《圆的对称性》PPT课件湘教版(2020年最新)

●M ●O
挑战自我 做一做
如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于 E， ∠ CEB=30°，DE=6㎝，CE=2㎝， 求弦AB的长。
A
F
D
OEC
B
反思小结：
1、对垂径定理的理解 (1)证明定理的方法是典型的“叠合法” (2)定理是解决有关弦的问题的重要方法 (3)定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中 点都集中在“垂直于弦的直径”上。圆、弦又关于 直径所在的直线对称。
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. n 过点M作直径CD.
n 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系?与同
C
伴说说你的想法和理由.
A
┗●
B n小明发现图中有:
M
●O
n由 ① CD是直径 可推得
③ AM=BM
D
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
A
C
•o
┐E D
B
解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需 要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上， 往往只需从圆心作弦的垂线段。
挑战自我 做一做
如果圆的两条弦平行，那么这两条弦所夹的 弧相等吗？为什么?
E
A
N ●O
B
└
C
M
└
D
F
挑战自我 画一画
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
则下列结论不正确的是（ C ） A、A⌒C=A⌒D B、B⌒C=B⌒D
C M└
D
C、AM=OM D、CM=DM
●O
2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB，

如图是国际奥林匹克运动 会旗的标志图案.
圆是到一定点的距离等于定长 的所有点组成的图形.
这个定点叫作圆心. 定长叫作半径.
A
· O
圆也可以看成是一个动点绕一个定点旋转 一周所形成的图形，定点叫作圆心. 定点与动点的连线段叫作半径. 如图,点O是圆心.
线段OA的长度是一条半径.
线段OA的长度也叫作半径.
垂足为E，连结OA,OB.
由于，OA=OB
C
因此△OAB是等腰三角形. 又OE是底边AB上的高， 因而OE也是底边AB上的中线， 从而AE=BE.
？ 现在你能说出道理吗
O·
A E
B
D
？ 为什么圆的任意一条直径所在的直线是它的对称轴
如图，EF是⊙O的任意一条直径，
P是⊙O上任意一点，
过点P作EF的垂线，与⊙O交点Q， 直线EF与线段PQ的关系如何？
以点O为圆心的圆叫 作圆O，记作⊙O
连结圆上任意两点的线段叫作弦.
如图，线段CD是一条弦.
经过圆心的弦叫作直径.
如图线段EF是⊙O的一条直径， 线段EF的长度也称为直径.
C E
D
O·
A
F
1、用一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆， 它们的半径相等，把白纸放在硬纸板上面，使两 个圆的圆心重合，观察这两个圆是否重合？
根据垂径定理
（2）圆只有一条对称轴.
错
有无数条对称轴
任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.
• 小结：通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体 会？
• 作业：
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义务教育课程标准实验教科书 SHUXUE 九年级下
湖南教育出版社
第 章
3
圆
观察自行车的车轮和转盘以及链条，你能说出车轮、 转盘的特征吗？它们与链条之间有怎样的关系呢？ 这就是圆的一种原型． 本章要研究的是圆的性质、直线与圆、圆与圆的位 置关系．
3.1.1 圆的对称性
如图是国际奥林匹克运动 会旗的标志图案.
O· E B
从而AE=BE. 现在你能说出道理吗
D
？
？
为什么圆的任意一条直径所在的直线是它的对称轴
如图，EF是⊙O的任意一条直径，
P是⊙O上任意一点， E
P
F
过点P作EF的垂线，与⊙O交点Q，
直线EF与线段PQ的关系如何？
M
· O
Q
根据定理1，EF平分 弦PQ，从而直线EF是线 段PQ的垂直平分线． 于是点P与点Q关于直线EF对称，因此，圆O关于直线EF对称． 这样我们证明了圆还有下述性质：
圆是到一定点的距离 等于定长的所有点组成 的图形. 这个定点叫作圆心. 定长叫作半径.
· O
A
圆也可以看成是一个动点绕一个定点旋转 一周所形成的图形，定点叫作圆心. 定点与动点的连线段叫作半径. 如图,点O是圆心.
线段OA的长度是一条半径.
线段OA的长度也叫作半径.
以点O为圆心的圆叫 作圆O，记作⊙O
圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是ห้องสมุดไป่ตู้的对称轴
练
习
1、自行车的车轱辘是圆形，为什么？
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等 于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持 不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平 稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．

7
结论
二、点与圆的位置关系有三种：
A C O 到圆心的距离小于半径 的点叫作圆内的点； 到圆心的距离大于半径 B 的点叫作圆外的点.
8
要点归纳
二、点和圆的位置关系
设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，在点和圆三种不同位 置关系时，d与r有怎样的数量关系？
P d P d P r
d
r
r d<r
点P在⊙O内 点P在⊙O外
练一练 如图. (1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧; AF, AD, AC, AE. 劣弧： AFE, AFC,AED, ACD. 优弧： (
D F A O C B E
(
(2)请写出以点A为端点的弦及直径.
弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.
(
(
(
(
(
(
14
探究
1.如图，在一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆，使 它们的半径相等，把白纸放在硬纸板上面，使两个圆的圆 心重合，观察这两个圆是否重合.
C
·
1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 . 2.圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直 线都是圆的对称轴
18
O
D
议一议
如图,为什么通常要把车轮设计成圆形？ 请说说理由.
19
议一议 为什么通常把车轮设计成圆形？说说理由.
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的
距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中
D E B
四 条．
A
O
F
C
32
2.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作 ⊙A，则点B在⊙A 上 ；点C在⊙A 外 ；点D在⊙A 上 . 3.⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为（3,4）， 则点P与⊙O的位置关系为 （ B ） A.在⊙O内 C.在⊙O外 B.在⊙O上 D.在⊙O上或⊙O外

总结词
阐述圆的基本属性
详细描述
圆具有许多基本的性质，包括其对称性、弧长与角度的关系、圆周角定理等。这 些性质是理解圆更深层次特性的基础。
圆的应用
总结词
列举圆在日常生活中的实际应用
详细描述
圆在日常生活和科学中有着广泛的应用，包括几何学、物理学、工程学和天文学等领域。例如，轮胎的设计、管 道的铺设、天文望远镜的制造等都涉及到圆的知识。
详细描述
自然界中的圆对称性，如花朵、树叶、果实 等，这些自然形态的圆对称性不仅美化了我 们的生活，还揭示了生命的奥秘和自然法则 。这种圆对称性的存在，使得生物能够更好 地适应环境，提高生存和繁衍的机会。
艺术创作中的圆对称性
要点一
总结词
艺术创作中的圆对称性，能够创造出和谐、平衡和完美的 艺术效果，是艺术家们常用的表现手法之一。
旋转变换
旋转变换定义
在平面内，将图形绕某一 定点旋转一定的角度，但 不改变图形的大小和形状 。
旋转变换性质
图形在旋转过程中，其内 部任意两点之间的距离保 持不变，且与旋转的角度 和中心点位置无关。
旋转变换的应用
在几何、解析几何等领域 中都有广泛的应用，如三 角形的旋转、极坐标系中 的角度变化等。
轴对称变换
平移变换
01Leabharlann 0203平移变换定义
在平面内，将图形沿某一 方向平行移动一定的距离 ，但不改变图形的大小和 形状。
平移变换性质
图形在平移过程中，其内 部任意两点之间的距离保 持不变，且与平移的方向 和距离无关。
平移变换的应用
在几何、代数、解析几何 等领域中都有广泛的应用 ，如平行线、平行四边形 、函数图像等。
02
圆的对称性

B
• 老师提示: • 垂径定理是圆
中一个重要的 结论,三种语 言要相互转化, 形成整体,才 能运用自如.
深入理解
看下列图形，是否能使用垂径定理？
O
O
O
O
O
O
垂径定理的几个基本图形：
可以是直径、半径， 也可以是过圆心的直 线或线段。
CD过圆心
CD⊥AB于E
AE=BE AC=BC AD=BD
巩固练习
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学以致用 如图，⊙O是水平放置的输油管道的横 截面，其直径为26cm，油面的宽度 AB=24cm,求油的最大深度。
O E
D
变式训练
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油 后，若油面宽AB = 600mm，求油的最大深 度.
与上题结论 相同吗？
如图：P为⊙O内一点，你能用三角尺画⊙O的一条弦，使点P恰为AB的中点吗？说明理由。
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九年级数学(上)第三章 对圆的进一步人认识
3.1 圆的对称性(1)
图片欣赏
学前回顾
导入新知
问题1：圆是轴对称图形吗？
问题2：圆如果是轴对称图形，它的对称轴有几条？
实验探究一
拿出准备好的的圆，任意作一条直径AB, 然后沿着直 径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?再长任意作一条直径 CD，重复以上的操作，还有同样的结论吗？
A
E
B
C
通1过如、以果A上连E探=接B究OEA你,, O能B2,、得△A出⌒CO什A=B么A是⌒D结什, 3论么、？三⌒C角B=形B⌒？D.

二、点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d.
课堂小结
三、圆的对称性
1.圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合（旋转不变性）.
2.圆是中心对称图形,圆心是它 的对称中心.
3.圆是轴对称图形,任意一条直 径所在的直线都是圆的对称轴.
作业布置
1.布置作业:从教材“习题2.1” 中选取. 2.完成同步练习册中本课时的练 习.
一不可； 2.“点在圆上”和“圆过点”表示的意义都是：这个点在圆周上 .
课堂练习
2、矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O. 求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，OB=OD.
又∵AC=BD， ∴OA=OB=OC=OD.
A
D
O
B
C
∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.
3. 圆的特性：
(1)圆上各点到定点(圆心 O)的距离都等于定长(半径 r) , 即同圆
的半径相等 . (2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，即到圆心的距离
等于半径的点在圆上 .
课堂练习
1、下列条件中，能确定一个圆的是(
)
A. 以点 O 为圆心
B. 以 10 cm 长为半径
C. 以点 A 为圆心，4 cm 长为半径
课程结束 谢谢观看
优弧： AFE, AFC, AED, ACD. (2)请写出以点A为端点的弦及直径.
弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.
D
B
F
O
E
A
C
探究新知
1. 如图 ， 在一块硬纸板和一张薄的白纸上分别画一个圆 ， 使它们 的半径相等 ， 把白纸放在硬纸板上面 ， 使两个圆的圆心重合 ， 视 察这两个圆是否重合。

2.在白纸的圆上面画任意一条直径，把白纸沿着这条直 径所在的直线折叠．观察圆的两部分是否互相重合？
C
·O
E
A
B
D
……
这体现圆具有什么样的对称性？
定理1 垂直于弦的直径平分这条弦．（垂径定理）
定理1 垂直于弦的直径平分这条弦．
证明:
如图，在⊙O中，直径CD⊥AB，交于E
连结OA,OB.
∴△OAB是等腰三角形.
连结圆上任意两点的线段叫作弦.
如图，线段CD是一条弦.
经过圆心的弦叫作直径.
如图线段EF是⊙O的一 条直径，线段EF的长度 也称为直径.
C E
DO·A来自F做一 做1、用一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆， 它们的半径相等，把白纸放在硬纸板上面，使两 个圆的圆心重合，观察这两个圆是否重合？
这两个圆 重合
练习
4. 已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为6cm求圆心到AB的 距离.
如图作OD⊥AB垂足为D 连结OA
在Rt △ ADO中
OD2 OA2 AD2
OD2 52 32
∴ OD=4
A
O ·
D
B
∴圆心到AB的距离为4㎝
思考
如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E， CE=1，AB=10，求直径CD的长。
能够重合的两个圆叫作相等的圆，或等圆
现在用一根大头针穿过这两个圆的圆心，让硬纸板保持不 动，让白纸绕圆心旋转任意角度，观察旋转后，白纸上的圆是否 仍然与硬纸板上的圆重合？
……
·
……
这体现圆具有什么样的性质？
圆是旋转对称图形，即圆绕圆心旋转任意角度，都能与自 身重合.特别地，圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.

分类讨论：点在圆内和点在圆外
4 课堂小结
定义
平面内到一定点的距离等于定 长的所有点组成的图形
平面内一动点绕一定点旋转一 周所形成的图形
有关 概念
弦(直径)
直径是圆中 最长的弦
劣弧
弧
半圆
优弧
等圆、等弧
半圆是特 殊的弧
点与圆的位置关系
位置关系数量化
点在圆外 点在圆上 点在圆内
d>r d=r d<r
圆的对称性
dP r
d
r
P
Pd r
点P在⊙O内
d ＜ r 点P在⊙O上 d = r 点P在⊙O外
位置关系
数形结合
数量关系
d＞ r
1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为 8cm、 10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：
点A在 圆内 ；点B在圆上 ；点C在 圆外 .
2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP=
等，把白纸放在硬纸板上面，使两个圆的圆心重合，观察这两个圆
是否重合？
这两个圆
能够重合的两个圆叫作等圆
重合
能够互相重合的弧叫作等弧.
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
现在用一根大头针穿过这两个圆的圆心，让硬纸板保 持不动，让白纸绕圆心旋转任意角度，观察旋转后，白纸上 的圆是否仍然与硬纸板上的圆重合？
仍然重合
这体现圆具有什 么样的性质？
·
圆绕圆心旋转任意角度，都能 与自身重合.特别地，将圆绕圆 心旋转180°时能与自身重合
圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴
在白纸的圆上面画任意一条直径，把白纸沿着这条直 径所在的直线折叠．观察圆的两部分是否互相重合？ 互相重合