2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)专题1.1 集合

1．集合的概念了解集合的含义、体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义．2．集合的基本运算理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集，能使用韦恩图表达集合间的基本关系及运算．3．命题及其关系理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题及其否命题、逆命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．4．简单的逻辑联结词了解“或”“且”“非”的含义．5．全称量词与存在量词理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．2014～2018年全国卷Ⅰ的考查情况年份2014 2015 2016 2017 2018考查内容第1题集合的交集运算第1题交集运算、元素的个数第1题集合的交集运算第1题集合的运算(交集、并集)第1题集合的运算(交集)分值5分5分5分5分5分2.2014～2018年全国卷Ⅱ的考查情况年份201420152016 2017 2018考查内容第1题集合的运算(交集)第1题集合的运算(并集)第24题第(2)问证明不等式的充要性第1题集合的运算(交集)第1题集合的运算(并集)第2题集合的运算(交集)分值5分5分10分5分5分5分2014年至2018年全国卷Ⅰ和卷Ⅱ直接考查本单元内容的试题共11道，2015年全国卷Ⅱ考查了2道题占15分(其中24题主要是考查不等式的证明)，其他各年考查本单元的试题都为1道，占5分．高考对集合这一考点的考查主要以选择题出现，涉及的知识包括集合的概念，集合与集合的关系及集合的运算，重点是集合的运算．一般都是作为全卷第1小题，且都是基础题，难度不大，属于高考中的“送分题”．常用逻辑用语包含命题与量词，基本逻辑联结词以及充分条件、必要条件、充要条件与命题的四种形式，其中量词是新课标新增内容，2013年高考通过一道小题考查了全称命题、特称命题及复合命题真假的判定．充要条件这一内容，在全国卷高考中直接考查的试题不多，只有2015年全国卷Ⅱ在选考内容中，结合不等式的证明进行了考查．本单元是高中数学的基本内容之一，集合论是现代数学的基础，集合语言简洁、准确，是数学中不可缺少的基本语言．常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是描述、判断、推理的工具，它可以帮助我们准确地表达数学内容、正确地理解数学概念、合理论证数学结论．对集合这一内容的复习，要重视对集合概念的认识与理解，特别要重视对描述法表示集合的理解，掌握集合与集合之间的关系、集合的运算，要求具备数形结合的思想，会借助V enn图、数轴等工具解决集合之间的关系及集合的运算等问题．高考直接考查常用逻辑用语的试题虽然不多，但常用逻辑用语常和函数、不等式及立体几何中直线、平面的位置关系等知识结合，因此复习时仍要非常重视．在复习时，要以小题、基础题为主，要求掌握p∧q，p∨q，﹁p命题真假的判断，全称命题与特称命题真假的判断及否定，四种命题及其关系，充分条件和必要条件的判断等，同时要注意与其他知识的联系．本单元问题的解答蕴涵了丰富的数学思想方法，如数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想和函数与方程的思想等，在复习中应注意总结领会．第1讲集合的概念与运算1．了解集合的含义、体会元素与集合的属于关系，了解空集、全集的意义．2．理解集合之间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集．3．理解交集、并集、补集的概念，会求两个简单集合的交集与并集，会求给定子集的补集．知识梳理1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征．(2)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，如果a不是集合A 的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.(3)常见数集的记法集合符号自然数集N正整数集N*或N＋整数集Z有理数集Q实数集R(4)常用的集合表示法有：列举法、描述法和图示法.2．集合间的基本关系(1)如果集合A中任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记作：A⊆B(或B⊇A).(2)如果集合A⊆B，但存在x∈B，且x∉A，则称集合A是集合B的真子集，记作：A B(或B A).(3)若A⊆B且B⊆A，则集合A与集合B中的元素是一样的，则称集合A与集合B相等．3．集合的基本运算(1)交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.(2)并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.(3)补集：集合A是集合U的子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U 中子集A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}.1．空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.2．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个．3．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.热身练习1．已知集合A＝{x|x<2}，a＝3，则下列关系正确的是(D)A．a⊆A B．a∉AC．{a}∈A D．{a}⊆A由于3<2，所以a∈A，即{a}⊆A. 2．(2018·达州模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则(D)A．A∩B＝∅B．∁A B＝BC．A B D．B AA＝{1,2,3}，B＝{2,3}，所以B⊆A，1∈A但1∉B，所以B A.3．(2017·天津卷)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{1,2,3,4}，则(A∪B)∩C＝(B)A．{2}B．{1,2,4}C．{1,2,4,6}D．{1,2,3,4,6}＝(－1,0)，C正确；A∪(∁B)＝(－1，＋∞)，D错误．因为A∪B＝{1,2,6}∪{2,4}＝{1,2,4,6}，所以(A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩{1,2,3,4}＝{1,2,4}．4．(2018·石家庄二模)设集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{x|x<0}，则下列结论正确的是(C) A．A∪B＝{x|x<0}B．(∁R A)∩B＝{x|x<－1}C．A∩B＝{x|－1<x<0}D．A∪(∁RB)＝{x|x≥0}因为A＝{x|－1<x≤2}＝(－1,2]，B＝{x|x<0}＝(－∞，0)，所以A∪B＝(－∞，2]，A错误；(∁RA)∩B＝(－∞，－1]，B错误；A∩BR5．(2018·湖南长郡中学联考)集合{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}的真子集的个数是(C)A．3B．4C．7D．8由{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}知，y≥0，所以－x2＋6≥0，又x∈N，所以x＝0,1,2.所以集合为{2,5,6}，其真子集的个数为23－1＝7.(2)设 a ，b ∈R ，集合⎨a ，a ，1⎬＝{a 2，a ＋b,0}，则 a 2019＋b 2019＝__________.n集合的基本概念(1)(经典真题)已知集合 A ＝{x|x ＝3n ＋2，∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合 A ∩B 中元素的个数为A ．5B ．4C ．3D ．2⎧ b ⎫ ⎩⎭(2)考虑集合{a ， ，1}中哪一个元素为 0 入手，利用集合中的元素的确定性和互异性进行(1)求解本题，关键是理解集合 A 的意义，将集合 A 进行化简，可以采用特殊化的方法．A ＝{x|x ＝3n ＋2，n ∈N }＝{2,5,8,11,14，…}，所以 A 与 B 的共同元素只有 8,14 两个，故选 D.ba分析．若 a ＝0，则b无意义，所以 a ≠0，a所以b ＝0，从而 b ＝0，所以{a ，b，1}＝{a,0,1}．a a由{a,0,1}＝{a 2，a,0}，得 a 2＝1，即 a ＝1 或 a ＝－1.又根据集合中元素的互异性 a ＝1 应舍去，所以 a ＝－1.故 a 2019＋b 2019＝(－1)2019＝－1.(1)D(2)－1(1)用描述法表示集合，首先要搞清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，分清是数集、点集还是其他类型的集合．(2)解决含有参数的集合问题时，要注意集合中元素的特征，并注意用互异性进行检验．(3)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．1．(1)若集合 A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则 a 等于(A) A ．4 B ．2C ．0D ．0 或 2(2)已知集合 A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若 3∈A ，则 m 的值为 －3.2(1)当 a ＝0 时，方程化为 1＝0，无解，集合 A 为空集，不符合题意；当 a ≠0 时，由 Δ＝a 2－4a ＝0，解得 a ＝4.(2)因为 3∈A ，所以 m ＋2＝3 或 2m 2＋m ＝3，若 m ＋2＝3，解得 m ＝1，此时 A ＝{3,3}与集合中元素的互异性矛盾，所以 m ＝1，不符合题意；若2m 2＋m ＝3，解得 m ＝1(舍去)或 m ＝－3. 故所求 m 的值为－3.2检验知 m ＝－3满足题意．22集合间的基本关系已知集合 A ＝{x|x 2－3x －10≤0}，若集合B ＝{x|p ＋1≤x ≤2p －1}，且 B A ，则实数 p 的取值范围为________．欲求实数p的取值范围，只需找出关于p 的不等式，可由已知条件，结合数轴找到．由x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5，所以A＝{x|－2≤x≤5}．B A，则有①当B≠时，利用数轴可知：⎧⎪p＋1≤2p－1，⎨－2≤p＋1，解得2≤p≤3.⎪⎩2p－1≤5，②当B＝时，有p＋1>2p－1，即p<2.综合①②得实数p的取值范围是(－∞，3]．(－∞，3]解决有关集合的包含关系的问题时，要注意：(1)所给集合若能化简，则先化简；(2)充分利用数轴、韦恩图等辅助解题；(3)注意空集的特殊性，一般地，若B⊆A，则应分B＝∅与B≠∅两种情况进行讨论．2．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，若集合B＝{x|p－6≤x≤2p－1}，且A∩B＝A，则实数p的取值范围为[3,4].由例2知，A＝{x|－2≤x≤5}．A∩B＝A，所以A B，画出示意图(如下图)，⎧⎪2p－1>p－6，所以⎨p－6≤－2，⎪⎩2p－1≥5，⎧p>－5，解得⎨p≤4，⎩p≥3.所以3≤p≤4.故p的取值范围为[3,4]．A ．A ∩B ＝⎨x|x <2⎬ B ．A ∩B ＝∅ C ．A ∪B ＝⎨x|x <2⎬ D ．A ∪B ＝R集合的基本运算(1)(2017· 全国卷Ⅰ)已知集合 A ＝{x|x<2}，B ＝{x|3－2x>0}，则()⎧ 3⎫ ⎩⎭⎧ 3⎫ ⎩⎭(2)(2018· 宝鸡二模)已知全集 U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合 M ＝{2,3,5}，N ＝{4,5}，则集合{1,6}可以表示为( )A ．M ∩NB ．M ∪NC. ∁U (M ∪N ) D ．∁U (M ∩N )因为B＝{x|3－2x>0}＝⎧⎨x|x<⎫⎬，A＝{x|x<2}，所以A∩B＝⎧⎨x|x<⎫⎬，A∪B＝{x|x<2}．所以(M∪N)＝{1,6}，故选C.(1)首先化简集合A，B，再利用数轴得到A∩B和A∪B.3⎩2⎭3⎩2⎭(2)画出韦恩图，如图，U(1)A(2)C进行集合的运算时，要注意：①明确集合中元素的意义；②注意将所给集合化简，使之明确化；③注意数形结合，利用韦恩图、数轴等辅助解题．- 21 -/23(2)(2018· 广州一模)设集合 A ＝{x| <0}，B ＝{x|x ≤－3}，则集合{x|x ≥1}＝(D)3．(1)(2018·天津卷)设集合 A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R|－1≤x<2}，则(A ∪B)∩C ＝(C)A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}x ＋3x －1A ．A ∩B B ．A ∪BC ．(∁R A)∪(∁R B)D ．(∁R A)∩(∁R B)(1)因为 A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，所以 A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}．又 C ＝{x ∈R|－1≤x<2}，所以(A ∪B)∩C ＝{－1,0,1}，故选 C.- 22 - / 23所以∁ A ＝{x|x ≥1，或 x ≤－3}，∁ B ＝{x|x >－3}．易知(∁ A)∩(∁ B)＝{x|x ≥1}，故选 D.x ＋3(2)因为 A ＝{x| <0}＝{x|－3<x<1}，B ＝{x|x ≤－3}，x －1 R R R R1．研究集合的有关问题，首先要理解集合的概念，其次要注意集合中元素的三个特征：确定性、无序性和互异性，尤其要注意集合中元素的互异性，当集合中的元素含有参数时， 要根据互异性进行检验．2．处理集合问题时，首先要理解用描述法表示的集合的意义，关键是抓住集合的代表元 素．首先看“{ | }”的左边元素的代表形式，然后看右边元素满足的性质，这是认清集合元 素的关键．例如，{y|y ＝f(x)}是数集，表示函数 y ＝f(x)的值域；{x|y ＝f(x)}是数集，表示函数 y ＝f(x)的定义域；{(x ，y)|y ＝f(x)}是点集，表示函数 y ＝f(x)图象上的点构成的集合．3．注意空集∅的特殊性，在解题时，若未能指明集合非空时，要考虑空集的可能性，如 A B ，则有 A ＝∅或 A ≠∅两种可能，解题时常常遗漏对空集的讨论，这一点应引起重视．4．研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具 辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续 的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．解题时，首先要把集合进行 化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、 直观化，这实质是数形结合思想在集合中的具体应用．5．处理含参数的集合的包含关系及集合的运算时，端点值的取舍也是一个难点和重点， 其解决办法是对端点值进行单独考虑．- 23 - / 23。

§1.1集合的概念及运算最新考纲考情考向分析1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4.在具体情境中，了解全集与空集的含义．5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算. 集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图．考查学生的数形结合思想和计算推理能力．题型以选择题为主，低档难度.1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋(或N*)Z Q R2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中任意一个元素都是集合B的元素(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于AA B(或B A)集合相等如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素A＝B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A又属于集合B的所有元素构成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集对于给定的两个集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集如果给定集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁U A＝{x|x∈U且x∉A}概念方法微思考1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．提示2n，2n－1.2．从A∩B＝A，A∪B＝A可以得到集合A，B有什么关系？提示A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )(2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．( × ) (3)若{x 2，1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( × ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( √ ) (5)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( × ) 题组二 教材改编2．若集合A ＝{x ∈N |x ≤ 2 020}，a ＝22，则下列结论正确的是( ) A ．{a }⊆A B ．a ⊆A C ．{a }∈A D ．a ∉A答案 D3．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为______． 答案 2解析 集合A 表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B 表示直线y ＝x 上的点，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝⎛⎭⎫22，22，⎝⎛⎭⎫－22，－22，则A ∩B 中有两个元素． 题组三 易错自纠4．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3或0 答案 B解析 A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，故B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，其中m ＝1不符合题意，所以m ＝0或m ＝3，故选B. 5．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2<x <4}，则(∁R A )∪B ＝______________. 答案 {x |x ≤1或x >2}解析 由已知可得集合A ＝{x |1<x <3}， 又因为B ＝{x |2<x <4}，∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥3}， 所以(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x >2}．6．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－4x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 0或2解析 若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝16－8a ＝0，解得a ＝2.综上，a 的值为0或2.题型一 集合的含义1．设集合A ＝{x ∈Z ||x |≤2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则B 中的元素有( ) A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．无数个答案 C解析 依题意有A ＝{－2，－1,0,1,2}，代入y ＝x 2＋1得到B ＝{1,2,5}，故B 中有3个元素．2．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C 解析 因为32－x∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1,1,3，又因为x ∈Z ，所以x 的值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.3．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 答案 －32解析 由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．题型二 集合间的基本关系例1 (1)集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝n 2＋1，n ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝m ＋12，m ∈Z ，则两集合M ，N 的关系为( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ＝N C ．M ⊆N D ．N ⊆M答案 D解析 由题意，对于集合M ，当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则x ＝k ＋1(k ∈Z )，当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1(k ∈Z )，则x ＝k ＋1＋12(k ∈Z )，∴N ⊆M ，故选D.(2)已知集合A ＝{x |x 2－2 019x ＋2 018<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 [2 018，＋∞)解析 由x 2－2 019x ＋2 018<0，解得1<x <2 018， 故A ＝{x |1<x <2 018}．又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 018.引申探究本例(2)中，若将集合B 改为{x |x ≥a }，其他条件不变，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－∞，1]解析 A ＝{x |1<x <2 018}，B ＝{x |x ≥a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≤1.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．跟踪训练1 (1)(2018·辽宁实验中学期中)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪x ＋1x －2≤0，则集合A 的子集的个数为( )A ．7B ．8C ．15D ．16 答案 B解析 由x ＋1x －2≤0，可得(x ＋1)(x －2)≤0，且x ≠2，解得－1≤x <2.又x ∈Z ，可得x ＝－1,0,1，∴A ＝{－1,0,1}．∴集合A 的子集的个数为23＝8.(2)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为__________． 答案 (－∞，1]解析 当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}，B ⊆A ， 所以在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，－m ≥－1，所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．题型三 集合的基本运算命题点1 集合的运算例2 (1)(2018·全国Ⅰ)已知集合A ＝{}x |x 2－x －2>0，则∁R A 等于( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2} 答案 B解析 ∵x 2－x －2>0，∴(x －2)(x ＋1)>0，∴x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}． 故选B.(2)已知集合A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |－5<x <5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ⊆B C ．B ⊆A D ．A ∪B ＝R答案 D解析 ∵A ＝{x |x >2或x <0}，∴A ∪B ＝R . 命题点2 利用集合的运算求参数例3 (1)(2018·锦州模拟)已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是( )A ．a <1B ．a ≤1C ．a >2D ．a ≥2 答案 D解析 集合B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}， 由A ∩B ＝B 可得B ⊆A ，作出数轴如图．可知a ≥2.(2)设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，A ∩B ＝{0}，则实数a 的值为________．答案 1解析 0∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，由a ＋1a ≠0，则a －1＝0，则实数a 的值为1.经检验，当a ＝1时满足题意．(3)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是______． 答案 (－∞，－1]∪{1}解析 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化． 跟踪训练2 (1)(2018·葫芦岛检测)已知集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |y ＝lg(x －2)}，则A ∩(∁R B )等于( )A ．(2,4)B ．(－2,4)C ．(－2,2)D ．(－2,2] 答案 D解析 由题意得B ＝{x |y ＝lg(x －2)}＝(2，＋∞)， ∴∁R B ＝(－∞，2]，∴A ∩(∁R B )＝(－2,2]．(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞)答案 D解析 由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0， 即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}． 又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2； ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)． 题型四 集合的新定义问题例4 (1)对于任意两集合A ，B ，定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A *B ＝(A －B )∪(B －A )，记A ＝{y |y ≥0}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，则A *B ＝______________. 答案 [－3,0)∪(3，＋∞)解析 由题意知，A －B ＝{x |x >3}，B －A ＝{x |－3≤x <0}， A *B ＝(A －B )∪(B －A )＝[－3,0)∪(3，＋∞)．(2)设数集M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________． 答案112解析 在数轴上表示出集合M 与N (图略)，可知当m ＝0且n ＝1或n －13＝0且m ＋34＝1时，M ∩N 的“长度”最小．当m ＝0且n ＝1时，M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23≤x ≤34， 长度为34－23＝112；当n ＝13且m ＝14时，M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪14≤x ≤13， 长度为13－14＝112.综上，M ∩N 的长度的最小值为112.思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．跟踪训练3 用C (A )表示非空集合A 中元素的个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C (A )－C (B )，C (A )≥C (B )，C (B )－C (A )，C (A )<C (B ).若A ＝{1,2}，B ＝{x |(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则C (S )＝________. 答案 3解析 因为C (A )＝2，A *B ＝1，所以C (B )＝1或C (B )＝3.由x 2＋ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝－a .关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0，当Δ＝0，即a ＝±22时，易知C (B )＝3，符合题意；当Δ>0，即a <－22或a >22时，易知0，－a 均不是方程x 2＋ax ＋2＝0的根，故C (B )＝4，不符合题意；当Δ<0，即－22<a <22时，方程x 2＋ax ＋2＝0无实数解，当a ＝0时，B ＝{0}，C (B )＝1，符合题意，当－22<a <0或0<a <22时，C (B )＝2，不符合题意．综上，S ＝{0，－22，22}，故C (S )＝3.1．设集合P ＝{x |0≤x ≤2}，m ＝3，则下列关系中正确的是( ) A ．m ⊆P B ．m P C ．m ∈P D ．m ∉P答案 D解析 P ＝[0，2]，m ＝3>2，故选D.2．设集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x<2，则下列结论中正确的是( ) A ．N M B ．M N C ．N ∩M ＝∅ D ．M ∪N ＝R答案 B解析 由题意得，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1x <2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <0或x >12，所以M N .故选B. 3．设集合A ＝{x ∈Z |x 2－3x －4<0}，B ＝{x |2x ≥4}，则A ∩B 等于( ) A ．[2,4) B ．{2,4} C ．{3} D ．{2,3} 答案 D解析 由x 2－3x －4<0，得－1<x <4，因为x ∈Z ，所以A ＝{0,1,2,3}，由2x ≥4，得x ≥2，即B ＝{x |x ≥2}，所以A ∩B ＝{2,3}．4．(2018·全国Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 答案 A解析 将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个． 故选A.5．设集合M ＝{－4，－3，－2，－1,0,1}，N ＝{x ∈R |x 2＋3x <0}，则M ∩N 等于( ) A ．{－3，－2，－1,0} B ．{－2，－1,0} C ．{－3，－2，－1} D ．{－2，－1}答案 D解析 因为集合M ＝{－4，－3，－2，－1,0,1}，N ＝{x ∈R |x 2＋3x <0}＝{x |－3<x <0}，所以M ∩N ＝{－2，－1}．6．(2018·呼和浩特联考)已知全集U＝{x∈N|x2－5x－6<0}，集合A＝{x∈N|－2<x≤2}，B ＝{1,2,3,5}，则(∁U A)∩B等于()A．{3,5} B．{2,3,5}C．{2,3,4,5} D．{3,4,5}答案 A解析由题意知，U＝{0,1,2,3,4,5}，A＝{0,1,2}，则(∁U A)∩B＝{3,5}．故选A. 7．(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于() A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}答案 C解析∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.8．已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a的取值范围为()A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)答案 B解析用数轴表示集合A，B(如图)，由A⊆B，得a≥0.9．已知集合P＝{x|y＝－x2＋x＋2，x∈N}，Q＝{x|ln x<1}，则P∩Q＝________.答案{1,2}解析由－x2＋x＋2≥0，得－1≤x≤2，因为x∈N，所以P＝{0,1,2}．因为ln x<1，所以0<x<e，所以Q＝(0，e)，则P∩Q＝{1,2}．10．若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|log3(2－x)≤1}，则A∩(∁U B)＝________________.答案{x|x<－1或x≥2}解析集合A＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}，∵log3(2－x)≤1＝log33，∴0<2－x≤3，∴－1≤x<2，∴B＝{x|－1≤x<2}，∴∁U B＝{x|x<－1或x≥2}，∴A∩(∁U B)＝{x|x<－1或x≥2}．11．设集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1,2}，则a 的值为________． 答案 －2或1解析 ∵集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－1，a 2－2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.经检验，a ＝－2和a ＝1均满足题意．12．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.13．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝______，n ＝________.答案 －1 1解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.14．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．答案 6解析 依题意可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．15．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪x 24＋y 22＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝kx ＋m ，k ∈R ，m ∈R }，若对任意实数k ，A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是____________． 答案 [－2，2]解析 由已知，无论k 取何值，椭圆x 24＋y 22＝1和直线y ＝kx ＋m 均有交点，故点(0，m )在椭圆x 24＋y 22＝1上或在其内部，∴m 2≤2，∴－2≤m ≤ 2. 16．已知集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12a ≤x ≤2a －1.若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，1)解析 由题意知，A ＝[1，＋∞)，当B ＝∅，即12a >2a －1时，a <23.符合题意． 当B ≠∅时，令⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2a －1，2a －1<1，解得23≤a <1. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，1)．。

专题1.1 集合1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算。

知识点1：元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉。

(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法。

知识点2：集合间的基本关系(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A。

(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A B或B A。

(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B。

(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

知识点3.集合的基本运算知识点4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A。

(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A。

(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A。

【特别提醒】1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个。

2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C。

3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B。

4. ∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)。

考点一：集合的含义【典例1】(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4【规律方法】1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义。

2020-2021年新高三数学一轮复习考点：集合本部分常常结合后面的不等式和函数的基本性质进行综合考查，需要对集合的表示和集合间的基本关系进行求解，考查多以选择题为主，难度比较小，属于容易题。

一、集合的基本概念；二、集合间的基本关系；三、集合的基本运算；四、集合中的新定义问题。

【易错警示】1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么；2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化．集合的基本概念1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系.(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.元素与集合(1)集合中元素的特性:①确定性、互异性、无序性.(2)集合与元素的关系:若a属于集合A,记作②a∈A;若b不属于集合A,记作③b∉A.(3)集合的表示方法:④列举法、描述法、图示法.(4)常见数集及其符号表示:集【典型例题】例1(1)设a,b∈R,若{1,a+b,a}=,则b-a=()A.1B.-1C.2D.-2(2)集合A={x|x2-7x<0,x∈N*},则B=中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4答案 (1)C (2)D【跟踪训练】1 若集合A={x ∈R|ax 2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=( ) A. B. C.0D.0或 答案 D解析 当a=0时,显然成立;当a ≠0时,Δ=(-3)2-8a=0,即a=.2 已知集合A={m+2,2m 2+m},若3∈A,则m 的值为 .答案 -解析 因为3∈A,所以m+2=3或2m 2+m=3.当m+2=3,即m=1时,2m 2+m=3,此时集合A 中有重复元素3,所以m=1不符合题意,舍去;当2m 2+m=3时,解得m=-或m=1(舍去),此时m+2=≠3符合题意.所以m=-.3．设集合{},,P x y x y xy =-+，{}2222,,0Q x y x y =+-，若P Q =，求,x y 的值及集合P 、Q ． 解：∵P Q =且0Q ∈，∴0P ∈．（1）若0x y +=或0x y -=，则220x y -=，从而{}22,0,0Q x y =+，与集合中元素的互异性矛盾，∴0x y +≠且0x y -≠；（2）若0xy =，则0x =或0y =．当0y =时，{},,0P x x =，与集合中元素的互异性矛盾，∴0y ≠；当0x =时，{,,0}P y y =-，22{,,0}Q y y =-，由P Q =得220y y y y y -=⎧⎪=-⎨≠⎪⎩① 或220y y y y y -=-⎧⎪=⎨≠⎪⎩ ② 由①得1y =-，由②得1y =，∴{01x y ==-或{01x y ==，此时{1,1,0}P Q ==-．【知识拓展】1．集合、子集、空集的概念；2．集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法；3．若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -，非空子集有21n -个，非空真子集有22n-个．与集合中的元素有关的问题的求解策略(1)确定集合中的元素是什么,即集合是数集还是点集;(2)看这些元素满足什么限制条件;(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数.易错提示要注意检验集合中元素的互异性.集合间的基本关系1.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.2.集合间的基本关系例2 (1)已知集合A={x|x 2-3x+2=0,x ∈R},B={x|0<x<5,x ∈N},则( )A.B ⊆AB.A=BC.A ⫋BD.B ⫋A(2)若集合A 满足{a,b}⊆A ⊆{a,b,c,d,e},则集合A 的个数是( ) A.6 B.7 C.8 D.9(3)已知集合A={x|-2≤x ≤5},B={x|m+1≤x ≤2m-1},若B ⊆A,则实数m 的取值范围是 .(4)集合A={x|x 2+4x=0},B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0}.(i)若B 是A 的子集,则实数a 的取值范围是 ;(ii)若A是B的子集,则实数a的取值范围是.答案(1)C(2)C(3)(-∞,3](4)(i)a≤-1或a=1;(ii)a=1解析(1)由x2-3x+2=0得x=1或x=2,∴A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},比较A,B中的元素可知A⫋B,故选C.(3)若B=⌀,则2m-1<m+1,所以m<2.若B≠⌀,则解得2≤m≤3.综上可得,符合题意的实数m的取值范围是(-∞,3].(4)由题意可得,A={0,-4}.(i)易知B⊆A,∴B={0}或{-4}或⌀或{0,-4}.当B={0}或{-4}时,方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有两个相等的实根,即[2(a+1)]2-4×(a2-1)=0,∴a=-1,此时B={0},满足题意.当B={0,-4}时,即x=0,-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根,易得a=1.当B=⌀时,即方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无解,则Δ<0,即[2(a+1)]2-4(a2-1)<0,解得a<-1.综上可得,a≤-1或a=1.(ii)易知A⊆B,A={0,-4},即0,-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根,∴⇒a=1.探究：若将本例(3)中的“A={x|-2≤x≤5}”改为“A={x|x<-2或x>5}”,求实数m的取值范围.解析当B=⌀时,有2m-1<m+1,∴m<2,符合题意;当B≠⌀时,有或解得或即m>4.综上可知,实数m的取值范围是(-∞,2)∪(4,+∞).【跟踪训练】1已知集合P={1,3},则满足P∪Q={1,2,3,4}的集合Q的个数是()A.1B.2C.3D.4答案 D2 已知集合A={x|1≤x<5},B={x|-a<x ≤a+3},若B ⊆(A ∩B),则a 的取值范围是 . 答案 (-∞,-1]解析 因为B ⊆(A ∩B),所以B ⊆A.当B=⌀时,满足B ⊆A,此时-a ≥a+3,即a ≤-;当B ≠⌀时,要使B ⊆A,则，解得-<a ≤-1.综上可知,a 的取值范围是(-∞,-1].3 已知集合A={x|x 2=1},B={x|ax=1},若B 是A 的子集,则实数a 的取值集合为 . 答案 {0,1,-1}4. 若集合{}2|10,A x x ax x R =++=∈，集合{}1,2B =，且A B ⊆，求实数a 的取值范围． 解：（1）若A φ=，则240a ∆=-<，解得22a -<<；（2）若1A ∈，则2110a ++=，解得2a =-，此时{1}A =，适合题意；（3）若2A ∈，则22210a ++=，解得52a =-，此时5{2,}2A =，不合题意； 综上所述，实数m 的取值范围为[2,2)-．已知两个集合间的关系求参数,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn 图等来直观地解决这类问题.【易错警示】(1)“⊆”与“⫋”的区别:A ⊆B ⇒A=B 或A ⫋B,若A ⊆B 和A ⫋B 同时成立,则A ⫋B 更准确.(2)⌀,{0}和{⌀}的区别,⌀是集合,不含有任何元素,{0}含有一个元素0;{⌀}含有一个元素⌀,且⌀∈{⌀}和⌀⊆{⌀}都正确.(3)在涉及集合之间的关系时,若未指明集合非空,则要考虑空集的可能性,如:若A ⊆B,则要考虑A=⌀和A≠⌀两种情况.集合的基本运算1. 集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法．2.集合的基本运算{x|x∈A或x∈∈A,且x∈A}3.集合的运算性质(1)并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A;(2)交集的性质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B;(3)补集的性质A∪∁U A=U;A∩∁U A=⌀;∁U(∁U A)=A;∁U(A∪B)=∁U A∩∁U B;∁U(A∩B)=∁U A∪∁U B.【典型例题】例3(1)已知集合M=,N=,则M∩N=()A.B. C. D.(2)设全集U=R,集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|x-1≥0},则图中阴影部分所表示的集合为()A.{x|x≤-1或x≥3}B.{x|x<1或x≥3}C.{x|x≤1}D.{x|x≤-1}(3)已知集合A={x|y=},B={x|a≤x≤a+1},若A∪B=A,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-3]∪[2,+∞)B.[-1,2]C.[-2,1]D.[2,+∞)答案(1)B(2)D(3)C解析(1)解不等式可得集合M=(2,3),集合N=,所以M∩N=.(2)解不等式可得集合A=(-1,3),集合B=[1,+∞),所以A∪B=(-1,+∞),所以∁U(A∪B)=(-∞,-1],所以选D.【跟踪训练】若集合A={x|x2+2x-8<0},B={x|5-m<x<2m-1}.若U=R,A∩∁U B=A,则实数m的取值范围是.答案(-∞,3]解析易知A={x|-4<x<2}.由A∩∁U B=A,得A⊆∁U B,则A∩B=⌀,由数轴得5-m≥2m-1或或解得m≤3.(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借用Venn图求解.(2)集合中的元素若是连续的实数,常借助数轴求解,但要注意端点值能否取到.(3)根据集合的运算求参数,先把符号语言译成文字语言,然后适时应用数形结合求解.【易错警示】1.非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n∈Z}为奇数集等.2.(1)一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;(2)任何一个集合是它本身的子集;(3)对于集合A,B,C,若A⊆B,B⊆C,则A⊆C(真子集也满足).3.子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、(2n-1)个真子集、(2n-1)个非空子集、(2n-2)个非空真子集.考向4 集合中的新定义问题例4(1)定义集合的商集运算为=,已知集合A={2,4,6},B=,则集合∪B中的元素的个数为()A.6B.7C.8D.9(2)设A,B是两个非空集合,定义集合A-B={x|x∈A,且x∉B}.若A={x∈N|0≤x≤5},B={x|x2-7x+10<0},则A-B=()A.{0,1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{0,1,2,5}答案(1)B(2)D解析(1)由题意知,B={0,1,2},则=,则∪B=,共有7个元素.故选B.(2)∵A={x∈N|0≤x≤5}={0,1,2,3,4,5},B={x|x2-7x+10<0}={x|2<x<5},A-B={x|x∈A,且x∉B},∴A-B={0,1,2,5}.故选D.解决集合中的新定义问题的方法解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在;(2)用好集合的性质.解题时要善于从题目中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质.【跟踪训练】设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A且k+1∉A,那么k是A的一个“单一元”,给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“单一元”的集合共有个.答案 6解析符合题意的集合为{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8},共6个.。