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投影变换(换面法)

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土木工程制图第五章,投影变换-换面法

土木工程制图第五章,投影变换-换面法

H
3、一般位置直线变成投影面垂直线
• 先将一般位置直线变成 投影面平行线； • 再将投影面平行线变成 X 投影面垂直线。 1 X 2 X • 注意：什么是二次变换？
b a'
2 2
土木工程制图
a' b'
a
b a'
1
b'
1
土木工程制图 4、一般位置平面变成投影面垂直面 • 在一般面上作一投影面平行线，例作一水 平线；
第5章 投影变换—换面法
土木工程制图
教学提示：画法几何中有关点、直线和平面的问 题，一般可以归纳为定位和度量问题。 当几何元素处于一般位置时，为了求 解方便，常采用换面法改变其中的某 些元素与投影面的相对位置，成为有 利于解题的特殊位置。 学习要求：通过本章学习，学生应掌握换面法的 一般概念及特点，能够使用换面法解 决有关点、直线和平面等几何元素之 间的定位和度量问题。
分析：在投影图中直接反映两平面夹角的特殊 情况，只要将这两个相邻平面用换面法变成同 时垂直于同一投影面，也就是将这两个平面的 交线变换成投影面垂直线，即可求得夹角θ。
土木工程制图
a' f'c' e'd' 1.在适当的位置作O1X1∥cd1，将CD变换为H、 V1新投影面体系中的V1面平行线。
X
V H
土木工程制图
3）求平面的实形： 将平面变成投影面平行面。 4）求平面的倾角、点到平面的距离、两平行面距离、直线 与平面交点和两平面交线等： 将一般面变成投影面垂直面。
二、换面法基本方法
土木工程制图
1、基本原则： 1）新投影面必须设立在使空间元素处 在有利于解题的位置； 2）新投影面必须垂直于原有投影体系 中的一个投影面。 2、基本概念：

第三章 换面法

第三章 换面法

上一页
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§3-1 换面法的基本概念 一、问题的提出
★ 如何求一般位置直线的实长？ ★ 如何求一般位置平面的真实大小？ ★ 如何求一般位置平面与投影面的真实倾角？
解决问题方法
改变空间几何元素与投影面的相对位置，使 它们相互之间处于某一特殊位置的情况，从而使 问题简化、得到解决——投影变换。
投影变换的方法：1. 换面法

V X H X



A
a' 1

V1
ax


ax1
H X1
a
ax a'1 ax1
a

V1 H X1
思考：如何用 新面H1代替H ？
上一页 下一页
§3-2 点的换面 投影变换的基本规律 a 由点的换面可知：

aa'1 O1X1
V X H
ax
O O1

a'1
a'1ax1 = aax
●
n ●
● c
M
N
a
XV H
●
m
b
当直线AB垂直于投影 面时，MN平行于投影面， 这时它的投影m1n1=MN,且 m1n1⊥c1d1。 A
C N M D B a1m1b1 P1
●
a
c
● ●
m
d b
d'1
.
●
n
a'1≡b'1≡m'1
●
c1
n1
d1
求m点是难点。
H P1 X1 c'1
●
n'1
圆半径=MN
O O1
c a

换面法

换面法

实形
保持空间几何元素位置不动，通过变换投影面，使几何元素 在新投影面体系中处于对解题有利的位置，这种方法叫做变换投影 面方法，简称换面法。
二、点的换面投影规律
★
1.点的新投影与不变投影之间的连线垂直于新投影轴；
不变投影 新投影
原投影
2.点的新投影到新投影轴之间的距离等于原投影到原投影轴之间的
距离。
解题步骤：
1.将交线AB 变换为新投 影面的垂直线 2.两平面 随之变换 3.角 即为所求
例7 求直线AB 与平面DEF 之间的夹角θ
—— 应用换面法解题：
例8 平行四边形ABCD 给定一平面，试求点S 至该平面的距离 空间分析：
—— 应用换面法解题：
. 距离
解题步骤：
1.将平面ABCD 变换为新投 影面的垂直面 2.点S 随之变换 3.过S 作ABCD 的垂线,s1’k1’ 即为所求
.
Hale Waihona Puke 例5 求两交叉直线AB 和CD 的公垂线，并求两者之间的最短距离
—— 应用换面法解题：
解题步骤：
1.将两已知直线之一CD 变 换为投影面垂直线,直线 AB 随之变换 2.在投影面H2 中作公垂线 ST 的投影s2t2 3.将s2t2返回原体系
距离实长
例6 求△ABC 与△ABD 之间的夹角
—— 应用换面法解题：
.
.
例2 试过定点A 作直线与已知直线EF 正交
—— 应用换面法解题
解题步骤：
1.将直线EF 变换 为新投影面的 平行线 2.点A 随之变换 3.过a1’作e1’f1’的 垂线,得k1’
4.将k1’a1’返回原 体系
例3 过点K 作直线与平面△CDE 平行，并与直线AB 相交

投影变换——换面法

投影变换——换面法

旋转正平线成铅垂线
旋转水平线成正垂线
旋转法
3.3.1 问题的提 出 3.3.2 旋转法 的概念
3.3.3
绕垂直轴 旋转
3.3.4
绕垂直轴 一次旋转 可解决四 种作图问 题
3.3.5 绕垂直轴 二次旋转
结束 返回
3、将投影面垂直面旋转成投影面平行面
将正垂面旋转成水平面 将铅垂面旋转成正平面
三、点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。
换面法的四个基本问题：
1. 把一般位置直线变成投影面平行线 变换一次投影面
2. 把一般位置直线变成投影面垂直线 变换两次投影面
3. 把一般位置平面变成投影面垂直面 变换一次投影面 需先在面内作一条投影面平行线
4. 把一般位置平面变成投影面平行面 变换两次投影面
3.3.4
绕垂直轴 一次旋转 可解决四 种作图问 题
3.3.5 绕垂直轴 二次旋转
结束 返回
点A绕正垂轴旋转
投影规律：点的一个投影在 垂直于旋转轴的投影面上作圆 周运动，在另一投影面上的投 影作与投影轴平行的直线运动。
旋转法
3.3.1 问题的提 出 3.3.2 旋转法 的概念
3.3.3
绕垂直轴 旋转
a1' d. 1'
b1'. a2b2d2
如何确定d1 点的位置？
c1'
V1 H2
c2
X2
过c1作线平行于x2轴。
例2. 求两直线AB与CD的公垂线 。
b' 1'
2'
1
X2
V1 H2 c2
2
22
12
d2
c1'

投影变换概述

投影变换概述

机械制图
谢谢观看！
（2）旋转法
原投影面保持不变，将空间几何元素绕着某条选定的轴线 旋转到有利于解题的位置，这种投影变换方法称为旋转法。
如图2-57所示，以△ABC上垂直于H面的直角边AB为轴， 使△ABC旋转到与V面平行的位置△ ABC1 ，此时在V面上的投 影△ a'b'c换面法
图2-57 旋转法
2．投影变换的分类
投影变换的方法一般有换面法和旋转法两种。
（1）换面法 保持空间几何元素不动，设置一个新的投影面替换原投影
体系中的某一个投影面，组成一个新的投影体系，使几何元素 在新投影面上的投影直接反映所需要的几何关系，这种方法称 为换面法。
如图2-56所示，△ABC在原投影体系H面和V面上的投影 均不反映实形。现设置一个新投影面V1 ，使 V1面垂直于H面 并与△ABC平行，这就组成了一个新投影体系V1 /H， V1面 与H面的交线 O1X1称为新投影轴。在这个新投影体系中， △ABC在V1面上的投影△a1'b1'c1'反映实形。
机械制图
投影变换概 述
投影变换概述
1．投影变换的概念
当直线或平面相对投影面处于一般位置或不利于解题的 位置时，在投影图中不能较简便地解决它们之间的一些度量 问题或某些空间几何问题。
若能改变直线或平面对投影面的相对位置，使其由一般 位置变换为特殊位置，就能达到有利于解题的目的。这种变 换空间几何元素（点、线、面）对投影面相对位置的方法， 称为投影变换。

土木工程制图第5章投影变换换面法

土木工程制图第5章投影变换换面法

5.2
图5-9 一般位置直线变换成垂直线
5.2
4.将一般位置平面变换成垂直面
如图5-10所示，△ABC为一个一般位置平面，如果要将其 变换为正垂面，
(1)在△ABC上作水平线AD，其投影为a′d′和ad (2)作X1轴⊥ad (3)作△ABC在V1面的投影a1′b1′c1′，a1′b1′c1′ 积聚为一条直线，它与X1轴的夹角即反映△ABC对H面的 倾角α
5.2
图5-6 一般位置直线变换成平行线(求α角)
5.2
2.
如图5-8所示，AB为 一条正平线，要变换成垂 直线。根据垂直线的投影 特性，反映实长的投影必 定为不变投影，只要变换 水平投影，即作新投影面 H1垂直于直线AB，作图时 作X1⊥a′b′，则直线AB 在H1面上的投影积聚为一 a1(b1)
(2)过a点作新投影轴X1的垂线，得交点aX1 (3)在垂线aaX1上截取a1′aX1= a′aX，即得A点在V1面 上的新投影a1′。
5.2
图5-3 点的一次变换(变换V面)
5.2
(1)不论在新的或原来的(被代替的)投影面体 系中，点的两面投影的连线垂直于相应的投影轴。
(2)点的新投影到新投影轴的距离等于原来的 投影到原来投影轴的距离。
5.2
图5-16 求侧平线与倾斜面的交点
5.2
【例5-3】
求两条交叉直线AB、CD间的距离，如图5-17(a)
【解】分析：两条交叉直线间的距离即为它们之间公垂线的
长度。如图5-17(a)所示，若将两条交叉直线中的一条(
AB )
MK
并在该投影面上的投影反映实长，而且与另一条直线在新投
影面上的投影互相垂直。
5.2
图5-18 求两平面间的夹角

投影法第六章投影变换

d'
d
例题4
返回
例题4 已知点E在平面ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。
15 b1'
a1' e1'
e' d'
e1 d1' c1'
ed
返回
a1'
a2
b2 b1' a1'
X1 例题 放大图
返回
b' a'
X
V H
b
a
a1'
a2'b2' b1'
返回
例题 求两直线AB与CD的公垂线 。
b' 1'
2'
1
c2
2
22
12
d2
c1'
21' d1'
b1'
a2b2
a1'
11'
返回
（四）、把一般位置平面变为投影面垂直面

d'
b1

D
d1H1 a1
d
c1
返回
一、换面法的基本概念
c1’ V1
a1’
b1’
c1’ b1’
a1’
X1 X1
V/H 体系变为V1/H 体系
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的 投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找 出其在新投影面上的投影。
返回
（二）、新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：
d
c
例题2 例题3
返回
例题2 求点S到平面ABC的距离 k'
s'

投影变换

改变空间几何元素和投影面的相对位置，除了用换面法外，还 可应用旋转法。旋转法就是让投影面不动，而使空间几何元素绕着 某一固定轴线旋转，旋转到与投影面处于有利解题的特殊位置。
a' o' a' V AO
旋转轴 旋转中心 旋转半径 轨迹圆
o'
b1' X
o1'
b' O
b1'
o1' b' O1 a b1 b
B1 X
3. 将一般位置平面变为投影面的垂直面
分析 ： 若△ABC中包含某投影面的垂直线，则此平面一定与该投影面垂直，因 此只要将平面内的一条直线变换为投影面的垂直线即可。由前所知，投影面 平行线变换为垂直线只需一次换面，因此，在△ABC内可作一平行线，将其 变换为垂直线，则平面就可变垂直面。
a) 直观图
o' ( ) b1' a' o'
b'
X
a o b
O
分析： AB为一条水平线，利用旋转 法将其变换为正垂线。由于正垂 线的水平投影⊥X轴，必须改变 AB对V面的倾角，所以旋转轴应 为铅垂线，因此可过点A作一旋 转轴O，以o为圆心，ab为半径画 弧，使ab1⊥X轴，则AB1为旋转后 的正垂线。同理，也可将一条正 平线变换为铅垂线。
B 旋转点
b1
a
b
图4-14 直线AB绕OO轴旋转
4.2.2 点的旋转变换
V m 1' m'
m1'
M O O
m' o'(o')
o'(o')
X M1
X
o m
m1
图4-15 点绕正垂线旋转

4、投影变换(换面法)


b' a'
X
• i' a c i • b
H X1 V1
c'
•c ' 1
V O H O2 O1
•
c2
• a1' (i1')
•i 2
• a2
实形
• b1'
V1 H2
• b2
是以其中一直线为依据来选择，即将其中一条直线（一般 线）更换成平行线，投射线，其它元素跟着过来。另一种 是以其中一个平面为依据来选择新轴。即将一般面改换成 投射面、平行面。其它元素跟变换过来。
不动，设立新的投影面代替原有的投影面中的一个，使新
投影面与几何元素处于有利于解题的位置。
一、换面法的投影规律：
如图4-2中，先只看A点的投影。如图4-3 （a)所示。
a' V
A
a'1 x1
o
x ax a
V1
ax1 H a'1 V1
o1
图4-3 （a)
新的投影面必须垂直于原投影面体系中的一个投影面。 如 V1H ，这样 V1 与H才能构成一个新的两投影面体系。 a' a x Aa a1' a x1 展开时V不动， V1 摊平到与H在 由图可知 同一面上，然后H面连同 V1 一齐绕OX轴旋转到与V在同一 平面上。 画投影图时，为表示清楚，在OX以上标V，OX下标H，在 的一方标H，另一方标
工程上要解决的问题： （一） 定位问题：包括线面交点、两面交线、截交线、相 贯线
(二） 度量问题：包括求直线实长、平面实形、点线距、 点面距离、平行线间距、两交叉线距离、平行面距离、直 线及平面对投影面倾角、两面夹角、线面夹角等。 一、投影变换的目的：将原来处于一般位置的空间几何元 素，变换为有利于解题的位置。

第七章 投影变换

a
V
A
作图：
b a
V H
V1
a1
b1
X
b
B
b a
H
V1
.
X
a
X1
H b
X1
a1
●

●
b1
新投影轴的位置？ 应与ab平行。
例2：已知直线AB的两投影ａｂ、ａ′ｂ′， 试求直线AB的实长和对V面的夹角β。
在变换平行线时，需确定：
确定更换哪一个投影面 选定新投影轴的方向
2、把投影面平行线变换成投影面垂直线
垂直面变换成平行面
A A
Ⅰ
Ⅱ
D
பைடு நூலகம்
Ⅰ
D
Ⅱ
两平面垂直 两平面不垂直

三、平面的投影变换
把一般位置平面变换为投影面垂直面 把投影面垂直面变换成投影面平行面 把一般位置平面变换为投影面平行面
一、点的投影变换
1、 点的一次变换
点的一次变换（变换V面）
点的变换规律:
1) 新投影与不变投影之间的连线始终垂直于新 投影轴，即a a 1⊥x1轴；
2） 新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距 离，即 a 1ax1= a ax轴。
2、 点的二次变换
在变换投影面法中，有时变换一次还不能解决问 题，这时必须变换两次或更多次。
在变换两个或两个以上的投影面时，点的新投影的求法 和原理与更换一个投影面时完全相同。但必须指出，v面和H 面必须交替变换。 对新、旧投影面（投影轴）的概念要随变换过程而随时 改变。
点 的 二 次 变 换
二、直线的投影变换
将一般位置直线变换成投影面垂直线，只经 过一次换面是不能实现的，因为垂直于一般位置 直线的平面是一般位置平面，它与原有的两个投 影面均不垂直，不能构成直角投影体系，所以必 须经过两次换面。 首先将一般位置直线变成投影面平行线，然 后将投影面平行线变成投影面垂直线。
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作 图 过 程： ★ 在平面内取一条水平 线AD。 ★ 将AD变换成新投影 面的垂直线。
c
b c
H X1 V1
a
d
.
α c1 a1 d1 b1
● ● ●
反映平面对哪个投影面 的夹角？
4. 二次变换：把一般位置平面变换成投影面平行面
空间分析： 一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面； 二次换面，再变换成新投影面的平行面。 作 图： a
⒉ 二次变换 ⑵ 求新投影的作图方法 a

作图规律

a2a1 X2 轴 a2ax2 = aax1
V X H
ax
a ax1 H X1 V1
.

a2
ax2 . a1 H2 V1 X 2
三、换面法的四个基本问题
1. 一次变换：一般位置直线变换成投影面平行线 例：求直线AB的实长及与H面的倾角。
例2：求线段AB的实长，及其α 、β 角
a1
实长
β
b1
X
V H
a
b
b
a
α
b1
实长
a1
例3：求直线EF与△ABC平面的交点，并判别可见性。
e
V H
b k c
f
a
X
b
f
f1
a e
k
c
a1 (c1 )
b1
k1
e1
例4：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。 空间及投影分析： 作图: b c 求C点到直线AB的距离
在平面内取一条投 影面平行线，经一次换 面后变换成新投影面的 垂直线，则该平面变成 新投影面的垂直面。
c
V
C
V1
c1 a1 d1 b1
X1
a
A X
d b′
D B
思考： 若变换H面，需在面 内取什么位置直线？
答案：正平线！
c
d
a
b
H
例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。
b a
V X H d
，就是求垂线CD的实长。 如下图：当直线AB垂 V X 直于投影面时，CD平行于 H 投影面，其投影反映实长。 c
AD
C B abd P
a d b a
.
距离 b b1'. a2 2d2
c2
d
. a1' d1'

H X1 V 1
c
如何确定d1 点的位置？ 过c1 作线平行于x2轴。
第五章 问题的提出
投影变换
★ 求实长、实形、倾角？ ★ 求距离：点与直线、点与平面、两直线、直线与平面、平 面与平面的距离？ ★ 求夹角：直线与直线、直线与平面、两平面的夹角？ 当几何元素处于特殊位置时，可直接由投影中求得。
解决方法：投影变换。
求解距离、夹角、实形、交点的最佳投影分析
b’ a’
c’ b’
§5-2 辅助投影面法(换面法)
指的是换“投影面”
物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助 投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题
所需要的有利位置，然后将物体向新投影面进行投射。
旧投影面
旧投影 旧投影轴(旧轴)
1、替换投影面、替换投影、替换投影轴（替换轴） 2、保留投影面、保留投影
c1 '
V1 H2 X2
例5.
求两直线AB与CD的公垂线 。
b' 1' 2'
1 2 c1'
X2 V1 H2 22 d2 21' d1' 11'
c2 12
a2b2
返回
例6: 过C点作直线CD与AB相交成60º 角。
空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实 大（60°），因此需将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面。
换面法的四个基本问题：
1. 一次变换：把一般位置直线变成投影面平行线 新投影反映实长和一个倾角； 2. 二次变换：把一般位置直线变成投影面垂直线 新投影积聚为一点 3. 一次变换：把一般位置平面变成投影面垂直面 新投影积聚为一条直线，反映一个倾角 需先在面内作一条投影面平行线
4. 二次变换：把一般位置平面变成投影面平行面
二、变换原理：点的投影变换规律
⒈ ⒉ 一次换面 二次变换
⑴ 新投影体系的建立
X2
a2
V H2


ax2
V1
a

A



a 1

ax
X
a
H

ax1
X1
V X1 —1 先把V面换成平面V1， V1H，得到中间新投影体系: H V1 X2 — 再把H面换成平面H2， H2 V1，得到新投影体系: H2
⒈ 一次换面 ⑵ 新旧投影之间的关系(即变换规律)

a ax
.
V
a


A
a' 1 v1
V X H

a1'
ax
X


ax1 a
H X1
ax1
H v1 X1
a

点的新投影与保留投影的连线，必垂直于新轴。 aa1 X1
点的新投影到新轴的距离，等于旧投影到旧轴的距离。 a1ax1 = aax
X V H
c b
AB是水平 线
●
a2
a
●
. b . a1 b1
b2●
●
c2
c
H V1 X1
平面的实形
c1
●
X2轴的位置？ 与其平行
四、换面法的应用
例1：已知点A的两面投影a 、a′，且YA=YB，及B的新投影b1 ′ ，求a1 ′ ，及b 、b′。
a
X V H
b
a
b
b1
a1
二、变换原理：点的投影变换规律
⒈ 一次换面 ⑴ 新投影体系的建立

a
V
a



A
a' 1

v1 V
ax
.
a1'
ax
X


X
H
ax1
a
H X1

ax1
H v1 X1
a
旧投影体系
V X— H A点的两个投影：a， a
新投影体系
X1 — H A点的两个投影：a，a1
v1
二、变换原理：点的投影变换规律
c2 (a2 )
角平分线
d2
小 结
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 ——换面法。
一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。 二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。 三、点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
与ab平行。 X1轴的位置？
X2轴的位置？与a1 b1 垂直
X2
b V H
a2b2
V a b
H2

ax2 b1
a
b a
H X1 V1a
1
● ●
V1
X
B A
a1
b
X
a H X1
b1
.
a2b2
3. 一次变换：把一般位置平面变换成投影面垂直面 空间分析：两平面垂直需满足什么条件？ 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么 该平面则变换成新投影面的垂直面。 作图方法：
a’
c’ b’ a’ d’ d c
c’ d’
a’
a b c
b’
c d b
a
b
a
两平面夹角
b
a
两点之间距离
三角形实形
直线 与平面的交点
第五章
投影变换
§5-1 投影变换的目的和方法
1、变换的目的 研究如何变换原有的投影为新投影，以使空间几何元素由一 般位置变成特殊位置，从而达到简化解题的目的。 2、变换的方法 研究的是投影面与空间几何元素的关系。 常用的变换方法有换面法(辅助投影面法)和旋转法。 换投影面 旋转几何元素
例7 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。 a2
15
b2 d2 e1
e2 c2
e
d
e
d
例8：在直线EF上找一 点K,使该点到两相 交平面的距离相等。
X
V H
e
k
f
d
b
a
c
d
e
a
f
c
c1
k
b
b1
k1 d1 e1
f1
a1
e2
k 2 f 2 b2
3、辅助投影面、辅助投影、辅助投影轴（辅助轴） 新投影面
新投影
新投影轴(新轴)
§5-2 辅助投影面法(换面法)
一、新投影面的选择原则
v1
a
V
A B a
H
a1 '
b
b1'
平行于新的投影面 垂直于新的投影面
b
1. 新投影面必须与空间几何元素处于有利的解题位置。
2. 新投影面必须垂直于原投影面之一。 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
新投影反映实形
空间分析： 用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，AB//V1。
b 作图： a
V
A V1
a