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第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法一、 知识点 （一）数列的定义1、按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项）排在第二位的数称为这个数列的第2项，…,排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。
2、数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列，例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4,3，是不同的数列。
3、在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此 ，同一个数在数列中可以重复出现4、数列的一般形式可以写成12,,...,,...n a a a 此数列可简记为{}n a 例如;把数列1111,,,...,,...23n 简记作1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭5、数列的项通常用字母加右下角标表示，其中右下角标表示项的位置序号、我们还应注意到这里{}n a 与n a 是不同的：{}n a 表示数列12,,...,n a a a ；而n a 只表示这个数列的第n 项，这里{}n a 是数列的简记符号，并不表示一个集合。
（二）数列的分类根据数列的项数可以对数列进行分类 1、 项数有限的数列叫有穷数列 2、 项数无限的数列叫无穷数列补充说明：按照项与项之间的大小关系、数列的增减性，可以分为以下几类1、 递增数列：一个数列，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项（即1n n a a +>），这样的数列叫做递增数列。
2、 递减数列：一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项（即1n n a a +<）， 这样的数列叫做递减数列。
3、 摆动数列：一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做摆动数列。
4、 常数列：一个数列，如果它的每一项都相等，这个数列叫做常数列。
2.1 数列的概念与简单表示法2.1.1 数列的概念与简单表示法(一)从容说课本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.通过本节课的学习使学生能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式. 教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.教具准备 课件三维目标 一、知识与技能1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式. 二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性. 三、情感态度与价值观1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.教学过程 导入新课师 课本图211中的正方形数分别是多少？生 1，3，6，10，….师 图212中正方形数呢？生 1，4，9，16，25，….师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…;无穷多个数排成一列数：1，1，1，1，….生 一些分数排成的一列数：32，154，356，638，9910，….推进新课［合作探究］ 折纸问题师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓).生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；① 随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,2561 ,…. 生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1[]256式，再折下去太困难了.师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？生 均是一列数.生 还有一定次序.师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数. ［教师精讲］1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….同学们能举例说明吗？ 生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列.2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？ 生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列.［知识拓展］ 师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n 项？生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n 项，应为a n =2n .［合作探究］同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系，项 2 4 8 16 32↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5你能从中得到什么启示？生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数a n =f(n )，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n ),…. 师 说的很好.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. ［例题剖析］1.根据下面数列{a n }的通项公式，写出前5项：(1)a n =1+n n ;(2)a n =(-1)n ·n . 师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.生 解：(1)n =1,2,3,4,5.a 1=21;a 2=32;a 3=43;a 4=54;a 5=65. (2)n =1,2,3,4,5.a 1=-1;a 2=2;a 3=-3;a 4=4;a 5=-5.师 好！就这样解.2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，11，…；(2)32，154，356，638，9910，…； (3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…；(5)2，-6，12，-20，30，-42，….师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间)生老师，我写好了！解：(1)a n ＝2n ＋1；(2)a n ＝)12)(12(2+-n n n ；(3)a n ＝2)1(1n -+； (4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，∴a n ＝n ＋2)1(1n-+； (5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…，∴a n ＝(-1)n +1n (n ＋1).师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.［合作探究］师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：函数 数列(特殊的函数) 定义域R 或R 的子集 N *或它的有限子集{1，2，…，n } 解析式y=f(x) a n =f(n ) 图象 点的集合 一些离散的点的集合师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列:4，5，6，7，8，9，10…;② 1,21 ,31 ,41 ,…③的图象. 生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为师 数列4，5，6，7，8，9，10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？ 生 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关.师 数列1,21 ,31 ,41 ,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？ 生 与我们学过的反比例函数x y 1=的图象有关. 师 这两数列的图象有什么特点？生 其特点为：它们都是一群孤立的点.生 它们都位于y 轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y 轴的右侧的点. 本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念.课堂小结对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式.布置作业课本第38页习题2.1 A 组第1题.板书设计数列的概念与简单表示法(一)定义1.数列 例12.项3.一般形式 例2 函数定义4.通项公式5.有穷数列6.无穷数列备课资料一、备用例题1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，3，5，7；(2)515;414,313;2122222----; (3)211⨯-,321⨯- ,431⨯- ,541⨯-. 分析：(1)项：1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1↓ ↓ ↓ ↓序号： 1 2 3 4所以我们得到了a n =2n -1；(2)序号： 1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓项分母： 2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 ↓ ↓ ↓ ↓项分子： 22-1=(1+1)2-1 32-1=(2+1)2-1 42-1=(3+1)2-1 52-1=(4+1)2-1所以我们得到了a n =1)1(2++n n 或1)2(+•+n n n ； (3)序号: 1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓211⨯- 321⨯- 431⨯- 541⨯- ↓ ↓ ↓ ↓)11(11+⨯- )12(21+⨯- )13(31+⨯- )14(41+⨯- 所以我们得到了a n =-)1(1+⨯n n . 2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前n 项分别是下列各数：(1)1,0,1,0; 〔a n =2)1(11+-+n ,n ∈N *〕 (2)-32,83 ,154- ,245,356-; 〔a n =(-1)n ·1)1(12-++n n 〕 (3)7,77,777,7 777; 〔a n =97×(10n -1)〕 (4)-1,7,-13,19,-25,31; 〔a n =(-1)n (6n -5)〕(5)23,45 ,169 ,25617. 〔a n =12212-+n n 〕 点评：上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式，根据数列的前几项来写出这数列的通项公式时，常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等.遇到分数的时候，常可根据需要把分子和分母同时扩大再来看看分子和分母中数的规律性，有时可直截了当地研究分子和分母之间的关系.3.已知数列{a n }的通项公式是a n =2n 2-n ，那么( )A .30是数列{a n }的一项B .44是数列{a n }的一项C.66是数列{a n }的一项 D .90是数列{a n }的一项分析：注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决.答案：C点评：看一个数A 是不是数列{a n }中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n ，使得a n =A .4.(链接探究题)假定有一张极薄的纸，厚度为2001cm 就是每200张叠起来刚好为1 cm ，现在把这张纸裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 1；再裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 2，又裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 3，这样一裁一叠，每次叠起来所得的厚度依次排列，就得到一个数列：a 1,a 2,a 3,…,a k ,….你能求出这个数列的通项公式吗？你知道a 50，即裁了50次、叠了50次后的厚度是多少厘米吗？是否有10层楼高呢？答案：这个数列的通项公式为a n =2002n， 裁了50次、叠了50次后的厚度是5 629 499 534 213.12 cm ＞56 294 995 km ，大于地球到月球距离的146倍. 二、阅读材料无法实现的奖赏相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔，据说是他发明了国际象棋，古印度的舍罕王学会了下国际象棋以后，非常激动，他要重赏他的宰相达依尔. 达依尔对他的国王说：陛下，我不要您的重赏，只要您按我下面的办法赏我一些麦粒就可以了：在我的棋盘上(它有64个格)第一格赏1粒，第二格赏2粒，第三格赏4粒，第四格赏8粒……依此类推每后一格的麦粒数都是前面一格的两倍.国王答应了达依尔的要求，但是几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现的奖赏.请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢？ 2.1.2 数列的概念与简单表示法(二)从容说课这节课通过对数列通项公式的正确理解，让学生进一步了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；通过经历数列知识的感受及理解运用的过程，作好探究性教学.发挥学生的主体作用，提高学生的分析问题以及解决问题的能力.教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项.教学难点 理解递推公式与通项公式的关系.教具准备 多媒体三维目标一、知识与技能1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项.二、过程与方法1.经历数列知识的感受及理解运用的过程;2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验;3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.教学过程导入新课师 同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？生 如果数列{a n }的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.师 你能举例说明吗？生 如数列0，1，2，3，…的通项公式为a n =n -1(n ∈N *);1,1,1的通项公式为a n =1(n ∈N *,1≤n ≤3); 1,21 ,31 ,41 ,…的通项公式为a n =n1 (n ∈N *). ［合作探究］数列的表示方法 师 通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列？ 生 图象法，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数n 为横坐标，相应的项a n 为纵坐标，即以(n ,a n )为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列1, 21,31,41,…为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.师 说得很好，还有其他的方法吗？生 ……师 下面我们来介绍数列的另一种表示方法：递推公式法 知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题.下面同学们来看右下图：钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型.生 模型一：自上而下第1层钢管数为4,即14＝1+3;第2层钢管数为5,即25＝2+3;第3层钢管数为6,即36＝3+3;第4层钢管数为7,即47＝4+3;第5层钢管数为8,即58＝5+3;第6层钢管数为9,即69＝6+3;第7层钢管数为10,即710＝7+3.若用a n 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且a n =n +3(1≤n ≤7). 师 同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？(启发学生寻找规律)生 模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1,即a 1=4；a 2=5=4+1=a 1+1；a 3=6=5+1=a 2+1.依此类推：a n =a n -1+1(2≤n ≤7).师对于上述所求关系，同学们有什么样的理解?生 若知其第1项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项.师 看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式. 推进新课1.递推公式定义：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n -1(或前n 项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.注意：递推公式也是给出数列的一种方法.如下列数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89.递推公式为：a 1=3,a 2=5,a n =a n -1+a n -2(3≤n ≤8).2.数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，函数的表示法有：列表法、图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法：即列表法、图象法、解析式法. ［例题剖析］【例1】 设数列{a n }满足1,11111＞n a a a n n ⎪⎩⎪⎨⎧+==-.写出这个数列的前五项. 师 分析：题中已给出{a n }的第1项即a 1=1，题目要求写出这个数列的前五项，因而只要再求出二到五项即可.这个递推公式：a n =1+11-n a 我们将如何应用呢? 生 这要将n 的值2和a 1=1代入这个递推公式计算就可求出第二项，然后依次这样进行就可以了.师 请大家计算一下!生 解：据题意可知：a 1=1,a 2=1+11a =2,a 3=1+21a =32,a 4=1+31a =35,a 5=58师 掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中的前项与后项，或前后几项之间的关系.【例2】 已知a 1=2，a n +1=2a n ，写出前5项，并猜想a n .师 由例1的经验我们先求前5项.生 前5项分别为2，4，8，16，32.师 对，下面来猜想第n 项.生 由a 1=2，a 2=2×2=22，a 3=2×22=23观察可得，我猜想a n =2n .师 很好!生 老师，本题若改为求a n 是否还可这样去解呢?师 不能.必须有求解的过程.生 老师，我由a n +1=2a n 变形可得a n =2a n -1，即21=-n n a a ，依次向下写，一直到第一项，然后将它们乘起来，就有⨯⨯⨯-----32211n n n n n n a a a a a a …×1122-=n aa ，所以a n =a 1·2n -1=2n .师 太妙了，真是求解的好方法.你所用的这种方法通常叫迭乘法，这种方法在已知递推公式求数列通项的问题中是比较常用的方法，对应的还有迭加法. ［知识拓展］已知a 1=2，a n +1=a n -4,求a n .师 此题与前例2比较，递推式中的运算改为了减法，同学们想一想如何去求解呢? 生1 写出：a 1=2，a 2=-2，a 3=-6，a 4=-10，…观察可得：a n =2+(n -1)(n -4)=2-4(n -1).生2 他这种解法不行，因为不是猜出a n ，而是要求出a n .我这样解：由a n +1-a n =-4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来,a n -a n -1=-4a n -1-a n -2=-4a n -2-a n -3=-4 …… )1(44a )112--=--=-+n a a a n ∴a n =2-4(n -1).师 好极了，真是触类旁通啊，这种方法也请同学们课后多体会.［教师精讲］(1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的.例如，由数列{a n }中的递推公式a n +1=2a n +1无法写出数列{a n }中的任何一项，若又知a 1=1，则可以依次地写出a 2=3,a 3=7,a 4=15,….(2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式.［学生活动］根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.(投影片)(1)a 1＝0，a n +1＝a n ＋(2n -1)(n ∈N )；(2)a 1＝1，a n +1＝2+n n a a (n ∈N )； (3)a 1＝3，a n +1＝3a n -2(n ∈N ).(让学生思考一定时间后，请三位学生分别作答)解：(1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9，a 5＝16，∴a n ＝(n -1)2.(2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝21=42，a 4＝52，a 5＝31 =62，∴a n ＝12+n . (3)a 1＝3＝1+2×30，a 2＝7＝1+2×31，a 3＝19＝1+2×32，a 4＝55＝1+2×33，a 5＝163＝1+2×34，∴a n ＝1＋2·3 n -1.注：不要求学生进行证明归纳出通项公式.［合作探究］一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？析：这题是一道应用题，这里难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到.爬一级梯子的方法只有一种.爬一个二级梯子有两种,即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种.若设爬一个n级梯子的不同爬法有a n种,则a n=a n-1+a n-2+a n-3(n≥4),则得到a1=1,a2=2,a3=4及a n=a n-1+a n-2+a n-3(n≥4)，就可以求得a8=81.课堂小结师这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，要注意理解它与通项公式的区别，谁能说说？生通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.生对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2，3…,即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n项)，才可求得其他的项.(让学生自己来总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.培养学生的概括能力和语言表达能力)布置作业课本第38页习题2.1A组第4、6题.预习内容：课本P41～P 44.数列的概念与简单表示法(二)一、定义二、例题讲解小结：7.递推公式：例1通项公式与例2 递推公式区别。
张喜林制2.1.1 数列教材知识检索考点知识清单1．数列、数列的项： 叫做数列， 叫做这个数列的项． 2．数列的通项公式： ———————————————————.就叫做这个数列的通项公式．3．数列可用图象来表示，在直角坐标系中，以 来表示一个数列，数列的图象是一些 ，它们位于 ．4.根据数列的项数可以把数列分为 和 ，根据数列中项与项的大小关系可以把数列分，为 、 、 和 ．5.数列与函数的关系： ．要点核心解读1．数列的概念(1)按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做数列的项，数列的一般形式：,,,,,,321 n a a a a 简记为n n a a },{是数列}{n a 的第n 项．（2）数列可以看成以正整数集+N （或它的有限子集{1，2，3，…，n})为定义域的函数),(n f a n =当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值． 2．数列的通项公式如果数列}{n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.通项公式是数列的一个重要概念．如果已知一个数列的通项公式，那么只要依次用1，2，3，…，代替公式中的n ，就可以求出这个数列的各项．要由数列的项写出数列的一个通项公式，只需观察、分析数列中的项的构成规律（即寻找项与项数的函数关系），将项n a 表示为项数n 的函数关系．3．数列的表示(1)通项公式；(2)列表；(3)图象（一群孤立的点）．4．数列的分类(1)按数列中项数的有限与无限分类：(2)按数列中项与项之间的大小关系分类：(3)按各项绝对值是否小于某一个正数分类：（注：后两种分类课本未介绍，但了解它对以后的学习有利，故在此加以介绍） 5．应注意的问题(1)由数列的定义可知：①数列中的项是数（包括表示数的式），不能是其他；②数列中的项是要考虑顺序的，不像集合里的元素有无序性；③数列中不同的项可以相等，不像集合里元素必须互异；n n a a 与④}{ 是不同的，}{n a 表示一个数列，而n a 是数列}{n a 的第n 项．(2)对于通项公式应注意：①通项公式实质是数列的项与其项数之间的函数关系式，只不过定义域是正整数集+N （或它的有限子集{1，2，3，…，n}），因此可以用函数方法研究数列的有关问题；②并不是所有的数列都有通项公式；③有些数列的通项公式有不同的形式，特别是只给出前面几项的数列更是如此；④数列的通项公式可以用分段函数表示．(3)利用数列的单调性研究数列的有关问题时，一定要注意自变量n （项数）只能取正整数．典例分类剖析考点1 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式 命题规律(1)根据数列的前几项，归纳出数列的通项公式．(2)根据数列的递推 关系，归纳、猜 想数列的通项公式．[例1]写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数．;,225,8,29,2,21)1( ;,9,7,5,3,1)2( -- ;,,,,,,)3( b a b a b a ,9999,999,99,9)4([解析] (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：,,225,216,29,24,21 所以，它的一个通项公式为⋅=22n a n(2)数列各项的绝对值为1，3， 5，7，9，…，是连续的正奇数；考虑1)1(+-n 具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为).12()1(1--=+n a n n(3)这是个摆动数列，可寻找其摆动平衡位置与摆动振幅，平衡位置：,2b a +振幅：,2ba -用n )1(- 或1)1(+-n 去调节，则⋅--++=+2)1(21ba b a a n n (4)各项加l 后，变为,,10000,1000,100,10 此数列的通项公式为,10n 可得原数列的通项公式为.110-=n n a[答案] 2)1(2n a n = )12()1()2(1--=+n a n n =n a )3(2)1(21ba b a n --+++ 110)4(-=n n a[误区诊断] (1)奇数列l ，3，5，7'．，一的通项公式易误写为2n +1．应为2n -1．(2)正负相间用1)1(+-n 来调节，负正相间用n )1(-来调节．[方法技巧] 根据数列的前几项写通项公式，体现了由特殊到一般的认知过程，解决这类问题一定要注意观察项与项数的关系和相邻项间的关系． 具体可参考以下几个思路：①先统一项的结构，如都化成分数、根式等．②分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式，如本例(1)中可将分子、分母分别处理.③对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以k )1(-处理符号，如本例(2).④对于周期出现的数列，如本例(3)可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．还必须熟练地掌握一些基本数列的通项公式，比如下面这些数列均属于基本数列，它们的通项公式必须记住．(1)数列-1，l ，-1，1，…的通项公式是;)1(n n a -= (2)数列1，2，3，4，…的通项公式是,n a n = (3)数列l ，3，5，7，…的通项公式是;12-=n a n (4)数列2，4，6，8，…的通项公式是⋅=n a n 2 (5)数列1，2，4，8，…的通项公式是,21-=n n a (6)数列1，4，9，16，…的通项公式是,2n a n = (7)数列 ,41,31,21,1的通项公式是na n 1=（其中).+∈N n 母体迁移 1．设数列,31,0},{11nnn n a a a a a -+==+写出数列的前4项并归纳出该数列的通项公式， 考点2 用递推公式法求数列中的项命题规律(1)利用简单的递推公式去求数列的通项． (2)利用递推公式去求数列中的某些项．[例2] （2010年黄冈市训练题）数列，}{n a 中求==21,1a a ,,612n n n a a a -=++求⋅2010a . [解析] 本题若从一般入手，难以求出其通项公式，因此不妨从特例入手，看一看数列的构成规律．一[答案] ,5,6,1,5,6,1654321-=-=-====a a a a a a 6,1,5,6,11110987-=-====a a a a a .512-=a 猜想}{n a 是以6为周期的周期数列（即相同的6项循环地出现的数列）．事实上，n n n a a a -=++12n n n a a a --=-1,,31n n n a a a -=∴-=+--=∴+6n a ⋅=+n n a a 3即}{n a 是以6为周期的周期数列． .5633562010-===∴⨯a a a[启示] 本例中，通过特例（求出数列}{n a 的前几项）发现一般规律（周期数列），再利用这一般规律求出特殊项),2010a （这正是特殊与一般的思想方法的具体体现，也是人类思维活动的程序“实践—一认识——再实践——再认识……”的特殊情形．母体迁移 2．若数列}{n a 的前8项的值互异且=+8n a n a 对任意+∈N n 都成立，则下列数列中可取遍 }{n a 的前8项值的数列为( )．（其中)N k ∈ }.{12+k a A }.{13+k a B }.{14+k a C }.{16+k a D考点3 数列与函数命题归律(1)通过函数的思想来判断数列的单调性．(2)通过求函数最值的思想方法来求数列的最值． [例3] 已知数列}{n a 的通项公式为,452+-=n n a n 则 (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，n a 有最小值？并求出最小值．[解析] 数列的通项n a 与n 之间构成二次函数关系，可结合二次函数知识去进行探求，同时要注意n 的取值范围．[答案] (1)由,0452<+-n n 解得.41<<n .3,2,=∴∈+n N n∴ 数列中有两项是负数．,49)25(45)2(22--=+-=n n n a n∴ 对称轴方程为.5.225==n 又因,+∈N n 故2=n 或3时，n a 有最小值，其最小值为-22.2425-=+⨯母体迁移 3．在数列}{n a 中，nn n a )1110)(1(+=⋅∈+)(N n (1)求证：数列}{n a 先递增，后递减； (2)求数烈}{n a 的最大项．优化分层测讯学业水平测试1．下列说法中，不正确的是( )． A ．数列1，1，1，…是无穷数列B ．数列l ，2，3，…不一定是递增数列C ．数列)}({n f 就是定义在正整数集+N 上或它的有限子集},,3,2,1{n 上的函数．)(n f 的一列函数值D ．已知数列,,,,,,321 n a a a a 则}{1++n n a a 也是一个数列2．下列解析式中不是数列l ，-1，1，-1，1，…的通项公式的是( )．n n a A )1(.-= 1)1(.+-=n n a B 1)1(.--=n n a C ⎩⎨⎧-=为偶数为奇数n n a D n ,1,1.3．设数列,,11,22,5 则52是这个数列的( )．A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项4．数列 ,177,73,115,21,53的一个通项公式为5．若数列}{n a 的通项公式是,23n n a -=则=n a 2=32a a6．求数列}392{2++-n n 中的最大值．高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本题包括7小题，每小题5分，共35分，每小题只有一个选项符合题意） 1．（2010年辽宁调考题）数列2417,810,35ba b a -+，中，有序数对(a ，b)可以是( )． )5,21.(-A )1,16.(-B )211,241.(-C )211,241.(-D 2．数列 ,151,71,31,1--的通项n a 是( )． 121)1(--⋅n A n121)1(--⋅n nB 12)1(.1---nC n 12)1(.1---n n D3．数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有..321 a a a ⋅⋅,2n a n =则53a a +等于( )．1661.A 925.B 1625.C 1531.D4．（2010年山东烟台训练题）已知数列}{n a 满足：=>+n n a a a 11,0,21则数列}{n a 是( )．A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．不确定、 5．数列}{n a 的前n 项和为,242+-=n n S n 则该数列的通项公式为( )．)(58.+∈-=N n n a A n⎩⎨⎧∈≥-==+),2(58),1(5.N n n n n a B n )2(58.≥-=n n a C n )1(58.≥-=n n a D n6．已知数列}{n a 的前n 项和.92n n s n -=第k 项满足,85<<k a 则=k ( )．9.A 8.B 7.C 6.D7．（湖南高考题）已知数列}{n a 满足133,011+-==+n n n a a a a ),(+∈N n 则=20a ( )．0.A 3.-B 3.C 23.D 二、填空题（本题包括4小题，每小题6分，共24分）8．若数列}{n a 的前n 项和),3,2,1(102 =-=n n n S n 则此数列的通项公式为 ；数列}{n na 中数值最小的项是第 项． 9．（2010年黄冈市模拟题）把数列{2n,+l}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数……循环分为,11,9(),7,5(),3(),21,19,17,15(),13 ,37,35(),33,31,29),27,25(),23(< ),43(),41,39则第104个括号内各数之和为10.如图2-1 -1 -1，这是一个正六边形的序列：则第(n)个图形的边数为11.（2011年陕西高考题）观察下列等式照此规律，第n 个等式为三、解答题（本题包括3小题，共41分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 12.（13分）设数列}{n a 的前n 项和为,n S 且方程=--n n a x a x 20有一根为 ,3,2,1,1=-n s n (1)求,,21a a(2)求n a 的通项公式．（不要求证明）13. (14分)已知数列}{n a 是递增数列，且对于任意,+∈N n 都有n n a n λ+=2恒成立，(1)求实数λ的取值范围；(2)对于(1)中的λ值，数列中有没有最大或最小项？若有，求出最大或最小项的值；若没有，说明理由．14．（14分）设),10(4log log )(2<<-=x x x f x 又知数列}{n a 的通项n a 满足⋅∈=+)(2)2(N n n f n a(1)试求数列}{n a 的通项公式； (2)判断数列}{n a 的增减性．。
2.1 数列的概念与通项公式第1课时 数列的概念与通项公式人民币从小到大：0.1, 0.5, 1, 5, 10, 20, 50, 1000，1，2，3，…1，3，5，7，…2，4，6，8，…1，4，8，16，…21，41，81，… 1，1，1，1，…2，0，2，0，…一、数列的概念：二、数列的分类：三、数列的通项公式：1.数列的概念及分类例1.1．已知下列数列：(1) 0，0，0，0，0，0；(2) 0，－1，2，－3，4，－5，…；(3) 0，12，23，…，n －1n ，…；(4) 1，0.2，0.22，0.23，…；(5) 0，－1，0，…，cos n 2π，….其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)．变式1.下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？(1)1，12，13，…，1n，…；(2)1，3－1，3－2，…，3－63；(3)1，－0.1，0.12，…，(－0.1)n－1，…；(4)10，20，40，…，1 280；(5)－1，2，－1，2，…；(6)6，6，6，….2.根据数列的前几项写出通项公式例2.写出下列数列的一个通项公式：(链接教材P29－例1)(1)12，2，92，8，252，…；(2)9，99，999，9 999，…；(3)22－11，32－23，42－35，52－47，…；(4)－11×2，12×3，－13×4，14×5，….变式2.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1，7，－13，19，…；(2)0.8，0.88，0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…；(4)32，1，710，917，….3.数列通项公式的应用例3.已知数列{a n}的通项公式是a n＝n2n2＋1.(1)写出该数列的第4项和第7项；(2)试判断910和110是否是该数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，说明理由．变式3.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2n 2＋1. (1)写出该数列的第4项和第7项；(2)试判断 910 和 110 是否是该数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，说明理由．课堂练习：1．下列叙述正确的是( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }C ．数列0,1,0,1，…是常数列D ．数列{n n ＋1}是递增数列 2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝n ，n ∈N *B ．a n ＝n ＋1，n ∈N *C ．a n ＝n ＋2，n ∈N *D ．a n ＝2n ，n ∈N *3．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n －1·n 2n －1，n ∈N *，则a 1＝________；1+n a ＝________.课后作业一、选择题1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，n ∈N *，则该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1 C.12，0，12，0 D ．2,0,2,02．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，n ∈N *，则－8是该数列的( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．非任何一项3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n 2＋14．数列23，45，67，89，…的第10项是()A.1617 B.1819 C.2021 D.22235．已知数列12，23，34，45，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中属于该数列中某一项值的应当有()A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OA n，…的长度构成数列{a n}，则此数列的通项公式为().A．a n＝n，n∈N*B．a n＝n＋1，n∈N*C．a n＝n，n∈N*D．a n＝n2，n∈N*7．设a n＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n(n∈N*)，那么an＋1－a n等于()A.12n＋1B.12n＋2C.12n＋1＋12n＋2D.12n＋1－12n＋2二、填空题8．观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，3，5，7，________，11，…. 9．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是________．10．323是数列{n(n＋2)}的第________项．三、解答题11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…；(2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…；(4)32，1，710，917，….12．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式a n 是n 的一次函数．(1)求{a n }的通项公式；(2)判断88是不是数列{a n }中的项？13．已知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫9n 2－9n ＋29n 2－1，n ∈N *. (1)求这个数列的第10项； (2)98101是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：该数列是递增数列；(4)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由．。
2011-2012学年上学期高一 数学 编号：7 使用时间：2011年 9 月 日 12.1.1数列的概念与简单表示法 编写：樊云峰 审核组长： 审核主任： 温馨寄语：如果你再努力一点点，那第一名就是你！ 使用说明：1、课前15分钟完成问题导学，掌握基础知识. 2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探讨，答疑解惑. 学习目标：1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系； 2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式. 学习重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用 学习难点: 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式. 一、课前先学 1.探究数列的定义. 概念辨析（判断正误） （1）对任意数列来说，调整其中任意两项次序，得到的数列与原数列相同. （2）同一个数在数列中可以重复出现. （3）项与序号不相同. （4）项数与序号相同. （5）{}不相同与n n a a 2.举例说明什么是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？什么是有穷数列、无穷数列？ 3.什么叫数列的通项公式？ 4.什么叫数列的递推公式？它与通项公式有什么区别？ 5.总结数列有哪几种常见给出方法？ 二：课中学习 例1.根据下面数列{a n }的通项公式，写出前5项： (1)a n =1+n n ;(2)a n =(-1)n ·n. 导学案装订线 ——————————————————————————————————————————————————————————班级：高三 班 小组： 姓名： 组内评价： 教师评价： 2 例2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，11，13…；(2)32，154，356，638，9910，…； (3)0，1，0，1，0，1，…；(4)9,99,999,9999…； (5)2，-6，12，-20，30，-42，…（6）,...225,8,29,2,21例3.设数列{a n }满足1,11111＞n a a a n n ⎪⎩⎪⎨⎧+==-.写出这个数列的前五项三：课后作业1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)（A 组）1，3，5，7；(2)（B 组）515;414,313;2122222----; (3)（C 组）211⨯-,321⨯- ,431⨯- ,541⨯-。
