2011年上海数学高三质量管理测试卷-一模-卢湾

卢湾区2010学年第一学期高三年级期末考试数学试卷 2011.1（本卷完成时间为120分钟，满分为150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}A =，{1,2}B =，则()U A B =ð ．2．函数1lg(1)y x=-的定义域是 ． 3．方程sin cos x x =在[0,2π)上的解集是 ．4．当πcos12=a 时，行列式211121a a +-的值是 ．5．222135lim(212121n n n n →∞++++++ (2)2121n n -++）的值为 ． 6．已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，()f x =2x ax +()a ∈R ，且(2)6f =，则a = ．7．一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输 出的结果为 .8．若方程1n 2100x x +-=的解为0x ，则大于0x 的最小 整数是 ．9．已知函数()(2)2af x x x x =+>-的图像过点(3,7)A ，则此函数的最小值是 ．10．在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题 中随机地抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格． 若一位考生只会回答5道题中的3道题，则这位考生 能够及格的概率为 ．11．（理）某投篮游戏规定：每轮至多投三次，直到首次命中为止．第一次就投中，得8分；第一次不中且第二次投中，得6分；前两次均不中且第三次投中，得4分；三次均不中，得0分．若某同学每次投中的概率为0.5，则他每轮游戏的得分X 的数学期望为 ．（文）若实数x , y 满足不等式组10,10,0.x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值为 ．12．一个调查机构就某地居民的月收入调查 了10000人，将所得数据分成如下六组：[1000,1500), [1500,2000), [2000,2500), [2500,3000), [3000,3500), [3500,4000),（第7题图）（第12题图）)相应的频率分布直方图如图所示．若按月 收入将这10000人也分成上述六组，并通 过分层抽样抽出100人作进一步调查，则[3000,3500)这一组中应抽出 人．13．若454233241)1()1()1()1(x a x a x a x a x a =+-+-+-+-，则234a a a ++的值为 ．14．设O 是直线AB 外一点，OA a =，OB b =，点123,,,A A A …1,n A -是线段AB 的n (n ≥2)等分点，则1231n OA OA OA OA -++++= ．（用,,a b n 表示）二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．函数tan(31)y x =+的最小正周期是 （ ）A ．π3 B ．2π3 C ．3π2D ．π16．在三棱锥P —ABC 中，所有棱长均相等，若M 为棱 ABP A 与CM）ABC ．6D ．317．将5,6,7,8四个数填入12349⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭中的空白处以构成三行三列方阵，若要求每一行从左到右、每一列从上到下依次增大，则满足要求的填法种数为 （ ） A ．24 B ．18 C ．12 D ．618．已知()f x 是单调减函数，若将方程()f x x =与1()()f x f x -=的解分别称为函数()f x 的不动点与稳定点．则“x 是()f x 的不动点”是“x 是()f x 的稳定点”的 （ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共2个小题，第1小题6分，第2小题6分．已知z 是复数，2iz+为实数（i 为虚数单位），且4i z z -=． （1）求复数z ；（2）若|i|5z m -<，求实数m 的取值范围．ACPM（第16题图）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知A ,B ,C 为△ABC 的三个内角，向量(cos ,sin )p B B =- ，(cos ,sin )q C C = ，且(2)q p q -⊥．（1）求A ∠的大小；（2）若4BC AC AB =+=，求△ABC 的面积．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图所示，ABCD 是一块边长为7米的正方形铁皮，其中ATN 是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC 与CD 上的长方形铁皮PQCR ，其中P 是TN 上一点．设TAP θ∠=，长方形PQCR 的面积为S 平方米．（1）求S 关于θ的函数解析式；（2）设sin cos t θθ+=，求S 关于t 的表达式以及S 的最大值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数()22x x f x a -=+（常数)a ∈R ． （1）若1a =-，且()4f x =，求x 的值；（2）若4a ≤，求证函数()f x 在[1,)+∞上是增函数；（3）若存在[0,1]x ∈，使得2(2)[()]f x f x >成立，求实数a 的取值范围．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3TNRQθPD CBA小题满分6分．已知负数1a 和正数1b ，且对任意的正整数n ，当2n na b +≥0时, 有[1n a +, 1n b +]= [n a , 2n n a b +]；当2n n a b +<0时, 有[1n a +, 1n b +]= [2n na b +, n b ]．（1）求证数列{n n b a -}是等比数列；（2）若111,2a b =-=，求证222n n a b =-()n ∈N*；（3）是否存在11,a b ，使得数列{}n a 为常数数列？请说明理由．卢湾区2010学年第一学期高三年级期末考试 数学参考答案及评分标准 2011.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，每个空格填对得4分．1．{} 2 2．(0, 1) 3．5, 44ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭4 5．12 6．57．1320 8．5 9．6 10．0.7 11．（理）6（文）2 12．1513．14 14．1()2n a b -+ 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．15．A 16．C 17．D 18．B三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． （1）由2i z +是实数，可设2iz+= a ，R a ∈， 故(2i)2i z a a a =+=+， ………………3分 所以2i z z a -=，又4i z z -=，可得24a =，即2a =，所以42i z =+． ………………6分 （2）由|i |5z m -<，可得|4(2)i |5m +-<，又R m ∈5< ………………9分 即216(2)25m +-<，解得15m -<<， 所以实数m 的取值范围是(1,5) -． ………………12分 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．（1）由(2)q p q -⊥，可得(2)q p -·q =0， ………………2分 即2||2q p -·0q =，又(cos ,sin )p B B =- ，(cos ,sin )q C C = 所以22cos sin 2(cos cos sin sin )0C C B C B C +--=， 即1cos()2B C +=，又0B C π<+<， ………………6分∴3B C π+=，故2π()3A B C π=-+=． ………………8分 （2）在△ABC 中，由2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，可得22()2(1cos )BC AB AC AB AC A =+-⋅+， ………………10分即22142(1)2AB AC =-⋅⋅-，故4AB AC ⋅=， ………………12分∴11sin 4222S AB AC A =⋅=⨯⨯= ………………14分 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． （1）延长RP 交AB 于E ，延长QP 交AD 于F ，由ABCD 是正方形，PRCQ 是矩形，可知,PE AB PF AD ⊥⊥， 由TAP θ∠=，可得6cos EP θ=，6sin FP θ=，∴76sin PR θ=-，76cos PQ θ=-， ………………4分 ∴(76sin )(76cos )S PR PQ θθ=⋅=--4942(sin cos )36sin cos θθθθ=-++故S 关于θ的函数解析式为4942(sin cos )36sin cos =-++S θθθθπ(0)2θ≤≤．……6分（2）由sin cos t θθ+=，可得22(sin cos )t θθ=+12sin cos θθ=+，即21sin cos 2t θθ-=， ∴22494218(1)184231S t t t t =-+-=-+． ……………9分又由π02θ≤≤，可得3π444ππθ≤+≤，故πsin cos )4t θθθ=+=+∈，∴S 关于t 的表达式为2184231S t t =-+（∈t ）． ……………11分又由271318()62S t =-+，t ∈可知当t 时，S 取最大值，故S的最大值为67-． ………………14分 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．（1）由1,()4a f x =-=，可得224x x --=，设2x t =，则有14t t --=，即2410t t --=，解得2t =± ………………2分当2t =22x =2log (2x =+．当2t =22x =故所求x的值为2log (2+． ………………4分TNFE RQθPD CBA（2）设12,[1,),x x ∈+∞且12x x >，则112212()()(22)(22)x x x x f x f x a a ---=+-+21121222(22)2x x x x x x a +-=-+12121222(2)2x x x x x x a ++-=- ………………7分由12x x >，可得1222x x >，即12220x x ->由12,[1,),x x ∈+∞12x x >，可得122x x +>，故12240x x +>>， 又4a ≤，故122x x a +>，即1220x x a +-> 所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，故函数()f x 在[1,)+∞上是增函数． ………………10分 （3）由2(2)[()]f x f x >2222222222x x x x a a --⇔+>++222()20x a a a -⇔-+< ………………12分设22x t -=，由[0,1]x ∈，可得1[,1]4t ∈，由存在[0,1]x ∈使得2(2)[()]f x f x >，可得存在1[,1]4t ∈，使得2()20a a t a -+<， ………………14分 令2()()20g t a a t a =-+<，故有211()()2044g a a a =-+<或2(1)()20g a a a =-+<，可得70a -<<．即所求a 的取值范围是(7,0)-． ………………16分 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．（1）当a n +b n 2≥0时，b n +1－a n+1= a n +b n 2 -a n = b n -a n2；当a n +b n 2<0, b n +1－a n +1 = b n - a n +b n 2 = b n -a n 2．所以，总有b n +1－a n +1 = 12(b n -a n ),又110,0b a ><，可得110b a ->，所以数列｛b n －a n ｝是等比数列． ………………4分 （2）①由111,2a b =-=，可得111022a b +=>，故有11221[,][,]2a ba b a +=， ∴112122a b b +==，211a a ==-，从而222a b =-， 故当n =1时，222n n a b =-成立． ………………6分 ②假设当n k =时，222n n a b =-成立，即222k k a b =-， 由22230k k k b a b -=>，可得20k b >，2222220222k k k k k a b b b b +-+==-<, 故有2221212[,][,]2k k k k k a b a b b +++=， ∴22221212,22k k k k k k a b ba b b +++==-=, ………………9分222121220224kkk k k b b a b b ++-++==>,故有2121222221[,][,]2k k k k k a b a b a ++++++=∴212122224k k k k a b b b ++++==, 222212k k k ba a ++==-，故2(1)2(1)2k k ab ++=-∴当1n k =+时，222n n a b =-成立．综合①②可得对一切正整数n ，都有222n n a b =-． ………………12分 （3）假设存在11,a b ，使得数列{}n a 为常数数列，由（1）可得b n －a n =11()b a -(12)n -1，又1n a a =，故b n =111()a b a +-(12)n -1， ………………14分由1n n a a +=恒成立，可知a n +b n 2≥0,即111()a b a +-(12)n≥0恒成立，即2n ≤111a b a -对任意的正整数n 恒成立， ………………16分 又111a b a -是正数，故n ≤1121log a ba -对任意的正整数n 恒成立，因为1121log a b a -是常数，故n ≤1121log a ba -不可能对任意正整数n 恒成立．故不存在11,a b ，使得数列{}n a 为常数数列． ………………18分。

2011年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学（理科）模拟试卷（一）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码。

2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、 函数22(12)y x x x =-≤≤反函数是__________2、 若复数z 满足132i 2izz =--（i 是虚数单位），则z =__________ 3、 (x-1)(x-2)……(x -10)的展开式中，x 9的系数等于__________4、 直线y=4x+1的方向向量与x 轴的正方向上的单位向量的夹角是__________5、 某射手射击所得环数ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 Px0.10.3y已知ξ的期望8.9E ξ=，则y 的值为__________6、 下图是一个算法的流程图，则输出S 的值是__________7、 在极坐标系中，直线ρsin(θ+π4)=2被圆ρ=4截得的弦长为 8、 设cos(80)k -︒=,那么tan100︒=__________9、 设数列a n 的前项和为b n ，数列b n 的前项积为c n ，且恒有b n +c n =1，则数列{1a n }中最接近2011的是第__________项 10、已知函数b ax x a x f +++=2)((a ，b 为实常数)，若f(x)的值域为[0，＋∞)，则常数a ，b 应满足的条件是__________ 11、在△ABC 中，已知|AB|=2，22||1||2BC CA =，则△ABC 面积的最大值为___________ 开始 S ←1 n ←1 S ←S+2n S ≥33n ←n+1 否 输出S结束是12、 对于集合N ={1, 2, 3,…, n }及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。

普陀区高三调研数学试卷参考答案及评分标准一、填空题（每小题4分，满分56分）：1. 4-；2. 4；3. (],1-∞；4. （文，理）40；5. 23p；6. 2-；7. d =()0,r R ∈；8. 4； 9.理：1210.表示一次采购共需花费的金额; 15300；12. ()coscos cos sin sin 222πππαβαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭； 13. 理：(][),45,-∞-+∞ ；文：2； 14. 理：①②③④；文：①②③. 二、选择题（每题4分，满分16分）： 题号 1516 17 18 答案 B CBD三、解答题：19.（本题满分10分）（理科）解：由结论：“当1q <时，lim 0nn q →∞=”且根据本题条件0a b >>，故本题需根据变量a 和常数1的大小比较进行分类讨论：（1）当10a b >>>时，11lim 22n n nn n a b a b →∞++=++； （2）当10a b =>>时，122lim lim 233n n n nn n n n a b b a b b →∞→∞+++==+++； （3）当10a b >>>或10a b >≥>时，有111lim lim 1221nn nn n n n n n nb a b a a a b b a a→∞→∞⎛⎫++ ⎪++⎝⎭==++⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 故集合{}lim n n M m m a →∞==含有以上三个元素，用列举法表示集合12,1,23M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭....3 ...6 (9)…10 （文科）解：如图，延长DA 至E ，CB 至F ，使得DA=AE ，CB=BF. 联结AF ，PF ，EF ，DF. 因为ABCD 是正方形，所以AD//BF ，且AD=BF ，所以AF//BD. 故PAF ∠（或其补角）的大小即为异面直线PA 与BD 所成角的大小.又正方形边长为2，PD=1，故PA = (3)ABCDP EFAF=DF=所以，PF==于是，222cos2PA AF PFPAFPA AF+-∠===⋅，所以异面直线PA与BD所成角的大小为.…7…9 (10)20.（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）解:（1）由于节能型冰箱比普通冰箱约节省电能50%，故一台节能型冰箱一天（24小时）消耗的0.81度电相当于比普通冰箱少消耗的电能，即一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱要少消耗电：0.813024.3⨯=（度）；设一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱要少排放x千克的二氧化碳，则78.524.3100x=⇒24.378.519.075519.1100x⨯==≈（千克）.故一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱少向大气层排放约19.1千克的二氧化碳.（2）设n个月后(*Nn∈)，这些节能型冰箱少排放的二氧化碳可超过150棵大树在60年生命周期内所吸收的二氧化碳的量.依题意，有(1)19.075515015010002n n+⋅⋅>⋅()1104.8n n⇒+>，因为*Nn∈，故可解得10n≥.所以，至少经过10个月后，这些节能型冰箱少排放的二氧化碳可超过150棵大树在60年生命周期内共吸收的二氧化碳的量.…3…6 (10)…14 21. （本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分）解：（1）因为cos2cos cos2sin22B C AA A+⎛⎫+=+⎪⎝⎭221312sin2sin2sin22222A A A⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭故当1sin22A=时，原式取到最大值，即三角形的内角3Aπθ∠==时，最大值为32.（2）由（1）结论可得3Aπ∠=，此时2221cos22b c aAbc+-==221b c bc⇒+-=.又222b c bc+≥，因此2211b c bc bc bc=+-≥⇔≤，当且仅当b c=时等号成立.…2…5…7…9 (12)所以11sin 12224ABC S bc A ∆=≤⨯⨯=.故ABC △面积的最大为43. (14)22.（本题满分16分，理科：第1小题9分，第2小题7分；文科：第1小题3分，第2小题6分，第3小题7分）（理科）解：（1）设BC 的中点为D ，连结AD 、DM ，则有11 ABC AD BC D BC BB ABC AD BB ⎫∆⎫⇒⊥⎬⎪⎬⎭⎪⊥⇒⊥⎭为正三角形为中点平面11AD BB CC ⇒⊥平面 于是，可知AMD ∠即为AM 与侧面BCC 1所成角θ.因为，点M 到平面ABC 的距离为BM ，不妨设BM x =，()0,x h ∈. 在Rt△ADM 中，tan ADAMD MD∠=.由AD =,DM ==故tan AD MD θ==. 而当,64ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，tan θ⎤∈⎥⎣⎦，1≤≤221314922x x ⇔≤+≤⇔≤≤，所以，点M 到平面ABC 的距离BM的取值范围是⎣. （2）解法一：当6πθ=时，由（1）可知BM =,故可得32DM =,AM == 设向量AM 与BC的夹角为α，因为()AM BC AB BM BC AB BC BM BC ⋅=+⋅=⋅+⋅111cos12002=⨯⨯+=-.所以1cos ||||AM BC AM BC α-⋅=== ，...3 (6)…9...11 ...13 (15)D ABC A 1B 1C 1M故向量AM 与BC夹角的大小为arccos 6π-.解法二：如图，以11AC 中点O 为原点，1OB 所在的直线为x 轴，1OC 所在的直线为y 轴，OE 所在直线为z 轴（其中点E 为AC 中点），建立空间直角坐标系.由（1）可知，当6πα=时，BM =所以有，M h ，10,,2A h -（），B h ）,10,,2C h ⎛⎫⎪⎝⎭，即1,2AM =，1,02BC = （）. 设向量AM 与BC 夹角为θ，则cos =AM BC AM BCθ⋅=-故向量AM 与BC夹角的大小为arccos 6π-.解法三：如图，过点M 作MN //BC ，交1CC 于N . 联结AN .因为是正三棱柱，故可得AM AN =. 当6πθ=时，由（1）可知BM =故可得AM ==在等腰三角形AMN 中，不难求得cos AMN ∠=AM 与BC所成角为 而图中不难发现，AM 与BC夹角的大小为异面直线AM 与BC 所成角的补角，即AM 与BC夹角的大小为π-....16 (10)...13 (16) (11) (14) (16)A NABC A 1B 1C 1M23. （本题满分20分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题10分） 解：（1）证：设等差数列{}n x 的公差为d ,因为()()()111n n n n n n y y kx b kx b k x x kd +++-=+-+=-=， 所以1n n y y +-为定值，即数列{}n y 也成等差数列.（2）证：因为点P 、1A 和2A 都是直线l 上一点，故有12A P PA λ=(1λ≠-) 于是，()111212OP OA A P OA PA OA OA OP λλ=+=+=+-...4 (6)（文科）解:（1） )(x f 为偶函数，∴)()(x f x f =-对R x ∈恒成立，即m x a m x a --=-对R x ∈恒成立，又0≠a ，于是得04=mx 对R x ∈恒成立，0=∴m .（2） 由（1）得 2()1f x x a x =++⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥++=)0(1)0(122x ax x x ax x 可知，当0>a 时，单调递增区间为[)∞+,0，单调递减区间为 (]0,∞-；当0<a 时，单调递增区间为⎪⎭⎫⎢⎣⎡0,2a 和⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-,2a ， 单调递减区间为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-2,a 和⎪⎭⎫⎢⎣⎡-2,0a . （3）解法一：由偶函数的性质得：函数)(x f 在区间()3,2上也必定有零点，即方程012=++ax x 在区间()3,2上有实数解，则)3,2(,1∈+=-x xx a ，设1()g x x x=+，可知函数)(x g 在区间)3,2(上单调递增，则510(),23g x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，105,32a ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭.解法二：若函数)(x f 在区间)2,3(--上存在零点，则必有()()320f f -⋅-<即()()103520a a +⋅+<105,32a ⎛⎫⇒∈-- ⎪⎝⎭.…3…6…9 (12) (14) (16) (13) (16)()121OP OA OA λλ⇔+=+12111OP OA OA λλλ⇔=+++令111a λ=+，21a λλ=+，则有121a a +=. （3）（文科）假设存在点(),P x y 满足要求1122n n OP a OA a OA a OA =+++,则有112233n n x a x a x a x a x =++++ ， 又当1i j n +=+时，恒有i j a a =，则又有1-122-11n n n n x a x a x a x a x =++++ ，所以()()()()1122-133-312n n n n n x a x x a x x a x x a x x =++++++++ 又因为数列{}n x 成等差数列，于是12-13-31n n n n x x x x x x x x +=+=+==+ ， 所以，()()123112n n n x a a a a x x x x =+++++=+ 故12n x x x +=，同理12n y y y +=，且点11,22n n x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭在直线上（是1A 、n A 的中点），即存在点11,22n n x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭满足要求. ...9 ...10 ...12 ...15 (18) (20)（3）（理科）提出命题：（在本题大前提下）若点P 满足1122n n OP a OA a OA a OA =+++，则系数数列的和121n a a a +++= 是点P 在直线l 上的充要条件.证明：设00(,)OP x y = ，由条件1122n n OP a OA a OA a OA =+++ ，先证充分性：“当121n a a a +++= 时，点P 在直线l 上”.因为1122n n OP a OA a OA a OA =+++，故0112201122,n n n nx a x a x a x y a y a y a y =+++⎧⎨=+++⎩而i i y kx b =+（1,2,,i n = ），所以()()()01122n n y a kx b a kx b a kx b =++++++()()112212n n n k a x a x a x a a a b =+++++++ ()012n kx a a a b =++++当121n a a a +++= 时，即有00y kx b =+，即点P 在直线l 上. 再证必要性：“若点P 在直线l 上，则121n a a a +++= .”因为1122n n OP a OA a OA a OA =+++，故0112201122,n n n nx a x a x a x y a y a y a y =+++⎧⎨=+++⎩而因为i i y kx b =+（1,2,,i n = ），所以()()()01122n n y a kx b a kx b a kx b =++++++()()112212n n n k a x a x a x a a a b =+++++++ ()012n kx a a a b =++++又因为点P 在直线l 上，所以满足00y kx b =+，故121n a a a +++= .补充：由以上证明进一步可知，对于直线l 上任一点P ，若满足1122n n OP a OA a OA a OA =+++，则都有121n a a a +++= .【评分建议】1. 若能提出一个由题中三条线索出发的相关猜想或命题，但没有任何研究过程，则无论对错都给2分；2. 若能提出上述的充要条件命题，且证明过程准确、完备，则最高得10分；（不说明“补充”的内容不扣分）3. 若能提出一个满足充分性或满足必要性的相关命题（或猜想），且证明过程正确，则最高得7分；4. 若能根据三条线索，提出其他条件约束更多的相关命题（或猜想），且有正确的研究过程，则最高得5分.5. 若还有其他答题情况，则根据具体内容酌情给出评分参考.。

高三数学一模考试试题（含解析）一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.若(1)2z i i +=（i 是虚数单位），则||z =________．【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算性质先求出z ，再根据模的计算公式求解即可． 【详解】解：∵(1)2z i i +=，∴21iz i ==+()()()21111i i i i i -=++-，∴||z ==．【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算性质，考查复数的模，属于基础题． 2.已知4251λλ-=-，则λ=________【答案】3 【解析】 【分析】由行列式的计算公式化简求解即可． 【详解】解：4251λλ-=-()()4125λλ∴-⨯-⨯-=，解得3λ=， 故答案为：3．【点睛】本题考查二阶行列式的计算，属于基础题． 3.函数13x y -=（1x ≤）的反函数是________【答案】31log ,(0,1]y x x =+∈ 【解析】【分析】首先求出函数的值域，再利用反函数的求法，先反解x ，再对换x ，y ，求出即可． 【详解】解：13(1)x y x -=，(]0,1y ∴∈，得31log x y -=，x ，y 对换，得31log y x =+，(]0,1x ∈，故答案为：31log y x =+，(]0,1x ∈，【点睛】本题考查了反函数的求法，属于基础题．4.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有_______ 场球赛. 【答案】66 【解析】 【分析】直接利用组合数的应用求出结果．【详解】解：根据题意利用组合数得2121211662C ⨯==． 故答案为：66．【点睛】本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．5.以抛物线26y x =-的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是________【答案】22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】首先求出抛物线的焦点坐标和准线方程，进一步求出圆的方程． 【详解】解：抛物线26y x =-的焦点坐标为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线的方程为32x =， 所以焦点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．故答案为：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 6.在53(1)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为________ 【答案】9- 【解析】 【分析】利用二项展开式把5(1)x -展开，再求展开式中3x 的系数． 【详解】解：53(1)(1)x x -+()()2345315101051x x x x x x =-+-+-+()()23453234515101051510105x x x x x x x x x x x =-+-+-+-+-+-则含3x 的项有310x -与3x 两项∴展开式中3x 的系数为1109-=-．故答案为：9-．【点睛】本题考查了二项式系数的性质与应用问题，属于基础题． 7.不等式22|2|36x x x x -->--的解集是________ 【答案】(4,)-+∞ 【解析】 【分析】将不等式22|2|36x x x x -->--转换为不等式22|2|36x x x x -+>--，再根据220x x -+>恒成立，则原不等式等价于22236x x x x -+>--解得即可；【详解】解：不等式22|2|36x x x x -->--转换为不等式22|2|36x x x x -+>--， 由于函数22y x x =-+的图象在x 轴上方，所以220x x -+>恒成立，所以22236x x x x -+>--， 解得4x >-，故不等式的解集为(4,)-+∞． 故答案为：(4,)-+∞【点睛】本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.已知方程220x kx -+=（k ∈R ）的两个虚根为1x 、2x ，若12||2x x ，则k =_____【答案】2± 【解析】 【分析】由题意设1x a bi =+，2(,)x a bi a b R =-∈，利用根与系数的关系结合12||2x x 求得a 与b 的值，则k 可求． 【详解】解：方程程220x kx -+=的两个虚根为1x 、2x ，可设1x a bi =+，2(,)x a bi a b R =-∈． 122x x a k ∴+==，22122x x a b =+=，12||2x x -=，|2|2bi ∴=， 联立解得：1b =±，1a =±．2k ∴=±．故答案为：2±．【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.已知直线l 过点(1,0)-且与直线20x y -=垂直，则圆22480x y x y +-+=与直线l 相交所得的弦长为__【答案】【解析】 【分析】先求出直线l 的方程，再求出圆心C 与半径r ，计算圆心到直线l 的距离d ，由垂径定理求弦长||AB ．【详解】解：由题意可得，l 的方程为210x y ++=，22480x y x y +-+=可化为22(2)(4)20x y -++=，圆心(2,4)-，半径r =，∴圆心(2,4)-到l的距离d ==，AB ∴==故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，属于基础题．10.有一个空心钢球，质量为142g ，测得外直径为5cm ，则它的内直径是________cm （钢的密度为7.93/g cm ，精确到0.1cm ）【答案】4.5 【解析】 【分析】直接利用球的体积公式和物理学的关系式的应用求出结果． 【详解】解：设钢球的内半径为r ， 所以33457.9 3.1414232r ⎡⎤⎛⎫⨯⨯⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得 2.25r ≈． 故内直径为4.5cm ． 故答案为：4.5．【点睛】本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11.已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n c a b =⋅，若{}n c 前三项是7、9、9，则10c =_______ 【答案】47- 【解析】 【分析】{}n a 、{}n b 均是等差数列，故{}n c 为二次函数，设2n c an bn c =++，根据前3项，求出a ，b ，c 的值，即可得到10c ．【详解】解：因为{}n a 、{}n b 均是等差数列，其通项公式均为关于n 的一次式，所以n n nc a b =⋅为关于n 的二次式，故设2n n n c c b n a an b =+⋅+=，17c =，29c =，39c =则7429939a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得153a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩253n c n n ∴+-+=210110510347c ∴=-⨯+⨯+=-， 故答案为：47-．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．12.已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为________【答案】 【解析】 【分析】先根据基本不等式得到22()24b a b a b a b +-⎛⎫-=⎪⎝⎭；再利用基本不等式即可求解． 【详解】解：因0:a b >>22()24b a b a b a b +-⎛⎫∴-≤=⎪⎝⎭； 所以222166416()a a b a b a +≥+≥=-．当且仅当464a b a b ⎧=⎨=-⎩，即a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时取等号，此时(,)P a b的坐标为：(． 故答案为：(．【点睛】本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13.若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1)e ，上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ） A. 01a <<B.11a e<< C.111a e-<< D.111a e+<< 【答案】C 【解析】 【分析】函数f(x)在定义域内单调递增，由零点存在性定理可知()()10,0f f e <>，解不等式即可求得a 的取值范围.【详解】函数1()ln f x x a x=-+在区间()1,e 上为增函数， ∵(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e=-+>， 可得111a e-<< 故选：C ．【点睛】本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，对于零点存在性问题，有两种思考方向：（1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；（2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况. 14.下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 2()log (41)x f x x =+-B. ()||2cos f x x x =-C. 2210()0x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩D. |lg |()10x f x =【答案】A 【解析】 【分析】由偶函数的定义，及在[0,)+∞上单调即可求解； 【详解】解：对于2241:()log (41)log 4x xx A f x x x -+-=++=+2222log (41)log 2log (41)()x x x x x f x =+-+=+-=．且2222(2)11()log (41)log log (2)22x xxx xf x x +=+-==+， 当0x 时，函数122xx y =+单调递增，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，故A 正确； :0B x >时，()2cos f x x x =-，令()12sin 0f x x '=->，得(0x ∈，52)(266k k ππππ++⋃，*22)()k k N ππ+∈，故B 不正确；:0C x ≠时，2212x x +，当且仅当221x x =，即1x =±时，等号成立， ∴不满足在[)0,+∞上单调递增，故C 不正确；对于D ：|lg |()10x f x =定义域为()0,∞+，由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D 错；故选：A ．【点睛】考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于基础题；15.已知平面αβγ、、两两垂直，直线a b c 、、满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线a b c 、、不可能满足以下哪种关系（ ） A. 两两垂直 B. 两两平行 C. 两两相交 D. 两两异面【答案】B 【解析】 【分析】通过假设//a b ，可得,a b 平行于,αβ的交线，由此可得c 与交线相交或异面，由此不可能存在////a b c ，可得正确结果.【详解】设l αβ=，且l 与,a b 均不重合假设：////a b c ，由//a b 可得：//a β，//b α 又l αβ=，可知//a l ，//b l又////a b c ，可得：//c l因为,,αβγ两两互相垂直，可知l 与γ相交，即l 与c 相交或异面 若l 与a 或b 重合，同理可得l 与c 相交或异面 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行 本题正确选项：B【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果. 16.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：22sin cos sin()a x b xa b x，πϕπ-<<，下列判断错误的是（ ）A. 当0a >，0b >时，辅助角arctan b a ϕ=B. 当0a >，0b <时，辅助角arctan ba ϕπ=+C. 当0a <，0b >时，辅助角arctan ba ϕπ=+D. 当0a <，0b <时，辅助角arctan baϕπ=-【答案】B 【解析】 【分析】分别判断出a ，b 的值，对辅助角ϕ的影响． ①0a >，0b >，则辅助角ϕ在第一象限； ②0a >，0b <，则辅助角ϕ在第四象限； ③0a <，0b <，则辅助角ϕ在第三象限； ④0a <，0b >，则辅助角ϕ在第二象限． 【详解】解：因为cos ϕ=sin ϕ=，tan baϕ=，(,]ϕππ∈-对于A ，因为0a >，0b >，则辅助角ϕ在第一象限02πϕ∴<<，0b a>，arctan (0,)2b a π∴∈，故A 选项正确；对于B ，因为0a >，0b <，则辅助角ϕ在第四象限02πϕ∴-<<；0b a <， arctan (,)2b a πππ∴+∈，故B 选项错误； 对于C ，因为0a <，0b >，则辅助角ϕ在第二象限2πϕπ∴<<；0b a <， arctan (,)2b a πππ∴+∈，故C 选项正确； 对于D ，因为0a <，0b <，则辅助角ϕ在第三象限2ππϕ∴-<<-，0b a <， arctan (,)2b a πππ∴-∈--，故D 选项正确； 故选：B ．【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力，属于中档题． 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ︒∠=，13DD =，E 是AB 的中点.（1）求四棱锥1C EBCD -的体积；（2）求异面直线1C E 和AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 【答案】（133；（2）5arccos 8；【解析】 【分析】（1）求解三角形求出底面梯形BCDE 的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，由题意可得11//AD B C ，则11B C E ∠即为异面直线1C E 和AD 所成角，求解三角形得答案．【详解】解：（1）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中， 底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，B ∴到DC 边的距离为3，又E 是AB 的中点，1BE ∴=，则()3311232BCDE S =+⨯=梯形． 13DD =，∴11333311333C BCDE BCDE V S DD -=⨯=⨯⨯=四边形；（2）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//AD B C ，11B C E ∴∠即为异面直线1C E 和AD 所成角，连接1B E ，在11C B E ∆中，112B C =，2213110B E =+=， 222211121211()942C E EC CC =+=+-⨯⨯⨯-+=．2221124(10)5cos 8B C E +-∴∠==，∴异面直线1C E 和AD 所成角的大小为5arccos 8．【点睛】本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．18.已知函数()sin cos()cos 2f x x x x x π=+.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心； （2）若()f x a =在区间[0,]2π上有两个解1x 、2x ，求a 的取值范围及12x x +的值.【答案】（1）π，对称中心：1,,2122k k Z ππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭；（2）10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，123x x π+=【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数a 的范围和12x x +的值．【详解】解：（1）函数()sin cos cos 2f x x x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭21cos 21sin 22sin 2262x x x x x π-⎛⎫=-+=-+=+- ⎪⎝⎭． 所以函数的最小正周期为22T ππ==， 令2()6x k k Z ππ+=∈，解得()212k x k Z ππ=-∈， 所以函数的对称中心为1,()2122k k Z ππ⎛⎫--∈⎪⎝⎭． （2）由于02xπ，所以72666x πππ+，在区间[0,]2π上有两个解1x 、2x ，所以函数1sin 2126x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭时，函数的图象有两个交点， 故a 的范围为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭．由于函数的图象在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上关于6x π=对称， 故12263x x ππ+=⋅=．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.一家污水处理厂有A B 、两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.（1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A B 、两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时） 【答案】（1）7小时；（2）17小时 【解析】 【分析】（1）由题意可得A 池每小时剩余原来的90%，设A 池要用t 小时才能把污物的量减少一半，则0.90.5x =，两边取对数，计算可得所求值；（2）设A 、B 两池同时工作，经过x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池每小时剩余原来的81%，可得090.810.12x x+=，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值． 【详解】解：（1）A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，剩余原来的90%， 设A 池要用t 小时才能把污物的量减少一半， 则0.90.5x=，可得0.570.9lg x lg =≈， 则A 池要用7小时才能把污物的量减少一半；（2）设A 、B 两池同时工作，经过x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%，剩余原来的81%， 可得090.810.12x x+=，即20.90.90.20x x +-=， 可得0.9x=， 可得170.9lg x lg ⎝⎭=≈． 则A 、B 两池同时工作，经过17小时后把两池水混合便符合环保规定．【点睛】本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20.已知直线:l x t =(02)t <<与椭圆22:142x y Γ+=相交于AB 、两点，其中A 在第一象限，M 是椭圆上一点.（1）记1F 、2F 是椭圆1(,]2t ∈-∞的左右焦点，若直线AB 过2F ，当M 到1F 的距离与到直线AB 的距离相等时，求点M 的横坐标；（2）若点M A 、关于y 轴对称，当MAB △的面积最大时，求直线MB 的方程； （3）设直线MA 和MB 与x 轴分别交于P Q 、，证明：||||OP OQ ⋅为定值.【答案】（1）642-+（2）2y x =；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得焦点1F ，2F 的坐标，进而可求出A 的坐标，设M 的坐标，注意横坐标的范围[]22-,，在椭圆上，又M 到1F 的距离与到直线AB 的距离相等，可求出M 的横坐标； （2）M ，A ，3B 个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB 的方程；（3）设M ，A 的坐标，得出直线MA ，MB 的方程，进而求出两条直线与x 轴的交点坐标，用M ，A 的坐标表示，而M ，A 又在椭圆上，进而求出结果． 【详解】（1）设1(,),(2,0)M x y F -22(2)||x y x t ++=-，联立椭圆方程：22:142x y Γ+=，把22122y x =-代入得：22221222222x x x x tx t +++-=-+，(22)2x t ∴=--；又因为2t =，代入得：642M x =-+；（2）设()()11,,A t y B t y -，则()1,M t y -，则12MABSt y =⋅，又因为()1,A t y 在椭圆22:142x y Γ+=上，所以221142y t +=，11122t y ∴≥1ty ∴≤则MAB S≤，当且仅当1t =时，取等号，即t =，则(1)M B -，所以:2MB l y x =-； （3）设()()()1100,,,,,A t y B t y M x y -，则01100110:():()MA MB y y l y x t y x ty y l y x t y x t-⎧=-+⎪-⎪⎨+⎪=--⎪-⎩100101001,00,0d y t y x P y y y y t y x Q y y ⎧⎛⎫-⎪⎪-⎪⎝⎭=⎨⎛⎫+⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎩令，则22220102201||||=y t y x O Q y P O y --⋅，又因为2212200122122y t y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入得：2202222||||41122t x OP OQ t x -⋅==-，故为定值.【点睛】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．21.已知数列{}n a 满足11a =，2a e =（e 是自然对数的底数），且2n a +=令ln n nb a =（n ∈*N ）.（1）证明：2n b +> （2）证明：211{}n n n n b b b b +++--是等比数列，且{}n b 的通项公式是121[1()]32n n b -=--；（3）是否存在常数t ，对任意自然数n ∈*N 均有1n n b tb +≥成立？若存在，求t 的取值范围，否则，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，12t ≤ 【解析】 【分析】（1）由已知可得：1n a >．利用基本不等式的性质可得：112n n nlna lna lna +++，可得1n lna lna +，代入化简即可得出．（2）设1+=-n n n c b b ，由2n a +=*()n n b lna n N =∈．可得121112n n n n n n c b b c b b ++++-==--．即可证明211n n n n b b b b +++⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．（3）假设存在常数t ，对任意自然数*n N ∈均有1n n b tb +成立．由（2）可得：1211032n n b -⎡⎤⎛⎫=--≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．1n =时，10t ，解得t R ∈．2n 时，1min n n b t b +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，利用单调性即可得出．【详解】解：（1）依题意得，要证明2n b +>2ln na + 又因为2n a +=2lnn a +=，要证明2lnn a+>> 要证明>()1ln n n aa +⋅> 又因为1ln ln n n a a ++≥.（2）设1+=-n n n c b b ，因为2n a +=*ln ()n n b a n N =∈，则2112111111lnln 212ln ln n n nn n n n n n n n n n n a ac b b a a a a c b b a a +++++++++--====--所以：{}1n n b b +-是公比为12的等比数列，则()111211122n n n n b b b b --+⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()121321n n n b b b b b b b b -∴=+-+-++-2211101()()()222n -=++-+-+⋯⋯+-11111221113212n n --⎡⎤⎛⎫⋅--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭． nb 的通项公式是121132n n b -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦； （3）假设存在常数t ，对任意自然数*n N ∈均有1n n b tb +≥成立，由（2）知，1211032n n b -⎡⎤⎛⎫=--≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 1︒当1n =时，t R ∈；2︒当2n ≥时，1minn n b t b +⎛⎫≤⎪⎝⎭， 而1111(2)1(2)23321(2)2(2)2(2)2112nn n n n n n n b b +-⎛⎫-- ⎪---+-⎝⎭-===--+-+-+⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则当2n =时，m 132in12n n b b b b +⎛⎫==⎪⎝⎭，故存在这样的t ，12t ≤ 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

卢湾高三语文第一学期期末质量抽查试卷（满分：150分考试时间：100分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将自己的姓名等填写清楚。

2．本考试设试卷和答题纸两部分，所有试题的答案必须全部写在答题纸上，写在试卷上一律不给分；答题时应注意试置题号和答题纸题号一一对应，不能错位。

一、阅读80分（一）阅读下文，完成第1-6题。

(16分)①人类之所以有今天这样的文明，文学在其中的力量和功德是不言而喻的。

难道文学要中断这样的责任了吗？让生活向下还是向上，向善还是向恶，难道文学就完全没有必要对这样最起码的问题进行拷问吗？“如果川端康成与大江健三两人生活的年代颠倒一下，大江在川端时代写大江式的作品，川端在大江的时代写川端式的作品，这两个日本人还会获得诺贝尔文学奖吗？”回答几乎是肯定的：不会。

因为川端时代的文学的标准还不只是“深刻”一维。

而大江时代，却将川端文学的命根子——美——彻底抛弃了。

②这个时代，是一个横着心要将“美”搞成矫情字眼、一提及就自觉浅薄的时代。

这个时代是讲思想神话的时代，悠悠万事，唯有思想——思想宝贝。

文学企图使人相信，在这个世界上，唯一值得人们尊重的就是思想：思想是高于一切的；谁在思想的峰巅，谁就是英雄，谁就应当名利双收。

正是在这样的语境中，我们患上了“恋思癖”的毛病。

对思想的变态追求，已使我们脱离了常识。

当我们穷凶极恶地在追求思想深度的时候，我们忘记一个常识：获得石油必须钻井，因为石油蕴藏在具有一定深度的地下，但如果以为钻得越深就越有石油那就错了，因为再无止境地钻下去，就是泥浆和岩浆了。

思想崇拜，会导致思想迷信，而思想迷信则一定会导致思想的变态，其结果就是我们放弃常识，进入云山雾罩的思想幻觉。

其实，一旦背离真实，一个看上去再深刻的思想，也是无意义的。

( )，这世界上有力量的并不只有思想。

我还是愿意重复我的老话：美的力量丝毫也不亚于思想的力量，有时甚至比思想的力量更加强大。

③“一种牺牲民族甚至人类体面的文学境界，是值得我们赞美和崇尚的境界吗？”斯洛文尼亚的齐泽克在谈到前南斯拉夫时代萨拉热窝被围困的情状时说，那些闻风而来的西方记者争先恐后寻找的只是：残缺不全的儿童尸体、被强奸的妇女、饥饿不堪的战俘。

上海高三数学一模试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。

）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，则f(-1)的值为：A. 0B. 4C. -4D. 62. 已知等差数列{a_n}的首项a_1 = 2，公差d = 3，则a_5的值为：A. 17B. 14C. 13D. 113. 已知圆C的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25，圆心C到直线x + y - 5 = 0的距离为：A. 4B. 5C. 3D. 24. 若向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，则向量a与向量b的点积为：A. 5B. -5C. 2D. -25. 已知函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，求导数y'的值为：A. 3x^2 - 12x + 9B. x^3 - 6x^2 + 9C. 3x^2 - 12x + 1D. x^3 - 6x^2 + 9x6. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B的值为：A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3}7. 已知函数f(x) = sin(x)，g(x) = cos(x)，则f(x)g(x)的值为：A. sin(x)cos(x)B. sin^2(x)C. cos^2(x)D. sin(x) + cos(x)8. 已知复数z = 3 + 4i，求|z|的值为：A. 5B. √7C. √25D. √419. 已知函数y = e^x，求y'的值为：A. e^xB. xC. 1D. ln(e)10. 已知矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，B = [[2, 0], [1, 3]]，则AB 的值为：A. [[2, 6], [7, 12]]B. [[5, 6], [3, 4]]C. [[4, 6], [3, 6]]D. [[2, 4], [6, 8]]二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。

卢湾区2010学年第一学期九年级期末考试数学试卷（时间100分钟，满分150分） 2011.1（本试卷所有答案请书写在答题纸规定位置上）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．如果两个相似三角形对应边之比是1∶4，那么它们的对应中线之比是…（ ）． A ．1∶2； B ．1∶4； C ．1∶8； D ．1∶16．2．Rt ABC ∆中，∠C =90º，若AB =4，A θ∠=，则AC 的长为……………（ ）． A ．4sin θ； B ．4cos θ； C ．4sin θ； D ．4cos θ． 3．下列抛物线中对称轴为13x =的是…………………………………………（ ）． A ．213y x = ；B .2133y x =+ ；C ．213y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ； D ．213y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ．4．抛物线2(1)3y x =+-的顶点坐标是………………………………………（ ）． A ．(1，3)； B ．(1，– 3) ； C ．(–1 ，3) ； D ．(– 1，–3)．5．已知点D 、E 分别在ABC ∆的边CA 、BA 的延长线上，DE ∥BC ，若:1:3DE BC =，则向量DC等于……………………………………………（ ）．A ．DA ；B ．2DA ；C ．3DA ；D ．4DA．6．如果线段a 、b 、c 、d 满足a cb d=，那么下列等式不一定成立的是………（ ）． A ．a b c d b d ++=； B ．a b c d b d --=； C ．a c a b d d +=+； D ．a b c d a b c d --=++．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．线段c 是线段a 和线段b 的比例中项，若4a =，9b =，则线段c =_______．8．计算：()243a a -+=__________．9．抛物线2153y x =-+在y 轴右侧的部分是 （填“上升”或“下降”）．10．如果将抛物线22y x =平移，使平移后的抛物线顶点坐标为()3,2-，那么平移后的抛物线的表达式为__________．11．已知，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在AB 上，点F 在CD 上，EF 是中位线，若AD a = ，EF b = ，则用a 、b表示BC = __________．12．已知一个山坡坡面的坡比为i =__________°． 13．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒, 3cos 5A =，则sin B = . 14．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果60A ∠=︒，10AB =，那么BC = ． 15．已知，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 上的点，5AB =，2AD =，4AC =，如果要使DE ∥BC ，则EC = ．16．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()0,0A 、()4,0B ，则抛物线的对称轴为直线 ．17．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC BC =，若点O 是ABC ∆的重心，则cos OBC ∠=_________．18．如图，将ABE ∆沿直线AC 翻折，使点B 与AE 边上的点D 重合，若5AB AC ==，9AE =，则CE = ．三、简答题（本大题共4题，每题10分，满分40分）19．已知抛物线2y ax b x c =++经过点（–5，0）、（–1，0）、（1，12），求这个抛物线的表达式及其顶点坐标．20．如图，已知在平行四边形ABCD 中，:2:3DE EC =，AB a = ，BC b =．（1）用a 、b表示AE 、BE ；（直接写出答案） （2）求作BE 分别在BA 、BC方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）ABCDE（第18题图）A BC D E (第20题图)21. 如图，已知在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 在AB 上，5CD =，8AC =，3sin 5ACD ∠=，求BC 的长.22．如图，已知在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AB ⊥AC ，CD ⊥BD . （1）求证：AOD ∆∽BOC ∆； （2）若32sin =∠ABO ，4=∆AOD S ，求BOC S ∆的值.四、解答题（本大题共2题，每题12分，满分24分） 23．如图，一块梯形木料ABCD ，AD ∥BC ，经测量知40AD =cm ，125BC =cm ，45B ∠=︒，67.4C ∠=︒，求梯形木料ABCD 的高.（备用数据：sin 67.4° = 1213 ，cos 67.4° = 513 ，tan 67.4° = 125）ABC D O（第22题图） A CDB（第23题图）BACD （第21题图）24．已知抛物线24y ax ax c =-+与y 轴交于点()0,3A ，点B 是抛物线上的点，且满足AB ∥x 轴，点C 是抛物线的顶点.（1）求抛物线的对称轴及B 点坐标；（2）若抛物线经过点()2,0-，求抛物线的表达式； （3）对（2）中的抛物线，点D 在线段AB 上，若以点A 、C 、D 为顶点的三角形与AOC ∆相似，试求点D 的坐标.五、（本题满分14分）25．如图，已知ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，点D 在边AC 上（不与A 、C 重合），DE 与AB 相交于点F ．（1）求证：BCD ∆∽DAF ∆； （2）若1BC =，设CD x =，AF y =； ①求y 关于x 的函数解析式及定义域； ②当x 为何值时，79BEF BCD S S ∆∆=？（第24题图）A BCDE F（第25题图）卢湾区2010学年第一学期九年级数学期末考试参考答案及评分说明一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．B ； 2． B ； 3．D ； 4．D ； 5． D ； 6．C ． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．6； 8．103a - ； 9．下降； 10．()2232y x =--； 11．2b a - ；12．30； 13．35； 14．； 15．125； 16．2x =； 17； 18．6．三、简答题（本大题共4题，每题10分，满分40分）19. 解法一：由题意得2550,0,12.a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩………………………………………（3分）解得1,6,5.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩…………………………………………………………………………（3分）所以这个抛物线的表达式为265y x x =++……………………………………（1分） 配方得()234y x =+-，所以顶点坐标为()3,4--，……………………………（3分） 解法二：设()()51y a x x =++……………………………………………………（3分） 把1,12x y ==代入上式，得1212a =，1a =，…………………………………（2分） 所以，265y x x =++.……………………………………………………………（2分） 配方得()234y x =+-，所以顶点坐标为()3,4--，……………………………（3分） （求抛物线解析式其他解法评分标准参照此以上解法酌情给分）20.（1）25AE a b =+ ，35BE b a =-；…………………………………（3分，3分）（2）画法正确3分，结论1分. …………………………………………（3分，1分） 21．解：过点D 作DE AC ⊥，垂足为点E .……………………………………（1分） ∵90DEC ∠=︒，3sin 5ACD ∠=，5CD =， ∴3,4DE CE ==，…………………………………………………………（2分，2分） ∵8AC =，∴4AE =，…………………………………………………………（1分）∵DE AC ⊥，90ACB ∠=︒，∴DE ∥AC ，…………………………………（1分）∴DE AEBC AC =，……………………………………………………………………（2分） ∴348BC =，∴6BC =.…………………………………………………………（1分） 22．（1）证明：∵AB ⊥AC ，CD ⊥BD ，∴90BAC BDC ∠=∠=︒，…………（1分） 又∵AOB DOC ∠=∠，∴A O B ∆∽DOC ∆，……………………………………（2分） ∴AO BO DO CO =，∴AO DO BO CO =，…………………………………………………（1分） 又∵AOD BOC ∠=∠，∴A O D ∆∽BOC ∆，……………………………………（1分） （2）∵90BAC ∠=︒，32sin =∠ABO ，∴23AO BO =，………………………（2分）∵AOD ∆∽BOC ∆，∴2A O DB OC S AO S BO ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，………………………………………（2分）∵4=∆AOD S ，∴2423BOC S ∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴9BOC S ∆=.………………………………（1分） 四、解答题（本大题共2题，每题12分，满分24分）23．解：分别过点A 、D 作AE BC ⊥，DF BC ⊥，垂足为点E 、F .………（2分） ∴AE ∥DF ，又∵AD ∥BC ，∴四边形AEFD 是平行四边形，……………（1分） ∴AE DF =，∵40AD =cm ，40EF AD ==cm ，……………………………（2分） 设AE DF x ==，∵90AEB ∠=︒，45B ∠=︒，∴BE x =，…………………（2分）∵90DFC ∠=︒，67.4C ∠=︒，∴tan tan67.4DF xCF C ==︒，…………………（2分） ∵125BC =cm ，∴54012512xBC BE EF FC x =++=++=，………………（2分）解得60x =，∴60AE DF ==cm .………………………………………………（1分） 所以梯形木料ABCD 的高为60 cm . 24. 解（1）由题意得，42ax a-=-，∴对称轴为直线2x =；…………………（2分） ∵点()0,3A ，点B 是抛物线上的点，AB ∥x 轴，∴AB 被直线2x =垂直平分，∴()4,3B .………………………………………（1分）（2）∵抛物线经过点()0,3，()2,0-，所以有3,4830c a a =⎧⎨++=⎩，……………（2分）解得1,43.a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的表达式为2134y x x =-++.………………………（1分）（3）∵抛物线的对称轴为直线2x =，∴()2,4C ，…………………………（1分） 过点C 作CE y ⊥轴，垂足为点E ，设对称轴与AB 交于点F .……………（1分） ∵AB ∥x 轴，∴90CFA ∠=︒，∴CEO CFA ∠=∠，又∵2142CE OE ==，12CF AF =，∴CE CFOE AF =，∴EOC ∆∽FAC ∆，…………（1分） ∴AOC CAF ∠=∠，………………………………………………………………（1分）当AOC ∆∽DAC ∆时，有AO COAD AC=，∵3,AO CO AC ===32AD =，∴3,32D ⎛⎫⎪⎝⎭；…………………（1分） 当AOC ∆∽CAD ∆时，有AO CO AC AD=， ∴103AD =，∴10,33D ⎛⎫⎪⎝⎭，………………………………………………………（1分） 综上所述满足条件的点D 的坐标为3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭或10,33⎛⎫⎪⎝⎭.五、（本题满分14分） 25．（1）证明：∵ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，∴60A C BDE ∠=∠=∠=︒，……………………………………………………（1分） ∵ADF BDE C DBC ∠+∠=∠+∠，∴ADF DBC ∠=∠，……………………（2分） ∴BCD ∆∽DAF ∆.………………………………………………………………（1分） （2）∵BCD ∆∽DAF ∆，∴BC CDAD AF=，………………………………………（1分） ∵1BC =，设CD x =，AF y =，∴11xx y=-，………………………………（1分）∴()201y x x x =-<<.……………………………………………………………（2分） （3）解法一：∵ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，∴60E C ∠=∠=︒，60EBD CBA ∠=∠=︒，∴EBF CBD ∠=∠，…………（1分） ∴EBF ∆∽CBD ∆，∴BE BFBC BD=，……………………………………………（1分）∵BE BD =，1BC =，∴2B E B F=,……………………………………………（1分）∵EBF ∆∽CBD ∆，79BEF BCD S S ∆∆=，∴2279BEF BCD S BE S BC ∆∆==， ……………………（1分） ∴279BE BF ==，∴29AF =，…………………………………………………（1分） ∴229x x -=，解得1221,33x x ==，∴当13x =或23时，79BEF BCD S S ∆∆=.…………（1分）解法二：∵△ABC 与BDE ∆都是等边三角形，∴60E C ∠=∠=︒，60EBD CBA ∠=∠=︒，∴EBF CBD ∠=∠，…………（1分）∴EBF ∆∽CBD ∆，∵79BEF BCD S S ∆∆=，∴2279BEF BCD S BE S BC ∆∆==，……………………（1分） ∵1BC =，BE BD =，∴279BD =. ……………………………………………（1分） 过点B 作BH AC ⊥于点H ，……………………………………………………（1分）∵60C ∠=︒，∴2BH =，∴16DH =，12CH =， 当点D 在线段CH 上时，111263CD CH DH =-=-=；………………………（1分）当点D 在线段CH 的延长线上时，112263CD CH DH =+=+=，……………（1分）综上所述，当13x =或23时，79BEF BCD S S ∆∆=.。

OMNxy P上海市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第5部分:三角函数一、选择题：15．(上海市闵行区2011届高三下学期质量调研文科) “1sin 2α=”是“1cos 22α=”的 [答]（ A ）(A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.17．(上海市闵行区2011届高三下学期质量调研文科)如图，设P 是单位圆和x 轴正半轴的交点，M N 、是单位圆上的两点，O 是坐标原点，3POM π∠=，PON α∠=,[)0απ∈，，()f OM ON α=⋅，则()αf 的范围为 [答]（ A ）(A) 1,12⎛⎤-⎥⎝⎦. (B) 11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. (C) 1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. (D) 1,12⎛⎫⎪⎝⎭. 15、(上海市奉贤区2011年4月高三调研测试)在△ABC 中，“C b B c cos cos =”是“△ABC是等腰三角形”的（ A ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件15．(上海市卢湾区2011年4月高考模拟理科) “πϕ=”是“函数()sin()f x x ϕ=+是奇函数”的 （ A ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 二、填空题：5．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题理科)若函数()2cos(4)17f x x π=+-与函数()5tan(1)2g x ax =-+的最小正周期相同，则实数a = ．2a12．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题理科)已知角αβ、的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，(0)αβπ∈、，，角β的终边与单位圆交点的横坐标是13-，角αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α= ．3825．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题文科)若函数()2cos(4)17f x x π=+-与函数()5tan(1)2g x ax =-+的最小正周期相同，则实数a = ．2a13．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题文科)已知角αβ、的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，(0)αβπ∈、，，角β的终边与单位圆交点的横坐标是13-，角αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α= ．382 7、(上海市虹口区2010-2011学年第二学期高三教学质量测试理科)若P ，Q 是等腰直角三角形ABC 斜边AB 的三等分点，则=∠PCQ tan ．433．(上海市闵行区2011届高三下学期质量调研文科)已知1cos()43πα-=，则sin()4πα+= . 132、(上海市奉贤区2011年4月高三调研测试)若1sin 3x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则x = （结果用反三角函数表示）31arcsin10．(上海市杨浦区2011年4月高三模拟理科)在△ABC 中，已知最长边23=AB ，3=BC ，∠A =30︒，则∠C = . 【∠C =135︒】7、(上海市徐汇区2011年4月高三学习诊断文科)在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C2sin c A =，则角C 的大小为 。