2016_2017学年高中数学第三章推理与证明3.3.1综合法学案北师大版选修1_220

学习资料§3 综合法与分析法授课提示：对应学生用书第22页[自主梳理]一、综合法的定义从命题的________出发,利用________、________、________及________，通过________一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．二、综合法证明的思维过程用P 表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为:错误!→错误!→错误!→…→错误!三、分析法的定义从________出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的________，直到归结为这个命题的______，或者归结为________、________、________等，这种思维方法称为分析法．四、分析法证明的思维过程用Q 表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为： Q ⇐P 1→错误!→错误!→…→错误![双基自测］1．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f （a )＝b ，则f (－a ）等于( ) A ．b B ．－b C.错误! D ．－错误!2．已知a 、b 是不相等的正数，x ＝错误!，y ＝错误!，则x 、y 的关系是( ）A ．x 〉yB ．x 〈yC ．x >2yD ．不确定3．验证错误!－错误!<错误!－错误!,只需要证（ )A ．(错误!－错误!)2〈（错误!－错误!)2B ．（错误!－错误!）2<（错误!－错误!）2C ．(2＋错误!)2〈（错误!＋错误!)2D ．（错误!－错误!－错误!)2<(－错误!)24．在△ABC 中，tan A tan B 〉1,则△ABC 是( ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定5．若a 错误!＋b 错误!〉a 错误!＋b 错误!,则实数a ，b 应满足的条件是________．[自主梳理］一、条件 定义 公理 定理 运算法则 演绎推理 三、求证的结论 充分条件 条件 定义 公理 定理［双基自测］1．B f (－a )＝lg 1＋a 1－a＝lg （错误!)－1＝－lg 错误!＝－f （a ）＝－b . 2．B ∵x >0，y 〉0，∴要比较x 、y 的大小,只需比较x 2、y 2的大小，即比较错误!与a ＋b 的大小．∵a 、b 为不相等的正数，∴2ab 〈a ＋b 。

3.1归纳与类比归纳推理教材依据“归纳推理”是北京师范大学出版社出版地普通中学课程标准实验教科书数学（选修1—2）第三章第一节地内容•教学目标：1. 知识与技能目标：理解归纳推理地原理，并能运用解决一些简单地问题2. 过程与方法目标：通过自主、合作与探究实现“一切以学生为中心”地理念3. 情感、态度与价值观：感受数学地人文价值，提高学生地学习兴趣，使其体会到数学学习地美感.教学重点：归纳推理地原理教学难点：归纳推理地具体应用.教法学法：自主、合作探究教学教学准备：多媒体电脑、课件、空间多面体模型等教学过程：1. 创设情景：1 •情景㈠：苹果落地地故事，正是基于这个发现，牛顿大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大地“万有引力定理”思考：整个过程对你有什么启发？教师：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”.2 •情景㈡：陈景润和他在“歌德巴赫猜想”证明中地伟大成就：任何一个大于4地偶数都可以写成两个奇素数之和.如：6= 3+3, 8= 3+5, 10= 5+5, 12 = 5+7, 14= 7+7, 16 = 5+11,…，1000 = 29+ 971, 1002 = 139+ 863,……2. 探求研究：探究1.学生根据自备地多面体进行观察，统计多面体地面数、顶点数和棱数；（学生实验与教师课件演示结合）探究2•观察、猜想它们之间是否有稳定地数量关系？探究3•整理所得结论，并尝试证明；若得证，则改写成定理，否则修改猜想，进一步尝3E 棱柱=E 棱台3E 棱锥,F 棱柱=F 棱台=F 棱锥+ 1 , F+V-E=2等等，其中“ F+V-E=2'为“欧拉2公式”.3. 概念讲解结合情景问题和探究过程所得，教师引导学生完成归纳推理地概念及分析 定义：根据一类事物地部分事物具有某种属性 ，推断该类事物地每一个都具有这种属性 地推理，或者由个别事实概括出一般结论地推理，称为归纳推理（简称归纳）.说明：⑴归纳推理地作用：发现新事实，获得新结论；（2）归纳推理地一般步骤：试验、观察T 概括、推广T 猜测一般性结论T 证明；⑶归纳推理地结论不一定成立4. 例题解析至 n N * ,猜想这个数列地通项公式?In22 2 2,a 4 ,a 545 6时,往往统一分子（或分母）,再寻找另一部分地变化规律 •例2、（拓展）问：如果面积是一定地，什么样地平面图形周长最小？试猜测结论 教师：设定任务一：常见多边形面积一定时，计算其周长;任务二：归纳、猜想一般性结论 .试证明•@令0 O教师指导，合作交流，归纳：V棱柱V棱台=2V棱锥—2 ,例1: 在数列 a n 中， a 1 1,a n1解析: 先由学生计算：a 22 2®归纳：2 ( a n (n n 1*N )说明（学生完成）：⑴有整数和分数时,往往将整数化为分数；⑵当分子分母都在变化面积 一疋 时，---- > 圆地周长导电”，你能最小6.课时小结（师生共同） 1什么是归纳推理？ 2归纳推理地一般步骤：试验、观察T 概括、推广T 猜测一般性结论T 证明 布置作业: （补充）：已知a n 的前n 项和S n 与a n 满足：& 1 试归纳出其通项公式亦拓展延伸:1. 工匠鲁班类比带齿地草叶和蝗虫地牙齿，发明了锯；2. 科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似地特征：⑴火星也绕太阳运行，绕轴自转地行星；⑵有大气层,在一年中也有季节变更;⑶火星上大部分时间地温度适合地球上某些已知生物地生存等等；边形 3 46 8最小 周长4. 56 4 3. 72 3. 642 •观察下列式子，归纳结论:13 12 , 13 23 9 (1 2)2 ,13 233313 23 33 43 100 (12 34)2问:13 23 33 L n 33.右图中5个图形及相应点地个数地变化规律，试猜测第n 个图形中有 占； 八(1) (2) (3)4.已知数列 a n 中，a 1 1,且aa n（n N ），试归纳这个数列地通项公式 a n答案：1.金属导电;2 . 1323 33n 3 (1 2 3n)2 ；3. n 2 n 1； 4 • a n 1 (n nN ).纳出什么结论?科学家猜想；火星上也可能有生命存在•说明：以上两练习使用地是类比推理•目地是知识上承上启下，把本节知识延伸，既拓宽了学生视野，也为下一节“类比推理”地教学作了铺垫教后反思：⑴要实现数学新知识地建构学习，教师要创设适当地情境，情境应符合实际•包括生活场景地实际，数学教学内容地实际，学生知识状况地实际，学生思维发展地实际等等•⑵学生通过“经历”，“体会”，“感受”，最后形成概念地过程学习，充分体现了以学生为本地现代教育观；同时练习和作业地分层设计尽量满足多样化地学习需求做到因材施教，促进全体地参与.附：板书设计。

三角度帮你解决演绎推理角度一、知识梳理演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．１．演绎推理是由一般到特殊的推理；２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．三段论的基本格式M —P （M 是P ） （大前提）S —M （S 是M ） （小前提）S —P （S 是P ） （结论）3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M 的所有元素都具有性质P,S 是M 的一个子集,那么S 中所有元素也都具有性质P.角度二、在实践中体会与解决问题例1.把“函数21y x x =++的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论.解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提）函数12++=x x y 是二次函数 （小前提）所以函数12++=x x y 的图象是一条抛物线 （结论）例2.已知lg2=m,计算lg0.8.解：（1）lgan=nlga(a>0)---------大前提lg8=lg23————小前提lg8=3lg2————结论lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)——大前提lg0.8=lg(8/10) ——小前提lg0.8=lg(8/10)——结论例3.如图;在锐角三角形ABC 中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E 是垂足,求证AB 的中点M 到D,E 的距离相等.解： (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形, ——大前提在△ABC 中,AD⊥BC,即∠ADB=90° —-小前提所以△ABD 是直角三角形 ——结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提因为 DM 是直角三角形斜边上的中线, ——小前提 所以 DM=21AB ——结论 同理 EM=21AB 所以 DM=EM. 由此可见，应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提．但为了叙 述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略．再来看一个例子．例4.证明函数2()2f x x x =-+在(,1)-∞内是增函数．分析：证明本例所依据的大前提是：在某个区间（a, b ）内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增．小前提是:2()2f x x x =-+的导数在区间(,1)-∞内满足'()0f x >，这是证明本例的关键．证明：'()22f x x =-+.当(,1)x ∈-∞时，有10x ->，所以'()222(1)0f x x x =-+=->.于是根据“三段论”得2()2f x x x =-+在(,1)-∞内是增函数．在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的．还有其他的证明方法吗？思考:因为指数函数x y a =是增函数，——大前提 而1()2xy =是指数函数， ——小前提所以1()2xy =是增函数． ——结论(1)上面的推理形式正确吗？(2)推理的结论正确吗？为什么？上述推理的形式正确，但大前提是错误的（因为当01a <<时，指数函数x y a =是减函数），所以所得的结论是错误的．“三段论”是由古希腊的亚里士多德创立的．亚里士多德还提出了用演绎推理来建立各门学科体系的思想．例如，欧几里得的《原本》．就是一个典型的演绎系统，它从10条公理和公设出发，利用演绎推理，推出所有其他命题．像这种尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题（公理、公设），以此为出发点，应用演绎推理，推出尽可能多的结论的方法，称为公理化方法．继《原本》之后，公理化方法广泛应用于自然科学、社会科学领域．例如，牛顿在他的巨著《自然哲学的数学原理》中，以牛顿三定律为公理，运用演绎推理推出关于天体空间的一系列科学理论，建立了牛顿力学的一整套完整的理论体系．至此，我们学习了两种推理方式一一合情推理与演绎推理．角度三．答疑解惑：1．合情推理与演绎推理的主要区别是什么？归纳和类比是常用的合情推理从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理,类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．人们在认识世界的过程中，需要通过观察、将积累的知识加工、整理，使之条理化、实验等获取经验；也需要辨别它们的真系统化．合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色.就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．2．演绎推理常见错误产生的主要原因是：(1)．大前提不成立；(2)．小前提不符合大前提的条件。

2016-2017学年高中数学第三章推理与证明 3 综合法与分析法3.2 分析法课后演练提升北师大版选修1-2一、选择题1．要证明3＋7＜25可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )A．综合法B．分析法C．类比法D．归纳法解析：要证明3＋7＜25，只需证3＋7＜5＋ 5.两边平方有10＋221＜10＋10.即只要证221＜10.再两边平方有84＜100成立．故3＋7＜25成立．由证明过程可知分析法最合理．答案： B2．如果a、b都是非零实数，则下列不等式不恒成立的是( )A．|a＋b|－|b|≤|a| B．2ab≤|a＋b|(ab＞0)C．|a－b|≥|b|－|a| D．|a＋b|≥a－b解析：A中，|a|＝|(a＋b)－b|≥|a＋b|－|b|成立；B中，要使2ab≤|a＋b|成立，只需4ab≤a2＋2ab＋b2，即(a－b)2≥0成立，∴B中不等式恒成立；C中，|a－b|≥|b|－|a|成立；但D中不一定恒成立，当a≤b时显然成立，当a＞b时，要使|a＋b|≥a－b成立，只需使(a＋b)2≥(a－b)2即4ab≥0成立，但a＞b不一定有ab≥0成立，所以D中不等式不恒成立．答案： D3．设正数a、b、c、d满足a＋d＝b＋c，且|a－d|＜|b－c|，则( )A．ad＝bc B．ad＜bcC．ad＞bc D．ad≤bc解析：|a－d|＜|b－c|，∴|a－d|2＜|b－c|2，即a2＋d2－2ad＜b2＋c2－2bc.∵a＋d＝b＋c，∴(a＋d)2＝(b＋c)2∴a 2＋d 2＋2ad ＝b 2＋c 2＋2bc . ∴－4ad ＜－4bc .∴ad ＞bc . 答案： C4．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋ba≤－2成立的一个充分不必要条件是( ) A ．ab ＞0 B ．ab ＜0 C ．a ＞0，b ＜0D ．a ＞0，b ＞0解析： ∵a b 与b a 同号，由a b ＋b a ≤－2，知a b ＜0，b a ＜0，即ab ＜0.又若ab ＜0，则a b ＜0，b a＜0.∴a b ＋b a＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－2， 综上，ab ＜0是a b ＋b a≤－2的充要条件，∴a ＞0，b ＜0是a b ＋b a≤－2的一个充分而不必要条件． 答案： C 二、填空题5．如右图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足____________________时，BD ⊥A 1C .(写出一个条件即可)．解析： 欲使BD ⊥A 1C ， 只需BD ⊥面A 1ACC 1，∴可填条件：BD ⊥AC 或ABCD 为菱形(正方形)等． 答案： BD ⊥AC (不唯一)6．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是__________________． 解析： a a ＋b b ＞a b ＋b a ⇔a a －a b ＞b a －b b ⇔a (a －b )＞b (a －b ) ⇔(a －b )(a －b )＞0 ⇔(a ＋b )(a －b )2＞0，只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可． 答案： a ≥0，b ≥0且a ≠b 三、解答题7．已知a>6，求证：a－3－a－4<a－5－a－6.证明：证法一：要证a－3－a－4<a－5－a－6，只需证a－3＋a－6<a－5＋a－4⇐(a－3＋a－6)2<(a－5＋a－4)2，⇐2a－9＋2a－3a－6<2a－9＋2a－5a－4⇐a－3a－6<a－5a－4，⇐(a－3)(a－6)<(a－5)(a－4)，⇐18<20因为18<20显然成立，所以原不等式a－3－a－4<a－5－a－6成立．证法二：要证a－3－a－4<a－5－a－6，只需证1a－3＋a－4<1a－5＋a－6，只需证a－3＋a－4>a－5＋a－6.∵a>6，∴a－3>0，a－4>0，a－5>0，a－6>0. 又∵a－3>a－5，∴a－3>a－5.同样有a－4>a－6，则a－3＋a－4>a－5＋a－6.∴a－3－a－4<a－5－a－6.8．已知a，b是正实数，求证：ab＋ba≥a＋b.证明：证法一(比较法)：∵ab＋ba－a－b＝b－aa＋a－bb＝a－b a－bab＝a－b2a＋bab≥0，∴ab＋ba≥a＋b.证法二(分析法)：要证ab＋ba≥a＋b，只要证：a a＋b b≥ab(a＋b)．即证(a ＋b －ab )(a ＋b )≥ab (a ＋b )． 即证a ＋b －ab ≥ab . 也就是要证a ＋b ≥2ab . 显然a ＋b ≥2ab 成立， 故a b ＋ba≥a ＋b . 证法三(综合法，因为左边是分式型，利用基本不等式x ＋1x≥2(x >0)使左边向整式型过渡)：(法一)∵a b ＋b ＋ba＋a ≥2ab ·b ＋2ba·a ＝2a ＋2b ，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a b ＋ba≥a ＋b . (法二)∵⎝⎛⎭⎪⎫a b ＋b a (a ＋b )＝a ＋b ＋a a b ＋b b a≥a ＋b ＋2a a b ·b ba＝a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a b ＋ba≥a ＋b .9．设a 、b 、c 为三角形的三边，且S 2＝2ab ，S ＝12(a ＋b ＋c )，试证：S ＜2a .证明： 欲证S ＜2a ，∵S ＝12(a ＋b ＋c )，即只需证12(a ＋b ＋c )＜2a ，即需证b ＋c ＜3a ，再往下无法进行，故需另用其他证法．又由S 2＝2ab ，故只需证S ＜S 2b即b ＜S ，即2b ＜a ＋b ＋c故只需证b ＜a ＋c ，由三角形一边小于其他两边和，此式显然成立．原命题得证．。

3.1 综合法自主整理1.从命题的条件出发,利用____________、____________、____________及____________,通过____________,一步步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明,这种思维方法称为____________.高手笔记1.综合法的思考过程为“由因导果”的顺序，是从条件逐步推演到结论.2.对于命题“若P 则Q”的综合法证明可用框图表示为：名师解惑综合法的解释剖析:综合法是从已知条件出发,经过推理,导出所要的结论,步骤比较简洁明了,但入手点比较难找.一般地,对于命题“若A 则D”,用综合法证明时,思考过程可表示为综合法的思考过程是由因导果的顺序,是从A 推演到D 的途径,但由A 推演出的中间结论未必唯一,如B,B 1,B 2等.由B,B 1,B 2推演出的进一步的中间结论则可能更多,如C,C 1,C 2,C 3,C 4等,最终能有一个(或多个)可推演出结论D 即可.在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个论断都应当是前面一个论断的必然结果.因此所用语气必须是肯定的.讲练互动【例1】设数列{a n }的前n 项和为S n ,且(3-m)S n +2ma n =m+3(其中m 为常数,n∈N +),且m≠-3.(1)求证:{a n }为等比数列;(2)若数列{a n }的公比q=f(m),数列{b n }满足b 1=a 1,b n =23f(b n-1)(n∈N +,n≥2),求证:{n b 1}为等差数列.分析：本题要证数列为等差、等比数列,所以需按定义研究a n+1与a n 的关系,而已知为S n ,需将S n 化为a n ,它们之间的关系为⎩⎨⎧≥-=-.2,,1,11n S S n S n na n =S 1,S n -S n-1, n=1,n≥2.证明：(1)由(3-m)S n +2ma n =m+3,得(3-m)S n+1+2ma n+1=m+3,∴(3+m)a n+1=2ma n (m≠-3). ∴321+=+m m n a n . ∴{a n }为等比数列. (2)由已知q=f(m)=32+m m ,b 1=a 1=1,∴当n≥2时,b n =23f(b n-1)=23·3211+--n n b b . ∴b n b n-1+3b n =3b n-1. ∴31111=--n n b b . ∴{n b 1}是首项为1、公差为31的等差数列. 绿色通道证明数列为等差、等比数列需紧扣定义,找到a n+1与a n 之间的关系,由已知前n 项和S n ,求出a n =⎩⎨⎧≥-=-.2,,1,11n S S n S n n 由已知条件逐步变形得到,从而得证. 变式训练1.已知f(x)=214x +-,P n (a n ,11+-n a )在曲线y=f(x)上(n∈N +)且a 1=1,a n >0. (1)求{a n }的通项公式.(2)数列{b n }的前n 项和为T n ,且满足2121++=n n n n a T a T +16n 2-8n-3.设定b 1的值,使得数列{b n }是等差数列.解:(1)由已知P n 在曲线y=f(x)上, ∴11+-n a =214na +-. ∴22111n n a a -+=4. ∴{21n a }是等差数列,21n a =1+4(n-1)=4n-3.∵a n >0,∴a n =3434--n n . (2)∵21n n a T +=21+n n a T +16n 2-8n-3=21+n n a T +(4n-3)(4n+1), 即(4n-3)T n+1=(4n+1)T n +(4n-3)(4n+1),∴141++n T n =34-n T n +1. ∴{34-n T n }为等差数列,首项为3141-⨯T =b 1,34-n T n =b 1+(n-1)=n+(b 1-1). ∴T n =(4n-3)［n+(b 1-1)］=4n 2+(4b 1-7)n-3(b 1-1).要使{b n }为等差数列,需使b 1-1=0,∴b 1=1.当b 1=1时,T n =4n 2-3n,b n =8n-7.∴{b n }为等差数列.【例2】如图所示,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A 作SB 的垂线,垂足为E,过E 作SC 的垂线,垂足为F.求证:AF⊥SC.分析：本题所要证的是线线垂直,可通过线面垂直来判定,而已知条件为线线垂直、线面垂直,通常我们需要将线面垂直转化为线线垂直,再由线线垂直转化为线面垂直,从而得证. 证明：∵SA⊥面ABC,∴SA⊥BC.∵AB⊥BC,∴BC⊥面SAB. ∵AE 面SAB,∴BC⊥AE.∵AE⊥SB,∴AE⊥面SBC.∴AE⊥SC.又∵EF⊥SC,∴SC⊥面AEF.∴SC⊥AF.绿色通道从已知条件及已有定理入手,直接推证,线线垂直与线面垂直相互转化来加以证明. 变式训练2.如图所示,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是正方形,PA⊥底面ABCD.求证:PC⊥BD.证明:∵PA⊥面ABCD,PC 为平面ABCD 的斜线,PC 在面ABCD 内的射影为AC,连结BD,∵四边形ABCD 为正方形,∴AC⊥BD.∴PC⊥BD.【例3】若a 、b 、c∈R +,求证:c b a a c c b b a ++++222222≥abc. 分析：不等式的形式对称,分子出现平方和,可利用重要不等式,用综合法证明.证明：∵a 2b 2+b 2c 2≥2ab 2c,b 2c 2+c 2a 2≥2abc 2,c 2a 2+a 2b 2≥2a 2bc,∴a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2≥ab 2c+abc 2+a 2bc,即a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2≥abc(a+b+c).∵a、b 、c∈R +,∴a+b+c>0. ∴cb a ac c b b a ++++222222≥abc. 绿色通道不等式中出现平方和,而其他出现乘积结构,可从重要不等式入手用综合法证明. 变式训练3.已知a+b+c=0,求证:ab+bc+ca≤0.证明:∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,即a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac=0. ∴ab+bc+ac=2222c b a ++-≤0. 【例4】已知△ABC 中,AB=c,BC=a,AC=b.AB 边上的中线CD=m,求证:a 2+b 2=21c 2+2m 2. 分析：从已知条件这些长度中可放入到两个三角形中研究,这两个三角形有一对角是互补关系,可利用三边与这一角的关系即余弦定理解答.证明：设∠ADC=θ,则∠BDC=π-θ.∴cos∠BDC=cos(π-θ)=-cos θ=-cos∠ADC, 即DCAD AC DC AD DC BD BC DC BD ∙-+-=∙-+22222222. ∴m c b m c m c a m c ∙∙-+-=∙∙-+)2(2)2(22)2(222222. ∴22c +2m 2=a 2+b 2成立. 绿色通道有关三角形的边长问题常与正、余弦定理联系.变式训练4.在△ABC 中,三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c,且A 、B 、C 成等差数列,a 、b 、c 成等比数列,求证:△ABC 为等边三角形.证明:因为A 、B 、C 为△ABC 的内角, 所以A+B+C=π.①因为A 、B 、C 成等差数列, 所以2B=A+C.②由①②,得B=3π.③由a 、b 、c 成等比数列,有b 2=ac.④ 由余弦定理及③,可得b 2=a 2+c 2-2accosB=a 2+c 2-ac.再由④,得a 2+c 2-ac=ac,即(a-c)2=0. 因此a=c,从而有A=C.⑤由②③⑤,得A=B=C=3π,所以△ABC 为等边三角形.。

习题课综合法与分析法明目标、知重点加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题．1．对综合法的理解综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因导果的证明方法．综合法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒P n(结论)2．对分析法的认识分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述为“执果索因”，即从未知看需知，逐步靠拢已知．分析法的书写形式一般为“因为……，为了证明……，只需证明……，即……，因此，只需证明……，因为……成立，所以……，结论成立”．分析法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇐…⇐P n－2⇐P n－1⇐P n(结论)分析法属逻辑方法范畴，它的严谨性体现在分析过程步步可逆．题型一选择恰当的方法证明不等式例1 设a，b，c为任意三角形三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，试证：3S≤I2<4S. 证明I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝a2＋b2＋c2＋2S.欲证3S≤I2<4S，即证ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca.先证明ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2，只需证2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ca，即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2≥0，显然成立；再证明a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca，只需证a 2－ab －ca ＋b 2－ab －bc ＋c 2－bc －ca <0， 即a (a －b －c )＋b (b －a －c )＋c (c －b －a )<0， 只需证a <b ＋c ，且b <c ＋a ，且c <b ＋a ， 由于a 、b 、c 为三角形的三边长， 上述三式显然成立，故有3S ≤I 2<4S .反思与感悟 本题要证明的结论要先进行转化，可以使用分析法．对于连续不等式的证明，可以分段来证，使证明过程层次清晰．证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个： (1)a 2≥0(a ∈R )．(2)(a －b )2≥0(a 、b ∈R )，其变形有a 2＋b 2≥2ab ，(a ＋b 2)2≥ab ，a 2＋b 2≥(a ＋b )22.(3)若a ，b ∈(0，＋∞)，则a ＋b 2≥ab ，特别地b a ＋ab ≥2.(4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．跟踪训练1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ≥4.证明 方法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4.方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0，1a ＋1b ≥21ab>0， ∴(a ＋b )(1a ＋1b)≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ≥4.方法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋ab ＋1≥2＋2b a ·ab＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”． 题型二 选择恰当的方法证明等式例2 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，对应的三边为a ，b ，c ，求证：1a ＋b＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 证明 要证原式，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c ＝3，即证c a ＋b ＋ab ＋c ＝1，即只需证bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝1，而由题意知A ＋C ＝2B ，∴B ＝π3，∴b 2＝a 2＋c 2－ac ，∴bc ＋c 2＋a 2＋abab ＋b 2＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋abab ＋a 2＋c 2－ac ＋ac ＋bc＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2＋bc＝1， ∴原等式成立，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.反思与感悟 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思路．在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．跟踪训练2 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋c y ＝2.证明 由已知条件得 b 2＝ac ，①2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .②要证a x ＋cy ＝2，只需证ay ＋cx ＝2xy ， 只需证2ay ＋2cx ＝4xy .由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ， 4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ， 所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证． 题型三 立体几何中位置关系的证明例3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点． (1)证明：CD ⊥AE ； (2)证明：PD ⊥平面ABE .证明 (1)在四棱锥P －ABCD 中， ∵P A ⊥底面ABCD ，CD 底面ABCD ， ∴P A ⊥CD .∵AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ， ∴CD ⊥平面P AC ，而AE 平面P AC ， ∴CD ⊥AE .(2)由P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝P A ，∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC . 由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ， ∴AE ⊥平面PCD .而PD 平面PCD ， ∴AE ⊥PD .∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥AB ，又AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面P AD ， ∴AB ⊥PD ，又AB ∩AE ＝A ，综上得PD ⊥平面ABE .反思与感悟 综合法证明线面之间的垂直关系是高考考查的重点，利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间垂直关系的转化．另外，利用一些常见的结论还常常可以将线面间的垂直与平行进行转化．比如：两条平行线中一条垂直于平面α，则另外一条也垂直于平面α；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等．跟踪训练3 如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：CF ⊥平面BDE .证明 (1)如图，设AC 与BD 交于点G . 因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形． 所以AF ∥EG .因为EG 平面BDE ，AF 平面BDE ，所以AF ∥平面BDE .(2)连接FG .因为EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1，且CE ＝1， 所以四边形CEFG 为菱形． 所以CF ⊥EG .因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC .又因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，且平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ， 所以BD ⊥平面ACEF .所以CF ⊥BD .又BD ∩EG ＝G ， 所以CF ⊥平面BDE . [呈重点、现规律]1．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知． 2．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．一、基础过关1．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．a ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3答案 C解析 ∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1. ∵a 2＋b 2＝4－2ab ，∴a 2＋b 2≥2.2．已知a 、b 、c 、d ∈{正实数}，且a b <cd，则( )A.a b <a ＋c b ＋d <cd B.a ＋c b ＋d <a b <c dC.a b <c d <a ＋c b ＋d D ．以上均可能 答案 A解析 方法一 特值检验，∵a b <cd ，可取a ＝1，b ＝3，c ＝1，d ＝2，则a ＋c b ＋d ＝25，满足a b <a ＋c b ＋d <c d .∴B 、C 、D 不正确．方法二 要证a b <a ＋cb ＋d ，∵a 、b 、c 、d ∈{正实数}，∴只需证a (b ＋d )<b (a ＋c )，即证ad <bc .只需证a b <c d .而a b <cd 成立，∴a b <a ＋cb ＋d .同理可证a ＋c b ＋d <c d . 3．下面四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ；②a (1－a )≤14；③b a ＋ab ≥2；④(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 其中恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 C解析 a 2＋b 2＋c 2＝a 2＋b 22＋a 2＋c 22＋b 2＋c 22≥ab ＋ac ＋bc ；a (1－a )≤(a ＋1－a 2)2＝14；(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2；当b a <0时，b a ＋ab≥2不成立．4．若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )A.12B ．2abC ．a 2＋b 2D ．a答案 C解析 ∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ，∴2ab <12，由a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12，又∵0<a <b ，且a ＋b ＝1，∴a <12，∴a 2＋b 2最大．5．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a 、b 、c 的大小关系是________．答案 a >b >c 解析 a ＝13＋2，b ＝16＋5，c ＝17＋6.∴a >b >c .6．如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F . 求证：AF ⊥SC .证明：要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC (因为______)，只需证______，只需证AE ⊥BC (因为________)，只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA (因为______)．由SA ⊥平面ABC 可知，上式成立．答案 EF ⊥SC AE ⊥平面SBC AE ⊥SB AB ⊥BC解析 要证线线垂直，可先证线面垂直，要证线面垂直，还需线线垂直，通过证明BC ⊥平面SAB ，可得AE ⊥BC ，进而AE ⊥平面SBC ，SC ⊥平面AEF ，问题得证．7．如果a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a b ＋ba >a ＋b .证明 方法一 用综合法a b ＋ba －a －b ＝a a ＋b b －a b －b a ab ＝(a －b )(a －b )ab ＝(a －b )2(a ＋b )ab >0，∴a b ＋ba >a ＋b .方法二 用分析法 要证a b ＋ba >a ＋b ，只要证a 2b ＋b 2a ＋2ab >a ＋b ＋2ab ，即要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2，只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )， 即需证a 2－ab ＋b 2>ab ， 只需证(a －b )2>0，因为a ≠b ，所以(a －b )2>0恒成立，所以a b ＋ba>a ＋b 成立．二、能力提升8.命题甲：(14)x 、2－x 、2x －4成等比数列；命题乙：lg x 、lg(x ＋2)、lg(2x ＋1)成等差数列，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由(14)x 、2－x 、2x －4成等比数列可得：(2－x )2＝(14)x ·2x －4，解得x ＝4；由lg x 、lg(x ＋2)、lg(2x ＋1)成等差数列得：2lg(x ＋2)＝lg x ＋lg(2x ＋1)，可解得x ＝4(x ＝－1舍去)，所以甲是乙的充要条件.9．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg(a ＋b 2)，则( )A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD ．P <R <Q 答案 B解析 a >b >1⇒lg a >0，lg b >0，Q ＝12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ＝P ，R >lg ab ＝12(lg a ＋lg b )＝Q ⇒R >Q >P .10．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，你认为正确的命题是________． 答案 ①③⇒②解析 ∵αβ>0，|α|>22，|β|>2 2.∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ>8＋8＋2×8＝32>25. ∴|α＋β|>5.11．已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只要证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.因为a >0，故只要证 ⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 从而只要证2a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2， 即a 2＋1a2≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立．12．已知a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)·(1c －1)≥8.证明 方法一 (分析法)要证(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8成立，只需证1－a a ·1－b b ·1－c c ≥8成立．因为a ＋b ＋c ＝1，所以只需证(a ＋b ＋c )－a a ·(a ＋b ＋c )－b b ·(a ＋b ＋c )－cc ≥8成立，即证b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋bc≥8成立．而b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8成立．所以(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8成立．方法二 (综合法) (1a －1)(1b －1)(1c－1) ＝(a ＋b ＋c a －1)(a ＋b ＋c b －1)(a ＋b ＋c c －1)＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， 所以原不等式成立． 三、探究与拓展13.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N ＋.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.(1)解 2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)解 当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 22－a 11＝1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列，所以a nn＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N ＋.(3)证明 1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝1＋14＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋12×3＋13×4＋…＋1n (n －1)＝1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝54＋12－1n ＝74－1n <74， 所以对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.。