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5.1证明：长波下单原子链运动方程为 )2(11n n n n u u u um -+=-+β （1）可化为连续介质弹性波动方程 )()(22222tu v tu ∂∂=∂∂（2）证明：在长波极限下位移n u 随n 的变化是非常缓慢的，即可看作是连续变化的∴（1）式可改写为 )},(2),(),({),(22t x u t a x u t a x u tt x u m --++=∂∂β=}),(21),(),(21),({22222xt x u a xt x u axt x u a xt x u ∂∂+∙∂∂-∙∂∂+∙∂∂β222),(a xt x u ∙∂∂=β∴22222222),(),(),(xt x u vxt x u matt x u ∂∂=∂∂=∂∂β其中：a mv ∙=2/1)(β为声速。
5.2从有关一维双原子链晶格振动的结果，从5.1.2式出发，说明当两原子的质量M m =时结果回到一维单原子链的情形解：从一维双原子链格波的色散关系有；})]21(sin)(41[1{2/1222qa m M Mm Mmm M w+-±+=±β当m M =时有： )21c o s1(22qa mw ±=±β∴有qa m w 41cos 422β=+ （1） qa mw 41sin422β=-a q m'=21s i n42β （2） 其中q 为一维双原子链的波失aa q ππ42/2==，q '为一维单原子链的波失aq π2='5.3 设有一维双原子链，链上最近邻原子间的恢复力常数交错的等于β和β10，若两种原子的质量相等，并最近邻间距为2a ，试求在波失0=q 和aq π=处的)(q w ，并画处其色散关系曲线。
解：设n u 和n v 分别代表两种 原子的相对平衡位置的位移，M 代表每个原子的质量，则相邻两种原子的运动方程为)1110()()(1011n n n n n n n n u v v v u u v uM -+=---=--βββ （1） )11()(10)(11n n n n n n n n v u u u v v u vM -+=---=++βββ （2）设试探解为)(0nqa wt i n e u u --=，)(0nqa wt i n e v v --= 将试探波解代入方程中可得)1110(2u vev Mu w iqa-+=--β，)1110(2v ueu Mv w iqa-+=-β)10()11(0)11()10(22=++-=-++∴-u e v Mwu Mwv e iqaiqaββββ要想v u ,有解则须系数行列式为零可得：})]cos 1(20121[11{2/12qa mw--+=±β±w 分别对应于光学支与声学支当0=q 时有)22(2/1==-+w Mw β当aq π=时有2/1)20(M w β=+2/1)2(Mw β=-所以其色散关系如图：5.5 对于金属Al 计算在什么温度下晶格比热和电子比热相等 解：由德拜理论晶格比热为3411)(512DB T k n CvΘ=π，其中1n 为晶体的原子浓度，DΘ为德拜温度，Al 的德拜温度为385K 电子比热为2Cv FBT T k n 222π=其中2n 为晶体的电子浓度因为一个Al 原子可提供3个电子，所以晶体的电子浓度为329323232)(108.1)(108.11002.6277.23--⨯=⨯=⨯⨯⨯==m cm mZ n m ρKk T J mk mn k BFF F FF 518221103/12210357.1,10873.12,1075.1)3(⨯==⨯==⨯==--εεπ由21Cv Cv=可得：5.16K)8T 5(T 2/12F 3D=Θ=π5.7 考虑一个全同原子组成的平面方格子，用m l u ,记第l 列，第m 行的原子垂直于格平面的 位移，每个原子的质量为M ，最近邻原子的力常数为β （1） 证明运动方程为： )}2()2{()(,1,1,,,1,12,2m l m l m l m l m l m l m l u u u u u u dtu d M -++-+=-+-+β证明：系统总的势能为： })(){(212,1,21,,,m l m l m l ml m l u u u u v ++-+-=∑β（1）由运动方程ml m l u v uM ,,∂∂-= 若只考虑最近邻的原子则有)}2()2{(,1,1,,,1,1,m l m l m l m l m l m l m l u u u u u u uM -++-+=-+-+β （2） （2） 设解的形式为)](exp[)0(,wt b mq a q i u u y x m l -+=这里a 是最近邻原子的间距，证明运动方程是可以满足的。
第五章晶体中的缺陷主要内容介绍晶体缺陷及其运动的基本知识●缺陷的定义、分类和运动●扩散的宏观定律和微观机制缺陷的定义和分类●原子排列具有严格周期性的晶体称为理想晶体，实际的晶体中总是存在各种缺陷。
●缺陷是对原子排列严格周期性的破坏。
●缺陷对晶体的性质有重要影响。
●根据缺陷的几何尺度，缺陷分为三类：点缺陷、线缺陷、面缺陷(在前面的讨论中，我们一直假定晶体是理想的，即原子或离子的排列具有严格的周期性。
因此晶体具有平移不变性，或称为长程有序（long-range order）但实际上，缺陷总是存在的，产生缺陷的原因或是温度引起的热涨落使原子离开格点、或是化学组分与理想晶体偏离。
本章我们讨论静态缺陷。
晶格振动导致原子瞬间位置对平衡位置的偏离，但从时间的平均上看并不破坏晶体的长程有序，对晶格振动和格波的讨论仍以此为基础)5.1 点缺陷缺陷尺度只有一个或几个原子大小主要形式有：空位、间隙原子、杂质原子、色心空位、间隙原子◆格点缺少原子，称为空位◆间隙位置中有原子，称为间隙原子空位和间隙原子产生的原因空位、间隙原子是由于原子的热运动而产生的，因而又称为热缺陷空位和间隙原子的产生方式●体内产生●与表面交换原子费伦克耳缺陷肖特基缺陷（空位）热缺陷的运动热缺陷是处在不断的产生和消失过程中空位和间隙原子不停地作做无规则的热运动,其位置不断发生变化.在运动中,间隙原子与空位相遇复合而消失在一定温度下,产生和消失达到平衡,晶体内空位和间隙原子的浓度将保持稳定 热缺陷的平衡数目平衡时单位体积中空位的数目单位体积中格点的数目 形成一个空位所需的能量平衡时单位体积中间隙原子的数目单位体积中间隙的数目 形成一个间隙原子所需的能量 空穴和间隙原子的浓度和运动都依赖于温度。
在一般情况下，空位是晶体中主要的热缺陷。
（这些公式的重要性在于说明：1、晶体的无序从本质上讲是不可避免的，由于u 并非无穷大，在T 不等于零的有限温度下，必定有空位和间隙原子存在，尽管其数目未必和统计平衡值一致，例如从高温迅速冷冻到室温，可使高温下的点缺陷数：冻结“下来，数目远大于平衡值。
§ 5.6 载流子的扩散运动主要内容：扩散运动非平衡载流子光照)1()(dx x p d Δ浓度梯度＝扩散流密度S p ：粒子数)2()(dx x p d D S p p Δ−=扩散定律负号高流向低dx x dS p /)()3()()(22dx x p d D dx x dS p p Δ=−单位时间单位体积内积累的空穴数等于单位时间单位体积内因复合而消失的空穴数。
τ/)(x p Δ)4()()(22τx p dx x p d D p Δ=Δ稳态扩散方程称为空穴扩散长度。
＝其中τp p p p D L L x B L x A x p )5()/exp()/exp()(+−=Δ扩散长度寿命。
0)()(,00)(,p x p x x p x Δ=Δ==Δ∞=)7()/(exp )()(0p L x p x p −Δ=Δ扩散长度（1）样品很厚)8()0()0()()/exp()()(0p L D S x p L D L x p L D dx p d D x S p pp pp p p p p p Δ=Δ=−Δ=Δ=－向内扩散的空穴流大小就像非平衡空穴以D p /L p 的速度向内运动()()()()pp p L dx L x dx L x x dx x p dx x p x x =−−=ΔΔ=∫∫∫∫∞∞∞∞−0000exp exp(2)样品宽W，在另一端将非平衡载流子全部引出0)()(,00,p x p x p W x Δ=Δ==Δ=)9()/(]/)[()()(0Lp W sh Lp x W sh p x p −Δ≈Δ)10()/1()()(0W x p x p −Δ≈ΔW x )(x p Δ0)(p ΔWD p S pp 0)(Δ=扩散流密度为：()Wp dx x p d 0)(Δ−=Δ保证大的基区输运系数，获得较大的电流放大系数dxx n d D S nn )(Δ−=τ)()(22x n dx x n d D n Δ=Δx n d dx qD p)(Δ电流密度n p Δ∇Δ∇及p D S p p Δ∇−=pp p p D τ/2Δ=Δ∇pqD J p p Δ∇−=扩)(§ 5.7 载流子的漂移运动，爱因斯坦关系式Enq J Epq J n n pp μμ==漂漂）（)(注入电子扩散电流密度空穴扩散电流密度扩扩dxx n d qD J dx x p d qD J nn pp )()()()(Δ=Δ−=电子、空穴漂移电流的方向均与电场方向一致！！E(J p )扩(J p )漂(J n )扩(J n )漂-++++++++++++++++dxx n d qD E nq J dx x p d qD E pq Jnn npp p)()(Δ+=Δ−=μμ漂移项扩散项非均匀掺杂n 平衡时电子扩散电流密度空穴扩散电流密度扩扩dxx dn qD J dx x dp qD J nn pp )()()()(00=−=电离杂质不能移动，静电场E ，产生漂移电流Enq J E pq J n n p p μμ==漂漂）（)(++++++++++++++++电场方向)()(0)()(0000＝＝dxx dn qD E q x n J dx x dp qD E q x p Jn n np p p+=−=μμdxx dn D E x n dx x dp D E x p nn pp )()()()(0000−==μμ由于存在电场，半导体内电势各处不等)2()(dxx dV E −=→半导体处于热平衡)3()()()()]([exp )(00000dxx dV T k q x n dx x dn T k x qV E E N x n c F c =⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−=爱因斯坦关系式上式适于非简并半导体平衡和非平衡载流子。
