2018学年高中数学北师大版选修2-3学案：1.5.1 二项式定理 含解析

§5 二项式定理5.1二项式定理●三维目标1．知识与技能(1)使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律．(2)能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开．2．过程与方法(1)在学生对二项式定理形成过程的参与、探讨过程中，培养学生观察猜想、归纳的能力及分类讨论解决问题的能力．(2)培养学生的化归意识和知识迁移的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生解决数学问题的信心．(2)通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生体会教学内在和谐对称美．(3)培养学生民族自豪感，在学习知识的过程中进行爱国主义教育．●重点难点重点：使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式系数的规律；能够利用二项式定理对给出的二项式进行展开．难点：二项式定理的发现．二项式定理形式很重要．教学中一定要注意这一点，其关键是让学生掌握二项式定理的形成过程，让学生明确为何可以用组合数来表示二项式定理中各项的系数，这样才能够使学生掌握重点，也有利于突破教学难点．(教师用书独具)●教学建议掌握并能运用二项式定理，让学生主动探索展开式的由来是关键．“学习任何东西最好的途径是自己去发现”正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”．本节课的教法贯穿启发式教学原则，以启发学生主动学习，积极探究为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境．在教学中不仅要重视知识的结果，而且重视知识的发生、发现和解决过程．●教学流程创设问题情境，引出问题：今天是星期一，再过30天后的那一天是星期几？⇒引导学生结合初中所学过的公式观察、比较、分析，再提出新问题由(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b4，提出(a＋b)4＝？(a＋b)5＝…⇒通过引导，让学生发现该问题与组合知识有关，逐步引导学生去发现各项及各项系数值的求法．⇒得出定理，深化认识：请学生总结二项式定理中展开式的系数、指数、项数的特点；二项式展开式的结构特征等．⇒巩固应用，由得出的二项式定理，让学生解答例1、例2、例3及相应变式训练．⇒归纳整理，进行课堂小结，布置作业．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识.1．(a＋b)1＝？【提示】(a＋b)1＝a＋b.2．(a＋b)2＝？【提示】(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.3．在问题2中，如何用组合知识来解释a2，ab，b2的系数．【提示】∵(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)，∴a2相当于从2个因式中的都不取b只取a即C02＝C22＝1；ab相当于从2个因式中一个取a，另一个取b，即C12＝2；b2相当于从2个因式中都不取a只取b，即C22＝C02＝1.4．由问题3类比(a＋b)3展开式．【提示】(a＋b)3＝C03a3＋C13a2b＋C23ab2＋C33b3.5．由问题4、3求(a＋b)n的展开式．【提示】(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n.(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n . 这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为(a ＋b )n 的二项展开式，(a ＋b )n 的二项展开式有n ＋1项，其中各项的系数C r n (r ＝0,1,2…，n )称为二项式系数，C r n a n －r b r 称为二项展开式的第r ＋1项，又称为二项式通项．1．二项式定理右边的各项的次数等于多少？【提示】 各项的次数都等于二项式的幂指数n .2．二项式定理右边的展开式共有多少项？【提示】 n ＋1项．(b ＋a )n ＝C 0n b n ＋C 1n b n －1a ＋C 2n b n －2a 2＋…＋C r n b n －r a r ＋…＋C n n a n .(1)求(3x ＋1x)4的展开式； (2)求值C 1n ＋3C 2n ＋9C 3n ＋…＋3n －1C n n . 【思路探究】(1)直接利用二项式定理展开，也可以先化简再展开；(2)先化成二项展开式的形式，然后逆用二项式定理求解．【自主解答】 (1)法一 (3x ＋1x )4 ＝(3x )4＋C 14(3x )31x ＋C 24(3x )2(1x)2＋ C 34(3x )(1x )3＋C 44(1x)4 ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2. 法二 (3x ＋1x )4＝(3x ＋1x)4＝1x 2(1＋3x )4 ＝1x2[1＋C 143x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4] ＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)。

二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。

【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。

【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。

如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？2、（a+b）3展开式的再认识问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C23· C11=3次，所以a2b的系数是3。

问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：（1）四个括号中全都取a，得：C44a4（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C34 a3· C11b（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C24 a2· C22b2（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C14 a· C33b3（5）四个括号中全都取b，得：C44b4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C04 a4；（2）取1个b：C14a3b；（3）取2个b：C24a2b2；（4）取3个b：C34a b3；（5）取4个b：C44b4，然后将上面各式相加得到展开式。

二项式定理公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r所表示的规律叫做二项式定理．2、相关概念(1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式．(2)各项的系数C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数．(3)展开式中的C r n a n－r b r叫做二项展开式的通项，记作：T r＋1，它表示展开式的第r＋1项．(4)在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝C0n＋C1n x＋C2n x2＋…＋C r n x r＋…＋C n n x n3、展开式具有以下特点(1)项数：共有n＋1项；(2)二项式系数：依次为C0n，C1n，C2n，…，C r n，…，C n n；(3)每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂、b的升幂排列展开；(4)通项是第r＋1项．[例1](1)用二项式定理展开(2x－32x2)5.(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)r C r n(x＋1)n－r＋…＋(－1)n C n n.[思路点拨](1)二项式的指数为5，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．[答案](1)(2x－32x2)5＝C05(2x)5＋C15(2x)4·(－32x2)＋…＋C55(－32x2)5＝32x5－120x2＋180x－135x4＋4058x7－24332x10.(2)原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C r n(x＋1)n－r(－1)r＋…＋C n n(－1)n＝[(x ＋1)＋(－1)]n＝x n.1．求(3x＋1x)4的展开式．解：法一：(3x＋1x)4＝C04(3x)4＋C14(3x)3·1x＋C24(3x)2·(1x)2＋C34(3x)(1x)3＋C44(1x)4＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2.法二：(3x ＋1x)4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 2．求C 26＋9C 36＋92C 46＋93C 56＋94C 66的值．解：原式＝192(92C 26＋93C 36＋94C 46＋95C 56＋96C 66) ＝192(C 06＋91C 16＋92C 26＋93C 36＋94C 46＋95C 56＋96C 66)－192(C 06＋91C 16) ＝192(1＋9)6－192(1＋6×9)＝192(106－55)＝12 345. [例2] (1)(x ＋12 x)8的展开式中常数项为( ) A.3516 B.358 C.354D ．105(2)设二项式(x －a x)6(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________． [答案] (1)二项展开式的通项为 T r ＋1＝C r 8(x )8－r (12 x)r ＝C r 8(12)r x 4－r. 当4－r ＝0时，r ＝4，所以展开式中的常数项为 C 48(12)4＝358.故选B. (2)由题意得T r ＋1＝C r 6x6－r (－a x)r ＝(－a )r C r 6x 36-2r， ∴A ＝(－a )2C 26，B ＝(－a )4C 46.又∵B ＝4A ，∴(－a )4C 46＝4(－a )2C 26，解之得a 2＝4.又∵a >0，∴a ＝2. 3．在(2x 2－1x )5的二项展开式中，x 的系数为( )4．A ．10B ．－10C ．40D ．－40解析：二项式(2x 2－1x )5的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r (－1x)r ＝C r 5·25－r ×(－1)r x 10－3r .当r ＝3时含有x ，其系数为C 35·22×(－1)3＝－40.4．(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中，若x 5与x 6的系数相等，则n ＝ ( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：二项式(1＋3x )n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n 1n －r ·(3x )r ＝C r n ·3r ·x r.依题意得C 5n ·35＝C 6n·36，即n (n －1)(n －2)(n －3)(n －4)5！ ＝3×n (n －1)(n －2)(n －3)(n －4)(n －5)6！(n ≥6)，解得n ＝7.5．在(32x －12)20的展开式中，系数是有理数的项共有( )A ．4项B ．5项C ．6项D ．7项解析：T r ＋1＝C r 20(32x )20－r (－12)r ＝(－22)r ·(32)20－r C r 20·x 20－r . ∵系数为有理数，∴(2)r与20r 32-均为有理数，∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除． 故r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20， ∴r ＝2,8,14,20.引入：nb)＋(a 的展开式的二次项系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：二项式系数的性质(1)每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和．即C 0n ＝C n n ＝1，C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n . (2)每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等，即C m n ＝C n －mn.(3)如果二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式中间一项12+n T 的二项式系数最大；如果n 是奇数，那么其展开式中间两项12121++++n n T T 的二项式系数相等且最大．(4)二项展开式的各二项式系数的和等于2n .即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .且C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.[例1] 如图，在“杨辉三角”中，斜线AB 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n 项和为Sn ，求S19的值．[思路点拨] 由图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第17项是C 210，第18项是C 110，第19项是C 211.[答案] S 19＝(C 22＋C 12)＋(C 23＋C 13)＋(C 24＋C 14)＋…＋(C 210＋C 110)＋C 211＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋…＋C 210＋C 211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C 312＝(2＋10)×92＋220＝274.n 行的首尾两个数均为________．解析：由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以an ＝2n －1.答案：2n －12．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3.解析：设第n 行从左至右第14与第15个数之比为2∶3，则3C 13n ＝2C 14n ，即3n ！13！(n －13)！＝2n ！14！(n －14)！.解得n ＝34. [例2] 设)(2x )－(12012201222102012R x x a x a x a a ∈++++=(1)求2012210a a a a ++++ 的值． (2)求2011531a a a a ++++ 的值． (3)求||||||||2012210a a a a ++++ 的值．[思路点拨] 先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解．[答案] (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 012＝(－1)2 012＝1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 2 012＝32 012.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 011)＝1－32 012， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011＝1－32 0122.(3)∵T r ＋1＝C r 2 012(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2 012·(2x )r，∴a 2k －1<0(k ∈N ＋)，a 2k >0(k ∈N)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 012| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 012 ＝32 012.[总结] 赋值法是解决二项展开式中项的系数问题的常用方法．根据题目要求，灵活赋给字母不同值是解题的关键．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项的和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．3．()()()nx x x ++++++1112的展开式中各项系数的和为( )A ．12+n B ．12-n C ．121-+nD ．221-+n解析：令x ＝1，则222222132-=+++++n n答案：D4．已知14141313221072)21x a x a x a x a a x x +++++=-+ a14x14.(1)求1413210a a a a a +++++ (2)求13531a a a a +++ 解：(1)令x ＝1，则1413210a a a a a +++++ ＝72＝128. ①(2)令x ＝－1，则14133210a a a a a a +-+-+- ＝7)2(-＝－128.②①－②得2(13531a a a a ++++ )＝256，∴13531a a a a ++++ ＝128.[例3] (10分)已知(23x＋3x 2)n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．[思路点拨] 根据已知条件求出n ，再根据n 为奇数或偶数确定二项式系数最大的项和系数最大的项．[答案] 令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n .(1分)又展开式中二项式系数和为2n ， ∴22n 2n ＝2n＝32，n ＝5. (2分)(1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项， (3分) ∴T 3＝C 25(23x)3(3x 2)2＝90x 6，(4分) T 4＝C 35(23x)2(3x 2)3＝270223x.(5分)(2)设展开式中第k ＋1项的系数最大， 则由T k ＋1＝C k 5(23x)5－k (3x 2)k ＝3k C k51043k x+，(6分)得⎩⎪⎨⎪⎧3k C k 5≥3k －1C k －15，3k C k 5≥3k ＋1C k ＋15，，∴72≤k ≤92，∴k ＝4， (8分)即展开式中系数最大的项为T 5＝C 45(23x)(3x 2)4＝405263x.(10分)[总结] (1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得．变式训练5．若(x 3＋1x 2)n 的展开式中第6项系数最大，则不含x 的项是( )A ．210B ．120C ．461D ．416解析：由题意知展开式中第6项二项式系数最大， n2＋1＝6，∴n ＝10， T r ＋1＝C r 10x3(10－r )(1x2)r ＝C r 10x 30－5r . ∴30－5r ＝0.∴r ＝6.常数项为C 610＝210. 答案：A 5．已知()nx 31+的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．解：由题意知C n n ＋C n －1n ＋C n －2n ＝121， 即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝121，∴1＋n＋n(n－1)2＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15或－16(舍)．∴在(1＋3x)15的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项，且T8＝C715(3x)7＝C71537x7，T9＝C815(3x)8＝C81538x8.1.二项式展开式中的常数项是（）A.180B.90C.45D.3602.二项式的展开式中x3 的系数是（）A.84B. -84C.126D. -1263.设，则=（）A.﹣2014B.2014C.﹣2015D.20154.的展开式中含有常数项为第( )项A.4B.5C.6D.75.若对于任意的实数x ，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3，则a2的值为（）A.3B.6C.9D.126.在二项式的展开式中，含x4 的项的系数是（）A.﹣10B.10C.﹣5D.57.展开式中不含x4项的系数的和为( )A.－1B.0C.1D.28.812014 除以100的余数是()A.1B.79C.21D.819.除以9的余数为( )A.8B.7C.6D.510.二项式展开式中的常数项是()A.第7项B.第8项C.第9项D.第10项11.在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，则该二项式展开式中x-2项的系数为（）A.1B.4C.8D.1612.将二项式的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的指数是整数的项共有（）个A.3B.4C.5D.613.已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（）A.4B.5C.6D.714.展开式中x3的系数为10，则实数a等于（）A. -1B.C.1D.215.在的二项式展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n= （）A.6B.7C.8D.9二、填空题16.设的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M-N=240 ，则n ＝________.17.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________．18.(a+2x+3x2)(1+x)5的展开式中一次项的系数为-3 ,则x5的系数为________19.已知的展开式中的常数项为T ，f(x) 是以T 为周期的偶函数，且当时，f(x)=x ，若在区间[-1,3] 内，函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点，则实数k 的取值范围是________20.对任意实数x ，有，则a3 的值为________.三、解答题21.求的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.22.在二项式的展开式中:（1）求展开式中含x3项的系数；（2）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值.23.已知(＋3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：（1）展开式中二项式系数最大的项；（2）展开式中系数最大的项．24.已知，且．（1）求n的值；（2）求的值25.已知的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80.（1）求m和n的值；（2）求展开式中含x2项的系数.课堂运用答案解析一、选择题1.【答案】A【考点】二项式定理【解析】【解答】二项式展开式的通项为令得r=2所以二项式展开式中的常数项是.故选A．【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式通项计算即可.2.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由于二项式的通项公式为,令9-2r=3，解得r=3，∴展开式中x3的系数是（−1）3• ,故答案为B．【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质计算即可.3.【答案】D【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】由题意可得即为展开式第2015项的系数，再根据通项公式可得第2015项的系数为：，故选D．【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式定理的性质分析计算即可.4.【答案】B【考点】二项式定理【解析】【解答】由二项展开式公式：，当8-2r=0，即r=4时,T5为常数项,所以常数项为第5项.故选B【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式计算即可.5.【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】因为，所以，故选择B.【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式的性质计算即可.6.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由二项式定理知，二项式的展开式通项为：，令，得，则的项的系数为：.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式定理的性质计算即可.7.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由二项式定理知，展开式中最后一项含x4，其系数为1，令x=1得，此二项展开式的各项系数和为，故不含x4项的系数和为1-1=0，故选B.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式的特征计算即可.8.【答案】C【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】== 4，即除以100的余数为21.【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式性质分析计算即可.9.【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】依题意S＝＋＋…＋＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝×99－×98＋…＋×9－－1＝9( ×98－×97＋…＋)－2.∴ ×98－×97＋…＋是正整数，∴S被9除的余数为7.选B.【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式展开性质计算即可.10.【答案】C【考点】二项式定理【解析】【解答】根据二项式定理可得的第项展开式为,要使得为常数项,要求,所以常数项为第9项.【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式定理的性质分析计算即可.11.【答案】A【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题意可得，成等差数列，∴ ，解得n=8．故展开式的通项公式为，令，求得r=8，故该二项式展开式中项的系数为，故选：A．【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是二项式性质计算即可.12.【答案】A【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】展开式的通项为∴前三项的系数分别是，∴前三项系数成等差数列∴∴∴当时,∴，展开式中x 的指数是整数，故共有3个，答案为A.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据实际问题结合二项式系数的性质计算即可.13.【答案】C【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】展开式中各项系数和为x取时式子的值，所以各项系数和为，而二项式系数和为，因此，所以，答案选C.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质分析计算即可. 14.【答案】D【考点】二项式定理【解析】【解答】二项式的展开式的通项，当5-2r=3 时，r=1，系数，解得a=2，答案选D.【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式定理分析其通项计算即可.15.【答案】C【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】因为在的二项式展开式中，只有第5项的二项式系数最大所以由此可得：，即所以即.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的单调性计算即可.二、填空题16.【答案】4【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题设知：，解得：，所以答案应填：4.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质计算即可.17.【答案】40【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题意，，解得：,所以的展开式中常数项为：所以答案应填：40.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是二项式系数的性质计算即可.18.【答案】39【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题意：,解得：，所以，展开式中的系数为，所以答案应填：39【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式性质计算即可.19.【答案】""【解析】【解答】∴ 的常数项为∴f（x）是以2为周期的偶函数∴区间[-1，3]是两个周期∴区间[-1，3]内，函数有4个零点可转化为f（x）与有四个交点当k=0时，两函数图象只有两个交点，不合题意，当k≠0时，∴ ，两函数图象有四个交点，必有解得，故填：．【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式定理的性质结合函数性质计算即可.20.【答案】8【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】，所以.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是要配成指定形式，再展开三、解答题21.【答案】【解答】解：，所以二项式系数为，系数为.【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是利用二项式定理的通项公式写出，再求出二项式系数与系数.22.【答案】（1）【解答】解：展开式第r+1项:令，解得r=2，∴展开式中含x3项的系数为（2）【解答】解：∴第3k项的二项式系数为，第k+2项的二项式系数∴故3k-1=k+1或3k-1+k+1=12 解得k=1或k=3【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是（1）写出二项式的展开式的特征项，当x的指数是3时，把3代入整理出k 的值，就得到这一项的系数的值．（2）根据上一问写出的特征项和第3k项和第k+2项的二项式系数相等，表示出一个关于k的方程，解方程即可．23.【答案】（1）解：令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.又展开式中二项式系数和为2n，∴22n－2n＝992，n＝5∴n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项，∴T3＝C52 ( )3(3x2)2＝90x6，T4＝C53 ( )2(3x2)3＝（2）解：设展开式中第r＋1项系数最大，则T r＋1＝C5r ( )5－r(3x2)r＝3r C5r，∴ ,则，∴r＝4，即展开式中第5项系数最大，T5＝C54 ( )(3x2)4＝405.【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是（1）利用赋值法求出各项系数和，与二项式系数和求出值，利用二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项；（2）设出展开式中系数最大的项，利用进行求解即可.24.【答案】（1）【解答】解：由已知得：，由于, 所以（2）【解答】解：当x=1时，当x=0时，所以，【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质；二项式定理的应用，解决问题的关键是：（1）首先注意等式中n的取值应满足：且n为正整数，其次是公式和的准确使用，将已知等式转化为n的方程，解此方程即得；（2）应用赋值法：注意观察已知二项式及右边展开式，由于要求，所以首先令x=1,得；然后就只要求出a0的值来即可，因此需令x=0，得，从而得结果25.【答案】（1）【解答】解：由题意,，则n=5，由通项公式，则r=3，所以，所以m=2（2）【解答】解：=，所以展开式中含x2项的系数为．【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质；二项式定理的应用，解决问题的关键是（1）二项式系数之和为：，令易求得n，其次利用二项展开式的通项公式中令r=3，易求得m；（2）在前小题已求得的m,n的基础上，要求展开式中求特定项（含x2项）的系数，只需把两个二项式展开，对于展开式中的常数项与展开式中的x2项的系数乘，一次项系数与其一次项系数乘，二次项系数与其常数项乘，再把所得值相加即为所求.一、选择题1.二项式展开式中的系数为（）A.5B.16C.80D.2.在的展开式中，含的项的系数是（）A.60B.160C.180D.2403.展开式的各项系数之和大于8，小于32，则展开式中系数最大的项是（）A. B. C. D.或4.设，那么的值为（）A. B. C. D.5.的展开式中含项的系数为（）A. B. C. D.6.的展开式中，的系数为（）A.15B.C.60D.7.的展开式中常数项为（）A. B. C. D.8.的展开式中，各项系数之和为，各项的二项式系数之和为，且，则展开式中常数项为（）A.6B.9C.12D.18二、填空题9.若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是________.10.在的展开式中，项的系数为________．（结果用数值表示）11.二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式中有理项有________项．三、解答题12.已知在的展开式中，第6项为常数项．（1）求；（2）求含项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．13.已知二项式.（1）若它的二项式系数之和为.①求展开式中二项式系数最大的项；②求展开式中系数最大的项；（2）若，求二项式的值被除的余数.14.已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14∴1．（1）求展开式中的系数；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求的值.课后作业答案解析1.【答案】C【考点】二项式定理，二项式系数的性质【解析】【解答】二项展开式的通项公式为，则当时，其展开式中的的系数为.故答案为：C．【分析】先求出二项的展开式的通项，然后令x的指数为1，求出r，从而可求出x的系数．2.【答案】D【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】展开式的通项为，令，则，则含的项的系数为.故答案为：D．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为7得含x7项的系数．3.【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】令，可得各项系数的之和为，则，解得，中间一项的系数最大，则，故答案为：A.【分析】令x=1，可求出展开式中的各项系数之和，通过各项系数之和大于8，小于32由已知求出n，即可求解中间项系数最大．4.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】时，；时，，∴ ，，∴ ，故答案为：B.【分析】利用展开式，分别令x=1与-1，两式相加或相减可得结论．5.【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】∴ ，故展开式中含项的系数为．故答案为：A.【分析】把（1+x）5 按照二项式定理展开，可得展开式中含x3项的系数．6.【答案】C【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】，系数为.故答案为：C．【分析】根据二项式展开式的通项公式，利用展开式中x4y2，即可求出对应的系数．7.【答案】B【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【解答】因为，常数项为，中常数项为，故展开式中常数项为，故答案为：B.【分析】把所给的三项式变为二项式，利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中常数项．8.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由二项展开式的性质，可得，所以，所以.展开式的通项为，令可得，常数项为，故答案为：B.【分析】通过给x 赋值1得各项系数和，据二项式系数和公式求出B，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．9.【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】的展开式中第三项的系数为，第五项的系数为，由题意有，解得. 的展开式的通项为，由得，所以展开式的常数项为.【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中第三项与第五项的系数，列出方程求出n；利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项．10.【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】，令，得，，的展开式的通项为，则项的系数为.【分析】先把三项式写成二项式，求得二项式展开式的通项公式，再求一次二项式的展开式的通项公式，令x的幂指数等于4，求得r、m的值，即可求得x4项的系数．11.【答案】3【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【解答】由题意可得成等差数列，即，化简可得，解得n=8，或n=1（舍去）．二项式的展开式的通项公式为，为整数，可得r=0，4，8，故此展开式中有理项的项数是3.【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出前三项的系数，利用等差数列得到关于n的等式，求出n的值，将n的值代入通项，令x的指数为整数，得到r的值，得到展开式中有理项的项数．12.【答案】（1）解：的展开式的通项为= ，又第6项为常数项，则当r=5时，，即=0，可得n=10.（2）解：由（1）可得，，令，可得r=2，所以含x2项的系数为（3）解：由（1）可得，，若T r+1为有理项，则，且0≤r≤10，所以r=2，5，8，则展开式中的有理项分别为，，【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】（1）利用通项公式即可得出．（2）根据通项公式，由题意得x的指数是整数,通过取值即可得出．13.【答案】（1）解：，通项为.①二项式系数最大的项为第项，.② ，则展开式中系数最大的项为第项，（2）解：，转化为被除的余数，，即余数为【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】（1）根据二项式系数之和为2n=128 求得n的值，可得二项式系数最大的项为第四项和第五项，利用二项展开式的通项公式求出这2项．（2）假设第r+1项的系数最大，列出不等式组求得r的值，可得结论．14.【答案】（1）解：由题意得，解得．通项为，令，得，于是系数为（2）解：设第项系数的绝对值最大，则解得，于是只能为6，所以系数绝对值最大的项为（3）解：原式【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出展开式中第3项与第5项的系数列出方程求出n的值．（2）设出第r+1项为系数的绝对值最大的项，即可列出关于r的不等式，解得即可，（3）利用二项式定理求得结果．。

1.5.2二项式系数的性质及应用1．掌握二项式定理展开式中系数的规律，明确二项式系数与各项系数的区别．(重点)2．借助“杨辉三角”数表，掌握二项式系数的对称性、增减性与最大值．(难点)[基础·初探]教材整理1杨辉三角的特点阅读教材P33，完成下列问题．1．每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等，…….2．图中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和(如图1-5-1)．3．图中每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大．4．第1行为1＝20，第2行的两数之和为2，第3行的三数之和为22……第7行的各数之和为26(如图1-5-1)．图1-5-11．如图1-5-2是一个类似杨辉三角的图形，则第n行的首尾两个数均为________．13 356 571111791822189图1-5-2【解析】由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以a n＝2n－1.【答案】2n－12．如图1-5-3，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14与第15个数之比为2∶3.11 112 1133 11464 1……图1-5-3【解析】设第n行从左到右第14与第15个数之比为2∶3，则3C13n＝2C14n，即3n！13！(n－13)！＝2n！14！(n－14)！，解得n ＝34. 【答案】 34教材整理2 二项式系数的性质 阅读教材P 33～P 34，完成下列问题．(a ＋b )n 展开式的二项式系数C 0n ，C 1n ，…，C nn 有如下性质： (1)C m n ＝C n －m n ； (2)C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1；(3)当r <n －12时，C r n <C r ＋1n ；当r >n －12时，C r ＋1n <C r n ； (4)C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n .1．已知(a ＋b )n 展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 等于________． 【解析】 因为只有第5项的二项式系数最大，所以n2＋1＝5， 所以n ＝8. 【答案】 82．已知(ax ＋1)n 的展开式中，二项式系数和为32，则n 等于________.【导学号：29440027】【解析】 二项式系数之和为C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n＝32，所以n ＝5.【答案】 53．(2016·山东高考)若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________.【解析】 根据二项展开式的通项公式求解．T r ＋1＝C r 5·(ax 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5·a 5－r x 10－52r.令10－52r ＝5，解得r ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2. 【答案】 －2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为S n，求S19的值．图1-5-4【精彩点拨】由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.【自主解答】S19＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C210＋C110)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C210＋C211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C312＝(2＋10)×92＋220＝274.“杨辉三角”问题解决的一般方法观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．如表所示：[再练一题]1．(2016·镇江高二检测)如图1-5-5所示，满足如下条件：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似“杨辉三角”．则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________．图1-5-5【解析】由图表可知第10行的第2个数为：(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，第n行的第2个数为：[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝n(n－1)2＋1＝n2－n＋22.【答案】46n2－n＋22设(1012 2 017)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 017的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 017的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 017|的值．【精彩点拨】先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．【自主解答】 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝(－1)2 017＝－1.① (2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 017＝32 017.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＝－1－32 017， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017＝－1－32 0172.(3)∵T r ＋1＝C r 2 017(－2x )r ＝(－1)r·C r 2 017·(2x )r ， ∴a 2k －1＜0(k ∈N *)，a 2k ＞0(k ∈N *)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 017| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 017＝32 017.1．解决二项式系数和问题思维流程．2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．[再练一题]2．若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6.【解】 (1)令x ＝0，则a 0＝－1；令x ＝1，得a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128，①所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝129.(2)令x ＝－1，得－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7，② 由①－②得2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝128－(－4)7， ∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝8 256.(3)由①＋②得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝128＋(－4)7， ∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－8 128.9能被64整除． 【精彩点拨】 当n ＝1时，32×1＋2－8×1－9＝64能被64整除；当n ≥2时，将32n ＋2－8n －9化为(8＋1)n ＋1－8n －9，按二项式定理展开，并提出因式64，若另一个因式为正整数，则能被64整除．【自主解答】 因为n ＝1时，32n ＋2－8n －9＝64能被64整除； 当n ≥2时，32n ＋2－8n －9＝9n ＋1－8n －9 ＝(8＋1)n ＋1－8n －9＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋C 2n ＋1·8n －1＋…＋C n n ＋1·8＋1－8n －9＝82(8n －1＋C 1n ＋1·8n －2＋C 2n ＋1·8n －3＋…＋C n －1n ＋1)，而(8n －1＋C 1n ＋1·8n －2＋C 2n ＋1·8n －3＋…＋C n －1n ＋1)∈N *，所以32n ＋2－8n －9能被64整除．1．利用二项式证明多项式的整除问题．关键是将被除式变形为二项式的形式，使其展开后每一项均含有除式的因式．若f (x )，g (x )，h (x )，r (x )均为多项式，则：(1)f (x )＝g (x )·h (x )⇔f (x )被g (x )整除．(2)f (x )＝g (x )·h (x )＋r (x )⇔r (x )为g (x )除f (x )后得的余式． 2．求余数问题的处理方法．(1)解决这类问题，必须构造一个与题目有关的二项式．(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和(或差)的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项即可．(3)要注意余数的范围，a＝c·r＋b，这式子中b为余数，b∈[0，r)，r是除数，利用二项式定理展开式变形后，若剩余部分是负数，要注意转换为正数．[再练一题]3．若n为正奇数，则7n＋C1n·7n－1＋C2n·7n－2＋…＋C n－1n·7被9除所得的余数是________. 【导学号：29440028】【解析】原式＝(7＋1)n－C n n＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C1n9n－1＋C2n·9n－2－…＋C n－1n·9(－1)n－1＋(－1)n－1.n为奇数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，则余数为7.【答案】7[探究共研型]探究1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？【提示】对称性，因为C m n＝C n－mn，也可以从f(r)＝C r n的图象中得到．探究2计算C k nC k－1n，并说明你得到的结论．【提示】C k nC k－1n＝n－k＋1k.当k<n＋12时，C k nC k－1n>1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k>n＋12时，二项式系数逐渐减小．探究3二项式系数何时取得最大值？【提示】当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项C n－12n，Cn＋12n相等，且同时取得最大值．已知f(x)＝(3x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．【精彩点拨】 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x ，y 的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．【自主解答】 令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n ＝992.∴(2n )2－2n －992＝0， ∴(2n ＋31)(2n －32)＝0，∴2n ＝－31(舍去)或2n ＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r ·x 23(5＋2r )． 假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎨⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－r )！r ！×3≥5！(6－r )！(r －1)！，5！(5－r )！r ！≥5！(4－r )！(r ＋1)！×3，∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4. ∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 45x 23(3x 2)4＝405x 263.1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．[再练一题]4．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值．【解】 由⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5，得T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 25－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1655－r ·C r 5·x 20－5r2， 令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0，所以r ＝4，常数项T 5＝C 45×165＝16.又(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于2n ， 由此得到2n ＝16，n ＝4.所以(a 2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T 3＝C 24a 4＝54，所以a ＝±3.[构建·体系]1．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为________．【解析】 由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n ，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(不合题意，舍去)， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋128的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r， 令r ＋1＝4，得r ＝3，则第四项为T 4＝C 38x 5⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝7x 5. 【答案】 7x 52．若⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1x n 的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________. 【导学号：29440029】【解析】 令x ＝1,2n ＝64⇒n ＝6. 由T r ＋1＝C r 6·36－r ·x 6－r 2·(－1)r ·x －r 2＝(－1)r C r 636－r x 3－r ，令3－r ＝0⇒r ＝3. 所以常数项为－C 3633＝－20×27＝－540.【答案】 －5403．若(x ＋3y )n 的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________．【解析】 (7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y )n 中x ＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5.【答案】 54．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________.【解析】 (a －x )5展开式的通项为T k ＋1＝(－1)k C k 5a 5－k x k ，令k ＝2，得a 2＝(－1)2C 25a 3＝80，解得a ＝2，即(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.【答案】 15．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 28的展开式中，(1)求系数的绝对值最大的项； (2)求二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项； (4)求系数最小的项．【解】 T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r ＝(－1)r C r 82r x 4－5r 2. (1)设第r ＋1项系数的绝对值最大．则⎩⎨⎧C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧18－r ≥2r ＋1，2r ≥19－r .解得5≤r ≤6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． (2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项． 所以T 5＝C 48·24·x 4－202＝1 120x －6.(3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正．则系数最大的项为T 7＝C 68·26·x －11＝1 792x －11. (4)系数最小的项为T 6＝(－1)5C 58·25x －172＝－1 792x －172.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．(a －b )7的展开式中，二项式系数最大的项是第________________________ 项，系数最大的项是第________项．【解析】 展开式共8项，二项式系数最大的项是第4，第5项，系数最大的项为第5项．【答案】 4或5 52．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的所有二项式的各项系数和是________． 【解析】 令x ＝1，得2＋22＋23＋…＋2n ＝2n ＋1－2. 【答案】 2n ＋1－23．(2015·天津高考)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________．【解析】 设通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎪⎫－14x r ＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－14r x 6－2r. 令6－2r ＝2得r ＝2， ∴x 2的系数为C 26⎝⎛⎭⎪⎫－142＝1516. 【答案】 15164．C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝________. 【导学号：29440030】 【解析】 ∵C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，又C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝C 010＋C 210＋C 410＋C 610＋C 810＋C 1010， ∴C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝29.【答案】 295．233除以9的余数是________．【解析】 233＝811＝(9－1)11＝911－C 111910＋C 21198－ (1)∴233除以9的余数是8.【答案】 86．如图1-5-6，在“杨辉三角”中，斜线l 的上方，从1开始按箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10，…，记此数列为{a n }，则a 21＝________.图1-5-6【解析】 此数列依次为C 22；C 13，C 23；C 14，C 24；C 15，C 25；…；C 112，C 212；…；a 21＝C 212＝12×112＝66.【答案】 667．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 016＋a 能被13整除，则a ＝________.【解析】 512 016＋a ＝(52－1)2 016＋a ＝C 02 016522 016－C 12 016522015＋…＋C 2 0152 016×52×(－1)2 015＋C 2 0162 016×(－1)2 016＋a .因为52能被13整除，所以只需C 2 0162 016×(－1)2 016＋a 能被13整除，即a ＋1能被13整除，所以a ＝12.【答案】 128．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图1-5-7所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.第0行 1 第1行 1 1 第2行1 2 1第3行 1 3 3 1第4行1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1图1-5-7【解析】 根据题意，设所求的行数为n ，则存在正整数k ， 使得连续三项C k －1n ，C k n ，C k ＋1n ，有C k －1n C k n＝34且C k n C k ＋1n ＝45.化简得k n －k ＋1＝34，k ＋1n －k ＝45，联立解得k ＝27，n ＝62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数． 【答案】 62 二、解答题9．已知(1＋2x )100＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 100(x －1)100，求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99的值．【解】 令x ＝2，可以得到5100＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100，① 令x ＝0，可以得到1＝a 0－a 1＋a 2－…＋a 100，② 由①②得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝12(5100－1)．10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫41x ＋3x 2n的展开式中的倒数第三项的系数是45. (1)求含x 3的项； (2)求系数最大的项．【解】 已知展开式中倒数第三项的系数为45，则C n －2n ＝45，即C 2n ＝45，所以n 2－n －90＝0，解得n ＝－9(不合题意，舍去)或n ＝10.(1)即求⎝ ⎛⎭⎪⎫41x ＋3x210展开式中含x 3的项． 由通项T r ＋1＝C r 10(x －14)10－r (x 23)r ＝C r 10x －10－r 4＋2r 3，得－10－r 4＋2r 3＝3，－30＋3r ＋8r ＝36,11r ＝66，得r ＝6.故含有x 3的项是第7项T 7＝C 610x 3＝210x 3.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫41x ＋3x 210的展开式共有11项，系数最大项是第6项． ∴T 6＝C 510(x －14)5·(x 23)5＝252x 2512.[能力提升]1．设m 是正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝________.【解析】 由题意可知13C m 2m ＝7C m ＋12m ＋1，∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！(m ＋1)！m ！，∴m ＝6. 【答案】 62．(2016·杨州高二检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3x n 的展开式的各项系数绝对值之和为 1024，则展开式中x 项的系数为________．【解析】 由4n＝1 024，得n ＝5.∴T r ＋1＝C r 5(x )5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x r ＝(－3)r C r5x 5－3r2，令5－3r2＝1，解得r ＝1，∴T 2＝C 15(－3)1x ＝－15x ，故其系数为－15.【答案】 －153．设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________. 【导学号：29440031】【解析】 令x ＝－1，则原式化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a 0＋a 1(2－1)＋a 2(2－1)2＋…＋a 11(2－1)11，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.【答案】 －24．(1)求证：5151－1能被7整除； (2)求1.9975精确到0.001的近似值．【解】 (1)证明：因为5151－1＝(49＋2)51－1＝C 0514951＋C 1514950·2＋…＋C 505149·250＋C 5151·251－1，易知除C 5151251－1以外其余各项都能被7整除．又因为251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1＝C 017717＋C 117716＋…＋C 16177＋C 1717－1 ＝7(C 717716＋C 117715＋…＋C 1617)显然能被7整除，所以5151－1能被7整除． (2)1.9975＝(2－0.003)5＝C 0525－C 15×24×0.003＋C 25×23×0.0032－C 35×22×0.0033＋C 45×21×0.0034－C 55×20×0.0035≈32－0.24＋0.000 72≈31.761.。

1．5.1二项式定理[对应学生用书P19]问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式．提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：展开式中的项数是n＋1项，每一项的次数为n.问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？提示：因(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式乘法法则知，从四个a＋b中选a 或选b是任意的．若有一个选b，则其余三个都选a，其方法有C14种，式子为C14a3b；若有两个选b，则其余两个选a，其方法有C24种，式子为C24a2b2.问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？提示：能，(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C n n b n.1．二项式定理公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)，叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，它一共有n＋1项．2．二项展开式的通项C r n a n－r b r叫做二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用T r＋1表示，即T r＋1＝C r n a n－r b r.3．二项式系数C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．1．(a＋b)n中，n∈N*，a，b为任意实数．2．二项展开式中各项之间用“＋”连接．3．二项式系数依次为组合数C0n，C1n，…，C r n，…，C n n.4．(a＋b)n的二项展开式中，字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐次减1直到0；字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐次加1直到n.[对应学生用书P19][例1] (1)(a ＋2b )4；(2)⎝⎛⎭⎫2x －32x 25. [思路点拨] 可直接利用二项式定理展开，对于(2)也可以先化简再展开． [精解详析] (1)根据二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n，得(a ＋2b )4＝C 04a 4＋C 14a 32b ＋C 24a 2(2b )2＋C 34a (2b )3＋C 44(2b )4＝a 4＋8a 3b ＋24a 2b 2＋32ab 3＋16b 4.(2)法一：⎝⎛⎭⎫2x －32x 25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4⎝⎛⎭⎫－32x 2＋ C 25(2x )3⎝⎛⎭⎫－32x 22＋C 35(2x )2⎝⎛⎭⎫－32x 23＋C 45(2x )·⎝⎛⎭⎫－32x 24＋C 55⎝⎛⎭⎫－32x 25 ＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x10.法二：⎝⎛⎭⎫2x －32x 25＝(4x 3－3)532x 10＝132x 10[C 05(4x 3)5＋ C 15(4x 3)4·(－3)＋…＋C 45(4x 3)·(－3)4＋C 55·(－3)5] ＝132x10(1 024x 15－3 840x 12＋5 760x 9－4 320x 6＋1 620x 3－243) ＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x10.[一点通] 形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．含负号的二项展开式形如(a －b )n 的展开式中会出现正负间隔的情况．1．写出(1＋2x )4的展开式．解：(1＋2x )4＝C 04×14×(2x )0＋C 14×13×(2x )1＋C 24×12×(2x )2＋C 34×11×(2x )3＋C 44×10×(2x )4＝1＋8x ＋24x 2＋32x 3＋16x 4. 2．求⎝⎛⎭⎫x －12x 4的展开式． 解：法一：⎝⎛⎭⎫x －12x 4＝C 04()x 4－C 14()x 3·12x＋C 24(x )2·⎝⎛⎭⎫12x 2－C 34x ·⎝⎛⎭⎫12x 3＋C 44⎝⎛⎭⎫12x 4＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2. 法二：⎝⎛⎭⎫x －12x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 4＝116x2(2x －1)4＝116x2(16x 4－32x 3＋24x 2－8x ＋1) ＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2.[例2] 已知二项式⎝⎭⎫x 2＋12x 10.(1)求展开式中的第5项； (2)求展开式中的常数项．[思路点拨] (1)直接利用通项公式求解； (2)利用通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r ⎝⎛⎭⎫a ＝x 2，b ＝12x ，设第r ＋1项为常数项，令x 的指数等于0即可求出r .[精解详析] (1)⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 10的展开式的第5项为T 5＝C 410·(x 2)6·⎝⎛⎭⎫12x 4＝C 410·⎝⎛⎭⎫124· x 12·⎝⎛⎭⎫1x 4＝1058x 10. (2)设第r ＋1项为常数项， 则T r ＋1＝C r 10·(x 2)10－r ·⎝⎛⎭⎫12x r ＝C r 10·x 20－52r ·⎝⎛⎭⎫12r(r ＝0,1,2，…，10)， 令20－52r ＝0，得r ＝8，所以T 9＝C 810·⎝⎛⎭⎫128＝45256， 即第9项为常数项，其值为45256.[一点通](1)二项展开式的通项T r ＋1＝C r n an －r b r表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项也随之确定．对于一个具体的二项式，通项T r ＋1依赖于r ，公式中的二项式的第一个量a 与第二个量b 的位置不能随便交换，且它们的指数和一定为n .(2)利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第r 项、常数项、含某字母的r 次方的项等．其通常解法就是根据通项公式确定T r ＋1中r 的值或取值范围以满足题设的条件．3．(x －2y )6 展开式中的第4项为________．解析：由二项展开式的通项得，(x －2y )6展开式中的第4项为C 36x6－3·(－2y )3＝－160x 3y 3. 答案：－160x 3y 34．二项式⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为________． 解析：二项展开式的通项是T r ＋1＝C r n x3n－3r x－2r＝C r n x3n－5r，令3n －5r ＝0，得n ＝5r3(r ＝0,1,2，…，n )，故当r ＝3时，n 有最小值5.答案：55．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项．解：⎝⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(x )8－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－124x r＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 8x 16－3r 4(r ＝0,1,2，…，8)，为使T r ＋1为有理项，r 必须是4的倍数，所以r ＝0,4,8，故共有3个有理项，分别是T 1＝⎝⎛⎭⎫－120C 08x 4＝x 4， T 5＝⎝⎛⎭⎫－124C 48x ＝358x ，T 9＝⎝⎛⎭⎫－128C 88x －2＝1256x 2.[例3] 已知二项式⎝⎭⎫3x －23x 10. (1)求展开式中第4项的二项式系数； (2)求展开式中第4项的系数．[思路点拨] 利用二项式的通项直接求第4项的二项式系数及第4项的系数． [精解详析] ⎝⎛⎭⎫3x －23x 10的二项展开式的通项是 T r ＋1＝C r 10()3x 10－r ·⎝⎛⎭⎫－23x r (r ＝0,1，…，10)． (1)第4项的二项式系数为C 310＝120. (2)第4项的系数为C 31037⎝⎛⎭⎫－233＝－77 760.[一点通] 要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数C r n ；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关．6．(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中，x 2的系数等于________．解析：x 2的系数是四个二项展开式中4个含x 2的系数和，则有－C 02(－1)0＋C 13(－1)1－C 24(－1)2＋C 35(－1)3＝－(C 02＋C 13＋C 24＋C 35)＝－20.答案：－207．在二项式(1－x 2)20的展开式中，第4r 项和第r ＋2项的二项式系数相等，则r ＝________.解析：第4r 项与第r ＋2项的二项式系数分别为C 4r －120和C r ＋120，由题设得C 4r －120＝C r ＋120.由组合数性质得4r －1＝r ＋1或4r －1＝20－(r ＋1)． 4r －1＝r ＋1没有整数解．由4r －1＝20－(r ＋1)，得r ＝4，所以r ＝4. 答案：48．求(2x 2＋1x)9的展开式中第3项的二项式系数及第4项的系数．解：通项公式为T r ＋1＝C r 9(2x 2)9－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝29－r ·C r 9x 18－3r ，故第3项的二项式系数为C 29＝36，第4项的系数为 26C 39＝5 376.1．求二项展开式特定项的一般步骤2.求二项展开式的特定项应注意的问题通项公式的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求第r 项；②求含x r (或x p y q )的项；③求常数项；④求有理项．其中求有理项时一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解．另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误．3．二项式系数与项的系数的区别二项式系数C r n 与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可以为负．[对应课时跟踪训练(八)]一、填空题1．(a ＋2b )10展开式中第3项的二项式系数为________． 解析：第3项的二项式系数为C 210＝10！8！×2！＝45. 答案：452．(四川高考改编)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为________． 解析：只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可，而含x 2项的系数为C 26＝15. 答案：153．二项式⎝⎛⎭⎫x 3－1x 25的展开式中的常数项为________． 解析：∵T r ＋1＝C r 5(－1)r x15－5r，令15－5r ＝0，∴r ＝3.故展开式中的常数项为C 35(－1)3＝－10.答案：－104．若(x ＋1)n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋nx ＋1(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝________.解析：a ＝C n －3n ，b ＝C n －2n ，又∵a ∶b ＝3∶1，∴C n －3n C n －2n＝C 3nC 2n ＝31，即n (n －1)(n －2)·26n (n －1)＝3，解得n ＝11.答案：115.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 9的展开式中有理项共有________项．(用数作答) 解析：由T r ＋1＝C r 9(x 2)9－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 9x18－3r, 依题意需使18－3r 为整数，故18－3r ≥0，r ≤6，即r ＝0,1,2,3,4,5,6共7项．答案：7 二、解答题6．求()x －2y 37的第4项，指出第4项的二项式系数与第4项的系数分别是什么？解：∵T 4＝C 37()x 7－3(－2y 3)3＝C 37x 2(－2)3y 9＝－280x 2y 9，∴第四项的二项式系数为C 37＝35，第四项的系数为－280. 7．若⎝⎛⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值． 解：二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 26展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6x6－r()－a r x－2r＝C r 6x6－3r()－a r .当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ， 根据已知C 26a ＝60，解得a ＝4.8．已知⎝⎛⎭⎫x ＋12x n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中含x 项的系数及二项式系数．解：⎝⎛⎭⎫x ＋12x n展开式的通项公式为 T r ＋1＝C r n·()x n －r ⎝⎛⎭⎫12x r＝⎝⎛⎭⎫12r C r n x n －2r 2. 由题意知，C 0n ，12C 1n ，14C 2n 成等差数列， 则C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，即n 2－9n ＋8＝0， 解得n ＝8或n ＝1(舍去)．∴T r ＋1＝⎝⎛⎭⎫12r C r 8x 4－r .令4－r ＝1，得r ＝3.∴含x 项的系数为⎝⎛⎭⎫123C 38＝7，二项式系数为C 38＝56.。

§5二项式定理5.1二项式定理1．能用计数原理证明二项式定理．(难点)2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．(难点)[基础·初探]教材整理二项式定理阅读教材P23～P24“例1”以上部分，完成下列问题．1．二项式定理：(a＋b)n＝_________________________________________.【答案】C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n2．二项式系数：__________________________________________________.【答案】C r n(r＝0,1,2，…，n)3．二项式通项：______，即二项展开式的第______项．【答案】C r n a n－r b r r＋14．在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式：(1＋x)n＝________________________.【答案】1＋C1n x＋C2n x2＋…＋C r n x r＋…＋x n判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．()(2)在公式中，交换a ，b 的顺序对各项没有影响．( )(3)C k n an －k b k是(a ＋b )n 展开式中的第k 项．( ) (4)(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数相同．( ) 【解析】 (1)× 因为(a ＋b )n 展开式中共有n ＋1项．(2)× 因为二项式的第k ＋1项C k n a n －k b k 和(b ＋a )n 的展开式的第k ＋1项 C k n bn －k a k 是不同的，其中的a ，b 是不能随便交换的． (3)× 因为C k n an －k b k是(a ＋b )n 展开式中的第k ＋1项． (4)√ 因为(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数都是C r n . 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)用二项式定理展开⎝ ⎭⎪⎫2x －32x 25； (2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C n n .【精彩点拨】 (1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x ＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．【自主解答】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 2＋…＋C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 25 ＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x 10.(2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k(－1)k ＋…＋C n n (－1)n ＝[(x ＋1)＋(－1)]n ＝x n .1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．[再练一题]1．(1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式；(2)化简：1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C n n .【解】 (1)法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3 ·1x ＋C 24(3x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4 ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. (2)原式＝1＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n.(1)求二项式⎝ ⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 9的展开式中x 3的系数．【精彩点拨】 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．【自主解答】 (1)由已知得二项展开式的通项为T r ＋1 ＝C r 6(2x )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 6·26－r ·，∴T 6＝－12·.∴第6项的二项式系数为C 56＝6， 第6项的系数为C 56·(－1)·2＝－12. (2)T r ＋1＝C r 9x 9－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 9·x 9－2r， ∴9－2r ＝3，∴r ＝3，即展开式中第四项含x 3，其系数为(－1)3·C 39＝－84.1．二项式系数都是组合数C r n (r ∈{0,1,2，…，n })，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第r ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C r n .例如，在(1＋2x )7的展开式中，第四项是T 4＝C 3717－3(2x )3，其二项式系数是C 37＝35，而第四项的系数是C 3723＝280.[再练一题]2．(1)(2015·安徽高考)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 7的展开式中x 5的系数是________．(用数字填写答案)(2)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 6的展开式中的常数项为________．【解析】(1)T r ＋1＝C r 7·(x 3)7－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 7x21－4r ，令21－4r ＝5，得r ＝4，C 47＝35. 故展开式中x 5的系数为35.(2)T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝(－1)r C r 626－2r x 6－2r， 令6－2r ＝0，得r ＝3，所以常数项为T 4＝(－1)3C 36＝－20. 【答案】 (1)35 (2)－20[探究共研型]探究1 如何求⎝ ⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项．【提示】 利用二项展开式的通项C r 4x 4－r ·1xr ＝C r 4x4－2r求解，令4－2r ＝0，则r ＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项为C 24＝4×32＝6.探究2 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的每一项是如何得到的？【提示】 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的各项都是由a ＋b 中的每一项分别乘以c ＋d 中的每一项而得到．探究3 如何求⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项？【提示】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项是由x ＋1x 中的x 与1x 分别与(2x ＋1)3展开式中常数项C 33＝1及x 2项C 1322x 2＝12x 2分别相乘再把积相加得x ·C 33＋1x ·C 13(2x )2＝x ＋12x ＝13x .即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项为13x .已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．【精彩点拨】 写出通项T r ＋1→令r ＝5，x 的指数为零 →(1)求出n 值→修正通项公式→(2)求x 2项的系数→考察x 指数为整数→分析求出k 值 →(3)写出有理项【自主解答】 通项公式为： T r ＋1＝C r n(－3)r＝C r n (－3)r.(1)∵第6项为常数项，∴r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10. (2)令10－2r 3＝2，得r ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405.(3)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z .令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k . ∵r ∈Z ，∴k 应为偶数， k ＝2,0，－2即r ＝2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61 236,295 245x －2.1．求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k 项，T k ＝C k －1n an －k ＋1b k －1； (2)求含x k 的项(或x p y q 的项)； (3)求常数项； (4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．[再练一题]3．(1)在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是________． (2)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．【解析】 (1)x 5应是(1＋x )10中含x 5项、含x 2项分别与1，－x 3相乘的结果，∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 26的展开式的通项是T k ＋1＝C k 6x 6－k ·(－a )k x －2k ＝C k 6x 6－3k (－a )k ，令6－3k ＝0，得k ＝2，即当k ＝2时，T k ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知得C 26a ＝60，解得a ＝4. 【答案】 (1)207 (2)4[构建·体系]1．在(x －3)10的展开式中，含x 6的项的系数是( ) A ．－27C 610B ．27C 410C ．－9C 610D ．9C 410【解析】 含x 6的项是T 5＝C 410x 6(－3)4＝9C 410x 6.【答案】 D2．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式中常数项是( )A ．－28B ．－7C ．7D ．28【解析】T k ＋1＝C k 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x k ＝(－1)k ·C k 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫128－k·，当8－43k ＝0，即k ＝6时，T 7＝(－1)6·C 68·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝7. 【答案】 C3．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式中，中间项是________．【解析】 由n ＝6知中间一项是第4项，因T 4＝C 36(2x 2)3·⎝⎛⎭⎪⎫－1x 3＝C 36·(－1)3·23·x 3，所以T 4＝－160x 3.【答案】 －160x 34．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________. 【导学号：62690021】【解析】 T k ＋1＝C k 9·(x 2)9－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ·C k 9·x 18－3k ，当k ＝3时，T 4＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－123·C 39·x 9＝－212x 9，所以第4项的二项式系数为C 39＝84，项的系数为－212. 【答案】 84 －2125．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋23x 25的展开式的第三项的系数和常数项．【解】 T 3＝C 25(x 3)3⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 22＝C 25·49x 5，所以第三项的系数为C 25·49＝409. 通项T k ＋1＝C k 5(x 3)5－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·C k 5x 15－5k ，令15－5k ＝0，得k ＝3，所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 23＝8027.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设S ＝(x －1)3＋3(x －1)2＋3(x －1)＋1，则S 等于( ) A ．(x －1)3 B ．(x －2)3 C ．x 3D ．(x ＋1)3【解析】 S ＝[(x －1)＋1]3＝x 3. 【答案】 C2．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7 的展开式的第4项等于5，则x 等于( )A.17 B ．－17 C ．7D ．－7 【解析】 T 4＝C 37x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝5，则x ＝－17. 【答案】 B3．若对于任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12【解析】 x 3＝[2＋(x －2)]3，a 2＝C 23×2＝6. 【答案】 B4．使⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7【解析】 T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r＝C r n 3n －r，当T r ＋1是常数项时，n －52r＝0，当r ＝2，n ＝5时成立．【答案】 B5．在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 2 01510的展开式中，含x 2项的系数为( )A ．10B ．30C ．45D ．120【解析】 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 2 01510＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋1x 2 01510＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x 2 015＋…＋C 1010⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 01510，所以x 2项只能在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45，故选C.【答案】 C 二、填空题6．(2015·北京高考)在(2＋x )5的展开式中，x 3的系数为________．(用数字作答)【解析】 设通项为T r ＋1＝C r 525－r x r ，令r ＝3，则x 3的系数为C 35×22＝10×4＝40.【答案】 407．设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________．【解析】 对于T r ＋1＝C r 6x6－r(－a )r ＝C r 6(－a )r·，B ＝C 46(－a )4，A ＝C 26(－a )2.∵B ＝4A ，a >0，∴a ＝2.【答案】 28．9192被100除所得的余数为________. 【导学号：62690022】【解析】 法一：9192＝(100－9)92＝C 092·10092－C 192·10091·9＋C 292·10090·92－…＋C 9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C 092·1092－C 192·1091＋…＋C 9092·102－C 9192·10＋1， 前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.法二：9192＝(90＋1)92＝C 092·9092＋C 192·9091＋…＋C 9092·902＋C 9192·90＋C 9292.前91项均能被100整除，剩下两项和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.【答案】 81三、解答题9．化简：S ＝1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C n n (n ∈N ＋)．【解】 将S 的表达式改写为：S ＝C 0n ＋(－2)C 1n ＋(－2)2C 2n ＋(－2)3C 3n ＋…＋(－2)n C n n ＝[1＋(－2)]n ＝(－1)n .∴S ＝(－1)n ＝⎩⎨⎧1，n 为偶数时，－1，n 为奇数时. 10．(2016·淄博高二检测)在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数；(2)含x 2的项．【解】 (1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24·C 26x ， 所以第3项的系数为24C 26＝240.(2)T k ＋1＝C k 6(2x )6－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k 26－k C k 6x 3－k ，令3－k ＝2，得k ＝1. 所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.[能力提升]1．(2016·吉林高二期末)若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n 能被7整除，则x ，n 的值可能为( )A ．x ＝4，n ＝3B ．x ＝4，n ＝4C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝5【解析】 C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n －1，分别将选项A ，B ，C ，D 代入检验知，仅C 适合．【答案】 C2．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x )2＋(1－x )3＋…＋(1－x )n 中x 2项的系数为( )A ．－19B ．19C ．20D ．－20【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的通项公式为T r ＋1＝C r n (x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r n ，由题意知n 2－5×36＝0，得n ＝5，则所求式子中的x 2项的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 25＝1＋3＋6＋10＝20.故选C.【答案】 C3．(2016·成都高二检测)在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．【解析】 T r ＋1＝C r 20x 20－r (43y )r ＝C r 20 x 20－r y r ，其系数为C r 20.要使C r 20为有理数，r 4∈Z ，又0≤r ≤20，则r ＝0,4,8,12,16,20，因此，系数为有理数的项共有6项．【答案】 64．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式的常数项． 【解】 法一：由二项式定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝C 05·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5＋C 15·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2＋C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 3·(2)2＋C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3＋C 45·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ·(2)4＋C 55·(2)5. 其中为常数项的有：C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2中的第3项：C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2； C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3中的第2项：C 35C 12·12·(2)3；展开式的最后一项C 55·(2)5. 综上可知，常数项为C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2＋C 35C 12·12·(2)3＋C 55·(2)5＝6322. 法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5 ＝132x 5·[(x ＋2)2]5＝132x 5·(x ＋2)10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5的项的系数，即C 510·(2)5，所以所求的常数项为C 510·(2)532＝6322.。

§5二项式定理第一课时二项式定理[对应学生用书P15](a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4；(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5.根据上述规律归纳出(a＋b)n(n∈N＋，n≥2)的展开式，并思考下列问题．问题1：(a＋b)n展开式中共有多少项？提示：n＋1项．问题2：(a＋b)n展开式中系数有什么特点？提示：依次为组合数C0n，C1n，C2n，…，C n n.问题3：(a＋b)n展开式中每项的次数有什么特点？项的排列有什么规律？提示：每一项的次数和是一样的，都是n次，并且是按a的降幂排列，b的升幂排列．二项式定理n n n(1)(a＋b)n的展开式中共有n＋1项，字母a的幂指数按降幂排列，字母b的幂指数按升幂排列，每一项的次数和为n.(2)通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r是第r ＋1项而不是r 项．[对应学生用书P16][例1] (1)求⎝⎛⎭⎫3x ＋1 x 4的展开式；(2)化简(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．[思路点拨] (1)直接运用公式将其展开，也可先变形，后展开；(2)根据所给式子的形式，考虑逆用二项式定理．[精解详析] (1)法一：⎝⎛⎭⎫3x ＋1 x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3·1x＋C 24(3x )2·⎝⎛⎭⎫1x 2＋C 34(3x )·⎝⎛⎭⎫1x 3＋C 44·⎝⎛⎭⎫1x 4 ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.法二：⎝⎛⎭⎫3x ＋1 x 4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.(2)原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55(x －1)0－1＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1.[一点通] 求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a －b )n 的展开式中会出现正负间隔的情况．1．1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋16C 4n ＋…＋(－2)n C n n 的值为( )A ．1B ．－1C ．(－1)nD ．3n解析：1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋16C 4n ＋…＋(－2)n C n n ＝[1＋(－2)]n ＝(1－2)n ＝(－1)n .答案：C2．求⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23的展开式．解：⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23＝⎝⎛⎭⎫x －1x 6＝1x6(x 2－1)6 ＝1x 6[C 06(x 2)6－C 16(x 2)5＋C 26(x 2)4－C 36(x 2)3＋C 46(x 2)2－C 56x 2＋C 66] ＝1x 6(x 12－6x 10＋15x 8－20x 6＋15x 4－6x 2＋1) ＝x 6－6x 4＋15x 2－20＋15x 2－6x 4＋1x6.[例2] 已知在⎝ ⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求展开式中所有的有理项．[思路点拨] 首先利用通项公式可求得幂指数n ，进而利用通项公式可求得所有的有理项．[精解详析] (1)二项展开式的通项为 C r n (3x )n －r⎝⎛⎭⎪⎫－33x r ＝(－3)r C r n x n －2r3. ∵第6项为常数项，∴当r ＝5时，n －2r 3＝0，解得n ＝10.(2)根据通项公式，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧n －2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z .令10－2r 3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k . ∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，∴k ＝2,0，－2， ∴r ＝2,5,8.∴第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61 236,295 245x －2.[一点通](1)求二项展开式中的某些特定项时，通常先利用通项公式由题意求出r ，再求所需的某项；有时需要先求出n ，计算时要注意n 和r 的取值范围以及它们之间的大小关系．(2)处理常数项问题的关键是抓住变量的指数为0，有理项问题的关键是变量的指数为整数．3．(湖南高考)⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( )A ．－20B ．－5C ．5D ．20解析：由二项展开式的通项可得，第四项T 4＝C 35⎝⎛⎭⎫12x 2(－2y )3＝－20x 2y 3，故x 2y 3的系数为－20，选A.答案：A4．(江西高考)⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80 C ．40D ．－40解析：T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫－2x 3r ＝C r 5·(－2)r ·x 10－5r，令10－5r ＝0，得r ＝2，故常数项为C 25×(－2)2＝40.答案：C5．求(x －3x )9展开式中的有理项．解：∵T r ＋1＝C r 9(x 12)9－r (－x 13)r ＝(－1)r C r 9x 27－r 6， 令27－r 6∈Z ，即4＋3－r6∈Z ，且r ＝0,1,2，…，9. ∴r ＝3或r ＝9.当r ＝3时，27－r 6＝4，T 4＝(－1)3C 39x 4＝－84x 4； 当r ＝9时，27－r 6＝3，T 10＝(－1)9C 99x 3＝－x 3. ∴(x －3x )9的展开式中的有理项是第4项：－84x 4， 第10项：－x 3.[例3] (8分)已知二项式⎝⎭⎫3x －23x 10. (1)求展开式中第4项的二项式系数； (2)求展开式中第4项的系数．[思路点拨] 利用二项式的通项求第4项的二项式系数及系数． [精解详析] ⎝⎛⎭⎫3x －23x 10的二项展开式的通项是 T k ＋1＝C k 10(3x )10－k ⎝⎛⎭⎫－23x k (k ＝0,1，…，10)．(4分)(1)第4项的二项式系数为C 310＝120.(6分)(2)第4项的系数为C 31037⎝⎛⎭⎫－233＝－77 760.(8分)[一点通] 要注意区分某项的二项式系数与系数的区别，前者只与二项式的指数及第几项有关，与二项式无关，它是一个组合数C r n ；后者与二项式、二项式的指数及项中字母的系数均有关．6．(新课标全国卷Ⅱ)已知(1＋ɑx )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ＝( ) A ．－4B.－3C ．－2D ．－1解析：展开式中含x 2的系数为C 25＋a C 15＝5，解得a ＝－1，故选D.答案：D7．(浙江高考)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210解析：由题意知f (3,0)＝C 36C 04，f (2,1)＝C 26C 14，f (1，2)＝C 16C 24，f (0,3)＝C 06C 34，因此f (3,0)＋f (2,1)＋f (1，2)＋f (0,3)＝120，选C.答案：C8．求二项式⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数． 解：二项式⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中第6项为 C 562x ⎝⎛⎭⎫－1x 5＝－12x －92， ∴第6项的二项式系数为C 56＝6， 第6项的系数为－12.求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r ，再求所需的某项；有时需先求n ，计算时要注意n 和r 的取值范围及它们之间的大小关系．[对应课时跟踪训练(七)]1．(x －2y )7的展开式中的第4项为( )A ．－280x 4y 3B ．280x 4y 3C ．－35x 4y 3D ．35x 4y 3解析：(x －2y )7的展开式中的第4项为T 4＝C 37x 4(－2y )3＝(－2)3C 37x 4y 3＝－280x 4y 3.答案：A2．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( ) A ．－27C 610B ．27C 410C ．－9C 610D ．9C 410解析：T k ＋1＝C k 10·x 10－k (－3)k ，令10－k ＝6，知k ＝4，∴T 5＝C 410x 6(－3)4，即x 6的系数为9C 410.答案：D3．(大纲全国卷)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112D ．168解析：在(1＋x )8展开式中含x 2的项为C 28x 2＝28x 2，(1＋y )4展开式中含y 2的项为C 24y 2＝6y 2，所以x 2y 2的系数为28×6＝168，故选D.答案：D4．已知⎝⎛⎭⎫2x 3＋1x n 的展开式中的常数项是第7项，则正整数n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10解析：⎝⎛⎭⎫2x 3＋1x n 的展开式的通项T r ＋1＝C r n 2n －r x 3n －4r ，由r ＝6时，3n －4r ＝0.得n ＝8. 答案：B5．(安徽高考)若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________. 解析：二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8a rx 8－43r ，令8－43r ＝4，可得r ＝3，故C 38a 3＝7，易得a ＝12.答案：126．(浙江高考)设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________.解析：T r ＋1＝(－1)r C r 5x 15－5r6，令15－5r ＝0，得r ＝3，故常数项A ＝(－1)3C 35＝－10. 答案：－107.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋23x n 展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x 的一次项系数．解：由题意知，C 8n ＝C 9n .∴n ＝17.∴T r ＋1＝C r 17x 17－r 2·2r ·x －r 3＝C r 17·2r ·x 17－r 2－r 3. ∴17－r 2－r3＝1. 解得r ＝9.∴T r ＋1＝C 917·x 4·29·x －3， 即T 10＝C 917·29·x . 其一次项系数为C 917·29. 8．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－13x 8的展开式中，求：(1)第5项的二项式系数及第5项的系数； (2)倒数第3项．解：法一：利用二项式的展开式解决．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－13x 8＝(2x 2)8－C 18(2x 2)7·13x＋C 28(2x 2)6·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－C 38(2x 2)5·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋C 48(2x 2)4·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 4－C 58(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 5＋C 68(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 6－C 78(2x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 7＋C 88⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 8，则第5项的二项式系数为C 48＝70，第5项的系数C 48·24＝1 120. (2)由(1)中⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－13x 8的展开式可知倒数第3项为C 68·(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 6＝112x 2. 法二：利用二项展开式的通项公式．(1)T 5＝C 48(2x 2)8－4·⎝⎛⎭⎪⎫－13x 4＝C 48·24·x 203， 则第5项的二项式系数是C 48＝70， 第5项的系数是C 48·24＝1 120. (2)展开式中的倒数第3项即为第7项， T 7＝C 68·(2x 2)8－6·⎝⎛⎭⎪⎫－13x 6＝112x 2.。