九年级数学下册 27_1 圆的认识 关于圆周角考查命题的新亮点素材 (新版)华东师大版

例析圆周角定理的应用圆周角定理是圆中的一个非常重要的定理，通过它，我们可以在求角度、算线段等方面有所作为。

我们一起来看几例。

一、求出相关角度。

圆周角定理揭示了它和同弧所对的圆心角度数之间的关系。

例1 如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C=34°，则∠AOB的度数为多少？分析：观察图形，发现∠C和∠AOB都是AB所对的角，一个是圆周角，另一个是圆心角，根据圆周角定理可得出结论。

解：因为∠C和∠AOB都是AB所对，则∠AOB＝2∠C，得∠AOB＝68°。

评：理解定理，运用定理。

例2 如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，若∠A=14°，∠E＝12°，则∠DOB的度数为多少？分析：观察图形，∠A和∠E这两个圆周角共起来，才和圆心角∠DOB同对一弧，问题可解。

解：∠A和∠E这两个圆周角共起来，才和圆心角∠DOB同对一弧BD，所以∠DOB＝2（∠A＋∠E）＝52°。

评：寻求已知和求知之间的联系。

二、求相关线段之间的关系通过圆周角定理，可找出相关线段所在三角形中角度之间的关系，从而可进一步加以探索。

例3 如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于D，DE∥BA交⊙O于E。

求证：AC ＝DE。

分析：因为相等的圆周角所对的弦相等，则要证AC＝DE，只需证∠DAE＝∠ADC。

证：连结AE、DC，因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠DAC，因为DE∥BA，所以∠BAD＝∠EDA，所以∠DAC＝∠EDA，因为EC公共，所以∠EAC＝∠EDC，所以∠DAC＋∠CAE＝∠ADE＋∠EDC所以∠DAE＝∠ADC，所以AC＝DE。

评：通过寻求同一圆中，同弧或等弧所对的圆周角与弦等元素之间的对应关系，寻求解题思路。

例4 已知：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D，AE是⊙O的直径，若S△ABC=S，⊙O的半径为R．求证：AB·AC=AD·AE分析：本题要证明的结论是“等积式”，•通常的思路是把等积式转化成比例式，再找相似三角形．上式可改成AB AEAD AC，则寻求△ADC∽△ABE。

圆周角知识点拨与典例1.圆周角的概念顶点在圆上,并且两边与圆相交的角是圆周角.判别圆周角时必须满足两个条件,一是顶点在圆上,另一个条件是两边与圆相交,两者缺一不可.如下图所示,只有图②的角是圆周角.其余都不是圆周角.2.圆周角的性质⑴半圆或直径所对的圆周角相等,都等于90O(直角);90O的圆周角所对的弦是直径.⑵一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半.用符号语言可表示为:如图,在⊙O中,圆周角∠ACB和圆心角∠AOB都对着同一条弧AB,所以有:∠ACB=12∠AOB.一条弧所对的圆周角与圆心角的关系这一性质的推导是本节的难点,课本运用了分类的思想方法,分三种情况来说明,首先从特殊入手,即让圆心在圆周角的一边上给予推导,另外两种情况都与第一种推导方法有联系,我们平时在解答有关拓展延伸类型的题目时要注意这种方法的运用.⑶在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周角所对的弧相等.[归纳·点拨]⑴圆周角的性质是圆中证明两角相等,两线段相等,两条弧相等的重要依据.在中考中,大多以选择和填空形式出现,近几年还出现了以考查圆周角的性质为背景的探索题.⑵在圆中出现直径,常常需要构造直径所对的圆周角——直角.这在证明时是种基本图形.典例1 如图所示,AB是半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,那么CD AB等于( )A.sin∠BPDB.cos∠BPDC.tan∠BPDD.cot∠BPD解析四个选项都是∠BPD的锐角三角函数,由此可考虑将CDAB转化到一个直角三角形中,在转化比例式时常要用到相似的性质,根据同弧或等弧所对的圆周角相等,不难发现△CDP∽△ABP,则有CD DPAB BP。

此时CDAB就被转化成了DPBP,再根据直径所对的圆周角等于90O,连结AC或BD,在Rt△CAP或Rt△DBP中用锐角三角函数的知识即可得到.在Rt△DBP中,cos∠BPD=DPBP，故此题选B.在圆中,如果要得到直角,常根据圆周角的性质,利用直径构造直角三角形,这是常用的方法,一定要熟练掌握.典例2 如图,AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆直径.试说明:AB·AC＝AE·AD.分析本题需说明的是等积式,因此考虑用相似三角形的知识,根据题目中AD是△ABC 的高,联想到要通过直径所对的圆周角是90O,从而构造直角三角形.可连结BE，利用同弧所对的圆周角相等可得∠C＝∠E,直径所对的圆周角是直角得到∠ABE＝90°,从而可得△ADC∽△ABE,再利用相似三角形的对应边成比例,从而得到结果.解:连结BE.因为AE是△ABC的外接圆直径,所以∠ABE＝90°,又因为AD 是△ABC 的高,所以∠ADC ＝90°，即∠ABE ＝∠ADC ＝90°,而＝ ,所以∠C ＝∠E,所以△ADC ∽△ABE,所以,=ABAD AE AC 即AB ×AC ＝AE ×AD, [方法点拨] 利用直径所对的圆周角是直角的性质,添加辅助线构造直角三角形是常用到的数学方法,简称为:遇直径想直角.例3 如图,△ABC 是圆的内接三角形,BE ⊥AC 于E,交圆于F,AD ⊥BC 于D,交圆于G,交BE 于M,试说明:⑴AM ·CD ＝AC ·ME;⑵BC 垂直平分MG;⑶CF ＝CG ＝CM.分析 根据相似三角形的性质和“在同圆或等圆中,圆周角相等,那么它所对的弧就相等,所对的弦相等”解此题．解:连结BG ．⑴因为BE ⊥AC ，AD ⊥BC ，所以∠AEM ＝∠ADC ＝90°，又因为∠3＝∠3，所以△A ME ∽△ACD ，所以DCME AC AM =， 所以AM ×CD ＝AC ×ME ．⑵因为BE ⊥AC ，AD ⊥BC ，所以∠AEM ＝∠ADB ＝90°，又∠AME ＝∠BMD ，所以∠1＝∠3，又∠2＝∠3，所以∠1＝∠2，故△BMG 为等腰三角形，所以BC 垂直平分MG ．⑶由⑵得BC 垂直平分MG ，所以CG ＝CM ，又∠1＝∠2，所以＝，故CF ＝CG ，所以CF ＝CG ＝CM ．[领悟整合] 在有关圆的复杂的背景中,要能够抓住圆的对称性和圆周角的性质的基本图形,将复杂的几何图形分解为一个一个的基本图形来研究,这体现了数学里面化复杂为简单的数学思想方法.。

2020年华师大新版数学下册九年级《第27章圆》单元综合评价试卷含解析姓名座号题号一二三总分得分考后反思（我思我进步）：一．选择题（共12小题）1．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（）A．2B．3C．4D．52．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝3，则⊙O的直径为（）A．8B．10C．15D．203．如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm4．下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．A．3个B．2个C．1个D．4个5．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于（）A．33°B．57°C．67°D．66°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝100°，则∠DCE 的大小是（）A．115°B．105°C．100°D．95°7．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP ＝QO，则的值为（）A．B．C．D．8．已知⊙O的半径r＝3，PO＝，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．不能确定9．下列说法正确的是（）A．半圆是弧，弧也是半圆B．三点确定一个圆C．平分弦的直径垂直于弦D．直径是同一圆中最长的弦10．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（）A．B．C．2D．11．如图，已知⊙O圆心是数轴原点，半径为1，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是（）A．﹣1≤x≤1B．﹣≤x≤C．0≤x≤D．x＞12．如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝50°，则∠ABC的度数为（）A．20°B．25°C．40°D．50°二．填空题（共8小题）13．如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为．（只考虑小于90°的角度）14．如图，⊙O的半径为5cm，圆心O到AB的距离为3cm，则弦AB长为cm．15．小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是cm．16．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是cm．17．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠BCD＝40°，则∠ABD的度数为．18．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形ABCO为平行四边形，则∠ADB ＝．19．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这个圆的半径是．20．如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为．三．解答题（共8小题）21．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？22．⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1，EB＝5，∠DEB＝60°，求CD的长．23．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB 与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C．测得CD＝10cm，AB＝60cm，求这个车轮的外圆半径长．24．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．25．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半径．26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝130°，求∠OAC的度数．27．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．28．已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N 不重合．（1）线段MN与BD是否垂直？请说明理由；（2）若∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，AC＝4，求MN的长．2020年华师大新版数学下册九年级《第27章圆》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】弦是连接圆上任意两点的线段，根据定义作答．【解答】解：由图可知，点A、B、E、C是⊙O上的点，图中的弦有AB、BC、CE，一共3条．故选：B．【点评】本题考查了圆的认识，熟记连接圆上任意两点的线段叫弦是解题的关键．2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝3，则⊙O的直径为（）A．8B．10C．15D．20【分析】连结OC，设⊙O的半径为R，则OE＝OB﹣BE＝R﹣3，先根据垂径定理得到CE＝CD＝6，然后在Rt△OCE中，利用勾股定理可计算出R，从而得到⊙O的直径．【解答】解：连结OC，如图，设⊙O的半径为R，则OE＝OB﹣BE＝R﹣3，∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝×12＝6，在Rt△OCE中，OE＝R﹣3，OC＝R，∴OE2+CE2＝OC2，∴（R﹣3）2+62＝R2，解得R＝，∴⊙O的直径为15．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．3．如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm【分析】首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理得出答案．【解答】解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，∵CD＝8，OD＝13，∴OC＝5，又∵OB＝13，∴Rt△BCO中，BC＝＝12，∴AB＝2BC＝24．故选：C．【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出AC的长是解题关键．4．下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．A．3个B．2个C．1个D．4个【分析】①和④、没有前提；②、注意不是直径的弦；③、注意对称轴是直线．【解答】解：①和④、错误，应强调在同圆或等圆中；②、错误，应强调不是直径的弦；③、错误，应强调过圆心的直线才是它的对称轴．故选D．【点评】在叙述命题时注意要强调命题成立的条件．5．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于（）A．33°B．57°C．67°D．66°【分析】连结CD，如图，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到∠BCD＝90°，则利用互余可计算出∠D＝57°，然后根据圆周角定理即可得到∠A的度数．【解答】解：连结CD，如图，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，而∠DBC＝33°，∴∠D＝90°﹣33°＝57°，∴∠A＝∠D＝57°．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝100°，则∠DCE 的大小是（）A．115°B．105°C．100°D．95°【分析】由圆的内接四边形的性质，可得∠BAD+∠BCD＝180°，又由邻补角的定义可得：∠BCD+∠DCE＝180°，可得∠DCE＝∠BAD．【解答】解：∵∠BAD＝100°，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝80°，∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝100°．故选：C．【点评】此题考查了圆的内接四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．7．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP ＝QO，则的值为（）A．B．C．D．【分析】设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，QA＝r﹣m．利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．【解答】解：如图，设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，QA＝r﹣m．在⊙O中，根据相交弦定理，得QA•QC＝QP•QD．即（r﹣m）（r+m）＝m•QD，所以QD＝．连接DO，由勾股定理，得QD2＝DO2+QO2，即，解得所以，故选：D．【点评】本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”．熟记并灵活应用定理是解题的关键．8．已知⊙O的半径r＝3，PO＝，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．不能确定【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．【解答】解：∵OP＝＞3，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．9．下列说法正确的是（）A．半圆是弧，弧也是半圆B．三点确定一个圆C．平分弦的直径垂直于弦D．直径是同一圆中最长的弦【分析】利用圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故本选项错误；B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；C、当被平分的弦为直径时，两直径不一定垂直，故本选项错误；D、直径是同一圆中最长的弦，故本选项正确，故选：D．【点评】本题考查了圆的认识，了解圆中有关的概念是解答本题的关键，难道不大．10．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（）A．B．C．2D．【分析】根据题意得出△ABC的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径．【解答】解：如图所示：点O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径，故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：．故选：A．【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，得出外接圆圆心位置是解题关键．11．如图，已知⊙O圆心是数轴原点，半径为1，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是（）A．﹣1≤x≤1B．﹣≤x≤C．0≤x≤D．x＞【分析】首先作出圆的切线，求出直线与圆相切时的P的取值，再结合图象可得出P的取值范围，即可得出答案．【解答】解：∵半径为1的圆，∠AOB＝45°，过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，∴当P′C与圆相切时，切点为C，∴OC⊥P′C，CO＝1，∠P′OC＝45°，OP′＝，∴过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即0≤x≤，同理点P在点O左侧时，0∴0≤x≤．故选：C．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，作出切线找出直线与圆有交点的分界点是解决问题的关键．12．如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝50°，则∠ABC的度数为（）A．20°B．25°C．40°D．50°【分析】先利用切线的性质得到∠OAP＝90°，则利用互余和计算出∠AOP＝40°，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠B的度数．【解答】解：∵直线PA与⊙O相切于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP＝90°，∴∠AOPP＝90°﹣∠P＝40°，∵∠AOP＝∠B+∠OCB，而OB＝OC，∴∠B＝∠AOP＝20°．故选：A．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．二．填空题（共8小题）13．如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为70°．（只考虑小于90°的角度）【分析】设大量角器的左端点为A，小量角器的圆心为B．利用三角形的内角和定理求出∠PBA的度数．然后根据圆的知识可求出小量角器上对应的度数．【解答】解：设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB ＝90°，∠PAB＝20°，因而∠PBA＝90°﹣20°＝70°，在小量角器所求弧所对的圆心角为70°，因而P在小量角器上对应的度数为70°．故答案为：70°；【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角是90度．能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．14．如图，⊙O的半径为5cm，圆心O到AB的距离为3cm，则弦AB长为8cm．【分析】连接OA，由OC垂直于弦AB，利用垂径定理得到C为AB的中点，在直角三角形AOC中，由OA与OC的长，利用勾股定理求出AC的长，即可得出AB的长．【解答】解：连接OA，∵OC⊥AB，∴C为AB的中点，即AC＝BC，在Rt△AOC中，OA＝5cm，OC＝3cm，根据勾股定理得：AC＝＝＝4cm，∴AB＝2AC＝8cm．故答案为：8．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．15．小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是10cm．【分析】先利用垂径定理得，BD＝6，再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论．【解答】解：如图，记圆的圆心为O，连接OB，OC交AB于D，∴OC⊥AB，BD＝AB，由图知，AB＝16﹣4＝12cm，CD＝2cm，∴BD＝6，设圆的半径为r，则OD＝r﹣2，OB＝r，在Rt△BOD中，根据勾股定理得，OB2＝AD2+OD2，∴r2＝36+（r﹣2）2，∴r＝10cm，故答案为10．【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，构造出直角三角形是解本题的关键．16．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是5cm．【分析】根据题意得到MN＝BC，当正方形纸片卷成一个圆柱时，EF卷成一个圆，线段卷成圆上一段弧，该段弧所对的圆心角为×360°，要求圆柱上M，N两点间的距离即求弦MN的长．【解答】解：根据题意得：EF＝AD＝BC，MN＝2EM＝EF，把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，则线段EF形成一直径为10cm的圆，线段EF为圆上的一段弧．所对的圆心角为：×360°＝120°，所以圆柱上M，N两点间的距离为：2×5×sin60°＝5cm．故答案为：5．【点评】此题实质考查了圆上弦的计算，需要先找出圆心角再根据弦长公式计算，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．17．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠BCD＝40°，则∠ABD的度数为50°．【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，∠ACB的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得∠ABD的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BCD＝40°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝50°，∴∠ABD＝∠ACD＝50°．故答案为：50°．【点评】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．18．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形ABCO为平行四边形，则∠ADB ＝30°．【分析】根据圆内接三角形的性质得到∠ADC+∠ABC＝180°，根据平行四边形的性质的∠AOC＝∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADC＝∠AOC，计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵四边形ABCO为平行四边形，∴∠AOC＝∠ABC，由圆周角定理得，∠ADC＝∠AOC，∴∠ADC+2∠ADC＝180°，∴∠ADC＝60°，∵OA＝OC，∴平行四边形ABCO为菱形，∴BA＝BC，∴＝，∴∠ADB＝∠ADC＝30°，故答案为：30°．【点评】本题考查的是圆内接三角形的性质、平行四边形的性质、菱形的判定，掌握相关的性质定理和判定定理是解题的关键．19．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这个圆的半径是 6.5cm或2.5cm．【分析】本题应分为两种情况来讨论，关键是得出：当点P在⊙O内时，直径＝最近点的距离+最远点的距离；当点P在⊙O外时，直径＝最远点的距离﹣最近点的距离．【解答】解：点P应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点P在圆内时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是4+9＝13cm，因而半径是6.5cm；②当点P在圆外时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是9﹣4＝5cm，因而半径是2.5cm．故答案为6.5cm或2.5cm．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P 在圆内⇔d＜r．注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．20．如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为5．【分析】根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．【解答】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，故答案为：5．【点评】本题主要考查圆的确定，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是解题的关键．三．解答题（共8小题）21．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？【分析】连结OC、OD，由OA＝OB，AE＝BF，得到OE＝OF，由CE⊥AB，DF⊥AB 得到∠OEC＝∠OFD＝90°，再根据“HL”可判断Rt△OEC≌Rt△OFD，则∠COE＝∠DOF，所以AC弧＝BD弧，AC＝BD．【解答】解：AC与BD相等．理由如下：连结OC、OD，如图，∵OA＝OB，AE＝BF，∴OE＝OF，∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠OEC＝∠OFD＝90°，在Rt△OEC和Rt△OFD中，，∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL），∴∠COE＝∠DOF，∴＝，∴AC＝BD．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了直角三角形全等的判定与性质．22．⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1，EB＝5，∠DEB＝60°，求CD的长．【分析】作OF⊥CD于点F，连接OD，直角△OEF中利用三角函数即可求得OF的长，然后在直角△ODF中利用勾股定理即可求得DF的长，然后根据垂径定理可以得到CD ＝2DF，从而求解．【解答】解：作OF⊥CD于点F，连接OD．∵AE＝1，EB＝5，∴AB＝AE+BE＝6，半径长是3．∵在直角△OEF中，OE＝OA﹣AE＝3﹣1＝2，sin∠DEB＝，∴OF＝OE•sin∠DEB＝2×＝．在直角△ODF中，DF＝＝＝，∴CD＝2DF＝2．【点评】本题考查了垂径定理、三角函数以及勾股定理，正确作出辅助线是关键．23．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB 与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C．测得CD＝10cm，AB＝60cm，求这个车轮的外圆半径长．【分析】根据垂径定理求得AD＝30cm，然后根据勾股定理即可求得半径．【解答】解：如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，∵CD＝10cm，AB＝60cm，∵CD⊥AB，∴OC⊥AB，∴AD＝AB＝30cm，∴设半径为r，则OD＝r﹣10，根据题意得：r2＝（r﹣10）2+302，解得：r＝50．∴这个车轮的外圆半径长为50．【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．24．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．【分析】（1）根据AAS证明：△BFG≌△CDG；（2）解法一：连接OF，设⊙O的半径为r，由CF＝BD列出关于r的勾股方程就能求解；解法二：如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），得AE＝AH，再证明Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），得DH＝BE＝2，计算AE和AB的长，证明△BEC∽△BCA，列比例式可得BC的长，就是BF的长．解法三：连接OC，根据垂径定理和三角形的中位线定理可得OH＝1，证明△COE≌△BOH，并利用勾股定理可得结论．【解答】证明：（1）∵C是的中点，∴，∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴，∴，∴CD＝BF，在△BFG和△CDG中，∵，∴△BFG≌△CDG（AAS）；（2）解法一：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣22，Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣2）2，∵，∴，∴BD＝CF，∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，即（2r）2﹣22＝4[r2﹣（r﹣2）2]，解得：r＝1（舍）或3，∴BF2＝EF2+BE2＝32﹣（3﹣2）2+22＝12，∴BF＝2；解法二：如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，∵，∴∠HAC＝∠BAC，∵CE⊥AB，∴CH＝CE，∵AC＝AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），∴AE＝AH，∵CH＝CE，CD＝CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），∴DH＝BE＝2，∴AE＝AH＝2+2＝4，∴AB＝4+2＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BEC＝90°，∵∠EBC＝∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴，∴BC2＝AB•BE＝6×2＝12，∴BF＝BC＝2．解法三：如图，连接OC，交BD于H，∵C是的中点，∴OC⊥BD，∴DH＝BH，∵OA＝OB，∴OH＝AD＝1，∵OC＝OB，∠COE＝∠BOH，∠OHB＝∠OEC＝90°，∴△COE≌△BOH（AAS），∴OH＝OE＝1，∴CE＝EF＝＝2，∴BF＝＝＝2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理．第二问有难度，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．25．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）由OB＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换即可得证；（2）由弦CD与直径AB垂直，利用垂径定理得到E为CD的中点，求出CE的长，在直角三角形OCE中，设圆的半径OC＝r，OE＝OA﹣AE，表示出OE，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到圆的半径r的值．【解答】（1）证明：如图．∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠B．∵∠B＝∠D，∴∠BCO＝∠D；（2）解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，∴CE＝CD＝×4＝2，在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣AE＝r﹣2，∴r2＝（2）2+（r﹣2）2，解得：r＝3，∴⊙O的半径为3．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及圆周角定理，熟练掌握定理是解本题的关键．26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝130°，求∠OAC的度数．【分析】先根据圆内接四边形的性质推出∠ADC＝50°，再根据圆周角定理推出∠AOC ＝100°，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出∠OAC的度数．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝130°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝50°，∴∠AOC＝2∠ADC＝100°．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC＝（180°﹣∠AOC）＝40°．【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，关键在于求出∠AOC的度数．27．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．【分析】设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，根据新定义计算出OA′＝2，OB′＝4，则点A′为OC的中点，点B和B′重合，再证明△OBC为等边三角形，则B′A′⊥OC，然后在Rt△OA′B′中，利用正弦的定义可求A′B′的长．【解答】解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，∵OA′•OA＝42，而r＝4，OA＝8，∴OA′＝2，∵OB′•OB＝42，∴OB′＝4，即点B和B′重合，∵∠BOA＝60°，OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，而点A′为OC的中点，∴B′A′⊥OC，在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′＝，∴A′B′＝4sin60°＝2．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了阅读理解能力．28．已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N 不重合．（1）线段MN与BD是否垂直？请说明理由；（2）若∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，AC＝4，求MN的长．【分析】（1）根据题意画出图形，再作出辅助线构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质进行证明；（2）注意要分二种情况讨论：即B、D在AC两侧和B、D在AC同侧．【解答】解：（1）线段MN与BD垂直．连接MB与MD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，可以知道MB＝，MD＝，所以MB＝MD．三角形MBD中，N是底边上的中点，等腰三角形的性质可以说明：MN垂直BD．（2）如图一：连接BM、MD，延长DM，过B作DM延长线的垂线段BE，∵M是AC的中点，∴MD⊥AC，△BCM是等边三角形，∴在Rt△BEM中，∠EMB＝30°，∵AC＝4，∴BM＝2，∴BE＝1，EM＝，MD＝2，从而可知BD＝＝2∴BN＝．由Rt△BMN可得：MN＝＝．如图二：连接BM、MD，延长AD，过B作垂线段BE，∵M、N分别是AC，BD中点，∴MD＝AC，MB AC，∴MD＝MB，∵∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，∴∠BMC＝60°，∠DMC＝90°，∴∠BMD＝30°，∴∠BDM＝＝75°，∵∠MDA＝45°∴∠EDB＝180°﹣∠BDM﹣∠MDA＝60°，令ED＝x，则BE＝x，AD＝2，AB＝2，∴由Rt△ABE可得：（2）2＝（x）2+（x+2）2，解得x＝，则BD＝2，∵M、N分别是AC，BD中点，∴MD＝2 DN＝．由Rt△MND可得：MN＝＝．【点评】本题综合考查了等腰三角形的性质和解直角三角形的方法，同时考查了分类讨论思想．。

九年级下册《圆》知识点总结1．圆的认识（1）以点O 为圆心的圆叫作“圆O ”,记为“⊙O ”。

（2）线段OA 、OB 、OC 都是圆的半径,线段AC 为直径。

（3）连结圆上任意两点之间的线段叫做弦。

直径是圆中最长的弦。

（4）圆上任意两点间的部分叫做弧。

小于半圆周的圆叫做劣弧。

大于半圆周的圆弧叫做优弧。

（5）圆心角：顶点在圆心,两边与圆相交的角叫做圆心角。

如∠AOB 、∠AOC 、∠BOC 就是圆心角。

2．圆的对称性（1）圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。

圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心。

（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。

推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理：此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 3.圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。

即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD上述四个结论中,只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论, 4．圆周角（1）圆周角：顶点在圆上,两边与圆相交的角叫做圆周角。

（2）半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°（直角）。

90°的圆周角所FE DCBAOO EDCBAOCDABCB AOCBAO对的弦是圆的直径。

（3）同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。

初三数学圆知识点总结和解题技巧初中数学几何中圆是比较重要的一局部，下边给大家总结了,初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧,来看看吧 !初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧初三数学圆知识点总结一、圆的有关观点1 、圆的定义在一个个平面，线段OA绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。

2 、直线圆的与置位关系1.线直与圆有唯公一共时,点做直叫与圆线切2.三角的外形圆接的圆叫做三心形角外心3.弦切角于所等夹弧所对的的圆心角4.三角的形圆切的圆叫做三心形角心5.垂于直径半直线必为圆的的切线6.过径半外的点而且垂直端于半的径直线是圆切线7.垂于直径半直线是圆的的切线8.圆切线垂的直过切于点半径3、圆的几何表示以点 O 为圆心的圆记作“⊙ O〞，读作“圆O〞二、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径均分这条弦，而且均分弦所对的弧。

推论 1 ：(1) 均分弦 (不是直径 )的直径垂直于弦，而且均分弦所对的两条弧。

(2)弦的垂直均分线经过圆心，而且均分弦所对的两条弧。

(3)均分弦所对的一条弧的直径垂直均分弦，而且均分弦所对的另一条弧。

推论 2 ：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可归纳为：过圆心垂直于弦直径均分弦知二推三均分弦所对的优弧均分弦所对的劣弧三、弦、弧等与圆有关的定义1、弦连结圆上随意两点的线段叫做弦。

(如图中的AB)2、直径经过圆心的弦叫做直径。

(如途中的CD)直径等于半径的 2 倍。

3、半圆圆的随意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

4、弧、优弧、劣弧圆上随意两点间的局部叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒ 〞表示，以A，B 为端点的弧记作“〞，读作“圆弧AB〞或“弧AB〞。

大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)四、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

九年级下圆部分知识点圆是几何学中的基本概念之一，在九年级下学期的数学教学中，我们会学习到关于圆的一些重要知识点。

本文将会详细介绍九年级下圆部分的知识，包括圆的定义、圆的要素、圆的性质以及与圆相关的计算方法等内容。

一、圆的定义圆是由平面上距离一个固定点距离相等的所有点组成的集合，这个固定点叫做圆心，距离叫做半径。

圆通常用一个大写字母表示，圆心用大写字母O表示，半径用小写字母r表示。

二、圆的要素圆包括圆心、半径和直径这三个重要要素。

圆心是圆中心点的位置，通常用大写字母O表示；半径是从圆心到圆上任意一点的距离，用小写字母r表示；直径是通过圆心的一条线段，它的长度是两个点在圆上的位置相距最远的距离，用小写字母d表示。

三、圆的性质1. 圆上任意两点与圆心的距离相等，即圆上的任意弧长都是相等的。

2. 圆的直径是半径的两倍，即d=2r。

3. 圆的任意一条弦（不过圆心）都将圆分成两段，并且这两段的长度相等。

4. 在同一个圆上，或者在相等的两个圆上，相等的弧、相等的角所对的弧也相等。

5. 圆的面积公式为S=πr²，其中π是一个常数，约等于3.14159。

圆的周长公式为C=2πr。

四、与圆相关的计算方法1. 圆的面积计算：已知圆的半径r，可以通过公式S=πr²来计算圆的面积。

2. 圆的周长计算：已知圆的半径r，可以通过公式C=2πr来计算圆的周长。

3. 已知圆的周长或者半径，可以互相计算出圆的面积和周长的值。

五、圆的应用圆在日常生活中有着广泛的应用。

例如，在建筑设计中，圆形的建筑物给人一种稳定、和谐的感觉；在交通工程中，圆形交叉口可以提高交通的流畅性；在制作饼干和糕点时，很多都是圆形的。

总结：本文介绍了九年级下圆部分的知识点，包括圆的定义、圆的要素、圆的性质以及与圆相关的计算方法。

在学习过程中，我们需要掌握这些知识点，并且能够熟练应用到解题和实际问题中。

通过学习圆的知识，我们可以更好地理解几何学中的基本概念，培养我们的逻辑思维和解决问题的能力。