2014高考文科数学分类汇编不等式

2014-2019年高考数学真题分类汇编 专题8：不等式（基本不等式）1．（2014•重庆文）若42log (34)log a b +=a b +的最小值是( )A ．6+B ．7+C ．6+D ．7+【考点】对数的运算性质；基本不等式及其应用 【分析】利用对数的运算法则可得304ab a =>-，4a >，再利用基本不等式即可得出 【解答】解：340a b +>，0ab >， 0a ∴>．0b >42log (34)log a b += 44log (34)log ()a b ab ∴+=34a b ab ∴+=，4a ≠，0a >．0b >∴304ab a =>-， 4a ∴>，则33(4)1212123(4)74)7744444a a ab a a a a a a a a a -++=+=+=++=-+++=-----…，当且仅当4a =+ 故选：D ．【点评】本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题． 2．（2015•福建文）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【考点】基本不等式及其应用 【分析】将(1,1)代入直线得：111a b +=，从而11()()a b a b a b+=++，利用基本不等式求出即可． 【解答】解：直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)， ∴111(0,0)a b a b+=>>， 所以11()()224b a a b a b a b a b a b+=++=+++=…，当且仅当b aa b=即2a b ==时取等号， a b ∴+最小值是4，故选：C ．【点评】本题考察了基本不等式的性质，求出111a b +=，得到11()()a b a b a b+=++是解题的关键． 3．（2015•湖南文）若实数a ，b满足12a b+=ab 的最小值为( ) AB ．2C．D ．4【考点】基本不等式及其应用【分析】由12a b+，可判断0a >，0b >，然后利用基础不等式12a b +…ab 的最小值 【解答】解：12a b+0a ∴>，0b >，12a b +…2b a =时取等号），∴，解可得，ab …ab的最小值为 故选：C ．【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题填空题1．（2014•湖北文）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820vF v v l=++．（Ⅰ）如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为 1900 辆/小时；（Ⅱ）如果限定车型，5l =，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加 辆/小时． 【考点】基本不等式及其应用【分析】（Ⅰ）把l 带入，分子分母同时除以v ，利用基本不等式求得F 的最大值．（Ⅱ）把l 带入，分子分母同时除以v ，利用基本不等式求得F 的最大值最后于（Ⅰ）中最大值作差即可． 【解答】解：（Ⅰ）27600076000121182018v F v v l v v==++++，12122v v+…，当11v =时取最小值，76000190012118F v v∴=++…，故最大车流量为：1900辆/小时； （Ⅱ）2276000760007600010018201810018v v F v v l v v v v===++++++，10020v v+=…， 2000F ∴…，20001900100-=（辆/小时）故最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加100辆/小时． 故答案为：1900，100【点评】本题主要考查了基本不等式的性质．基本不等式应用时，注意“一正，二定，三相等”必须满足． 2．（2014•湖北理）设()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，且()0f x >，对任意0a >，0b >，若经过点(a ，f （a ）)，(b ，f -（b ）)的直线与x 轴的交点为(,0)c ，则称c 为关于函数()f x 的平均数，记为(,)f M a b ，例如，当()1(0)f x x =>时，可得(,)2f a bM a b c +==，即(,)f M a b 为a ，b 的算术平均数． （1）当()f x0)x >时，(,)f M a b 为a ，b 的几何平均数；（2）当()f x = (0)x >时，(,)f M a b 为a ，b 的调和平均数2aba b+； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可） 【考点】均值不等式【分析】（1）设()f x，(0)x >，在经过点(a 、(,b的直线方程中，令0y =，求得x c ==， 从而得出结论．（2）设()f x x =，(0)x >，在经过点(,)a a 、(,)b b -的直线方程中，令0y =，求得2abx c a b==+，从而得出结论．【解答】解：（1）设()f x =(0)x >，则经过点(a 、(,bx ab a -=-，令0y =，求得x c==，∴当()f x =，(0)x >时，(,)f M ab 为a ，b（2）设()f x x =，(0)x >，则经过点(,)a a 、(,)b b -的直线方程为y a x ab a b a--=---， 令0y =，求得2abx c a b==+， ∴当()(0)f x x x =>时，(,)f M a b 为a ，b 的调和平均数2aba b+， 故答案为：x ．【点评】本题主要考查新定义，用两点式求直线的方程，属于中档题．3．（2014•陕西）设a ，b ，m ，n R ∈，且225a b +=，5ma nb +=【考点】基本不等式及其应用【分析】根据柯西不等式22222()()()a b c d ac bd +++…当且仅当ad bc =取等号，问题即可解决． 【解答】解：由柯西不等式得，22222()()()ma nb m n a b +++… 225a b +=，5ma nb +=，22()5m n ∴+…∴【点评】本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题．4．（2014•上海文）设,0()1,0x a x f x x x x -+⎧⎪=⎨+>⎪⎩…，若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为 (-∞，2] ． 【考点】分段函数的应用【分析】分别由(0)f a =，12x x +…，1a x x+…综合得出a 的取值范围．【解答】解：当0x =时，(0)f a =， 由题意得：1a x x+…， 又1122x x x x+=…，2a ∴…，故答案为：(-∞，2]．【点评】本题考察了分段函数的应用，基本不等式的性质，是一道基础题． 5．（2014•上海文理）若实数x ，y 满足1xy =，则222x y +的最小值为 【考点】基本不等式及其应用【分析】由已知可得1y x=，代入要求的式子，由基本不等式可得． 【解答】解：1xy =，1y x∴=222222222x y x x x∴+=+=…当且仅当222x x=，即x =故答案为：【点评】本题考查基本不等式，属基础题．6．（2015•山东文）定义运算“⊗” 22(x y x y x xy-=⊗，y R ∈，0)xy ≠．当0x >，0y >时，(2)x y y x +⊗⊗【考点】函数的最值及其几何意义【分析】通过新定义可得222(2)2x y x y y x xy++=⊗⊗，利用基本不等式即得结论．【解答】解：22x y x y xy-=⊗， 22222242(2)22x y y x x y x y y x xy xy xy--+∴+=+=⊗⊗， 由0x >，0y >，222x y ∴+=…，当且仅当x =时等号成立，∴2222x y xy +=【点评】本题以新定义为背景，考查函数的最值，涉及到基本不等式等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．7．（2015•天津文）已知0a >，0b >，8ab =，则当a 的值为 4 时，22log log (2)a b 取得最大值． 【考点】复合函数的单调性【分析】由条件可得1a >，再利用基本不等式，求得当4a =时，22log log (2)a b 取得最大值，从而得出结论．【解答】解：由题意可得当22log log (2)a b 最大时，2log a 和2log (2)b 都是正数，故有1a >．再利用基本不等式可得222222222log log (2)log (2)log 16log log (2)[][][]4222a b ab a b +===…，当且仅当24a b ==时，取等号，即当4a =时，22log log (2)a b 取得最大值， 故答案为：4．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题．8．（2017•天津文理）若a ，b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 4 ．【考点】基本不等式及其应用【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么． 【方法二】将1ab拆成1122ab ab +，利用柯西不等式求出最小值． 【解答】解：【解法一】a ，b R ∈，0ab >，∴4441a b ab ++2241a b ab +=144ab ab ab ab=+=…，当且仅当44414a b ab ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2222214a b a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即a =，b =或a =，b =时取“=”； ∴上式的最小值为4．【解法二】a ，b R ∈，0ab >，∴44334141142222a b a b ab b a ab ab a ab ab++=+++=…， 当且仅当44414a b ab ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2222214a b a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即a =，b =或a =，b =时取“=”； ∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题． 9．（2017•山东文）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2)，则2a b +的最小值为 8 ． 【考点】基本不等式及其应用 【分析】将(1,2)代入直线方程，求得121a b+=，利用“1”代换，根据基本不等式的性质，即可求得2a b +的最小值． 【解答】解：直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2)，则121a b +=，由12442(2)()2244448a b a b a b a b a b b a b a +=+⨯+=+++=+++=+=…，当且仅当4a bb a=，即12a =，1b =时，取等号，2a b ∴+的最小值为8，故答案为：8．【点评】本题考查基本不等式的应用，考查“1”代换，考查计算能力，属于基础题．10．（2017•江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 30 ． 【考点】基本不等式及其应用【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和60064x x=⨯+，利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和6006442240x x =⨯+⨯=…（万元）． 当且仅当30x =时取等号． 故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11．（2018•天津文理13）已知a ，b R ∈，且360a b -+=，则128a b +的最小值为 14． 【考点】函数的最值及其几何意义【分析】化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可．【解答】解：a ，b R ∈，且360a b -+=， 可得：36b a =+， 则6661111222228222224a a a ab a a a++=+=+=…， 当且仅当6122a a +=．即3a =-时取等号． 函数的最小值为：14． 故答案为：14． 【点评】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，也可以利用换元法，求解函数的最值．考查计算能力．12．（2018•江苏13）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ． 【考点】基本不等式及其应用；三角形中的几何计算【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可． 【解答】解：由题意得111sin120sin 60sin 60222ac a c ︒=︒+︒，即ac a c =+， 得111a c+=， 得1144(4)()55459c a a c a c a c a c a c+=++=+++=+=…，当且仅当4c aa c=，即2c a =时，取等号， 故答案为：9．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键． 13．（2019•天津文理13）设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为 ．【考点】基本不等式及其应用 【分析】利用基本不等式求最值． 【解答】解：0x >，0y >，24x y +=， 则(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+； 0x >，0y >，24x y +=，由基本不等式有：42x y =+…02xy ∴<…，552xy …， 故：5592222xy ++=…； （当且仅当22x y ==时，即：2x =，1y =时，等号成立）， 故(1)(21)x y xy ++的最小值为92；故答案为：92． 【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题． 14．（2019•天津理13）设0x >，0y >，25x y +=的最小值为 ．【考点】基本不等式及其应用 【分析】利用基本不等式求最值． 【解答】解：0x >，0y >，25x y +=，===；由基本不等式有：64xyxy=当且仅当=时，即：3xy =，25x y +=时，即：31x y =⎧⎨=⎩或232x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时；等号成立，的最小值为故答案为：【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．15．（2019•上海）如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a【考点】基本不等式；二次函数的性质与图象【分析】由已知可得P，Q坐标，进而可得||||AQ CP+=【解答】解：由题意得：P点坐标为，)a，Q点坐标为(a，+=，AQ CP||||当且仅当a=【点评】本题考查的知识点是基本不等式，二次函数和幂函数，难度不大，属于基础题．。

2014年全国各地高考数学试题及解答分类大全（不等式）一、选择题：1（2014安徽理）y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）A,121-或 B.212或 C.2或1 D.12-或解析：数形结合求解。

考点：1.线性规划求参数的值.2.(2014福建文)要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）.80.120.160.240A B C D 元元元元3.(2014福建文)已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,70,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C =Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为（）.5.29.37.49A B C D 4.(2014北京理)若x 、y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（）A．2B．2-C．12D．12-【答案】D 【解析】可行域如图所示，当0>k 时，知x y z -=无最小值，当0<k 时，目标函数线过可行域内A点时z 有最小值，联立⎩⎨⎧=+-=020y kx y ，解之得⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2k A ，420min -=+=k z ，即21-=k .5、(2014广东文)若变量,x y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =+的最大值等于A.7B.8C .10 D.11答案:C提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10.选C.6.(2014广东理)若变量x 、y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≤-⎩，且2z x y =+的最大值和最小值分别为M和m ，则M m -=（）A.8B.7C.6D.5截距最大，此时z 取最大值M ，即()2213M =⨯+-=；()336M m -=--=，故选C.7．(2014湖北文)若变量x ，y＋y ≤4，－y ≤2，≥0，y ≥0，则2x ＋y 的最大值是()A ．2B ．4C ．7D ．84．C[解析]＋y ≤4，－y ≤2，≥0，y ≥0表示的可行域如下图阴影部分所示．设z ＝2x ＋y ，平移直线2x ＋y ＝0，易知在直线x ＋y ＝4与直线x －y ＝2的交点A (3，1)处，z ＝2x2=-+y x 02=+-y kx A=-x y＋y 取得最大值7.故选C.8．(2014湖北理)由不等式组x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为()A.18B.14C.34D.787．D [解析]作出Ω1，Ω2表示的平面区域如图所示，S Ω1＝S △AOB ＝12×2×2＝2，S △BCE ＝12×1×12＝14，则S 四边形AOEC ＝S Ω1－S △BCE ＝2－14＝74.故由几何概型得，所求的概率P ＝S 四边形AOEC S Ω1＝742＝78.故选D.9.(2014江西理)（不等式选做题）对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】()|1||||1||1|1||11|123x x y y x x y y -++-++≥--+--+=+=10.(2014全国大纲文)不等式组(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩的解集为（）A ．{|21}x x -<<-B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x >11.(2014全国新课标Ⅰ文)设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（A ）-5（B ）3（C ）-5或3（D ）5或-3【答案】：B 【解析】：画出不等式组对应的平面区域，如图所示.在平面区域内，平移直线0x ay +=，可知在点A 11,22a a -+⎛⎫⎪⎝⎭处，z 取得最值，故117,22a a a -++=解之得a = -5或a = 3.但a = -5时，z取得最大值，故舍去，答案为a = 3.选B.12.(2014全国新课标Ⅰ理)不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3P B .1p ，4p C.1p ，2p D .1p ，3P 【答案】：C【解析】：作出可行域如图：设2x y z +=，即122zy x =-+，当直线过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，选C.13.(2014全国新课标Ⅱ文)设x ，y 满足约束条件0103310x y x y x y ≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥-⎩+，则z =2x +y 的最大值为()A．8B．7C．2D．1【答案解析】A．解析：作图即可.考点：考查二元一次不等式组的应用，中等题.14.(2014全国新课标Ⅱ理)设x ，y 满足约束条件03103507x y x x y y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥-⎩+，则z =2x -y 的最大值为()A.10B.8C.3D.2【答案解析】B.解析：作图即可.考点：考查二元一次不等式组的应用，中等题.15.(2014山东理)已知实数,x y 满足xya a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是（A ）221111x y >++（B ）22ln(1)ln(1)x y +>+（C ）sin sin x y >（D ）22x y>15.【答案】D【解析】y x a a a yx>∴<<<10, 但不能判断22y x >（如1,0-==y x ）∴排除A,B;x y sin = 是周期函数，∴排除C;3x y = 是单调递增函数，∴D 正确.16.(2014山东文)已知实数,x y 满足(01)x ya a a <<<，则下列关系式恒成立的是(A)33x y>(B)sin sin x y >(C)22ln(1)ln(1)x y +>+(D)221111x y >++16.【答案】A【解析】由)10(<<<a a a yx得，y x >，但是不可以确定2x 与2y 的大小关系，故C 、D 排除，而x y sin =本身是一个周期函数，故B 也不对，33y x >正确。

2014高考数学试题分类---不等式选讲（含答案）：1.[2014·广东卷] 设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1，0，1}，i ＝1，2，3，4，5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( )A ．60B ．90C ．120D ．1302．[2014·江西卷] (1)(不等式选做题)对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．[2014·陕西卷] 设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．4．[2014·广东卷] 不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________．5．[2014·湖南卷] 若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －53＜x ＜13，则a ＝________． 6．[2014·重庆卷] 若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取 值范围是________．7．[2014·福建卷] 已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值； (2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.8．[2014·辽宁卷] 设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ； (2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.9．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值．(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由.10．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．11．[2014·浙江卷] (1)解不等式2|x －2|－|x ＋1|＞3；(2)设正数a ，b ，c 满足abc ＝a ＋b ＋c ，求证：ab ＋4bc ＋9ac ≥36，并给出等号成立条件．答案1．D 2．(1)C 3．A.5 4．(－∞，－3]∪[2，＋∞) 5．－3 6.⎣⎡⎦⎤－1，127. (Ⅲ)解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.8．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ∈[1，＋∞），1－x ，x ∈（－∞，1）.当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43； 当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1.所以f (x )≤1的解集M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤43. (2)由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16⎝⎛⎭⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34， 因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －14≤x ≤34，故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤34. 当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝xf (x )＝x (1－x )＝14－⎝⎛⎭⎫x －122≤14. 9解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立． 故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥4 2，当且仅当a ＝b ＝ 2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使2a ＋3b ＝6.10．解：(1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪x ＋1a －（x －a ）＝1a＋a ≥2，所以f (x )≥2. (2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212. 当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212. 11.解：(1)当x ≤－1时，2(2－x )＋(x ＋1)＞3，得x ＜2，此时x ≤－1；当－1＜x ≤2时，2(2－x )－(x ＋1)＞3，得x ＜0，此时－1<x <0；当x >2时，2(x －2)－(x ＋1)＞3，得x >8，此时x >8.综上所述，原不等式的解集是(－∞，0)∪(8，＋∞)．(2)证明：由abc ＝a ＋b ＋c ，得1ab ＋1bc ＋1ca＝1.由柯西不等式，得(ab ＋4bc ＋9ac )⎝⎛⎭⎫1ab ＋1bc ＋1ca ≥(1＋2＋3)2，所以ab ＋4bc ＋9ac ≥36，当且仅当a ＝2，b ＝3，c ＝1时，等号成立．。

2014年高考数学分类汇编不等式一、选择题错误!未指定书签。

．（2013年高考（辽宁文理））设变量x,y 满足,15020010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-y y x y x 则2x+3y 的最大值为 （ ）A ．20B ．35C ．45D ．55错误!未指定书签。

．（2013年高考（辽宁理））若[0,)x ∈+∞,则下列不等式恒成立的是（ ）A ．21xe x x ++„B211124x x <-+C ．21cos 12x x -… D ．21ln(1)8x x x +-… 错误!未指定书签。

．（2013年高考（重庆文））不等式102x x -<+ 的解集是为 （ ）A ．(1,)+∞B ．(,2)-∞-C ．(-2,1)D ．(,2)-∞-∪(1,)+∞错误!未指定书签。

．（2013年高考（重庆理））设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭,则A B I 所表示的平面图形的面积为 （ ）A ．34πB ．35πC ．47πD ．2π 错误!未指定书签。

．（2013年高考（重庆理））不等式0121≤+-x x 的解集为 （ ）A ．⎥⎦⎤⎝⎛-1,21 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C．[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121.D ．[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121,错误!未指定书签。

．（2013年高考（浙江文））若正数x,y 满足x+3y=5xy,则3x+4y 的最小值是 （ ）A ．245B ．285C ．5D ．6错误!未指定书签。

．（2013年高考（天津文））设变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数32z x y =-的最小值为 （ ）A ．5-B ．4-C ．2-D ．3错误!未指定书签。

．（2013年高考（四川文））若变量,x y 满足约束条件3,212,21200x y x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩,则34z x y =+的最大值是（ ）A ．13B ．26C ．28D ．33错误!未指定书签。

（1）不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.（2）一元二次不等式①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. ②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. ③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.（4）基本不等式：①了解基本不等式的证明过程.②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.考纲解读：不等式的考查主要以中档题为主，以选填题为主；不等式的性质常与简易逻辑结合考查；不等式的解法主要以一元二次不等式为主，兼顾其它（如简单的分式不等式、绝对值不等式、指对数不等式、与分段函数有关的不等式等），常与集合（选填题）、导数（解答题中对参数的分类讨论）结合；线性规划问题难度不大；基本不等式求最值是重点，要加强训练；不等式的恒成立也应当重视。

近几年考点分布从近几年的高考试题来看，对不等式重点考查的有四种题型：解不等式、证明不等式、不等式的应用、不等式的综合性问题。

这些不等式试题主要体现了等价转化、函数与方程、分类讨论等数学思想．随着以培养创新精神和实践能力为重点的素质教育的深入发展，近年来高考命题越来越关注开放性、探索性等创新型问题，尤其是与函数、导数、数列综合的不等式证明问题以及涉及不等式的应用题等。

考查的内容及其难度主要以有以下几点：1、不等式的性质、基本不等式和绝对值不等式的考查，大多出现在选择题或填空题中，一般属于容易题或中档题。

因此，关于这一部分的知识，重在理解并深刻记忆基本公式. 2、含参的不等式问题是近几年考的较多的一种题型，特别是不等式恒成立问题中参数取值范围的求法。

3、不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列的综合问题的形式出现，尤其是以导数或向量为背景的导数（或向量）、不等式、函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题。

专题4 不等式
1. 【2014高考安徽卷文第13题】不等式组20240320x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩
表示的平面区域的面积为________.
2. 【2014高考北京卷文第13题】若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最小值为
.
5. 【2014高考福建卷文第9题】要制作一个容积为3
4m ，高为1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 （ ） .80.120.160.240A B C D 元元元元
6. 【2014高考福建卷文第11题】已知圆()()22
:1C x a y b -+-=，设平面区域70,30,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若
圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切，则22
a b +的最大值为 （ ） .5.29.37.49A B C D
7. 【2014高考广东卷文第4题】若变量x 、y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩
，则2z x y =+的最大值等于
（ ） A.7 B.8 C.10 D.11
8. 【2014高考湖北卷文第4题】若变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-≤+0,024y x y x y x ，则y x +2的最大值是（ ）。

2014年全国高考文科数学试题选编十四.选修部分一. 选修4—5：不等式选讲 1.(陕西文.15)A ．(不等式选做题)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5的最小值为__________．解析：由柯西不等式，可得(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(am ＋bn )2，所以5(m 2＋n 2)≥25.所以m 2＋n 2≥5，当且仅当an ＝bm 时，等号成立．的最小值为 5.2.(浙江文.16)已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是__________． 解析：由a ＋b ＋c ＝0可得c ＝－(a ＋b )． 又a 2＋b 2＋c 2＝1，所以a 2＋b 2＋[－(a ＋b )]2＝1，整理得2b 2＋2ab ＋2a 2－1＝0.又由a 2＋b 2＋c 2＝1易知0≤b 2≤1，－1≤b ≤1，因此关于b 的方程2b 2＋2ab ＋2a 2－1＝0 在[－1,1]上有解，所以222248(21)01122221022210a a a a a a a ⎧∆=--≥⎪⎪-≤≤⎪⎨⎪--≥⎪-≥⎪⎩，，+，++，解得3a ≤，即a的最大值是33.(辽宁文.16)对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，124a b c++的最小值为__________． 解析：要求|2a ＋b |的最大值，只需求(2a ＋b )2的最大值．∵4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0， ∴4a 2＋b 2＝c ＋2ab ，∴(2a ＋b )2＝4a 2＋b 2＋4ab ＝c ＋2ab ＋4ab ＝c ＋6ab ≤c ＋2232a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，即(2a ＋b )2≤4c ，当且仅当2a ＝b 时，取得等号，即(2a ＋b )2取到最大值， 即2a ＝b 时，|2a ＋b |取到最大值． 把2a ＝b 代入4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0， 可得c ＝4a 2.∴2221241242111124a b c a a a a a a ⎛⎫++=++=+=+- ⎪⎝⎭.∴当11a =-时，124a b c++取到最小值－1. 4.(江西文.15)x ，y ∈R ，若|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，则x ＋y 的取值范围为__________．解析：∵|x |＋|x －1|≥|x －(x －1)|＝1， 当且仅当0≤x ≤1时取等号，|y |＋|y －1|≥|y －(y －1)|＝1，当且仅当0≤y ≤1时取等号，∴|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≥2.① 又∵|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，② ∴只有当0≤x ≤1,0≤y ≤1时， ①②两式同时成立． ∴0≤x ＋y ≤2.5.(上海文.3)设常数a R ∈，函数2()1f x x x a =-+-．若(2)1f =，则(1)f = ．解答：由()(2)1413f a f =⇒=⇒= 6.(安徽文.9)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8解析：令x ＋1＝0，得x 1＝－1；令2x ＋a ＝0，得22ax =-. ①当12a->-，即a ＞2时，()31,,21,1,231,1,a x a x a f x x a x x a x ⎧---<-⎪⎪⎪=+--≤≤-⎨⎪++>-⎪⎪⎩其大致图象如图所示，则()min 1=322a a f x f a ⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭，解得a ＝8. ②当12a-<-， 即a ＜2时，()31,1,1,1,231,,2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪---<-⎪⎪=-+--≤≤-⎨⎪⎪++>-⎪⎩其大致图象如图所示，则()min 1322a a f x f a ⎛⎫⎛⎫=-=--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得a ＝－4. ③当12a -=-， 即a ＝2时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不符合题意． 综上所述，a ＝－4或8.6.(课标全国Ⅰ文.24) (本小题满分10分)若a ＞0，b ＞0，且11a b+=. (1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．分析：在第(1)问中，根据基本不等式，结合已知条件中的等式可推得ab 的最小值，然后再对a 3＋b 3运用基本不等式，结合ab 的最小值即可求得a 3＋b 3的最小值；在第(2)问中，可考虑根据基本不等式求出2a ＋3b 的取值范围，即可作出相应的判断． 解：(1)11a b =+≥，得ab ≥2，且当a b ==时等号成立．故33a b +≥≥且当a b = 时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为(2)由(1)知，23a b +≥≥由于6>，从而不存在a ，b ， 使得2a ＋3b ＝6.7.(课标全国Ⅱ文.24) (本小题满分10分)设函数1()||+||(>0)f x x x a a a=+-． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．分析：对于第(1)问，根据函数f (x )中绝对值里面式子的特点1x a+与x －a 的关系，联想到 |a |＋|b |≥|a －b |这一性质，把x 消去再利用基本不等式可证．(2)显然是解关于a 的绝对值不等式的解集问题，可利用零点分段来进行讨论，由于a ＞0，且x ＝3把a ＞0分为两段a ＞3和 0＜a ≤3，因此可利用分类讨论思想分别求当 a ＞3与0＜a ≤3时的绝对值不等式的解集，最后取并集．解：(1)由a ＞0，有111()||+|||()|2f x x x a x x a a a a a=+-≥+--=+≥.所以f (x )≥2.(2)()13|3||3|f a a+＝+－. 当a ＞3时，f (3)＝a ＋1a，由f (3)＜5得3a <<. 当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a，由f (3)＜53a <≤.综上，a的取值范围是⎝⎭.8.(辽宁文.24) (本小题满分10分)设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1. 记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N . (1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14. 分析：(1)分类讨论去绝对值符号即可．(2)在x∈M ∩N 的条件下，先化简x 2f (x )＋x [f (x )]2，再配方求其最大值即可．解：(1)()[)()33,1,,1,,1,x x f x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得43x ≤， 故413x ≤≤； 当x ＜1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0， 故0≤x ＜1.所以f (x )≤1的解集为403M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭. (2)证明：由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4，得211644x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，解得1344x -≤≤.因此1344N x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭.故304M N x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭.当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x·f(x)＝x(1－x)＝2111 424x⎛⎫--≤⎪⎝⎭.二. 选修4—1：几何证明选讲1.(天津文.7)如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·F A；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是()．A．①②B．③④C．①②③D．①②④解析：如下图，在圆中，∵∠1与∠3所对的弧相同，∴∠1＝∠3.又BF为圆的切线，则∠2＝∠4.又∵AD为∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2.∴∠3＝∠4.∴BD平分∠CBF.故①正确．在△BFD和△AFB中，∵∠F为公共角，且∠4＝∠2，∴△BFD∽△AFB.∴BF DF BD AF BF AB==.∴BF2＝AF·DF，BF·AB＝BD·AF.故②正确，④正确．由相交弦定理可知③不正确，故选D.2.(陕西文.15)B．(几何证明选做题)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝__________.解析：由圆内接四边形的性质，可知∠AEF＝∠ACB，∠AFE＝∠ABC，所以△AEF∽△ACB.所以AE EFAC CB=.又因为AC＝2AE，CB＝6，所以EF＝12×6＝3.3.(广东文.15)(几何证明选讲选做题)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC 与DE交于点F，则CDFAEF∆∆的周长的周长＝________.解析：∵EB＝2AE，∴AB＝3AE.又∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△CDF∽△AEF，∴3CDF CD ABAEF AE AE∆===∆的周长的周长.4.(课标全国Ⅰ文22) (本小题满分10分)如图，四边形ABCD 是O的内接四边形，AB 的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD 不是O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．分析：在第(1)问中，由圆内接四边形的性质可知∠CBE＝∠D，又CB＝CE，所以∠CBE＝∠E，从而可证∠D＝∠E；在第(2)问中，由条件MB ＝MC，再结合圆的性质知OB＝OC，可确定MO是弦BC的垂直平分线，考虑到M是AD的中点，必有MO也是AD的垂直平分线，从而可证得AD∥BC，然后再结合第(1)问可推得△ADE 的三个内角相等，推得△ADE为等边三角形．(1)证明：由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)解：设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC，知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD 不是O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．5.(课标全国Ⅱ文.22) (本小题满分10分)如图，P 是O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC 与O相交于点B，C，PC＝2P A，D 为PC的中点，AD 的延长线交O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.分析：(1)欲证BE＝EC，由于在圆O中，可证BE EC=，利用相等的圆周角所对的弧相等，则可证∠DAC＝∠BAD，故应由条件转化为角的关系上去寻找，我们可以利用弦切角定理、对顶角相等、等腰三角形两底角相等等来处理．对于(2)，由结论中出现AD·DE，而D是AE与BC 两弦之交点，联想到相交弦定理可得AD·DE＝BD·DC.从而使问题转化为证明2PB2＝BD·DC，而P，B，D，C在一条直线上，且D又是PC 的中点，而P A＝PD，P A是切线，又联想到切割线定理得P A2＝PB·PC，充分利用关系转化可得答案．解：(1)连结AB，AC，由题设知P A＝PD，故∠P AD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠P AD＝∠BAD＋∠P AB，∠DCA＝∠P AB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE EC=.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得P A2＝PB·PC.因为P A＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.6.(辽宁文.22) (本小题满分10分)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.分析：(1)证明AB是直径，即证明∠BDA＝90°.由∠PF A＝90°，从而寻求∠BDA＝∠PF A就可证明．(2)要证AB＝DE，即证DE为直径，连DC，即证∠DCE＝90°，从而只需证明AB∥DC即可．证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA.又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PF A.由于AF⊥EP，所以∠PF A＝90°.于是∠BDA＝90°.故AB是直径．(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB＝∠CBA .又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ， 故DC ∥AB .由于AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角． 于是ED 为直径．由(1)得ED ＝AB . 三. 选修4—4：坐标系与参数方程1.(陕西文.15)C ．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线πsin =16ρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离是______．解析：点π2,6⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为 ππ2cos ,2sin 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，即，又πsin =16ρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭可化为1sin cos 12ρθρθ-=，所以该直线的直角坐标方程为2=0x +.由点到直线的距离公式，可得1d ==.2.(广东文.14)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为___． 解析：曲线C 1的普通方程为y ＝2x 2，曲线C 2的普通方程为x ＝1，联立212,x y x ⎧⎨⎩=，=解得12.x y ⎧⎨⎩=，=因此交点的直角坐标为(1,2)．3.(湖南文.12)在平面直角坐标系中，曲线C：2,21x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)的普通方程 为__________．解析：两式相减得，x －y ＝2－1， 即x －y －1＝0.4.(课标全国Ⅰ文.23) (本小题满分10分)已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； (2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值． 分析：在第(1)问中，可根据参数方程与普通方程的关系求解；在第(2)问中，可由曲线C 的参数方程设出点P 的坐标，结合点到直线的距离公式与三角函数的定义得出|P A |与θ的关系，通过三角变换求得|P A |的最值． 解：(1)曲线C 的参数方程为2cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的 距离为d＝5θ＋3sin θ－6|，则|5sin()6|sin305d PA θα==+-︒，其中α为锐角，且4tan 3α=.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为5. 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为5. 5.(课标全国Ⅱ文.23) (本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l：2y =+垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．分析：本题主要考查了直角坐标系中曲线的普通方程与极坐标方程、普通方程与参数方程之间的互化．第(1)问利用cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代换可得C 的普通方程，进而根据方程特点选择合理的参数得其参数方程．对于(2)，由条件曲线C 在点D 处的切线与l 垂直，得D 点与圆心的连线与l 平行，从而与l 的斜率相同，求得参数t 的值，进而求得D 点坐标． 解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为1cos ,sin x t y t=+⎧⎨=⎩(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以C (1,0)为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线CD 与l 的斜率相同，tan t =π3t =. 故D 的直角坐标为ππ1cos,sin 33⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即32⎛ ⎝⎭. 6.(辽宁文.23) (本小题满分10分)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．分析：(1)利用相关点法先求出直角坐标方程，再写出参数方程．(2)先联立方程求出P 1，P 2两点的坐标，进而求出P 1P 2的中点坐标，得到与l 垂直的直线方程，再化为极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得11,2.x x y y =⎧⎨=⎩由22111x y +=，得2212y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即曲线C 的方程为2214y x +=. 故C 的参数方程为cos 2sin x ty t =⎧⎨=⎩(t 为参数)．(2)由221,4220,y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得1,0,x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中 点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭， 所求直线斜率为12k =， 于是所求直线方程为111=22y x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即34sin 2cos ρθθ=-.。

2014-2019年高考数学真题分类汇编专题8：不等式（不等式的性质与不等式的解法）（一）不等式性质选择题1．（2014•四川文理）若0a b >>，0c d <<，则一定有( B )A ．a b d c >B ．a b d c <C ．a b c d >D ．a b c d< 2．（2015•浙江文）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2)m 分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元2/)m 分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是(B )A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++3．（2016•浙江理）已知实数a ，b ，c ．( D )A ．若22||||1a b c a b c +++++…，则222100a b c ++<B ．若22||||1a b c a b c ++++-…，则222100a b c ++<C ．若22||||1a b c a b c ++++-…，则222100a b c ++<D ．若22||||1a b c a b c ++++-…，则222100a b c ++<4．（2017•山东理）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是( B )A ．21log ())2a b a a b b +<<+ B ．21log ()2a b a b a b <+<+ C ．21log ()2a b a a b b +<+< D ．21log ())2a b a b a b +<+< 5．（2019新课标Ⅱ理6）若a b >，则( D )A ．()0ln a b ->B ．33a b <C ．330a b ->D ．||||a b >填空题1．（2017•北京文13）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为 1-，2-，3- ．2．（2018•北京文11）能说明“若a b >，则11a b <”为假命题的一组a ，b 的值依次为 1a =，1b =- ． 3．（2019北京理科14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 130 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 15 ．（二）不等式解法选择题1．（2014•浙江文理）已知函数32()f x x ax bx c =+++．且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-…，则(C ) A ．3c … B ．36c <… C ．69c <…D ．9c >2．（2015•上海文）下列不等式中，与不等式28223x x x +<++解集相同的是( B )A ．2(8)(23)2x x x +++<B ．282(23)x x x +<++C ．212238x x x <+++ D ．223182x x x ++>+填空题1．（2016•上海文理）设x R ∈，则不等式|3|1x -<的解集为 (2,4) ．。

x2014高考数学不等式汇编1.（新课标二9）设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 2【答案】 B..8,)2,5(07-013--2B z y x y x y x z 故选取得最大值处的交点与在两条直线可知目标函数三角形，经比较斜率，画出区域，可知区域为==+=+=2.（北京 6.）若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ D ）.2A .2B - 1.2C 1.2D - 3.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设a,b 为平面向量，则（ D ） A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+4.（浙江）当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是_______.31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 5.（天津）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5解：B 作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点()1,1时，z 取得最小值3.6.（广东3）.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选。