2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册课件：7.1.2 复数的几何意义

B．线段
C．2 个点
D．2 个圆
【解析】 (1)由题意得 a2＋22< （－2）2＋12，即 a2＋4< 5 (a∈R)，所以－1<a<1. (2)由题意知(|z|－3)(|z|＋1)＝0， 即|z|＝3 或|z|＝－1， 因为|z|≥0，所以|z|＝3， 所以复数 z 在复平面内对应点的集合是 1 个圆． 【答案】 (1)A (2)A
1．已知平面直角坐标系中 O 是原点，向量O→A，O→B对应的复数
分别为 2－3i，－3＋2i，那么向量B→A对应的复数是( )
A．－5＋5i
B．5－5i
C．5＋5i
D．－5－5i
解析：选 B.向量O→A，O→B对应的复数分别记作 z1＝2－3i，z2＝ －3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量O→A＝(2， －3)，O→B＝(－3，2)． 由向量减法的坐标运算可得向量B→A＝O→A－O→B＝(2＋3，－3－ 2)＝(5，－5)， 根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量B→A对应的复数是 5－5i.
【解】 (1)若 z 对应的点在实轴上，则有 2a－1＝0，解得 a＝12. (2)若 z 对应的点在第三象限，则有 a22a－－11<<00，，解得－1<a<12. 故 a 的取值范围是－1，12.
[变条件]本例中复数 z 不变，若点 Z 在抛物线 y2＝4x 上，求 a 的值． 解：若 z 对应的点(a2－1，2a－1)在抛物线 y2＝4x 上，则有(2a－1)2 ＝4(a2－1)，即 4a2－4a＋1＝4a2－4，解得 a＝54.
利用复数与点的对应解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数 z＝a＋bi(a，b∈R)可以 用复平面内的点 Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据． (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通 过解方程(组)或不等式(组)求解．

应关系 复数 z=a+bi
这是复数的一种几何意义.
5.(1)已知复数z=i,则复平面内z对应的点Z的坐标为(
)
A.(0,1)
B.(1,0)
C.(0,0)
D.(1,1)
(2)若=(0,-3),则对应的复数为(
A.0
B.-3
C.-3i
)
D.3
解析:(1)因为复数z=i的实部为0,虚部为1,所以对应点的坐标
为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复
平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向
量之间的转化.
【变式训练 2】 在复平面内作出下列复数对应的向量:


z1=1-i;z2=- + i;z3=-2;z4=2+2i.



解:在复平面内分别作出点 Z1(1,-1),Z2 - ,
为(0,1).故选A.
(2)由=(0,-3),得点 Z 的坐标为(0,-3),
所以对应的复数为 0-3i=-3i.故选 C.
答案:(1)A (2)C
二、复数的模
1.我们知道,两个复数不一定能比较大小,若两个复数是实数,
则可以比较大小;若两个复数是虚数,则不能比较大小.与这两
个复数对应的向量的模能比较大小吗?
- < ,
(2)因为复数 z 在复平面上对应的点(m-3,2 )在直线 y=x 上,
所以 m-3=2 ,即 m-2 -3=0,
解得 m=9.
答案:(1)A (2)9
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用

一一对应关系，可得向量 OA = 2, −3 ， OB = −3,2 .由向量减法的坐标运算可得向
量BA = OA − OB = 2 + 3, −3 − 2 = 5, −5 ，根据复数与复平面内的点一一对应关
系，可得向量 BA 对应的复数是 5 − 5i .
反思感悟
方法总结
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终
第七章 复数
7.1复数的概念
课时2 复数的几何意义
探究一：复数的几何意义
情境设置
问题1：高斯认为复数 =+ (,∈) 与有序实数对 (,) 之间有什么对应关系?
【解析】：一一对应关系.
问题2：有序实数对(,)与平面直角坐标系内的点有怎样的对应关系?
【解析】：一一对应关系.
新知生成
探究三：共轭复数
情境设置
小明在复平面内作出复数z1 = 2 + 3和复数 z2 = 2 − 3，如图所示.
问题：两小明画的正确吗? OZ1 和 OZ2 之间有什么关系? z 与 z
的模之间有什么关系?
【解析】：正确，关于 轴对称. ||ҧ = ||.
新知生成
知识点三 共轭复数
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为
z = −1 + 2i ，所以 z = −1 − 2i .
反思感悟
方法总结
设出复数，由题意建立方程，解方程即可得结论.方程思想是解决本题的
关键，此外熟记模的概念.
新知运用
跟踪训练4 已知复数 z = m − 1 m + 2 + m − 1 (m ∈ R ， 为虚数单位) ，若 z
是纯虚数，求z.

方法总结
复数模的计算
(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再
利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但
它们的模可以比较大小．
(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问
题求解．
跟踪训练
3 3
− ,
2 2
1．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是__________．
②因为||＝ 2 ，||＝2 2 ，||＝ 10 ，
所以||2＋||2＝||2，
所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
反思感悟
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，
向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定
因为点Z在直线x＋y＋7＝0上，
2 −−6
所以
＋a2－2a－15＋7＝0，
+3
即a3＋2a2－15a－30＝0，
所以(a＋2)(a2－15)＝0，
故a＝－2或a＝± 15.
所以a＝－2或a＝± 15时，点Z在直线x＋y＋7＝0上.
题型二
[例2] 已知复数z1＝ 3
复数的模
1
3
＋i，z2＝－ ＋ i.
变式1 复数z＝
2 −−6
＋(a2－2a－15)i(a∈R)表示的点在x轴上时，
+3
求实数a的值．
点Z在x轴上，
所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，
所以a＝5.
故a＝5时，点Z在x轴上．
变式2 复数z＝
2 −−6
＋(a2－2a－15)i(a∈R)表示的点Z在直线
+3

2.当2 <m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于
3
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D 解析 ∵23<m<1，
∴0<3m－2<1，m－1<0，
∴复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于第四象限.
→ 3.在复平面内，O 为原点，向量OA对应的复数为－1＋2i，若点 A 关于直线
→
→
所以BA＝(1,7)，BC＝(2,3)，
→→→
→
由平行四边形的性质得BD＝BA＋BC＝(3,10)，而OB＝(0，－3)，于是 D(3,7).
反思感悟
→ (1)若复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则复数z在复平面内对应的向量OZ ＝(a，b).
(2)复平面内向量的对应的复数可以通过向量的坐标运算求得.
由图可知－ 7<a< 7.
反思感悟
解决复数模的问题，通常先设出复数的代数情势a＋bi(a，b∈R)，然后利用模的定义将复数模的 条件转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想.
随堂小测
1.在复平面内，复数z＝i－2对应的点位于 A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
B解析 z＝i－2＝－2＋i对应的点为(－2,1)在第二象限.
bi|
.由模的
易错辨析
1.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.( √ ) 2.在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.( × ) 3.若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.×( ) 4.复数的模一定为正实数.( × )
典例剖析
一、 复数与复平面内的点对应

2.在复平面内,复数z=1-i对应的点的坐标为 ( )
A.(1,i)
B.(1,-i)
C.(1,1)
D.(1,-1)
【解析】选D.复数z=1-i的实部为1,虚部为-1,故其对应的点的坐标为(1,-1).
3.(教材二次开发:例题改编)已知复数z=1+2i(i是虚数单位),则
|z|=
.Hale Waihona Puke 【解析】因为z=1+2i,所以|z|= 12 =22 . 5 答案: 5
关键能力·合作学习
类型一 复数与复平面上点的对应关系(直观想象)
【题组训练】
1.复数z=cos θ+isin θ(i为虚数单位)其中θ∈ (, 3 ) ,则复数z在复平面上
2
所对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.复数z1=1+ 3i和z2=1- 3i在复平面内的对应点关于 ( ) A.实轴对称 B.一、三象限的角平分线对称 C.虚轴对称 D.二、四象限的角平分线对称
【补偿训练】 求当实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i 在复平面内的对应点分别 满足下列条件: (1)位于第四象限;(2)位于x轴的负半轴上.
类型二 复数与向量的对应关系(数学抽象)
【典例】1.在复平面内,O为原点,向量 OA 表示的复数为-1+2i,若点A关于直线
y=-x的对称点为B,则向量 OB 表示的复数为
()
A.-2-i
B.1+2i
C.-2+i
D.-1+2i
2.在复平面内,把复数 3
3i对应的向量按顺时针方向旋转

解析 答案
2．(多选)若复数 z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i 对应的点 Z 在虚轴上，则 a
的值可以是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析 由点 Z 在虚轴上可知，点 Z 对应的复数是纯虚数和 0，∴a2－2a
＝0，解得 a＝2 或 a＝0.故选 AC.
解析 答案
3．若复数 z1＝2＋bi 与复数 z2＝a－4i 互为共轭复数，则 a＝_____2_____， b＝_____4_____.
(1)由题意得 m2－m－2＝0，解得 m＝2 或 m＝－1.
(2)由题意得mm22－ －m3m－＋2<2>00，， ∴－ m>12<或m<m2<，1， ∴－1<m<1. (3)由已知得 m2－m－2＝m2－3m＋2，∴m＝2.
解
复数集与复平面内所有的点组成的集合之间存在着一一对应关系．每 一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部对应着有序实数对的横坐 标，而虚部则对应着有序实数对的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序 实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
[跟踪训练 3] 设 z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数 z 对应的 点 Z 的集合是什么图形？
(1)1<|z|<2；(2)|z－i|<1. 解 (1)根据复数模的几何意义可知， 复数 z 对应的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，1 和 2 为半径的两圆所夹 的圆环，不包括圆环的边界． (2)根据模的几何意义，|z－i|＝1 表示复数 z 对应的点到复数 i 对应的点 (0,1)的距离为 1. ∴满足|z－i|＜1 的点 Z 的集合为以(0,1)为圆心，1 为半径的圆内的部分 (不含圆的边界)．

回顾实数的几何意义：实数与数轴上的点 一一对应 ，实数可以用数轴上的 点
来表示.
2．思考：类比实数的几何意义，复数 a bi (a, b R ) 有什么几何意义呢?
3．发现：任何一个复数 z a bi 都与一个有序实数对
(a, b) 一一对应，
y
b
有序实数对 ( a, b) 与平面直角坐标系中的点 Z ( a, b) 是一一对应的，复数集与平面直角
例 2．设 z C ，在复平面内 z 对应的点为 Z ，那么满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形?
（1） | z | 1
y
（2） 1 | z | 2
解：
（1）由 | z | 1 得， | OZ | 1 ，所以满足条件 | z | 1 的点 Z
的集合是以原点 O 为圆心，以 1 为半径的圆.
（1）在复平面内画出复数 z1，z2 对应的点和向量；
Z1 (4,3)
（2）求复数 z1，z2 的模，并比较它们的模的大小.
解：（1）如图， z1 , z2 对应于点 Z1 (4,3), Z 2 (4, 3) ，
Z 2 (4, 3)
对应于向量 OZ1 , OZ2 .
（2）由已知 | z1 || 4 3i | 5,| z2 || 4 3i | 5, ，所以 | z1 || z2 | .
2
2
达标练习【练】
1. 下列复数 z 的模大于 3，且对应的点位于第三象限的为( D )
A. z 2 i
B. z 2 3i
C. z 3 2i
D. z 3 2i
2. 复数 z (a 2a) (a a 2)i (a R) 对应的点在虚轴上，则( D )
2

l
是圆|| = 1外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解
集，也就是满足条件1 < || < 2的点的集合.容易看出，所求的集合是以原点为
圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界.
练习
题型一：复数与复平面内点的关系
例1.求实数分别取何值时，复数 =
2.复数的几何意义
一一对应
复数 = + 复平面内的点(, ).
一一对应
复数 = + 平面向量.
课堂小结
3.复数的模
(1)定义：向量的模叫做复数 = + 的模或绝对值.
(2)记法：记作||或| + |.即|| = | + | = 2 + 2 ，其中， ∈ .
或不等式(组)求解.
练习
变1.求实数分别取何值时，复数 =
2 −−6
+3
+ (2 − 2 − 15)( ∈ )对
应的点满足下列条件：
(1)求复数表示的点在轴上时，实数的值；
(2)如果点在直线 + + 7 = 0上，求实数的值.
解(1)：因为点在轴上，所以2 − 2 − 15 = 0且 + 3 ≠ 0，
新知探索
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复
l
数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数的共轭复数用表示，即如果
ҧ
= + ，那么ҧ = − .
思考3：若1
2 是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系？
例析
例3.设 ∈ ，在复平面内对应的点为，那么满足下列条件的点的集合是什么图