高考数学(理科)二轮复习【专题1】集合与常用逻辑用语(含答案)

专题01集合与常用逻辑用语考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：集合的交并补运算2024年甲卷（理）2024年甲卷（文）2023年全国Ⅰ卷2022年浙江卷2022年全国ⅠⅠ卷2022年全国乙卷（文）2022年甲卷（文）2022年甲卷（理）2024年北京卷2024年全国Ⅰ卷2024年天津卷2023年北京卷2023年全国乙卷（文）2023年甲卷（文）2023年甲卷（理）2023年高考乙卷（理）2023年天津卷本讲为每年高考必考的内容，题型以选择题为主，考查内容、频率、题型、难度均变化不大.重点是集合间的基本运算，主要考查集合的交、并、补运算；其次考查充分必要条件的判断．考点2：含参集合以及元素与集合关系2023年全国Ⅱ卷2022年高考乙卷（理）考点3：充分必要条件的判断2024年甲卷（理）2024年北京卷2024年天津卷2023年北京卷2023年甲卷（理）2023年天津卷2023年全国Ⅰ卷2022年浙江卷考点4：命题的否定与命题的真假2024年全国Ⅱ卷考点1：集合的交并补运算1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B x A ==，则()A A B ⋂=ð（）A ．{}1,4,9B ．{}3,4,9C ．{}1,2,3D ．{}2,3,52．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）若集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （）A ．{}1,3,4B ．{}2,3,4C ．{}1,2,3,4D ．{}0,1,2,3,4,93．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}24．（2022年新高考浙江数学高考真题）设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B ⋃=（）A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,4,6}D ．{1,2,4,6}5．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B = （）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-6．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N ⋂=（）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{2,4,6,8}D ．{2,4,6,8,10}7．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣，则A B = （）A ．{}0,1,2B ．{2,1,0}--C ．{0,1}D ．{1,2}8．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B x x x =-=-+=∣，则()U A B ⋃=ð（）A ．{1,3}B ．{0,3}C ．{2,1}-D ．{2,0}-9．（2024年北京高考数学真题）已知集合{|31}M x x =-<<，{|14}N x x =-≤<，则M N ⋃=（）A ．{}11x x -≤<B ．{}3x x >-C ．{}|34x x -<<D ．{}4x x <10．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （）A ．{1,0}-B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-11．（2024年天津高考数学真题）集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A ．{}1,2,3,4B ．{}2,3,4C ．{}2,4D ．{}112．（2023年北京高考数学真题）已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣，则M N ⋂=（）A ．{21}x x -≤<∣B ．{21}x x -<≤∣C ．{2}xx ≥-∣D ．{1}xx <∣13．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（）A ．{}0,2,4,6,8B ．{}0,1,4,6,8C ．{}1,2,4,6,8D ．U14．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,4,2,5M N ==，则U N M = ð（）A ．{}2,3,5B ．{}1,3,4C ．{}1,2,4,5D ．{}2,3,4,515．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集Z U =,集合{31,},{32,}M x x k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，()U M N ⋃=ð（）A ．{|3,}x x k k =∈ZB ．{31,}xx k k Z =-∈∣C ．{32,}xx k k Z =-∈∣D ．∅16．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x ≥=（）A ．()U M N ðB ．U N M ðC ．()U M N ðD ．U M N⋃ð考点2：含参集合以及元素与集合关系17．（2023年天津高考数学真题）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,1,2,4U A B ===，则U B A = ð（）A ．{}1,3,5B ．{}1,3C ．{}1,2,4D ．{}1,2,4,518．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （）．A ．2B ．1C ．23D ．1-19．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（）A ．2M∈B ．3M∈C ．4M∉D ．5M∉考点3：充分必要条件的判断20．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+= ，则（）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D ．“13x =-”是“//a b ”的充分条件21．（2024年北京高考数学真题）设a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件22．（2024年天津高考数学真题）设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件23．（2023年北京高考数学真题）若0xy ≠，则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件24．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件25．（2023年天津高考数学真题）已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件26．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件27．（2022年新高考浙江数学高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件考点4：命题的否定与命题的真假28．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（）A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题。

专题01集合与常用逻辑用语集合【知识要点】1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．3．两类不同的关系：(1)从属关系——元素与集合间的关系；(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．4．集合的三种运算：交集、并集、补集．【复习要求】1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：数集和点集．2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系．3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算．4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．【教材回归】1．集合(1)集合间的关系与运算A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝B⇔B⊆A.(2)子集、真子集个数计算公式对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.(3)集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．【易错点】1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如{x |y＝lg x}——函数的定义域；{y |y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．2．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．3．空集是任何集合的子集．解题时勿漏A＝∅的情况．【知识要点】1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．3．两类不同的关系：(1)从属关系——元素与集合间的关系；(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．4．集合的三种运算：交集、并集、补集．【例题分析】例1下列元素与集合的关系表示不正确的是()A．0N∈B．0Z∈C．32Q∈D．Qπ∈【答案】D【考点】元素与集合关系的判断【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算【分析】根据元素与集合的关系，结合数集的表示方法，判断选项中的命题真假性即可．【解答】解：根据元素与集合的关系知，0N∈，选项A正确；0Z∈，选项B正确；3 2Q∈，选项C正确；Qπ∉，选项D错误．故选：D．【点评】本题考查了元素与集合的关系应用问题，也考查了常用数集的应用问题，是基础题．【知识要点】子集的性质：①任何集合都是它本身的子集：A⊆A；②空集是任何集合的子集：∅⊆A；提示：空集是任何非空集合的真子集．③传递性：如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；如果A B，B C，则A C．例2已知全集为U，集合{2A=-，0，1，2}，{|20}B x x=-，集合A和集合B的韦恩图如图所示，则图中阴影部分可表示为()A ．(2,0)-B ．[1-，0]C ．{1-，0}D ．{2-，1，2}【答案】A【考点】Venn 图表达集合的关系及运算 【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算 【分析】图中阴影部分表示的集合是()U BA ，由此能求出结果．【解答】解：全集为U ，集合{2A =-，0，1，2}，{|20}B x x =-， 图中阴影部分表示的集合是：()(2UB A =-⋂，0)．∴由韦恩图得图中阴影部分可表示为(2,0)-．故选：A ．【点评】本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义、韦恩图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．例3对于非空数集M ，定义()f M 表示该集合中所有元素的和．给定集合{2S =，3，4，5}，定义集合{T f =（A ）|A S ⊆，}A ≠∅，则集合T 的元素的个数为( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【专题】集合思想；分析法；集合；逻辑推理【分析】因为A ≠∅，所以f （A ）的最小值为2，最大值是S 中所有元素之和为14，再将不可能的取值剔除即可【解答】解：因为A ≠∅，所以f （A ）的最小值为2，f （A ）的最大值是S 中所有元素之和为14，但是34512++=，234514+++=，也就是f （A ）无法取到13，所以T 中的元素有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，14，共12个 故选：B ．【点评】本题不要去抓集合A 的所有情况，只需要判断其元素之和的最小值与最大值，再剔除掉其中不可能的取值即可，属于简单题 例4已知集合{1A =，3，2}a ，{1B =，2}a +，若A B A =，则实数a = 2 ．【答案】2．【考点】并集及其运算【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算【分析】推导出B A ⊆，从而21a +=，或23a +=，或22a a +=，再利用集合是元素的互异性能求出实数a ．【解答】解：集合{1A =，3，2}a ，{1B =，2}a +，A B A =，B A ∴⊆，21a ∴+=，或23a +=，或22a a +=，解得1a =-或1a =，或2a =， 当1a =-时，{1A =，3，1}，不成立； 当1a =时，{1A =，3，1}，不成立；当2a =时，{1A =，3，4}，{1B =，4}，成立． 故实数2a =． 故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，考查并集、子集定义、集合中元素的互异性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．例5已知集合2{|430A x x x =-+<，}x R ∈，{|||2B x x =>，}x R ∈，则()(RA B = )A ．[2-，1)B ．[2-，1]C ．[2-，3]D ．(1，2]【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算【分析】可求出集合A ，B ，然后进行并集和补集的运算即可． 【解答】解：{|13}A x x =<<，{|2B x x =<-或2}x >，{|2AB x x ∴=<-或1}x >，()[2RA B =-，1]．故选：B ．【点评】本题考查了描述法和区间的定义，一元二次不等式和绝对值不等式的解法，并集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 例6设集合{1A =，2，3}，集合{|}B x x a =，若A B 有两个元素，则a 的取值范围是[2，3) ．【答案】[2，3)． 【考点】交集及其运算【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算【分析】利用集合交集的定义结合数轴进行分析求解即可/ 【解答】解：{1A =，2，3}，集合{|}B x x a =，A B 有两个元素，如图，可得a 的取值范围是[2，3)． 故答案为：[2，3)．【点评】本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．例7已知集合2{|20}M x x x =-+>，{|N y y ==，则(M N = )A ．(0,2)B ．[0，2)C ．(2,)+∞D ．[1，2)【答案】A【考点】交集及其运算【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算 【分析】求出集合M ，N ，由此能求出MN ．【解答】解：集合2{|20}{|02}M x x x x x =-+>=<<， {|{|0}N y y y ===，{|12}(0,2)M N x x ∴=<=．故选：A ．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 例8已知M ，N 均为R 的子集，且R M N ⊆，则()(RM N =⋃ )A ．∅B ．MC ．ND ．R【答案】B【考点】并集及其运算【专题】集合思想；定义法；集合；逻辑推理；数学运算【分析】根据M ，N 均为R 的子集，且R M N ⊆，画出韦恩图，结合图形可求出()R M N ．【解答】解：如图所示易知()R MN M =．故选：B ．【点评】本题主要考查了集合的并集与补集，解题的关键是作出符合题意的韦恩图，同时考查了学生推理的能力．常用逻辑用语【知识要点】1．命题是可以判断真假的语句．2．逻辑联结词有“或”“且”“非”．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．可以利用真值表判断复合命题的真假．3．命题的四种形式原命题：若p则q．逆命题：若q则p．否命题：若⌝p，则⌝q．逆否命题：若⌝q，则⌝p．注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．4．充要条件如果p⇒q，则p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件．如果p⇒q且q⇒p，即q⇔p则p叫做q的充要条件，同时，q也叫做p的充要条件．5．全称量词与存在量词【复习要求】1．理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【教材回归】1．四种命题及其相互关系(1)(2)互为逆否命题的两个命题同真同假．3．含有逻辑联结词的命题的真值表 命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断4.全称命题、特称命题及其否定(1)全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )，其否定为特称命题：p ：∃x 0∈M ，┐p (x 0)． (2)特称命题p ：∃x 0∈M ，p (x 0)，其否定为全称命题：p ：∀x ∈M ，┐p (x )． 5．充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q ，且q ⇏p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件(q 是p 的必要条件)；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件(q 是p 的必要不充分条件)；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题． 【易错点】判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算． 【例题分析】例1命题“对于任意a ，b R ∈，如果2a ab =，则a b =”的否命题为 “对于任意a ，b R ∈，如果2a ab ≠，则a b ≠” ．【答案】“对于任意a ，b R ∈，如果2a ab ≠，则a b ≠”． 【考点】四种命题；四种命题间的逆否关系 【专题】转化思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理 【分析】把原命题的条件和结论均否定即可．【解答】解：根据原命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ⌝，则q ⌝”， 写出命题“对于任意a ，b R ∈，如果2a ab =，则a b =”的否命题为： “对于任意a ，b R ∈，如果2a ab ≠，则a b ≠”．故答案为：“对于任意a ，b R ∈，如果2a ab ≠，则a b ≠”．【点评】本题考查了命题与它的否命题之间的关系应用问题，是基础题．例2写出命题p“若a是正数，则a的平方不等于0”的原命题，逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假【考点】四种命题的真假关系【专题】对应思想；简易逻辑；定义法【分析】根据四种命题的定义分别进行求解判断即可．【解答】解：原命题：“若a是正数，则a的平方不等于0”，为真命题，逆命题：“若a的平方不等于0，则a是正数”，为假命题，当a为负数时也成立，否命题：“若a不是正数，则a的平方等于0”，为假命题，与逆命题等价性相同，逆否命题：若a的平方等于0，则a不是正数”，为真命题，与原命题为等价命题．【点评】本题主要考查四种命题的求解，结合逆否命题的等价性是解决本题的关键．例3能够说明“设a，b是任意非零实数，若“a b>，则11a b<”是假命题的一组整数a，b的值依次为2，1-．【考点】26：四种命题的真假关系【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5L：简易逻辑；62：逻辑推理【分析】可看出，取2a=，1b=-时，可说明”a b>，则11a b<”是假命题．【解答】解：取2a=，1b=-时，可得出“a b>，则11a b<“不成立，即该命题为假命题．故答案为：2，1-．【点评】本题考查了真假命题的定义，举反例说明一个命题是假命题的方法，考查了推理能力，属于基础题．例4已知a，b都是实数，则“log3a＞log3b”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件．【专题】函数思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理．【答案】A【分析】根据对数函数的单调性可化简log3a＞log3b，根据幂函数的单调性可化简，最后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．【解答】解：因为log3a＞log3b，所以a＞b＞0，，所以“log 3a ＞log 3b ”是“”的充分不必要条件．故选：A ．【点评】本题主要考查了对数函数和幂函数的单调性，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题． 例5110a+>是1a <-成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【专题】转化法；简易逻辑；对应思想 【分析】解不等式11a>-，根据集合的包含关系判断即可． 【解答】解：由11a>-，得：10a a +>， 解得：0a >或1a <-， 故11a>-是1a <-成立的必要不充分条件， 故选：B ．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．例6已知条件:211p x --，:33q x -<，且p 是q 的必要条件，则实数的取值范围为 (-∞，2]- ． 【答案】(-∞，2]-．【考点】充分条件、必要条件、充要条件【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑；数学运算【分析】条件:211p x --，:33q x -<，根据p 是q 的必要条件，可得21331-⎧⎨-⎩，解得实数的取值范围．【解答】解：条件:211p x --，:33q x -<，且p 是q 的必要条件，∴21331-⎧⎨-⎩，解得2-．则实数的取值范围是(-∞，2]-．故答案为：(-∞，2]-．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．例7命题：“0x R ∃∈，00sin x x <”的否定为( ) A ．0x R ∃∈，00sin x x > B ．0x R ∃∈，00sin x x C ．x R ∀∈，sin x x > D ．x R ∀∈，sin x x【答案】D 【考点】命题的否定【专题】转化思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，写出对应的命题即可． 【解答】解：根据存在量词命题的否定是全称量词命题知， 命题：“0x R ∃∈，00sin x x <”的否定是： “x R ∀∈，sin x x ”． 故选：D ．【点评】本题考查了存在量词命题的否定是全称量词命题的应用问题，是基础题． 例8已知命题:(1,)p x ∃∈+∞，24x >，则命题p ⌝为 (1,)x ∀∈+∞，24x ． 【答案】(1,)x ∀∈+∞，24x ． 【考点】命题的否定【专题】转化思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出命题p 的否定命题p ⌝即可． 【解答】解：根据特称命题的否定是全称命题知， 命题:(1,)p x ∃∈+∞，24x >， 则命题p ⌝为：(1,)x ∀∈+∞，24x ． 故答案为：(1,)x ∀∈+∞，24x ．【点评】本题考查了特称命题的否定是全称命题应用问题，是基础题． 例9有以下说法：①一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是1365； ②买彩票中奖的概率为0.001，那么买1000张彩票就一定能中奖；③乒乓球赛前，决定谁先发球，抽签方法是从1~10共10个数字中各抽取1个，再比数大小，这种抽签方法是公平的；④昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率是90%”是错误的．根据我们所学的概率知识，其中说法正确的序号是①③．【考点】2C：概率及其性质；2K：命题的真假判断与应用【专题】38：对应思想；49：综合法；5I：概率与统计；62：逻辑推理【分析】根据概率的意义和计算方法逐一判断每个选项即可得解．【解答】解：①两名学生的生日相同，是365天里的任意一天，因此两名学生的生日相同的概率是1365，即①正确；②买彩票中奖的概率为0.001，并不意味着买1000张彩票就一定能中奖，只有当买彩票的数量非常大时，才可以看成中奖的频率接近中奖的概率0.001，即②错误；③这种抽取方法抽到每个签的概率均为110，所以公平，即③正确；④昨天气象局的天气预报降水概率是90%，是指可能性非常大，并不一定会发生，即④错误．故答案为：①③．【点评】本题考查概率的意义，考查学生的推理论证能力和理解能力，属于基础题．例10一个口袋中有3个红球4个白球，从中取出2个球．下面几个命题：（1）如果是不放回地抽取，那么取出1个红球，1个白球的概率是27；（2）如果是不放回地抽取，那么在至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是35；（3）如果是有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率是12 49；（4）如果是有放回地抽取，那么第2次取到红球的概率和第1次取到红球的概率相同．其中正确的命题是（2）（4）．【答案】（2）（4）．【考点】命题的真假判断与应用【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算【分析】根据题意，依次分析4个命题中概率的计算是否正确，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：（1）如果是不放回地抽取，那么取出1个红球，1个白球的概率11342747C CPC⨯==，因此不正确；（2）如果是不放回地抽取，至少取出一个红球的概率24127517CPC=-=，第2次取出红球的概率243323 76767P⨯⨯=+=⨯⨯，则在至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是2135P P P ==，因此正确； （3）如果是有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率11341177241224949C C P C C =⨯⨯=≠，因此不正确；（4）如果是有放回地抽取，那么第2次取到红球的概率和第1次取到红球的概率相同，正确，其概率131737C P C ==． 其中正确的命题是（2）（4），故答案为：（2）（4）．【点评】本题考查古典概型的计算，涉及条件概率的计算，属于基础题．例11已知(1,0)A ，(4,0)B ，圆22:4C x y +=，则以下选项正确的有( )A ．圆C 上到B 的距离为2的点有两个B ．圆C 上任意一点P 都满足||2||PB PA =C ．若过A 的直线被圆C 所截得的弦为MN ，则||MN的最小值为D ．若点D 满足过D 作圆C 的两条切线互相垂直，则||BD的最小值为4-【答案】BCD【考点】命题的真假判断与应用【专题】方程思想；转化法；直线与圆；数学运算【分析】由题意画出图形，数形结合可得A 错误；设出P 的坐标，由||2||PB PA =成立判定B 正确；直接求出||MN 的最小值判断C ；由题意求得点D 的轨迹，即可判断选项D 正确． 【解答】解：如图，圆C 的圆心坐标为(0,0)，半径2r =，则圆C 上到B 的距离为2的点1个，为(2,0)，故A 错误；设圆C 上任意一点(,)P x y ，则224x y +=，||PB2||PA =，若||2||PB PA =，则2222(4)4(1)4x y x y -+=-+，即224x y +=，此式显然成立，故B 正确； 若过A 的直线被圆C 所截得的弦为MN ，则当MN x ⊥轴时，||MN 的最小值为=C 正确；若点D 满足过D 作圆C 的两条切线互相垂直，则||OD =可得D 的轨迹是以O 为圆心，以而B 在圆外，则||BD 的最小值为4-故D 正确．故选：BCD ．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查点与圆、直线与圆位置关系的判定及应用，是中档题．。

专题01 集合与常用逻辑用语1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a = A ．–4 B ．–2 C ．2 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 【详解】求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤， 求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=， 解得2a =-. 故选B ．【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()UAB =A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A 【解析】 【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U2,3A B =-.故选A【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.3．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 A ．2B ．3.C ．4D ．6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】由题意，AB 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y ∈N ，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选C ．【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.4．【2020年高考天津】设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B =∩A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---【答案】C 【解析】 【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果. 【详解】由题意结合补集的定义可知{}2,1,1UB =--，则(){}U1,1AB =-.故选C ．【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.5．【2020年高考北京】已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{1,1,2}-D ．{1,2}【答案】D 【解析】 【分析】根据交集定义直接得结果. 【详解】{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=，故选D ．【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．【2020年高考天津】设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <， 据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 故选A ．【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4} 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合并集概念求解. 【详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==.故选C【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.8．【2020年高考浙江】已知集合P ={|14}x x <<，Q={|23}x x <<，则PQ =A ．{|12}x x <≤B ．{|23}x x <<C ．{|34}x x ≤<D ．{|14}x x <<【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集定义求解 【详解】(1,4)(2,3)(2,3)P Q ==.故选B.【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.9．【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件. 【详解】依题意，,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件. 故选B.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用，属于中档题..10．【2020年高考北京】已知,αβ∈R ，则“存在k ∈Z 使得π(1)kk αβ=+-”是“sin sin αβ=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在k ∈Z 使得π(1)kk αβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin πsin k αββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin πsin 1ππsin πsin k k αββββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦； (2)当sin sin αβ=时，2πm αβ=+或π2πm αβ+=+，m ∈Z ，即()()π12kk k m αβ=+-=或()()π121kk k m αβ=+-=+，亦即存在k ∈Z 使得π(1)kk αβ=+-．所以，“存在k ∈Z 使得π(1)kk αβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选C ．【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合2|42{|60}{},M x x N x x x =-<<=--<，则MN =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C【解析】由题意得2|42,{|60}{}|23}{M x x N x x x x x =-<<=--<=-<<， 则{|22}MN x x =-<<．故选C ．【名师点睛】注意区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者所有的部分．12．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1)C ．(–3，–1)D ．(3，+∞)【答案】A【解析】由题意得，2{560|}{2|A x x x x x =-+><=或3}x >，{10}{1|}|B x x x x =-<=<，则{|1}(,1)A B x x =<=-∞．故选A ．【名师点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．13．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合2{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=≤，则A B =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A【解析】∵21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，又{1,0,1,2}A =-，∴{}1,0,1A B =-.故选A ．【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.14．【2019年高考天津理数】设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ，则()A C B =A ．{}2B ．{}2,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,4【答案】D 【解析】因为{1,2}A C =，所以(){1,2,3,4}A C B =.故选D .【名师点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．15．【2019年高考浙江】已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()UA B =A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-【答案】A 【解析】∵{1,3}UA =-，∴(){1}U AB =-.故选A.【名师点睛】注意理解补集、交集的运算.16．【2019年高考浙江】若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立， 综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 故选A.【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值法”，通过取,a b 的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 17．【2019年高考天津理数】设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由250x x -<可得05x <<，由|1|1x -<可得02x <<， 易知由05x <<推不出02x <<， 由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件，即“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件. 故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到x 的取值范围. 18．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件；由面面平行的性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件.故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行. 故选B ．【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断.19．【2019年高考北京理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵A ､B ､C 三点不共线，∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AC -AB |⇔|AB +AC |2>|AC -AB |2AB ⇔·AC >0AB ⇔与AC 的夹角为锐角，故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件. 故选C.【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积，同时考查了转化与化归的数学思想.20．【2018年高考浙江】已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则=UAA ．∅B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}【答案】C【解析】因为全集U ={1,2,3,4,5}，A ={1,3}， 所以根据补集的定义得∁U A ={2,4,5}. 故选C ．【名师点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．21．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥【答案】B【解析】解不等式x 2−x −2>0得x <−1或x >2，所以A ={x|x <−1或x >2}， 所以可以求得{}|12A x x =-≤≤R.故选B ．【名师点睛】该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.22．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，， 【答案】C【解析】易得集合{|1}A x x =≥, 所以{}1,2AB =.故选C ．【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.23．【2018年高考天津理数】设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R ABA ．{01}x x <≤B ．{01}x x <<C ．{12}x x ≤<D ．{02}x x <<【答案】B【解析】由题意可得：B R={x|x <1}，结合交集的定义可得：()=R A B {0<x <1}.故选B.【名师点睛】本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.24．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A【解析】∵x 2+y 2≤3,∴x 2≤3,∵x ∈Z,∴x =−1,0,1， 当x =−1时，y =−1,0,1； 当x =0时，y =−1,0,1； 当x =−1时，y =−1,0,1, 所以共有9个元素. 选A ．【名师点睛】本题考查集合与元素的关系，点与圆的位置关系，考查学生对概念的理解与识别. 25．【2018年高考北京理数】已知集合A ={x ||x |<2}，B ={–2，0，1，2}，则AB =A ．{0，1}B ．{–1，0，1}C ．{–2，0，1，2}D ．{–1，0，1，2}【答案】A【解析】∵|x|<2，∴−2<x <2， 因此A ∩B =(−2,2)∩{−2,0,1,2}={0,1}. 故选A.【名师点睛】解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.26．【2018年高考浙江】已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为m ⊄α,n ⊂α,m//n ，所以根据线面平行的判定定理得m//α.由m//α不能得出m 与α内任一直线平行，所以m//n 是m//α的充分不必要条件.故选A.【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．（2）等价法：利用p⇒q 与非q⇒非p ，q⇒p 与非p⇒非q ，p⇔q 与非q⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若A⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．27．【2018年高考天津理数】设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】绝对值不等式|x −12|<12 ⇔ −12<x −12<12 ⇔ 0<x <1， 由x 3<1 ⇔ x <1.据此可知|x −12|<12是x 3<1的充分而不必要条件. 故选A.【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.28．【2018年高考北京理数】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】2222223333699+6-=+⇔-=+⇔-⋅+=⋅+a b a b a b a b a a b b a a b b ，因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+60=-⋅+=⋅+⇔⋅⇔a a b b a a b b a b ⊥a b ，即“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的充分必要条件.故选C.【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p⇒q 与非q⇒非p ，q⇒p 与非p⇒非q ，p⇔q 与非q⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 29．【2020年高考江苏】已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则AB =_____. 【答案】{}0,2【解析】【分析】根据集合的交集即可计算.【详解】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =，∴{}0,2A B =.故答案为{}0,2.【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．30．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ．则下述命题中所有真命题的序号是__________．①14p p ∧②12p p ∧ ③23p p ⌝∨ ④34p p ⌝∨⌝【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.31．【2019年高考江苏】已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B = ▲ .【答案】{1,6}【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.由题意知，{1,6}A B =.【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.32．【2018年高考江苏】已知集合A ={0,1,2,8}，B ={−1,1,6,8}，那么A ∩B =________．【答案】{1，8}【解析】由题设和交集的定义可知：A ∩B ={1,8}.【名师点睛】本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.33．【2018年高考北京理数】能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 【答案】23()()2f x x =-- （答案不唯一） 【解析】对于23()()2f x x =--，其图象的对称轴为32x =， 则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是单调函数. 【名师点睛】解题本题需掌握充分必要条件和函数的性质，举出反例即可.。

高中数学第一章集合与常用逻辑用语总结(重点)超详细单选题1、已知集合M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N，则P的真子集共有（）A．2个B．3个C．4个D．8个答案：B分析：根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可.解：∵M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5}∴P={1，3}，P的真子集是{1},{3},∅共3个.故选：B.2、已知集合A={1,2,3},B={(x,y)|x∈A,y∈A,|x−y∣∈A}中所含元素的个数为（）A．2B．4C．6D．8答案：C分析：根据题意利用列举法写出集合B，即可得出答案.解：因为A={1,2,3}，所以B={(2,1),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3)},B中含6个元素．故选：C.3、若集合A={x∣|x|≤1,x∈Z}，则A的子集个数为（）A．3B．4C．7D．8答案：D分析：先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.解：A={x∥x∣≤1,x∈Z}={−1,0,1}，则A的子集个数为23=8个，故选：D.4、已知集合M={x|1−a<x<2a}，N=(1,4)，且M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．(−∞,2]B．(−∞,0]C．(−∞,13]D．[13,2]答案：C分析：按集合M 是是空集和不是空集求出a 的范围，再求其并集而得解.因M ⊆N ，而ϕ⊆N ，所以M =ϕ时，即2a ≤1−a ，则a ≤13，此时 M ≠ϕ时，M ⊆N ，则{1−a <2a 1−a ≥12a ≤4⇒{a >13a ≤0a ≤2，无解，综上得a ≤13，即实数a 的取值范围是(−∞,13]. 故选：C5、已知集合P ={x|1<x <4}，Q ={x|2<x <3}，则P ∩Q =（ ）A ．{x|1<x ≤2}B ．{x|2<x <3}C ．{x|3≤x <4}D ．{x|1<x <4}答案：B分析：根据集合交集定义求解.P ∩Q =(1,4)∩(2,3)=(2,3)故选：B小提示：本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.6、已知集合S ={x ∈N|x ≤√5}，T ={x ∈R|x 2=a 2}，且S ∩T ={1}，则S ∪T =（ ）A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{-1，0，1，2}D ．{-1，0，1，2，3}答案：C分析：先 根据题意求出集合T ，然后根据并集的概念即可求出结果.S ={x ∈N|x ≤√5}={0,1,2}，而S ∩T ={1}，所以1∈T ，则a 2=1，所以T ={x ∈R|x 2=a 2}={−1,1}，则S ∪T ={−1,0,1,2}故选：C.7、设集合A ={x |−2<x <4}，B ={2,3,4,5}，则A ∩B =（ ）A ．{2}B ．{2,3}C ．{3,4}D ．{2,3,4}答案：B分析：利用交集的定义可求A∩B.由题设有A∩B={2,3}，故选：B .8、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.多选题9、若集合A={x|x=m2+n2,m,n∈Z}，则（）A．1∈A B．2∈A C．3∈A D．4∈A答案：ABD解析：分别令m2+n2等于1,2,3,4，判断m,n是否为整数即可求解.对于选项A：m2+n2=1，存在m=0,n=1或m=1,n=0使得其成立，故选项A正确；对于选项B：m2+n2=2，存在m=1,n=1，使得其成立，故选项B正确；对于选项C：由m2+n2=3，可得m2≤3，n2≤3，若m2=0则n2=3可得n=±√3，n∉z，不成立；若m2=1则n2=2可得n=±√2，n∉z，不成立；若m2=3，可得n2=0，此时m=±√3，m∉z，不成立；同理交换m与n，也不成立，所以不存在m,n为整数使得m2+n2=3成立，故选项C不正确；对于选项D：m2+n2=4，此时存在m=0,n=2或m=2,n=0使得其成立，故选项D正确，故选：ABD.10、已知全集U =R ，集合A ={x|−2≤x ≤7}，B ={x|m +1≤x ≤2m −1}，则使A ⊆∁U B 成立的实数m 的取值范围可以是（ ）A ．{m|6<m ≤10}B ．{m|−2<m <2}C ．{m|−2<m <−12}D ．{m|5<m ≤8}答案：ABC分析：讨论B =∅和B ≠∅时，计算∁U B ，根据A ⊆∁U B 列不等式，解不等式求得m 的取值范围，再结合选项即可得正确选项.当B =∅时，m +1>2m −1，即m <2，此时∁U B =R ，符合题意，当B ≠∅时，m +1≤2m −1，即m ≥2，由B ={x|m +1≤x ≤2m −1}可得∁U B ={x|x <m +1或x >2m −1}，因为A ⊆∁U B ，所以m +1>7或2m −1<−2，可得m >6或m <−12， 因为m ≥2，所以m >6，所以实数m 的取值范围为m <2或m >6，所以选项ABC 正确，选项D 不正确；故选：ABC.11、“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）A ．m >14B ．0<m <1C ．m >2D ．m >1 答案：CD解析：先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.因为“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”，所以等价于二次方程的x 2−x +m =0判别式Δ=1−4m <0，即m >14. 所以A 选项是充要条件，A 不正确；B 选项中，m >14不可推导出0<m <1，B 不正确；C 选项中，m >2可推导m >14，且m >14不可推导m >2，故m >2是m >14的充分不必要条件，故C 正确；D 选项中，m >1可推导m >14，且m >14不可推导m >1，故m >1是m >14的充分不必要条件，故D 正确. 故选：CD.小提示：名师点评本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．12、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ）A ．函数F (x )是偶函数B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图．由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确；函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C 项错误，D 项正确．故选：ABD[0,1]13、使a∈R，|a|<4成立的充分不必要条件可以是（）A．a<4B．|a|<3C．−4<a<4D．0<a<3答案：BD分析：根据集合的包含关系，结合各选项一一判断即可.由|a|<4可得a的集合是(−4,4)，A.由(−4,4)⊂≠(−∞,4)，所以a<4是|a|<4成立的一个必要不充分条件；B.由(−3,3)⊂≠(−4,4)，所以|a|<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；C.由(−4,4)=(−4,4)，所以−4<a<4是|a|<4成立的一个充要条件；D.由(0,3)(−4,4)，所以0<a<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；故选：BD.填空题14、已知集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|，x、y、z为非零实数}，则M的子集个数______答案：8分析：按x、y、z的正负分情况计算m值，求出集合M的元素个数即可得解.因为集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|，x、y、z为非零实数}，当x、y、z都是正数时，m=4，当x、y、z都是负数时，m=-4，当x、y、z中有一个是正数，另两个是负数时，m=0，当x、y、z中有两个是正数，另一个是负数时，m=0，于是得集合M中的元素有3个，所以M的子集个数是8.所以答案是：815、设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，则P+Q中元素的个数是_________．答案：4分析：求得P+Q的元素，由此确定正确答案.依题意，0+1=1,0+6=6,2+1=3,2+6=8，所以P+Q共有4个元素.所以答案是：416、已知全集U=Z，定义A⊙B={x|a⋅b,a∈A,b∈B}，若A={1,2,3}，B={−1,0,1}，则∁U(A⊙B)______．答案：{x∈Z||x|≥4}分析：利用集合运算的新定义和补集运算求解.全集U=Z，定义A⊙B={x|a⋅b,a∈A,b∈B}，A={1,2,3}，B={−1,0,1}所以A⊙B={−3,−2,−1,0,1,2,3}，所以∁U(A⊙B)={x||x|≥4,x∈Z}.所以答案是：{x||x|≥4,x∈Z}解答题17、已知集合A={x|(x−a)(x+a+1)≤0}，B={x|x≤3或x≥6}.（1）当a=4时，求A∪B；（2）当a>0时，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围.答案：（1）A∪B={x|x≤4或x≥6}；（2）(0,3].解析：（1）当a=4时，解出集合A，计算A∪B；（2）由集合法判断充要条件，转化为A⊆B，进行计算.解：（1）当a=4时，由不等式(x−4)(x+5)≤0，得−5≤x≤4，故A={x|−5≤x≤4}，又B={x|x≤3或x≥6}，所以A∪B={x|x≤4或x≥6}.（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，等价于A⊆B，因为a>0，由不等式(x−a)(x+a+1)≤0，得A={x|−a−1≤x≤a}，又B={x|x≤3或x≥6}，要使A⊆B，则a≤3或−a−1≥6，综合可得a的取值范围为(0,3].小提示：名师点评有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；(2)若p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；(3)若p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；(4)若p是q的既不充分又不必要条件，q对应集合与p对应集合互不包含．18、已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．(1)若M⊆N，求实数a的取值范围；(2)若M⊇N，求实数a的取值范围．答案：(1)a∈∅(2)a≤3分析：（1）利用M⊆N，建立不等关系即可求解；（2）利用M⊇N，建立不等关系即可求解，注意当N＝∅时，也成立（1）∵M⊆N，∴{a+1≤22a−1≥5，∴a∈∅；（2）①若N＝∅，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2时，满足M⊇N．②若N≠∅，即a≥2时，要使M⊇N成立，则{a+1≥22a−1≤5，解得1≤a≤3，此时2≤a≤3．综上a≤3．。

1.集合、常用逻辑用语、不等式考向1 集合的概念及运算1.(2022·全国甲·理3)设全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},B={x|x 2-4x+3=0},则∁U (A ∪B )=( ) A.{1,3} B.{0,3} C.{-2,1} D.{-2,0}2.(2022·全国乙·理1)设全集U={1,2,3,4,5},集合M 满足∁U M={1,3},则( )A.2∈MB.3∈MC.4∉MD.5∉M3.(2022·新高考八省第二次T8联考)设集合A={x|log 2(x-1)<2},B={x|x<5},则( )A.A=BB.B ⊆AC.A ⊆BD.A ∩B=⌀ 4.(2022·安徽蚌埠质检三)设集合M={x|x=C 5m ,m ∈N *,m ≤5},则M 的子集个数为( )A.8B.16C.32D.64考向2 充分条件、必要条件与充要条件5.(2022·浙江·4)设x ∈R ,则“sin x=1”是“cos x=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.(2022·河南濮阳一模)“b ≤1”是“函数f (x )={bx +2,x >0,log 2(x +2)+b ,-2<x ≤0是在(-2,+∞)上的单调函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.若x ,y ∈R ,则“x<|y|”是“x 2<y 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.(2022·河南许昌质检)若(x-a )2<4成立的一个充分不必要条件是1+12-x ≤0,则实数a 的取值范围为( ) A.(-∞,4] B.[1,4] C.(1,4)D.(1,4]考向3 常用逻辑用语9.(2022·河南郑州质检)已知命题p :∃x 0∈R ,3sin x 0+4cos x 0=4√2;命题q :∀x ∈R ,1e |x|≤1.则下列命题中为真命题的是 ( )A.p ∧qB.(¬p )∧qC.p ∨(¬q )D.¬(p ∨q )10.(2022·河南焦作一模)已知命题p :∃x 0∈N *,lg x 0<0,q :∀x ∈R ,cos x ≤1,则下列命题是真命题的是( ) A.p ∧q B.(¬p )∧q C.p ∧(¬q )D.¬(p ∨q )11.(2022·河南洛阳一模)已知命题p :"x ∈R ,x 2+x+1>0;命题q :若a>b ,则1a<1b.下列命题为真命题的是( ) A.(¬p )∨q B.(¬p )∧(¬q ) C.p ∧qD.p ∨q12.若“∃x 0∈12,2,使得2x 02-λx 0+1<0成立”是假命题,则实数λ的取值范围为 .考向4 不等关系及线性规划13.(2022·河南许昌质检)已知a>b>0,且a+b=1,则下列结论正确的是( ) A.ln(a-b )>0 B.√a +√b >2 C.b a >a bD.1a +1b >414.(2022·河南焦作二模)已知x ,y 满足约束条 件{2x -3y +6≥0,2x +y +2≥0,4x -y -8≤0,则3x-2y 的最大值为 ( )A.1B.4C.7D.1115.(2022·浙江·3)若实数x ,y 满足约束条件{x -2≥0,2x +y -7≤0,x -y -2≤0,则z=3x+4y 的最大值是( )A.20B.18C.13D.616.(2022·河南濮阳一模)设x ,y 满足约束条件{y ≥2x ,y ≥-x ,y ≤2,则z=y-x 的最大值是 .1.集合、常用逻辑用语、不等式1.D 解析: 由题意知B={1,3},则A ∪B={-1,1,2,3}, 所以∁U (A ∪B )={-2,0}, 故选D .2.A 解析: ∵U={1,2,3,4,5},∁U M={1,3}, ∴M={2,4,5},∴2∈M ,3∉M ,4∈M ,5∈M. 故选A .3.C 解析: log 2(x-1)<2⇔0<x-1<4⇔1<x<5,∴A={x|log 2(x-1)<2}={x|1<x<5},即A ⊆B ,故选C .4.A 解析: 因为C 51=C 54,C 52=C 53,所以集合中含有3个元素,则M 的子集个数为23=8,故选A .5.A 解析: 由sin x=1,得x=2k π+π2,k ∈Z ,此时cos x=0;由cos x=0,得x=k π+π2,k ∈Z ,此时sin x=±1,故选A .6.B 解析: 依题意,函数f (x )是在(-2,+∞)上的单调函数, ∵y=log 2(x+2)+b 在(-2,0]上单调递增, ∴f (x )在(-2,+∞)上单调递增, 需b>0且1+b ≤2,即0<b ≤1. 故选B .7.B 解析: 由x<|y|推不出x 2<y 2,如x=-3,y=1;由x 2<y 2得|x|<|y|,又因为x ≤|x|,所以x ≤|x|<|y|,所以x 2<y 2⇒x<|y|. 故选B .8.D 解析: 根据题意,(x-a )2<4⇔-2<x-a<2⇔a-2<x<a+2,不等式的解集为(a-2,a+2); 1+12-x ≤0⇔3-x2-x ≤0⇔(x-3)(x-2)≤0且x ≠2,解得2<x ≤3,不等式的解集为(2,3]; 若(x-a )2<4成立的一个充分不必要条件是1+12-x ≤0,则(2,3]⫋(a-2,a+2);则有{a -2≤2,a +2>3,解得1<a ≤4,即a 的取值范围为(1,4]. 故选D .9.B 解析: ∵3sin x+4cos x=5sin(x+θ)∈[-5,5],tan θ=43,4√2>5,∴命题p 为假命题.∵|x|≥0,∴1e|x|≤1e=1,∴命题q 为真命题,∴p ∧q 为假命题;(¬p )∧q 为真命题;p ∨(¬q )为假命题;¬(p ∨q )为假命题.故选B .10.B 解析: 因为∀x ∈N *,lg x ≥0,所以命题p 为假命题,¬p 为真命题.因为∀x ∈R ,cos x ≤1成立,所以命题q 为真命题,所以(¬p )∧q 为真命题.11.D 解析: 对命题p ,因为x 2+x+1=x+122+34>0恒成立,故命题p 为真命题.对命题q ,当a 为正数,b 为负数时,命题不成立,故命题q 为假命题,故只有选项D 为真命题,故选D .12.(-∞,2√2] 解析: 由题意得,“∀x ∈12,2,2x 2-λx+1≥0”为真命题,即λ≤2x+1x .因为2x+1x≥2√2x ·1x=2√2,当且仅当2x=1x,即x=√22时,等号成立,所以实数λ的取值范围为(-∞,2√2].13.D 解析: ∵a>b>0,且a+b=1,∴12<a<1,0<b<12, ∴0<a-b<1,ln (a-b )<0,故A 错误;∵1>a>b>0,∴√a +√b <1+1=2,故B 错误; 令f (x )=lnxx (0<x<1),则f'(x )=1-lnxx 2>0,故f (x )在(0,1)上单调递增,故lna a>lnb b,即b ln a>a ln b ,即ln a b >ln b a ,∴a b >b a ,故C 错误; ∵a>b>0,∴1a +1b =a+b a +a+b b =2+b a +a b ≥2+2√b a ·ab=4,当且仅当a=b 时,等号成立,∴1a +1b >4,故D正确.14. D 解析: 不等式组{2x -3y +6≥0,2x +y +2≥0,4x -y -8≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示,联立方程组{2x +y +2=0,4x -y -8=0,解得{x =1,y =-4,即B (1,-4),平移直线3x-2y=0至经过点B 时目标函数u=3x-2y 取得最大值,即u max =3×1-2×(-4)=11.15. B 解析: 根据约束条件画出可行域.可知当直线y=-34x+z4过点(2,3)时,z 取到最大值,为18,故选B .16.4 解析: 画出可行域如图所示,化目标函数为斜截式方程y=x+z ,则当直线y=x+z 在y 轴上截距最大时,z 取得最大值,联立{y =2,y =-x , 解得{x =-2,y =2,。

专题01集合与常用逻辑用语易错点一：对集合表示方法的理解存在偏差（集合运算问题两种解题方法）方法一：列举法列举法就是通过枚举集合中的所有元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法。

其解题具体步骤如下:第一步定元素：确定已知集合中的所有元素，利用列举法或画数轴写出所有元素或范围；第二步定运算：利用常见不等式或等式解未知集合；第三步：定结果。

方法二：赋值法高考对集合的基本运算的考查以选择题为主,所以我们可以利用特值法解题,即根据选项之间的明显差异,选择一些特殊元素进行检验排除,从而得到正确选项.其解题具体步骤如下:第一步：辨差异:分析各选项,辨别各选项的差异；第二步：定特殊:根据选项的差异,选定一些特殊的元素；第三步：验排除:将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项；第四步：定结果:根据排除的结果确定正确的选项。

易错提醒：对集合表示法的理解先观察研究对象（丨前），研究对象是点集还是数集，故要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素类型及代表元素的含义.若A B ⊆，即A 是B 的子集，所以A B A = ，所以（4）正确；根据元素与集合的关系可知{}∅∈∅正确，也即（5）正确.所以正确的个数是4.故选：A易错点二：忽视（漏）空集导致错误（集合中的含参问题）1.利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围解题时务必注意:由于∅是任意集合的子集,若已知非空集合B,集合A 满足A ⊆B 或A ⊂B,则对集合A 分两种情中的含参问题况讨论:(1)当A=∅时,若集合A 是以不等式为载体的集合,则该不等式无解;(2)当A≠∅时,要利用子集的概念把子集关系转化为两个集合对应区间的端点值的大小关系,从而构造关于参数的不等式(组)求解.2.利用两集合的运算求参数的值或取值范围解决此类问题的步骤一般为:第一步：化简所给集合;第二步：用数轴表示所给集合;第三步：根据集合端点间关系列出不等式(组);(4)解不等式(组);第四步：检验,通过返回代入验证端点是否能够取到.第五步：解决此类问题多利用数形结合的方法,结合数轴或Venn 图进行求解.易错提醒：勿忘空集和集合本身.由于∅是任意集合的子集，是任何集合的真子集，任何集合的本身是该集合的子集，所以在进行列举时千万不要忘记。

专题1 集合与常用逻辑用语1.1集合的含义与表示 （1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().1.2集合间的基本关系（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.解析获取vx ：lingzi980N N *N +Z Q R a M a M ∈a M ∉x x x ∅A (1)n n ≥2n21n-21n-22n -1.3 集合的基本运算1. 2.注意：1. 元素与集合的关系,.2.德摩根公式.3.包含关系4.容斥原理.【例1】（2022•新高考Ⅰ）若集合 }4|{，<=x x M }13| {，≥=x x N 则=N MA ．}40|{<≤x xB ． }231|{<≤x x C ．}163|{<≤x x D ． }1631|{<≤x x 【例2】（2022•新高考II ）已知集合{}4211，，，-=A ，{}11≤-=x x B ，则=⋂B A A.{}21，- B.{}21， C.{}41， D.{}41，-【例3】（2022•乙卷理）设全集{1U =，2，3，4，5}，集合M 满足{1U M =，3}，则( )AB {|x x ∈A A A =A∅=∅A B A ⊆A B B ⊆AB {|x x ∈A A A =AA ∅=AB A ⊇AB B ⊇U A {|x x ()U A A =∅()U A A U =U x A xC A ∈⇔∉U x C A x A ∈⇔∉();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card CA card ABC ---+()()()UU U A B A B =()()()U U U A B A B =A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M ∉【例4】（2019•全国）设集合P ＝{x |x 2﹣2＞0}，Q ＝{1，2，3，4}，则P ∩Q 的非空子集的个数为（ ） A ．8B ．7C ．4D ．3【例5】（2020•上海）集合A ＝{1，3}，B ＝{1，2，a }，若A ⊆B ，则a ＝ ． 【例6】已知集合{0A =，1，2}，{|B ab a A =∈，}b A ∈，则集合B 中元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【例7】已知集合{{}A =∅，}∅，下列选项中均为A 的元素的是( ) （1）{}∅；（2）{{}}∅；（3）∅；（4）{{}∅，}∅． A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（2）（4）【例8】已知函数2()f x x ax b =++，集合{|()0}A x f x =，集合5|(())4B x f f x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若A B =≠∅，则实数a 的取值可以是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【例9】向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人．则下列说法正确的是( ) A ．赞成A 的不赞成B 的有9人 B ．赞成B 的不赞成A 的有11人 C ．对A 、B 都赞成的有21人D ．对A 、B 都不赞成的有8人【例10】（2015•上海）设集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，21{|0}Q x x x b =++>，22{|20}Q x x x b =++>，其中a ，b R ∈，下列说法正确的是( ) A ．对任意a ，1P 是2P 的子集，对任意b ，1Q 不是2Q 的子集 B ．对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集 C ．存在a ，1P 不是2P 的子集，对任意b ，1Q 不是2Q 的子集 D ．存在a ，1P 不是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集1.（2022•乙卷文）集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则MN =（ ）A. {2,4}B. {2,4,6}C. {2,4,6,8}D. {2,4,6,8,10}2.（2022•上海）已知集合A ＝（﹣1，2），集合B ＝（1，3），则A ∩B ＝ ．3.（2021•新高考Ⅰ）设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2}B ．{2，3}C ．{3，4}D ．{2，3，4}4.（2021•上海）已知集合A ＝{x |x ＞﹣1，x ∈R }，B ＝{x |x 2﹣x ﹣2≥0，x ∈R }，则下列关系中，正确的是（ ） A ．A ⊆BB ．∁R A ⊆∁R BC ．A ∩B ＝∅D ．A ∪B ＝R5.（2022•天津）设全集{2U =-，1-，0，1，2}，集合{0A =，1，2}，{1B =-，2}，则()(U A B =⋂)A ．{0，1}B ．{0，1，2}C ．{1-，1，2}D ．{0，1-，1，2}6.（2022•浙江）设集合{1A =，2}，{2B =，4，6}，则(A B = )A ．{2}B ．{1，2}C ．{2，4，6}D ．{1，2，4，6}7.（2022•北京）已知全集{|33}U x x =-<<，集合{|21}A x x =-<，则(UA = )A ．(2-，1]B ．(3,2)[1--，3) C ．[2-，1)D ．(3-，2](1,3)- 8.（2021•乙卷）已知集合{|21S s s n ==+，}n Z ∈，{|41T t t n ==+，}n Z ∈，则(S T = )A ．∅B ．SC ．TD ．Z9.（2020•全国）若集合A 共有5个元素，则A 的真子集的个数为( ) A ．32B ．31C ．16D ．1510.（2020•新课标Ⅲ）已知集合{(,)|A x y x =，*y N ∈，}y x ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．611.（2017•江苏）已知集合{1A =，2}，{B a =，23}a +．若{1}A B =，则实数a 的值为 ．12.（2022•重庆期末）下列说法正确的是( ) A ．任何集合都是它自身的真子集B ．集合{a ，}b 共有4个子集C ．集合{|31x x n =+，}{|32n Z x x n ∈==-，}n Z ∈D ．集合2{|1x x a =+，*2}{|45a N x x a a ∈==-+，*}a N ∈13.（2021•重庆期末）已知全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且UA B ⊆，则下列关系一定正确的是()A ．x U ∃∈，x A ∉且xB ∈ B ．x A ∀∈，x B ∉C ．x U ∀∈，x A ∈或x B ∈D ．x U ∃∈，x A ∈且x B ∈14.（2021•虎丘区月考）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有( ) A ．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B ．只参加球类一项比赛的人数有2人C ．只参加径赛一项比赛的人数为0人D ．只参加田赛一项比赛的人数为3人1.4 充分条件与必要条件充要条件（1）充分条件：若，则是充分条件.（2）必要条件：若，则是必要条件.（3）充要条件：若，且，则是充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.抓住关键词：大必小充。