江苏省南通市通州区姜灶中学高考数学5月模拟试题苏教

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，则A B ⋂=A ．（-∞，1）B ．（0，1）C.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．（0，12）2.已知函数2log ,0(),0x x f x sinx x >⎧=⎨-≤⎩,则6f f π⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A ．2B ．1C ．-1D ．23.若3z iz i -=+，复数z 与z 在复平面内对应的点分别为A ，B ，则|AB|=A ．2B ．22C ．3D ．44.现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为A ．0.25升B ．0.5升C ．1升D ．1.5升5.古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线，并研究了它的一些几何性质。

比如，双曲线有如下性质：A ，B 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点，从C 上一点P （异于A ，B ）向实轴引垂线，垂足为Q ，则2|PQ AQ QB⋅为常数。

若C 的离心率为2，则该常数为A ．33B ．3C ．13D ．36.在平行四边形ABCD 中，134,2,,,9,24AB AD AM AD AN AB CM CN ====⋅=则DM DN ⋅=A ．-1B ．1C ．158D ．37.正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,3AB AA ==，M 是11A D 的中点，点N 在棱1CC 上，12CN NC =，则平面AMN 与侧面11BB C C的交线长为A ．3B ．132C ．2103D ．21338.已知()()2ln1f x x x=+-，若211ln ,,tan 332a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则A ．a b c <<B ．b a c<<C．D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年江苏省南通市高考数学模拟试卷（5月份）副标题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.集合，则集合A中所有元素之和为______．【答案】【解析】解：集合0，，集合A中所有元素之和为，故答案为．用列举法表示出集合A，再把集合A中的所有元素相加求和．本题考查一元二次不等式的解法，用列举法表示集合．2.设复数，，若为实数，则x为______．【答案】4【解析】解：，，故答案为：4．利用两个复数代数形式的乘法法则可得，由它为实数可得．本题考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，是一道基础题．3.已知函数为奇函数，则______．【答案】0【解析】解：利用奇函数的定义，求．当时，则，所以，所以，，故．故答案为：0．利用函数是奇函数得到，然后利用方程求解a，b．本题考查了函数奇偶性的应用比较基础．4.用系统抽样方法从400名学生中抽取容量为20的样本，将400名学生随机地编号为～，按编号顺序平均分为20个组若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为11，则第20组抽取的号码为______．【答案】391【解析】解：第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为11，样本组距为20，抽查号码对应的关系为，则当时，，故答案为：391．根据系统抽样的定义可知，抽查号码对应的关系为，让，即可得到结论．本题主要考查系统抽样的定义和应用，比较基础．5.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时间不多于5分钟的概率为______．【答案】【解析】解：设电台的整点报时之间某刻的时间x，由题意可得，等待的时间不多于5分钟的概率为故答案为：由于电台的整点报时之间的间隔60分，等待的时间不多于5分钟，根据几何概率的计算公式可求本题主要考查了几何概率中与区间长度有关的概率的求解，几何概率常见的度量有长度面积体积．6.在锐角中，，，的对边长分别是b，c，则的取值范围是______．【答案】【解析】解：在锐角中，，，由正弦定理可知：，故答案为由可得，由A，B，可先确定B的范围，利用正弦定理化简表达式，求出范围即可．本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，注意锐角三角形中角的范围的确定，是本题解答的关键，考查计算能力，逻辑推理能力．7.已知是正三棱锥，其外接球O的表面积为，且，则三棱锥的体积为______．【答案】【解析】解：如图，由，可得，即，又，，，，，，故答案为：．由球O的表面积求得半径，结合及等腰三角形求得测棱长，进一步求得高和底面边长，得解．此题考查了三棱锥外接球问题，难度不大．8.在平面直角坐标系xOy中，双曲线的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为______．【答案】【解析】解：双曲线的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为：．故答案为：．求出准线方程与渐近线方程，得到交点坐标，然后利用点到直线的距离求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．9.已知函数，，则的解集是______．【答案】【解析】解：根据题意，当时，，当时，，为增函数，；其图象如图：若，则有，解可得：，即不等式的解集为；故答案为：．根据题意，将函数的解析式变形为；分析其图象，据此原不等式可以转化为，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查分段函数以及函数单调性的判断以及应用，关键是求出的解析式，属于基础题．10.设是等比数列的前n项和，若满足，则______．【答案】【解析】解：设的公比为q，显然．，，．，，．故答案为：．根据通项公式得出，再代入求和公式计算即可．本题考查了等比数列的通项公式，求和公式，属于基础题．11.若函数是偶函数，则实数a的值为______．【答案】【解析】解：为偶函数，，，．故答案为：．将转化为，利用偶函数的概念可求得a的值．本题考查三角函数的化简，考查函数的奇偶性，求得是关键，属于中档题．12.如图，已知正方形ABCD的边长是2，E是CD的中点，P是以AD为直径的左侧半圆上任意一点，则的取值范围是______．【答案】【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，，，，，所以，，所以，其中且为锐角所以，所以当时，取最大值2，当即时，取最小值，即，故答案为：．由三角函数的辅助角公式及平面向量数量积的运算得：，其中且为锐角所以，所以当时，取最大值2，当即时，取最小值，即，得解．本题考查了三角函数的辅助角公式及平面向量数量积的运算，属中档题．13.在平面直角坐标系xOy中，圆O：，直线l：，过直线l上一点Q作圆O的切线，切点为P，N，且，则正实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：设点Q到圆心的距离为，，则，，则，则由，得，即，解得，即圆心到直线的距离小于等于，即，又，解得，故答案为：由平面向量数量积的运算得：设点Q到圆心的距离为d，，，则由，得，即，解得，由点到直线的距离得：圆心到直线的距离小于等于，即，又，解得．本题考查了平面向量数量积的运算及点到直线的距离，属中档题．14.已知函数满足，当时，若在区间上，函数恰有一个零点，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：当时，．，函数的图象图象：当直线与相切时，设切点为则切线方程为代入点，可得，即切线的斜率为．函数恰有一个零点曲线与直线有一个交点．根据图象可得则实数a的取值范围是，故答案为：．当时，，函数恰有一个零点曲线与直线有一个交点．根据图象可得则实数a的取值范围．本题考查了函数的零点，考查了数形结合、函数与方程思想，属于中档题．二、解答题（本大题共11小题，共150.0分）15.已知中，，，，．求；设，且已知，，求．【答案】解：由已知，即，，，分，，分在中，，又，，分分在中，，分即，，分而，分则，分，分【解析】先由已知，得到再根据向量的数量积为得到最后利用直角三角形：在中，求得BC的长度即可；先在中，，得到从而，利用角的限制条件得出，最后结合三角变换公式即可求得．本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值，解答的关键是灵活应用三角变换的公式进行转换．16.如图，在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，，，，，E，分别是棱AD，的中点．设F是棱AB的中点，证明：直线平面；证明：平面平面C.【答案】证明：方法一：取的中点为，连接，，由于，所以平面，因此平面即为平面．连接，，由于，所以四边形为平行四边形，因此C.又，得，而平面，平面，故EE平面．方法二：因为F为AB的中点，，，，所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以又，，平面，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．连接AC，取F为AB的中点，在中，，又F为AB的中点，所以，因此，即又，且，所以平面，而平面，故平面平面C.【解析】取的中点为，连接，，要证明直线平面，只需证明，就证明了平面内的直线，即可推得结论；要证明平面平面，只需证明，，即可．本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．17.如图，我市市区有过市中心O南北走向的解放路，为了解决南徐新城的交通问题，市政府决定修建两条公路，延伸从市中心O出发北偏西方向的健康路至B点；在市中心正南方解放路上选取A点，在A、B间修建徐新路．如果在A点看市中心O和点B视角的正弦值为，求在点B处看市中心O和点A 视角的余弦值；如果区域作为保护区，已知保护区的面积为，A点距市中心的距离为3km，求南徐新路的长度；如果设计要求市中心O到南徐新路AB段的距离为4km，且南徐新路AB最短，请你确定两点A、B的位置．【答案】解：由题可得，为锐角，，故，，，，由余弦定理可得，，，，等号成立条件是答：当AB最短时，A，B距离市中心O为8公里．【解析】由题意，为锐角，，由于；，故由差角公式求值即可；如图在三角形AOB中用余弦定理求解即可．根据题设条件用余弦定理将南徐新路AB的长度表示出来，再结合基本不等式求最值即可．本题考查在实际问题中建立三角函数的模型，利用三角函数模型解决实际问题，三角函数模型是一个非常重要的模型，在实际生活中有着很广泛的运用．18.设圆：，动圆：，Ⅰ求证：圆、圆相交于两个定点；Ⅱ设点P是椭圆上的点，过点P作圆的一条切线，切点为，过点P作圆的一条切线，切点为，问：是否存在点P，使无穷多个圆，满足？如果存在，求出所有这样的点P；如果不存在，说明理由．【答案】解：Ⅰ将方程化为，令得或，所以圆过定点和，分将代入，左边右边，故点在圆上，同理可得点也在圆上，所以圆、圆相交于两个定点和；分设，则，分，分即，整理得分存在无穷多个圆，满足的充要条件为有解，解此方程组得或，分故存在点P，使无穷多个圆，满足，点P的坐标为或分【解析】Ⅰ化简动圆确定它过的定点，在圆上即可．Ⅱ设存在，再设P的坐标，求出，令其相等，求得关系式，P适合椭圆方程，可求得P的坐标．本题考查圆与圆的位置关系，考查存在性问题，分析问题和解决问题的能力，是难题．19.从数列中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列的一个子数列设数列是一个首项为、公差为的无穷等差数列．若，，成等比数列，求其公比q．若，从数列中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为的无穷等比子数列，请说明理由．若，从数列中取出第1项、第项设作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当t为何值时，该数列为的无穷等比子数列，请说明理由．【答案】解：由题设，得，即，得，又，于是，故其公比．设等比数列为，其公比，，由题设．假设数列为的无穷等比子数列，则对任意自然数，都存在，使，即，得，当时，，与假设矛盾，故该数列不为的无穷等比子数列．设的无穷等比子数列为，其公比，得，由题设，在等差数列中，，，因为数列为的无穷等比子数列，所以对任意自然数，都存在，使，即，得，由于上式对任意大于等于3的正整数r都成立，且n，均为正整数，可知必为正整数，又，故t是大于1的正整数．再证明：若t是大于1的正整数，则数列存在无穷等比子数列．即证明无穷等比数列中的每一项均为数列中的项．在等比数列中，，在等差数列中，，，若为数列中的第k项，则由，得，整理得，由t，均为正整数，得k也为正整数，故无穷等比数列中的每一项均为数列中的项，得证．综上，当且仅当t是大于1的正整数时，数列存在无穷等比子数列．【解析】由题设知，由此可求出其公比．设等比数列为，其公比，，由题设再由反证法能够推出该数列不为的无穷等比子数列．设的无穷等比子数列为，其公比，得，由此入手能够推导出t是大于1的正整数．再证明：若t是大于1的正整数，则数列存在无穷等比子数列即证明无穷等比数列中的每一项均为数列中的项综上，当且仅当t是大于1的正整数时，数列存在无穷等比子数列．本题考查数列的综合运用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．20.对于正整数a，b，存在唯一一对整数q和r，使得，特别地，当时，称b能整除a，记作，已知2，3，，．Ⅰ存在，使得，试求q，r的值；Ⅱ求证：不存在这样的函数f：2，，使得对任意的整数，，若2，，则；Ⅲ若，指集合B中的元素的个数，且存在a，，，，则称B为“和谐集”求最大的，使含m的集合A的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由．【答案】解：Ⅰ因为，所以，分Ⅱ证明：假设存在这样的函数f：2，，使得对任意的整数x，y，若2，，则．设，2，，，2，，由已知，由于，，所以，．不妨令，2，，这里，且，同理，，且，因为2，只有三个元素，所以即，但是，与已知矛盾．因此假设不成立，即不存在这样的函数f：2，，使得对任意的整数x，y，若2，，则分Ⅲ当时，记2，，，2，3，记，则，显然对任意，不存在，使得成立故P是非“和谐集”，此时9，10，11，12，13，14，15，17，19，21，同样的，当，10，11，12时，存在含m的集合A的有12个元素的子集为非“和谐集”因此分下面证明：含7的任意集合A的有12个元素的子集为“和谐集”．设，若1，14，21中之一为集合B的元素，显然为“和谐集”．现考虑1，14，21都不属于集合B，构造集合4，8，，6，，10，，，，15，17，19，．以上，，，，每个集合中的元素都是倍数关系考虑的情况，也即中5个元素全都是B的元素，B中剩下6个元素必须从，，，，这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B中至少有两个元素存在倍数关系．综上所述，含7的任意集合A的有12个元素的子集B为“和谐集”，即m的最大值为分【解析】Ⅰ将2011除以91，便可求相应的商与余数；Ⅱ假设存在这样的函数，若，2，，，2，，则，，令，2，，这里，且，同理有，，且，从而引出矛盾；Ⅲ先证明，9，10，11，12时，不存在含m的集合A的有12个元素的子集为非“和谐集”再证明：含7的任意集合A的有12个元素的子集为“和谐集”．本题是新定义题，解答的关键是读懂题意，巧妙运用，有一定的难度．21.在平面直角坐标系xOy中，直线在矩阵对应的变换作用下得到直线m：，求实数a，b的值．【答案】解：在直线上取两点，A，B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点，因为，所以的坐标为；，所以的坐标为；由题意可知，在直线m：上，所以解得：，．【解析】在直线上取两点，，A，B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点，，分别求出点，的坐标，代入直线m，建立方程组，解之即可．本题主要考查了几种特殊的矩阵变换，同时考查了计算能力，属于基础题．22.已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线：与曲线：交于A、B两点求证：．【答案】证：曲线的直角坐标方程，曲线的直角坐标方程是抛物线，分设，，将这两个方程联立，消去x，得，，分分，分【解析】先将极坐标方程化为普通方程，再将这两个方程联立，消去x，得，再由韦达定理研究．本题主要考查极坐标方程与普通方程的互化和直线与圆锥曲线的位置关系的问题．23.设x，y，，，且，求的值．【答案】解：由柯西不等式可得，，则，又，，代入，解得，，，．【解析】利用柯西不等式可得，然后结合条件即可得到的值．本题考查了柯西不等式的应用，属基础题．24.如图，在长方体中，已知，，，E，F分别是棱AB，BC上的点，且．求异面直线与所成角的余弦值；试在面上确定一点G，使平面．【答案】解：以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有0，，4，，3，，4，，于是1，，，设设与所成角为，则．异面直线与所成角的余弦值为．因为点G在平面上，故可设y，．y，，，1，．由得解得故当点G在平面上，且到，距离均为时，平面【解析】以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，把两条直线对应的点的坐标写出来，根据两个向量之间的夹角表示出异面直线的夹角．因为点G在平面上，故可设y，根据线面垂直，则直线的方向向量与平面内任一线段对应的向量均垂直，可构造关于x，y的方程组，解方程组可得G点位置．本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，异面直线的夹角，其中建立空间坐标系，将空间线面关系问题转化为向量夹角问题是解答的关键．25.如图，过抛物线C：上一点作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点，求的值；若，，求面积的最大值．【答案】解：因为，在抛物线C：上，所以，，同理，依题有，所以，所以分由知，设AB的方程为，即，P到AB的距离为，，所以，分令，由，，，可知．，因为为偶函数，只考虑的情况，记，，故在是单调增函数，故的最大值为，所以的最大值为分【解析】确定，可得，，利用，即可求得的值；由知，可得AB的方程，计算P到AB的距离，可得的面积，再利用换元法，构造函数，即可求得的最大值．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查换元法，考查导数知识的运用，构建函数是关键．。

江苏省南通市2020届高三数学下学期5月模拟考试试题（含解析）一､填空题1. 已知集合{}1,2,3,4A =，{}2|log (1)2B x x =-<，则A B =____．【答案】{}2,3,4 【解析】由题意可得：{}{}|014|15B x x x x =<-<=<< ，则{}2,3,4A B ⋂=.2. 设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为____． 【答案】34i - 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，求得34i +，再根据共轭复数的概念，即可得答案. 【详解】由于2(2i)34i z =+=+，所以z 的共轭复数为34i - ．【点睛】本题主要考查了复数的运算和复数的共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的基本概念和复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 3. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线210x y --=上方的概率为_______.【答案】14【解析】 【分析】连续掷两次骰子分别得到共有36个基本事件，再根据点P 在直线210x y --=上方，利用列举法，求得基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n ，共有36个基本事件， 其中点P 在直线210x y --=上方，即满足不等式210x y --<，有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,6)，共有9个基本事件，所以概率为91364P ==. 故答案为：14. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中认真审题，利用列举法求得所有事件包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4. 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线()220x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为______. 【答案】6 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可得，点到准线的距离也是4，从而可得p ，即可求抛物线的焦点到准线的距离.【详解】因为抛物线()220x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，所以由抛物线定义可知该点到准线的距离也是4，即142p+=， 所以6p，即该抛物线的焦点到准线的距离为6.故答案为：6【点睛】本题主要考查抛物线的定义，根据定义两种距离的相互转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.5. 执行如下的程序框图，若14p =，则输出的n 的值为______.【答案】4【解析】 【分析】根据程序框图，逐步进行运算，直到退出循环体，输出n .【详解】第一次运算：2,2S n ==；第二次运算：6,3S n ==；第三次运算：14,4S n ==； 此时退出循环体，输出的n 的值为4. 故答案为：4.【点睛】本题主要考查根据程序框图求解运算结果，“还原现场”是常用的求解方法，侧重考查数学运算的核心素养. 6. 函数()22log 32y x x =--的值域为______.【答案】(],2-∞ 【解析】 【分析】令232t x x =--，由二次函数知识求解t 的范围，结合对数函数单调性可得值域. 【详解】令232t x x =--，则2log y t =，因为2232(1)44t x x x =--=-++≤，且2log y t =为增函数， 所以2log 42y ≤=. 故答案为：(],2-∞.【点睛】本题主要考查复合函数的值域问题，换元法是常用的方法，把复合函数拆分为简单函数进行求解，侧重考查数学抽象的核心素养.7. 在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13的值为________． 【答案】40 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，可把条件357911100a a a a a ＋＋＋＋＝化为720a =，再将条件9133a a －表示为72a ，即可．【详解】根据等差数列的性质，357911100a a a a a ＋＋＋＋＝可化为75100=a即720a =又9133a a －=513913a a a a ++-=59a a +=72a =40．【点睛】一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质： （1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+； （2）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等差数列.（3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （4）()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+== 且()2121n n S n a -=- ；8. 现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【答案】128π 【解析】分析：由圆锥的几何特征，现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，圆锥的母线长等于扇形的半径，由此计算出圆锥的高，代入圆锥体积公式，即可求出答案.解析：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R 、l ，圆锥形容器的高和底面半径分别为h 、r ， 则由题意得R=10，由1802Rl π=，得16l π=， 由2lr π=得8r =.由222R r h =+可得6h =.∴()231164612833V r h cm πππ==⋅⋅=∴该容器的容积为3128cm π.故答案为128π.点睛：涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．9. 已知() 0?αβπ∈，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tanα的值为_______．【答案】311【解析】分析：利用两角和与差的正切函数公式，即可化简求值． 详解：由11tan(),tan 25αββ-==-， 则11tan()tan 325tan tan[()]111tan()tan 11125αββααββαββ--+=-+===--+⨯． 点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中把角转化为()ααββ=-+和熟记两角和与差的正切公式是解答的关键，着重考查了转化意识和推理、运算能力．10. 已知实数,x y 满足40{210440x y x y x y +-≤-+≥+-≥，则3z x y =+-的取值范围是 ．【答案】[1,7] 【解析】【详解】试题分析：平面区域如图所示：因为0,3x y ≥≤，所以333z x y x y x y =+-=+-=-+，即3y x z =+-，则当13x y =⎧⎨=⎩时，1min z =，当4x y =⎧⎨=⎩时，7max z =，即z 的取值范围为[1,7].故答案为：[1,7].11. 若函数()()ππ()sin 63f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为________【答案】1- 【解析】 【分析】将f （x ）＝a sin （x 6π+）（x 3π-）转化为f （x ）2=（a +1）sin x +（322a -）cos x ，利用偶函数的概念可求得a 的值．【详解】∵f （x ）＝a sin （x 6π+）（x 3π-）＝a （2sin x 12+cos x ）12sin x 2-x ）=a +1）sin x +（322a -）cos x 为偶函数，∴f （﹣x ）＝f （x ）， ∴a +1＝0， ∴a ＝﹣1． 故答案为-1【点睛】本题考查三角函数的化简，三角恒等变换，考查函数的奇偶性，求得f （x ）2=（a +1）sin x +（322a -）cos x 是关键，属于中档题． 12. 在ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】先根据cos 2sin sin A B C =求出tan tan 1B C =-，结合和角公式可求tan tan tan tan()11tan tan B CA B C B C+=-+=-=-.【详解】因为cos 2sin sin A B C=，所以cos()cos cos sin sin 2sin sin B C B C B C B C -+=-+=，即有cos cos sin sin B C B C -=，tan tan 1B C =-；tan tan tan tan()11tan tan B CA B C B C+=-+=-=-.故答案为：1.【点睛】本题主要考查和差角公式，三角形内角间的关系是求解的线索，和角的正切公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.13. 已知函数()221,0,,0x x mx x f x e e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是______. 【答案】2,4e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】先判定函数的奇偶性，结合导数研究函数的性质，结合函数图象可得实数m 的取值范围.【详解】0x >时，2()e x f x mx =+，221()x xf x mx e mx e --=+=+， 所以()()f x f x -=，因为函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，该定义域关于原点对称，所以函数()f x 为偶函数.若函数()f x 有四个不同的零点，则函数()f x 在()0,∞+上有两个不同的零点.当0x >时，令()0f x =得20xe mx +=，即2e xm x=-，令2(),0xe g x x x=->，则函数()f x 在()0,∞+上有两个不同的零点时，直线y m =与函数()g x 的图象在()0,∞+上有两个不同的交点.3232e e (2)e ()x x x x g x x x x -'=-=，令3(2)0xx e x-=得2x =， 当02x <<时，3(2)e ()0x x g x x -'=>，()g x 为增函数；当2x >时，3(2)()0xx e g x x-'=<，()g x 为减函数；所以2max()(2)4e g x g ==-，作出图象如图，由图可知2e 4m <-，所以实数m 的取值范围是2e ,4m ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭.故答案为：2e ,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查函数的零点，根据零点个数求解参数的范围，一般结合函数的图象进行求解，侧重考查数学抽象的核心素养.14. 已知[)0,2θ∈π，若关于k ()33sin cos sin cos k θθθθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为______. 【答案】0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π 【解析】 【分析】将不等式变形为33sin sin cos cos k k θθθθ-≥，构造函数()6g x kx x =-，可知当2k ≤-时，函数()y g x =在[)0,+∞上为减函数，可得出cos sin 0θθ≥≥，进而可求得θ的取值范围.【详解】由()33sin cos k θθ≤-，可得33sin cos k k θθ≥构造函数()6g x kx x =-，当2k <-且当0x ≥，()610g x kx '=-<，此时，函数()y g x =在[)0,+∞上为减函数，由于33sin cos k k θθ()()sin cos g g θθ≥， 所以，cos sin 0θθ≥≥，所以，0tan 1θ≤≤，[)0,2θπ∈，0,4πθ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦.综上可得θ的取值范围为0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π. 故答案为：0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π.【点睛】本题主要考查恒成立问题，构造函数，判断单调性，结合单调性把抽象不等式转化为具体不等式，侧重考查数学抽象的核心素养. 二､解答题15. 已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，．（1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．【答案】（1）6π-；（2）ππππ+63k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，,k Z ∈【解析】 【分析】（1）由1sin cos 2θθ+=，两边平方可得sin22θ=-，结合ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，可得π23θ=-，即π6θ=-；（2）由（1）知，()22πsin sin 6f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为1πsin 226x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递增区间.【详解】（1）由1sin cos 2θθ+=，得()2sin cos 12θθ+=-即22sin 2sin cos cos 12θθθθ++=-，所以sin22θ=-． 因为ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以ππ222θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以π23θ=-，即π6θ=-．（2）由（1）知，()22πsin sin 6f x x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭， 所以()()11π1cos21cos 2223f x x x ⎡⎤⎛⎫=---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1πcos 2cos223x x ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 11cos2222x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭1πsin 226x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 令πππ2π22π+262k x k -≤-≤， 得ππππ+63k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调增区间是ππππ+63k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈．【点睛】本题主要考查三角函数的单调性、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及正弦函数的单调性，属于中档题.函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：(1) 代换法：①若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间；②若0,0A ω><,则利用诱导公式先将ω的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =，AC 交BD 于O ，锐角PAD △所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =.（1）求证：//PA 平面QBD ； （2）求证：BD AD ⊥.【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接OQ ，根据比例线段，证明//PA OQ ，可得//PA 平面QBD ；（2）通过面面垂直转化为线面垂直，然后可得BD ⊥平面PAD ，进而可证BD AD ⊥. 【详解】（1）如图，连接OQ ， 因为//AB CD ，2AB CD =， 所以2AO OC =， 又2PQ QC =， 所以//PA OQ ，又OQ ⊂平面QBD ， PA ⊄平面QBD ， 所以//PA 平面QBD .⊥于H，（2）在平面PAD内过P作PH AD=，因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD平面ABCD ADPH⊂平面PAD，所以PH⊥平面ABCD，⊥，又BD⊂平面ABCD，所以PH BD△是锐角三角形，所以PA与PH不重合，因为PAD即PA和PH是平面PAD内的两条相交直线，⊥，所以BD⊥平面PAD，又PA BD ⊥.【点睛】本题主要考查空间线面平行的证明和线线垂直的证明，线面平行一般通过线线平行来证明，准确作出辅助线是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养. 17. 在平面直角坐标系xOy中，圆O：224x y+=，直线l：43200x y+-=.43,55A⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN垂线交l于点P. （1）若//MN l，求PMN的面积；（2）判断直线PM与圆O的位置关系，并证明. 【答案】（1）33（2）直线PM与圆O相切，证明见解析.【解析】又AD⊂平面PAD，所以BD AD【分析】（1）根据直线平行可得直线MN的方程，然后求出弦长和高，可得三角形的面积；（2）联立方程求出点p的坐标，利用向量数量积证明PM OM⊥，进而可得直线PM与圆O 的位置关系.【详解】（1）因为//MN l ，设直线MN 的方程为430x y c ++=， 由条件得，4343055c ⨯+⨯+=，解得5c =-，即直线MN 的方程为4350x y +-=.因为34OA k =，43MN k =-，所以1OA MN k k ⋅=-，即OA MN ⊥，所以MN ==. 又因为直线MN 与直线l间的距离3d ==，即点P 到直线MN 的距离为3，所以PMN的面积为132⨯=. （2）直线PM 与圆O 相切，证明如下：设00(,)M x y ，则直线MN 的斜率000035354545y y k x x --==--，因为OP MN ⊥，所以直线OP 的斜率为005453x y ---，所以直线OP 的方程为005453x y x y -=--.联立方程组0054,5343200,x y x y x y -⎧=-⎪-⎨⎪+-=⎩解得点P 的坐标为()()000000453454,4343y x y x y x --⎛⎫- ⎪--⎝⎭， 所以()()00000000453454,4343y x PM x y y x y x --⎛⎫=-⎪--⎝⎭--，由于()00,OM x y =，22004x y +=，所以()()0000220000004534544343x y y x PM OM x y y x y x --⋅=-----()()000000453454443x y y x y x ---=--000012164043x y y x -+=-=-， 所以PM OM ⊥，即PM OM ⊥，所以直线PM 与圆O 相切，得证.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，三角形面积求解的关键是求解弦长，侧重考查数学运算的核心素养.18. 如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面.问：如何剪裁，才能使得铁皮圆柱的体积最大？【答案】答案见解析 【解析】 【分析】设出正三角形长为l ，设EF x =，表示出体积，利用导数求解最值. 【详解】设正三角形长为l ，如图，设EF x =，则3BF =3GF l = 若以EF 为底､GF 为高，则圆柱底面半径12xr π=232211112433x V r h l lx ππππ⎛⎫⎛⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎝⎭，302l x << ())211232342xV x lx x l ππ'=-+=--当03x <<时，10V '>323lx <<时，10V '<；所以()311max363l V V π==若以GF 为底､EF为高，则圆柱底面半径2r =223222221443V r h x x x l x πππ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭，02x <<222144V x x l π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，令20V '=，得1x =2x =当0x <<时，20V '>2x <<时，20V '<； 所以()322maxV V ==因为()()3321maxmax 36l V V π=>=，所以以GF 为底､EF为高，且EF =.【点睛】本题主要考查导数的实际应用，根据实际题目情景，构建目标函数式，结合导数求解最值问题，侧重考查数学运算的核心素养.19. 设n S 数列{}n a 的前n 项和，对任意n *∈N ，都有1()()n n S an b a a c =+++（a b c ，，为常数）．（1）当3022a b c ===-，，时，求n S ； （2）当1002a b c ===，，时， （ⅰ）求证：数列{}n a 是等差数列；（ⅱ）若对任意,m n *∈N ，必存在p *∈N 使得p m n a a a =+，已知211a a -=，且1111129nii S =∈∑[，），求数列{}n a 的通项公式． 【答案】(1) 1(31)2nn S =-. (2) （ⅰ）证明见解析；（ⅱ）1n a n =+.【解析】 【分析】（1）利用项和公式求出{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，再求n S . (2) （ⅰ）证明112n n n a a a +-+=即证数列{}n a 是等差数列.（ⅱ）先求得19211a <≤，所以11a =或12a =，再求n a ，再检验11111[29ni iS =∈∑，）即得数列{}n a 的通项公式.【详解】（1）当0a =，32b =，2c =-时，()1322n n S a a =+-．① 当1n =时，()111322S a a =+-，所以11a =． 当2n ≥时，()111322n n S a a --=+-．②①－②得：13n n a a -=．因为11a =，所以10n a -≠，所以13nn a a -=， 所以{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以()13131132n nn S -==--．（2）（ⅰ）当12a =，0b =，0c =时，()12n n nS a a =+．③ 当2n ≥时，()11112n n n S a a ---=+．④③－④得：()()1121n n n a n a a --=--，⑤ 所以()111n n n a na a +-=-．⑥⑤－⑥得：()()()111121n n n n a n a n a +--+-=-．因为2n ≥，所以112n n n a a a +-+= 即11n n n n a a a a +--=-， 所以{}n a 是等差数列．（ⅱ）因为211a a -=，所以1d =．因为p m n a a a =+，所以11122a p a m n +-=++-，所以11a p m n =--+．因为*,,p m n N ∈，所以1a Z ∈．又因为1111129a ≤<， 所以19211a <≤，所以11a =或12a =． 当11a =时，n a n =，()12nn n S +=，11122111ni in S n n =⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭∑， 所以121141139S S +=> 不符合题意． 当12a =时，1n a n =+，()32n n n S +=，所以1111211111931239ni iS n n n =⎛⎫=-++< ⎪+++⎝⎭∑满足题意． 所以1n a n =+．【点睛】(1)本题主要考查项和公式求数列的通项，考查数列性质的证明，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2) 类似1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和. 20. 若实数0x 满足()00p x x =，则称0x x =为函数()p x 的不动点． （1）求函数()ln 1f x x =+的不动点；（2）设函数()323g x ax bx cx =+++，其中a b c ，，为实数．① 若0a =时，存在一个实数01[,2]2x ∈，使得0x x =既是()g x 的不动点，又是()g x ' 的不动点（()g x '是函数()g x 的导函数），求实数b 的取值范围；② 令()()()'0h x g x a =≠，若存在实数m ，使m ，()h m ，()()h h m ，()()()h h h m 成各项都为正数的等比数列，求证：函数()h x 存在不动点．【答案】（1）函数()ln 1f x x =+的不动点为1；（2）①5,114b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，②见解析. 【解析】 【分析】(1)结合函数的单调性可得函数()ln 1f x x =+的不动点为1;(2)由题意得到方程组，消去c 可得实数b 的取值范围是5,114b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(3)满足题意时()()()()()()()()()h m qm h h m qh m h h h m qh h m ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，，结合导函数与原函数的性质讨论计算即可证得结论.【详解】（1）由题意可知，ln 1x x +=．令()ln 1x x x ϕ=-+，0x >． 故()11'1x x x xϕ-=-=． 列表：所以，方程ln 1x x +=有唯一解1x =． 所以函数()ln 1f x x =+的不动点为1．（2）① 由题意可知20000032bx cx x bx c x ⎧++=⎨+=⎩，消去c ，得200311b x x =-+，01,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,114b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． ② ()()2'32h x g x ax bx c ==++． 由题意知m ，()h m ，()()h h m ，()()()h h h m 成各项都为正数的等比数列，故可设公比为q ，则()()()()()()()()()h m qm h h m qh m h h h m qh h m ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，，故方程()h x qx =有三个根m ，()h m ，()()h h m ．又因为0a ≠，所以()()2'32h x g x ax bx c ==++为二次函数，故方程()h x qx =为二次方程，最多有两个不等的根． 则m ，()h m ，()()h h m 中至少有两个值相等． 当()h m m =时，方程()h x x =有实数根m ， 也即函数()h x 存在不动点，符合题意；当()()h h m m =时，则()qh m m =，2q m m =，故21q =，又因为各项均为正数，则1q =，也即()h m m =，同上，函数()h x 存在不动点，符合题意；当()()()h h m h m =时，则()qh m qm =，()h m m =， 同上，函数()h x 存在不动点，符合题意； 综上所述，函数()h x 存在不动点．【点睛】新定义型创新题是数学考题的一大亮点，求解此类问题通常分三大步骤进行：（1）对新定义进行信息提取，确定化归方向；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法；（3）对新定义中提取的知识进行转换，有效地输出.其中对新定义信息的提取和化归转化是求解的关键，也是求解的难点. 21. 已知矩阵12a M b -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，对应的变换把点()2,1变成点()7,1-．（1）求a ，b 的特征值； （2）求矩阵M 的特征值．【答案】（1）a ，b 的值分别为4，3；（2）矩阵M 的特征值为2和5． 【解析】 【分析】（1）点()2,1在矩阵M 的变换下得到点()7,1-，利用二阶矩阵与平面列向量的乘法可求实数a ，b 的值；（2）先求矩阵M 的特征多项式()f λ，令()0f λ=，从而可得矩阵M 的特征值． 【详解】（1）因为矩阵12a M b -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应得变换把点()2,1变成点()7,1-， 所以127211a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即217,41,a b -=⎧⎨-+=-⎩，解得4,3,a b =⎧⎨=⎩所以a ，b 的值分别为4，3．（2）由（1）得4123M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，所以()()()()()414322523fλλλλλλλ-==---=---．令()0f λ=，解得2λ=或5λ=， 所以矩阵M 的特征值为2和5．【点睛】本题主要考查二阶矩阵与平面列向量的乘法，考查矩阵M 的特征值．关键是写出特征多项式，从而求得特征值． 22. [选修4—4：坐标系与参数方程]以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是3x ty t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，求直线l 被圆C 截得的弦长．【答案】14 【解析】 【分析】由题意，消去参数即可得到直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线的极坐标方程，再利用圆的弦长公式，即可求解弦长. 【详解】解：直线l 的参数方程(t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －3，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0．圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －3＝0的距离为d ＝＝2． 又圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2＝．【点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.通常遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 23. 对任意实数t ，不等式321212t t x x -++≥-++恒成立，求实数x 的取值范围. 【答案】1526x -≤≤ 【解析】 【分析】先利用分段讨论求解321y t t =-++的最小值，再利用分段讨论求解双绝对值不等式.【详解】设()321f t t t =-++，即()132,,214,3,232,3,t t f t t t t t ⎧-+<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩所以()f t 的最小值为72，所以72122x x -++≤.当2x <-时，不等式即为()()72122x x ---+≤，解得32x ≥-，矛盾； 当122x -≤≤时，不等式即为()()72122x x --++≤，解得21x ≥-，所以1122x -≤≤；当12x >时，不等式即为()()72122x x -++≤，解得56x ≤，所以1526x <≤.综上，实数x 的取值范围是1526x -≤≤.【点睛】本题主要考查含有两个绝对值不等式的解法，利用分段讨论法是常用方法，侧重考查数学运算的核心素养. 24. 已知()22201221nn n x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+.（1）求1232n a a a a +++⋅⋅⋅+的值；（2）求1234212111111n na a a a a a --+-+⋅⋅⋅+-的值. 【答案】（1）221n -.（2）1nn -+ 【解析】 【分析】（1）利用赋值法进行求解，令0x =得，01a =；令1x =得，2012322nn a a a a a ++++⋅⋅⋅+=.从而可求结果.（2）根据二项式系数与k a 关系及组合数性质得到1222212111211122k k k k n n n n n C C n C C ++++⎛⎫+-=- ⎪+⎝⎭，然后累加可求1234212111111n na a a a a a --+-+⋅⋅⋅+-的值. 【详解】（1）令0x =得，01a =；令1x =得，2012322nn a a a a a ++++⋅⋅⋅+=. 于是2123221nn a a a a +++⋅⋅⋅+=-. （2）2,1,2,3,,2kk n a C k n ==⋅⋅⋅，首先考虑()()()()()12121!21!1!2!1121!21!k k n n k n k k n k C C n n ++++-+-+=+++()()()!2!21121!k n k n k k n -+-++=+()()()()2!2!222221!21k nk n k n n n n C -++==++，则1221211211122k k k n n n n C n C C +++⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭， 因此1222212111211122k k k k n n n n n C C n C C ++++⎛⎫+-=- ⎪+⎝⎭. 故1234212111111n na a a a a a --+-+⋅⋅⋅+- 133521212121212121212111111122n n n n n n n n n n C C C C C C -+++++++⎛⎫+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭1212121211121112222211n n n n n n n C C n n n +++⎛⎫++⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查二项式定理及组合数的性质，二项式系数和的问题一般通过赋值法进行求解，组合数的性质利用公式进行转化是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养. 25. 甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢.此时，两人正在游戏，且知甲再赢m (常数1m )次就获胜，而乙要再赢n (常数n m >)次才获胜，其中一人获胜游戏就结束.设再进行ξ次抛币，游戏结束. （1）若2m =，3n =，求概率()4P ξ=；（2）若2n m =+，求概率()()2,3,,1P m k k m ξ=+=⋅⋅⋅+的最大值(用m 表示). 【答案】（1）38.（2）()()2111221C C 2m m m m m +-++⋅【解析】 【分析】（1）根据比赛4次结束，可知甲、乙两人获胜次数之比可能是：2：2且最后一次甲胜或者1：3且最后一次乙胜，利用独立重复试验公式可求结；（2）先表示出()P m k ξ=+，构造函数，作商比较，判断出单调性，结合单调性可得最大值. 【详解】（1）依题意，游戏结束时，甲、乙两人获胜次数之比可能是：2：2且最后一次甲胜或者1：3且最后一次乙胜，()()()33123311113422228P C C ξ==⨯⨯+⨯⨯=.（2）依题意，()()()11111CC2m km m m k m k P m k ξ+-++-+-=+=+⋅()2,3,,1k m =⋅⋅⋅+.设()()()11111CC2m km m m k m k f k +-++-+-=+⋅()()()()()()1!1!121!!1!2!m km k m k m k m k ++-+-⎡⎤=+⋅⎢⎥-+-⎣⎦()()()()()1111!21!!m km m k k m k m k +++-=⋅⋅+-+则()()1f k f k +()()()()()()()()()()()1111!21!1!1111!21!!m k m k m m k k m k m k m m k k m k m k ++++++⋅⋅+++=++-⋅⋅+-+()()()()()()112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦=+++-⎡⎤⎣⎦.而()()()()()()1112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦≥+++-⎡⎤⎣⎦ (*) ()()()32221220k m k m k m m m ≤⇔-++---- ()()2220k m k k m m ≤⇔--+--.()因为2220k k m m -+--=的判别式()21420m m ∆=---<2704m m ⇔--<(显然在*1,m m >∈N 时恒成立)，所以2220k k m m -+-->.又因为k m ≤，所以()恒成立，从而(*)成立.所以()()11f k f k +≥，即()()1f k f k +≥(当且仅当k m =时，取“=”)， 所以()f k 的最大值为()()()()21112211CC2m m m mmf m f m +-+=+=+⋅，即()P m k ξ=+的最大值为()()2111221CC2m m m mm+-++⋅.【点睛】本题主要考查独立重复试验，赛制问题注意结束的情况有两种，先分清类别再进行求解，最值问题主要是判断单调性，组合数有关的单调性判断一般借助比较法进行，侧重考查数学运算的核心素养.。

江苏省南通市2019-2020学年高考数学五月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A ．48B ．72C ．90D ．96 【答案】D【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有13C •34A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有44A =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种故答案为：96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．2．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ）A ．()p q ⌝∨为真命题B ．p q ∨为真命题C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题【答案】B【解析】【分析】由2x y =的单调性，可判断p 是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q 是假命题，依次分析即得解【详解】由函数2x y =是R 上的增函数，知命题p 是真命题．对于命题q ，当10x +≥，即1x ≥-时，11x x x +=+>；当10x +<，即1x <-时，11x x +=--，由1x x --≤，得12x =-，无解， 因此命题q 是假命题．所以()p q ⌝∨为假命题，A 错误；p q ∨为真命题，B 正确；p q ∧为假命题，C 错误；()p q ∧⌝为真命题，D 错误．故选：B【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.3．已知101 1M dxx=+⎰，2cosN xdxπ=⎰，由程序框图输出的S为（）A．1 B．0 C．2πD．ln2【答案】D【解析】试题分析：111ln(1)|ln21M dx xx==+=+⎰，2cos sin|12N xdx xππ===⎰，所以M N<，所以由程序框图输出的S为ln2.故选D．考点：1、程序框图；2、定积分．4．已知不重合的平面,,αβγ和直线l，则“//αβ”的充分不必要条件是（）A．α内有无数条直线与β平行B．lα⊥且lβ⊥C．αγ⊥且γβ⊥D．α内的任何直线都与β平行【答案】B【解析】【分析】根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】A. α内有无数条直线与β平行，则,αβ相交或//αβ，排除；B. lα⊥且lβ⊥，故//αβ，当//αβ，不能得到lα⊥且lβ⊥，满足；C. αγ⊥且γβ⊥，//αβ，则,αβ相交或//αβ，排除；D. α内的任何直线都与β平行，故//αβ，若//αβ，则α内的任何直线都与β平行，充要条件，排除.故选：B .【点睛】本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力. 5．下列四个图象可能是函数35log |1|1x y x +=+图象的是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】C【解析】【分析】首先求出函数的定义域，其函数图象可由35log ||x y x=的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，因为35log ||x y x=为奇函数，即可得到函数图象关于(1,0)-对称，即可排除A 、D ，再根据0x >时函数值，排除B ，即可得解.【详解】∵35log |1|1x y x +=+的定义域为{}|1x x ≠-， 其图象可由35log ||x y x =的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到， ∵35log ||x y x=为奇函数，图象关于原点对称， ∴35log |1|1x y x +=+的图象关于点(1,0)-成中心对称. 可排除A 、D 项.当0x >时，35log |1|01x y x +=>+，∴B 项不正确. 故选：C【点睛】本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.6．已知双曲线22221x y a b-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,2),C ．(2,)+∞D ．(1,2] 【答案】A【解析】【分析】若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．【详解】 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ， 若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点， 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a，∴b a 22224a b e a +=…， 2e ∴…，故选：A ．【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．7．若双曲线222:14x y C m-=的焦距为C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）A ．2B ．4CD ．【答案】B【解析】【分析】根据焦距即可求得参数m ，再根据点到直线的距离公式即可求得结果.【详解】因为双曲线222:14x y C m-=的焦距为故可得(224m +=，解得216m =，不妨取4m =；又焦点()F ，其中一条渐近线为2y x =-，由点到直线的距离公式即可求的4545d ==.故选：B.【点睛】 本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题.8．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离；②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=．其中，所有正确判断的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 【答案】D【解析】【分析】对于①，利用抛物线的定义，利用12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=可判断； 对于②，设直线DE 的方程为2x my =+，与抛物线联立，用坐标表示直线OB 与直线OE 的斜率乘积，即可判断；对于③，将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-，利用韦达定理可得242||164832BE m m =++，再由222||||2BE r MN ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可用m 表示2r ，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，可得a ，即可判断.【详解】如图，设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ，显然B ，E ，F 三点不共线， 则12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=．所以①正确． 由题意可设直线DE 的方程为2x my =+，代入抛物线C 的方程，有2480y my --=．设点B ，E 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则124y y m +=，128y y =-．所以()()()21212121222244x x my my m y y m y y =++=+++=． 则直线OB 与直线OE 的斜率乘积为12122y y x x =-．所以②正确． 将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-．根据抛物线的对称性可知， A ，E 两点关于x 轴对称，所以过点A ，B ，E 的圆的圆心N 在x 轴上．由上，有124y y m +=，21244x x m +=+，则()()2224212121212||44164832BE x x x x y y y y m m =+-++-=++．所以，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，所以224a m =+． 于是，222222421212||||244128222BE x x y y r MN m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 代入21244x x m +=+，124y y m +=，得24241612r m m =++， 所以()()22224224416124a r m m m -=+-++=．所以③正确．故选：D【点睛】 本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.9．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B 1C ．2D 1【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k 的值，设出双曲线方程，求得2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1丨＝（2-1）p ，利用双曲线的离心率公式求得e ． 【详解】 直线F 2A 的直线方程为：y ＝kx 2p -，F 1（0，2p ），F 2（0，2p -）， 代入抛物线C ：x 2＝2py 方程，整理得：x 2﹣2pkx+p 2＝0，∴△＝4k 2p 2﹣4p 2＝0，解得：k ＝±1，∴A （p ，2p ），设双曲线方程为：2222y x a b-=1， 丨AF 1丨＝p ，丨AF 2丨222p p =+=p ，2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1丨＝（2-1）p ， 2c ＝p ，∴离心率e 221c a ===+-1， 故选：D ．【点睛】 本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．163【答案】D【解析】【分析】 根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积.【详解】 由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为1122223⨯⨯⨯+11622223⨯⨯⨯⨯=.故选D. 【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题.11．已知函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．[)0,1D ．(]1,0- 【答案】A【解析】【分析】先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当1x ≥时，()''1ln ,()(1)1f x x f x f x=⇒=⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k .在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.12．已知函数()f x 是奇函数，且22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x -=+----，若对11[,]62x ∀∈，(1)(1)f ax f x +<-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(3,1)--B ．(4,1)--C ．(3,0)-D ．(4,0)- 【答案】A【解析】【分析】先根据函数奇偶性求得()(),f x f x '，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可.【详解】因为函数()f x 是奇函数，所以函数'()f x 是偶函数.22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x ---=--+--， 即22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x--=--+--， 又22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x-=+----， 所以()ln(1)ln(1)f x x x =+--，22'()1f x x =-. 函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以22'()01f x x =>-， 则函数()f x 在(1,1)-上为单调递增函数.又在(0,1)上，()(0)0f x f >=，所以()f x 为偶函数，且在(0,1)上单调递增. 由(1)(1)f ax f x +<-， 可得11111ax x ax ⎧+<-⎨-<+<⎩，对11[,]62x ∈恒成立， 则1120ax x a x ⎧+<-⎪⎨-<<⎪⎩，21120a x a x⎧-<<-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩对11[,]62x ∈恒成立，，得3140a a -<<-⎧⎨-<<⎩， 所以a 的取值范围是(3,1)--.故选：A.【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析式，利用导数判断函数单调性，属压轴题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

南通市2023届高三第三次调研测试数 学　本试卷共6页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。

2． 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案 不能答在试卷上。

3． 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新 答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4． 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 已知U R ，2{|430}A x x x ≤，{||3|1}B x x ，则U A BA ．{|14}x x ≤≤B ．{|23}x x ≤≤C ．{|12}x x ≤D ．{|23}x x ≤2． 已知，a b 是两个单位向量，则“⊥a b ”是“|2||2| a b a b ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3． 某人将斐波那契数列的前6项 “112358，，，，，”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有A ．120种B ．240种C ．360种D ．480种4． 星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减．已知一星载激光通信系统在近海水下某深度的能量估算公式为7310r P E E S，其中P E 是激光器输出的单脉冲能量，r E 是水下潜艇接收到的光脉冲能量，S 为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积（单位：2km ， 光斑面积与卫星高度有关）．若水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减Γ满足 10lgrPE E Γ （单位：dB ）．当卫星达到一定高度时，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的 光斑面积为275km ，则此时Γ大小约为（参考数据：lg20.301 ）A ．76.02B ．83.98C ．93.01D ．96.025． 已知底面半径为r 的圆锥SO ，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为3r ，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为A ．29BC ．23D 6． 已知F 为椭圆2214x C y ：的右焦点，P 为C 上一点，Q 为圆22(3)1M x y ：上一点，则PQ PF 的最大值为A ．5B ．6C ．4D ．57． 已知cos(40)cos(40)cos(80)0θθθ ，则tan θA ．B ．CD 8． 已知23log log a b ，23log log (1)b c b ，则 A ．1222a b cB ．1222b a cC ．5542log log log b a cD ．5452log log log b a c二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高三5月底模拟考试数学试卷 苏教版一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，合计70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上）1、集合，，则 ▲ .2、已知复数，那么的值是 ▲ .3、一个算法的流程图如图所示，则输出的值为 ▲ .4、如图，已知正方体的棱长为，为底面正方形的中心，则三棱锥的体积为▲ .5、已知,则 ▲ .6、已知实数x ，y 满足的最小值为 ▲ .7、由命题“存在，使”是假命题，求得的取值范围是，则实数的值是 ▲ .8、已知函数，则函数在处的切线方程是 ▲ .9、在数列中，已知，当时，是的个位数，则= ▲ .10、已知函数, x ∈[a , b ]的值域为[－1, 3 ]，则的取值范围是 ▲ .11、若m 、n 、l 是互不重合的直线，是互不重合的平面，给出下列命题： ①若βαβαβα⊥⊥⊥=⋂⊥n n n m m 或则,,,②若第4题第3题③若m 不垂直于内的无数条直线④若βαβαβα////,,,//,n n n n n m m 且则且⊄⊄=⋂⑤若l n l m n m l n m ⊥⊥⊥⊥⊥⊥=⋂=⋂=⋂,,,,,,,,则且γβγαβαγαγββα其中正确命题的序号是 ▲ .12、如图，在平面四边形中，若，则 ▲ .13、对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为,则数列的前项和的公式是▲ .14、若⊙与⊙相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本小题满分14分）设△ABC 的三个内角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，已知，（1）求角B ；（2）若A 是△ABC 的最大内角，求的取值范围．16、（本小题满分14分）如图，在棱长为的正方体中，为线段上的点，且满足.（Ⅰ）当时，求证：平面平面；（Ⅱ）试证无论为何值，三棱锥的体积恒为定值；A 第12题D B17、（本小题满分15分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？18、（本小题满分15分）已知数列的前n项和为，＝1，且．（1）求，的值，并求数列的通项公式；（2）解不等式．19、（本题满分16分）已知直线，圆．（1）求直线被圆O所截得的弦长；（2）如果过点（－1，2）的直线与垂直，与圆心在直线上的圆M相切，圆M被直线分成两段圆弧，其弧长比为2∶1，求圆M的方程．20、（本小题满分16分）已知函数（不同时为零的常数），导函数为.（1）当时，若存在使得成立，求的取值范围；（2）求证：函数在内至少有一个零点；（3）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于的方程在上有且只有一个实数根，求实数的取值范围.江苏六合高级中学xx 届高三5月模拟考试数学(参考答案)（时间120分钟，满分160分）一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，合计70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上）1、集合，，则 ▲ .2、已知复数，那么的值是 ▲ .3、一个算法的流程图如图所示，则输出的值为 ▲ .4、如图，已知正方体的棱长为，为底面正方形的中心，则三棱锥的体积为▲ .5、已知,则 ▲ .6、已知实数x ，y 满足的最小值为 ▲ .7、由命题“存在，使”是假命题，求得的取值范围是，第4题第3题则实数的值是 ▲ .18、已知函数，则函数在处的切线方程是 ▲ .x ＋y ―1―=09、在数列中，已知，当时，是的个位数，则 ▲ .410、已知函数, x ∈[a , b ]的值域为[－1, 3 ]，则的取值范围是 ▲ .11、若m 、n 、l 是互不重合的直线，是互不重合的平面，给出下列命题：①若βαβαβα⊥⊥⊥=⋂⊥n n n m m 或则,,,②若③若m 不垂直于内的无数条直线④若βαβαβα////,,,//,n n n n n m m 且则且⊄⊄=⋂⑤若l n l m n m l n m ⊥⊥⊥⊥⊥⊥=⋂=⋂=⋂,,,,,,,,则且γβγαβαγαγββα其中正确命题的序号是 ▲ .②④⑤12、如图，在平面四边形中，若，则 ▲ .13、对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为,则数列的前项和的公式是 ▲ .14、若⊙与⊙相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 ▲ .4二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本小题满分14分）设△ABC 的三个内角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，已知，（1）求角B ；（2）若A 是△ABC 的最大内角，求的取值范围．15、解：（1）在△ABC 中，由正弦定理，得 ， ……………2分又因为，所以， ……………4分所以, 又因为 , 所以． ……………6分（2）在△ABC 中，，所以= ， ……… 10分由题意，得≤＜ , ≤＜，所以sin()，即 2sin()，第12题第16题图 第16题图 所以的取值范围． ………………14分16、（本小题满分14分）如图，在棱长为的正方体中，为线段上的点，且满足.（Ⅰ）当时，求证：平面平面；（Ⅱ）试证无论为何值，三棱锥的体积恒为定值；16. 证明一：（Ⅰ）∵正方体中，面，又∴平面平面， ……………4分∵时，为的中点，∴，又∵平面平面，∴平面，又平面，∴平面平面．………7分证明二： 如图，以点为坐标原点，建立如图所示的坐标系．（Ⅰ）当时，即点为线段的中点，则，又、∴，，设平面的法向量为，…………2分则，即，令，解得， …4分又∵点为线段的中点，∴，∴平面，∴平面的法向量为， ……5分∵，∴平面平面， ………………………7分（Ⅱ）∵， 为线段上的点，∴三角形的面积为定值，即………10分又∵平面，∴点到平面的距离为定值，即， ………………………12分∴三棱锥的体积为定值，即．17、（本小题满分15分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？17、解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：…………………………………………………4分，当且仅当，即时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为元．…………………8分（2）设该单位每月获利为,则…………………………………………………………………10分2211100(20080000)3008000022x x x x x =--+=-+-因为，所以当时，有最大值．故该单位不获利，需要国家每月至少补贴元，才能不亏损．…………15分18、（本小题满分15分）已知数列的前n 项和为，＝1，且．（1）求，的值，并求数列的通项公式；（2）解不等式．18、（1）∵，∴． ……………… 1分∵，∴． ……………… 2分∵，∴（n ≥2），两式相减，得．∴．则（n ≥2）． ……………… 4分∵，∴． ……………… 5分∵，∴为等比数列，． ………… 7分（2），∴数列是首项为3，公比为等比数列． ………… 8分数列的前5项为：3，2，，，．的前5项为：1，，，，．∴n ＝1，2，3时，成立； ………… 11分而n ＝4时，； ………… 12分∵n ≥5时，＜1，a n ＞1，∴． ………… 14分∴不等式的解集为{1，2，3}． ………… 15分19、（本题满分16分）已知直线，圆．（1）求直线被圆O 所截得的弦长；（2）如果过点（－1，2）的直线与垂直，与圆心在直线上的圆M 相切，圆M 被直线分成两段圆弧，其弧长比为2∶1，求圆M 的方程．19、（1）解法一：圆心O 到直线l 1的距离d ＝|3×0＋4×0－5|32＋42＝1，……………1分 圆O 的半径r ＝2，…………………………………………………………………2分所以半弦长为22－12＝3． ……………………………………………………4分故直线l 1被圆O 所截得的弦长为23．…………………………………………5分解法二：解方程组⎩⎨⎧3x ＋4y －5＝0，x 2＋y 2＝4．得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋435，y ＝4－335或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－435，y ＝4＋335． ………2分直线l 1与圆O 的交点是（3＋435，4－335），（3－435，4＋335）． 故直线l 1被圆O 所截得的弦长 （3＋435－3－435）2＋（4－335－4＋335）2＝23． ……………5分 （2）因为过点（－1，2）的直线l 2与l 1垂直，直线l 1的方程为3x ＋4y －5＝0， 所以直线l 2的方程为：4x －3y ＋10＝0． ………………………………7分 设圆心M 的坐标为（a ，b ），圆M 的半径为R ，则a －2b ＝0． ① 因为圆M 与直线l 2相切，并且圆M 被直线l 1分成两段圆弧，其弧长比为2∶1，所以|4a －3b ＋10|5＝R ，|3a ＋4b －5|5＝12R ． 所以|4a －3b ＋10|5＝2×|3a ＋4b －5|5．……………………………………9分 可得4a －3b ＋10＝2×(3a ＋4b －5)或4a －3b ＋10＝－2×(3a ＋4b －5)． 即2a ＋11b －20＝0，② 或2a ＋b ＝0．③ 由①、②联立，可解得a ＝83，b ＝43． 所以R ＝103．故所求圆M 的方程为(x －83)2＋(y －43)2＝1009．…………………12分 由①、③联立，可解得a ＝0，b ＝0．所以R ＝2．故所求圆M 的方程为x 2＋y 2＝4．…………………………………14分综上，所求圆M 的方程为：(x －83)2＋(y －43)2＝1009或x 2＋y 2＝4． ………15分 20、（本小题满分16分）已知函数（不同时为零的常数），导函数为.（1）当时，若存在使得成立，求的取值范围；（2）求证：函数在内至少有一个零点；（3）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于的方程在上有且只有一个实数根，求实数的取值范围.20、解：（1）当时，==，其对称轴为直线，当 ，解得，当，无解，所以的的取值范围为．…………………………………………4分（2）因为，法一：当时，适合题意………………………………………6分当时，，令，则，令，因为，当时，，所以在内有零点．当时，，所以在（内有零点．因此，当时，在内至少有一个零点．综上可知，函数在内至少有一个零点．……………………10分法二：，，．由于不同时为零，所以，故结论成立．(3)因为=为奇函数，所以, 所以，又在处的切线垂直于直线，所以，即．因为 所以在上是増函数，在上是减函数，由解得，如图所示，所以所求的取值范围是或．当时，，即，解得；当时，，解得；当时，显然不成立；当时，，即，解得；当时，，故．30511 772F 眯/ b35869 8C1D 谝eo5$E22474 57CA 埊^25684 6454 摔32382 7E7E 繾。

高考高三数学月考模拟试题第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1、()()=+--321i i i （ ）A. i +3B.i --3C. i +-3D. i -3 2、862lim22+--→x x x x 的值为 ( )A ．0B ．1C ．21-D ．31 3、有以下四个命题：其中真命题的序号是 （ ）①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥；③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥； ④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ．、A ①②、B ③④、C ①④、D ②③4、设,x y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则231x y x +++取值范围是 （ ）.A [3,11].B [2,6].C [3,10].D [1,5]5、某次文艺汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号 1 2 3 4 5 6 节目如果A 、B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，则节目单上不同的排序方式有（ ） A ．192种 B ．144种C ．96种 D ．72种6、已知→→b a ,为非零向量，命题0:>•→→b a p ，命题→→b 、a q :的夹角为锐角，则命题p 是命题q 的( )A.充分不必要的条件B. 既不充分也不必要的条件C.充要条件D. 必要不充分的条件7、已知圆x x g x x f y x y x C 2)(,log )()0,0(4:222==≥≥=+与函数的图象分别交于22212211),,(),,(x x y x B y x A +则的值为 （ ） 16、A 8、B 4、C 2、D8、在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数()f x 的图象恰好通过()n n N +∈个整点，则称函数()f x 为n 阶整点函数。

2025届江苏省南通等六市高三第三次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ）A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．221169x y -= D ．221916x y -=2．函数f (x )＝21xx e-的图象大致为() A ． B ．C ．D ．3．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，222AB DC AD ===，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合为点F ，则三棱锥F DCE -的外接球的体积是（ ）A 6B 6C ．32π D ．23π4．函数()()sin f x x θ=+在[]0,π上为增函数，则θ的值可以是( ) A ．0B ．2π C ．πD ．32π 5．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( ) A ．15B ．25C ．35D ．1106．过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）． A ．440x y --= B ．440x y +-=C ．440x y ++=D ．440x y -+=7．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）8．已知数列{}n a 为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=（ ） A ．1318B ．1318或1936C ．139D ．1369．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为θ，且5cos 5θ=，则该双曲线的离心率为（ ）A 5B 5C ．2D ．410．关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D ．将函数22y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 11．已知(1)2i ai bi -=+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），则ab 等于（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45B ．42C ．25D ．36二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省南通市通州区、海安县2025届高考仿真卷数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若[]1,6a ∈，则函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是（ ）A ．45 B ．35 C ．25 D ．152．设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点1F 作圆222x y b += 的切线与双曲线的左支交于点P ，若212PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．63．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）A ．16B ．12C ．8D ．64．已知3ln 3a =，1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>5．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A ．171.25cm B ．172.75cm C ．173.75cmD ．175cm6．设12,F F 分别是双线2221(0)x y a a-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点（,A B 位于y 轴右侧），且四边形2OAF B 为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．0x y ±= B ．30x y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=7．函数()1sin f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭(x ππ-≤≤且0)x ≠的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．8．i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是( ) A ．－15 B ．－3C ．3D ．159．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．1910．设集合{}1,2,3A =，{}220B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}2,3-C ．{}1,2,3--D ．{}311．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}22*|,B x x a a N =≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省南通市高三数学 5 月仿真模拟试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出 (共 10 题；共 40 分)1. （4 分） (2020·天津模拟) 已知全集则（），集合，，A.B.C.D.2. （4 分） (2018 高二下·抚顺期末) 若复数 满足（ 为虚数单位），则 =（ ）A. B.C.D. 3. （4 分） 如图所示，PA 垂直于圆 O 所在平面，AB 是圆 O 的直径，C 是圆 O 上一点，点 A 在 PB，PC 上的射 影分别为 E，F，则以下结论错误的是（ ）A . PB⊥AF第 1 页 共 11 页B . PB⊥EF C . AF⊥BC D . AE⊥BC 4. （4 分） 函数的部分图象如图所示，则A. B. C.D. 5. （4 分） 已知函数 f(x)＝(x－a)(x－b)(其中 a>b)，若 f(x)的图象如图所示，则函数 g(x)＝ax＋b 的图象 大致为（ ）A.第 2 页 共 11 页B.C.D. 6. （4 分） （x2﹣x+1）3 展开式中 x 项的系数为（ ） A . -3 B . -1 C.1 D.37. （4 分） (2018·天津) 已知双曲线的离心率为 2，过右焦点且垂直于直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 和 ，且轴的 则双曲线的方程为（ ）A.B.C.D. 8. （4 分） (2019·浙江模拟) 随机变量 ξ 的分布列如表：第 3 页 共 11 页ξ﹣1012Pabc其中 a，b，c 成等差数列，若 A. B. C. D.，则 D（ξ）＝（ ）9. （4 分） (2019 高三上·安顺月考) 若函数 围是（ ）A. B. C. D. 10. （4 分） (2016·桂林模拟) 如图长方体中， （）在上有零点，则 的取值范， 则二面角的大小为A . 300 B . 450第 4 页 共 11 页C . 600 D . 900二、 填空题(本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分， (共 7 题；共 36 分)11. （6 分）的值=________ ．12. （6 分） (2016 高一上·汉中期中) 函数 y=f（x）在定义域 R 上是增函数，且 f（a+1）＜f（2a），则 a 的取值范围是________．13. （6 分） 如图，在三棱锥 A﹣BCD 中，E 是 AC 中点，F 在 AD 上，且 2AF=FD，若三棱锥 A﹣BEF 的体积是 1， 则四棱锥 B﹣ECDF 的体积为________．14. （4 分） (2018 高二下·海安月考) 从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救 灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是________．(用数字作答)15. （4 分） (2017 高三上·宿迁期中) 在锐角三角形 ABC 中，9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA 的最小值为 ________．16. （6 分） (2019 高二上·南宁月考) 已知 x，y 满足方程（x﹣2）2+y2＝1，则 的最大值为________17. （4 分） 已知各项都为正数的等比数列 大正整数 n 的值为________．中，a2•a4=4，a1+a2+a3=14，则满足的最三、 解答题（本大题共 5 小题，共 74 分。