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高中数学人教A版必修第二册复数乘除运算的三角表示及其几何意义优质课件

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人教A版(新教材)高中数学第二册课件：复数的三角表示式 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

人教A版(新教材)高中数学第二册课件：复数的三角表示式 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

4.复数三角形式的除法
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的__商___，商的辐角等于
被除数的辐角减去除数的辐角所得的__差___.
r1（cos r2（cos
θ1＋isin θ2＋isin
θθ12） ）＝__rr_12_[c_o_s_(_θ_1－__θ_2_)_＋__is_i_n_(θ_1_－__θ_2_)]___.
2.将复数 i 对应的向量O→N绕原点按逆时针方向旋转π3，得到向量O→M，则O→M对应的复
数是( )
A. 23＋12i
B.－ 23＋12i
C.－ 23－12i
D. 23－12i
解析
i＝cos
π2＋isin
π2，将O→N绕原点按逆时针方向旋转π3得到O→M＝cos
56π＋isin
5π 6
＝－ 23＋12i. 答案 B
教材拓展补遗 [微判断] 1.任何一个不为零的复数的辐角有无限多个.( √ ) 2.复数0的辐角是任意的.( √ ) 3.复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式可以转化为代数形式.(的辐角主值为( )
π
π
A.6
B.3
π
π
C.4
D.2
解析 因为复数 1＋i 对应的点在第一象限，所以 arg(1＋i)＝π4. 答案 C
题型一 复数的代数形式化为三角形式
【例1】 将下列复数代数式化成三角形式： (1) 3＋i；(2)1－i.
解 (1)r＝ （ 3）2＋12＝2，所以 cos θ＝ 23，对应的点在第一象限，所以 arg( 3＋i)
＝π6，所以
3＋i＝2cos
π6＋isin
π 6.
(2)r＝ 12＋（－1）2＝ 2，所以 cos θ＝ 22，对应的点在第四象限，所以 arg(1－i)

人教A版必修第二册7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义课件

人教A版必修第二册7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义课件

课后作业
请完成《7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义》的 课后作业
1.计算： 2.计算：
2(cos 240 i sin 240 ) 3 (cos 60 i sin 60 ) 2
3(cos150 i sin150 ) [ 2(cos 225 i sin 225 )]
答案1. 6 3 2 i 44
答案2.3 3 3 3 i
4
4
提示： sin 75 sin(45 30 ) 6 2
是复数1 i与 z0 的积，其中复数z0的模是1，辐角
主值是 120.
例2 如图，向量OZ 对应的复数为1 i,把 OZ绕点O 按逆时针方向旋转120 ，得
到 OZ '。求向量OZ ' 对应的复数. (用代数情势表示)
解：向量 OZ ' 对应的复数为
(1 i)(cos120 i sin120 )
4
4
22
2 2 2i 22
2( 2 2 i)
22
( 2 2 i)( 2 2 i)
22
22
2 2i
方法二 化为三角情势进行运算
2 (cos i sin ) 2(cos 0 i sin 0) (cos i sin )
4
4
4
4
2cos(
4
)
i
sin(
4
)
2 2i
巩固练习（课本89页练习1（3）、2(2)）
r1 r2
[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
当然，也可以这样理解
z1 r1(cos1 i sin1)，z2 r2 (cos2 i sin2 ) ，且 z2 0
z1 r1(cos1 i sin1) z2 r2 (cos2 i sin2 )

高中数学人教A版(2019)必修(第二册)课件7.3.1复数的三角表示式(共16张PPT)

高中数学人教A版(2019)必修(第二册)课件7.3.1复数的三角表示式(共16张PPT)

6
6
6
对应的向量如图所示， 所以
6(cos 11 i sin 11 )=6cos 11 (6sin 11 )i
6
6
6
6
=6 3 +6 （- 1）i
2
2
=3 3-3i
y
11 6
O
x 6
子默数学
z a bi =r(cos i sin )
例3.下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.
复数的辐角
子默数学
例如：arg1 0
arg i
2 arg（-1）
arg（-i） 3
2
arg（1+i）
4
arg（-1+ 3i） 2
3
arg（- 3-i） 7
6
子默数学
z a bi =r(cos i sin )
例1.画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：
(1) 1 3 i;
新人教A版必修二
7.3.1复数的三角表示式
子默数学
新课引入
复数 z a bi(a,b R)
复数z=a+bi
y
b
Z:a+bi
一一对应
复平面内的点（a,b） 平面向量OZ=(a,b)
Oa
x 借助复数的几何意义，
复数能不能用其他形式来表示呢?
子默数学
向量两要素： 大小 、方向
y
b
Z:a+bi
r
Oa
x
子默数学
z a bi =r(cos i sin )
例1.画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：
(1) 1 3 i;

人教A版高中数学必修第二册精品课件 第7章 复数 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

人教A版高中数学必修第二册精品课件 第7章 复数 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义



+



+

.故选
D.


答案:(1)A (2)D



+


=3i.
二、复数三角形式的乘法、除法的几何意义
复数 z1,z2 对应的向量分别为 , ,
(1)复数乘法的几何意义:
两个复数 z1,z2 相乘时,如图,把向量绕点 O 按逆时针方向旋
+isin
),则 为(





B.4 +


D.4 +


)


解析:(1)z1z2= ×6[cos +




+isin( + )]=3


故选 A.

(2)

=
=4
=4
( + )


+
=60(cos 150°+isin 150°)
=60 -

+


=-30 +30i.



(3)(方法一)复数-1+i 的模 r= ,cos θ=- ,sin θ= ,故 θ= .




原式= (cos +isin )[ (cos +isin )]



=4 - + =4
-



(方法二)原式=2i÷
=8i

--

复数的三角表示式复数乘除运算的三角表示及其几何意义【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件

复数的三角表示式复数乘除运算的三角表示及其几何意义【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件

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第七章 复数
(2)由 a＝0，b＝－4<0，知
r＝ 02＋－42＝4，arg z2＝32π，
因此复数 z2＝－4i 的三角形式为
z2＝4cos
32π＋isin
32π.
数学（必修·第二册RJA）
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第七章 复数
数学（必修·第二册RJA）
题型二 将复数的三角形式化为代数形式 典例 2 将下列复数表示成代数形式：
1 复数三角形式的乘法运算
(2)决定辐角所在的象限；
2
12
12
[分析] 将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出数值即可.
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第七章 复数
数学（必修·第二册RJA）
知识点4 复数三角形式的除法 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的__商___，
商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的__差___.
数学（必修·第二册RJA）
[归纳提升] 将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数 三角形式z＝r(cos A＋isin A)，代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部， 虚部等于虚部，即x＝rcos A，y＝rsin A.
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第七章 复数
数学（必修·第二册RJA）
【对点练习】❷ __1_－__i__.
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第七章 复数
数学（必修·第二册RJA）
知识点2 辐角主值 求辐角主值时的常见误区
[分析] 根据复数三角形式的除法法则进行.
将复数的三角形式化为代数形式
复数三角形式的除法运算
规 定 在 __0_≤__θ_<_2_π___ 范 围 内 的 辐 角 θ 的 值 为 辐 角 的 主 值 ， 通 常 记 作 2．类比三角函数的单位圆定义体会复数三角表示的特征.

人教A版数学必修第二册7_3_2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义课件

人教A版数学必修第二册7_3_2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义课件





π
5π
π
5π
原式＝ 6cos12＋ 6 ＋isin12＋ 6

11π
11π
＝ 6cos 12 ＋isin 12



6
(2)3 cos + isin

6
⋅ 7 cos
3
4
+ isin

π 3π
π 3π



原式＝21cos6＋ 4 ＋isin6＋ 4
→
→
－4＋4i
向量OZ1，那么与OZ1对应的复数是________.

→
π
π
OZ＝4i＝4cos2＋isin2，



π π
π π
→
OZ1＝4 2cos2＋4＋isin2＋4


＝4 2－


2
2

＋
2
2 i
＝－4＋4i.



活学活用
2.计算(1＋ 3 i)6.
知识点一 复数三角情势的乘法
设z1，z2的三角情势分别是：
z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，
z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，
r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)
r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]
则z1z2＝_____________________________＝___________________________，





11π
11π
＝2cos 4 ＋isin 4 ＝－ 2＋ 2i

数学人教A版必修第二册7.2.2复数的乘、除法运算及几何意义课件

=ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i 而z2·z1= (c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(ad+bc)I
所以 z1·z2=z2·z1 (z1·z2)·z3= z1·(z2·z3)
z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3
(交换律) (结合律)
重点难点
ZHONGDIXXXNDIAN
1、复数代数情势的乘、除法的运算法则及其运算律。(重点).
2、复数除法的运算法则.(难点).
1
PART ONE
研学引导
知识点一 复数的乘法运算
一、复数代数情势的乘法运算法则
我们规定，复数乘法法则如下： 设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为： (a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2 = ac+adi+bci-bd
通过以上探究，我们知道，两个复数的积仍然是一个复数，且唯一确定， 运算中与实数的乘法法则保持一致，类似于两个多项式相乘
知识点一 复数的乘法运算
问题2 复数的加法满足实数运算中的运算律，那么，复数的乘法是 否满足实数乘法的交换律、结合律、分配律呢？
对任意复数z1=a+bi,z2=c+di 则z1·z2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2
（2） (1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.
例5： 计算(1＋2i)÷(3－4i).

复数乘除运算的三角表示及其几何意义【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件

1.复数三角形式的乘法运算
两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复
数的辐角的和,即
r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].
2.复数乘法运算的三角表示的几何意义
复数 z1,z2 对应的向量为1 ,2 ,把向量1 绕点 O 按 逆时针方
果化成代数形式.
【跟踪训练】
π
6
π
6
3
4
2π
3
2π
3
1.已知复数 z1=2 cos +isin ,z2= cos +isin
结果化为代数形式.
π
6
π
6
3
4
2π
3
2π
3
解:z1z2=2（cos +isin ）·（cos +isin ）
3
π 2π
π 2π
=2× [cos( + )+isin( + )]
π
π
3(cos +isin )]
3
3
课堂建构
π
π
+isin
12
12
cos
5π
5π
+isin
12
12
的值,并把结果化
5π
12
6π
6π
+isin =
12
12
为代数形式.
π
12
π
12
5π
12
解:（cos +isin ）（cos +isin ）=cos

2022-2023学年人教A版必修第二册 7-3 复数的三角表示 课件(36张)


13π
cos
6
13
+ isin π
6
.
知识点3 复数三角形式除法法则与几何意义
1.设 z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且
r1
r2
[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]
z1
z2≠0,则z
2
=
r 1 ( θ 1 + θ 1 )
(3)模长 r= (-3)2 + (-3)2 =3 2,设辐角为 θ,tan θ=1 且(-3,-3)在第三象限,所以
5
arg(-3-3i)= π,-3-3i=3
4
2
5
cos π +
4
5
isin π
4
.
(4)模长 r= (-1)2 + ( 3)2 =2,设辐角为 θ,tan θ=- 3且(-1, 3)在第二象限,所以
r 2 ( θ 2 + θ 2 )
.
这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,
商的辐角等于 被除数的辐角 减去 除数的辐角 所得的差.
=
2.复数除法的几何意义
两个复数 z1,z2 相除时,先分别画出与 z1,z2 对应的向量OZ1 , OZ2 ,然后把向量OZ1
△OZ1Z2 的形状.
解
1
∵
2
=
1+2 3i
7+ 3i
=
(1+2 3i)(7- 3i)
(7+ 3i)(7- 3i)
π
|1 |
∴∠Z2OZ1= ,且
3

复数的三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义 课件(2)-人教A版高中数学必修第二册




，再将其长度伸长为原来的 2 倍，这样得到一个长度为 3，辐角为 的向量 OZ
3
2
（如图）. OZ 即为积 z1 z2 3i 所对应的向量.
解题技巧(复数的三角形式乘法运算的注意事项)
两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复
数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和。简单的
说，两个复数三角形式相乘的法则为：模数相乘，幅角
题。
知识清单
1、复数三角形式的乘法及其几何意义
Z 2的三角形式分别是：
设 Z1 、
Z1 r1 (cos 1 i sin 1 )
Z 2 r2 (cos 2 i sin 2 )
则
Z1 Z 2 r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 )

[cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )]
Z 2 r2 (cos 2 i sin 2 ) r2
两个复数相除,商还是一个复数,它的模等于被除数的模除以除数的模,它
的幅角等于被除数的辐角减去除数的辐角。简单的说切记两个复数三角
形式除法运算法则：
模数相除,幅角相减

3
i sin

2
2


2
3
cos

i
sin



3
3
3

2
2
6 cos

isin


6(cos i sin ) 6 .
3 3
3 3




1 1
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y
Z
θ1+θ2 Z2
θ2
Z1
θ1
O
x
你能解释i2=-1和（-1）2=1的
几何意义吗？
子默数学
高中数学人教A版（2019）必修（第二 册）7. 3.2复 数乘除 运算的 三角表 示及其 几何意 义课件( 共14张 PPT)
例3
已知z1
3 2
(cos
6
i
sin
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
),
z2
2(cos
3
i
sin
3
),
求z1z2 ,请把结果化为代数形式，并作出几何解释.
子默数学
高中数学人教A版（2019）必修（第二 册）7. 3.2复 数乘除 运算的 三角表 示及其 几何意 义课件( 共14张 PPT)
探究：复数的除法运算是乘法运算的逆运算，根据复数乘法运算的三角表示， 你能得出复数的除法运算的三角表示吗？
设z1 r1(cos1 i sin1 ), z2 r2(cos2 i sin2 ), 且z1 z2 ,因为
高中数学人教A版（2019）必修（第二 册）7. 3.2复 数乘除 运算的 三角表 示及其 几何意 义课件( 共14张 PPT)
子默数学
高中数学人教A版（2019）必修（第二 册）7. 3.2复 数乘除 运算的 三角表 示及其 几何意 义课件( 共14张 PPT)
例4 如图，向量OZ对应的复数为1+i,把OZ绕点O按逆时针方向旋转1200，
得到的长度为3，辐角为
2
的向量OZ对应的复数即为z1z2
.
子默数学
高中数学人教A版（2019）必修（第二 册）7. 3.2复 数乘除 运算的 三角表 示及其 几何意 义课件( 共14张 PPT)
高中数学人教A版（2019）必修（第二 册）7. 3.2复 数乘除 运算的 三角表 示及其 几何意 义课件( 共14张 PPT)
模相乘，辐角相加
子默数学
复数乘法法则
两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复 数辐角的和.
即 r1(cos1 i sin1) r2(cos2 i sin2 ) r1r2[co（s 1 +2） i sin(1 2 )]
模相乘，辐角相加
子默数学
高中数学人教A版（2019）必修（第二 册）7. 3.2复 数乘除 运算的 三角表 示及其 几何意 义课件( 共14张 PPT)
z2 r2(cos2 i sin2 ),你能计算z1z2并将结果表示成三角形式吗？ z1z2 r1(cos1 i sin1 ) r2(cos2 i sin2 ) r1r2(cos1 i sin1)(cos2 i sin2 )
r1r2[(cos1 cos2 sin1 sin2 ) i(sin1 cos2 cos1 sin2 )] r1r2[co（s 1 +2） i sin(1 2 )] 即 r1(cos1 i sin1) r2(cos2 i sin2 ) r1r2[co（s 1 +2） i sin(1 2 )]
新人教A版必修二
7.3.2复数乘除运算的三角 表示及其几何意义
子默数学
温故而知新
z a bi =r(cos i sin )
y
b
Z:a+bi
r
Oa
r
x
复数z的模. 以x轴的非负半轴为始边，射线OZ为终边的角.
复数的辐角
子默数学
思考： 如果把复数z1, z2分别写成三角形式z1 r1(cos1 i sin1 ),
例如
（8 cos 4 +isin 4 ） 4(cos 5 +isin 5 )
3
3
6
6
=8 4[cos（4 + 5 ）+isin( 4 + 5 ）]
36
36
=32（cos 13 +isin 13 ）
6
6
=32（cos +isin ）
6
6
=16 3+16i
高中数学人教A版（2019）必修（第二 册）7. 3.2复 数乘除 运算的 三角表 示及其 几何意 义课件( 共14张 PPT)
z1 r1(cos1 i sin1), z2 r2(cos2 i sin2 ), z1z2 r1r2[co（s 1 +2） i sin(1 2 )]
z1乘以z2的几何意义：
z1对应的向量OZ1逆时针旋转角2，
再把它的模变为原来的r2倍， 得到的向量OZ对应的复数就是积z1z2 .
高中数学人教A版（2019）必修（第二 册）7. 3.2复 数乘除 运算的 三角表 示及其 几何意 义课件( 共14张 PPT)
r2(cos2 i sin2 )
r1 r2
即 r1(cos1 i sin1) r2(cos2 i sin2 ) r1r2[co（s 1 +2） i sin(1 2 )]
模相乘，辐角相加
子默数学
高中数学人教A版（2019）必修（第二 册）7. 3.2复 数乘除 运算的 三角表 示及其 几何意 义课件( 共14张 PPT)
探究：由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？
跟踪练习：
（ 2 cos
3
+isin
3
） 2
解： 原式= （2 cos +isin ） （2 cos +isin ）
3
3
3
3
= 2 2[cos（ + ）+isin（ + ）]
33
33
=2(cos 2 +isin 2 )
3
3
=2( 1 + 3 i) 22
= 1+ 3i
z r(cos i sin ), n N *. zn r n (cos n i sin n )
得到OZ，求向量OZ对应的复数（用代数形式表示）.
解：向量OZ对应的复数为
（1+i）(cos1200 +isin1200 ) =（1+i）(- 1 + 3 i)
22 =- 1 - 3 +（- 1 + 3 ）i
22 2 2
y
Z
1
O
Z 1x
= -1- 3 + 3-1i
2
2
高中数学人教A版（2019）必修（第二 册）7. 3.2复 数乘除 运算的 三角表 示及其 几何意 义课件( 共14张 PPT)
解：
z1z2
3 (cos
26
i sin
6
) 2(cos
3
i sin ),
3
y Z
3 2[co（s + ） i sin（ + ）]
Z2
2
63
63
=（3 cos
i sin
）
2
2
=3i.
3
Z1
O
6
x
首先做出与z1z2对应的向当量不O要Z求1， 把O计Z算2，结果化
把向量OZ1绕点O按逆时为针代用方数三形向角式旋形时式转，表也3示可，再以 将其长度变为原来的2倍，