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人教A 版（2019）选择性必修第一册1.3节空间向量及其运算的坐标表示 课后练习一、单选题1．已知()()2,1,3,1,2,1a b =-=-，若()a ab λ⊥-，则实数λ的值为 （ ） A ．-2 B ．145 C ．143- D ．22．已知点()1,1,0A ，向量12AB →()4,1,2=，则点B 的坐标为（ ） A ．()7,1,4- B ．()9,3,4 C ．()3,1,1 D ．()1,1,1-3．如果三点()1,5,2A -，()2,4,1B ，(),3,2C a b +在同一条直线上，则()A ．3,2a b ==B ．6,1a b ==-C ．3,3a b ==-D ．2,1a b =-=4．已知向量()()()231203002a b c =-==，，，，，，，，，则()a b c ⋅+=（ ） A ．6 B ．7 C ．9 D ．135．在空间直角坐标系O xyz -中，(0,0,0),O E F ，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足||||3CO CB ==，若1cos ,6EF BC <>=，，则OC OF ⋅=（ ） A ．9 B ．7 C ．5 D ．36．已知空间直角坐标系O xyz -中，)2,1,1(),2,1,2(),3,2,1(===，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭7．若直线的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则满足α的向量a 与n 可能为（ ） A ．(),,a =135，()1,0,1n =B ．()1,0,0a =，()2,0,0n =-C ．()1,1,3a =-，()0,3,1n =D ．()0,2,1a =，()1,0,1n =--8．已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，3BC =，12AA =，空间中存在一动点P 满足11B P =，记1I AB AP =⋅，2I AD AP =⋅，31I AC AP =⋅，则（ ）.A ．存在点P ，使得12I I =B ．存在点P ，使得13I I =C ．对任意的点P ，有12I I >D ．对任意的点P ，有23I I > 二、填空题9．若向量()()2,3,6,1,0,3a b =-=--，则2a b -=_____10．已知向量a =（4，﹣5，12），b =（3，t ，23），若a 与b 的夹角为锐角，则实数t 的取值范围为_____． 11．已知()12a y =-，，，()12b x =，，，且()2a b +//()2a b -，则xy =_________ 12．已知向量()2,1,3a =-，()4,,2b y =-，且()a ab ⊥+，则y 的值为__________．三、解答题13.已知正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 棱长为2， E,F,G 分别为 AA 1,DD 1,BC 的中点，若线段 DG 上一点 M 满足 FM ⊥C 1E ．（1）确定M的位置；（2）求C1E与平面C1FM所成角的正弦值．14.已知向量a→，b→，c→分别平行于x轴，y轴，z轴，他们的坐标各有什么特点？15.已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE .（1）若P是BC的中点，求证：DP//平面EAB；（2）求平面EBD与平面ACDE所成的锐二面角θ的余弦值.16.如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．参考答案1．D2．B3．A4．C5．D6．C7．C8．C9．1310．（﹣∞，4）11．2 12．1213.【答案】 （1）解：正方体中有 DA,DB,DD 1 两两垂直，故可建立如图所示空间直角坐标系则有 C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =C 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,−1) ， F(0,0,1)设 DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FD⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,−1)+λ(1,2,0) =(λ,2λ,−1) 因为 FM ⊥C 1E ，所以 FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，即 (λ,2λ,−1)⋅(2,−2,−1)=02λ−4λ+1=0 ， λ=12故 M 为 DG 中点．（2）解：由（1）得 FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1,−1) ，另外 FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1) 设平面 C 1FM 的一个法向量 n⃗ =(x,y,z) 则 {n ⋅FM =0n ⋅FC 1=0 ，即 {12x +y −z =02y +z =0，取 y =−1 ，有 z =2 ， x =6 ， 此时 n⃗ =(6,−1,2) cos〈n ⃗ ,C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=n ⃗ ⋅C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗ |⋅|C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √36+1+4⋅√4+4+1=√414√4141 ∴ C 1E 与平面 C 1FM 所成角的正弦值为 4√4141【解析】（1）建立空间直角坐标系，表示出 FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 及 C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据 FM ⊥C 1E 则 FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 求出参数的值，即可确定 M 的位置；（2）求出平面 C 1FM 的法向量，和直线 C 1E 的方向向量，代入向量夹角公式，可得直线C1E与平面C1FM所成角的正弦值；14.【答案】解：向量a→，b→，c→分别平行于x轴，y轴，z轴，所以向量a→的横坐标不为0，横坐标为0，竖坐标为0；向量b→的横坐标为0，横坐标不为0，竖坐标为0；向量c→的横坐标为0，横坐标为0，竖坐标不为0；【解析】直接利用向量与坐标轴的关系，写出结果即可．15.【答案】（1）证明：设AB＝a，取AC的中点O，连接EO，OP.∵AE＝AC，又∠EAC＝60°，∴EO⊥AC.又平面ABC⊥平面ACDE，∴EO⊥平面ABC，∴EO⊥OP，又OP∥AB，AB⊥AC，所以OP⊥AC.以射线OP，OC，OE分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则C（0，a2，0），A（0，－a2，0），E（0，0，√32a），D（0，a2，√32a），B（a，－a2，0）.则P（a2，0，0），设平面EAB 的法向量为 n ⃗ ＝（x0 ， y0 ， z0）. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（a ，0，0）， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（0， a 2 ， √32a ）， ∴ AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ n ⃗ ＝0， AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ n ⃗ ＝0， 即 {a 2y 0+√32az 0=0x 0a =0，令z0＝1，得y0＝－ √3 ，又x0＝0， ∴ n⃗ ＝（0，－ √3 ，1）. ∴ n ⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√3,1)⋅(a 2,−a 2,−√32a)=0 ， ∴DP∥平面EAB （另法：取AB 中点F ，然后证DP∥EF 或证平面ODP∥平面EAB ）（2）解：设平面EBD 的法向量为 n 1⃗⃗⃗⃗ ＝（x1 ， y1 ， z1），易知平面ACDE 的一个法向量为 n 2⃗⃗⃗⃗ ＝（1，0，0）.∵ {n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，即 {ax 1−a 2y 1−√32az 1=0a 2y 1=0 ， 令z1＝1，则x1＝ √32 ，y1＝0， n 1⃗⃗⃗⃗ ＝（ √32 ，0，1）. ∴ cos θ=|n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗ ||n 1⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗ |=√217. 【解析】（1）以射线OP ，OC ，OE 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用平面的法向量和直线的方向向量平行证得线面平行；（2）由题意利用空间向量的夹角与距离求解公式解出即可．16.【答案】 （1）证明：取AC 中点O ，连结DO 、BO ，∵△ABC 是正三角形，AD=CD ，∴DO⊥AC ，BO⊥AC，∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO ，∵BD ⊂平面BDO ，∴AC⊥BD．（2）解：设AD=CD= √2 ，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，∴BO= √4−1 = √3 ，∴BO2+DO2=BD2 ， ∴BO⊥DO，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则C （﹣1，0，0），D （0，0，1），B （0， √3 ，0），A （1，0，0），设E （a ，b ，c ）， DE⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，（0≤λ≤1），则（a ，b ，c ﹣1）=λ（0， √3 ，﹣1），解得E （0， √3λ ，1﹣λ），∴ CE ⃗⃗⃗⃗ =（1， √3λ，1−λ ）， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（﹣1， √3λ，1−λ ），∵AE⊥EC，∴ AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗ =﹣1+3λ2+（1﹣λ）2=0， 由λ∈[0，1]，解得 λ=12 ，∴DE=BE，∵四面体ABCE 与四面体ACDE 的高都是点A 到平面BCD 的高h ，∵DE=BE，∴S△DCE=S△BCE ，∴四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比为1．【解析】（1.）取AC 中点O ，连结DO 、BO ，推导出DO⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面BDO ，由此能证明AC⊥BD．（2.）设AD=CD= √2 ，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO= √3 ，推导出BO⊥DO，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，由AE⊥EC，求出DE=BE ，由此能求出四面体ABCE 与四面体ACDE的体积比．。
