最不利原则公式

一、选择题1．下面说法错误的是（）。

①若a比b多20%，则6a=5b；②100以内（含100）的所有偶数的和比奇数的和多1；③有一个角是60°的等腰三角形一定是正三角形；④10只鸟要飞回4个窝里，至少有4只鸟飞进同一个窝。

A. ①②④B. ①③④C. ②③④D.①②③A解析： A【解析】【解答】解：①若a比b多20%，则a=b×（1+20%）=1.2b，那么5a=6b；②100以内（含100）的所有偶数的和比奇数的和多50；③有一个角是60°的等腰三角形，剩下的两个角也是60°，所以一定是正三角形；④10÷4=2……2，2+1=3，10只鸟要飞回4个窝里，至少有3只鸟飞进同一个窝。

综上，①②④的说法是错误的。

故答案为：A。

【分析】一个数比另一个数多百分之几，那么这个数=另一个数×（1+百分之几）；100-99+98-97+96-95+……+2-1=（100-99）+（98-97）+（96-95）+……+（2-1）=50×1=50，所以100以内（含100）的所有偶数的和比奇数的和多50；等腰三角形的两个底角相等，若顶角是60°，那么其中一个底角是（180°-60°）÷2=60°，那么这是一个等边三角形；若底角是60°，那么顶角是180°-60°×2=60°，那么这是一个等边三角形；10只鸟要飞回4个窝里，考虑在最不利的情况，把每个窝放入最多的鸟，即用10除以4，那么飞进同一个窝里的鸟的只数就是将计算得出的商加1即可。

2．某小学有6个年级，每个年级有8个班。

一天放学，8位小朋友一起走出校门。

那么，下列说法中，正确的是（）。

A. 他们中至少有2人出生月份相同B. 他们中至少有2人是同一年级的C. 他们中至少有2人生肖属相相同D. 他们中至少有2人是同一班级的B解析： B【解析】【解答】8÷6=1（年级）......2（人）；1+1=2（人）。

第一章：植树问题1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:株数＝段数＋1＝全长÷株距+1全长＝株距×(株数－1)株距＝全长÷(株数－1)⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:株数＝段数－1＝全长÷株距－1全长＝株距×(株数＋1)株距＝全长÷(株数＋1)2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数第二章：数学方正问题学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。

如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。

核心公式：1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋13．方阵外一层总人数比内一层总人数多24．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1例1学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?A．256人B．250人C．225人D．196人（2002年A类真题）解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。

根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。

方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。

所以，正确答案为A。

例2参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。

如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。

问参加团体操表演的运动员有多少人？分析如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。

第29讲 抽屉原理理解抽屉原理的基本概念、基本用法；掌握用抽屉原理解题的基本过程；能够构造抽屉进行解题；利用最不利原则进行解题；；利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。

一、知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决。

二、抽屉原理的定义一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个里至少有两个苹果。

我们称这种现象为抽屉原理。

三、抽屉原理的解题方案1、利用公式进行解题苹果÷抽屉＝商……余数余数：(1)余数＝1， 结论：至少有(商＋1)个苹果在同一个抽屉里(2)余数＝x ()()11x n -， 结论：至少有(商＋1)个苹果在同一个抽屉里(3)余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里2、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法。

学习目标知识梳理典例分析考点一：直接利用公式解题例1、6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？例2、人的头发平均有12万根，如果最多不超过20万根，那么13亿中国人中至少有人的头发的根数相同。

例3、“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等．例4、在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？例5、求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a，b，c，d，e，f，使得()()()---是a b c d e f 105的倍数．例6、某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?例7、一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分。

和差倍比问题难度指数★★★☆☆例题1、由水果糖和巧克力糖混合成一推糖，增加10克水果糖之后，巧克力糖占总数的60%，再增加30颗巧克力糖之后，巧克力糖占总数的75%，那么原混合糖中的巧克力糖有（？）颗。

A.20B.30C.35D.40解析：方法一：增加10颗水果糖后，水：巧=2：3再增加30颗巧之后，水：巧=25%：75%=2：6按份数来计算，则30颗就是原先的3份方法二：尝试“数值代入法”根据第一个条件，60%的占比数值里，必须是3的倍数；答案只有B例题2、某工厂生产甲和乙两种产品，甲产品的日产量是乙产品的1.5倍，现工厂改进了乙产品的生产技术，在保证产量不变的前提下，其单位产品的生产能耗降低了20%，而每日工厂生产甲和乙产品的总能耗降低了10%，则改进后，甲、乙两种产品的生产能耗之比是（？）解析：设甲产品产量为X，乙产品产量为Y得方程1.5X+0.8Y=0.9（X+Y）→X：Y=2：3改进后：2：3*0.8=5：6例题3、某办公室有一桶37.8升矿泉水，6位职员8天喝完，后新来一位职员，则7人6天就喝完了，则新来的职员所喝的水量是原来的几人分量？（假设原来6人每人每天喝水量相同）（？）解析：方法一：计算得到6人1天喝4.725升新来1人6天喝水9.45升，正好是原来人的2倍方法二：跳过总量不看，新来的1人6天相当于原来的6人2天，所以，每天喝水量正好是原来的人的2倍。

例题4、某公司为客户出售货物，收取3%的服务费；代客户购置设备，收取2%的服务费。

某客户委托该公司出售自产的某种物品并代为购置新设备。

已知公司共收取该客户服务费200元，客户收支恰好平衡，则自产的物品售价是（？）元A．3880 B．4080 C．3920 D．7960解析：物品售价X元，购置设备Y元，→3%X+2%Y=200 ①97%X=102%Y ②→运算较复杂，直接用排除法此题答案应该是102的倍数∴选择C行程问题难度指数★★☆☆☆例题1、甲车从A地，乙车从B地同时出发匀速相向行驶，第一次相遇距离A地100千米，两车继续前进到达对方起点后立即以原速度返回，在距离A地80千米的位置第二次相遇，则A、B两地相距（？）千米。

第2章结构基本计算原则2.1极限状态2.1.1 结构上的作用使结构产生内力或变形的原因称为“作用”，分直接作用和间接作用两种。

荷载就是直接作用，混凝土的收缩、温度变化、基础的差异沉降、地震等引起结构外加变形或约束的原因称为间接作用。

间接作用不仅与外界因素有关，还与结构本身的特性有关。

例如，地震对结构物的作用，不仅与地震加速度有关，还与结构自身的动力特性有关，所以不能把地震作用称为“地震荷载”。

结构上的作用使结构产生的内力(如弯矩、剪力、轴向力、扭矩等)、变形、裂缝等统称为作用效应或荷载效应。

荷载与荷载效应之间通常按某种关系相联系。

1）荷载的分类按作用时间的长短和性质，荷载可分为三类：（1）永久荷载在结构设计使用期间，其值不随时间而变化，或其变化与平均值相比可以忽略不计，或其变化是单调的并能趋于限值的荷载。

例如，结构的自身重力、土压力、预应力等荷载，永久荷载又称恒荷载。

（2）可变荷载在结构设计基准期内其值随时间而变化，其变化与平均值相比不可忽略的荷载。

例如，楼面活荷载、吊车荷载、风荷载、雪荷载等，可变荷载又称活荷载。

（3）偶然荷载在结构设计基准期内不一定出现，一旦出现，其值很大且持续时间很短的荷载。

例如，爆炸力、撞击力等。

2）荷载的标准值荷载标准值是荷载的基本代表值。

实际作用在结构上的荷载的大小具有不定性，应当按随机变量，采用数理统计的方法加以处理。

这样确定的荷载是具有一定概率的最大荷载值称为荷载标准值。

《建筑结构荷载规范》(GBJ 50009)规定，对于结构自身重力可以根据结构的设计尺寸和材料的重力密度确定。

可变荷载通常还与时间有关，是一个随机过程，如果缺乏大量的统计资料，也可近似地按随机变量来考虑。

考虑到我国的具体情况和规范的衔接，《建筑结构荷载规范》采用的基本上是经验值。

2．1．2 结构的功能要求1）结构的安全等级建筑物的重要程度是根据其用途决定的。

例如，设计一个大型体育馆和设计一个普通仓库，因为大型体育馆一旦发生破坏引起的生命财产损失要比普通仓库大得多，所以对它们的安全度的要求应该不同，进行建筑结构设计时应按不同的安全等级进行设计。

中华人民共和国国标《建筑构造荷载规范》GB 50009一2023局部修订条文及条文阐明3.1 荷载分类和荷载代表值3.2 荷载组合对于基本组合，荷载效应组合旳设计值 S 应从下列组合值中取最不利值确定： 1）由可变荷载效应控制旳组合：∑=++=ni Qik Ci Qi k Q Q Gk G S S S S 211ψγγγ （-1）式中 γG ——永久荷载旳分项系数，应按第 条采用；γQ i ——第 i 个可变荷载旳分项系数，其中 γQ1 为可变荷载 Q 1 旳分项系数，应按第 条采用；S Gk ——按永久荷载原则值G k 计算旳荷载效应值；S Q i k ——按可变荷载原则值Q i k 计算旳荷载效应值，其中S Q1k 为诸可变荷载效应中起控制作用者；ψc i ——可变荷载Q i 旳组合值系数，应分别按各章旳规定采用； n ——参与组合旳可变荷载数。

2）由永久荷载效应控制旳组合：∑=+=ni Qik Ci Qi Gk G S S S 1ψγγ （-2）注：1 基本组合中旳设计值仅合用于荷载与荷载效应为线性旳状况。

2 当对S Q1k 无法明显判断时，逐次以各可变荷载效应为S Q1k ，选其中最不利旳荷载效应组合。

3 （取消此注）。

基本组合旳荷载分项系数，应按下列规定采用：1.永久荷载旳分项系数：1）当其效应对构造不利时—对由可变荷载效应控制旳组合，应取1.2；—对由永久荷载效应控制旳组合，应取1.35；2）当其效应对构造有利时旳组合，应取1.0。

2. 可变荷载旳分项系数：—一般状况下应取1.4；—对原则值不不大于4kN/m2旳工业房屋楼面构造旳活荷载应取1.3。

3. 对构造旳倾覆、滑移或漂浮验算，荷载旳分项系数应按有关旳构造设计规范旳规定采用。

4 楼面和屋面活荷载民用建筑楼面均布活荷载旳原则值及其组合值，频遇值和准永久值系数，应按表4.1.1旳规定采用。

表4.1.1 民用建筑楼面均布活荷载原则值及其组合值、频遇值和准永久值系数注：1. 本表所给各项活荷载合用于一般使用条件，当使用荷载较大或状况特殊时，应按实际状况采用。

冰雪景观建筑技术标准[附条文说明]GB51202-20161总则1.0.1为提高冰雪景观建筑设计、施工、验收和维护管理水平，做到技术先进、安全可靠、节能环保、经济合理，保证工程质量，制定本标准。

1.0.2本标准适用于以冰、雪为主要材料的冰雪景观建筑的设计、施工、验收和维护管理。

1.0.3冰雪景观建筑设计、施工、验收和维护管理除应符合本标准外，尚应符合国家现行有关标准的规定。

2术语和符号2.1术语2.1.1冰雪景观建筑ice and snow landscape buildings以冰、雪为主要材料建造的具有冰雪艺术特色，供人们观赏或活动的冰雪建筑、冰雕、雪雕、冰灯等冰雪景观及冰雪游乐活动设施。

2.1.2天然冰natural ice自然界中的江水、河水、湖水等水体在自然环境下冻结成的冰体。

2.1.3人造冰man-made ice在人工制冷条件下冻结成的冰体。

2.1.4毛冰rough ice未加工成使用规格的冰块。

2.1.5采冰ice collecting采用机具，将天然冰按照一定规格分割并取得毛冰的过程。

2.1.6冰砌体ice masonry将冰块按规格进行组砌，用水冻结，用于冰景观建筑的墙、柱等构件。

2.1.7水浇冰景watered icescape采用机械或人工方式将水喷洒在一定形状的骨架上，冻结成的冰景。

2.1.8冰花ice flowers在装满清水的模具内按照设计要求放置植物、鱼虫、艺术品等景物，冻结成的实体透明冰景。

2.1.9冰雕ice sculpture以冰为材料雕塑成的作品。

2.1.10冰灯ice lanterns在人工制冷条件下，向模具内注水，冻结成的中空冰体，经过艺术创意、雕琢，置入光源形成的具有艺术效果的冰景。

2.1.11天然雪natural snow天然降雪或自然界常年积雪。

2.1.12人造雪man-made snow在低温条件下，采用专用设备用水制成的细小冰晶体，或者采用专业设备将冰粉碎为细小冰颗粒。

公务员考试数学基本知识一、整除及余数判定基本法则（1）2、4、8整除及余数判定基本法则一个数能被2（或5）整除，当且仅当其末一位数能被2（或5）整除。

一个数能被4（或25）整除，当且仅当其末两位数能被4（或25）整除。

一个数能被8（或125）整除，当且仅当其末三位数能被8（或125）整除。

一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数被2（或5）除得的余数。

一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数被4（或25）除得的余数。

一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数被8（或125）除得的余数。

(2) 3、9整除及余数判定基本法则一个数能被3整除，当且仅当其各位数字之和能被3整除。

一个数能被9整除，当且仅当其各位数字之和能被9整除。

一个数被3除得的余数，就是其各位数字之和被3除得的余数。

一个数被9除得的余数，就是其各位数字之和被9除得的余数。

(3) 7整除判定基本原则一个数是7的倍数，当且仅当其末一位的两倍，与剩下的数之差为7的倍数。

如362,483。

一个数是7的倍数，当且仅当其末三位与剩下的数之差为7的倍数。

如12047,23015。

(4) 11整除判定基本原则一个数是11的倍数，当且仅当其奇数位之和与偶数位之和做的差为11的倍数。

一个数是11的倍数，当且仅当其末三位与剩下的数之差为11的倍数。

(5) 13整除判定基本法则一个数是13的倍数，当且仅当其末三位与剩下的数之差为13的倍数。

二、比例倍数若a ︰b=m ︰n ，则说明a 占m 份，是m 的倍数；b 占n 份，是n 的倍数；a+b 占m+n 份，是m+n 的倍数；a-b 占m-n 份，是m-n 的倍数。

三、十字交叉法Aa+Bb=（A+B ）r → A/B=(r-b)/(a-r) A ：a r-b rB ：b a-r四、极值求解法1、均值不等式法：),(2+∈≥+R b a ab b a 2)2(b a ab +≤ 当且仅当a=b 时等号成立。