第一章、晶体的结构习题1．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为：（1）简立方，6π; （2）体心立方, ;83π（3）面心立方，;62π（4）六角密积，;62π（5）金刚石结构，;163π[解答]设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度，设 n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致密度ρ=Vrn334π（1）对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.2所示，中心在1，2，3，4处的原子球将依次相切，因为,,433aVra==面1.2 简立方晶胞晶胞包含1个原子，所以ρ=6)(33234ππ=aa（2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为,,433aVra==晶胞包含2个原子，所以ρ=ππ83)(*2334334=aa图1.3 体心立方晶胞（3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为3,42a V r a ==，1个晶胞包含4个原子，所以ρ=62)(*4334234ππ=a a .图1.4面心立方晶胞（4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。
5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切，图 1.5 六角晶胞 图 1.6 正四面体晶胞的原子O 与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O 点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高h =223232c r a == 晶胞体积 V = 222360sin ca ca =, 一个晶胞包含两个原子，所以ρ=ππ62)(*22233234=ca a .（5）对金刚石结构，任一个原子有4个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.7所示，中心在空间对角线四分之一处的O原子与中心在1，2，3，4处的原子相切，因为,83ra=晶胞体积3aV=,图1.7金刚石结构一个晶胞包含8个原子，所以ρ=163)83(*83334ππ=aa.2．在立方晶胞中，画出（102），（021），（122-），和（201-）晶面。
[解答]图1.8中虚线标出的面即是所求的晶面。
3．如图1.9所示，在六角晶系中，晶面指数常用（hkml）表示，它们代表一个晶面在基矢的截距分别为,,,321makaha在C轴上的截距为lc证明：mkh-=+求出 O5522133131,,,ABBABBAAAA和A531AA四个面的面指数。
图1.9六角晶胞对称画法[解答]设 d 是晶面族（hkml ）的面间距， n 是晶面族的单位法矢量，晶面族（hklm ）中最靠近原点的晶面在a c a a ,321 轴上的截距分别为 l c m a k a h a /,/,/,/321 所以有1a ·n =hd , 2a ·n =kd , 3a ·n =md .因为),(323a a a +-=所以3a ·)(32a a n +-=·n 。
由上式得到md =)(kd hd +-. 即),(k h m +-=由图可得到： 31'A A O 晶面的面指数为(11-21) 1331B B A A 面的面指数为(11-20)5522A B B A 晶面的面指数为(1-100)531A A A 晶面的面指数为(0001)4．设某一晶面族的面间距为 d , 三个基矢 321,,a a a 的末端分别落在离原点的距离为d h 1,d h d h 32,的晶面上，试用反证法证明：321,,h h h 是互质的。
[解答]设该晶面族的单位法量为 321,,a a a 由已知条件可得1a ·21,a d h n =·,2d h n =3a ·,3d h n =假定321,,h h h 不是互质数，且公约数 1≠p 即332211,,pk h pk h pk h ===321,,k k k 是互质的整数，则有1a ·21,a d pk n =·32,a d pk n =·d pk n 3=今取离原点最近的晶面上的一个格点，该格点的位置矢量为,332211a l a l a l r ++=由于 心定是整数，而且r ·11a l d n ==·22a l n +·33a l n +·n于是得到1332211=++l pk l pk l pk由上式可得pl k l k l k 1332211=++ 上式左端是整数，右端是分数，显然是不成立的。
矛盾的产生是 p 为不等于1的整数的假定。
也就是说，p 只能等于1，即321,,h h h 一定是互质数。
5．证明在立方晶体中，晶列[hkl ]与晶面（hkl ）正交，并求晶面(111l k h ) 与晶面(222l k h )的夹角。
[解答]设d 是为晶面族（hkl ）的面间距 ，n 为法向单位矢量，根据晶面族的定义，晶面族（hkl ）将 a,b, c 分别截为l k h ,, 等份，即a •n =a cos(a,n )=hd,b •n =b cos(b,n )=kd,c •n =c cos(c,n )=ld 于是有n =a d h i +adk j +a d l k=ad(h i +k j +l k )其中,i ,j,k 分别为平行于a,b,c 三个坐标轴的单位矢量，而晶列[hkl ] 的方向矢量为R =ha i +ka j +la k =a(h i +k j +l k ) 由（1），（2）两式得 n =2ad R 即n 与R 平行，因此晶列[hkl ]与晶面（hkl ）正交。
对于立方晶系，晶面(111l k h ) 与晶面(222l k h ) 的夹角，就是晶列 R 1=1h a +1k b +1l c与晶列R 2=2h a +2k b +2l c的夹角，设晶面 (111l k h )与晶面 (122l k h ) 的夹角为 ϕ 由R 1•R 2=ϕϕcos cos 222222*********a l k h l k h R R ++++= =221221221a l l a k k a h h ++ 得})(({cos 2222222121212121211lk h l k h l l k k h h ++++++=-ϕ6．如图1.10所示，B,C 两点是面心立方晶胞上的两面心。
（1） 求 ABC 面的密勒指数；（2） 求 AC 晶列的指数，并求相应原胞坐标系中的指数。
图1.10 面心立方晶胞[解答]（1） 矢量A B与矢量C B 的叉乘即是 ABC 面的法矢量A B =),2(21)(21)(c b a c b b a B O A O -+=+-+=-),(21)(21)](21[c a c b b a c B O C O C B +=+-++=-=A B ⨯).3(4)(21)2(21c b a ac a c b a C B --=+⨯-+=因为对立方晶系，晶列[hkl ]与晶面族（hkl ）正交，所以ABC 面的密勒指数为(-131).（2）).2(21)()](21[c b a b a b a c A O C O C A -+-=+-++=-=可见 C A与晶列 (a+b-2c) 平行，因此 AC 晶列的晶列指数为[11-2]. 由《固体物理教程》（1•3）式可得面心立言结构晶胞基矢与原胞基矢的关系,321a a a a ++-= ,321a a a b +-= 321a a a c -+=晶列 (a+b-2c) 可化为 (a+b-2c)=-2(3212a a a -+) 由上式可知，AC 晶列在原胞坐标系中的指数为[11-2]7．试证面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
[解答]设与晶轴a,b,c 平行的单位矢量分别为i,j,k 面心立方正格子的原胞基矢可取为 ),(21k j aa +=).(2),(232j i aa j k aa +=+=由倒格矢公式Ω⨯=Ω⨯=Ω⨯=][2,][2,][2213132321a a b a a b a a b πππ, 可得其倒格矢为).(2),(2),(2321k j i a b k j i a b k j i a b -+=+-=++-=πππ设与晶轴a,b,c 平行的单位矢量分别为i,j,k ,体心立方正格子的原胞基矢可取为).(2),(2),(2321k j i aa k j i aa k j i aa -+=+-=++-=以上三式与面心立方的倒格基矢相比较，两者只相差一常数公因子， 这说明面心立方的倒格子是体心立方。
将体心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式 .][2,][2,][2213132321Ω⨯=Ω⨯=Ω⨯=a ab a a b a a b πππ 则得其倒格子基矢为).(2),(2),(2321j i ab i k a b k i a b +=+=+=πππ可见体心立方的倒格子是面心立方。
8．六角晶胞的基矢ck C j a ai b j a ai a =+-=+=,223,223求其倒格基矢。
[解答]晶胞体积为 ][c b a ⨯⋅=Ω.23)]()223([)223(2c a ck j a ai j a ai =⨯+-⋅+= 其倒格矢为k cca j a ai j a aib ac j i a c a j a ai ck a c b j i a c a ck j a ai c b a πππππππππ232)]223()223[(2][2).33(232)]223()[(2][2).33(232)]()223[(2][2222=⨯+-⨯+=Ω⨯=+-=⨯+⨯=Ω⨯=+=⨯⨯+-=Ω⨯=***9．证明以下结构晶面族的面间距：（1） 立方晶系:,][21222-++=l k h a d hkl（2） 正交晶系:21])()()[(222-++=c l b k a h d hkl（3） 六角晶系:21])()(34[2222-+++=c l ahk k h d hkl（4） 简单单斜:21])cos 2(sin 1[2222222-+-+=bk ac hl c l a h d hklββ.[解答]（1）设沿立方晶系轴a,b,c 的单位矢量分别为i,j,k ,则正格子基矢为,,,ak c bj b ai a ===图1.11立方晶胞倒格子晶矢为.2,2,2kacjabiaaπππ===***与晶面族(hkl)正交的倒格为.***++=lckbhaKhkl由晶面间距hkld与倒格矢hklK的关系式得，.2222lkhadKdhklhklhkl++==π（2）对于正交晶系，晶胞基矢cba,,相互垂直，但晶格常数.cba≠≠设沿晶轴cba,,的单位矢量分别为i,j,k则正格子基矢为,,,ckcbjbaia===图1.12正交晶胞倒倒格子基矢为.2,2,2kccjbbiaaπππ===***与晶面族 (hkl) 正交的倒格为.***++=lckbhaKhkl由晶面间距hkld与倒格矢hklK的关系式hklhkl Kdπ2=得21])()()[(222-++=clbkahdhkl（2）对于六角晶系，,120,90,===≠=γβαcba晶面族 (hkl) 的面间距图 1.13 六角晶胞.2222******++=++==lckb hk lckb ha K d hkl hkl πππ也即)].(2)(2)(2[41122222222*********⋅+⋅+⋅+++=c a hl c b kl b a hk c l b k a hd hklπ由图1.13可得六角晶胞的体积.23120sin sin )(222c a c a c a b a a c ===⨯⋅=Ω γ 倒格基矢的模()()().223sin 22,3423sin 22222cca ab ac c aca ac cb a b a πγπππαππ==Ω⨯====Ω⨯===*****倒格基矢的点积()()(){()()()()[]().38cos cos cos 44]}[4][4222222222222ac a c c a b a c c b c b a c a c c b b a πγβαππππ=-Ω=⋅⋅-⋅⋅Ω=⨯⨯⋅Ω=⨯⋅⨯Ω=⋅**其中利用了矢量混合的循环关系()()()B A C A C B C B A ⨯⋅=⋅⋅=⋅⋅及关系式()()().B A C C A B C B A ⋅-⋅=⨯⨯因为()b a ⨯ 矢量平行于 c 所以()()[]()()[].04,042222=⨯⋅⨯Ω=⋅=⨯⋅⨯Ω=⋅****b a ac c b b a c b c a ππ 将以上诸式代入（1）式得hkld ,3)(4222222cl a hk k h +++=- 即hkl d =212222])()(34[-+++c l ahk k h （4）单斜晶系晶胞基矢长度及晶胞基矢间的夹角分别满足c b a ≠≠ 和90==γα, 90≠β 晶胞体积 βsin )(abc a c b =⨯⋅=Ω 由a []Ω⨯=*c b π2b []Ω⨯=*ac π2 c []Ω⨯=*b a π2 得其倒格子基矢长度a ,sin 2sin 2βπβπa abc bc a ==*=*及b bb π2==**c βπsin 2ac c =*=*倒格基矢间的点积()()c b b a a c ⨯⋅⨯Ω=⋅**224π=()()()()[]b b c a c b b a ⋅⋅-⋅⋅Ω224π=ββγαπ222sin )cos cos (cos 4abc c ab -因为)(a c ⨯矢量平行于b 所以()()[]0422=⨯⋅⨯=⋅**a c cb b a ππ()()[]b a a c c b ⨯⋅⨯Ω=⋅**224π将以上诸式代入()()()[]*********⋅+⋅+⋅+++=c a hl c b kl b a hk c l b k a h d a hkl 2224112222222π得到ββββ2222222222sin cos 2sin sin 1ac hl c l b k a h d hkl -++= =+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ac hl c l a h 2sin 122222β22b k 即 212222222cos 2sin 1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=b k ac hl c l a h d hklββ10．求晶格常数为 a 的面心立方和体立方晶体晶面族()321h h h 的面间距 [解答]面心立方正格子的原胞基矢为a ()k j a+=21()i k aa +=22()j i aa +=23由 [][][],2,2,2213132321Ω⨯=Ω⨯=Ω⨯=a ab a a b a a b πππ可得其倒格基矢为 (),21k j i a b ++-=π(),22k j i a b +-=π(),23k j i ab -+=π倒格矢.332211b h b h b h K h ++= 根据《固体物理教程》（1。
