2013年全国高考试题分类汇编： 函数与方程

2013年高考真题理科数学分类汇编（解析版）函 数1、（2013年高考（安徽卷））函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是 （A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4（C ）{}3,4,5 （D ）{}2,3【答案】B【解析】由题知，过原点的直线与曲线相交的个数即n 的取值.用尺规作图，交点可取2,3,4. 所以选B2、（2013年高考（北京卷））函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=e x 关于y 轴对称，则f(x)= A.1ex + B.1e x - C. 1e x -+ D. 1e x --3、（2013年高考（广东卷））定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B ．3C ．2D ．【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ．4、（2013年高考（全国（广西）卷））已知函数()()()-1,021f x f x -的定义域为，则函数的定义域为（A ）()1,1- （B ）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）()-1,0 （D ）1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意可知1210,x -<+<，则112x -<<-。

故选B5、（2013年高考（全国（广西）卷））函数()()1=log 10f x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的反函数()1=f x -（A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x ->【答案】A【解析】由题意知1112(0)21y y x y x +=⇒=<-， 因此，故选A6、（2013年高考（全国（广西）卷））若函数()211=,2f x x ax a x ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭在是增函数，则的取值范围是（A ）[]-1，0 （B ）[]-∞1， （C ）[]0，3 （D ）[]3∞，+7、（2013年高考（湖南卷））函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】画出两个函数的图象，可得交点数。

第二章 函数 一．基础题组1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】函数错误！未找到引用源。

的定义域为 （）A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]2.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】已知函数()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域（ ）A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)23.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）】设全集为R, 函数()f x =M, 则C M R 为 （ ）(A) [－1,1](B) (－1,1)(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞-(D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B ．3C ．2D ．15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x关于y 轴对称，则f (x )=（ ）A.1e x +B. 1e x -C. 1e x -+D. 1e x --6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．07.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】已知y x ,为正实数，则（ ） A.y x yx lg lg lg lg 222+=+ B. lg()lg lg 222x y x y += C.y x yx lg lg lg lg 222+=∙ D. lg()lg lg 222xy x y =【答案】D8.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】函数21()log (1)(0)f x x x=+>的反函数1()f x -=（ ）A ．1(0)21x x >- B ．1(0)21xx ≠- C ．21()xx R -∈ D ．21(0)x x ->9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()21,f x x x=+,则()1f -=A.2-B. 0C. 1D. 210.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】方程1313313x x-+=-的实数解为________.二．能力题组11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】函数331x x y =-的图象大致是（ ）12.【2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为（ ）(A) 1(B) 2(C) 3(D) 413.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】函数cos sin y x x x =+的图象大致为14.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】设a =log 36,b=log 510,c=log 714,则 （A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a （C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）】在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 （ ） (A) [15,20] (B) [12,25](C) [10,30](D) [20,30]16.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为______. 40m17.【2013年全国高考新课标（I ）理科】若函数f (x )=(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x =－2对称，则f (x )的最大值是______.18.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】已知()f x 是定义在R 上的奇函数. 当0x >时，2()4f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为 .三．拔高题组19.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】设函数()f x =a R ∈，e 为自然对数的底数）。

2013年全国各地高考试题分类汇编(函数与导数)1．(2013广东.理)（14分）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .2．（本小题满分14分）(2013广东文)设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈．(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ．3（本小题共13分）(2013北京.理)设l 为曲线ln :x C y x =在点(1,0)处的切线． （Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方．4．（13分）（2013•北京.文）已知函数2()sin cos f x x x x x =++(1)若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值；(2)若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同交点，求b 的取值范围．5．(2013大纲版.文)（12分）已知函数32()331f x x ax x =+++(1)求当a =,讨论()f x 的单调性;(1)若[2,)x ∈+∞时,()0f x ≥,求a 的取值范围.6．（13分）（2013•福建）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值．7．（14分）（2013•福建）已知函数()1(),xa f x x a R e =-+∈(e 为自然对数的底数) (1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求a 的值；(2)求函数()f x 的极值；(3)当1a =时，若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值．8．（13分）（2013•安徽）设函数23*222()1(,)23nn x x x f x x x R n N n=-+++++∈∈ ，证明： （1）对每个*n N ∈，存在唯一的2[,1]3n x ∈，满足()0n n f x =； （2）对于任意*p N ∈，由（1）中n x 构成数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<． 9. (本小题满分14分) (2013陕西.理)已知函数()e ,x f x x =∈R . (Ⅰ) 若直线1y kx =+与()f x 的反函数的图像相切, 求实数k 的值;(Ⅱ) 设0x >, 讨论曲线()y f x =与曲线2(0)y mx m => 公共点的个数.(Ⅲ) 设a b < , 比较()()2f a f b +与()()f b f a b a--的大小, 并说明理由.10. (本小题满分14分) (2013陕西.文)已知函数()e ,x f x x =∈R .(Ⅰ) 求()f x 的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ) 证明: 曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点. (Ⅲ) 设a b <, 比较2a b f +⎛⎫ ⎪⎝⎭与()()f b f a b a --的大小, 并说明理由.14（本小题满分13分）(2013湖南.理)已知0a >，函数()2x a f x x a-=+ （1） 记()f x 在区间[0,4]上的最大值为()g a ，求()g a 的表达式（2） 是否存在a ，使函数()y f x =在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若村子啊，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由（1）求()f x 的单调区间，最大值；（2）讨论关于x 的方程|ln |()x f x =根的个数.17(山东.文)(本小题满分12分)已知函数2()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈(Ⅰ)设0a ≥，求)(x f 的单调区间(Ⅱ) 设0a >，且对于任意0x >，()(1)f x f ≥。

2013年高考真题理科数学解析分类汇编2 函数与方程一选择题1.四川：14．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，2()4f x x x =-，那么，不等式(2)5f x +<的解集是____________． 答案：解析：设x <0 所以−x >0，因为()f x 是定义域为R 的偶函数又当x ≥0时，2()4f x x x =-所以()f x ==(2)5f x +<⟺或解得2.陕西10. 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有(A) [－x ] ＝ －[x ] (B) [2x ] ＝ 2[x ] (C) [x ＋y ]≤[x ]＋[y ] (D) [x －y ]≤[x ]－[y ]【答案】D 【解析】代值法。

对A, 设x = - 1.8, 则[-x] = 1, -[x] = 2, 所以A 选项为假。

对B, 设x = - 1.4, [2x] = [-2.8] = - 3, 2[x] = - 4, 所以B 选项为假。

对C, 设x = y = 1.8, 对A, [x+y] = [3.6] = 3, [x] + [y] = 2, 所以C 选项为假。

故D 选项为真。

所以选D3.四川7、函数331x x y =-的图象大致是（ ）答案：D解析：定义域x ≠0 排除A, x <0 331x x y =->0,排除B ，x →∞时331x x y =-→0 排除D 所以C 正确4.江西1函数x 的定义域为A ．（0,1） B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]5.[湖南]5.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】 B【解析】 二次函数()245g x x x =-+的图像开口向上，在x 轴上方，对称轴为x=2，g(2) = 1； f(2)=2ln2=ln4>1.所以g(2) < f(2), 从图像上可知交点个数为2选B6.[湖南]16．设函数(),0,0.xxxf x a b c c a c b =+->>>>其中（1）记集合{}(,,),,M a b c a b c a =不能构成一个三角形的三条边长，且=b ，则(,,)a b c M ∈所对应的()f x 的零点的取值集合为__]10(，__。

2013年高考真题理科数学分类汇编（解析版）函 数1、（2013年高考（安徽卷））函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥ 个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是 （A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ） {}3,4,5 （D ）{}2,3【答案】B【解析】由题知，过原点的直线与曲线相交的个数即n 的取值.用尺规作图，交点可取2,3,4. 所以选B 2、（2013年高考（北京卷））函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x 关于y 轴对称，则f (x )= A.1ex + B. 1ex - C. 1ex -+ D. 1ex --3、（2013年高考（广东卷））定义域为R 的四个函数3y x =,2xy =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B ．3C ．2D ．【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ．4、（2013年高考（全国（广西）卷））已知函数()()()-1,021f x f x -的定义域为，则函数的定义域为（A ）()1,1- （B ）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）()-1,0 （D ）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意可知 1210,x -<+<，则112x -<<-。

故选B5、（2013年高考（全国（广西）卷））函数()()1=log 10f x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的反函数()1=f x - （A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x -> 【答案】A【解析】由题意知1112(0)21y y x y x +=⇒=<-， 因此，故选A6、（2013年高考（全国（广西）卷））若函数()211=,2f x x ax a x ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭在是增函数，则的取值范围是（A ）[]-1，0 （B ）[]-∞1， （C ）[]0，3 （D ）[]3∞，+7、（2013年高考（湖南卷））函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】画出两个函数的图象，可得交点数。

2013年高考解析分类汇编2：函数一、选择题1 ．（2013年高考重庆卷（文1））函数21log (2)y x =-的定义域为（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(2,3)(3,)+∞ D ．(2,4)(4,)+∞【答案】C【命题立意】本题考查函数的定义域。

要使函数有意义则，220log (2)0x x ->⎧⎨-≠⎩，即2021x x ->⎧⎨-≠⎩，即2x >且3x ≠，所以选C.2 ．（2013年高考重庆卷（文9））已知函数3()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈,2(lg(log 10))5f =,则(lg(lg 2))f = （ ）A ．5-B ．1-C ．3D ．4【答案】C【命题立意】本题考查函数的奇偶性以及对数的运算性质。

因为22lg10lg(log 10)lg(lg 2)lg(log 10lg 2)lg(lg 2)lg1012g +=⋅=⨯==，所以2lg(lg 2)lg(log 10)=-。

设2l g (l o g 10),t =则lg(lg 2)t =-。

由条件可知()5f t =，即3()sin 45f t at b t =++=，所以2sin 1at b t +=，所以3()sin 4143f t at b t -=--+=-+=，选C. 3 ．（2013年高考大纲卷（文6））函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数 （ ）A ．()1021x x >- B ．()1021xx ≠- C ．()21x x R -∈ D ．()210xx -> 【答案】A)0)(11(log )(2>+==y x x f y ，所以y x 211=+，所以121-=y x ，所以)0(121>-=y x y ，所以)0(121>-=x y x ，即)0(121)(1>-=-x x f x ，故选A.4 ．（2013年高考辽宁卷（文7））已知函数())()1ln31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭则 （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D()3)1f x x -=++所以()()2f x f x +-=，因为lg 2，1lg 2为相反数，所以所求值为2.5 ．（2013年高考天津卷（文8））设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==,则（ ）A ．()0()g a f b <<B ．()0()f b g a <<C ．0()()g a f b <<D ．()()0f b g a <<【答案】A由220,()ln (30)x x g x x e x f x +-==+=-=得22,ln 3x x x e x =-+=-+，分别令122(),()x f x e f x x =-+=，221()ln ,()3g x x g x x ==-+。

2013年全国高考函数与导数真题汇编一、选择题1. 【2013·安徽理·4】" a≤0"是"函数f(x)=∣(ax−1)x∣在区间(0,+∞)内单调递增"的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 【2013·安徽理·8】函数y=f(x)的图象如图所示，在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,⋯,x n，使得f(x1)x1=f(x2)x2=⋯=f(x n)x n，则n的取值范围是( )A. {3,4}B. {2,3,4}C. {3,4,5}D. {2,3}3. 【2013·安徽理·10】若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2，且f(x1)=x1，则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是( )A. 3B. 4C. 5D. 64. 【2013·北京理·10】函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 关于y轴对称，则f(x)=( )A. e x+1B. e x−1C. e−x+1D. e−x−15. 【2013·福建理·8】设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )A. ∀x∈R,f(x)≤f(x0)B. −x0是f(−x)的极小值点C. −x0是−f(x)的极小值点D. −x0是−f(−x)的极小值点6. 【2013·广东理·8】定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是( )A. 4B. 3C. 2D. 17. 【2013·湖北理·8】已知a为常数，函数f(x)=x(lnx−ax)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，则( )A. f(x1)>0，f(x2)>−12B. f(x1)<0，f(x2)<−12C. f(x1)>0，f(x2)<−12D. f(x1)<0，f(x2)>−128. 【2013·湖南理·8】函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x2−4x+5的图象的交点个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 09. 【2013·江西理·2】函数y=√xln(1−x)的定义域为( )A. (0,1)B. [0,1)C. (0,1]D. [0,1]10.【2013·江西理·10】如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1,l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F,G两点，与三角形ABC两边相交于E,D两点．设弧FG⏜的长为x(0<x<π)，y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f(x)的图象大致是( )A. B.C. D.11. 【2013·辽宁理·11】已知函数f(x)=x2−2(a+2)x+a2，g(x)=−x2+2(a−2)x−a2+8，设H1(x)=max{f(x),g(x)}，H2(x)=min{f(x),g(x)}（max{p,q}表示p，q中的较大值，min{p,q}表示p，q中的较小值）．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A−B=( )A. 16B. −16C. a2−2a−16D. a2+2a−1612. 【2013·辽宁理·12】设函数f(x)满足x2fʹ(x)+2xf(x)=e xx ，f(2)=e28，则x>0时，f(x)( )A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值也无极小值13. 【2013·全国大纲理·4】已知函数f(x)的定义域为(−1,0)，则函数f(2x+1)的定义域为( )A. (−1,1)B. (−1,−12)C. (−1,0)D. (12,1)14. 【2013·全国大纲理·5】函数f(x)=log2(1+1x)(x>0)的反函数f−1(x)=( )A. 12x−1(x>0) B. 12x−1(x≠0)C. 2x−1(x∈R)D. 2x−1(x>0)15. 【2013·全国大纲理·9】若函数f(x)=x2+ax+1x 在(12,+∞)是增函数，则a的取值范围是( )A. [−1,0]B. [−1,+∞)C. [0,3]D. [3,+∞)16. 【2013·新课标Ⅱ理·8】设a=log36，b=log510，c=log714，则( )A. c>b>aB. b>c>aC. a>c>bD. a>b>c17. 【2013·新课标Ⅱ理·10】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是( )A. ∃x0∈R，f(x0)=0B. 函数y=f(x)的图象是中心对称图形C. 若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(−∞,x0)单调递减D. 若x0是f(x)的极值点，则fʹ(x0)=018. 【2013·陕西理·3】已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+1x，则f(−1)=( )A. 2B. 1C. 0D. −219. 【2013·四川理·7】函数y=x33x−1的图象大致是( )A. B. C. D.20. 【2013·四川理·10】设函数 f (x )=√e x +x −a （a ∈R ，e 为自然对数的底数）．若曲线 y =sinx 上存在 (x 0,y 0) 使得 f(f (y 0))=y 0，则 a 的取值范围是 ( ) A. [1,e ] B. [e −1−1,1] C. [1,1+e ] D . [e −1−1,e +1]21. 【2013·天津理·7】函数 f (x )=2x ∣log 0.5x ∣−1 的零点个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 422. 【2013·天津理·8】已知函数 f (x )=x (1+a∣x∣)．设关于 x 的不等式 f (x +a )<f (x ) 的解集为 A ，若 [−12,12]⊆A ，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. (1−√52,0) B. (1−√32,0)C. (1−√52,0)∪(0,1+√32) D. (−∞,1−√52)23. 【2013·浙江理·3】已知 x ，y 为正实数，则 ( )A. 2lgx+lgy =2lgx +2lgyB. 2lg (x+y )=2lgx ⋅2lgyC. 2lgx⋅lgy =2lgx +2lgyD. 2lg (xy )=2lgx ⋅2lgy 24. 【2013·浙江理·8】已知 e 为自然对数的底数，设函数 f (x )=(e x −1)(x −1)k (k =1,2) ，则 ( ) A. 当 k =1 时， f (x ) 在 x =1 处取得极小值 B. 当 k =1 时， f (x ) 在 x =1 处取得极大值 C. 当 k =2 时， f (x ) 在 x =1 处取得极小值 D. 当 k =2 时， f (x ) 在 x =1 处取得极大值25. 【2013·重庆理·6】若 a <b <c ，则函数 f (x )=(x −a )(x −b )+(x −b )(x −c )+(x −c )(x −a ) 的两个零点分别位于区间 ( ) A. (a,b ) 和 (b,c ) 内 B. (−∞,a ) 和 (a,b ) 内 C. (b,c ) 和 (c,+∞) 内 D. (−∞,a ) 和 (c,+∞) 内二、填空题1.【2013·湖北理·12】若曲线 y =kx +lnx 在点 (1,k ) 处的切线平行于 x 轴， 则 k = ．2. 【2013·湖南理·12】若 ∫x 2T0dx =9，则常数 T 的值为________________ ．3. 【2013·湖南理·16】设函数 f (x )=a x +b x −c x ，其中 c >a >0，c >b >0． （1）记集合 M ={(a,b,c )∣ a,b,c 不能构成一个三角形的三条边长,且 a =b}，则 (a,b,c )∈M 所对应的 f (x ) 的零点的取值集合为________________ ；（2）若 a ，b ，c 是 △ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________________ ．（写出所有正确结论的序号） ① ∀x ∈(−∞,1)，f (x )>0； ② ∃x ∈R ，使 a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长； ③若 △ABC 为钝角三角形，则 ∃x ∈(1,2)，使 f (x )=0．4. 【2013·江苏理·11】已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数．当 x >0 时， f (x )=x 2−4x ，则不等式 f (x )>x 的解集用区间表示为________________ ．5. 【2013·江苏理·13】在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A (a,a ) ， P 是函数 y =1x(x >0) 图象上一动点，若点 P,A 之间的最短距离为 2√2 ，则满足条件的实数 a 的所有值为________________ ．6. 【2013·江西理·13】设函数 f (x ) 在 (0,+∞) 内可导，且 f (e x )=x +e x ，则 fʹ(1)=________________ ．7. 【2013·新课标Ⅰ理·16】若函数 f (x )=(1−x 2)(x 2+ax +b ) 的图象关于直线 x =−2 对称，则 f (x ) 的最大值是________________ ．8. 【2013·陕西理·16】定义"正对数"：ln +x ={0,0<x <1lnx,x ≥1，现有四个命题：①若 a >0,b >0，则 ln +(a b )=bln +a ；②若 a >0,b >0，则 ln +(ab )=ln +a +ln +b ； ③若 a >0,b >0，则 ln +(ab)≥ln +a −ln +b ；④若 a >0,b >0，则 ln +(a +b )≤ln +a +ln +b +ln2．其中真命题有________________ （写出所有真命题的编号）．9. 【2013·上海理·12】设 a 为实常数，y =f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x <0 时，f (x )=9x +a 2x+7，若 f (x )≥a +1 对一切 x ≥0 成立，则 a 的取值范围为________________ ．10. 【2013·上海理·14】对区间 I 上有定义的函数 g (x )，记 g (I )={y∣ y =g (x ),x ∈I }，已知定义域为 [0,3] 的函数 y =f (x ) 有反函数 y =f −1(x )，且 f −1([0,1))=[1,2),f −1((2,4])=[0,1)，若方程 f (x )−x =0 有解 x 0，则 x 0=________________ ．11. 【2013·四川理·14】已知 f (x ) 是定义域为 R 的偶函数，当 x ≥0 时， f (x )=x 2−4x ，那么，不等式 f (x +2)<5 的解集是________________ ．2013参考答案一、选择题1. C2. B3. A4. D5. D6. C7. D8. B9. B 10. D 11. B 12. D 13. B 14. A 15 D 16. D 17. C 18. D 19. C 20. A 21. B 22. A 23. D 24. C 25. A二、填空题1. -12. 33. {x∣ 0<x≤1}；①②③4. (−5,0)∪(5,+∞)5. −1；√106. 27. 168. ①③④9. a≤−8710. 211. {x∣ −7<x<3}2013年高考真题1. 【2013·安徽理·20】设函数f n(x)=−1+x+x222+x332+⋯+x nn2(x∈R,n∈N∗)．证明：Ⅰ 对每个n∈N∗，存在唯一的x n∈[23,1]，满足f n(x n)=0；Ⅰ 对任意p∈N∗，由（1）中x n构成的数列{x n}满足0<x n−x n+p<1n．2. 【2013·北京理·20】设L为曲线C:y=lnxx在点(1,0)处的切线．Ⅰ 求L的方程；Ⅰ 证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．3. 【2013·广东理·17】已知函数f(x)=x−alnx(a∈R)．Ⅰ 当a=2时，求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程；Ⅰ 求函数f(x)的极值．4. 【2013·福建理·17】设函数 f (x )=(x −1)e x −kx 2(k ∈R )． Ⅰ 当 k =1 时，求函数 f (x ) 的单调区间；Ⅰ 当 k ∈(12,1] 时，求函数 f (x ) 在 [0,k ] 上的最大值 M ．5. 【2013·湖北理·22】设 n 为正整数，r 为正有理数． Ⅰ 求函数 f (x )=(1+x )r+1−(r +1)x −1(x >−1) 的最小值； Ⅰ 证明：n r+1−(n−1)r+1r+1<n r <(n+1)r+1−n r+1r+1;Ⅰ 设 x ∈R ，记 [x ] 为不小于 x 的最小整数，例如 [2]=2，[π]=4，[−32]=−1．令 S =√813+√823+√833+⋯+√1253，求 [S ] 的值．（参考数据：8043≈344.7，8143≈350.5，12443≈618.3，12643≈631.7）6. 【2013·湖南理·22】已知 a >0，函数 f (x )=∣∣x−a x+2a ∣∣．Ⅰ 记 f (x ) 在区间 [0,4] 上的最大值为 g (a )，求 g (a ) 的表达式；Ⅰ 是否存在 a ，使函数 y =f (x ) 在区间 (0,4) 内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直?若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．7. 【2013·江苏理·20】设函数 f (x )=lnx −ax,g (x )=e x −ax ，其中 a 为实数．Ⅰ 若 f (x ) 在 (1,+∞) 上是单调减函数，且 g (x ) 在 (1,+∞) 上有最小值，求 a 的取值范围；Ⅰ 若 g (x ) 在 (−1,+∞) 上是单调增函数，试求 f (x ) 的零点个数，并证明你的结论．8. 已知函数f(x)=a(1−2∣∣x−12∣∣)，a为常数且a>0．Ⅰ 证明：函数f(x)的图象关于直线x=12对称；Ⅰ 若x0满足f(f(x0))=x0，但f(x0)≠x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点，如果f(x)有两个二阶周期点x1,x2，试确定a的取值范围；Ⅰ 对于（2）中的x1,x2和a，设x3为函数f(f(x))的最大值点，A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(x3,0)，记△ABC的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性9. 【2013·辽宁理·21】已知函数f(x)=(1+x)e−2x,g(x)=ax+x32+1+2xcosx，当x∈[0,1]时，Ⅰ 求证：1−x≤f(x)≤11+x；Ⅰ 若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．10. 【2013·全国大纲理·22】已知函数f(x)=ln(1+x)−x(1+λx)1+x．Ⅰ 若x≥0时f(x)≤0，求λ的最小值；Ⅰ 设数列{a n}的通项a n=1+12+13+⋯+1n，证明：a2n−a n+14n>ln2．11. 【2013·新课标Ⅰ理·21】设函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=e x(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y=4x+ 2．Ⅰ 求a，b，c，d的值；Ⅰ 若 x ≥−2 时， f (x )≤kg (x ) ，求 k 的取值范围．12. 【2013·新课标Ⅱ理·21】已知函数 f (x )=e x −ln (x +m )． Ⅰ 设 x =0 是 f (x ) 的极值点，求 m ，并讨论 f (x ) 的单调性； Ⅰ 当 m ≤2 时，证明 f (x )>0．13. 【2013·陕西理·21】设函数 f (x )=xe 2x +c （e =2.71828⋯ 是自然对数的底数，c ∈R ）． Ⅰ 求f (x ) 的单调区间、最大值；Ⅰ 讨论关于 x 的方程 ∣lnx∣=f (x ) 根的个数14. 【2013·四川理·21】已知函数 f (x )={x 2+2x +a,x <0lnx,x >0，其中 a 是实数．设A(x 1,f (x 1))，B(x 2,f (x 2)) 为该函数图象上的两点，且 x 1<x 2．Ⅰ 指出函数 f (x ) 的单调区间；Ⅰ 若函数 f (x ) 的图象在点 A ，B 处的切线互相垂直，且 x 2<0，求 x 2−x 1 的最小值； Ⅰ 若函数 f (x ) 的图象在点 A ，B 处的切线重合，求 a 的取值范围．15. 【2013·天津理·20】 已知函数 f (x )=x 2lnx ． Ⅰ 求函数 f (x ) 的单调区间；Ⅰ 证明：对任意的t>0，存在唯一的s，使t=f(s)．Ⅰ 设（2）中所确定的s关于t的函数为s=g(t)，证明：当t>e2时，有25<lng(t)lnt<12．16. 【2013·浙江理·20】已知a∈R，函数f(x)=x3−3x2+3ax−3a+3Ⅰ 求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；Ⅰ 当x∈[0,2]时，求∣f(x)∣的最大值．17. 【2013·重庆理·17】设f(x)=a(x−5)2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．Ⅰ 确定a的值；Ⅰ 求函数f(x)的单调区间与极值．2013参考答案1. （1） 对每个 n ∈N ∗，当 x >0 时，f n ′(x )=1+x 2+⋯+x n−1n>0,故 f n (x ) 在 (0,+∞) 内单调递增． 由于 f 1(1)=0，当 n ≥2，f n (1)=122+132+⋯+1n 2>0, 故 f n (1)≥0．又f n (23)=−1+23+∑(23)kk2nk=2≤−13+14∑(23)knk=2=−13+14⋅(23)2[1−(23)n−1]1−23=−13⋅(23)n−1<0,所以存在唯一的 x n ∈[23,1]，满足 f n (x n )=0．（2） 当 x >0 时，f n+1(x )=f n (x )+x n+1(n +1)2>f n (x ),故f n+1(x n )>f n (x n )=f n+1(x n+1)=0.由 f n+1(x ) 在 (0,+∞) 内单调递增知，x n+1<x n ，故 {x n } 为单调递减数列．从而对任意的 n,p ∈N ∗,x n+p <x n ，对任意的 p ∈N ∗，由于f n (x n )=−1+x n +x n 222+⋯+x n nn2=0, ⋯⋯①f n+p (x n+p )=−1+x n+p +x n+p 222+⋯+x n+p n n 2+x n+pn+1(n +1)2+⋯+x n+p n+p (n +p )2=0, ⋯⋯②①式减去②式并移项，利用 0<x n+p <x n ≤1，得x n −x n+p=∑x n+pk−x nk k 2nk=2+∑x n+pk k 2n+pk=n+1≤∑x n+pk k 2n+pk=n+1≤∑12n+pk=n+1<∑1k (k −1)n+pk=n+1=1n −1n +p <1n .因此，对任意 p ∈N ∗，都有0<x n −x n+p <1n.2（1） 设 f (x )=lnx x，则fʹ(x )=1−lnxx 2. 所以 fʹ(1)=1 ，所以 L 的方程为 y =x −1 ．（2） 令 g (x )=x −1−f (x ) ，则除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方等价于g (x )>0(∀x >0,x ≠1).g (x ) 满足 g (1)=0 ，且gʹ(x )=1−fʹ(x )=x 2−1+lnx x 2.当 0<x <1 时，x 2−1<0,lnx <0,所以 gʹ(x )<0 ，故 g (x ) 单调递减； 当 x >1 时，x 2−1>0,lnx >0,所以 gʹ(x )>0 ，故 g (x ) 单调递增．所以，g (x )>g (1)=0(∀x >0,x ≠1).所以除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方．3（1） 当 a =2 时，f (x )=x −2lnx,fʹ(x )=1−2x(x >0),因而f (1)=1,fʹ(1)=−1,所以曲线 y =f (x ) 在点 A(1,f (1)) 处的切线方程为y −1=−(x −1),即x +y −2=0.（2） 由fʹ(x )=1−a x =x −ax,x >0知：①当 a ≤0 时，fʹ(x )>0，函数 f (x ) 为 (0,+∞) 上是增函数，函数 f (x ) 无极值． ②当 a >0 时，由 fʹ(x )=0，解得 x =a ． 又当 x ∈(0,a ) 时，fʹ(x )<0； 当 x ∈(a,+∞) 时，fʹ(x )>0，从而函数 f (x ) 在 x =a 处取得极小值，且极小值为f (a )=a −alna,无极大值．综上，当 a ≤0 时，函数 f (x ) 无极值；当 a >0 时，函数 f (x ) 在 x =a 处取得极小值 a −alna ，无极大值． 4（1）fʹ(x )=(x −1)e x +e x −2kx=xe x −2kx=x (e x−2k ).当 k =1 时，令 fʹ(x )=x (e x −2)=0，得x 1=0,x 2=ln2;当 x <0 时，fʹ(x )>0；当 0<x <ln2 时，fʹ(x )<0；当 x >ln2 时，fʹ(x )>0； Ⅰ函数 f (x ) 的单调递增区间为 (−∞,0),(ln2,+∞)；单调递减区间为 (0,ln2)． （2） Ⅰ 12<k ≤1，Ⅰ 1<2k ≤2，所以0<ln (2k )<ln2.记 h (k )=k −ln (2k )，则 hʹ(k )=1−22k=k−1k在 k ∈(12,1) 有 hʹ(k )<0，Ⅰ当 k ∈(12,1) 时，h (k )=k −ln (2k )>h (1)=1−ln2>0，即k >ln (2k )>0.Ⅰ当 k ∈(12,1) 时，函数 f (x ) 在 [0,ln (2k )) 单调递减，在 (ln (2k ),k ] 单调递增． f (0)=−1，f (k )=(k −1)e k −k 3，记 g (k )=f (k )=(k −1)e k −k 3，下证明 g (k )≥−1．gʹ(k )=k(e k −3k),设 p (k )=e k −3k ，令pʹ(k )=e k −3=0,得k =ln3>1, Ⅰ p (k )=e k −3k 在 (12,1] 为单调递减函数，而p (12)=√e −32>√2.25−1.5=0,p (1)=e −3<0,Ⅰ gʹ(k )=k(e k −3k)=0 的一个非零的根为 k 0∈(12,1]，且 e k 0=3k 0． 显然 g (k )=(k −1)e k −k 3 在 (12,k 0) 单调递增，在 (k 0,1] 单调递减， Ⅰ g (k )=f (k )=(k −1)e k −k 3 在 (12,1) 上的最大值为g (k 0)=(k 0−1)3k 0−k 03=−k 03+3k 02−3k 0=(1−k 0)3−1>−1,g (12)=−12√e −18>−1⇔74>√e 而 74>√3>√e 成立，Ⅰ g (12)>−1,g (1)=−1．综上所述，当 k ∈(12,1] 时，函数 f (x ) 在 [0,k ] 的最大值M =(k −1)e k −k 3.5（1）因为fʹ(x)=(r+1)(1+x)r−(r+1)=(r+1)[(1+x)r−1],令fʹ(x)=0，解得x=0.当−1<x<0时，fʹ(x)<0，所以f(x)在(−1,0)内是减函数；当x>0时，fʹ(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)内是增函数．故函数f(x)在x=0处取得最小值f(0)=0.（2）由（1）知，当x∈(−1,+∞)时，f(x)≥f(0)=0，即(1+x)r+1≥1+(r+1)x,当且仅当x=0时等号成立，故当x>−1且x≠0时，有(1+x)r+1>1+(r+1)x. ⋯⋯①在①中，令x=1n（这时x>−1且x≠0），得(1+1n)r+1>1+r+1n.上式两边同乘n r+1，得(n+1)r+1>n r+1+n r(r+1)，即n r<(n+1)r+1−n r+1r+1. ⋯⋯②当n>1时，在①中令x=−1n（这时x>−1且x≠0），类似可得n r>n r+1−(n−1)r+1r+1. ⋯⋯③且当n=1时，③也成立．综合②③，得n r+1−(n−1)r+1r+1<n r<(n+1)r+1−n r+1r+1. ⋯⋯④（3）在④中，令r=13，n分别取值81,82,83,⋯,125，得34(8143−8043)<√813<34(8243−8143),34(8243−8143)<√823<34(8343−8243),34(8343−8243)<√833<34(8443−8343),⋯⋯,34(12543−12443)<√1253<34(12643−12543). 将以上各式相加并整理，得34(12543−8043)<S <34(12643−8143). 代入数据计算，可得34(12543−8043)≈210.2,34(12643−8143)≈210.9. 由 [S ] 的定义，得 [S ]=211．6（1） 当 0≤x ≤a 时，f (x )=a−x x+2a ；当 x >a 时，f (x )=x−a x+2a．因此，当 x ∈(0,a ) 时，fʹ(x )=−3a(x+2a )2<0，f (x ) 在 (0,a ) 上单调递减； 当 x ∈(a,+∞) 时，fʹ(x )=3a(x+2a )2>0，f (x ) 在 (a,+∞) 上单调递增． ①当 a ≥4 时，则 f (x ) 在 x ∈(0,4) 上单调递减，g (a )=f (0)=12．②当 0<a <4 时，则 f (x ) 在 (0,a ) 上单调递减，在 (a,4) 上单调递增，所以g (a )=max {f (0),f (4)}. 而f (0)−f (4)=12−4−a 4+2a =a −12+a, 故当 0<a ≤1 时，g (a )=f (4)=4−a4+2a ；当 1<a <4 时，g (a )=f (0)=12． 综上所述，g (a )={4−a4+2a ,0<a ≤1,12,a >1.（2） 由（1）知，当 a ≥4 时，f (x ) 在 x ∈(0,4) 上单调递减，故不满足要求． 当 0<a <4 时，f (x ) 在 (0,a ) 上单调递减，在 (a,4) 上单调递增．若存在x1,x2∈(0,4)(x1<x2)使曲线y=f(x)在(x1,f(x1))，(x2,f(x2))两点处的切线互相垂直，则x1∈(0,a)，x2∈(a,4)，且fʹ(x1)⋅fʹ(x2)=−1，即−3a (x1+2a)2⋅3a(x2+2a)2=−1亦即x1+2a=3ax2+2a. ⋯⋯①由x1∈(0,a)，x2∈(a,4)得x1+2a∈(2a,3a)，3ax2+2a ∈(3a4+2a,1)．故①成立等价于集合A={x∣ 2a<x<3a}与集合B={x∣ 3a4+2a<x<1}的交集非空．因为3a4+2a <3a，所以当且仅当0<2a<1，即0<a<12时，A∩B≠∅．综上所述，存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是(0,12)．7（1）令fʹ(x)=1−a=1−ax<0,考虑到f(x)的定义域为(0,+∞)，故a>0，进而解得x>a−1,即f(x)在(a−1,+∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0,a−1)上是单调增函数．由于f(x)在(1,+∞)上是单调减函数，故(1,+∞)⊆(a−1,+∞),从而a−1≤1，即a≥1．令gʹ(x)=e x−a=0,得x=lna.当x<lna时，gʹ(x)<0；当x>lna时，gʹ(x)>0．又g(x)在(1,+∞)上有最小值，所以lna>1，即a>e.综上可知，a∈(e,+∞)．（2）当a≤0时，g(x)必为单调增函数；当a>0时，令gʹ(x)=e x−a>0,解得a<e x，即x>lna.因为g(x)在(−1,+∞)上是单调增函数，类似（1）有lna≤−1，即0<a≤e−1．结合上述两种情况，得a≤e−1.①当a=0时，由f(1)=0以及fʹ(x)=1x>0，得f(x)存在唯一的零点；②当a<0时，由于f(e a)=a−ae a=a(1−e a)<0,f(1)=−a>0,且函数f(x)在[e a,1]上的图象连续，所以f(x)在(e a,1)上存在零点．另外，当x>0时，fʹ(x)=1x−a>0,故f(x)在(0,+∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点．③当0<a≤e−1时，令fʹ(x)=1−a=0,解得x=a−1.当0<x<a−1时，fʹ(x)>0；当x>a−1时，fʹ(x)<0，所以，x=a−1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a−1)=−lna−1.a．当−lna−1=0，即a=e−1时，f(x)有一个零点x=e．b．当−lna−1>0，即0<a<e−1时，f(x)有两个零点．实际上，对于0<a<e−1，由于f(e−1)=−1−ae−1<0,f(a−1)>0,且函数f(x)在[e−1,a−1]上的图象连续，所以f(x)在(e−1,a−1)上存在零点．另外，当x∈(0,a−1)时，fʹ(x)=1x−a>0,故f(x)在(0,a−1)上是单调增函数，所以f(x)在(0,a−1)上只有一个零点．下面考虑f(x)在(a−1,+∞)上的情况．先证f(e a−1)=a(a−2−e a−1)<0.为此，我们要证明：当x>e时，e x>x2．设h(x)=e x−x2，则hʹ(x)=e x−2x,再设l(x)=hʹ(x)=e x−2x，则lʹ(x)=e x−2.当x>1时，lʹ(x)=e x−2>e−2>0,所以l(x)=hʹ(x)在(1,+∞)上是单调增函数．故当x>2时，hʹ(x)=e x−2x>hʹ(2)=e2−4>0,从而h(x)在(2,+∞)上是单调增函数，进而当x>e时，h (x )=e x −x 2>h (e )=e e −e 2>0,即当 x >e 时，e x >x 2．当 0<a <e −1，即 a −1>e 时，f(e a −1)=a −1−ae a−1=a(a −2−e a −1)<0. 又 f (a −1)>0，且函数 f (x ) 在 [a −1,e a −1] 上的图象连续，所以 f (x ) 在 (a −1,e a −1) 上存在零点． 又当 x >a −1 时，fʹ(x )=1x−a <0, 故 f (x ) 在 (a −1,+∞) 上是单调减函数， 所以 f (x ) 在 (a −1,+∞) 上只有一个零点． 综合①②③可知，当 a ≤0 或 a =e −1 时，f (x ) 的零点个数为 1，当 0<a <e −1 时，f (x ) 的零点个数为 2．8（1） 因为f (1+x)=a (1−2∣x∣), f (12−x)=a (1−2∣x∣), 有f (1+x)=f (1−x). 所以函数 f (x ) 的图象关于直线 x =12 对称． （2） 当 0<a <12 时，有f(f (x ))={4a 2x,x ≤12,4a 2(1−x ),x >12,所以 f(f (x ))=x 只有一个解 x =0． 又 f (0)=0，故 0 不是二阶周期点． 当 a =12 时，有f(f (x ))={x,x ≤12,1−x,x >12,所以 f(f (x ))=x 有解集 {x∣ x ≤12}．又当 x ≤12时，f (x )=x ，故 {x∣ x ≤12} 中的所有点都不是二阶周期点．当 a >12 时，有f(f (x ))={4a 2x,x ≤14a ,2a −4a 2x,14a <x ≤12,2a (1−2a )+4a 2x,12<x ≤4a −14a ,4a 2−4a 2x,x >4a −14a,所以 f(f (x ))=x 有四个解：0,2a 1+4a2,2a1+2a ,4a 21+4a 2．又f (0)=0,f (2a )=2a,f (2a 1+4a 2)≠2a 1+4a 2,f (4a 21+4a 2)≠4a 21+4a 2, 故只有 2a1+4a 2,4a 21+4a 2 是 f (x ) 的二阶周期点． 综上所述，所求 a 的取值范围为 a >12． （3） 由（2）得x 1=2a1+4a 2,x 2=4a 21+4a 2, 因为 x 3 为函数 f(f (x )) 的最大值点，所以x 3=14a 或 x 3=4a −14a. 当 x 3=14a 时，S (a )=2a−14(1+4a 2)，求导得Sʹ(a )=2(a −1+√22)(a −1−√22)(1+4a 2)2,所以当 a ∈(12,1+√22) 时，S (a ) 单调递增，当 a ∈(1+√22,+∞) 时，S (a ) 单调递减；当x3=4a−14a 时，S(a)=8a2−6a+14(1+4a2)，求导得Sʹ(a)=12a2+4a−32(1+4a2)2,因为a>12，从而有Sʹ(a)=12a2+4a−32(1+4a2)2>0,所以当a∈(12,+∞)时，S(a)单调递增．9（1）要证x∈[0,1]时，(1+x)e−2x≥1−x,只需证明(1+x)e−x≥(1−x)e x.记h(x)=(1+x)e−x−(1−x)e x，则hʹ(x)=x(e x−e−x),当x∈(0,1)时，hʹ(x)>0，因此h(x)在[0,1]上是增函数，故h(x)≥h(0)=0.所以f(x)≥1−x,x∈[0,1].要证x∈[0,1]时，(1+x)e−2x≤11+x，只需证明e x≥x+1.记K(x)=e x−x−1，则Kʹ(x)=e x−1,当x∈(0,1)时，Kʹ(x)>0，因此K(x)在[0,1]上是增函数，故K(x)≥K(0)=0.所以f(x)≤11+x,x∈[0,1].综上，1−x≤f(x)≤11+x,x∈[0,1].（2）方法一：f(x)−g(x)=(1+x)e−2x−(ax+x32+1+2xcosx)≥1−x−ax−1−x32−2xcosx=−x(a+1+x22+2cosx).设G(x)=x22+2cosx，则Gʹ(x)=x−2sinx.记H(x)=x−2sinx，则Hʹ(x)=1−2cosx,当x∈(0,1)时，Hʹ(x)<0，于是Gʹ(x)在[0,1]上是减函数，从而当x∈(0,1)时，Gʹ(x)<Gʹ(0)=0,故G(x)在[0,1]上是减函数，于是G(x)≤G(0)=2，从而a+1+G(x)≤a+3,所以，当a≤−3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立，下面证明，当a>−3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．f(x)−g(x)≤11+x−1−ax−x32−2xcosx=−x1+x−ax−x32−2xcosx=−x(11+x +a+x22+2cosx).记I(x)=11+x+a+x22+2cosx=11+x+a+G(x),则Iʹ(x)=−1(1+x)2+Gʹ(x),当x∈(0,1)时，Iʹ(x)<0．故I(x)在[0,1]上是减函数．于是I(x)在[0,1]上的值域为[a+1+2cos1,a+3].因为当a>−3时，a+3>0，所以存在x0∈(0,1)，使得I(x0)>0,此时f(x0)<g(x0),即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．综上，实数a的取值范围是(−∞,−3]．方法二：先证当x∈[0,1]时，1−12x2≤cosx≤1−14x2.记F(x)=cosx−1+12x2，则Fʹ(x)=−sinx+x.记G(x)=−sinx+x，则Gʹ(x)=−cosx+1,当x∈(0,1)时，Gʹ(x)>0，于是G(x)在[0,1]上是增函数，因此当x∈(0,1)时，G(x)>G(0)=0,从而F(x)在[0,1]上是增函数，因此F(x)≥F(0)=0,所以当x∈[0,1]时，1−12x2≤cosx.同理可证，当x∈[0,1]时，cosx≤1−14x2.综上，当x∈[0,1]时，1−12x2≤cosx≤1−14x2.因为当x∈[0,1]时，f(x)−g(x)=(1+x)e−2x−(ax+x32+1+2xcosx)≥(1−x)−ax−x32−1−2x(1−14x2)=−(a+3)x.所以当a≤−3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立．下面证明，当a>−3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．因为f(x)−g(x)=(1+x)e−2x−(ax+x32+1+2xcosx)≤1−1−ax−x3−2x(1−1x2)=x2+x3−(a+3)x≤32x[x−23(a+3)],所以存在x0∈(0,1)（例如x0取a+33和12中的较小值）满足f(x0)<g(x0)，即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．综上，实数a的取值范围是(−∞,−3]．10（1） 由已知f (0)=0,fʹ(x )=(1−2λ)x −λx 2(1+x )2,fʹ(0)=0.若 λ≤0，则在 (0,+∞) 上，fʹ(x )>0，f (x ) 单调递增，f (x )>f (0)=0，不符题意； 若 0<λ<12，则当 0<x <1−2λλ时，fʹ(x )>0，所以 f (x )>0．若 λ≥12，则当 x >0 时，fʹ(x )<0，f (x ) 单调递减，所以当 x >0 时，f (x )<0． 综上，λ 的最小值是 12．（2） 令 λ=12．由（1）知，当 x >0 时，f (x )<0，即x (2+x )2+2x>ln (1+x ).取 x =1k ，则2k +12k (k +1)>ln (k +1k).于是a 2n −a n +14n =∑(12k +12(k +1))2n−1k=n=∑2k +12k (k +1)2n−1k=n >∑lnk +1k2n−1k=n=ln2n −lnn =ln2,所以a 2n −a n +14n>ln2.11. （1） 由已知得 f (0)=2，g (0)=2，fʹ(0)=4，gʹ(0)=4． 而fʹ(x)=2x+a,gʹ(x)=e x(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4，b=2，c=2，d=2．（2）由（1）知f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e x(x+1).设函数F(x)=kg(x)−f(x)=2ke x(x+1)−x2−4x−2，则Fʹ(x)=2ke x(x+2)−2x−4=2(x+2)(ke x−1).由题设可得F(0)≥0，即k≥1．令Fʹ(x)=0，得x1=−lnk,x2=−2.（i）若1≤k<e2，则−2<x1≤0,从而当x∈(−2,x1)时，Fʹ(x)<0；当x∈(x1,+∞)时，Fʹ(x)>0，即F(x)在(−2,x1)上单调递减，在(x1,+∞)上单调递增，故F(x)在[−2,+∞)上的最小值为F(x1)，而F(x1)=2x1+2−x12−4x1−2=−x1(x1+2)≥0.故当x≥−2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．（ii）若k=e2，则Fʹ(x)=2e2(x+2)(e x−e−2),从而当x>−2时，Fʹ(x)>0，即F(x)在(−2,+∞)上单调递增，而F(−2)=0，故当x≥−2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．（iii）若k>e2，则F(−2)=−2ke−2+2=−2e−2(k−e2)<0.从而当x≥−2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1,e2]．12. （1）fʹ(x)=e x−1x+m.由x=0是f(x)的极值点得fʹ(0)=0，所以m=1．于是f(x)=e x−ln(x+1),定义域为(−1,+∞)，fʹ(x)=e x−1 x+1.函数fʹ(x)=e x−1x+1在(−1,+∞)上单调递增，且fʹ(0)=0，因此，当x∈(−1,0)时，fʹ(x)<0；当x∈(0,+∞)时，fʹ(x)>0．所以f(x)在(−1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．（2）当m≤2，x∈(−m,+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时，f(x)>0．当m=2时，函数fʹ(x)=e x−1 x+2在(−2,+∞)上单调递增．又fʹ(−1)<0，fʹ(0)>0，故fʹ(x)=0在(−2,+∞)上有唯一实根x0，且x0∈(−1,0)．当x∈(−2,x0)时，fʹ(x)<0；当x∈(x0,+∞)时，fʹ(x)>0，从而当x=x0时，f(x)取得最小值．由fʹ(x0)=0得e x0=1x0+2,ln(x0+2)=−x0,故f(x)≥f(x0)=1x0+2+x0=(x0+1)2 x0+2>0.综上，当m≤2时，f(x)>0．13. （1）因为fʹ(x)=(1−2x)e−2x,由fʹ(x)=0，解得x=1 2 .当x<12时，fʹ(x)>0，f(x)单调递增；当x>12时，fʹ(x)<0，f(x)单调递减．所以，函数f(x)的单调递增区间是(−∞,12)，单调递减区间是(12,+∞)，最大值为f(12)=12e−1+c．（2）令g(x)=∣lnx∣−f(x)=∣lnx∣−xe−2x−c,x∈(0,+∞).（1）当x∈(1,+∞)时，lnx>0，则g (x )=lnx −xe −2x −c,所以gʹ(x )=e−2x(e 2x x+2x −1). 因为e 2x x>0，2x −1>0，所以gʹ(x )>0.因此 g (x ) 在 (1,+∞) 上单调递增． （2）当 x ∈(0,1) 时，lnx <0，则g (x )=−lnx −xe −2x −c,所以gʹ(x )=e −2x(−e 2xx +2x −1).因为 e 2x ∈(1,e 2),e 2x >1>x >0，所以−e 2x x<−1. 又 2x −1<1，所以 −e 2x x+2x −1<0，即gʹ(x )<0.因此 g (x ) 在 (0,1) 上单调递减． 综合（1）（2）可知，g (x ) 在 (0,1) 单调递减，在 (1,+∞) 单调递增； 所以，g (x ) 的最小值是 g (1)=−e −2−c ．①当 g (1)=−e −2−c >0，即 c <−e −2 时，g (x ) 没有零点，故关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 0；②当 g (1)=−e −2−c =0，即 c =−e −2 时，g (x ) 只有一个零点，故关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 1；③当 g (1)=−e −2−c <0，即 c >−e −2 时， 当 x ∈(1,+∞) 时，由（1）知g (x )=lnx −xe −2x −c ≥lnx −(12e −1+c)>lnx −1−c,要使 g (x )>0，只需 lnx −1−c >0，，即 x ∈(e 1+c ,+∞)； 当 x ∈(0,1) 时，由（1）知g (x )=−lnx −xe −2x −c ≥−lnx −(12e −1+c)>−lnx −1−c,要使 g (x )>0，只需 −lnx −1−c >0，即 x ∈(0,e −1−c )．所以当 c >−e −2 时，g (x ) 有两个零点，故关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 2． 综上所述，当 c <−e −2 时，关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 0； 当 c =−e −2 时，关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 1； 当 c >−e −2 时，关于 x 的方程 ∣lnx ∣=f (x ) 根的个数为 2．14. （1）函数f(x)的单调递减区间为(−∞,−1)，单调递增区间为[−1,0),(0,+∞)．（2）由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为fʹ(x1)，点B处的切线斜率为fʹ(x2)，故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有fʹ(x1)fʹ(x2)=−1.当x<0时，对函数f(x)求导，得fʹ(x)=2x+2.因为x1<x2<0，所以(2x1+2)(2x2+2)=−1,所以2x1+2<0,2x2+2>0.因此x2−x1=12[−(2x1+2)+2x2+2]≥√[−(2x1+2)](2x2+2)=1,当且仅当−(2x1+2)=2x2+2=1,即x1=−32且x2=−12时，等号成立．所以函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，x2−x1的最小值为1．（3）当x1<x2<0或x2>x1>0时，fʹ(x1)≠fʹ(x2),故x1<0<x2.当x1<0时，函数f(x)的图象在点(x1,f(x1))处的切线方程为y−(x12+2x1+a)=(2x1+2)(x−x1),即y=(2x1+2)x−x12+a.当x2>0时，函数f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为y−lnx2=1x2(x−x2),即y=12⋅x+lnx2−1.两切线重合的充要条件是{1x2=2x1+2, ⋯⋯①lnx2−1=−x12+a. ⋯⋯②由①及x1<0<x2知，−1<x1<0．由①②，得a=x12+ln12x1+2−1=x12−ln(2x1+2)−1.∵函数y=x12−1，y=−ln(x1+2)在区间(−1,0)上单调递减，∴a(x1)=x12−ln(2x1+2)−1在(−1,0)上单调递减，且x1→−1时，a(x1)→+∞；x1→0时，a(x1)→−1−ln2．∴a的取值范围是(−1−ln2,+∞)．15. （1）函数f(x)的定义域为(0,+∞)．fʹ(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1),令fʹ(x)=0，得x=√e．当x变化时，fʹ(x),f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)的单调递减区间是√e )，单调递增区间是(√e+∞)．（2）当0<x≤1时，f(x)≤0．t>0，令h(x)=f(x)−t,x∈[1,+∞).由（1）知，h(x)在区间(1,+∞)内单调递增．h(1)=−t<0,h(e t)=e2t lne t−t=t(e2t−1)>0.故存在唯一的s∈(1,+∞)，使得t=f(s)成立．（3）因为s=g(t)，由（2）知，t=f(s)，且s>1，从而lng(t)=lns ()=lnsln(s2lns)=lns2lns+ln(lns)=u2u+lnu,其中u=lns．要使2 5<lng(t)lnt<12成立，只需0<lnu<u2．当t>e2时，若s=g(t)≤e，则由f(s)的单调性，有t=f(s)≤f(e)=e2,矛盾，所以s>e，即u>1，从而lnu>0成立．另一方面，令F(u)=lnu−u,u>1,Fʹ(u)=1u−12,令Fʹ(u)=0，得u=2，当1<u<2时，Fʹ(u)>0，当u>2时，Fʹ(u)<0．故对u>1，F(u)≤F(2)<0,因此lnu<u2成立．综上，当t>e2时，有2 5<lng(t)lnt<12.16. （1）由题意fʹ(x)=3x2−6x+3a,故fʹ(1)=3a−3.又f(1)=1，所以所求的切线方程为y=(3a−3)x−3a+4.（2）由于fʹ(x)=3(x−1)2+3(a−1)，0≤x≤2．故①当a≤0时，有fʹ(x)≤0，此时f(x)在[0,2]上单调递减，故∣f(x)∣max=max{∣f(0)∣,∣f(2)∣}=3−3a.② 当a≥1时，有fʹ(x)≥0，此时f(x)在[0,2]上单调递增，故∣f(x)∣max=max{∣f(0)∣,∣f(2)∣}=3a−1.③ 当0<a<1时，设x1=1−√1−a，x2=1+√1−a，则0<x1<x2<2,fʹ(x)=3(x−x1)(x−x2).列表如下：由于 f (x 1)=1+2(1−a )√1−a,f (x 2)=1−2(1−a )√1−a,故f (x 1)+f (x 2)=2>0,f (x 1)−f (x 2)=4(1−a )√1−a >0,从而f (x 1)>∣f (x 2)∣.所以∣f (x )∣max =max {f (0),∣f (2)∣,f (x 1)}.① 当 0<a <23 时，f (0)>∣f (2)∣．又f (x 1)−f (0)=2(1−a )√1−a −(2−3a )=a 2(3−4a )2(1−a )√1−a +2−3a>0,故 ∣f (x )∣max=f (x 1)=1+2(1−a )√1−a ． ② 当 23≤a <1 时，∣f (2)∣=f (2)，且 f (2)≥f (0)． 又f (x 1)−∣f (2)∣=2(1−a )√1−a −(3a −2)=a 2(3−4a )2(1−a )√1−a +3a −2所以1）当 23≤a <34 时，f (x 1)>∣f (2)∣．故∣f (x )∣max =f (x 1)=1+2(1−a )√1−a.2）当 34≤a <1 时，f (x 1)≤∣f (2)∣．故∣f (x )∣max =∣f (2)∣=3a −1.综上所述，∣f (x )∣max={ 3−3a,a ≤0,1+2(1−a )√1−a,0<a <34,3a −1,a ≥34.17. （1）因为f(x)=a(x−5)2+6lnx，故fʹ(x)=2a(x−5)+6 x .令x=1，得f(1)=16a,fʹ(1)=6−8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−16a=(6−8a)(x−1).由点(0,6)在切线上可得6−16a=8a−6，故a=1 2 .（2）由（1）知，f(x)=12(x−5)2+6lnx(x>0),fʹ(x)=x−5+6x=(x−2)(x−3)x.令fʹ(x)=0，解得x1=2,x2=3.当0<x<2或x>3时，fʹ(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数；当2<x<3时，fʹ(x)<0,故f(x)在(2,3)上为减函数．由此可知，f(x)在x=2处取得极大值f(2)=9+6ln2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln3.。

2013年高考解析分类汇编2：函数一、选择题错误！未指定书签。

．（2013年高考重庆卷（文1））函数21log (2)y x =-的定义域为（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(2,3)(3,)+∞D ．(2,4)(4,)+∞【答案】C【命题立意】本题考查函数的定义域。

要使函数有意义则，220log (2)0x x ->⎧⎨-≠⎩，即2021x x ->⎧⎨-≠⎩，即2x >且3x ≠，所以选C. 错误！未指定书签。

．（2013年高考重庆卷（文9））已知函数3()s i n 4(,)f x a x b x a b R =++∈,2(lg(log 10))5f =,则(lg(lg 2))f =（ ）A ．5-B ．1-C ．3D ．4 【答案】C【命题立意】本题考查函数的奇偶性以及对数的运算性质。

因为22lg10lg(log 10)lg(lg 2)lg(log 10lg 2)lg(lg 2)lg1012g +=⋅=⨯==，所以2l g (lg 2)l g (l o g 10)=-。

设2lg(log 10),t =则lg(lg 2)t =-。

由条件可知()5f t =，即3()sin 45f t at b t =++=，所以2si n 1a tb t +=，所以3()s i n 4143f t a t b t -=--+=-+=，选C. 错误！未指定书签。

．（2013年高考大纲卷（文6））函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数（ ）A ．()1021x x >- B ．()1021xx ≠- C ．()21x x R -∈ D ．()210x x -> 【答案】A)0)(11(log )(2>+==y x x f y ，所以y x 211=+，所以121-=y x，所以)0(121>-=y x y ，所以)0(121>-=x y x ，即)0(121)(1>-=-x x f x ，故选A.错误！未指定书签。

2013年高考数学函数与方程分类汇编试题解析(人教版)[时间：45分钟分值：100分]基础热身1．(1)函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点为________；(2)函数g(x)＝x2－2x＋1的零点个数为________．2．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．3．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.6000)＝0.200 f(1.5875)＝0.133 f(1.5750)＝0.067f(1.5625)＝0.003 f(1.5562)＝－0.029 f(1.5500)＝－0.060据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解x0(精确到0.01)为________．4．设函数f(x)＝x2＋bx＋c，x≤0，2，x＞0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为________．能力提升5．函数f(x)＝x2－2x的零点个数是________．6．[2012•如皋模拟] 若函数f(x)＝x2•lga－2x＋2在区间(1,2)内有且只有一个零点，那么实数a的取值范围是________．7．定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x>0时，y＝f(x)是单调递增的，f(1)•f(2)<0，则函数y ＝f(x)的图象与x轴的交点的个数是________．8．已知直线x＝2及x＝4与函数y＝log2x图象的交点分别为A，B，与函数y＝lgx图象的交点分别为C、D，则直线AB与CD交点坐标为________．9．[2012•温州一模] 根据表格中的数据，可以判定函数f(x)＝lnx－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1)(k∈N*)，则k的值为________.x 1 2 3 4 5lnx 0 0.69 1.10 1.39 1.6110.[2012•常镇二调] 已知方程12x＝x13的解x0∈1n＋1，1n，则正整数n＝________. 11．[2012•盐城模拟] 若方程x3＋a＝4x的各个实根x1，x2，…，xk(k≤4)所对应的点xi，4xi(i＝1,2，…，k)均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是________．12．[2012•盐城调研] 已知关于x的方程|x|x＋3＝kx3有三个不同的实数解，则实数k的取值范围是________________．13．(8分)如图K11－1是一个二次函数y＝f(x)的图象．(1)写出这个二次函数的零点；(2)写出这个二次函数的解析式；(3)分别指出f(－4)f(－1)，f(0)f(2)与零的大小关系．图K11－114．(8分)已知函数f(x)＝4x＋m•2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．15．(12分)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．16．(12分)已知二次函数y＝f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1)，反比例函数y＝f2(x)的图象与直线y＝x的两个交点间距离为8，f(x)＝f1(x)＋f2(x)．(1)求函数f(x)的表达式；(2)证明：当a>3时，关于x的方程f(x)＝f(a)有三个实数解．课时作业(十一)【基础热身】1．(1)2和3(2)1[解析] (1)令f(x)＝－x2＋5x－6＝0，解得x＝2或x＝3，故零点为2和3；(2)令g(x)＝0，解得x＝1，故零点就一个．2．(2,2.5)[解析] 由计算器可算得f(2)＝－1，f(3)＝16，f(2.5)＝5.625，f(2)•f(2.5)<0，∴下一个有根区间是(2,2.5).3．1.56[解析] 由表格可得x0∈(1.5562,1.5625)，又精确到0.01，故x0≈1.56.4．3[解析] 由f(－4)＝f(0)，可得f(x)＝x2＋bx＋c关于x＝－2对称，∴－b2＝－2，∴b ＝4.∵f(－2)＝－2，∴c＝2，∴当x≤0时，f(x)＝x2＋4x＋2，故f(x)＝x的解为x＝2或－1或－2.【能力提升】5．3[解析] 分别作出函数y＝x2与y＝2x的图象，看图可知有3个交点，故函数f(x)＝x2－2x的零点个数为3.6．(1，10)[解析] 由题意可有f(1)f(2)<0，即lga×(4lga－2)<0⇒0<lga<12⇒1<a<10.7．2[解析] 由已知可知，存在x1∈(1,2)，使得f(x1)＝0，又函数f(x)为偶函数，所以存在x0∈(－2，－1)，使得f(x0)＝0，故y＝f(x)的图象与x轴有两个交点．8．(0,0)[解析] 由图象可知直线AB与CD相交，两直线方程分别为AB：y＝12x，CD：y ＝lg22x，则其交点坐标为(0,0)．9．3[解析] f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4－2<0，所以该函数的零点在(3,4)内，k＝3.10．2[解析] 由下图可得：x0∈(0,1)，设f(x)＝12x－x13，因为f12＝1212－1213<0，f13＝1213－1313>0，故n＝2.11．(－∞，－6)∪(6，＋∞)[解析] 方程的根显然不为0，原方程的实根是曲线y＝x3＋a 与曲线y＝4x的交点的横坐标；而曲线y＝x3＋a是由曲线y＝x3向上或向下平移|a|个单位而得到的．若交点(xi，4xi)(i＝1,2，…，k)均在直线y＝x的同侧，因直线y＝x与y＝4x交点为：(－2，－2)，(2,2)；所以结合图象可得：a>0，－2 3＋a>－2或a<0，23＋a<2⇒a∈(－∞，－6)∪(6，＋∞)．12．k>0或k<－14[解答] 因为|x|x＋3＝kx3，所以|x|x3• x＋3 ＝k(*)，当x＝0时，原式成立；当x≠0时，1k＝|x|•x•(x＋3)＝x2 x＋3 x≥0 ，－x2 x＋3 x<0 ，设y＝x2 x＋3 x≥0 ，－x2 x＋3 x<0 ，画出函数图象如下图，观察图象得：ymin＝－4.因为y＝1k与y＝x2 x＋3 x≥0 ，－x2 x＋3 x<0 有两个交点故1k>－4且k≠0，所以k>0或k<－14.13．[解答] (1)由图象知函数y＝f(x)的零点是x1＝－3，x2＝1.(2)方法一：设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，据题意f 1＝a＋b＋c＝0，f 0＝c＝3，f －3 ＝9a－3b＋c＝0，解得a＝－1，b＝－2，c＝3.故这个二次函数的解析式为f(x)＝－x2－2x＋3.方法二：设二次函数的解析式为f(x)＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，由f(－1)＝4，可得a＝－1，故这个二次函数的解析式为f(x)＝－x2－2x＋3.方法三：设二次函数的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＋4(a≠0)，由f(0)＝3，可得a＝－1，故这个二次函数的解析式为f(x)＝－x2－2x＋3.(3)∵f(－4)＝－5，f(－1)＝4，f(0)＝3，f(2)＝－5，∴f(－4)f(－1)＝－20<0，f(0)f(2)＝－15<0.14.[解答] ∵f(x)＝4x＋m•2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m•2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.当Δ＝0，即m2－4＝0，∴m＝±2.当m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1不合题意，舍去，∴2x＝1，x＝0符合题意．当Δ＞0，即m＞2或m＜－2时，方程t2＋mt＋1＝0有两不等根，由题设知仅有一根，且为正，故方程t2＋mt＋1＝0有一正一负根，即t1t2＜0，这与t1t2＞0矛盾．∴这种情况不可能．综上可知：m＝－2时，f(x)有惟一零点，该零点为x＝0.15．[解答] 若a＝0，则函数f(x)＝2x－3在区间[－1,1]上没有零点．下面就a≠0时分三种情况讨论．(1)方程f(x)＝0在区间[－1,1]上有重根．此时Δ＝4＋8a(3＋a)＝4(2a2＋6a＋1)＝0，解得a＝－3±72.当a＝－3－72时，f(x)＝0的重根x＝3－72∈[－1,1]；当a＝－3＋72时，f(x)＝0的重根x＝3＋72∉[－1,1]；故当方程f(x)＝0在区间[－1,1]上有重根时，a＝－3－72.(2)f(x)在区间[－1,1]上只有一个零点且不是f(x)＝0的重根，此时有f(－1)•f(1)＝(a－1)(a－5)≤0⇒1≤a≤5.∵当a＝5时，方程f(x)＝0在区间[－1,1]上有两个相异实根．故当方程f(x)＝0在区间[－1,1]上只有一个根且不是重根时，a的取值范围为{a|1≤a<5}．(3)方程f(x)＝0在区间[－1,1]上有两相异实根．因为函数f(x)＝2ax＋12a2－12a－a－3，其图象的对称轴方程为x＝－12a，所以a应满足(I)a>0，Δ＝8a2＋24a＋4>0，－1<－12a<1，f 1≥0，f －1 ≥0或(Ⅱ)a<0，Δ＝8a2＋24a＋4>0，－1<－12a<1，f 1≤0，f －1 ≤0，解不等式组(I)得a≥5，解不等式组(Ⅱ)得a<－3－72，故当方程f(x) ＝0在区间[－1,1]上有两相异实根时，a<－3－72或a≥5.综上所述，函数在区间[－1,1]上有零点，a的取值范围是－∞，－3－72∪[1，＋∞)．16．[解答] (1)由已知，设f1(x)＝ax2，由f1(1)＝1，得a＝1，∴f1(x)＝x2.设f2(x)＝kx(k>0)，它的图象与直线y＝x的交点分别为A(k，k)，B(－k，－k)．由|AB|＝8，得k＝8，∴f2(x)＝8x.故f(x)＝x2＋8x.(2)证明：法一：由f(x)＝f(a)，得x2＋8x＝a2＋8a，即8x＝－x2＋a2＋8a.在同一坐标系内作出f2(x)＝8x和f3(x)＝－x2＋a2＋8a的大致图象，其中f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f3(x)的图象是以0，a2＋8a为顶点，开口向下的抛物线．因此，f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点，即f(x)＝f(a)有一个负数解．又∵f2(2)＝4，f3(2)＝－4＋a2＋8a，当a>3时，f3(2)－f2(2)＝a2＋8a－8>0，∴当a>3时，在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2，f3(2))在f2(x)图象的上方．∴f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点，即f(x)＝f(a)有两个正数解．因此，方程f(x)＝f(a)有三个实数解．法二：由f(x)＝f(a)，得x2＋8x＝a2＋8a，即(x－a)x＋a－8ax＝0，得方程的一个解x1＝a.方程x＋a－8ax＝0化为ax2＋a2x－8＝0，由a>3，Δ＝a4＋32a>0，得x2＝－a2－a4＋32a2a，x3＝－a2＋a4＋32a2a，∵x2<0，x3>0，∴x1≠x2，且x2≠x3.若x1＝x3，即a＝－a2＋a4＋32a2a，则3a2＝a4＋32a⇒a4＝4a，得a＝0或a＝34，这与a>3矛盾，∴x1≠x3.故原方程f(x)＝f(a)有三个实数解．。