2）+m2 =k2?+km（﹣）+m2=，代入，即，得：，2m2﹣4k2=3，，O到直线 l 的距离为，△ABO的面积为，把 2m2﹣4k2=3 代入上式得．21．已知函数 f （x）=lnx ﹣x2+ax，（1）当 x∈（ 1，+∞）时，函数 f （x）为递减函数，求 a 的取值范围；（2）设 f' （x）是函数 f （x）的导函数， x1，x2 是函数 f （ x）的两个零点，且 x1＜ x2，求证（3）证明当 n≥2 时，．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【解答】（1）解：∵ x∈（ 1，+∞）时，函数 f （ x）为递减函数，∴f′（ x） = ﹣2x+a≤0 在（ 1，+∞）恒建立，即 a≤ 2x﹣恒建立，而 y=2x﹣在（1，+∞）递加，故 2x﹣＞ 1，故 a≤ 1；（2）证明：∵ f （x）的图象与 x 轴交于两个不同样的点A（x1， 0），B（x2，0），∴方程 lnx ﹣x2+ax=0 的两个根为 x1，x2，则 lnx1 ﹣+ax1=0，①， lnx2 ﹣+ax2=0，②，两式相减得 a=（x1+x2）﹣，又 f （ x）=lnx ﹣x2+ax，f ′（ x）= ﹣2x+a，则 f ′（）=﹣（x1+x2）+a=﹣，要证﹣＜0，即证明＞ln，令 t= ，∵ 0＜x1＜x2，∴ 0＜ t ＜ 1，即证明 u（t ）=+lnt ＜ 0 在 0＜t ＜1 上恒建立，∵u′（ t ） =，又 0＜ t ＜1，∴ u' （t ）＞ 0，∴u（t ）在（ 0， 1）上是增函数，则u（t ）＜ u（1）=0，从而知﹣＜0，故 f ′（）＜0建立；（3）明：令 a=1，由（ 1）得： f （x）在（ 1， +∞）减，∴f（x）=lnx x2+x≤f （1）=0，故 lnx≤x2 x，x＞1 ，＞，分令 x=2，3，4，5，⋯ n，故++⋯+＞++⋯+=1，∴++⋯+＞1，即左＞ 1＞1，得．[ 坐系与参数方程 ]22．（1）直 l M且与曲 C 相切，求直 l 的极坐方程；（2）点 N 与点 M关于 y 称，求曲 C上的点到点 N的距离的取范．【考点】参数方程化成一般方程；曲的极坐方程．【剖析】（ 1）直 l 的方程 y=k（ x 2） +2，曲 C的一般方程立消元，令判式等于0 求出 k，得出直角坐方程，再化极坐方程；（2）求出 N 到心的距离，即可得出最．【解答】解：（1）M 的直角坐（ 2， 2），曲 C 的一般方程（ x 1）2+y2=4．直 l 的方程 y=k（x 2）+2，立方程得（ 1+k2）x2+（ 4k 4k2 2） x+4k2 8k+1=0，∵直 l 与曲 C 相切，∴（ 4k 4k2 2）2 4（ 1+k2）（4k2 8k+1） =0，解得 k=0 或 k=．∴直 l 的方程 y=2 或 y= （ x 2） +2，即 4x+3y 8=0，∴直 l 的极坐方程ρ sin θ=2 或 4ρcosθ+3ρsin θ 8=0．（2）点 N 的坐 N（ 2， 2），C（1，0）．CN==，C的半径2．高三上学期周考数学理模拟试卷四∴曲线 C 上的点到点 N 的距离最大值为+2，最小值为﹣2．曲线 C 上的点到点 N 的距离的取值范围是 [﹣ 2，+2] ．[ 不等式选讲 ]23．已知 ? x0∈R使得关于 x 的不等式 |x ﹣1| ﹣|x ﹣ 2| ≥t 建立．（Ⅰ）求满足条件的实数t 会集 T；（Ⅱ）若 m＞1，n＞1，且关于 ? t ∈T，不等式 log3m?log3n ≥t 恒建立，试求 m+n的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【剖析】（Ⅰ）依据绝对值的几何意义求出 t 的范围即可；（Ⅱ）依据级别不等式的性质联合对数函数的性质求出 m+n的最小值即可．【解答】解：（I ）令 f （x）=|x ﹣1| ﹣|x ﹣2| ≥|x ﹣ 1﹣ x+2|=1 ≥t ，∴T=（﹣∞， 1] ；（Ⅱ）由（ I ）知，关于 ? t ∈T，不等式?≥ t恒建立，只需?≥tmax，因此?≥1，又因为 m＞1，n＞1，因此＞0，＞0，又 1≤?≤=（=时取“ =”），因此≥4，因此≥2，mn≥9，因此 m+n≥2≥6，即 m+n的最小值为 6（此时 m=n=3）．。

增城中学2016届高三数学（理科）每周一测（4）一．选择题：共12小题，每题5分，共60分。

1.集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；那么B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 102.将2名教师，4名学生分成2个小组，别离安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每一个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种3.下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 344.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右核心，P 为直线32ax =上一点， 21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，那么E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 455.已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，那么110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -76.若是执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，那么（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 别离是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数()D A 和B 别离是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，那么此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 188.等轴双曲线C 的中心在原点，核心在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；那么C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 89.已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递 减。

2021届第二学期高三年级理科数学周4测〔1〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分．在每个小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1．集合},1|{},3,2,0,1,2{2A x x y yB A ∈-==--=，那么B A 中元素的个数是 A ．2B ．3C ．4D ．52．i 是虚数单位，复数)(R a i a z ∈+=满足i z z 312-=+，那么=||z A ．2或者5B ．2或者5C ．5D ．53．设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,2(2),1,2(=+-=b a a ，那么=θcos A ．53-B ．53 C ．55D ．552-4．命题xx x p 23),,0(:>∞+∈∀；命题x x x q 23),0,(:>-∞∈∃，那么以下命题为真命题的是 A ．q p ∧B ．)(q p ⌝∧C ．q p ∧⌝)(D ．)()(q p ⌝∧⌝5．三棱锥的三视图如右图所示，那么它的外接球的外表积为 A ．π4 B ．π8 C ．π12D ．π166．数列}{},{n n b a 满足1++=n n n a a b ，那么“数列}{n a 为等 差数列〞是“数列}{n b 为等差数列〞的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件7．执行如下图的程序框图，那么输出的=a A ．1 B ．-1 C ．-4D ．25-8．在10)2(-x 展开式中，二项式系数的最大值为a ，含7x 项的系数为b ，那么=ab A ．2180 B ．8021C ．8021-D ．2180-9．R n m ∈、，假设关于实数x 的方程01)1(2=+++++n m x m x 的两个实根21x x 、满足1,1021><<x x ，那么mn的取值范围为 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,2B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,2C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,1D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,110．现有一半球形原料，假设通过切削将该原料加工成一正方体工件，那么所得工件体积与原料体积之比的最大值为A ．π36B ．π66C ．π823D ．π42311．O 为坐标原点，F 是双曲线)0,0(1:2222>>=-Γb a by a x 的左焦点，B A ,分别为 Γ的左、右顶点，P 为Γ上一点，且x PF ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，直线BM 与y 轴交于点N ，假设||2||ON OE =，那么Γ的离心率为 A ．3B ．2C ．23D ．34 12．函数2)ln()(x e e x f x x ++=-，那么使得)3()2(+>x f x f 成立的x 的取值范围是A ．)3,1(-B ．),3()3,(∞+--∞C ．)3,3(-D ．),3()1,(∞+--∞二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，满分是20分.13．曲线3x y =与x y =所围成的封闭图形的面积为 ．14．}{n a 是等比数列，24,21735=+=a a a ，那么7a = . 15．平行六面体''''D C B A ABCD -中，以A 为端点的三条棱长都等于2，且',,AA AB AD的夹角均为60°，那么'AC 长为____．16．21,x x 是函数m x x x f -+=2cos 2sin 2)(在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π内的两个零点，)sin(21x x += .三、解答题：本大题一一共16小题，满分是70分，解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．〔本小题满分是12分〕在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、．.cos 2cos sin cos cos 2B b A c A b B A a =--(1)求B ；(2)假设32,7==∆ABC S a b ，求a .18．〔本小题满分是12分〕2021年底，某污水治理改建工程已经根本完成，为理解民对该工程的满意度，对该民进展随机抽样，让民对该工程进展评分〔满分是100分〕，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：满意度等级为根本满意的有680人。