高二人教A版数学选修导学案：正态分布

2.4正态分布教案（新人教A版选修2-3）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址2．4正态分布教学目标：知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用。

过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。

情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。

教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N。

教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口，正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。

内容分析：．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成：，（σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征5．由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难但我们也发现，许多正态分布中，重点研究N（0，1），其他的正态分布都可以通过转化为N（0，1），我们把N（0，1）称为标准正态分布，其密度函数为，x∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质教学过程：学生探究过程：复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：式中的实数、是参数，分别表示总体的平均数与标准差，的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数，随机变量X满足,则称X的分布为正态分布（normaldistribution)．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～.经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在1733年，法国数学家棣莫弗就用n！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数）并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是，（-∞＜x＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ（１）（２）（３）答案：0，1；1，2；-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式有==0.9772＋0.8413－1=0.8151．.标准正态总体的概率问题:对于标准正态总体N（0，1），是总体取值小于的概率，即，其中，图中阴影部分的面积表示为概率只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当时，；而当时，Φ（0）=0.52.标准正态分布表标准正态总体在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于的值是指总体取值小于的概率，即，．若，则．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间内取值的概率，即直线，与正态曲线、x轴所围成的曲边梯形的面积．3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可在这里重点掌握如何转化首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a值是否落入；三是作出判断讲解范例：例1.若x～N,求P；P.解：P=F-F=F-[1-F]=0.8849-=0.8747.P=1-P=1-F=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：在N下，求（2）在N（μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）解：（１）＝＝Φ（1）＝0.8413（２）Ｆ（μ＋σ）＝＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997对于正态总体取值的概率：在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率解：正态分布的概率密度函数是，它是偶函数，说明μ＝0，的最大值为＝，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布巩固练习：书本第74页,2,3课后作业：书本第75页习题2.4A组1,2B组1,2教学反思：．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成：，（σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。

正态散布教课方案一、教课目的剖析联合课程标准的要求，学生的实质状况，本节课的教课目的以下：知识与技术目标：（1）学习正态散布密度函数分析式；（2）认识正态曲线的特色及其表示的意义；过程与方法目标：（1）设置课前自主学习教案，使学生在课前自学；（2）讲堂采纳小组合作研究，提升讲堂效率；（3）课后设置课后查阅要求，将讲堂学习延长至课外学习。

感情、态度与价值观：（1）以情境引入，以实验作载体，激发学生的学习兴趣，调换学生的学习热忱；（2）运用议论研究形式，加强学生的合作意识。

二、教课内容分析正态散布是人教 A 版选修 2-3 第二章第四节的内容，该内容共一课时。

以前，学生已经学习了频次散布直方图、失散型随机变量等有关知识，这为本节课学习确立了基础，而正态散布研究是连续型随机变量，既是对前方内容的增补、拓展，又为学生初步应用正态散布知识解决实质问题供给了理论依照。

三、教课识题诊疗学生已在必修三中学习过频次散布直方图、整体密度曲线，但间隔时间较长，有些忘记，可能会影响讲堂进度。

正态曲线的特色许多，证明也较为复杂，假如等到讲堂上才开始思虑，必然影响讲堂容量。

本班学生为理科名校班，学生能力较强，要给学生发挥主观能动性的空间。

教课要点：（1）正态散布密度函数分析式；（2）正态曲线的特色及其所表示的意义。

教课难点：正态曲线的特色四、教课对策剖析经过两个看法复习题，让学生熟习本节课需要用到的知识。

设计了好多学生讲话的环节，让学生充足的显现自己的能力。

为达成教课任务，教师需要在课前为学生供给教案，讲堂中指引学生，掌控学习进度。

五、教课基本流程课前自主学习情境引入高尔顿板实验整体密度曲线正态曲线与函数讲堂练习正态散布正态曲线特色讲堂检测条件及举例讲堂小结课后查阅六、教课过程设计（1）课前自主学习：1.频次散布直方图用什么表示频次？2.由频次散布直方图获得整体密度曲线的过程是：第一绘制样本的频率散布折线图，而后跟着的无穷增添，作图时的减小、的增添，频次散布折线图愈来愈靠近一条圆滑曲线，这条曲线就是曲线。

24正态分布2.4.1正态分布课前预习学案一、预习目标1． 通过实际问题，借助直观，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。

2． 通过实际问题，知道假设检验的思想。

二、预习内容1.我们把函数 的图像称为正态分布密度曲线，简称 。

2．一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足 ,则称随机变量X 的分布为正态分布，记作 ，如果随机变量X 服从正态分布，则记为 。

3.正态曲线的特点：4.在实际应用中，通常认为服从于正态分布2N μσ（，）的随机变量X 只取 之间的值，简称之为 。

课内探究学案一、 学习目标1. 知道正态分布密度曲线、正态分布的概念。

知道正态曲线的解析式及函数图像。

2. 通过图像知道正态曲线的特点。

能在实际中体会3σ原则的应用。

二、学习重难点学习重点：1.正态分布曲线的特点；2.正态分布曲线所表示的意义.学习难点：正态分布在实际中的应用。

三、学习过程（一）自主学习大家预习课本P80页，并回答以下几个问题：问题1.在投放小球之前，你能知道这个小球落在哪个球槽中吗？问题2.重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，掉入每个球槽中小球的个数代表什么？问题3.为了更好的研究小球分布情况，对各个球槽进行编号，以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标，你能画出它的频率分布直方图吗？问题4.随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会发生什么样的变化？(二) 合作探究，得出概念随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线.这条曲线可以近似下列函数的图像：22()2,(),(,),x x e x μσμσϕ--=∈-∞+∞其中实数(0)μσσ>和为参数，我们称,()x μσϕ的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

问题5.如果在高尔顿板的底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，X 表示一个随机变量，X 落在区间(,]a b 的概率为什么？其几何意义是什么？一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,(<X (),ba P ab x dx μσϕ≤=⎰） 则称X 的分布为正态分布，记作2N μσ（，），如果随机变量X 服从正态分布，则记为2X N μσ （，）问题6.在现实生活中，什么样的分布服从或近似服从正态分布？ 问题7.结合()x μσϕ，的解析式及概率的性质，你能说说正态分布曲线的特点吗？可以发现，正态曲线有以下特点：（1） 曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称；（3） 曲线在x μ=；（4）曲线与x 轴之间的面积为1； （5）当σ一定时，曲线随着μ德变化而沿x 轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。

教学准备1. 教学目标1．了解正态分布的意义。

2．能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质。

3．了解标准正态分布的意义及性质。

2. 教学重点/难点教学重点、难点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1)是本节的重点; 对于抽象函数Φ(x0)=p(x<x0)的理解是难点。

3. 教学用具4. 标签教学过程教学过程：1．导入新课首先，引导学生简要回顾样本的频率分布与总体分布之间的关系．由于总体分布通常不易知道，我们往往是用样本的频率分布(即频率分布直方图)去估计总体分布．一般样本容量越大，这种估计就越精确。

其次，再以上一节得出的100个产品尺寸的频率分布直方图为例，说明当样本容量无限增大时，这个频率直方图无限接近于一条总体密度曲线。

再次，引导学生观察上节总体密度曲线的形状，得出总体密度曲线“中间高，两头低”的特征。

而具有这种特征的总体密度曲线一般可用一个我们不很熟悉的函数来表示或近似表示其解析式。

进而板书以下标题：2．正态分布(1)正态函数的定义产品尺寸的总体密度曲线具有“中间高，两头低”的特征，像这种类型的总体密度曲线，一般就是或近似地是以下一个特殊函数的图象：(板书)式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差(至此，解释总体标准差是衡量总体波动大小的特征数，常用样本标准差去估计)．函数f(x)称为正态函数。

(2)正态分布与正态曲线(3)正态曲线的性质先引导学生观察以上三条正态曲线，再让学生归纳出正态曲线的以下性质(板书)：①曲线在x轴的上方，与x轴不相交。

②曲线关于直线x=μ对称，且在x=μ时位于最高点。

③当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降。

并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。

④当μ一定时，曲线的形状由σ确定。

σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。

(4)服从正态分布的总体特征先分析产品尺寸这一类典型总体，它服从正态分布．它的特征是：生产条件正常稳定，即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等可以控制的条件都相对稳定，而且不存在产生系统误差的明显因素．再由此概括服从正态分布的总体特征：一般地，当一随机变量是大量微小的独立随机因素共同作用的结果，而每一种因素都不能起到压到其他因素的作用时，这个随机变量就被认为服从正态分布．并加以解释。

【高二】2.4正态分布教案（新人教A版选修2 3）【高二】2.4正态分布教案（新人教a版选修2-3）2.4正态分布目标：知识和技能：掌握正态分布在现实生活中的意义和作用。

过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。

情绪、态度和价值观：通过正态分布的图形特征总结正态曲线的性质。

重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线n(0，1)。

通过正态分布曲线的特点总结出图形教学的难点。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：在总体分布的研究中，我们选择正态分布作为突破口。

正态分布是统计学中最基本、最重要的分布。

内容分析：1.实践中遇到的许多随机现象服从或近似服从正态分布。

在上一节中，我们研究了当样本量无限增加时，频率分布直方图与总体密度曲线无限接近，从而科学地反映了总体分布，但总体密度曲线的相关知识更加抽象，学生难以理解，因此，在研究人口分布时，我们选择正态分布作为突破口。

正态分布是统计学中最基本、最重要的分布2．正态分布是可以用函数形式表述的其密度函数可写成：，（σ＞ 0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为正态分布为正态分布，正态分布为正态分布，正态分布为正态分布，正态分布为正态分布，正态分布为正态分布，正态分布为正态分布，正态分布为正态分布，正态分布为正态分布，正态分布为正态分布，正态分布为正态分布，正态分布为正态分布，正态分布为正态分布，正态分布为正态分布，正态分布为正态分布，正态分布，正态分布为正，但绝不与x轴相交。

因此，曲线以x轴为正方向和负方向的渐近线4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征5.由于正态分布在某种意义上是由其平均μ和标准差σ决定的，所以正态分布很多，这使得我们很难进一步研究。

然而，我们也发现，在许多正态分布中，焦点集中在n（0,1），其他正态分布可以转化为n（0,1）。

我们称n（0,1）为标准正态分布，其密度函数为X∈ (- ∞, + ∞), 因此，正态分布的研究可以简化6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质教学过程：学生探究过程：回顾介绍：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了人口在每个范围内获取价值的概率。

教案体会小球掉入高尔顿板下方的球槽内的随机性.槽编号X的分布列；方案2 以球槽的编号为横坐标，可以画出小球分布的频率分布直方图.哪种方案更好？对于离散型随机变量而言，其分布列完全刻画了它的概率分布规律，但此时只能通过频率来近似，现在无法知道所构造的随机变量的分布列.而频率分布直方图更加准确、直观、形象，所以经过学生讨论用频率分布直方图进一步探究小球的分布规律.活动2 画频率分布直方图由于课堂时间所限，这里展示在课前进行的试验，并记录落入各个球槽内小球的频数，利用图形计算器画频率分布画直方图.问题2 观察频率分布直方图有何共同特点？预设学生活动：学生可发现频率分布直方图具有中间高两边低（左右两边对称）的特点，并且频率分布直方图的外形与试验中小球的堆积形状是一样的.活动3 画频率分布折线图问题3 是不是只有小球的分布具有中间高两边低的特点？预设学生活动：教师展示在必修3统计的学习中，收集过的身高、体重、成绩等数据，借助图形计算器，可以画出这些数据的频率分布直方图，发现这些数据都具有中间高两边低的特点.既然这么多数据都具有中间高两边低的特点，我们有必要进一步研究它们的分布规律，教师引导学生画数据的频率分布折线图，并思考下面问题.问题4 画出身高、体重、成绩等数据的频率分布折线图，随着试验次数增加，组距不断缩小，观察频率分布折线图有何特点？预设学生活动：随着试验次数增加，组距不断缩小，频率分布折线图的形状也越来越光滑.活动4 教师用计算机演示教师借助几何画板演示，引导学生思考当试验次数增加，组距不断缩小时，频率分布折线图有什么变化特点？预设学生活动：频率分布折线图越来越光滑，越来越像一条曲线.问题5 生活中我们是否见过类似形状的东西？预设学生活动：象我们生活中的钟、铃铛等类似形状的东西，我们称之为钟形曲线.（二）正态曲线对于这条钟形曲线，早在十八世纪30年代，棣莫弗、斯特莱等数学家经过十几年的努力，用求导、对数、无穷级数、积分、变量代换等数学方法就推导出这条钟形曲线就是函数22()2,1()e 2πx x μσμσϕσ--=的图象，其中μ和σ（0>σ）为参数，我们称)(,x σμϕ的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.在对正态曲线认识的基础上进入理性分析，得到正态分布的概念.（三）正态分布知道了小球的分布规律是正态曲线，为了引导学生由正态曲线认识正态分布，设计了下面的问题.问题6 一个小球从高尔顿板口落下，会落在哪？为什么？预设学生活动：一个小球从高尔顿板口落下，落在哪都有可能，但是，落在中间的可能性大，概率大.问题7 如何计算小球落在某个区间],(b a 内的概率？当试验用的小球很小时候如何刻画小球的具体位置？可以用坐标.如何建立适当的坐标系?以及如何计算小球落在某个区间],(b a 的概率?如果去掉高尔顿板最下边的球槽，沿高尔顿板底部建立一个水平坐标轴，刻度单位为球槽的宽度，若用X 表示落下的小球第1次与高尔顿板底部曲边梯形面积,()()aaP a X a x μμσμμμϕ+--<≤+=⎰为图中阴影部分的面积，对于固定的μ和a 而言，该面积随着σ的减少而变大.说明σ越小，落在区间(],a a μμ-+的概率越大，即X 集中在μ周围概率越大.特别有()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<≤+≈-<≤+≈-<≤+≈可以看到，正态总体几乎总取值于区间(3,3)μσμσ-+之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布2(,)N μσ的随机变量X 只取(3,3)μσμσ-+之间的值，并简称之为3σ原则.例 某地区数学考试的成绩X 服从正态分布，其密度曲线如图所示，成绩X 位于区间(]52,68的概率是多少？解：第一步，利用待定系数法，求出正态分布密度曲线函数的解析式；可知，参数60μ=，max 1(60)82ϕϕπ==，故22(60)2,1()2πx x e σμσϕσ--=，且max 11(60)822πϕϕπσ===， 所以8σ=.得2(60)128,1()82πx x e μσϕ--=； 第二步，求概率；故(5268)(608608)0.6826P x P x <≤=-<≤+≈. 例 若(5,1)X N ，求(67)P X <<.解：由(5,1)XN 知，正态密度曲线函数的两个参数为5,1μσ==，故该正态密度曲线关于直线5x =对称.故1(57)(37)2P X P X <<=<< 11(5252)0.95440.477222P X =-<<+≈⨯=， 而1(56)(46)2P X P X <<=<< 56 7O y4 3示的意义，事实上，从历史上看，正态分布从1733年问世到作为分析统计数据的概率模型经历了100多年，经过棣莫弗、高斯、凯特莱和高尔顿等很多科学家的辛苦努力.课后请同学们查阅相关的资料，了解正态分布的发展史.棣莫弗凯特莱高斯例 设若(,1)X N μ，求(32)P X μμ-<≤-.解：由(,1)XN μ知，正态分布密度函数的参数1σ=.因为该正态密度曲线关于直线x μ=对称，所以(32)(3)(2)P X P X P X μμμμμμ-<≤-=-<≤--<≤11(33)(22)22P X P X μμμμ=-<≤+--<≤+ 110.99740.95440.021522≈⨯-⨯=.。

教学设计（1）如何描述这100个样本误差数据的分布？ （2）如何构建适当的概率模型刻画误差X 的分布？设计意图：通过频率分布直方图对这个问题中的100个数据进行处理，引导学生想象数据足够多接近连续的时候可以得到钟形曲线，为后面的正态分布作铺垫，提高直观想象、数据分析等核心素养.【新知定义】在棣莫弗、高斯等数学家的不懈努力下，找到了刻画随机误差分布的解析式：.,21)(222)(R x e x f x ∈=--σμπσ我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.如图1所示，若随机变量X 的概率分布密度为f(x)，则称随机变量X 服从正态分布，记为),(~2σμN X .特别地，当1,0==σμ 时，称随机变量X 服从标准正态分布.图 1正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.例如，某些物理量的测量误差，某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等等.设计意图：在之前问题引导下，强调正态曲线与正态分布概念，同时渗透数序文化教育，增强学生对生活中正态分布的认识，培养学生对数学知识的应用意识。

四、观察研究【问题3】你能发现正态曲线的哪些特点？ 学生讨论作答后总结：.1)1(轴上方，面积为在x.)2(对称曲线是单峰的关于μ=x.21)3(πσμ处达到峰值在=x.||)4(轴接近于无限增大时，曲线无限当x x【问题4】观察图2，两个参数对正态曲线的形状有何影响？图 2学生思考后，引导学生作答：.确定的位置由取固定值时，正态曲线在参数μσ.“矮胖”较大时，峰值低，曲线“瘦高”；当较小时，峰值高，曲线当σσ参数μ 反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于μ的离散程度。

若X 服从N （μ，σ2），则E （X ）=μ，D （X ）=σ2.设计意图：通过观察研究曲线的特点，以及控制参数来研究参数对正态曲线的影响，在概括的过程中，锻炼学生观察、猜测、归纳的能力.四、简单应用【3σ原则】【例1】李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min ，样本方差为36；骑自行车平均用时34min ，样本方差为4.假设坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布.（1）估计X ，Y 的分布中的参数;（2）根据估计结果，利用信息技术画出X,Y 的分布密度曲线;演示GGB 动态教学软件的概率计算器，进行正态曲线的绘制与概率计算.(3) 如果某天有38min 可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有34min 可用，有应该选择哪种？.]3,3[),( 2中的值只取的随机变量为服从于正态分布在实际应用中，通常认σμσμσμ+-X N )2,34(~),6,30(~22N Y N X )34()34()38()38(≤>≤≤<≤Y P X P Y P X P .)X (,*有关的定值是一个与对给定的k k k P N k σμσμ+≤≤-∈。

课题：正态分布教学目标：理解取有限值的离散型随机变量的方差的概念，及简单应用教学重点：理解取有限值的离散型随机变量的方差的概念，及简单应用教学过程一、复习引入：简要复习模块3种的相关内容，材料如下，可选取相关内容重点复习1.简单随机抽样：设一个总体的个体数为N ．如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样 ⑴用简单随机抽样从含有N 个个体的总体中抽取一个容量为n 的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为N1；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为N n ； ⑵简单随机抽样的特点是，逐个抽取，且各个个体被抽到的概率相等； ⑶简单随机抽样方法，体现了抽样的客观性与公平性，是其他更复杂抽样方法的基础．（4）.简单随机抽样的特点：它是不放回抽样；它是逐个地进行抽取；它是一种等概率抽样2.抽签法：先将总体中的所有个体（共有N 个）编号（号码可从1到N ），并把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可用小球、卡片、纸条等制作），然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时每次从中抽一个号签，连续抽取n 次，就得到一个容量为n 的样本 适用范围：总体的个体数不多时优点：抽签法简便易行，当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法．3.随机数表法： 随机数表抽样“三步曲”：第一步，将总体中的个体编号；第二步，选定开始的数字；第三步，获取样本号码4.系统抽样:当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样叫做系统抽样．系统抽样的步骤：①采用随机的方式将总体中的个体编号为简便起见，有时可直接采用个体所带有的号码，如考生的准考证号、街道上各户的门牌号，等等 ②为将整个的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔k 当N n（N 为总体中的个体的个数，n 为样本容量）是整数时，k=N n ;当N n不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的总体中个体的个数N '能被n 整除，这时k=N n'.③在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号l ④按照事先确定的规则抽取样本（通常是将l 加上间隔k ，得到第2个编号l +k,第3个编号l +2k ，这样继续下去，直到获取整个样本） ①系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，它与简单随机抽样的联系在于：将总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；②与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的．③总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽样的间隔；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可用简单随机抽样先从总体中剔除少量个体，使剩下的个体数能被样本容量整除在进行系统抽样 5.分层抽样: 当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，所分成的部分叫做层6.不放回抽样和放回抽样:在抽样中，如果每次抽出个体后不再将它放回总体，称这样的抽样为不放回抽样；如果每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样为放回抽样．随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回抽样7. 分布列: ξ x 1 x 2 … x i… P P 1 P 2 … P i…分布列的两个性质： ⑴i ≥0，＝1，2，…； ⑵1+2+…=1 8.频率分布表或频率分布条形图历史上有人通过作抛掷硬币的大量重复试验，得到了如下试验结果：试验结果频数 频率 正面向上(0)36124 0.5011 反面向上(1) 35964 0.4989抛掷硬币试验的结果的全体构成一个总体，则上表就是从总体中抽取容量为72088的相当大的样本的频率分布表．尽管这里的样本容量很大，但由于不同取值仅有2个（用0和1表示），所以其频率分布可以用上表和右面的条形图表示．其中条形图是用高来表示取各值的频率．说明：⑴频率分布表在数量表示上比较确切，而频率分布条形图比较直观，两者相互补充，使我们对数据的频率分布情况了解得更加清楚．⑵①各长条的宽度要相同；②相邻长条之间的间隔要适当．当试验次数无限增大时，两种试验结果的频率值就成为相应的概率，得到右表，除了抽样造成的误差，精确地反映了总体取值的概率分布规律．这种整体取值的概率分布规律通常称为总体分布.说明：频率分布与总体分布的关系：⑴通过样本的频数分布、频率分布可以估计总体的概率分布.⑵研究总体概率分布往往可以研究其样本的频数分布、频率分布.9.总体分布：总体取值的概率分布规律在实践中，往往是从总体中抽取一个样本，用样本的频率分布去估计总体分布 一般地，样本容量越大，这种估计就越精确10.总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无试验结果 概率 正面向上(记为0) 0．5 反面向上(记为1) 0．5限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 总体密度曲线b单位O 频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．二、讲解新课：1．正态分布概率密度函数：22()2(),(,)2x f x e x μσπσ--=∈-∞+∞，（σ＞0） 其中π是圆周率；e 是自然对数的底；x 是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为),(2σμN 2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数） 线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题6. 对于正态总体),(2σμN 取值的概率：在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7%因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分课堂小节：本节课学习了取有限值的离散型随机变量的方差的概念，及简单应用课堂练习：略课后作业：第79页习题A:1,2。

教案并介绍高尔顿板模型，引入本节课，提出问题，并进行实验操作.活动1：高尔顿板试验猜想：让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层障碍物碰撞，最后掉入高尔顿板下方的哪一个球槽内？观察：演示多次，观察各次得到的小球的分布规律的共性.学生能够观察到小球从高尔顿板上方下落的过程中，小球经过每一层都要和其中的一个障碍物发生碰撞，碰撞有两种可能，从左落下或从右落下，最后落入底部的球槽，小球落入哪个球槽是随机的；随着试验次数的增加，掉入各个球槽内的小球的个数就会越来越多，球槽中小球堆积的高度也会越来越高；随着试验次数增加，小球堆积的形状具有中间高两边低的特点，呈现左右对称的特点.体会小球掉入高尔顿板下方的球槽内的随机性.感受对几次试验结果的观察角度.采用高尔顿板试验的方法引入，一方面可以激发学生学习探究的兴趣，另一方面使学生对正态曲线的来源有一个直观的印象.新课二、建立概念——钟形曲线——正态曲线——正态分布（一）钟形曲线感性认识要上升到理性认识，如何用数学的观点研究小球分布情况？我们从左到右给球槽编号，小球落入哪个球槽是不是有一定规律可遵循.问题1 如何用我们所学的知识研究落在各个球槽内的小球的分布情况？方案1 用X表示球槽编号，则X是一个随机变量，每投放一个小球就可以看做1个试验，重复投放n引导学生用数学的眼光看问题，利用所学知识分析问题，进而解决问题.个小球，相当于做了n次独立重复试验，某一槽中球的个数就是小球落在这个槽中的频数，可以在大量重复的试验下，用频率估计概率，列出球槽编号X 的分布列；方案2 以球槽的编号为横坐标，可以画出小球分布的频率分布直方图.哪种方案更好？对于离散型随机变量而言，其分布列完全刻画了它的概率分布规律，但此时只能通过频率来近似，现在无法知道所构造的随机变量的分布列.而频率分布直方图更加准确、直观、形象，所以经过学生讨论用频率分布直方图进一步探究小球的分布规律.活动2 画频率分布直方图由于课堂时间所限，这里展示在课前进行的试验，并记录落入各个球槽内小球的频数，利用图形计算器画频率分布画直方图.问题2 观察频率分布直方图有何共同特点？预设学生活动：学生可发现频率分布直方图具有中间高两边低（左右两边对称）的特点，并且频率分布直方图的外形与试验中小球的堆积形状是一样的. 借助频率分布直方图更加准确直观形象的研究小球的分布规律，为正态曲线的得出做铺垫.引导学生归纳频率分布直方图的共同特点，有利于学生观察发现、归纳概括能力的初步锻炼，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征，发展学生的数学抽象素养.进一步加深正态曲线的印活动3 画频率分布折线图问题3 是不是只有小球的分布具有中间高两边低的特点？预设学生活动：教师展示在必修3统计的学习中，收集过的身高、体重、成绩等数据，借助图形计算器，可以画出这些数据的频率分布直方图，发现这些数据都具有中间高两边低的特点.既然这么多数据都具有中间高两边低的特点，我们有必要进一步研究它们的分布规律，教师引导学生画数据的频率分布折线图，并思考下面问题.问题4 画出身高、体重、成绩等数据的频率分布折线图，随着试验次数增加，组距不断缩小，观察频率分布折线图有何特点？预设学生活动：随着试验次数增加，组距不断缩小，频率分布折线图的形状也越来越光滑.活动4 教师用计算机演示教师借助几何画板演示，引导学生思考当试验次数增加，组距不断缩小时，频率分布折线图有什么变化特点？预设学生活动：频率分布折线图越来越光滑，越来越像一条曲线.问题5 生活中我们是否见过类似形状的东西？预设学生活动：象我们生活中的钟、铃铛等类似形状的东西，我们称之为钟形曲线.（二）正态曲线对于这条钟形曲线，早在十八世纪30年代，棣莫象.为引入新知搭桥铺路，为了让学生由特殊到一般归纳正态曲线的概念做铺垫，同时也说明了正态分布在概率统计理论和实际应用中都占有重要的地位.这个步骤实现了由离散型随机变量到连续型随机变量的过渡，突破学生由离散到连续认知上的障碍.通过几何画板让学生直观形象地感受正态曲线的形成过程.弗、斯特莱等数学家经过十几年的努力，用求导、对数、无穷级数、积分、变量代换等数学方法就推导出这条钟形曲线就是函数22()2,1()e 2πx x μσμσϕσ--=的图象，其中μ和σ（0>σ）为参数，我们称)(,x σμϕ的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线. 在对正态曲线认识的基础上进入理性分析，得到正态分布的概念.（三）正态分布知道了小球的分布规律是正态曲线，为了引导学生由正态曲线认识正态分布，设计了下面的问题.问题6 一个小球从高尔顿板口落下，会落在哪？为什么？预设学生活动：一个小球从高尔顿板口落下，落在哪都有可能，但是，落在中间的可能性大，概率大. 问题7 如何计算小球落在某个区间],(b a 内的概率？当试验用的小球很小时候如何刻画小球的具体位置？可以用坐标.如何建立适当的坐标系?以及如何计算小球落在某个区间],(b a 的概率?如果去掉高尔顿板最下边的球槽，沿高尔顿板底部建立一个水平坐标轴，刻度单位为球槽的宽度，若用X 表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标. X 是一个随机变量，这样计算小球落在某个区间],(b a 的概率，就是求()<≤P a X b .而频率分布直引导学生，逐步经历概念的形成过程，初步体会正态曲线的特点.对高中学生来说，正态分布密度函数的推导是十分困难的，因此，从数学史的角度介绍正态分布密度曲线的解析式，既使学生易与接受又渗透了数学的文化价值.正态曲线的意义是本节课的重点也是本节课的难点，通过设疑，引起学生对问题的曲边梯形面积这样曲边梯形的面积就是小球落在某个区间的概率的近似值，即(P a＜X≤)b≈⎰b aϕ此公式是不是只对特殊的a和b成立呢？其实是和b（a＜b），随机变量,()x dxμσϕ.表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时是一个随机变量，请同学们通过下面的问是什么样的量？它受到哪些因素的影响判断下面说法是否正确，说明理由是一个障碍物作用的结果；）如果小球与第1个障碍物相撞后向左落下，那么个障碍物相撞后也向左落下；主要受最后一次与小球碰撞的障碍物的影响预设学生活动：X是一个随机变量，受到了很多个障碍物的作用；每个障碍物是互不影响、互不相干；小球落在什么位置是很多次碰撞的结果，这些碰撞不是一个随机变量，受到了众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素的影响由学生给出描述小球分布规律的正态分布的定义，教师给与补充，并进一步完善正态分布的概念特别有()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<≤+≈-<≤+≈-<≤+≈可以看到，正态总体几乎总取值于区间(3,3)μσμσ-+之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布2(,)N μσ的随机变量X 只取(3,3)μσμσ-+之间的值，并简称之为3σ原则.例 某地区数学考试的成绩X 服从正态分布，其密度曲线如图所示，成绩X 位于区间(]52,68的概率是多少？ 解：第一步，利用待定系数法，求出正态分布密度曲线函数的解析式；可知，参数60μ=，max 1(60)82ϕϕπ==，故22(60)2,1()2πx x e σμσϕσ--=，且max 11(60)822πϕϕπσ===， 所以8σ=.得2(60)128,1()82πx x e μσϕ--=； 第二步，求概率；故(5268)(608608)0.6826P x P x <≤=-<≤+≈. 例 若(5,1)X N :，求(67)P X <<.解：由(5,1)X N :知，正态密度曲线函数的两个参数为5,1μσ==，故该正态密度曲线关于直线5x =对称.故1(57)(37)2P X P X <<=<< 11(5252)0.95440.477222P X =-<<+≈⨯=， 而1(56)(46)2P X P X <<=<< 1(5151)2P X =-<<+10.68260.34132≈⨯=， 得(67)(57)(56)0.1359P X P X P X <<=<<-<<≈.例 商场经营的某种包装的大米质量服从正态分56 7O y4 3（1）课本P75 A 组1；（2）画出课上使用过的身高、体重、成绩等数据的正态曲线，并估计参数μ的值；（3）请同学们查阅相关的资料，了解正态分布的发展史，以小组为单位对某个科学家的观点或在正态分布方面的贡献写一个简介.例 设若(,1)X N μ:，求(32)P X μμ-<≤-.解：由(,1)X N μ:知，正态分布密度函数的参数1σ=.因为该正态密度曲线关于直线x μ=对称，所以(32)(3)(2)P X P X P X μμμμμμ-<≤-=-<≤--<≤高斯高棣莫弗凯特11(33)(22)22P X P X μμμμ=-<≤+--<≤+ 110.99740.95440.021522≈⨯-⨯=.。