2020版高考数学一轮复习课后限时集训22正弦定理与余弦定理三角形中的几何计算文含解析北师大版

第22讲正弦定理和余弦定理,S△ABC=2√3,则b=()1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,C=π3A.√3B.2C.2√3D.42.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=18,b=24,A=45°,则此三角形()A.无解B.有两个解C.有一个解D.解的个数不确定3.[2018·北京石景山区一模]在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2√3,则△ABC的面积为()A.4√3B.4C.2√3D.2√24.[2018·北京丰台区一模]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=2,c=4,且3sin A=2sin B,则cos C= .5.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos2A+cos2B+2sin A sin B=1+cos2C,则角C= .6.[2018·承德模拟]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=1,c=√6,cos C=2,则3a=()A.3B.4C.5D.67.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且a=√3,那么△ABC外接圆的半径为()A.2B.4C.√2D.18.[2018·南昌质检]在△ABC中,tan A是以-2为第3项,6为第7项的等差数列的公差;tan B为第2项,27为第7项的等比数列的公比.则△ABC是()是以19A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.以上都不对,a=2√2,则△ABC 9.[2018·咸阳二模]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=π3面积的最大值为()A.√2B.2√3C.√6D.√310.[2018·合肥三模]若△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且sin B,b=4,则c2-a2=()sin(C-A)=12A.10B.8C.7D.411.[2018·石家庄质检]如图K22-1所示,平面四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部,AB=1,BC=√2,AC=CD,AC⊥CD,当∠ABC变化时,对角线BD的最大值为.图K22-1图K22-212.[2018·北京朝阳区期末] 如图K22-2所示,一位同学从P 1处观测塔顶B 及旗杆顶A ,得仰角分别为α和90°-α. 后退l m 至点P 2处再观测塔顶B ,仰角变为原来的一半,设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面,且C ,P 1,P 2三点在同一条水平线上,则塔CB 的高为 m;旗杆BA 的高为 m .(用含有α的式子表示)13.[2018·唐山二模] 如图K22-3所示,在平面四边形ABCD 中,AB=2√3,AC=2,∠ADC=∠CAB=90°,设∠DAC=θ.(1)若θ=60°,求BD 的长度; (2)若∠ADB=30°,求tan θ.图K22-314.[2018·合肥一模] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,(a-2b )cos C+c cos A=0. (1)求C 的值;(2)若c=2√3,求△ABC 的周长的最大值.15.[2018·宁德一检] 如图K22-4所示,岛A ,C 相距10√7海里.上午9点整有一艘客轮在岛C 的北偏西40°且距岛C 10海里的D 处,客轮沿直线方向匀速开往岛A ,在岛A 停留10分钟后前往B 市.上午9:30测得客轮位于岛C 的北偏西70°且距岛C 10√3海里的E 处,此时小张从岛C 乘坐速度为V 海里/时的小艇沿直线方向前往A 岛换乘客轮去B 市. (1)若V ∈(0,30],问小张能否乘上这班客轮?(2)现测得cos ∠BAC=-45,sin ∠ACB=√55.已知速度为V 海里/时(V ∈(0,30])的小艇每小时的总费用为(12V 2+V +50)元,若小张由岛C 直接乘小艇去B 市,则至少需要多少费用?图K22-4课时作业(二十二)1.D [解析]S △ABC =2√3=12ab sin C=12×2×b×√32,解得b=4.故选D . 2.B [解析]∵V sin V =V sin V ,∴sin B=V V sin A=2418sin45°,∴sin B=2√23.又a<b ,∴B>A=45°,∴B 有两个值,即三角形有两个解.3.C [解析]∵△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2√3,由正弦定理得VV sin V =VV sin V ,∴2√3sin60°=4sin V ,解得sin B=1,∴B=90°,C=30°,∴△ABC 的面积为12×2√3×4×sin30°=2√3,故选C . 4.-14 [解析] 在△ABC 中,a=2,c=4,且3sin A=2sin B ,故3a=2b ,∴b=3,则cos C=V 2+V 2-V 22VV=-14. 5.60° [解析] 由已知得1-2sin 2A+1-2sin 2B+2sin A sin B=1+1-2sin 2C ,由正弦定理得ab=a 2+b 2-c 2,所以cos C=V 2+V 2-V 22VV =12,所以C=60°.6.A [解析] 由余弦定理可得cos C=V 2+V 2-V 22VV ,即23=V 2+1-62V,整理可得(a-3)(3a+5)=0,结合a>0可得a=3.7.D [解析] 因为(a+b+c )(b+c-a )=3bc ,所以(b+c )2-a 2=3bc ,即b 2+c 2-a 2=bc ,所以cos A=V 2+V 2-V 22VV =12,又A ∈(0,π),所以A=π3.又a=√3,由正弦定理可得△ABC 的外接圆半径R=12×V sin V =12×√3√32=1,故选D .8.B [解析] 设题中等差数列为{a n },则a 3=-2,a 7=6,可得公差d=2,即tan A=2;设题中等比数列为{b n },则b 2=19,b 7=27,可得公比q=3,即tan B=3.故tan C=-tan(A+B )=1,所以A ,B ,C 都是锐角.故选B .9.B [解析] 在△ABC 中,由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,即8=b 2+c 2-2bc cos π3=b 2+c 2-bc ≥2bc-bc=bc ,即bc ≤8,当且仅当b=c 时,等号成立,所以△ABC 的面积S=12bc sin A ≤12×8×sin π3=2√3,故选B . 10.B [解析]sin(C-A )=12sin B=12sin(A+C ),即2sin C cos A-2cos C sin A=sin A cos C+cos A sin C ,即sin C cos A=3sin A cos C.由正弦定理和余弦定理得c ·V 2+V 2-V 22VV=3a ·V 2+V 2-V 22VV,即b 2+c 2-a 2=3a 2+3b 2-3c 2,即4c 2-4a 2=2b 2=2×16=32,则c 2-a 2=8,故选B .11.3 [解析] 设∠ABC=α,∠ACB=β,在△ABC 中,由余弦定理可得AC 2=3-2√2cos α,由正弦定理可得sin β=√3-2√2cos V.在△BCD 中,由余弦定理可得BD 2=2+3-2√2cos α-2×√2×√3-2√2cos V×cos(90°+β)=5-2√2cos α+2√2sin α=5+4sin(α-45°),当α=135°时,BD 2有最大值9,则BD 的最大值为3.12.(1)l sin α (2)V cos2Vsin V[解析] 设BC=x m .在Rt △BCP 1中,∠BP 1C=α,在Rt △P 2BC 中,∠P 2=V 2.∵∠BP 1C=∠P 1BP 2+∠P 2,∴∠P 1BP 2=V 2,即△P 1BP 2为等腰三角形,P 1P 2=P 1B=l m,∴BC=l sin αm .在Rt △ACP 1中,VV VV 1=VV V cos V =tan(90°-α),∴AC=V cos 2Vsin Vm,则AB=AC-BC=V cos 2V sin V -l sin α=V (cos 2V -sin 2V )sin V=V cos2Vsin V (m). 13.解:(1)由题意可知,AD=1.在△ABD 中,∠DAB=150°,AB=2√3,AD=1,由余弦定理可知,BD 2=(2√3)2+12-2×2√3×1×-√32=19, ∴BD=√19.(2)由题意可知,AD=2cos θ,∠ABD=60°-θ.在△ABD 中,由正弦定理可知,VV sin∠VVV =VV sin∠VVV ,即2cos V sin(60°-V )=4√3,即√32cos V -12cos V4√3,即√32-12tan =4√3,则tan θ=23√3.14.解:(1)根据正弦定理,由已知得(sin A-2sin B )cos C+sin C cos A=0, 即sin A cos C+sin C cos A=2sin B cos C , ∴sin(A+C )=2sin B cos C ,∵A+C=π-B ,∴sin(A+C )=sin(π-B )=sin B>0,∴sin B=2sin B cos C ,从而cos C=12. ∵C ∈(0,π),∴C=π3.(2)由(1)和余弦定理得cos C=V 2+V 2-V 22VV=12,即a 2+b 2-12=ab ,∴(a+b )2-12=3ab ≤3V +V 22,即(a+b )2≤48(当且仅当a=b=2√3时等号成立),∴a+b ≤4√3. 则△ABC 周长的最大值为4√3+c=6√3.15.解:(1)根据题意得,CD=10,CE=10√3,AC=10√7,∠DCE=70°-40°=30°. 在△CDE 中,由余弦定理得,DE=√VV 2+VV 2-2VV ·VV ·cos∠VVV =10+(10√3)2-2×10×10√3×√32=10,所以客轮的航行速度V 1=10×2=20(海里/时). 因为CD=DE ,所以∠DEC=∠DCE=30°, 所以∠AEC=180°-30°=150°.在△ACE 中,由余弦定理得,AC 2=AE 2+CE 2-2AE ·CE ·cos ∠AEC ,整理得AE 2+30AE-400=0,解得AE=10或AE=-40(舍去).所以客轮从E 处到岛A 所用的时间t 1=1020=12(小时), 小张到岛A 所用的时间至少为t 2=10√730=√73(小时). 由于t 2>t 1+16,所以若小张上午9:30出发,则无法乘上这班客轮. (2)在△ABC 中,cos ∠BAC=-45,sin ∠ACB=√55, 所以∠ACB 为锐角,sin ∠BAC=35,cos ∠ACB=2√55,所以sin B=sin[180°-(∠BAC+∠ACB )]=sin(∠BAC+∠ACB )=sin ∠BAC cos ∠ACB+cos ∠BAC sin ∠ACB=35×2√55-45×√55=2√525.由正弦定理得,VV sin∠VVV=VVsin V ,所以BC=10√7×352√525=15√35,所以小张由岛C 直接乘小艇去B 市的总费用为f (V )=15√35V 12V 2+V+50=15√3512V+1+50V ≥165√35(V ∈(0,30]),当且仅当12V=50V ,即V=10时,f (V )min =165√35(元).所以若小张由岛C 直接乘小艇去B 市,其费用至少需要165√35元.。

专题4.6正弦定理和余弦定理1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识点一正弦定理和余弦定理1.在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C常见变形(1)a ＝2RsinA，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R；(3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b a ≤b 解的个数一解两解一解一解无解知识点二三角函数关系和射影定理1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2.2.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .考点一利用正、余弦定理解三角形【典例1】【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【答案】5，10【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=,5AC =，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以5BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【举一反三】(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝()A ．42 B.30C.29D ．25【答案】A【解析】∵cos C 2＝55，∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－32，∴AB ＝4 2.【举一反三】(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a ①求角B 的大小；②设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．【解析】①在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B .又由b sin A ＝a a sin B ＝a即sin B ＝tan B ＝3.又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.②在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7.由b sin A ＝a sin A ＝37.因为a ＜c ，所以cos A ＝27.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.【方法技巧】正、余弦定理的应用技巧1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。

第六节 正弦定理、余弦定理及其应用[考纲传真] 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．1．正弦、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 的外接圆半径，则2(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．3．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角(如图1)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°、北偏西45°、西偏北60°等． (3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点B 的方位角为α(如图2)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．[常用结论]1．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.2．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B.3．内角和公式的变形(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C.4．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC是等腰三角形或直角三角形．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．()(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．()(4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．(教材改编)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π6，B＝π4，a＝1，则b＝()A．2B．1 C. 3 D.2D[由asin A＝bsin B得b＝a sin Bsin A＝sinπ4sinπ6＝22×2＝2.]3．(教材改编)在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有() A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定B[∵b sin A＝24sin 45°＝122，∴122＜18＜24，即b sin A＜a＜b.∴此三角形有两解．]4．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，则cos C的值为()A.23B.14C ．－23D ．－14D [由题意可知a ∶b ∶c ＝3∶2∶4，不妨设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝4k ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋4k 2－16k 22×3k ×2k＝－14.]5．在△ABC 中，a ＝2，c ＝3，B ＝30°，则S △ABC ＝________；b ＝________. 32 1 [S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×3×12＝32. 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋3－43cos 30°＝1，得b ＝1.]利用正、余弦定理解三角形【例1】 (2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cosC (a cos B ＋b cos A )＝c . (1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长． [解] (1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，所以a ＋b ＝5(负值舍去)． 所以△ABC 的周长为5＋7.若(a －b )(sin A ＋sin B )＝c (sin C ＋3sin B )，则角A 等于( ) A .π6 B .π3 C .2π3D .5π6(2)如图，在△ABC 中，已知点D 在边AB 上，A D ＝3D B ，cos A ＝45，cos ∠ACB ＝513，BC ＝13. ①求cos B 的值； ②求C D 的长．(1)D [由正弦定理可得(a －b )(a ＋b )＝c (c ＋3b )，即b 2＋c 2－a 2＝－3bc ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－32，又A ∈(0，π)，则A ＝5π6，故选D .](2)[解] ①在△ABC 中，因为cos A ＝45，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝35.同理可得sin ∠ACB ＝1213. 所以cos B ＝cos [π－(A ＋∠A C B )]＝－cos(A ＋∠ACB )＝sin A sin ∠ACB －cos A cos ∠ACB ＝35×1213－45×513＝1665.②在△ABC 中，由正弦定理得，AB ＝BC sin A sin ∠ACB ＝1335×1213＝20.又AD ＝3D B ，所以B D ＝14AB ＝5，又在△BC D 中，由余弦定理得C D ＝B D 2＋BC 2－2B D·BC cos B ＝52＋132－2×5×13×1665＝92.判断三角形的形状【例2】(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin Asin B＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－a cos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形(1)C(2)D[(1)∵sin Asin B＝ac，∴ab＝ac，∴b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12.∵A∈(0，π)，∴A＝π3，∴△ABC是等边三角形．(2)因为c－a cos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，所以由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以sin A cos B＋cos A sin B－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以cos A(sin B－sin A)＝0，所以cos A＝0或sin B＝sin A，所以A＝π2或B＝A或B＝π－A(舍去)，所以△ABC为等腰或直角三角形．](1)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos Acos B＝ba＝2，则该三角形的形状是()A．直角三角形B．等腰三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，若sin 2B2＝c －a2c ，则△ABC 的形状一定是________． (1)A (2)直角三角形 [(1)因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin Bsin A，所以sin 2A ＝sin 2B .由ba ＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又A ，B ∈(0, π)，所以2A ＝180°－2B ，即A ＋B ＝90°，所以C ＝90°，于是△ABC 是直角三角形．(2)由题意，得1－cos B 2＝c －a 2c ，即cos B ＝a c ，又由余弦定理，得a c ＝a 2＋c 2－b22ac，整理得a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 为直角三角形．]与三角形有关的最值(范围)问题【例3】 (2019·广州调研)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝2，a cos B ＝(2c －b )cos A . (1)求角A 的大小；(2)求△ABC 的周长的最大值．[解] (1)法一：由已知，得a cos B ＋b cos A ＝2c cos A . 由正弦定理，得sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ， 即sin(A ＋B )＝2sin C cos A . 因为sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 所以sin C ＝2sin C cos A . 因为sin C ≠0，所以cos A ＝12.因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.法二：由已知及余弦定理，得a ×a 2＋c 2－b 22ac ＝(2c －b )×b 2＋c 2－a 22bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)法一：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得bc ＋4＝b 2＋c 2， 即(b ＋c )2＝3bc ＋4.因为bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22，所以(b ＋c )2≤34(b ＋c )2＋4， 即b ＋c ≤4(当且仅当b ＝c ＝2时等号成立)， 所以a ＋b ＋c ≤6.故△ABC 的周长的最大值为6. 法二：因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，且a ＝2，A ＝π3， 所以b ＝433sin B ，c ＝433sin C .所以a ＋b ＋c ＝2＋433(sin B ＋sin C )＝2＋433sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝2＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6. 因为0＜B ＜2π3，所以当B ＝π3时，a ＋b ＋c 取得最大值6. 故△ABC 的周长的最大值为6.2c cos B ＝2a ＋b ，若△ABC 的面积S ＝3c ，则ab 的最小值为( ) A ．28 B ．36 C ．48D ．56(2)(2019·河北五校联考)在△ABC 中，AB ＝2，C ＝π6，则AC ＋3BC 的最大值为( )A .7B ．27C ．37D ．47(1)C (2)D [(1)在△AB C 中，2c cos B ＝2a ＋b ，由正弦定理，得2s in C cos B ＝2s in A ＋s in B ．又A ＝π－(B ＋C )，所以s in A ＝s in [π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )，所以2sin C cos B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin B ，得2sin B cos C ＋sin B ＝0，因为sin B ≠0，所以cos C ＝－12，又0＜C ＜π，所以C ＝2π3.由S ＝3c ＝12ab sin C ＝12ab ×32，得c ＝ab4.由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2＋ab ≥2ab ＋ab ＝3ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫ab 42≥3ab ，得ab ≥48，所以ab 的最小值为48，故选C .(2)∵C ＝π6，A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝5π6.由正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ＝AB sin C ＝212＝4，∴BC ＝4sin A ，AC ＝4sin B ，∴AC ＋3BC ＝4sin B ＋43sin A ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＋43sinA ＝2cos A ＋63sin A ＝47sin(A ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝39，∴当A ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)时，AC ＋3BC 取得最大值，为47.故选D .]解三角形的实际应用【例4】 (1)江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m .(2)某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A 为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以103海里/时的速度前去营救，则舰艇的航向为北偏东________．(1)103 (2)75° [(1)如图，过炮台顶部A 作水平面的垂线，垂足为B ，设A 处观测小船C 的俯角为45°，设A 处观测小船D 的俯角为60°，连接BC ，B D .Rt △ABC ，∠ACB ＝45°，可得 BC ＝AB ＝30 m ，Rt △AB D 中，∠A D B ＝60°，可得 B D ＝AB3＝10 3 m ， 在△BC D 中，BC ＝30 m ，B D ＝10 3 m ，∠CB D ＝30°， 由余弦定理可得：C D 2＝BC 2＋B D 2－2BC ·B Dcos 30°＝300， ∴C D ＝10 3 m .(2)如图所示，设所需时间为t 小时， 则AB ＝103t ，CB ＝10t ，在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，可得(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos 120°. 整理得2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)，∴舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103，BC ＝10.在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，∴sin ∠CAB ＝BC ·sin 120°AB ＝10×32103＝12. ∴∠CAB ＝30°.所以舰艇航向为北偏东75°.]一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度C D ＝______m .1006 [由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ， 故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°， 解得BC ＝300 2 m .在Rt △BC D 中，C D ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m)．]1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．42B .30C .29D ．25A [因为cos C 2＝55，所以cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×552－1＝－35.于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1×－35＝32，所以AB ＝42.故选A .]2.(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( ) A .π2 B .π3 C .π4D .π6C [因为S △ABC ＝12ab sin C ，所以a 2＋b 2－c 24＝12ab sin C ．由余弦定理a 2＋b 2－c 2＝2ab cosC ，得2ab cos C ＝2ab sin C ，即cos C ＝sin C ，所以在△ABC 中，C ＝π4.故选C .]3．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A .31010B .1010 C ．－1010D ．－31010C [法一：设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 则由题意得S △ABC ＝12a ·13a ＝12ac sin B ，∴c ＝23a .由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋29a 2－2×a ×23a ×22＝59a 2，∴b ＝53a .∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝59a 2＋29a 2－a 22×53a ×23a＝－1010.故选C .法二：同法一得c ＝23a . 由正弦定理得sin C ＝23sin A , 又B ＝π4， ∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝23sin A ，即22cos A ＋22sin A ＝23sin A ，∴tan A ＝－3，∴A 为钝角．又∵1＋tan2A＝1cos2A，∴cos2A＝110，∴cos A＝－1010.故选C.]4．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝45，cosC＝513，a＝1，则b＝________.2113[因为A，C为△ABC的内角，且cos A＝45，cos C＝513，所以sin A＝35，sin C＝1213，所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝35×513＋45×1213＝6365.又a＝1，所以由正弦定理得b＝a sin Bsin A＝sin Bsin A＝6365×53＝2113.]5.(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为a23sin A.(1)求sin B sin C；(2)若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．[解](1)由题设得12ac sin B＝a23sin A，即12c sin B＝a3sin A.由正弦定理得12sin C sin B＝sin A3sin A.故sin B sin C＝2 3.(2)由题设及(1)得cos B cos C－sin B sin C＝－1 2，即cos(B＋C)＝－12.所以B＋C＝2π3，故A＝π3.由题意得12bc sin A＝a23sin A，a＝3，所以bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝33.故△ABC的周长为3＋33.。

第七节正弦定理和余弦定理1．正弦定理和余弦定理2．三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)；(2)S＝12bc sin A＝12ac sin B＝12ab sin C；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．[小题体验]1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π6，B＝π4，a＝1，则b＝()A．2B．1C. 3 D． 2解析：选D由正弦定理，得b＝a sin Bsin A＝2212＝ 2.2．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若2a sin B＝3b，则角A等于()A.π3B.π4C.π6D.π12答案：A3．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．答案：431．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制． [小题纠偏]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝120°，a ＝2，b ＝233，则B 等于( )A ．60°B ．150°C ．30°或150°D ．30° 解析：选D ∵A ＝120°，a ＝2，b ＝233， ∴由正弦定理a sin A ＝b sin B 可得，sin B ＝b a sin A ＝2332×32＝12.∵A ＝120°，∴B ＝30°.2．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝2 3，cos A ＝32且b ＜c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D ． 3解析：选C 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4. 又b ＜c ，∴b ＝2.考点一 利用正、余弦定理解三角形(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·兰州实战考试) △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A ．24B ．－24C ．34D ．－34解析：选B 由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a ＝－24，故选B.2．(2018·“超级全能生”联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知c ＝2b .若sin C ＝34，则sin B ＝________；若b 2＋bc ＝2a 2，则cos B ＝________.解析：因为c ＝2b ，所以sin C ＝2sin B ＝34，所以sin B ＝38.因为c ＝2b ，所以b 2＋bc ＝3b 2＝2a 2，所以a ＝62b . 所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32b 2＋4b 2－b 226b 2＝368.答案：38 368[由题悟法](1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．[即时应用]设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值． 解：(1)∵b sin A ＝3a cos B ，由正弦定理得sin B sin A ＝3sin A cos B . 在△ABC 中，sin A ≠0， 即得tan B ＝3，∴B ＝π3.(2)∵sin C ＝2sin A ，由正弦定理得c ＝2a ， 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即9＝a 2＋4a 2－2a ·2a cos π3，解得a ＝3， ∴c ＝2a ＝2 3.考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·贵阳监测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，若sin 2 B 2＝c －a2c ，则△ABC 的形状一定是________．解析：由题意，得1－cos B 2＝c －a 2c ，即cos B ＝a c ，又由余弦定理，得a c ＝a 2＋c 2－b22ac，整理得a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 为直角三角形．答案：直角三角形2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ， 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，所以A ＝2π3. (2)由(1)得，sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－B ＝sin B ＋32cos B －12sin B ＝32cos B ＋12sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝1， 因为0＜B ＜π3，所以B ＋π3＝π2，即B ＝π6，C ＝π6，所以△ABC 是等腰钝角三角形．[类题通法]判定三角形形状的2种常用途径[提醒] 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．[即时应用]1．(2019·平湖模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a sin A ＋b sin B ＜c sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．正三角形解析：选C 因为a sin A ＋b sin B ＜c sin C ，由正弦定理可得a 2＋b 2＜c 2，由余弦定理可得cos C ＜0，所以C ＞π2.所以△ABC 是钝角三角形．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形解析：选C ∵sin A sin B ＝ac ，∴a b ＝ac ，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．考点三 与三角形面积有关的问题(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2018·“七彩阳光”联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知c ＝2，且c cos A ＋b cos C ＝b .(1)判断△ABC 的形状； (2)若C ＝π6，求△ABC 的面积．解：(1)因为c cos A ＋b cos C ＝b ，由正弦定理可得sin C cos A ＋sin B cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以sin B cos C ＝sin A cos C ， 故有cos C ＝0或sin A ＝sin B .当cos C ＝0时，C ＝π2，所以△ABC 是直角三角形；当sin A ＝sin B 时，a ＝b ，所以△ABC 是等腰三角形． (2)由(1)知，c ＝2，a ＝b ，因为C ＝π6，所以由余弦定理可得4＝a 2＋a 2－2a 2cos π6，解得a 2＝8＋4 3.所以△ABC 的面积S ＝12a 2sin π6＝2＋ 3.[由题悟法]三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．[即时应用](2018·金华十校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知B ≠π2，sin A ＝sin(B －C )＋2sin 2B .(1)求证：c ＝2b ；(2)若△ABC 的面积为S ＝5b 2－a 2，求tan A 的值． 解：(1)证明：由sin A ＝sin(B －C )＋2sin 2B ， 得sin(B ＋C )＝sin(B －C )＋4sin B cos B ， 化简可得cos B sin C ＝2sin B cos B . 因为B ≠π2，所以sin C ＝2sin B .所以c ＝2b .(2)因为△ABC 的面积为S ＝5b 2－a 2， 所以12bc sin A ＝5b 2－a 2.因为c ＝2b ， 所以b 2sin A ＝5b 2－a 2.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝5b 2－4b 2cos A ，所以b 2sin A ＝4b 2cos A ， 解得tan A ＝4.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·绍兴模拟)在△ABC 中，已知内角C 为钝角，sin C ＝35，AC ＝5，AB ＝35，则BC ＝( )A ．2B ．3C ．5D ．10解析：选A 由题意知，cos C ＝－45.由余弦定理，得－45＝25＋BC 2－4510BC，解得BC ＝2(负值舍去)．2．(2019·台州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积S ＝25cos C ，a ＝1，b ＝25，则c ＝( )A.15B.17C.19D.21解析：选B 由题意得，S ＝12ab sin C ＝25cos C ，所以tan C ＝2，所以cos C ＝55，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝17，所以c ＝17.3．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C.3＋62D.3＋394解析：选B 由余弦定理得(7)2＝22＋AB 2－2×2AB ·cos 60°，即AB 2－2AB －3＝0，解得AB ＝3(负值舍去)，故BC 边上的高为AB sin 60°＝332. 4．(2018·杭州二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝________；当a ＝1时，△ABC 的面积S ＝________.解析：由正弦定理可知，a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ，由余弦定理可得cos C ＝4t 2＋9t 2－16t 212t 2＝－14，所以sin C ＝154.因为a ＝1，所以b ＝32，所以S ＝12ab sin C ＝31516.答案：－14 315165．在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________.解析：在△ABM 中，由正弦定理得BM sin ∠BAM ＝AB sin ∠BMA ＝ABcos ∠MAC，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，所以32a ＝c a 2＋4b 22b ，整理得(3a 2－2c 2)2＝0，a 2c 2＝23，故sin ∠BAC ＝a c ＝63.答案：63二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·温州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a sin A ＝b sin B ＋(c －b )sin C ，则角A 的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.2π3解析：选C ∵a sin A ＝b sin B ＋(c －b )sin C ，∴由正弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－bc .由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝π3.2．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形解析：选D 由条件得sin Acos B sin C＝2，即2cos B sin C ＝sin A ．由正、余弦定理得2·a 2＋c 2－b 22ac·c ＝a ，整理得c ＝b ，故△ABC 为等腰三角形．3．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3B ．2 C. 2D ．1解析：选B 由已知及正弦定理得1sin A ＝3sin B ＝3sin 2A ＝32sin A cos A ，所以cos A ＝32，A ＝30°.由余弦定理得12＝(3)2＋c 2－2c ×3×32，整理得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，△ABC 为等腰三角形，A ＝C ＝30°，B ＝2A ＝60°，不满足内角和定理，故c ＝2.4．(2018·浙江三地市联考)设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A＝2B ，则ab的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，3)C ．(2，3)D ．(0,2)解析：选C 因为A ＝2B ，所以π6＜B ＜π4.由正弦定理，得a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B ＝2cos B ∈(2，3)．5．(2019·天台模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝13，3sin B ＝2sin C ，且△ABC 的面积为22，则a ＝( )A ．2 3B ．3C ．2D ． 3解析：选B 因为cos A ＝13，所以sin A ＝223.因为3sin B ＝2sin C ，所以3b ＝2c .所以S △ABC ＝22＝12bc sin A ＝34b 2×223，解得b ＝2，所以c ＝3.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ＝4＋9－2×2×3×13＝9，解得a ＝3.6．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16， ∴c ＝4. 答案：47．(2019·余姚中学模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若2cos A (b cos C ＋c cos B )＝a ＝13，△ABC 的面积为33，则A ＝________，b ＋c ＝________.解析：由正弦定理可得，2cos A (sin B cos C ＋sin C cos B )＝2cos A sin A ＝sin A ，所以cos A ＝12，解得A ＝π3.因为S △ABC ＝33＝12bc sin A ＝34bc ，所以bc ＝12.由余弦定理可得，13＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，所以(b ＋c )2＝49，解得b ＋c ＝7.答案：π378．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则△ABC 的周长的最大值为________．解析：由正弦定理得BC sin A ＝AB sin C ＝AC sin B ＝3sin 60°，即BC sin A ＝AB sin C ＝2，则BC ＝2sin A ，AB ＝2sin C ，又△ABC 的周长l ＝BC ＋AB ＋AC ＝2sin A ＋2sin C ＋3＝2sin(120°－C )＋2sin C ＋3＝2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ＋2sin C ＋3＝ 3 cos C ＋3sin C ＋3＝23⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ＋3＝23sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＋3，故△ABC 的周长的最大值为3 3.答案：3 39．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )·cos C ＝c (3cos B －cos A )．(1)求sin Bsin A的值； (2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )cos C ＝sin C (3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ， 即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ，∴sin Bsin A ＝3.(2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.10．(2019·湖州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(sin A ＋sin B ＋sin C )(sin B ＋sin C －sin A )＝3sin B sin C .(1)求角A 的值；(2)求3sin B －cos C 的最大值．解：(1)因为(sin A ＋sin B ＋sin C )(sin B ＋sin C －sin A )＝3sin B sin C ， 由正弦定理，得(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ， 所以b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由A ＝π3，得B ＋C ＝2π3，所以3sin B －cos C ＝3sin B －cos ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3sin B －⎝⎛⎭⎫－12cos B ＋32sin B＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6. 因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6， 当B ＋π6＝π2，即B ＝π3时，3sin B －cos C 的最大值为1. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·嘉兴模拟)已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C .若a 2＋2b 2＝c 2，则tan C tan A＝________，tan B 的最大值为________． 解析：因为a 2＋2b 2＝c 2＞a 2＋b 2，所以C 为钝角．所以tan C tan A ＝sin C cos A cos C sin A ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc a ·a 2＋b 2－c 22ab＝b 2＋c 2－a 2a 2＋b 2－c 2＝3b 2－b 2＝－3. 所以tan C ＝－3tan A ，则tan B ＝－tan(A ＋C )＝tan A ＋tan C tan A tan C －1＝2tan A 1＋3tan 2A＝21tan A＋3tan A ≤223＝33， 当且仅当tan A ＝33时取等号， 故tan B 的最大值为33. 答案：－3 332．(2019·杭州名校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的所对的边分别为a ，b ，c .已知2c cos B ＝2a －b .(1)求角C 的大小；(2)若⎪⎪⎪⎪CA ―→－12CB ―→ ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)因为2c cos B ＝2a －b ，所以2sin C cos B ＝2sin A －sin B ＝2sin(B ＋C )－sin B ，化简得sin B ＝2sin B cos C ，因为sin B ≠0，所以cos C ＝12. 因为0＜C ＜π，所以C ＝π3.(2)取BC 的中点D ，则⎪⎪⎪⎪CA ―→－12CB ―→＝|DA ―→|＝2. 在△ADC 中，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos C ，即有4＝b 2＋⎝⎛⎭⎫a 22－ab 2≥2 a 2b 24－ab 2＝ab 2， 所以ab ≤8，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．所以S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ≤23， 所以△ABC 面积的最大值为2 3.。

第22讲 正弦定理和余弦定理［解密考纲］本考点考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形，判断三角形的形状，求三角形的面积等.三种考查内容均有呈现，一般排在选择题、填空题的中间位置或解答题靠前的位置，题目难度中等偏易.一、选择题1．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝1，b ＝3，A ＝π6，则B＝( B )A ．π3B ．π3或2π3C ．π6或5π6D ．2π3解析 根据正弦定理a sin A ＝bsin B，得1sinπ6＝3sin B ， ∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 2．在△ABC 中，若AB ＝2，AC 2＋BC 2＝8，则△ABC 面积的最大值为( C ) A ． 2 B ．2 C ． 3D ．3解析 ∵AC 2＋BC 2≥2AC ·BC ，∴AC ·BC ≤4.∵cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝42AC ·BC ，∴cosC ≥12，∴0°<C ≤60°.∵S ＝12AC ·BC ·sin C ，∴由不等式的性质可知当AC ＝BC ＝2时，面积S 有最大值，S max＝12×2×2×32＝3，故选C ． 3．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠C ＝105°，BC ＝2，则边长AC 为( B ) A ．3－1 B ．1 C ．2D ．3＋1解析 根据题意有∠B ＝180°－105°－45°＝30°，根据正弦定理AC sin B ＝BCsin A ，得AC ＝2×1222＝1，故选B ．4．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( B ) A ．32B ．332C ．3＋62D ．3＋394解析 设AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得7＝4＋c 2－2c ，解得c ＝3.设BC 边上的高为h ，则h ＝c sin B ＝332.5．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( B )A ．5B ． 5C ．2D ．1解析 S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4.当B ＝3π4时，根据余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2＝1，∴AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意，故AC ＝ 5.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( C )A ．3B ．932C ．332D ．3 3解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②，得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.二、填空题7．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列.若sin B＝513，cos B ＝12ac，则a ＋c 解析 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .∵sin B ＝513，cos B ＝12ac，∴ac ＝13，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴a 2＋c 2＝37，∴(a ＋c )2＝63，∴a ＋c ＝37.8．在△ABC 中，A＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于 2 3 . 解析 如图所示，在△ABC 中，由正弦定理，得23sin 60°＝4sin B ，解得sin B ＝1，所以B ＝90°.所以S △ABC ＝12×AB ×23＝12×42－（23）2×23＝2 3.9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为 －14.解析 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32c .又∵b －c ＝14a ，∴12c ＝14a ，即a ＝2c .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－34c23c 2＝－14.三、解答题10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2cos A －1)sin B ＋2cosA ＝1．(1)求A 的大小；(2)若5b 2＝a 2＋2c 2，求sin B sin C的值.解析 (1)∵(2cos A －1)sin B ＋2cos A ＝1， ∴(2cos A －1)(sin B ＋1)＝0.∵0<B <π，∴sin B >0，∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc . ∵5b 2＝a 2＋2c 2，∴5b 2＝b 2＋c 2－bc ＋2c 2，∴4b 2＋bc －3c 2＝0， ∴4⎝ ⎛⎭⎪⎫b c2＋b c－3＝0.解得b c ＝－1(舍)或b c ＝34，∴sin B sin C ＝b c ＝34.11．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B ．(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积.解析 (1)由倍角公式，原等式可化为cos 2A ＋12－cos 2B ＋12＝32sin 2A －32sin 2B ， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6.∵a ≠b ，∴A ≠B .又∵A ，B ∈(0，π)，∴2B －π6＋2A －π6＝π，解得A ＋B ＝23π，∴C＝π－(A ＋B )＝π3.(2)由正弦定理可求得a ＝85.∵a <c ，∴A <C ＝π3，∴cos A ＝35.∴sin B ＝sin ［π－(A ＋C )］＝sin(A ＋C )＝4＋3310，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝83＋1825.12．(2016·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan Bcos A.(1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值.解析 (1)由题意知2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ．从而sin A ＋sin B ＝2sin C ．由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立.故cos C 的最小值为12.。

2020高考理科数学考点专项训练（含解析）考点22 正弦定理和余弦定理1．（山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理）设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4) 【答案】C 【解析】由锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，∴ 022A π<<，3A B A +=,32A ππ∴<< 63A ππ∴<<，04A π<<cos 22A <<2,2a B A ==,由正弦定理得12cos 2b b A a ==，即4cos b A =4cos A ∴<<则b 的取值范围为,故选C.2．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()22a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．2C D 【答案】D【解析】由()22a b c =+-，得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，∵ 2222cos a b c ab C +-=，∴ sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=即2sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵ 0C π<<， ∴ 5666C πππ-<-<， ∴ 66C ππ-=，即3C π=，则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1222+⨯=3．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理科二）在ABC ∆中，1cos 3A =，2AB =，3BC =，则ABC ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．12x xD．【答案】C 【解析】由余弦定理可知2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅ 234150AC AC ⇒--=3AC ⇒=，因为1cos 3A =，所以sin A ==因此1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅⋅= C.4．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为2a ，则22b cc b+的最大值是_____．【解析】因为BC 边上的高为2a，所以11sin 222a a bc A ⨯⨯=，即22sin a bc A =， 可得2222cos 2222bc b c a bc A c b bc bc+++==2sin 2ccossin cos 2bc A b A A A bc +==+=4A π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭故22b cc b+ 5．（江苏省南通市2019届高三适应性考试）在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【解析】因为1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列， 所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B CC A B A B A B+=+==， 所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=，又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=， 又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =，因为()12CM CA CB =+， 所以22222422cos CMCA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++，即22224232c b a ab c ab=++⋅=，解c =.即AB 的长为3. 6．（浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟考试）在ABC ∆中，A ，B ，C 内角所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b =且cos cos 4sin sin c B b C a B C +=，则c 的最小值为_____． 【答案】12【解析】∵ccos cos 4sin sin B b C a B C +=，∴sin cos sin cos 4sin sin sin C B B C A B C +=， ∴sin()sin 4sin sin sin B C A A B C +==，∵sin 0A ≠，∴1sin sin 4B C =，∴1sin 4sin C B =，由正弦定理可得sin sin b c B C=，即2sin 28sin sin Cc C B =⨯=， 当sin 1B =时，min sin C =14.当1sin 4C =时，则c 的最小值为12．故答案为：12.7．（江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟考试理）设V ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若a =6b =，1cos 2B =-，那么角C 的大小为__________． 【答案】12π 【解析】1cos2B =-，∴B 为钝角，可得23B π=，sin B =．由正弦定理sin A =sin 2A =． A 为锐角，∴4A π=．∴24312C A B πππππ=--=--=． 8．（贵州省2019届高三高考教学质量测评卷八数学理）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中最大的角等于另外两个角的和，当最长边1c =时，ABC ∆周长的最大值为_______.1 【解析】依题意，C A B =+，结合三角形的内角和定理，所以2A B π+=，设ABC ∆的外接圆半径为R ，则12R =，于是2(sin sin )sin sin a b R A B A B +=+=+sin cos 4A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当4A π=时，a b +1.9．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试）在ABC △中，3cos 5A =,a =5b =，则c =__________．【答案】7 【解析】由3cos ,55A a b ===，代入2222cos a b c bc A =+-，得233225255c c =+-⨯⨯⨯，即：2670c c --=解得7.(1c c ==- 舍去） 故答案为：7．10．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷）在ABC ∆中，23BAC π∠=，已知BC 边上的中线3AD =，则ABC ∆面积的最大值为__________．【答案】【解析】在△ABC 中，23BAC π∠=，BC 边上的中线AD=3，1()2AD AB AC =+，设AB ＝c ，AC ＝b ， 平方可得 9＝()222211222cos 434c b AB AC c b cb π⎛⎫++⋅=++⋅ ⎪⎝⎭. 化简可得，22362c b bc bc bc bc +=≥-=-，∴bc≤36，当且仅当b c =时成立，故△ABC 的面积S ＝121sin 362322bc π⋅⨯⨯=…故答案为：11．（四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列，则cos B 的最小值为_____. 【答案】12【解析】因为,,a b c 成等比数列，所以2b ac =22222cos 22a c b a c acB ac ac+-+-==， 由基本不等式可以得到2221222a c ac ac ac ac ac +--≥=，当且仅当a c =时等号成立，故cos B 的最小值为12. 12．（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且ccosA ＝4，asinC ＝5． （1）求边长c ；（2）著△ABC 的面积S ＝20．求△ABC 的周长．【答案】（1（2） 【解析】（1）∵由正弦定理可得：2sin sin sin a b cR A B C===，可得：asinC ＝csinA ， ∵asinC＝5，可得：csinA ＝5，可得：sinA ＝5c ，又∵ccosA＝4，可得：cosA ＝4c，∴可得：sin 2A+cos 2A ＝222516c c +＝1，∴解得c（2）∵△ABC 的面积S ＝12absinC ＝20，asinC ＝5，∴解得：b ＝8，∴由余弦定理可得：a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA ＝64+418＝41，解得：a ，∴△ABC 的周长＝a+b+c ．13．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin cos cos 2c A a B b A π⎛⎫-=+⎪⎝⎭.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2a b c =+，且ABC ∆外接圆的半径为1，求ABC ∆的面积.【答案】（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）4【解析】 （Ⅰ）∵2sin cos cos 2c A a B b A π⎛⎫-=+⎪⎝⎭， ∴2cos cos cos c A a B b A =+，由正弦定理得，()2sin cos sin cos sin cos sin sin C A A B B A A B C =+=+=， ∴2sin cos sin C A C =，又0C π<<，∴sin 0C ≠，∴1cos 2A =， 又0A π<<，∴3A π=.（Ⅱ）设ABC ∆外接圆的半径为R ，则1R =，2sin a R A ==，由余弦定理得()22222cos 33a b c bc b c bc π=+-=+-，即3123bc =-，∴3bc =，∴ABC ∆的面积11sin 322S bc A ==⨯=. 14．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）如图ABC ∆中，D 为BC 的中点，AB =4AC =，3AD =.（1）求边BC 的长；（2）点E 在边AB 上，若CE 是BCA ∠的角平分线，求BCE ∆的面积. 【答案】（1）10；（2）607. 【解析】（1）因为D 在边BC 上，所以cos cos ADB ADC ∠=-∠，在ADB ∆和ADC ∆中由余弦定理，得222222022AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC+-+-+=⨯⨯，因为AB =4AC =，3AD =，BD DC =，所以229529160BD BD +-++-=，所以225BD =，5BD =. 所以边BC 的长为10.（2）由（1）知ADC ∆为直角三角形，所以14362ADC S ∆=⨯⨯=，212ABC ADC S S ∆∆==. 因为CE 是BCA ∠的角平分线，所以1sin 21sin 2ACE BCE AC CE ACE S S BC CE BCE ∆∆⨯⨯∠=⨯⨯∠42105AC BC ===. 所以25ABC BCE ACE BCE BCE S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+7125BCE S ∆==，所以607BCE S ∆=.即BCE ∆的面积为607.15．（山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学理）如图所示，锐角ABC ∆中，AC =点D 在线段BC上，且CD =，ACD ∆的面积为，延长BA 至E ，使得EC BC ⊥.（Ⅰ）求AD 的值； （Ⅱ）若2sin 3BEC ∠=，求AE 的值. 【答案】（Ⅰ）；. 【解析】（Ⅰ）在ACD ∆中，1sin 2ACD S AC CD ACD ∆=⋅∠1sin 2ACD =⨯∠=所以sin 5ACD ∠=. 因为090ACD ︒<∠<︒，所以1cos 5ACD ∠==. 由余弦定理得2222cos 56AD CD CA CD CA ACD =+-⋅⋅⋅∠=，得AD =（Ⅱ）因为EC BC ⊥，所以()1sin sin 90cos 5ACE ACD ACD ∠=︒-∠=∠=. 在AEC ∆中，由正弦定理得sin sin AE ACACE AEC=∠∠，即1253AE =，所以2AE =. 16．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且=c，2sin B A =. （1）求cos B ；（2）若2a =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）56（2）2【解析】（1）因为2sin B A =，所以2b =，即a =又因为=c ，所以2225cos 262a c b B ac +-===.（2）因为2a =，所以3c =. 因为5cos 6B =，在ABC∆中，(0,)B π∈，所以sin B =所以11sin 232262ABC S a c B ∆=⋅⋅=⨯⨯⨯=.17．已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c o s c o s 2c o s b C c B a A +=.（1）求A ；（2）若ABC ∆的周长为3，求a 的最小值. 【答案】（1）3A π=；（2）1.【解析】（1）由已知及正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A A +=， 即()sin 2sin cos B C A A +=， ∵()()sin sin sin B C A A π+=-=， ∴1cos 2A =. 又∵()0,A π∈，∴3A π=.（2）∵()2222221cos 222b c bc a b c a A bc bc+--+-===， 化简得()()223*bc b c a =+-， ∵3a b c ++=，∴()3a b c =-+， 代入()*式得()369bc b c =+-，∵22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()23694b c b c +-≤+，即()()28120b c b c +-++≥， 解得2b c +≤或6b c +≥（舍），当且仅当b c =时取“=”.∴()31a b c =-+≥，即a 的最小值为1，此时1b c ==，且ABC ∆为正三角形. 18．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）在ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，sin 2sin C B =. （1）求BDCD； （2）若1AD AC ==，求BC 的长．【答案】（1）2；（2）2. 【解析】解：（1）由正弦定理可得在ABD ∆中，sin sin AD BD B BAD =∠， 在ACD ∆中，sin sin AD CD C CAD=∠， 又因为BAD CAD ∠=∠，sin 2sin BD C CD B==. （2）sin 2sin C B =，由正弦定理得22AB AC ==，设DC x =，则2BD x =，则222254cos cos 24AB AD BD x BAD CAD AB AD +--∠==∠⋅，2222222AC AD CD x AC AD +--==⋅. 因为BAD CAD ∠=∠，所以2254242x x --=，解得x =32BC x ==. 19．（）在河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理ABC ∆中，AB C ，，的对边分别a b c ，，，60,cos 3A B ︒==. （Ⅰ）若D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求DC BD 的值； （Ⅱ）若 ccos cos 2B b C +=，求ABC ∆的面积.【答案】（Ⅰ）4；【解析】（Ⅰ）因为cos B =，∴sin B =()13sin sin sin cos cos sin 23236C A B A B A B +=+=+=⨯+⨯=， 由正弦定理得sin sin sin AD BD AD B BAD C ==∠，sin DC CAD∠， 因为AD 平分BAC ∠，所以sin4sinDC BBD C===.（Ⅱ）由cos cos2c B b C+=，即222222cos cos222a cb a b cc B b C c b aac ab+-+-+=⋅+⋅==，所以sin sina bA B=，∴sinsin3a BbA==故11sin2223ABCS ab C==⨯⨯=20．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）已知,,a b c分别为ABC△三个内角,,A B C所对的边，若向量(,cos)m b B=，(cos,2)n C c a=-，且m n⊥.（1）求角B；（2）若113||m=，且24ac=，求边,a c.【答案】（1）3Bπ=；（2）64ac=⎧⎨=⎩或46ac=⎧⎨=⎩.【解析】（1）m n⊥0m n∴⋅=，又向量(),cosm b B=，()cos,2n C c a=-，故()cos2cos0b Cc a B+-=由正弦定理2sin sin sina b cRA B C===得：sin cos cos sin2sin cos0B C B C A B+-= ()sin2sin cos0B C A B∴+-=又()()sin sin sinB C A Aπ+=-=sin2sin cos0A A B∴-=sin0A≠1cos2B∴=又()0,Bπ∈3Bπ∴=（2）由（1）知3B π= 1,2m b ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ 22m b ∴=+= 2111344b ∴+=，即：228b =，解得：b =在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos b ac ac B =+-又3B π=，故2228a c ac =+-，即：()2283a c ac =+- 又24ac =，解得：64a c =⎧⎨=⎩或46a c =⎧⎨=⎩． 21．（湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三)理）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分別为,,a b c ，若3cos 4A =，2B A =，3b =.（1）求a ；（2）已知点M 在边BC 上，且AM 平分BAC ∠，求ABM ∆的面积.【答案】(1) 2a = (2) 176ABM S ∆=【解析】（1）由0A π<<，3cos 4A =，得sin A =，所以3sin sin 22sin cos 24B A A A ====， 由正弦定理sin sin a b A B=，可得sin 2sin b A a B ==. （2）2231cos cos22cos 12148B A A ⎛⎫==-=⨯-= ⎪⎝⎭， 在ABC ∆中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22100c c --=，解得52c =或2c =-（舍去）.1sin 2ABC S bc A ∆== 因为||||365||||52ACM ABM S CM AC S BM AB ∆∆====，所以55111116176ABM ABC S S ∆∆==⨯=. 22．（湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学理）已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边，点D 为边BC 的中点，ABC ∆的面积为22sin AD B. （I ）求sin sin BAD BDA ∠⋅∠的值；（II ）若2BD AB =，AD =b . 【答案】（I ）12；（II）b = 【解析】（I ）由ABC ∆的面积为22sin AD B 且D 为BC 的中点可知：ABD ∆的面积为24sin AD B， 由三角形的面积公式可知21sin 24sin AD AB BD B B⋅⋅=， 由正弦定理可得2sin sin 1BAD BDA ∠⋅∠=，所以1sin sin 2BAD BDA ∠⋅∠=. （II ）因为2BD AB =，所以在ABD ∆中，由正弦定理可得sin sin BD AB BAD BDA=∠∠， 所以sin 2sin BAD BDA ∠=∠，由（1）可知1sin sin 2BAD BDA ∠⋅∠=， 所以sin 1BAD ∠=，1sin 2BDA ∠=，∵(0,)BAD π∠∈，∴2BAD π∠=， 在直角ABD ∆中，AD =1sin 2BDA ∠=所以2BD =，1AB =. ∵2BC BD =，4BC =，在ABC ∆中用余弦定理，可得2222cos b a c ac B =+-1116214132=+-⨯⨯⨯=b =23．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试数学理）在ABC 中，45A ∠=，2AB =（1）若BC =求ACB ∠；（2）若ABC?的面积为1，求BC .【答案】（1）6ACB π∠=；（2. 【解析】（12sin ACB=∠， 所以1sin 2ACB ∠=. 566ACB ππ∠=或. 由AB BC <大边对大角，所以6ACB π∠=．（2）1sin 12ABC S bc A ∆==，容易得出b =在ABC △中，由余弦定理得 2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅⋅∠422222=+-⨯=所以BC =24．（山东省临沂市、枣庄市2019届高三第二次模拟预测数学理）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222cos cos cos 1sin sin A C B A C +-=-（1）求B ；（2）若2b =，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）3π；（2【解析】（1）222222cos cos cos 1sin 1sin 1sin 1sin sin A C B A C B A C +-=-+--+=- 222sin sin sin sin sin B A C A C ∴=+-由正弦定理可得：222b a c ac =+- 由余弦定理可得：2221cos 22a cb B ac +-==()0,B π∈ 3B π∴=（2）由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-，即：224a c ac =+-222a c ac +≥ 42ac ac ∴+≥4ac ∴≤（当且仅当a c =时取等号）∴11sin 422ABC S ac B ∆=≤⨯=ABC ∆． 25．（黑龙江省大庆第一中学2019届高三第三次模拟考试）已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，若cos sin a b C c B =+（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2b = ，求ABC ∆面积的最大值。

第七节正弦定理和余弦定理 一、基础知识批注——理解深一点1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．正弦定理的常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝asin A. 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)；(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．二、常用结论汇总——规律多一点 1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sinA ＋B 2＝cosC 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形．( ) (5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ (二)选一选1．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b ＝( )A ．2B ．1 C. 3D. 2解析：选D 由正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝2212＝ 2.2．(2018·全国卷Ⅱ改编)在△ABC 中，cos C ＝－35，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2 B.30 C.29D ．2 5解析：选A 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32， ∴AB ＝32＝4 2.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形解的情况为( )A ．无解B ．有两解C ．有一解D ．解的个数不确定解析：选B ∵a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝b a sin A ＝2418sin 45°＝223.又∵a <b ，∴B 有两个解， 即此三角形有两解． (三)填一填4．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解析：由正弦定理，得sin B ＝b sin Cc ＝6sin 60°3＝22， 因为0°＜B ＜180°，且b ＜c ，所以B ＜C ，故B ＝45°， 所以A ＝180°－60°－45°＝75°. 答案：75°5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝5，B ＝2π3，△ABC 的面积为1534，则b ＝________.解析：由三角形的面积公式，得S △ABC ＝12ac sin B ＝12×a ×5×sin 2π3＝534a ＝1534，解得a ＝3.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32＋52－2×3×5×⎝⎛⎭⎫－12＝49，得b ＝7. 答案：7第一课时 正弦定理和余弦定理(一)考点一 利用正、余弦定理解三角形 考法(一) 正弦定理解三角形[典例] (1)(2019·江西重点中学联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b＝________.[解析] (1)由正弦定理可得sin B ＝b sin A a ＝2×sin 30°3＝13，∵a ＝3>b ＝2，∴B <A ，即B 为锐角，∴cos B ＝1－sin 2B ＝223.(2)∵sin B ＝12且B ∈(0，π)，∴B ＝π6或B ＝5π6，又∵C ＝π6，∴B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，即3sin 2π3＝b sinπ6，解得b ＝1. [答案] (1)223 (2)1[解题技法]1．利用正弦定理解决的2类问题及其解题步骤(1)应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍．(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断．考法(二) 余弦定理解三角形[典例] (1)(2019·山西五校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)(2018·泰安二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b2c －a＝sin Asin B ＋sin C，则角B ＝________.[解析] (1)∵b cos A ＋a cos B ＝c 2，∴由余弦定理可得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c 2，整理可得2c 2＝2c 3，解得c ＝1，则△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝2＋2＋1＝5.(2)由正弦定理可得c －b 2c －a ＝sin A sin B ＋sin C ＝ab ＋c，∴c2－b2＝2ac－a2，∴c2＋a2－b2＝2ac，∴cos B＝a2＋c2－b22ac＝22，∵0<B<π，∴B＝π4.[答案](1)D(2)π4[解题技法]利用余弦定理解决的2类问题及其解题步骤斜三角形把我问，两个定理有区分；余弦定理多见边，正弦定理角必现；边边角，解难辨，正弦值，先计算；边角会聚综合题，正弦定理来统一．[题组训练]1.(口诀第2句)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cos C＝()A.24B．－24C.34D ．－34解析：选B 由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24.2.(口诀第2句)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12 B.π6C.π4D.π3解析：选B 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0， 所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以t a n A ＝－1， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝2×222＝12， 又0＜C ＜π4，所以C ＝π6.3.(口诀第3、4句)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．解：(1)由正弦定理可得b 2＋c 2＝a 2＋bc ， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由(1)可知sin A ＝32， 因为cos B ＝13，B 为△ABC 的内角，所以sin B ＝223，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝32×13＋12×223＝3＋226. 由正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝a sin C sin A ＝3×(3＋22)32×6＝1＋263.考点二 判定三角形的形状[典例] (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形[解析] (1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 由正弦定理知sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ， 得sin(B ＋C )＝sin A sin A .又sin(B ＋C )＝sin A ，得sin A ＝1， 即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．(2)因为sin A sin B ＝a c，所以a b ＝ac ，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形．[答案] (1)B (2)C[变透练清]1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________．解析：根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，故C 是钝角，所以△ABC 是钝角三角形． 答案：钝角三角形2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．解析：因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ， C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ， 所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形． 答案：等腰或直角三角形3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝ba ＝2”，那么△ABC 的形状为________．解析：因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin 2A ＝sin 2B .由ba ＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又因为A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2，所以C ＝π2，于是△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形 [解题技法]1．判定三角形形状的2种常用途径2．判定三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．[课时跟踪检测]A 级——保大分专练1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos Bb ，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知，sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin Cc＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．(2018·重庆六校联考)在△ABC 中，cos B ＝ac (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选A 因为cos B ＝ac ，由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，整理得b 2＋a 2＝c 2，即C 为直角，则△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3， cos B ＝23，则b ＝( )A ．14B ．6 C.14D. 6解析：选D ∵b sin A ＝3c sin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－2×3×1×23＝6，∴b ＝ 6.5．(2019·莆田调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴根据正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B ．∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ，即B 为锐角，∴B ＝π6.6．(2019·山西大同联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( )A. 5 B ．3 C.10D ．4解析：选B 由正弦定理可得2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝c sin C ， ∵2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，∴2sin C ＝c sin C ，∵sin C >0，∴c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a ＝3.7．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________. 解析：C ＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，即6sin 60°＝AC sin 45°，解得AC ＝2. 答案：28．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又∵a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，∴c ＝4. 答案：49．(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B， 得sin B ＝b a ·sin A ＝27×32＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去)． 答案：2173 10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.解析：因为sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，所以2sin B ＝sin A ＋sin C ．由正弦定理得a ＋c ＝2b ，又因为a ＝2c ，可得b ＝32c ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－14.答案：－1411．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B . (1)求证：a ＝2b cos B ； (2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．解：(1)证明：因为A ＝2B ，所以由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin 2B ＝bsin B ，所以a ＝2b cos B .(2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 因为b ＝2，c ＝4，A ＝2B ，所以16c os 2B ＝4＋16－16cos 2B ，所以c os 2B ＝34，因为A ＋B ＝2B ＋B <π，所以B <π3，所以cos B ＝32，所以B ＝π6.12．(2019·绵阳模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，结合正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 又由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以bc ＝－2bc cos A ，即cos A ＝－12.由于A 为△ABC 的内角，所以A ＝2π3. (2)由已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，结合正弦定理，得2sin 2A ＝(2sin B ＋sin C )sin B ＋(2sin C ＋sin B )sin C ， 即sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝sin 22π3＝34.又由sin B ＋sin C ＝1，得sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C ＝1，所以sin B sin C ＝14，结合sin B ＋sin C ＝1，解得sin B ＝sin C ＝12.因为B ＋C ＝π－A ＝π3，所以B ＝C ＝π6，所以△ABC 是等腰三角形．B 级——创高分自选1．(2019·郑州质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c os 2A ＋B2－cos 2C ＝1,4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( )A.13B.7C.37D ．6解析：选A 由2c os 2A ＋B2－cos 2C ＝1，得1＋c os(A ＋B )－(2c os 2C －1)＝2－2c os 2C －cos C ＝1，即2c os 2C ＋cos C －1＝0，解得cos C ＝12或cos C ＝－1(舍去)．由4sin B ＝3sin A及正弦定理，得4b ＝3a ，结合a －b ＝1，得a ＝4，b ＝3.由余弦定理，知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋32－2×4×3×12＝13，所以c ＝13.2．(2019·长春模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n Cc ，若sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________.解析：∵2sin A a ＝t a n C c ＝sin Cc cos C，且由正弦定理可得a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C (R 为△ABC的外接圆的半径)，∴cos C ＝12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.∵sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，sin C＝sin(A ＋B )，∴2sin A cos B ＝4sin B cos B ．当cos B ＝0时，B ＝π2，则A ＝π6，∵c ＝3，∴a ＝1，b ＝2，则a ＋b ＝3.当cos B ≠0时，sin A ＝2sin B ，即a ＝2b .∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴b 2＝1，即b ＝1，∴a ＝2，则a ＋b ＝3.综上，a ＋b ＝3. 答案：33．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b . (1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .解：(1)2a cos C －c ＝2b ⇒2sin A cos C －sin C ＝2sin B ⇒2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ，∴－sin C ＝2cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3. (2)在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BDsin A，∴sin ∠ADB ＝AB sin A BD ＝22. 又∠ADB ∈(0，π)，A ＝2π3，∴∠ADB ＝π4，∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6，b ＝c ＝2，由余弦定理，得a 2＝c 2＋b 2－2c ·b ·cos A ＝(2)2＋(2)2－2×2×2c os 2π3＝6，∴a ＝ 6.第二课时 正弦定理和余弦定理(二)考点一 有关三角形面积的计算[典例] (1)(2019·广州调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos B ＝34，则△ABC 的面积等于( )A ．37 B.372C ．9D.92(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，则B ＝________.[解析] (1)法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，代入数据，得a ＝3，又cos B ＝34，B ∈(0，π)，所以sin B ＝74，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝372. 法二：由cos B ＝34，B ∈(0，π)，得sin B ＝74，由正弦定理b sin B ＝c sin C 及b ＝7，c＝4，可得sin C ＝1，所以C ＝π2，所以sin A ＝cos B ＝34，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝372.(2)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B . 又∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)，∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ， ∴t a n B ＝3，∵B ∈()0，π，∴B ＝π3.[答案] (1)B (2)π3[变透练清]1.(变条件)本例(1)的条件变为：若c ＝4，sin C ＝2sin A ，sin B ＝154，则S △ABC ＝________. 解析：因为sin C ＝2sin A ，所以c ＝2a ，所以a ＝2，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×4×154＝15.答案：152.(变结论)本例(2)的条件不变，则C 为钝角时，ca 的取值范围是________． 解析：∵B ＝π3且C 为钝角，∴C ＝2π3－A >π2，∴0<A <π6.由正弦定理得c a ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1t a n A.∵0<t a n A <33，∴1t a n A>3， ∴c a >12＋32×3＝2，即c a >2.答案：(2，＋∞)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(2b －a )cos C ＝c cos A . (1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求△ABC 的周长． 解：(1)由已知及正弦定理得(2sin B －sin A )cos C ＝sin C cos A ， 即2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∵B ∈(0，π)，∴sin B >0，∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由(1)知，C ＝π3，故S ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝433，解得ab ＝163. 由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 又c ＝3，∴(a ＋b )2＝c 2＋3ab ＝32＋3×163＝25，得a ＋b ＝5. ∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋3＝8.[解题技法]1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 考点二 平面图形中的计算问题[典例] (2018·广东佛山质检)如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1. (1)若AC ＝5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD .[解] (1)在△ABC 中，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·c os ∠ABC ， 即5＝1＋BC 2＋2BC ，解得BC ＝2，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×2×22＝12.(2)设∠CAD ＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD ，即AC sin π6＝4sin θ， ① 在△ABC 中，∠BAC ＝π2－θ，∠BCA ＝π－3π4－⎝⎛⎭⎫π2－θ＝θ－π4， 由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠BCA ，即AC sin 3π4＝1sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4，② ①②两式相除，得sin 3π4sin π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4sin θ，即4⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2sin θ，整理得sin θ＝2cos θ. 又因为sin 2θ＋c os 2θ＝1，所以sin θ＝255，即sin ∠CAD ＝255.[解题技法]与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．[提醒] 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．[题组训练]1.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．解析：设AB ＝a ，∵AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ， ∴AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝4a3.在△ABD 中，c os ∠ADB ＝a 2＋4a 23－a22a ×2a 3＝33，∴sin ∠ADB ＝63，∴sin ∠BDC ＝63. 在△BDC 中，BD sin C ＝BCsin ∠BDC ，∴sin C ＝BD ·sin ∠BDC BC ＝66. 答案：662.如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列． (1)求sin ∠CED ； (2)求BE 的长． 解：设∠CED ＝α.因为∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列， 所以2∠BEC ＝∠CBE ＋∠BCE ，又∠CBE ＋∠BEC ＋∠BCE ＝π，所以∠BEC ＝π3.(1)在△CDE 中，由余弦定理得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·c os ∠EDC ， 即7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0， 解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)． 在△CDE 中，由正弦定理得EC sin ∠EDC ＝CDsin α，于是sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217.(2)由题设知0<α<π3，由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277，又∠AEB ＝π－∠BEC －α＝2π3－α， 所以c os ∠AEB ＝c os ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝c os 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12×277＋32×217＝714. 在Rt △EAB 中，c os ∠AEB ＝EA BE ＝2BE ＝714，所以BE ＝47.考点三 三角形中的最值、范围问题[典例] (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，A ≠π2，sin C ＋sin(B－A )＝2sin 2A ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎝⎛⎦⎤0，π4 C.⎣⎡⎦⎤π6，π4D.⎣⎡⎦⎤π6，π3(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12D ．－12[解析] (1)在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin 2A ，即2sin B cos A ＝22sin A cos A ，因为A ≠π2，所以cos A ≠0，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理得，b ＝2a ，所以A 为锐角．又因为sin B ＝2sin A ∈(0,1]，所以sin A ∈⎝⎛⎦⎤0，22，所以A ∈⎝⎛⎦⎤0，π4. (2)因为cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，所以1－2sin 2A ＋1－2sin 2B ＝2－4sin 2C ，得a 2＋b 2＝2c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12，当且仅当a ＝b 时等号成立，故选C.[答案] (1)B (2)C[解题技法]1．三角形中的最值、范围问题的解题策略解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解， 已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0<A <π，b －c <a <b ＋c ，三角形中大边对大角等．[题组训练]1．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝ b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( )A. 2B.98C ．1D.78解析：选B ∵a cos A ＝b sin A ，由正弦定理可得，sin A cos A ＝sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴cos A ＝sin B ，又B 为钝角，∴B ＝A ＋π2，sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋cos 2A＝sin A ＋1－2sin 2A ＝－2⎝⎛⎭⎫sin A －142＋98，∴sin A ＋sin C 的最大值为98. 2．(2018·哈尔滨三中二模)在△ABC 中，已知c ＝2，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋b 的取值范围为________．解析：∵sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，∴a 2＋b 2－ab ＝c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ＝2sin π3＝433，∴a ＝433sin A ，b ＝433sin B ．又∵B ＝2π3－A ，∴a ＋b ＝433sin A ＋433sin B ＝433sin A ＋433sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝4sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6.又∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1，∴a ＋b ∈(2,4]． 答案：(2,4]3．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos B b ＋cos C c ＝sin A3sin C. (1)求b 的值；(2)若cos B ＋3sin B ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意及正、余弦定理得a 2＋c 2－b 22abc ＋a 2＋b 2－c 22abc ＝3a 3c ，整理得2a 22abc ＝3a 3c ，所以b ＝ 3.(2)由题意得cos B ＋3sin B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1， 因为B ∈(0，π)，所以B ＋π6＝π2，所以B ＝π3.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 所以3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ， 即ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝3时等号成立． 所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤334，当且仅当a ＝c ＝3时等号成立．故△ABC 面积的最大值为334.考点四 解三角形与三角函数的综合应用考法(一) 正、余弦定理与三角恒等变换[典例] (2018·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 b sin A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． [解] (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得b sin A ＝a sin B .又因为b sin A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6， 所以a sin B ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6， 即sin B ＝32cos B ＋12sin B ， 所以t a n B ＝ 3.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得sin A ＝37. 因为a ＜c ，所以cos A ＝27. 所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2c os 2A －1＝17. 所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314. 考法(二) 正、余弦定理与三角函数的性质[典例] (2018·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝c os 2x ＋3sin(π－x )c os(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积．[解] (1)f (x )＝c os 2x －3sin x cos x －12＝1＋cos 2x 2－32sin 2x －12＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，又∵x ∈[0，π]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π. (2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴f (A )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝－1， ∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，∴－π6<2A －π6<5π6，∴2A －π6＝π2，即A ＝π3.又∵b sin C ＝a sin A ，∴bc ＝a 2＝4， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.[解题技法]解三角形与三角函数综合问题的一般步骤[对点训练]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )cos B －b cos C ＝0. (1)求角B 的大小；(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －32cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值．解：(1)因为(2a －c )cos B －b cos C ＝0， 所以2a cos B －c cos B －b cos C ＝0， 由正弦定理得2sin A cos B －sin C cos B －cos C sin B ＝0， 即2sin A cos B －sin(C ＋B )＝0，又因为C ＋B ＝π－A ，所以sin(C ＋B )＝sin A . 所以sin A (2cos B －1)＝0.在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝12，又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为B ＝π3，所以f (x )＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π＋5π12(k ∈Z)，即当x ＝k π＋5π12(k ∈Z)时，f (x )取得最大值1. [课时跟踪检测]A 级——保大分专练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则 △ABC 的面积为( )A.12 B.14C ．1D ．2解析：选A 由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)，由bc＝2，可得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，则角B 的大小为( )A.π6 B.π3C.2π3D.5π6解析：选C 由已知条件和正弦定理，得(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0.化简，得2sin A cos B ＋sin A ＝0.因为角A 为三角形的内角，所以sin A ≠0，所以cos B ＝－12，所以B＝2π3. 3．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC ＝22，则b 的值为( )A ．6B ．3C ．2D ．2或3解析：选D 因为S △ABC ＝12bc sin A ＝22，所以bc ＝6，又因为sin A ＝223，A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos A ＝13，因为a ＝3，所以由余弦定理得9＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4，b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3. 4．(2018·昆明检测)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，t a n ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选A 法一：因为t a n ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝310，c os ∠BAC ＝－110.由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·ABc os ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝⎛⎭⎫－110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×310＝32，所以BC 边上的高h＝2S △ABCBC ＝2×323＝1.法二：在△ABC 中，因为t a n ∠BAC ＝－3<0，所以∠BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于2，结合选项可知选A.5．(2018·重庆九校联考)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝3b cos A ，当b ＋c ＝4时，△ABC 面积的最大值为( )A.33B.32C. 3D ．2 3解析：选C 由a sin B ＝3b cos A ，得sin A sin B ＝3sin B cos A ，∴t a n A ＝3，∵0<A <π，∴A ＝π3，故S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝3(当且仅当b ＝c ＝2时取等号)，故选C.6．(2019·安徽名校联盟联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．2＋ 2C ．3D ．3＋ 2解析：选A 由b ＋2c cos A ＝0，得b ＋2c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝0，整理得2b 2＝a 2－c 2.由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋3c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当a ＝3c 时等号成立，此时角B取得最大值，将a ＝3c 代入2b 2＝a 2－c 2可得b ＝c .又因为bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝3，故△ABC 的周长为2＋ 3.7．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 解析：由余弦定理知72＝52＋BC 2－2×5×BC ×cos 120°， 即49＝25＋BC 2＋5BC ，解得BC ＝3(负值舍去)． 故S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×5×3×32＝1534.答案：15348．(2019·长春质量检测)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 12b cos A ＝sin B ，且a ＝23，b ＋c ＝6，则△ABC 的面积为________． 解析：由题意可知cos A 2＝sin B b ＝sin Aa ，因为a ＝23，所以t a n A ＝3，因为0<A <π，所以A ＝π3，由余弦定理得12＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，又因为b ＋c ＝6，所以bc ＝8，从而△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×8×sin π3＝2 3.答案：2 39．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠BAC ＝π2，点D 在边BC 上，AD ＝1，且BD ＝2DC ，∠BAD ＝2∠DAC ，则sin Bsin C＝________.解析：由∠BAC ＝π2及∠BAD ＝2∠DAC ，可得∠BAD ＝π3，∠DAC ＝π6.由BD ＝2DC ，令DC ＝x ，则BD ＝2x .因为AD ＝1，在△ADC 中，由正弦定理得1sin C ＝x sin π6，所以sin C ＝12x ，在△ABD 中，sin B ＝sinπ32x ＝34x ，所以sin B sin C ＝34x 12x＝32. 答案：3210．(2018·河南新乡二模)如图所示，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE ＝22，则cos A ＝________.解析：∵AD ＝DB ，∴∠A ＝∠ABD ，∠BDC ＝2∠A .设AD ＝DB ＝x ， ∴在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝DB sin C，可得4sin 2A ＝x sinπ3. ①在△AED 中，DE sin A ＝AD sin ∠AED ，可得22sin A ＝x1. ②联立①②可得42sin A cos A ＝22sin A 32，解得cos A ＝64.答案：6411．(2019·南宁摸底联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 c (1＋cos B )＝b (2－cos C )．(1)求证：2b ＝a ＋c ；(2)若B ＝π3，△ABC 的面积为43，求b .解：(1)证明：∵c (1＋cos B )＝b (2－cos C )，∴由正弦定理可得sin C ＋sin C cos B ＝2sin B －sin B cos C ， 即sin C cos B ＋sin B cos C ＋sin C ＝sin(B ＋C )＋sin C ＝2sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴a ＋c ＝2b .(2)∵B ＝π3，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ＝43，∴ac ＝16.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac . ∵a ＋c ＝2b ，∴b 2＝4b 2－3×16，解得b ＝4. 12．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求c os ⎝⎛⎭⎫A －π6的值． 解：(1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝35.由正弦定理得AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，因为A ＋B ＋C＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，又因为cos B ＝45，sin B ＝35，所以cos A ＝－c os(B ＋C )＝－c os ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝－cos Bc os π4＋sin B sin π4＝－45×22＋35×22＝－210. 因为0<A <π，所以sin A ＝1－c os 2A ＝7210.因此，c os ⎝⎛⎭⎫A －π6＝cos Ac os π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620. B 级——创高分自选1．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，则2ba 的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(2，6)C ．(2，3)D ．(6，4)解析：选B ∵B ＝2A ，∴sin B ＝sin 2A ＝2sin A cos A ，∴ba ＝2cos A ．又C ＝π－3A ，C 为锐角，∴0<π－3A <π2⇒π6<A <π3，又B ＝2A ，B 为锐角，∴0<2A <π2⇒0<A <π4，∴π6<A <π4，22<cos A <32，∴2<b a <3，∴2<2b a < 6.2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋bc os 2A ＝2a ，则角A 的取值范围是________．解析：由已知及正弦定理得sin 2A sin B ＋sin Bc os 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋c os 2A )＝2sin A ，∴sin B ＝2sin A ，∴b ＝2a ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4a 2＋c 2－a 24ac ＝3a 2＋c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当c ＝3a 时取等号．∵A 为三角形的内角，且y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，∴0<A ≤π6，则角A 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π6. 答案：⎝⎛⎦⎤0，π63．(2018·昆明质检)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BD ＝5，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2.(1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积．解：(1)由已知S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝12×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD＝255，又∠BCD ＝2∠ABD ，所以∠ABD ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以c os ∠ABD ＝55. 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·c os ∠ABD ，可得AD 2＝5，所以AD ＝ 5.(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2，所以sin ∠CBD ＝c os ∠ABD ＝55. 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·c os ∠ABD ＝45，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝⎛⎭⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ， 所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD .在△CBD 中，由正弦定理BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，得CD ＝BD ·sin ∠CBDsin ∠BCD＝5×5545＝54， 所以S △CBD ＝12CB ·CD ·sin ∠BCD ＝12×54×54×45＝58.。