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例2 求满足下列条件的各圆的方程:
(1)以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆. 解:已知圆心是C(1,3),那么只要再求出 圆的半径r,就能写出圆的方程. 因为圆C和直线3x-4y-7=0相切, 所以半径r等于圆心C到这条直线的 距离.根据点到直线的距离公式,得 O
Y M(1,3)
课堂练习:课本P**练习*** 补充练习:
求满足下列条件的各圆的方程: (1)已知圆过两点A(3,1),B(-1,3)且它的圆心在直线3x-y2=0上; (x-2)2+(y-4)2=10 (2)已知圆与y轴相切,圆心在 y 1 3 x 上,且被直线y=x截 得弦长为 2 7 .
(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9
a 26 1 1 4 2 2
Y
B(1,10)
C(a,6)
A(1,2) O X-2y-1=0 1 X
评注:
1.求圆的方程常用方法(1)定义法,(2)待定系数法. 2.解题时注意充分利用圆的几何性质. 3.用待定系数法求圆的方程一般步骤为: (1)根据题意,设所求方程为(x-a)2+(y-b)2=r2; (2)根据已知条件,建立关于a,b,r的方程或方程组; (3)解方程或方程组,求出a,b,r的值,并把它们代入所设 方程得所求解方程.
(3)过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x-2y-1=0相切 的圆的方程.
解:设所求圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2 ∵线段AB的垂直平分线为y=6, ∴圆心坐标为(a,6), ∴圆的方程可以写成(x-a)2+(y-6)2=r2 ∵直线x-2y-1=0与圆相切, (a 1) (6 2) . ∴ 解得a=-7或3, ∴r2=80或20. ∴所求圆的方程为(x+7)2+(y-6)2=80 或(x-3)2+(y-6)2=20
课堂小结
1.求圆的方程常用方法(1)定义法,(2)待定系数法. 2.解题时注意充分利用圆的几何性质. 3.用待定系数法求圆的方程一般步骤为: (1)根据题意,设所求方程为(x-a)2+(y-b)2=r2; (2)根据已知条件,建立关于a,b,r的方程或方程组; (3)解方程或方程组,求出a,b,r的值,并把它们代入所设 方程得所求解方程.
解二:设P(x,y)是切线上任一点.连OM,OP, Y P(x,y) 根据勾股定理可得:OM2+MP2=OP2,再利用 M(x0,y0) 两点间距离公式也可求得切线方程为 X O Xx0+yy0=r2 解三:设P(x,y)是切线上任一点.连OM, 由OM⊥MP可知, OM MP 0 再利用数量积的坐标即可求得切线方程为Xx0+yy0=r2 问题:已知圆的方程为x2+y2=8求经过圆上一点M(-2,2)的 -2x+2y=8,即x-y-4=0 切线方程.
复习与引入
求曲线方程的一般步骤是怎样的？ 圆的集合性定义是怎样？
新课开始
问题1：已知圆的圆心坐标为C(a,b)，半径为r，求圆的方程。 解：设M(x,y)是圆上任意一点，根据定义， Y 点M到圆心C的距离等于r，所以圆C就是 M（x,y) 集合 P={M︱︱MC︱=r}. C(a,b) 由两点间的距离公式，点M适合的条件可 ( x a ) 2 ( y b) 2 r （1） 表示为
例题讲解
例1 判断下列命题是否正确: (1)圆(x-1)2+(y-2)2=3的圆心坐标是(-1,-2),半径 圆心(1,2),半径√3 是3. (2)圆(2x-2)2+(2y+ 2），半径 22 径为√2. (3)圆(x+1)2+(y+2)2=m2(m≠0)的圆心坐标为 (-1,-2),半径为m. 圆心(-1,-2),半径︱m︱
作业布置
把（1）式两边平方，得
( x a) 2 ( y b) 2 r 2 .
（2） 方程（2）就是圆心为C（a,b)，半径为r的圆的方程。 我们把它叫做圆的标准方程。如果圆心在坐标原点， 那么圆的标准方程是什么? x2+y2=r2.
O
X
圆的标准方程特征:
(1)含有三个参数a,b,r,因此必须具备三个独立 条件才能确定一个圆. (2)从圆的标准方程可以直观地看出圆的圆心 和半径,其中圆心(a,b)定位,半径定形.
y y0
x0 y0
( x x0 ),
2 2 整理得x0 x yy0 x0 y0 2 2 因为点M（x0 , y0 )在圆上，所以x0 y0 r2,
所求的切线方程是 x0 x yy0 r .
2
例3 已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过 圆上一点M(x0,y0)的切线方程.
例3 已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过 圆上一点M(x0,y0)的切线方程.
解一:如图,设切线的斜率为k,半径OM OM的斜率为k1.因为圆的切线垂直于 过切点的半径,于是k=-1/k1. y0 x0 k1 x0 , k y0 .经过点M的切线方程为
Y M(x0,y0) O X
02+(4-b)2=r2 {102+(0-b)2=r2 解得 b=-10.5, r2=14.52
A
A1
A2
A3
A4
B
所以这个圆的方程是
x2+(y+10.5)2=14.52.
把点P2的横坐标x=-2代入这个圆的方程,得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52,
y 10.5 14.52 (2) 2 , (因为P2的纵坐标y 0, 所以方根取正值）。 于是y 14.52 (2) 2 10.5 14.36 10.5 3.86(m). 答：支柱A2 P2的长度约为 3.86m.
教学目的
掌握圆的标准方程,能根据圆心坐标、半径熟练写 出圆的标准方程，由圆的标准方程熟练求出圆的 圆心和半径。 能根据不同条件，利用待定系数法求圆的标准方 程。 利用圆的标准方程解决一些简单的实际问题。 培养学生数形结合思想，训练学生分析问题、解 决问题的能力。
重点难点分析
教学重点：根据不同条件，求圆的标准方 程。 教学难点：利用圆的标准方程解决一些简 单的实际问题。
例4 如图是某拱桥的一孔示意图,该圆拱跨度B=20cm, 拱高OP=4cm,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求 支柱A2P2的长度(精确到0.01m)
解:建立坐标系如图所示.圆心在y轴上.设圆心的坐标是(0,b),圆的半径是r,那么圆的方程 是 X2+(y-b)2=r2. 因为P,B都在圆上,所以它们的坐标(0,4),(10,0) P2 都是这个圆的方程的解.于是得到方程组
X
r
31 43 7 32 ( 4 ) 2
16 5 .
256 25
3x-4y-7=0
因此，所求的圆的方程 是 （x 1) 2 ( y 3) 2 .
(2)圆心在x轴上,半径为5且过点A(2,-3)的 圆.
解:设圆心在x轴上,半径为5的方程为 (x-a)2+y2=52. ∵点A(2,-3)在圆上, ∴(2-a)2+(-3)2=52, ∴a=-2或6. ∴所求的圆的方程为: (x+2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25. 方法总结:此方法属于待定系数法.
