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复数几何意义PPT教学课件

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02
复数的应用
Chapter
电路分析中的应用
电路分析中，复数是一种常用的数学工具，用于描述交 流电路中的电压、电流和阻抗等参数。
通过使用复数表示，可以简化计算过程，方便分析和设 计电路。
复数在交流电路分析中的应用包括计算交流阻抗、交流 功率和交流电流等。
信号处理中的应用
在信号处理中，复数常用于表示和处 理信号，如频谱分析和滤波器设计等 。
复数在信号处理中的应用还包括数字 滤波器设计和数字信号处理算法的实 现等。
通过将信号表示为复数形式，可以方 便地进行信号的频域分析和处理，如 傅里叶变换和离散余弦变换等。
控制系统中的应用
在控制系统中，复数常用于描 述系统的传递函数和稳定性等 特性。
通过使用复数表示，可以方便 地分析系统的频率响应和稳定 性，以及设计控制系统的参数 。
实例
$2(cos frac{pi}{3} + i sin frac{pi}{3}) + 1(cos frac{pi}{4} + i sin frac{pi}{4}) = sqrt{3}(cos frac{7pi}{12} + i sin frac{7pi}{12})$。
指数形式的计算
定义
复数指数形式是 $re^{itheta}$，其中 $r$ 是模长，$theta$ 是辐角 。
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目录
• 复数的基本概念 • 复数的应用 • 复数的计算方法 • 复数的历史发展 • 复数的扩展知识
01
复数的基本概念
Chapter
复数的定义
总结词
复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i 是虚数单位。

3.1.2复数的几何意义PPT课件

3.1.2复数的几何意义PPT课件

-2
Z2:2-2i
2021
x
20
例题2
已知某个平行四边形的三个顶 点所对应的复数分别为2，4+2i， -2+4i，求第四个顶点对应的复数.
自己动动手
2021
21
解： y
4
-2
O2 4
x
答案：6i或-4+2i或8-2i
2021
22
扩展题
求下列复数的模：
(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i
(简称复平面)
oa
x
x轴------实轴 y轴------虚轴
复数z=a+bi用点Z(a,b)表示.
2021
8
观察
实轴上的点都表示实数；虚
轴上的点都表示纯虚数，除原点 外，因为原点表示实数0.
复数z=a+bi用点Z(a,b)表示. 复平面内的点Z的坐标是(a,b),而 不是(a, bi),即复平面内的纵坐标 轴上的单位长度是1，而不是i.
（1）i; （2）2-2i; （3）(2+i) ×i; （4）i-1；
2021
18
解： y
(2+i) ×i
4
i-1
2
1
-2 -1 O 2
-2
(2+i) ×i 转化为 -1+2i
i i2 = -1
4
x
2-2i
注意
2021
19
解： y
4
Z3:(2+i) ×i 2 Z4:i-1 1 Z1:i
-2 -1 O 2 4
2021
13
可用下图表示出他们彼此的关系.
复数z=a+bi

复数的几何意义 课件

复数的几何意义 课件

所以B→A＝(5，－5)，所以向量B→A对应的复数是 5－5i.
答案：D
归纳升华 解答此类题目的一般思路是先写出向量或点的坐标， 再根据向量的运算求出所求向量的坐标，从而求出向量所 表示的复数．
类型 3 复数的模(互动探究) [典例❸] (1)已知复数 z 满足 z＋|z|＝2＋8i，求复数
z. (2)已知复数 z＝3＋ai(a 为实数)，且|z|<4，求 a 的取
类型 1 复数与复平面上的点(自主研析)
[典例 1] (1)复数 z＝cos 23π＋isin π3在复平面内对应
的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)已知复数 z＝x＋1＋(y－1)i 在复平面内的对应点
位于第二象限，则点(x，y)所表示的平面区域是( )
A
B
C
D
(3)在复平面内，复数 6＋5i，－2＋3i 对应的点分别
值范围．
解：(1)法一 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝ a2＋b2，
代入方程得 a＋bi＋ a2＋b2＝2＋8i，
所
以a＋ a2＋b2＝2，解 b＝8，
得ab＝＝－8，15，
所以
z＝－
15＋8i.
法二 原式可化为 z＝2－|z|＋8i. 所以|z|＝ （2－|z|）2＋82，即|z|2＝68－4|z|＋|z|2， 所以|z|＝17. 代入 z＝2－|z|＋8i，得 z＝－15＋8i. (2)因为 z＝3＋ai(a∈R)， 所以|z|＝ 32＋a2， 由已知得 32＋a2<42， 所以 a2<7，所以 a∈(－ 7， 7)．
归纳升华 (1)复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的 距离． (2)计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部， 然后利用模的计算公式进行计算．复数的模是一个非负实 数，可以比较大小． (3)利用复数模的几何意义解题，体现了数形结合的 思想方法．

复数的几何意义及其应用PPT优秀课件

复数的几何意义及其应用PPT优秀课件

则 ∣ z 1- z 2∣ 的 最 大 值 是 （
）
（ A） ６
（ B） ５
（ C） ４ （ D） ３
解法1：z1 z2z1 (2 i z1 ) 2 z1 i
z1
i
2
max
z1 z2 的最大值是4
解法 2： z1 z2 2i , z1 2i z2
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
例1
复 数 z 满 足 条 件 ∣ z+2∣ -∣ z-2∣ =4 则复数 z 所对应的点 Z 的轨迹是
（
）
（ 1） 双 曲 线 （ B ） 双 曲 线 的 右 支
（ C） 线 段
（ D） 射 线
例 2． 若 复 数 z 满 足 条 件 ∣ z∣ ＝ １ ， 求 ∣ z-2i∣ 的 最 值 。
例 3 ． 已 知 z 1、 z 2∈ C ， 且 ∣ z 1∣ ＝ １ ， 若 z 1+ z 2= 2 i ，
最小值是__________.
2 复数 z 满足条件∣z-2∣+∣z+i∣= 5 ，
则∣z∣的取值范围是（
）
(A)
2
5 5
,
5

(C)1, 5
(B)
2
5 5
,2

(D) 1,2
例２．已知复平面内一个椭圆的两 个焦点对应的复数分别是-1+3 i、 -1- i，且复数 1+i 对应的点正好在这 个椭圆上，则这个椭圆方程的复数 形式是———————————

复数的几何表示ppt课件

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指数表示式为
z
3 i
e10 .
内容小结
1.复数的模、辐角、幅角主值; 2.复数的各种表示法.
各种表示法可相互转化,
思考题
1.是否任意复数都有辐角?
它的模为零而辐角不确定.
作业
习题一: 1(2)(4)、2、4(1)(6) 7,8(3)(4)(5)
例4 将通过两点z1 x1 iy1 与 z2 x2 iy2 的直 线用复数形式的方程来表示.
2.用复平面上的向量表示复数
向量 OP与复数 z 一x 一iy对应，故用它表示复数.
y
P
z x iy
z
o
x
注意： 复数 z，点 z，向量 z 可视为同一个概念。
y
z 与 z 在复平面上关于实轴对称. y r
z x yi
O
x
x
z x yi
二、复数的模和幅角
复数z 的模：向量 OP的长度， 记作
由于z 位于第三象限，
arg z arctan ( 1 ) π 3
arctan
1 3
π .
y
3
x
1
arctan y
x
arctan y
x
arctan y x
arctan y x
例2 证明复平面上的三角不等式
(1) z1 z2 z1 z2 ; (2) z1 z2 z1 z2 .
证 两复数的加减运算满足向量的平行四边形法则，
6
6
5π i
z 4e 6 . 习惯上取主辐角
例5 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
z sin i cos ;
5
5
解 r z 1,
sin

复数的几何意义ppt课件(公开课)

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阻抗
在交流电路中，电阻、电 感和电容的阻抗可用复数 表示，实部表示电阻，虚 部表示电感和电容。
频域分析
通过傅里叶变换将时域信 号转换为频域信号，频域 信号可用复数表示。
振动与波动的复数描述
简谐振动
简谐振动的位移、速度和加速度可用复数表示，方便进行振幅、 频率和相位的计算。
波的叠加
多个波叠加时，可用复数表示各波的振幅和相位，便于计算合成 波的振幅和相位。
复数的运算与几何意
04
义
复数的加法与减法
01
02
03
加法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i$。
减法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i$。
复数的几何意义ppt课 件(公开课)
目录
• 引言 • 复数的表示方法 • 复数的几何解释 • 复数的运算与几何意义 • 复数在几何中的应用 • 复数在其他领域的应用
引言
01
复数的基本概念
01
02
03
04
定义
复数是形如 $a + bi$ 的数， 其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
实部和虚部
在复数 $a + bi$ 中，$a$ 称 为实部，$b$ 称为虚部。
共轭复数
若 $z = a + bi$，则其共轭复 数为 $a - bi$。
模

7.1.2 复数的几何意义(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)


平面向量
一 一对应
复平面内的点Z(a,b)
2.复数的模
|| = | + i| =
2 + 2
3.共轭复数 如果 = + i，那么ҧ = − i．
一 一对应
作业
习题7.1 第8,10题
(1)
(4)
2 + 5i, (2)
−3 − i, (5)
−3 + 2i,
5,
(3)
(6)
y
2 − 4i,
−3i.
2 5i
3 2i
5
O
x
3 i
3i
2 4i
复数的几何意义
问题2：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数
对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的．你能用平面向量来表示复
我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用
数轴上的点来表示．复数有什么几何意义呢？
一 一对应
（数） 实数
（形） 数轴上的点
o
1
x
复数的几何意义
问题1：根据复数相等的定义，任何一个复数 = + i都可以由一
个有序实数对 (, )唯一确定；反之也对．由此你能想到复数的几何
表示方法吗？
不等式|| > 1的解集是圆 = 1外部所有的点组成的集合，
这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，
也就是满足条件1 < || < 2的点的集合．
容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以１及２为半径的两个圆所夹的圆环，但
不包括圆环的边界．
课堂小结
复数 = +
一 一对应
1.复数几何意义

数学课件ppt复数的几何意义


02
复数在平面坐标系中表示
复平面与坐标系建立
复平面的定义
复平面是一个二维平面，其中横 轴表示实部，纵轴表示虚部。
坐标系的建立
在复平面上，以原点为起点，水平 向右为实轴正方向，垂直向上为虚 轴正方向，建立平面直角坐标系。
坐标表示
复数 $z = a + bi$ 在复平面上对应 的点的坐标为 $(a, b)$。
乘除运算对应几何变换
乘法运算
两复数相乘，其几何意义是对应的两个向量先旋转后伸缩。具体地，设 $z_1 = r_1(cos theta_1 + i sin theta_1)$，$z_2 = r_2(cos theta_2 + i sin theta_2)$，则 $z_1 times z_2 = r_1r_2(cos(theta_1 + theta_2) + i sin(theta_1 + theta_2))$，即模长相乘，辐角相加。
常见函数图像绘制技巧分享
坐标轴选择
在绘制复数函数图像时，可以选择实部-虚部坐标系或模辐角坐标系。不同的坐标系选择会对图像呈现产生不同的 影响。
色彩运用
通过合理运用色彩，可以更加清晰地展示函数的特征和性 质。例如，可以使用不同颜色表示函数的实部和虚部，或 者使用渐变色表示函数的模长变化。
关键点标注
在图像上标注关键点，如零点、极值点、对称中心等，有 助于更好地理解函数的性质和行为。
应用举例：电路分析中相位差计算
交流电路中的电压和电流通常表示为复数形式，其中实部表示幅度，虚部表示相位。通过复数的乘除运算可以方便地计算电 压和电流之间的相位差。
例如，在RLC串联电路中，已知电源电压 $U = 220angle 0^circ V$，电阻 $R = 10Omega$，电感 $L = 0.4H$，电容 $C = 5mu F$。求电流 $I$ 和电阻两端电压 $U_R$ 的相位差。通过复数运算可得 $I = frac{U}{Z}$，其中阻抗 $Z = R + jomega L - jfrac{1}{omega C}$。进一步计算可得相位差 $Delta phi = phi_I - phi_{U_R}$。

复数概念及其几何意义PPT课件


向量表示法在复平面中应用
向量加法
在复平面上，两个复数的 加法可以通过向量加法来 实现，即分别将两个复数 对应的向量进行合成。
向量乘法
复数的乘法也可以通过向 量来表示，乘法的结果可 以通过向量的模长和辐角 来计算。
向量与复数转换
向量和复数之间可以相互 转换，通过向量的坐标可 以得到对应的复数，反之 亦然。
工程学中的应用
在信号处理、控制系统等领域，复数可以表示信号的频率、振幅 和相位等信息，有助于信号的分析和处理。
数学中的应用
在代数、几何、三角等领域，复数可以作为一种工具来解决一些 复杂的问题，如方程的求解、图形的变换等。
思考题与课堂互动环节
思考题
提出一些与复数相关的思考题， 让学生自主思考和解答，加深对 复数概念的理解和应用。
阐述利用复数性质证明三角不等式的方法 ，如柯西-施瓦茨不等式等。
应用举例
举例说明三角函数求解问题在实际问题中 的应用，如物理学中的振动分析、信号处 理中的频谱分析等。
05
微分方程中复数解法探讨
一阶线性微分方程求解
一阶线性微分方程标准形式
$y' + p(x)y = q(x)$
复数在求解中的应用
通过引入复数，将实数域上的一阶线 性微分方程扩展到复数域上，从而简 化求解过程。
a示d}{例c^2+d^2}i$。
计算$(2+3i)(4-5i)$，结果为$23-2i$；计算 $frac{2+3i}{4-5i}$，结果为$frac{7}{41}+frac{22}{41}i$。
幂运算和根式运算拓展
幂运算规则
根据复数模与辐角的定义，有$(r(costheta+isintheta))^n=r^n(cos ntheta+isin ntheta)$，其中$r$为复数模，$theta$为辐角。

7.1.2复数的几何意义课件(人教版)

)
A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+∞) D.(-∞,-3)
(2)已知在复平面内表示复数 z=(m-3)+2 i 的点在直线 y=x
上,则实数 m 的值为
.
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用
复平面内的点Z(a,b)来表示.
2.表示：z 的共轭复数用 z 表示，即若 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝ a－bi .
做一做:
(1)已知复数z=i,则复平面内z对应的点Z的坐标为(
A.(0,1)
B.(1,0)
C.(0,0) D.(1,1)
(2)若=(0,-3),则对应的复数为(
A.0
B.-3
C.-3i
（3）做一做:若复数 z=1+
数学（人教202X版）必修第二册
第七章 复数
7.1.2 复数的几何意义
学习目标
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的
一一对应关系.
2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
1
知识梳理
知识点一
复平面
实轴
虚轴
思考
有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点
在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之,
复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即
为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复
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已知复数z对应点A,说明下列各 式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)| 点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
点A到点(－1, －2)的距离
(3)|z－1|
点A到点(1,0)的距离 (4)|z+2i|
点A到点(0, －2)的距离
练习:已知复数m=2－3i,若复数 z满足不等式|z－m|=1,则z所对 应的点的集合是什么图形?
4
新课讲解 1.复数加法运算的几何意义?
符合向量加法 的平行四边形
法则.
Z1+ Z2=OZ1 +OZ2 = OZ
y
Z(a+c,b+d)
Z2(c,d)
Z1(a,b)
o
x
2.复数减法运算的几何意义?
符合向量减 法的三角形
法则.
复数z1－z2
y
Z2(c,d)
向量Z2Z1
Z1(a,b)
o
x
|z1-z2|表示什么? 表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
复数的几何意义（一）
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
z=a+bi Z(a,b)
y
建立了平面直角
坐标系来表示复数的 b 平面 ------复数平面
(复平面)
a
o
x
x轴------实轴
y轴------虚轴
复数的几何意义（二）
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
以点(2, －3)为圆心, 1为半径的圆上
3、复数加减法的几何意义
(1) |z1|= |z2| 平行四边形OABC是 菱形
(2) | z1+ z2|= | z1- z2|
平行四边形OABC是 矩形 o
C
z2 z2-z1
z1 A
(3) |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2| 平行四边形OABC是 正方形
一一对应
一一对应
平面向量 O Z
y
z=a+bi
Z(a,b)
b
a
o
x
复数的模的几何意义
对应平面向量 O Z 的模|O Z |，即复数
z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的
距离。
y
| z | = a2 b2
z=a+bi Z (a,b)
O
x
3.2.1复数的Байду номын сангаас数形式的 加减运算及其几何意义
2020/12/11
z1+z2
B
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