高二数学-正态分布练习题

正态分布高中练习题及讲解1. 题目一：某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50, 16)，求长度在48到52之间的零件所占的比例。

2. 题目二：假设某大学新生的数学成绩服从正态分布N(70, 25)，求数学成绩超过80分的学生所占的比例。

3. 题目三：某市居民的身高数据服从正态分布N(170, 10)，如果随机选择一名居民，求其身高超过180cm的概率。

4. 题目四：某公司员工的工作时间服从正态分布N(8, 2)，计算工作时间超过9小时的员工所占的比例。

5. 题目五：某品牌手机的电池寿命服从正态分布N(300, 50)，求电池寿命超过350小时的概率。

讲解：正态分布是统计学中最常见的分布之一，其图形呈钟形，对称于均值。

正态分布的数学表达式为N(μ, σ²)，其中μ是均值，σ²是方差。

正态分布的特点是：- 均值μ决定了分布的中心位置。

- 方差σ²决定了分布的宽度，方差越大，分布越宽，反之亦然。

- 68%的数据位于距均值一个标准差(σ)的范围内。

- 95%的数据位于距均值两个标准差的范围内。

- 99.7%的数据位于距均值三个标准差的范围内。

要解决上述题目，我们可以使用正态分布的性质和Z分数来计算概率。

解题步骤：1. 将数据转换为Z分数，Z = (X - μ) / σ。

2. 查找Z分数对应的概率，通常可以使用标准正态分布表或计算器。

例如，对于题目一，我们首先计算48和52对应的Z分数：- Z1 = (48 - 50) / 4 = -0.5- Z2 = (52 - 50) / 4 = 0.5然后，查找Z分数表或使用计算器得到Z1和Z2对应的概率，最后计算两者之差。

对于题目二至题目五，解题步骤类似，只需将题目中的数据代入相应的公式中计算即可。

通过这些练习，学生可以更好地理解正态分布的概念，掌握如何使用Z 分数来解决实际问题。

同时，这些练习也有助于提高学生的计算能力和逻辑思维能力。

正态分布测试题及答案1. 正态分布是一种连续概率分布，其形状呈钟形曲线，也称为高斯分布。

以下哪个选项描述了正态分布的特征？A. 对称性B. 所有数据都集中在均值附近C. 曲线下的总面积等于1D. 所有选项都正确答案：D2. 如果一个随机变量X服从标准正态分布，那么它的均值μ和标准差σ分别是多少？A. μ=0，σ=1B. μ=1，σ=0C. μ=0，σ=0D. μ=1，σ=1答案：A3. 在正态分布中，68-95-99.7经验法则描述了数据的分布情况。

根据这个法则，以下哪个比例的数据落在均值的两个标准差之内？A. 68%B. 95%C. 99.7%D. 100%答案：B4. 假设一个正态分布的总体均值为100，标准差为15，随机抽取一个样本，样本容量为100。

根据中心极限定理，样本均值的分布情况如何？A. 样本均值服从均值为100，标准差为15的正态分布B. 样本均值服从均值为100，标准差为1.5的正态分布C. 样本均值服从均值为100，标准差为0.15的正态分布D. 样本均值服从均值为100，标准差为0.015的正态分布答案：B5. 正态分布的概率密度函数（PDF）表达式为f(x)=1/(σ√(2π)) *e^(-(x-μ)²/(2σ²))，其中μ和σ分别代表什么？A. μ代表均值，σ代表方差B. μ代表方差，σ代表均值C. μ代表均值，σ代表标准差D. μ代表标准差，σ代表方差答案：C结束语：以上是关于正态分布的一些基本测试题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握正态分布的相关知识。

一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为附：若，则；；．A. 6038B. 6587C. 7028D. 75392.在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩，若已知，则从哈市高中教师中任选位教师，他的培训成绩大于90分的概率为A. B. C. D.3.已知随机变量服从正态分布，如果，则A. B. C. D.4.在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为，则任意选取一名学生，该生成绩高于115的概率为A. B. C. D.5.在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概为，则任意选取一名学生，该生成绩高于115的概率为A. B. C. D.6.若随机变量X的密度函数为，X在区间和内取值的概率分别为，则，的关系为A. B. C. D. 不确定7.甲、乙两类水果的质量单位：分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是A. 甲类水果的平均质量B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数8.已知随机变量，若，则的值为A. B. C. D.9.已知服从正态分布的随机变量，在区间、和内取值的概率分别为、、和某企业为1000名员工定制工作服，设员工的身高单位：服从正态分布，则适合身高在范围内员工穿的服装大约要定制A. 683套B. 954套C. 932套D. 997套10.设随机变量服从正态分布，若，则A. 1B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.设随机变量服从正态分布，若，则c的值是______12.已知随机变量服从正态分布，则______13.某正态分布密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，则总体落入区间内的概率为________．14.某校高二学生一次数学诊断考试成绩单位：分图从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件A，记该同学的成绩为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率______结果用分数表示附参考数据：；；．三、解答题（本大题共2小题，共24.0分）15.某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测，现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数，标准差，绘制如图所示的频率分布直方图，以频率值作为概率估值。

高二数学正态分布试题1..设随机变量ξ服从正态分布，若=，则c的值是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由题意知，正态分布图像关于对称，因此的中点为2，得【考点】正态分布下的概率.2.已知随机变量X服从正态分布且则．【答案】0.1【解析】由已知随机变量X服从正态分布，则其正态曲线关于纵轴对称，则由知，所以，故应填入：0.1．【考点】正态分布．3.已知随机变量服从正态分布，且，则的值等于（）A．0.5B．0.2C．0.3D．0.4【答案】D【解析】因为随机变量服从正态分布,所以其正态曲线关于直线对称,如图,又因为,由对称性得,从而有：,故选D.【考点】正态分布．4.已知正态总体落在区间(0.2，＋∞)内的概率是0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点．【答案】0.2【解析】由正态曲线的性质知：μ＝0.2，故x＝0.2时，正态曲线f(x)达到最高点．5.随机变量X服从正态分布N(0,1)，如果P(X＜1)＝0.8413，则P(－1＜X＜0)＝ .【答案】0.3413【解析】根据题意，由于随机变量X服从正态分布N(0,1)，如果P(X＜1)＝0.8413，则利用对称性可知，P(－1＜X＜0)＝0.3413，故可知答案为0.3413。

【考点】正态分布点评：主要是考查了正态分布的运用，属于基础题。

6.已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X>4)＝()A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.15858【答案】B【解析】由正态分布N(3,1)知：正态曲线的对称轴是，因为P(2≤X≤4)＝0.6826，所以则P(X>4)＝0.1587。

故选B。

【考点】正态分布点评：若随机变量X服从正态分布，则正态曲线的对称轴为。

7.某市对10000名中学生的数学成绩（满分100分）进行抽样统计，发现他们近似服从正态分布N～（70，102），若90分以上者有230人，则这10000名学生中分数在50分到90分之间的人数约有（）A．7140人B．230人C．9540人D．4770人【答案】C【解析】解：因为利用正态分布的对称性可知，某市对10000名中学生的数学成绩（满分100分）进行抽样统计，发现他们近似服从正态分布N～（70，102），因为90分以上者有230人，则这10000名学生中分数在50分到90分之间的人数约有10000-460=9540人，选C8.设随机变量服从正态分布N(0,1)，若P(>1)= ，则P(-1<<0)=（）。

正态分布练习题1正态分布1.1正态函数及曲线特点1.（对称性）：已知随机变量ξN (2,32)。

若P (ξ>C +1)=P (ξ<C −1)，则C =3.2.（单峰与最值）若正态分布曲线是偶函数，且最大值为14√2π，则总体的均值和方差分别为0和16。

1.2三个重要区间的概率应用(特殊区间段的计算公式)P 1=P (µ−σ<X ≤µ+σ)=0.6826;P 2=P (µ−2σ<X ≤µ+2σ)=0.9544;P 3=P (µ−3σ<X ≤µ+3σ)=0.9974.类型1:(µ,µ+nσ]型,(n =1,2,3):P (µ<X ≤µ+nσ)=12P n ,(n =1,2,3);如：P (µ<X ≤µ+2σ)=12P 2=12×0.9544=0.4772.类似也可求解(µ−nσ,µ]型,(n =1,2,3).类型2:(µ±nσ,+∞)型,(n =0,1,2,3):P (µ±nσ<X <+∞)=12×[1∓P n ],(n =0,1,2,3);如：P (µ−2σ<X <+∞)=12×[1+P 2]=12×[1+0.9544]=0.9772.类似也可求解(−∞,µ±nσ)型,(n =0,1,2,3).类型3:(µ+kσ,µ+tσ)型,−3≤k <t ≤3:case 1:kt ≤0时P (µ+kσ<X ≤µ+tσ)=12×[P t +P |k |]case 2:kt ≥0时P (µ+kσ<X ≤µ+tσ)=12×[P M +P m ],M =max {|k |,|t |},m =min {|k |,|t |}.总结,以上各类型需要与正态曲线的图形有机结合在一起,把概率问题转化为对应区间上图形的面积问题.1练习:1.若X N(µ,1)，求P(µ−3<X≤µ−2)=0.0215.2.若X N(5,1)，求P(6<X≤7)=0.1359.3.若X N(1,1)，求P(3<X≤4)=0.0215.4.若X N(0,1)，求P(−3<X<−∞)=0.9987.1.3应用问题1.某糖厂用自动打包机打包，包质量（单位：kg）目标以正态分布X N(100,1.22).（1）求质量在(98.8,101.2]内的糖包后的概率；（2）若一公司从该糖厂进货1500包，试估计在(98.8,101.2]内的糖包的数量。

27．设随机变量X～N（3，σ2），若P（X＞a）＝0.2，则P（X＞6﹣a）＝．
28．某一部件由四个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3或元件4正常工作，则部件正常工作．设四个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．
A．0.25B．0.1C．0.125D．0.5
6．随机变量X服从正态分布X～N（10，σ2），P（X＞12）＝m，P（8≤X≤10）＝n，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．在某项测量中，测得变量ξ﹣N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在（1，2）内取值的概率为（ ）
37．某中学为了了解该校高中学生的体重情况，现随机抽取该校150名高中学生，并测量每个人的体重后得到如图5的频率分布直方图．
（1）求这150名高中学生体重的样本平均数 和样本方差s2；（同一组中的数据用该区间的中点值代替）
（2）根据频率分布直方图，我们认为该校高中学生的体重Z服从正态分布N（u，δ2），其中u近似为样本平均数 ，δ2近似为样本方差s2；如果体重Z满足Z＜33.4或Z＞106.6，则该生的体重有严重问题．
28．2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数X（单位：辆）均服从正态分布N（600，σ2），若P（500＜X＜700）＝0.6，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（ ）
A． B． C． D．
29．设随机变量ξ：N（2，2），则D（ ξ）＝（ ）
A． ﹣ B．计，某市高三学生期末数学成绩X﹣N（85，σ2），且P（80＜X＜90）＝0.3，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是（ ）

高考数学正态分布练习题1. 正态分布的概念和性质- 正态分布是一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线。

请解释正态分布的三个主要性质，并给出相应的数学表达式。

- 正态分布的均值、方差和标准差之间有何关系？请用数学公式表达这种关系。

2. 正态分布的标准化- 给定一个正态分布的随机变量X，其均值为μ，标准差为σ，求X的标准化形式Z，并说明Z的均值和标准差。

- 如果一个随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，求其标准化后Z的分布，并解释Z的分布特性。

3. 正态分布的概率计算- 已知随机变量X服从正态分布N(0, 1)，求P(-1 < X < 1)的值。

- 对于一个正态分布N(μ, σ^2)，如果已知P(X < a) = 0.75，求P(X > a)的值。

4. 正态分布的应用- 某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50, 2^2)，求长度在48到52之间的零件所占的比例。

- 某学校学生的数学成绩服从正态分布N(70, 10^2)，求成绩在60到80分之间的学生所占的比例。

5. 正态分布与样本数据- 一组样本数据服从正态分布，样本均值为80，样本标准差为10，求该样本数据落在70到90之间的概率。

- 已知一组样本数据服从正态分布，样本均值为100，样本标准差为15，求该样本数据落在85到115之间的概率。

6. 正态分布的参数估计- 给定一组样本数据，如何利用样本均值和样本标准差来估计总体的正态分布参数？- 如果样本数据的样本均值为85，样本标准差为5，求该样本数据对应的总体正态分布的95%置信区间。

7. 正态分布的假设检验- 给定一个总体正态分布N(μ, σ^2)，如何利用样本数据进行假设检验，以判断总体均值μ是否等于某个给定值？- 如果已知总体标准差σ，如何利用样本数据进行假设检验，以判断总体均值μ是否在某个区间内？通过以上练习题，可以加深对正态分布概念、性质、应用以及参数估计和假设检验的理解和应用能力。

正态散布一、选择题1.已知随机变量听从正态散布 N ( 2,9) ，若 P( c 1) P( c 1) ，则 c 等于（）2.已知随机变量听从正态分 N ( 2, 2 ) ，且 P( 4) 0.8 ，则 P(0 2) 等于（）3.已知随机变量听从正态散布 N ( 2, 2 ) ， P( ≤ 4) 0.84 ，则 P( ≤ 0) 等于（）4.已知随机变量X 听从正态散布N (2,2)，P(0 X 4) 0.8 ，则 P( X 4) 等于（）A ．5.已知随机变量听从正态散布 N ( 3, 2 ) ，且 P( 2) 0.3 ，则 P(2 4) 等于（）6.已知随机变量听从正态散布 N ( 3, 2 ) ， P( ≤ 4) 0.842 ，则 P( ≤ 2) 等于（）7.已知随机变量X 听从正态散布N (3,1)，且P(2 X 4) 0.6826 ，则 P( X 4) 等于（）8.已知随机变量X 听从正态散布N (0, 2 ) ，若 P( X 2) 0.023 ，则 P( 2 ≤ X ≤ 2) 等于（）9.在某次联考数学测试中，学生成绩听从正态散布(100, 2 ) ( 0) ，若在（ 80,120）内的概率为，则落在（ 0,80）内的概率为（）10. 已知随机变量X 服从正态分布 N ( , 2 ) ，且 P( 2 X 2 ) 0.9544 ，P( X ) 0.6826 ，若4, 1 ,则 P(5 X 6) （）11.某商场经营的一种袋装的大米的质量听从正态散布2 )（单位 kg）,任选一袋这类大米，其质量在9.8~10.2kg 的概率为（）12.一批电池的使用时间 X （单位：小时）听从正态散布N ( 36,42 ) ，在这批灯泡中任取一个“使用时间不小于 40 小时”的概率是（）第 1 页共2页二、填空题13. 某校在本学期期中考试中，理科数学考试成绩~ N ( 90,2 ),统计结果显示P(60 120) ，该校参加此次考试的理科学生共420 人，试预计该校成绩高于120 分的理科学生数为 __________.14. 某班有50 名学生，一次考试的成绩服从正态分布 N (100, 2 ) , 已知P(90 100) ,预计该班数学成绩在110分以上的人数为 __________.15.某中学 200 名考生的高考数学成绩近似听从正态散布N (120,102)，则此校数学成绩在140 分以上的考生人数约为 __________.16.某市高二理科学生数学考试的成绩 x 听从正态散布，其密度曲线如图，已知该市理科学生总数是 10000 人，则成绩位于(65,85]的人数约 __________.17. 在某项丈量中，丈量结果听从正态散布N (1, 2 ) (0) ，若在(0,1)内取值的概率为，则在(0,2)内取值的概率为__________.18.假定每日从甲地去乙地的游客人数 X 是听从正态散布N (800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的游客人数不超出900 的概率为 __________.19.一批电阻的阻值 X 听从正态散布N (1000,52) (单位 ).今从甲乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1011和982，能够以为__________. (填写正确序号)①甲乙两箱电阻均可出厂；②甲乙两箱电阻均不行出厂；③甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不行出厂；④甲箱电阻不行出厂，乙箱电阻可出厂.20. 某一零件由三个电子元件按下列图方式连结而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3正常工作，则零件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时 )均听从正态散布N (1000,502 ) ，且各个元件可否正常工作互相独立，那么该零件的使用寿命超出1000 小时的概率为 __________.15 2O75x20 题图16题图第 2 页共2页。

正态分布练习题一、选择题A. 正态分布是一种连续概率分布B. 正态分布的形状呈对称性C. 正态分布的均值等于其众数D. 正态分布的方差可以小于0A. (1, 1)B. (2, 2)C. (3, 3)D. (∞, +∞)3. 设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，若P(X > μ) =0.5，则σ的值：A. 等于0B. 等于1C. 等于μD. 无法确定二、填空题1. 正态分布的密度函数为 _______，其中μ表示 _______，σ表示 _______。

2. 在标准正态分布中，Z分数为2对应的概率约为 _______。

3. 若随机变量X服从正态分布N(0, 1)，则P(X < 1.96)的值约为 _______。

三、计算题2. 设随机变量X服从正态分布N(50, 100)，求P(30 < X < 70)。

3. 已知某班级学生的成绩服从正态分布N(75, 16)，若要选拔前10%的优秀学生，分数线应定为多少分？四、应用题1. 某电子产品生产线上，次品率服从正态分布N(0.02, 0.0025)。

现从生产线上随机抽取100件产品，求恰好有2件次品的概率。

2. 一项研究表明，某城市居民的平均月收入服从正态分布N(5000, 40000)。

求该城市居民月收入超过6000元的概率。

五、判断题1. 正态分布的曲线随着均值μ的增加而向右平移。

（）2. 在正态分布中，标准差σ越大，数据的离散程度越小。

（）3. 任何正态分布都可以通过标准化转换为标准正态分布。

（）六、简答题1. 简述正态分布的特点。

2. 什么是标准正态分布？它有什么特殊意义？3. 如何利用标准正态分布表查找特定区间内的概率？七、作图题均值μ = 60，标准差σ = 102. 在同一坐标系中，绘制两个正态分布曲线，一个均值为50，标准差为5，另一个均值为60，标准差为10，并比较两个曲线的形状和位置。

八、综合题2. 一项心理学研究发现，人们的智商IQ服从正态分布N(100, 15)。

xyO正态分布㈠ 知识点回顾：1、正态分布概念：若连续型随机变量ξ的概率密度函数为),(,21)(222)(∞+-∞∈=--x ex f x σμσπ，其中,σμ为常数，且0σ>，则称ξ服从正态分布，简记为ξ～()2,N μσ。

()f x 的图象称为正态曲线。

2、正态分布的期望与方差 若ξ～()2,Nμσ，则2,E D ξμξσ==3、正态曲线的性质：①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交． ②曲线关于直线x=μ对称． ③曲线在x=μ时位于最高点．④当x<μ时，曲线上升；当x>μx 轴为渐进线，向它无限靠近．⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．4、在标准正态分布表中相应于0x 的值()0x Φ是指总体取值小于0x 的概率即 ()()00x P x x Φ=<00≥x 时，则)(0x Φ的值可在标准正态分布表中查到00<x 时，可利用其图象的对称性获得)(1)(00x x -Φ-=Φ来求出，5、两个重要公式：① ②（6）、()2,Nμσ与()0,1N的关系：()()00P x F x ξ<==Φ①若ξ～()2,N μσ，有()212xP x x x σ⎛<<=Φ ⎝②若ξ～()2,N μσ，则)(0x Φ())()(1221x x x x P Φ-Φ=<<ξ())(100x x -Φ-=Φ（二）习题 一、选择题1.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为)(1021)(200)80(2R x ex f x ∈⋅=--π，则下列命题不正确的是 （ B ）A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分；B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同；C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同；D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10. 2.设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<=（D ）A.2pB. 1p -C. 12p -D. 12p -3.设随机变量),(~2σμξN ，且 )()(c P c P >=≤ξξ，则c 等于（ D ） 4. 已知正态分布曲线关于y 轴对称，则μ值为（ ）A ．1B ．－1C ．0 D.不确定5.正态分布N （0，1）在区间（－2，－1）和（1，2）上的取值的概率分别为12,p p ，则12,p p的大小关系为（ ） A ．12p p <B ．12p p >C ．12p p =D.不确定6.设随机变量),(~2σμξN ，且1,3==ξξD E ，则)11(≤<-ξP =( B )7.已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ A ）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ，0.848.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( B )A.1B.2C.3D.49.已知随机变量ζ服从正态分布N (3,a 2),则P (3)ζ<＝（ D ）(A)15(B)14(C)13(D)1210.若φ(3)=0.9987，则标准正态总体在区间(－3，3)内取值的概率为 (B) A ．0.9987 B ．0.9974 C ．0.944 D ． 0.8413 11、设随机变量服从正态分布N(0,1),p(ξ＞1)＝P ，则P(－1＜ξ＜1)＝（ C ） A ．12PB ．1－PC ．1－2PD ．12－P12.（07湖南卷,5）设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N。

高二数学正态分布试题1.在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为A．B．C．D．【答案】A【解析】因为服从正态分布，所以正态分布曲线关于；又因为在内取值的概率为，所以在内取值的概率为，所以在内取值的概率为. 考点:正态分布曲线的特点及意义.2.已知随机变量服从正态分布，，则（）A． B． C． D，【答案】A【解析】由正态曲线的性质可知，答案为A【考点】正态曲线3.在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？【答案】(1) 10000人 (2) 80分【解析】解：(1)设学生的成绩为X，共有n人参加竞赛，∵X～N(60,100)，∴μ＝60，σ＝10.∴P(X≥90)＝[1－P(30＜X＜90)]＝(1－0.9974)＝0.0013.又P(X≥90)＝，∴＝0.0013.∴n＝10000.故此次参加竞赛的学生总数共有10000人．(2)设受奖的学生的分数线为x.则P(X≥x)＝＝0.0228.∵0.0228＜0.5，∴x0＞60.∴P(120－x0＜X＜x)＝1－2P(X≥x)＝0.9544，∴x＝60＋20＝80.故受奖学生的分数线是80分．4.随机变量服从正态分布，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于随机变量服从正态分布，若，则可知1-0.4=0.6，故可知答案为C.【考点】正态分布点评：主要是考查了正态分布的概率的求解，属于基础题。

5.已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且=0.6826，则（）A．0.1585B．0.1588C．0.1587D．0.1586【解析】∵=0.6826，∴0.3413，，∴，故选C【考点】本题考查了正态分布列的性质点评：求正态分布中的概率时常常利用图象的对称性，属基础题6.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，由正态分布曲线的对称性知：。

正态分布练习题一、选择题1. 正态分布的数学表达式为：A. N(μ, σ^2)B. N(σ, μ^2)C. N(μ, σ)D. N(μ^2, σ)2. 正态分布的均值μ和标准差σ分别代表：A. 位置参数和形状参数B. 形状参数和位置参数C. 形状参数和尺度参数D. 尺度参数和形状参数3. 标准正态分布的均值和标准差分别是：A. 0和1B. 1和0C. 1和1D. 0和04. 68-95-99.7规则描述的是：A. 正态分布的对称性B. 正态分布的均值和标准差C. 正态分布的密度函数D. 正态分布数据的分布范围5. 正态分布曲线下，从均值到一个标准差之外的区域所占的面积比例是：A. 68%B. 95%C. 99.7%D. 34%二、填空题6. 正态分布的密度函数为 \(f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)，其中\(\sigma\)代表______，\(\mu\)代表______。

7. 如果一个正态分布的均值为100，标准差为15，则该分布的3σ原则表示数据落在65到135之间的概率为______。

8. 标准正态分布的密度函数是 \(f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}\)，其中\(z\)代表______。

9. 假设某次考试的成绩服从正态分布，均分为75分，标准差为10分。

如果一个学生的成绩是85分，那么他的Z分数是______。

10. 正态分布的对称性意味着对于任意的正数a，有P(X < a) =______。

三、简答题11. 解释正态分布的三个特征，并给出每个特征在实际应用中的意义。

12. 描述68-95-99.7规则，并解释其在数据分析中的重要性。

13. 如果你有一个正态分布的数据集，如何计算其均值和标准差？14. 为什么标准正态分布是数据分析中的一个重要工具？15. 给出一个实际例子，说明正态分布如何应用于解决实际问题。

参数u是反映随机变量取值的平均水平 的特征数，可用样本均值去估计；
参数σ 是衡量随机变量总体波动大小 的特征数，可用样本标准差去估计.
知识回放
9、观察正态曲线，正态曲线的特点 ？
y
（1）曲线位于x轴上 方，且x轴为其渐近线. (2)关于直线x＝u对称.
(4)面积为1
1 (3)在x＝u处取极大值 . s 2p
O
x＝u
x
知识回放
1 j m,s (x ) = e 2ps 10、根据函数φ u，σ (x)的解析式分析，若σ 为定值，当u变化时正态曲线如何变化？
y
( x - u )2 2s 2
O
x
u变化时曲线沿x轴左右平移.
羊毛党
0 仐摋塍
知识回放
11、若u为定值，当σ 变化时正态曲线的极 值大小如何变化？正态曲线的形状如何变化？
频率/组距
1 2 3 4 5 6 7 8 91011 编号
知识回放
3、频率分布的折线图大致是一条什么形 状的曲线？
频率/组距
y
钟形曲线
1 2 3 4 5 6 7 8 91011 编号
O
x
知识回放
4、这条曲线是函数 ( x - u )2 1 2s 2 j m,s (x ) = e ，x∈R的图象， 2ps 其中u和σ (σ ＞0)为参数，并称该函数 的图象为正态分布密度曲线，简称正态 曲线.
P75习题2.4A组：1，2.
y
O
a
b
x
b
P (a < X ；b)
ò
j
m,s
(x )dx
知识回放
7、一般地，若对于任何实数ab＜b，随 机变量X满足 P (a < X ? b) ò j m,s (x )dx

高中数学正态分布综合测试题及答案高中数学正态分布综合测试题及答案一、选择题1．以下函数中，可以作为正态分布密度函数的是A．f(x)＝12e－(x－1)22B．f(x)＝12e(x－2)222C．f(x)＝12e－(x－)222D．f(x)＝12e－(x－[答案] A2．～N(0,62)，且P(－20)＝0.4，那么P(2)等于A．0.1 B．0.2C．0.6 D．0.8[答案] A[解析] 由正态分布曲线的性质知P(02)＝0.4，P(－22)＝0.8，P(2)＝12(1－0.8)＝0.1，应选A.3．假设随机变量～N(2,100)，假设落在区间(－，k)和(k，＋)内的概率是相等的，那么k等于A．2 B．10C.2 D．可以是任意实数[答案] A[解析] 由于的取值落在(－，k)和(k，＋)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x＝k的左侧和右侧与x轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x＝k对称，即＝k，而＝2.k＝2.4．一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在以下哪个区间内A．(90,110] B．(95,125]C．(100,120] D．(105,115][答案] C[解析] 由于X～N(110,52)，＝110，＝5.因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.6826,0.9544,0.9974.由于一共有60人参加考试，成绩位于上述三个区间的人数分别是：600.682641人，600.954457人，600.997460人．5．(2023山东理，5)随机变量服从正态分布N(0，2)，P(2)＝0.023，那么P(－22)＝A．0.477 B．0.628C．0.954 D．0.977[答案] C[解析] ∵P(2)＝0.023，P(－2)＝0.023，故P(－22)＝1－P(2)－P(－2)＝0.954.A．＋)－－)B．(1)－(－1)C．1－D．2＋)[答案] B＝(1)－(－1)．[点评] 一般正态分布N(，2)向标准正态分布N(0,1)转化．7．给出以下函数：①f(x)＝12e－(x＋)222；②f(x)＝12e－(x－)24；③f(x)＝12e－x24；④f(x)＝1e－(x－)2，其中(－，＋)，＞0，那么可以作为正态分布密度函数的个数有A．1 B．2C．3 D．4[答案] C[解析] 对于①，f(x)＝12e－(x＋)222.由于(－，＋)，所以－(－，＋)，故它可以作为正态分布密度函数；对于②，假设＝1，那么应为f(x)＝12e－(x－)22.假设＝2，那么应为f(x)＝122e－(x－)24，均与所给函数不相符，故它不能作为正态分布密度函数；对于③，它就是当＝2，＝0时的正态分布密度函数；对于④，它是当＝22时的正态分布密度函数．所以一共有3个函数可以作为正态分布密度函数．8．(2023安徽)设两个正态分布N(1，21)(0)和N(2，22)(0)的密度函数图象如下列图，那么有A．2，2B．2，2C．2，2D．2，2[答案] A[解析] 根据正态分布的性质：对称轴方程x＝，表示总体分布的分散与集中．由图可得，应选A.二、填空题9．正态变量的概率密度函数f(x)＝12e－(x－3)22，xR 的图象关于直线________对称，f(x)的最大值为________．[答案] x＝3 1210．正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的.概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．[答案] 1[解析] 正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．∵区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x＝1对称，所以正态分布的数学期望就是1.11．在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，2)(0)，假设在(0,1)内取值的概率为0.4，那么在(0,2)内取值的概率为____________．[答案] 0.8[解析] ∵＝1，正态曲线关于直线x＝1对称．在(0,1)与(1,2)内取值的概率相等．12．(2023福安)某厂消费的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂消费的产品有95%以上的合格率，那么该厂消费的零件尺寸允许值范围为________．[答案] (24.94,25.06)[解析] 正态总体N(25,0.032)在区间(25－20.03，25＋20.03)取值的概率在95%以上，故该厂消费的零件尺寸允许值范围为(24.94,25.06)．三、解答题13．假设一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于142.求该正态分布的概率密度函数的解析式．[解析] 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象即正态曲线关于y轴对称，即＝0.而正态密度函数的最大值是12，所以12＝124，因此＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是，(x)＝142e－x232，x(－，＋)．14．(2023邯郸高二检测)设随机变量～N(2,9)，假设P(c ＋1)＝P(c－1)，求c的值．[分析^p ] 由题目可获取以下主要信息：①～N(2,9)，②P(c＋1)＝P(c－1)．解答此题可利用正态曲线的对称性来求解．[解析] 由～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如下列图)，又P(c＋1)＝P(c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，c＝2.[点评] 解答此类问题要注意以下知识的应用：(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1；(2)正态曲线关于直线x＝对称，从而在关于x＝对称的区间上概率相等．(3)P(xa)＝1－P(xa)P(x－a)＝P(x＋a)假设b，那么P(xb)＝1－P(x＋b)2.15．某个工厂的工人月收入服从正态分布N(500,202)，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少？[解析] 设该工厂工人的月收入为，那么～N(500,202)，所以＝500，＝20，所以月收入在区间(500－320,500＋320)内取值的概率是0.9974，该区间即(440,560)．因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有1200(1－0.9974)＝12000.00263(人)．16．某种零件的尺寸(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋)上是减函数，且f(80)＝182.(1)求概率密度函数；(2)估计尺寸在72mm～88mm间的零件大约占总数的百分之几？[解析] (1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，且在x ＝80处获得最大值，因此得＝80.12＝182，所以＝8.故概率密度函数解析式是，(x)＝182e－(x－80)2128.(2)尺寸在72mm～88mm之间的零件的百分率，即在(80－8,80＋8)之间的概率为68.28%.。

正态分布一、选择题1.已知随机变量服从正态分布N (2,9) ，若P (>c +1) =P (<c -1) ，则c 等于（）A.1B.2C.3D.42.已知随机变量服从正态分N (2,2) ，且P (< 4) = 0.8 ，则P(0 << 2) 等于（）A.0.6B.0.4C.0.3D.0.23.已知随机变量服从正态分布N (2,2) ，P (≤4)=0.84，则P (≤0)等于（）A. 0.16B. 0.32C. 0.68D. 0.844.已知随机变量X 服从正态分布N (2,2)，P(0 <X < 4) = 0.8 ，则P( X > 4) 等于（）A．0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.65.已知随机变量服从正态分布N (3,2) ，且P (< 2) = 0.3 ，则P(2 << 4) 等于（）A.0.5B.0.2C.0.3D.0.46.已知随机变量服从正态分布N (3,2) ，P (≤4)=0.842，则P (≤2)等于（）A.0.842B.0.158C.0.421D.0.3167.已知随机变量X 服从正态分布N (3,1) ，且P(2 <X < 4) = 0.6826 ，则P( X > 4) 等于（）A.0.1588B.0.158C.0.1586D.0.15858.已知随机变量X 服从正态分布N (0,2) ，若P( X > 2) = 0.023，则P(-2 ≤X ≤2) 等于（）A.0.477B.0.628C.0.954D.0.9779.在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布(100, 2) (> 0) ，若在（80,120）内的概率为0.8，则落在（0,80）内的概率为（）A.0.05B.0.1C.0.15D.0.210.已知随机变量X 服从正态分布N (,2) ，且P (- 2<X <+ 2) = 0.9544 ，P (-<X <+) =0.6826 ，若=4,=1, 则P(5 <X <6) =（）A.0.1358B.0.1359C.0.2716D.0.271811.某商场经营的一种袋装的大米的质量服从正态分布N (10, 0.12 ) （单位kg）,任选一袋这种大米，其质量在9.8~10.2kg 的概率为（）A.0.0456B.0.6826C.0.9544D.0.997412.一批电池的使用时间X （单位：小时）服从正态分布N (36,42 ) ，在这批灯泡中任取一个第1 页共 2 页“使用时间不小于40 小时”的概率是（）A.0.9544B.0.6826C. 0.3174D. 0.1587二、填空题13.某校在本学期期中考试中，理科数学考试成绩~ N (90,2) ,统计结果显示P(60≤≤120)=0.8，该校参加此次考试的理科学生共420 人，试估计该校成绩高于120 分的理科学生数为.14.某班有50 名学生，一次考试的成绩服从正态分布N (100,2) , 已知P(90 ≤≤ 100) = 0.3 ,估计该班数学成绩在110分以上的人数为.15.某中学200 名考生的高考数学成绩近似服从正态分布N (120,102 ) ，则此校数学成绩在140 分以上的考生人数约为.16.某市高二理科学生数学考试的成绩x 服从正态分布，其密度曲线如图，已知该市理科学生总数是10000 人，则成绩位于(65,85] 的人数约.17.在某项测量中，测量结果服从正态分布N (1,2) (>0) ，若在(0,1) 内取值的概率为0.4，则在(0,2)内取值的概率为.18.假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502) 的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900 的概率为.19.一批电阻的阻值X 服从正态分布N (1000,52 ) (单位Ω).今从甲乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1011 Ω和982 Ω，可以认为. (填写正确序号)①甲乙两箱电阻均可出厂；②甲乙两箱电阻均不可出厂；③甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂；④甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂.20.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1 或元件2 正常工作，且元件3 正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1000,502 ) ，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000 小时的概率为.16 题图第2 页共 2 页20 题图15 2O75 x。

正态分布公式练习题正态分布是统计学中的一种重要概率分布，也被称为高斯分布或钟形曲线。

它在自然界和社会科学的许多现象中都有广泛应用。

了解正态分布的公式和运用方法对于统计学学习和实践具有重要意义。

本文将针对正态分布的公式进行练习题，并帮助读者加深对该概率分布的理解。

练习题一：某服装店销售的服装裤子的腰围（cm）符合正态分布，均值为80，标准差为5。

计算：1. 高于85cm的裤子的概率是多少？2. 低于75cm的裤子的概率是多少？解答：1. 高于85cm的裤子概率 = 1 - P(X <= 85)其中，X为服装裤子的腰围，符合正态分布，均值为80，标准差为5。

首先将85转化为标准分数（Z-Score）：Z = (X - μ) / σ = (85 - 80) / 5 = 1然后查找标准正态分布表，找到Z为1对应的累积概率为0.8413。

高于85cm的裤子概率 = 1 - 0.8413 = 0.15872. 低于75cm的裤子概率 = P(X < 75)同样地，将75转化为标准分数：Z = (75 - 80) / 5 = -1查找标准正态分布表，找到Z为-1对应的累积概率为0.1587。

低于75cm的裤子概率 = 0.1587练习题二：某班级的学生成绩符合正态分布，均值为75，标准差为10。

计算：1. 该班级有多少学生的成绩在65分以上？2. 该班级有多少学生的成绩在85分以下？解答：1. 成绩在65分以上的学生数量 = 所有学生数量 - 成绩在65分以下的学生数量首先计算成绩在65分以下的学生概率：P(X < 65)将65转化为标准分数：Z = (65 - 75) / 10 = -1查找标准正态分布表，找到Z为-1对应的累积概率为0.1587。

成绩在65分以下的学生概率 = 0.1587成绩在65分以上的学生概率 = 1 - 0.1587 = 0.84132. 成绩在85分以下的学生数量 = 所有学生数量 - 成绩在85分以上的学生数量计算成绩在85分以上的学生概率：P(X > 85)将85转化为标准分数：Z = (85 - 75) / 10 = 1查找标准正态分布表，找到Z为1对应的累积概率为0.8413。

y
（1）曲线位于x轴上
方，且x轴为其渐近线.
(2)关于直线x＝u对称.
O
x＝u x 1
(3)在x＝u处取极大值 s
. 2p
(4)面积为1
知识回放
j m,s (x ) =
1
e-
(x - u )2 2s 2
2p s
10、根据函数φ u，σ (x)的解析式分析，若σ
为定值，当u变化时正态曲线如何变化？
y
6、从正态曲线分析，随机变量X在区
间(a，b]内取值的概率有什么几何意
义？在理论上如何计算？
y
O
ab
x
ò P (a < X ；b)
b
j m,s (x )dx
知识回放
7、一般地，若对于任何实数a＜b，随
ò 机变量X满足P (a < X ? b)
b
a j m,s (x )dx
则称X的分布为正态分布，记作
如何理解这几个数据的实际意义？
2σ
2σ
3σ
正态分布在各σ 邻域内取值的概率.
知识回放
12、正态分布的3σ 原则
由P(u－3σ ＜X≤u＋3σ )＝0.9974可知，
正态总体有99.74%的取值落在区间
(u－3σ ,u＋3σ ]内，即在此区间外取
值的概率只有0.0026.通常认为在一次 试验中，随机变量取这个区间外的值几 乎不可能发生，或者认为如果随机变量
知识回放
1、通过高尔顿板试验，你有什么发 现？能解释一下产生这种现象的理 由吗？
落在中间球槽内的小球多，落在两边 球槽内的小球少；小球落在中间球槽 内的概率比落在两边球槽内的概率大.
知识回放
2、以球槽的编号为横坐标，小球落入各 个球槽内的频率值为纵坐标，则在各个 球槽内小球的分布情况大致可用下列频 率分布直方图表示.