数学广角——集合(重叠的问题)

2014版小学数学三年级上册第九单元数学广角集合《重叠问题》66题三年级上第九单元数学广角集合——《重叠问题》学法指导:解答重叠问题，必须从条件入手认真分析，有时可以根据条件画一画图来帮助我们思考，找出哪些是重复的，重复了几次,明确求的是哪一部分，从而找出解题的方法。

1、小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。

这队小朋友共有多少人,2、学校组织看文艺表演，冬冬的座位从左数是第7个，从右数是第10个，这一行座位有多少个,3、为庆祝六一，小朋友们排成方形的鲜花队，无论从前、从后数，还是从左、从右数，李丽都在第5个，鲜花队一共有多少个小朋友,4、学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。

这一行座位有多少个,5、同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。

这一排共有多少个同学,6、同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。

小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。

跳舞的共有多少人,7、三(4)班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6个，从后数是第5个;从左数、从右数都是第3个。

三(4)班共有学生多少人,8、把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。

这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米,9、两根木棍放在一起(如图)，从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米。

另一根木棍长多少厘米,10、三(1)班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。

已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。

两项比赛都参加的有几人,11、两块木板各长75厘米，像下图这样钉成一块长130厘米的木板，中间重合部分是多少厘米,12、三(5)班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名，两种棋都不会的有10名。

两种棋都会下的有多少名,13、三(4)班做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人，两种作业都完成的有31人，每人至少完成一种作业。

期末知识大串讲人教版数学三年级上册期末章节考点复习讲义第九单元数学广角—集合知识点：容斥原理1.解决重叠问题，可以从条件入手进行分析，画出示意图，借助示意图进行思考。

为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分，也可以先用其中一部分减去重叠部分，再加上另一部分。

2.在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．一般方法：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．容斥原理1：两量重叠问题A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数用符号可表示成：A∪B=A+B-A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．容斥原理2：三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A 类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C一．选择题1．（2021秋•肥城市期末）四（3）班共有40人，会打篮球的有21人，会游泳的有18人，两种运动都不会的有10人，两种运动都会的有（）人。

A．7人B．8人C．9人【思路引导】会打篮球的人数加会游泳的人数，再加两种运动都不会的人数，然后减去四（3）班的人数，即等于两种运动都会的人数。

【完整解答】解：21+18+10﹣40＝39+10﹣40＝49﹣40＝9（人）答：两种运动都会的有9人。

数学广角--------重叠问题教学内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书数学》三年级下册P108例1及相关练习。

教学目标：1、使学生学会借助直观图，利用集合图的思想方法解决简单的实际问题。

2、使学生掌握解决重叠问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性。

3、培养学生善于观察、善于思考，养成良好的学习习惯。

教学重点：使学生初步体会集合的有关思想方法，并能用它来解决实际问题。

教学难点：用图示的方式感受韦恩图各个部分表示的不同含义。

教具准备：课件、练习纸。

一、导入师：同学们，今天我们一起来学数学。

你们在幼儿园的时候或是一年级的时候有过排队这样的故事，那今天章老师先要来考考大家了。

（叫一个学生上来）从前面数了数他是第5人，从后面数了数他还是第5人，请问这一列队伍中一共有多少人？生：11个。

生：12个。

生：9个。

有不11人的吗？有，还有10，9，10？师：那你们是怎么证明的呢？你有什么办法（叫生回答，不说怎么做，只说方法）生：计算。

生：画图。

师：那就请你用自己喜欢的方法来证明是几个人。

教师找计算和画图的两位学生到黑板上板演，其他学生自己在练习本上解决。

生：○○○○△○○○○先问学生，你们答案是多少？师：真聪明，他还把亮亮用不同的三角形来表示。

（让生来解释一下，）一块数一数多少人。

生快数。

9个人，你是用画图的方法证明确实是9个人，那我们来看看这个式子哦，你把你这个式子来读一读，生：5+5-1=10（人），你们有问题吗？没有，那你们有问题想问他吗？师：在图上找一找，5在哪儿？你能把它圈一圈吗？生只圈了前5个。

师：这个5在哪儿？找其他学生再圈出从右边数的5个。

师：你发现了什么？师：有一个学生不大一样。

4+1+4=9（指那位学生）你是怎么理解的？生对照图解释。

师：谁帮我们弄明白的？生：圈那刚才说11人，10人的现在还是吗？笑声过去得有思考，儿时的你们经常排队啊，但是今天我们长大了，得从新的角度来研究问题，我们发现了其中有一位同学被数了两次，前面有他，后面也有他，这是我们一个重要的发现，所以我们要5+5-1，同学们的追问非常好，在数学上这样的问题就叫重叠问题，今天我们就在这个基础上具体研究这个问题。

人教版小学数学三年级下册《数学广角》——重叠问题说课稿篇一：三年级下册数学广角重叠说课稿2三年级下册数学广角《重叠问题》说课稿一、说教材：1、说内容：《重叠问题》是人教版三年级下“数学广角”例1。

2、教学内容的地位、作用和意义。

数学广角第一课时是义务教育课程实验教科书人教版数学三年级下册开始新增设的一个内容，涉及的重叠问题是日常生活中应用比较广泛的数学知识。

是属于集合思想一个数学体系。

学生从一开始学习数学，其实就已经在运用集合的思想方法了。

如学习数数时，把2个三角形用一条封闭的曲线圈起来。

而以后学习的平面图形之间的关系都要用到集合的思想。

集合是比较系统、抽象的数学思想方法，我针对三年级学生的认知水平，在这里只是让学生通过生活中容易理解的题材去初步体会集合思想，为后继学习打下必要的基础，学生只要能够用自己的方法解决问题就可以了。

3、教学目标：综上分析，本课的教学目标定位为：(1)在实际调查中使学生感受集合的思想;(2)能利用集合的思想解决简单的实际问题(3)渗透多种方法解决问题的意识。

4、本节课的教学重难点：本节课的重点是让学生感知集合的思想，并能初步用集合的思想解决简单的实际问题。

难点是对重复部份的理解。

二、说教法重叠问题属现代小学数学第六册的智力游戏，非教学内容，所以学生对它的掌握程度允许有差异性，即学生能掌握到什么程度就到什么程度，所以设计的重叠问题有较简单的，也有一题多果的，一题多法的，还有课后让学生继续研究重叠问题的实践题目，使每个学生各取所需，各有所得，各有所乐，同时培养学生的创造意识和实践能力;同时由于重叠问题中各部分之间的关系较复杂和抽象，所以设计让学生在操作学具中领会重叠问题的基本结构，并让他们借助实物图、等帮助思考;根据确立的教学目标和学生的认知特点，在教学设计中，我将特别注重以下几个方面：种感官被调动起来，主动参加学习过程。

2、设置认知冲突，感知体验集合图。

以“这一小组一共有几人”这一问题冲突为线索，让学生提出问题，当学生解答时出现分歧时，进而引导学生借助一种图(集合图)来理解解决这一问题，让学生充分感知体验到集合图的作用。

小学数学三年级下册《重叠问题》教学反思《重叠问题》是小学三年级下册数学广角第一课时的内容，这个内容是日常生活中应用比较广泛的数学知识，本节课涉及到一种最基本的数学思想方法：集合思想。

集合是比较系统、抽象的数学思想方法，是数学中最基本的思想。

从学生一开始学习数学,其实就已经在运用集合思想方法了，所以对集合有一定的生活经验和知识基础。

本节课教材例1借助学生熟悉的题材，渗透了集合的有关思想，使学生理解用直观图(集合圈)表示“重叠现象”的方法，了解到直观图各部分的意义，特别是重叠部分(交集)的意义，从而掌握利用集合的思想方法来解决简单的实际问题的方法。

课程实施后我有如下几点体会：一、创设问题情境，设置认知冲突。

“知之者不如好知者，好知者不如乐知者”，从某种意义上来讲，教师教学中成败的关键很大程度上取决于能否激发学生对数学学习产生的浓厚兴趣。

当学生解决参加两个课外小组一共有多少人时，由于直观思维，跳入了教师有意设置的“陷阱”，都回答出有17人/adm，而教师适时指出不是17人，答案有了争议，学生的认知出现了冲突，学生都想正确的答案是多少。

而老师此时创设了另一个问题情境，通过报名表让学生发现冲突的矛盾点，再让学生设计图案解决这个问题。

从而使学生的思维得到了发展，提倡学生思维的开放性和创造性，鼓励学生根据自己的已有知识经验和独特体验，用自己的方法来发现创造。

学生在一次次的肯定中，学习动机得到激励，进而产生更强的学习动机。

二、注重知识的形成过程，让知识的理解水到渠成。

本节课上，我尝试让学生从生活实际中亲身感知集合的思想，并使他们亲身体验集合图的产生过程，（从收集学生的名单——反馈整理好的名单——圈一圈，站一站——圈语文和数学兴趣组的名单——课件一步步演示集合的形成），让学生在过程中体验集合的思想，在过程中感悟重叠，让学生经历问题解决的数学化过程，从而获得数学学习经验。

接着，创设了让学生自己设计图。

学生设计的图各式各样。

重叠问题在重叠问题中分析出数据，并且解决问题准确理解重叠部分，理解重叠问题解题思想【例1】(1)把图补充完整。

(2)能在陆地上生活的小动物有( )只。

(3)能在水里生活的小动物有( )只。

(4)上面的小动物一共有多少只？知识点一：统计与重叠【练1】三(1)班共有40名学生，其中喜欢数学老师的有29名，喜欢语文老师的有20名，每名学生至少喜欢一个。

用图( )可以表示这些数量之间的关系。

【练2】我会分类统计。

【练3】小红一家喜欢吃的水果调查表。

(1)根据信息把图补充完整。

(2)小红家既喜欢吃苹果又喜欢吃橘子的有( )人。

【例2】水里店两天进货种类情况如下：两天一共进了几种水果？【练4】两种报纸都订的有多少人？【练5】在班级联欢会上，刘雨欣、张鹏飞、徐刚、邵东、夏雪、李浩、郭宝7人准备了独唱歌曲，张鹏飞、王乐、夏雪和赵越4人准备了器乐表演，李浩、郭宝和邵东准备了跆拳道表演。

(1)准备独唱歌曲和器乐表演的共有多少人？(2)准备独唱歌曲和跆拳道表演的共有多少人？【例3】订阅《学习方法报》的有15人，订阅《少年智力开发报》的有20人，两种报纸都订阅的有6人。

(1)填写下面的图。

（2）订阅报纸的一共有多少人？(3)你还能提出其他数学问题并解答吗？【练6】学校举行足球比赛，五年级一共有8个班参加比赛。

每两个班一对进行比赛，负者被淘汰，胜者进入下一轮，最后决出冠军。

一共要进行多少场比赛？【练7】在知识竞赛中，语文优秀的有12人，数学优秀的有15人，其中两科都优秀的有8人。

语文、数学优秀的一共有多少人？知识点二：较复杂的重叠【练8】三(1)班有50人，喜欢打羽毛球的有28人，喜欢打乒乓球的有30人，两项运动都不喜欢的有7人。

两项运动都喜欢的有多少人？【例4】3个小朋友一起去植物园采集树叶标本。

明明采集了9种，红红采集了6种，丽丽采集了5种。

丽丽采集的5种树叶标本明明全采集到了，红红采集的树叶标本有4种明明也采集到了。

数学广角《重叠问题》听课心得体会《重叠问题》是小学三年级下册数学广角第一课时的内容，这个内容是日常生活中应用比较广泛的`数学知识，本节课涉及到一种最基本的数学思想方法：集合思想。

集合问题具有高度的抽象性，在这里由于学生初次接触，对他们来说，学习这部分内容，思维力度较强，内容偏难，有一定的挑战性。

老师成功地处理了教材，选取了贴近学生实际生活的事例展开教学活动，激发了学生的学习热情，使学生在实践、探索与交流的数学活动过程中，经历集合图产生的过程，让学生在体验和建构中理解集合图的本质，突破教学的难点。

具体有几点感受：一、创设情境，引起认知冲突，激发学习热情。

老师出示信息：校运动会，三（1）班小军、小林、小青、小明、小伟5个人参加100米跑步，小军、小光、小青、小明、小吉5个人参加立定跳远，一共有几个人参加了比赛？通过这样一道比较贴合学生的生活实际的事例，提出问题，能引起认知矛盾冲突，激发学生学习兴趣。

对教材进行这样的处理，降价了教学的难度，尊重了学生的认知基础，有一定现实意义。

二、现场演示，合作交流，建立模型。

集合思想的重要表现形式是韦恩图。

教师在教学中并未直接教学，而是采用主动探究的形式，让学生现场演示，通过实践操作，在老师的引导下抽象出集合图，再利用多媒体课件引导学生观察、说说：各区域各代表什么？通过教师的精心设问，学生的合作交流，他们不仅建立起集合思想的数学模型，并清楚地理解了各部分表示的意思，最后得出结论：利用韦恩图的形式可以来解决这类重叠问题。

三、建议：1、课堂教学要朴实有效，现代媒体要切实为教学服务，不要过多地依赖于课件。

如在现场演示操作演示中就可以抽象出集合图，并把它画在黑板上，然后引导学生讨论重叠问题中计算总人数的各种方法，突破重难点。

2、练习设计有梯度，既有基本练习又有提高拓展练习。

但本节课要强化基本练习，练习过程中要注意面向全体学生。

在练习中创造机会多让学生动脑、动手、动笔，并安排适当的形式让每一个学生参与交流，在交流中感悟，在体验中提高。

人教版小学数学三年级下册《数学广角》——重叠问题的说课稿尊敬的各位评委、老师们，大家好！今天我将为大家带来一堂关于人教版小学数学三年级下册《数学广角》——重叠问题的说课。

一、教材分析本课教学内容选自人教版小学数学三年级下册《数学广角》中的重叠问题。

这部分内容主要涉及到集合、分类计数原理等基本数学概念，通过学习，让学生初步接触到离散数学的思想和方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学目标1.知识与技能：使学生掌握重叠问题的基本概念和解题方法，能熟练运用集合的思想解决简单的实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、讨论等活动，让学生经历探究重叠问题的过程，发展学生的数学思维。

3.情感态度价值观：使学生在解决问题的过程中，感受到数学与生活的联系，增强学习数学的兴趣和信心。

三、教学重难点1.教学重点：掌握重叠问题的解题方法，理解集合的思想。

2.教学难点：运用集合的思想解决实际问题，培养学生的应用能力。

四、教法与学法为了更好地突出重点、突破难点，我将采用以下教法和学法：1.教法：通过情境导入、探究新知、巩固练习、总结拓展等教学环节，引导学生主动参与学习过程，使学生在观察、操作、讨论等活动中掌握知识，发展能力。

2.学法：倡导学生自主学习、合作探究的学习方式，鼓励学生通过观察、思考、交流等方式，主动获取知识，形成技能。

五、教学过程1.情境导入通过生活中的实例，如学生们参加课外活动小组的情况，引出重叠问题的概念。

让学生初步感知重叠问题的特点，激发学生的学习兴趣。

2.探究新知通过观察、操作等活动，引导学生自主探究重叠问题的解题方法。

首先，让学生通过画图的方式表示参加两个课外活动小组的学生情况，使学生初步感知集合的思想；接着，引导学生通过观察、讨论等方式，发现重叠部分的学生数量，理解重叠问题的解题方法；最后，通过举例验证解题方法的正确性。

3.巩固练习为了及时巩固新知，我将设计以下练习：（1）基本练习：让学生独立完成教材上的“做一做”题目，通过练习进一步掌握重叠问题的解题方法。