复数的几何意义课件(公开课)

量子力学波函数描述及演化
波函数描述
在量子力学中，波函数是描述粒子状 态的数学函数，可以用复数表示。波 函数的模平方表示粒子在空间中的概 率分布，波函数的相位表示粒子的动 量等信息。
波函数演化
波函数随时间演化遵循薛定谔方程， 该方程是一个复数微分方程。通过求 解薛定谔方程，可以得到波函数随时 间的演化规律，进而预测粒子的行为 。
复数与矩阵的关系
复数在其他领域的应用
阐述复数与矩阵之间的联系，如矩阵的特 征值、特征向量与复数的关系等。
简要介绍复数在信号处理、量子力学、流 体力学等领域中的应用。
06
课后作业布置及下一讲 预告
课后作业布置
练习题
要求学生完成教材上与复 数几何意义相关的练习题 ，以巩固所学知识。
思考题
布置几道与复数几何意义 相关的思考题，要求学生 进行深入思考，加深对知 识点的理解。
04
典型例题解析及互动环 节
例题一：利用几何意义求解方程根
复数平面上的点表示
将复数表示为平面上的点，便于直观理解复数运算的几何意义。
复数方程根的几何意义
通过复数平面上的点的运算，求解复数方程的根，并理解其几何意 义。
根的分布与稳定性
分析复数根在平面上的分布规律，探讨系统稳定性与根位置的关系 。
例题二：电路分析问题中阻抗匹配
。
Hale Waihona Puke 乘法运算设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i，则 z1×z2=(a1a2b1b2)+(a1b2+a2b1)i
。
除法运算
设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i且z2≠0，则 z1÷z2=((a1a2+b1b2)/(a

在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.
y z=a+bi
Z (a,b)
O
x
u u ur | z | = |O Z |
a2 b2
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小结
18
实数绝对值的几何意义: 复数的模 的几何意义:
实数a在数轴上所
复数 z=a+bi在复平
对应的点A到原点O的 面上对应的点Z(a,b)到
距离. a OA
5
回
复数的
忆
一般形
…
式？
Z=a+bi(a, b∈R)
实部!
虚部!
一个复数 由什么唯 一确定？
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6
思考1 ： 复数与点的对应
Y
（１） ２+５i ；

（４） －３－５i； （５） ５； （６） －３i；
２ O
５
X
６
３
４
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7
思考2：点与复数的对应(每个小正方格的边长为1) Y
、y= - 3 2
.
特别地，a+bi=0 ａ=b=0 .
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2
课前复习
1. 对 虚数单位i 的规定 ① i 2=-1； ②可以与实数一起进行四则运算.
2. 复数z=a+bi(其中a、bR)中a叫z 的 实部、 b叫z的 虚部 .
a 0
z为实数
b=0 、z为纯虚数
b
0
.
练习:把下列运算的结果都化为 a+bi（a、bR）的形式.
∴m=1或m=-2.
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16
复数的几何意义（二）
一一对应
复数z=a+bi

这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 复平面 ，x轴叫做 实轴 ， y轴叫做 虚轴 . 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应； 反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复 数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi
因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与
零向量对应)，即复数z＝a＋bi
平面向量
→ OZ
，这是复数的
另一种几何意义.
思考 (1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？
答案 不是.
(2)象限内的点与复数有何对应关系？
பைடு நூலகம்
答案 第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；
第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；
第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；
第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负.
知识点二 复数的模 1.如图所示，向量O→Z的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a
＋bi|.如果 b＝0，那么 z＝a＋bi 是一个实数 a，它的模等于|a|(就是 a 的绝 对值).由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝ a2＋b2 (r≥0，r∈R).
2.复数的模的性质，设z1，z2是任意两个复数，则 (1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|，zz12＝||zz12||(|z2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到). (2)|zn1|＝|z1|n(n∈N*). (3)|z1|－|z2|≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|时，即 z1，z2 所对应的向量同向共线； ②当||z1|－|z2||＝|z1＋z2|时，即 z1，z2 所对应的向量反向共线. (4)||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1－z2|＝|z1|＋|z2|时，即 z1，z2 所对应的向量反向共线； ②当||z1|－|z2||＝|z1－z2|时，即 z1，z2 所对应的向量同向共线.

则 ∣ z 1- z 2∣ 的 最 大 值 是 （
）
（ A） ６
（ B） ５
（ C） ４ （ D） ３
解法1：z1 z2z1 (2 i z1 ) 2 z1 i
z1
i
2
max
z1 z2 的最大值是4
解法 2： z1 z2 2i , z1 2i z2
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
例1
复 数 z 满 足 条 件 ∣ z+2∣ -∣ z-2∣ =4 则复数 z 所对应的点 Z 的轨迹是
（
）
（ 1） 双 曲 线 （ B ） 双 曲 线 的 右 支
（ C） 线 段
（ D） 射 线
例 2． 若 复 数 z 满 足 条 件 ∣ z∣ ＝ １ ， 求 ∣ z-2i∣ 的 最 值 。
例 3 ． 已 知 z 1、 z 2∈ C ， 且 ∣ z 1∣ ＝ １ ， 若 z 1+ z 2= 2 i ，
最小值是__________.
2 复数 z 满足条件∣z-2∣+∣z+i∣= 5 ，
则∣z∣的取值范围是（
）
(A)
2
5 5
,
5

(C)1, 5
(B)
2
5 5
,2

(D) 1,2
例２．已知复平面内一个椭圆的两 个焦点对应的复数分别是-1+3 i、 -1- i，且复数 1+i 对应的点正好在这 个椭圆上，则这个椭圆方程的复数 形式是———————————

复数的几何意义课件(公 开课)
复数是数学中非常重要的概念之一。本课件将介绍复数的几何意义，复数的 运算规则以及在平面直角坐标系中的表示等内容。
什么是复数？
复数是由实数和虚数构成的数。其形式为a+bi，其中a是实部，b是虚部。
实数
实数是指可以表示物数是指不能表示物理量的数，其定义为i，其中 i^2=-1。
复数的加法、减法、乘法规则
复数的加法和减法遵循实部相加、虚部相加的规则。复数的乘法遵循分配律和虚数单位i的平方等于-1。
1
加法
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
2
减法
(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
3
乘法
(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
1
正弦函数
sin(θ) = 虚部 / 模
余弦函数
2
cos(θ) = 实部 / 模
3
正切函数
tan(θ) = 虚部 / 实部
复数的指数形式表示
复数可以用指数形式来表示，其中e为常数，i为虚数单位，θ为幅角。
1 公式
a+bi = |a+bi| * e^(iθ)
复数的模和共轭
复数的模表示复数到原点的距离，共轭表示虚部符号取相反数。
模
模表示复数的绝对值，记作|a+bi| = √(a^2+b^2)。
共轭
共轭是将复数的虚部取相反数，记作a-bi。
复数在平面直角坐标系中的表 示
复数可以用平面直角坐标系中的点来表示。实部表示点的横坐标，虚部表示 点的纵坐标。

在交流电路中，两个同频率正弦量之间的相位之差称为相位差，它 反映了两个正弦量在时间上相互超前或滞后的关系。
相位差与复数的关联
在交流电路中，复数可以用来表示正弦量的振幅和相位，因此相位 差也可以通过复数运算来求解。
应用实例
在电力系统中，相位差的概念对于分析电网的稳定性、计算功率因数 等具有重要意义。
信号处理中频率域分析基础
灵活运用共轭复数
在求解复数问题时，共轭复数往往能起到简化计算的作用。
注意辐角的取值范围
辐角的主值一般取在(-π, π]之间，需要根据具体情况进行调整。
常见问题解答
如何判断两个复数是否相等？答
如何求解复数的模？答
两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部 分别相等。
利用模的计算公式进行计算，注意结果应 为非负数。
进行向量的合成来实现。
乘法运算
复数的乘法可以通过向量的旋转 和伸缩来实现，具体地，乘以i相 当于逆时针旋转90度，乘以-i相
当于顺时针旋转90度。
运算性质
复数的运算满足交换律、结合律 和分配律等基本性质，这些性质 在复平面中可以通过向量的运算
来体现。
模长和幅角概念引入
模长定义
复数的模长是指该复数在复平面中对应的向量的长度，记 作|z|。
频率域分析的概念
在信号处理中，将信号从时间域变换到频率域进行分析的方法称 为频率域分析。
复数在频率域分析中的作用
在频率域分析中，复数被用来表示信号的频谱，其中实部表示信号 的幅度谱，虚部表示信号的相位谱。
应用实例
在通信系统中，频率域分析被广泛应用于信号调制、解调、滤波等 处理过程中。
控制系统稳定性判断依据
幅角定义
复数的幅角是指该复数在复平面中对应的向量与正实轴之 间的夹角，记作arg(z)。

复数运算在电路分析中的应用
利用复数运算可方便地分析交流电路中的电压、电流和功率等问题。例如，通过复数乘法可 计算电压和电流的相位差，通过复数除法可计算电路的阻抗等。
04
方程求解与根轨迹绘制
一元二次方程求解方法回顾
公式法
对于一般形式的一元二次 方程，可以使用求根公式 进行求解。
配方法
通过配方将一元二次方程 转化为完全平方形式，进 而求解。
复数的几何意义课件公开课
目录
• 复数基本概念与性质 • 复数在平面上的表示 • 几何意义探讨：旋转与伸缩变换 • 方程求解与根轨迹绘制 • 极坐标形式下复数几何意义 • 总结回顾与拓展延伸
01
复数基本概念与性质
复数定义及表示方法
复数定义
复数是实数和虚数的和，形如 $z = a + bi$，其中 $a, b$ 为实数， $i$ 为虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
周期性规律
当$n$增加时，复数的辐 角$ntheta$呈现周期性变 化，周期为$2pi$。
模长的幂次变化
复数的模长在幂运算中按 幂次变化。
几何意义在电路分析中应用
交流电路中的复数表示
在交流电路中，电压和电流可用复数表示，其中实部表示幅度，虚部表示相位。
阻抗的复数形式
电路中的阻抗可用复数表示，实部表示电阻，虚部表示电抗。
复数的模与辐角
复数的模定义为 $|z| = sqrt{a^2 + b^2}$，辐角 $theta$ 是复数向量与正实轴之间的夹角，满足 $tan theta = frac{b}{a}$。
复平面与复数的几何表示
复平面是一个二维平面，其中横轴表示实部，纵轴 表示虚部。复数 $z = a + bi$ 在复平面上对应于点 $(a, b)$。

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
3.在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2 mi 的点在直线y＝x上， 则实数m的值为__________.
【解析】1.选B. z＝ 3＋i2＝ 3－1R， ∴z对应的点在实轴上，故选B. 2.选D.∵ < 2<π，∴sin2>0，cos2<0.
2
故z＝sin2＋icos2对应的点在第四象限.故选D.
3.复数z在复平面上对应的点为(m－3,2 m)， ∴m－3＝2 m，即m－2 －m 3＝0. 解得m＝9.
Байду номын сангаас答案：9
【归纳】复数对应的点在曲线上的判断步骤. 提示：复数对应的点在曲线上的判断有三步：(1)确定复数的 实部和虚部；(2)写出复数对应的点；(3)将坐标代入曲线方程， 若满足方程，在曲线上；否则，不在曲线上.
2.复数的几何意义z=a+bi(a，b∈R) (1)复数z=a+bi在复平面内所对应的点是Z(a,b)，而不是 Z(a,bi); (2)复数集的复数z =a+bi与复平面内的向量 OZ 一一对应 (向量起点必须是原点).
3.复数的模 复数的模是一个非负实数，它的几何意义是复平面内复数所对 应的点到原点的距离.
即(x＋1)2＋(y－2)2＝32.故点Z(x，y)的轨迹是以(－1,2)为圆 心，以3为半径的圆. 答案：以(－1,2)为圆心，3为半径的圆 2.(1)复数z的模等于4，就是说，向量 OZ 的模等于4，所以满足条件|z|＝4的点Z的 集合是以原点O为圆心，以4为半径的圆.
(2)不等式2<|z|<4可化为不等式组
z z
＜4,
＞不2. 等式|z|<4的解集是

复数与复平面内向量的对应：复数的实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题．
归纳小结
2．如何理解复数的模？互为共轭复数的两个复数的模是什么关系？
问题5 1．复数的几何意义包含哪两种情况？
2．复数的模
从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点Z和原点间的距离．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算．
初步应用
例1 设复数z1＝3＋4i在复平面内对应的点为Z1，对应的向量为 ；复数z2在复平面内对应的点为Z2，对应的向量为 ．已知Z1与Z2关于虚轴对称，求z2并判断 与 的大小关系．
解答：由题意可知z1（3，4），又因为Z1与z2关于虚轴对称，所以Z2（－3，4），
从而有z2＝－3＋4i，
初步应用
例2 若复数z1＝（x－3）＋（x＋2y＋1）i与z2＝2y＋（x＋y＋2）i（x，y∈R）互为共轭复数，求x与y．
初步应用
例3 设复数z在复平面内对应的点为Z，说明当z分别满足下列条件时，点Z组成的集合是什么图形，并作图表示．
即点Z到原点的距离始终等于2，
因此点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆．
新知探究
追问：一般地，当a，b∈R时，复数a＋bi与a－bi在复平面内对应的点有什么位置关系？
在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；
反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数．
新知探究
问题4 自主阅读教材，回答：复数的模如何定义？
追问：两个共轭复数的模什么关系？
4
目标检测
已知复数z＝x＋yi（x，y∈R）的模是 ，则点（x，y）表示的图形是________．
5

[母题变式] 1．在例 3(2)中，B→A对应的复数是 z，则 z ＝________. 解析 由例 3(2)的解析可知B→A对应的复数是 5－5i，即 z＝5－5i， 所以－z ＝5＋5i.
答案 5＋5i
2．在例 3(2)中，若点 A 关于实轴的对称点为点 C，则向量O→C对应的复数为 ________．
A．a＝0 或 a＝2
B．a＝0
C．a≠1 且 a≠2
D．a≠1 或 a≠2
解析 ∵复数 z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i 对应的点在虚轴上，∴a2－2a＝0， ∴a＝0 或 a＝2.
答案 A
4．已知复数 z 的实部为－1，虚部为 2，则|z|＝____________. 解析 |z|＝ －12＋22＝ 5. 答案 5
题型二 复数模的几何意义 [例 2] 设 z∈C，在复平面内对应点 Z，试说明满足下列条件的点 Z 的集合 是什么图形． (1)|z|＝3；(2)1≤|z|≤2. [解析] (1) |z|＝3 说明向量O→Z的长度等于 3，即复数 z 在复平面内对应的点 Z 到原点的距离为 3，这样的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，3 为半径的圆．
(2)若 z 对应的点在第三象限，则有
a2－1<0， 2a－1<0，
解得－1<a<21.
故 a 的取值范围是－1，21.
[规律方法] 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都 对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可 根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
B．－5－5i
C．5＋5i
D．5－5i
[解析] (1)由复数的几何意义， 可得O→Z1＝(5，－4)，O→Z2＝(－5,4)， 所以O→Z1＋O→Z2＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)， 所以O→Z1＋O→Z2对应的复数为 0.