2020年中考数学专题训练：旋转

中考数学复习《旋转》专题训练-附带有答案一、选择题1．将如图所示的图形按逆时针方向旋转90°后得到图形是（）A．B．C．D．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A′B′C′，则旋转中心是点（）A．O B．P C．Q D．M4．若P与A(1，3)关于原点对称，则点P落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．在平面直角坐标系xOy中，点M与点N(3，4)关于原点对称，那么点M的坐标为（）A．(3，4)B．(−3，−4)C．(−3，4)D．(3，−4)6．如图，将边长为√3的正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°得到正方形A′BC′D′，AD与C′D′交于点M，那么图中点M的坐标为（）A ．(√3，1)B ．(1，√3)C ．(√3，√32)D ．(√32，√3) 7．如图所示，在平面直角坐标系中，点A （0，4），B （2，0），连接AB ，点D 为AB 的中点，将点D 绕着点A 旋转90°得到点D 的坐标为（ ）A ．（﹣2，1）或（2，﹣1）B ．（﹣2，5）或（2，3）C ．（2，5）或（﹣2，3）D ．（2，5）或（﹣2，5）8．如图，直角坐标系中，点G 的坐标为（2，0），点F 是y 轴上任意动点，FG 绕点F 逆时针旋转90°得FH ，则动点H 总在下列哪条直线上（ ）A ．y =x +2B ．y =2x +2C ．y =12x +2D ．y =2x +1二、填空题 9．如图所示的图形绕其中心至少旋转 度就可以与原图形完全重合．10．在平面直角坐标系中，点A(5，m)与点B(−5，−3)关于原点对称，则m 的值为 .11．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转到△ADE 的位置，B 、D 、C 在一条直线上．若∠B ＝70°，则∠CAE 的大小为 ．12．如图，在平面直角坐标系中，点B 坐标（8，4）， 连接OB ， 将OB 绕点O 逆时针旋转90°，得到OB'，则点B ′的坐标为 ．13．直线y =−43x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针旋转90°后得到△AO ′B ′，则点B ′的坐标是 ．三、解答题14．如图，△ABO 与△CDO 关于O 点成中心对称，点E 、F 在线段AC 上，且AF ＝CE ．求证：FD ＝BE ，FD ∥BE ．15．在4×4的方格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出与△ABC 成轴对称且与△ABC 有公共边的格点三角形（画出一个即可）；（2）将图2中的△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形．16．如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，BAC ∠=α作BD AC ⊥于点D ，将线段AD 绕着点A 逆时针旋转角α后得到线段AE ，连接CE ．求证：AE CE ⊥．17．如图，在边长为1的正方形网格中，ABC 的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A 的坐标为()4,1-，点B 的坐标为()1,1-．(1)画出ABC 关于原点O 对称的111A B C △；(2)画出ABC 绕点B 逆时针旋转90︒后得到的22A BC ，并写出点A 的对应点2A 的坐标．18．如图，四边形ABCD 是正方形，△ADF 旋转一定角度后得到△ABE ，如图所示，如果AF=4，AB=7，求：（1）指出旋转中心和旋转角度；（2）求DE 的长度；（3）BE 与DF 的位置关系如何？参考答案1．A2．B3．B4．C5．B6．B7．C8．A9．9010．311．40°12．（﹣4，8）13．(7，3)14．证明：连接BF、DE∵△ABO与△CDO关于O点成中心对称∴OB＝OD，OA＝OC．∵AF＝CE∴OF＝OE．∴四边形BEDF是平行四边形∴FD＝BE，FD∥BE．15．（1）解：如图所示：或（2）解：如图所示：16．证明：∵将线段AD 绕着点A 逆时针旋转角α后得到线段AE ∴,.AD AE CAE α=∠=∵,BAC α∠=∴.BAC CAE ∠=∠∵BD AC ⊥∴90.ADB ∠=︒在ABD 与ACE 中,,,AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD ACE ≌∴90.ADB AEC ∠=∠=︒∴AE CE ⊥．17．（1）解：()4,1A - ()1,1B -由图可知()1,3C -A ∴、B 、C 关于原点O 对称的三点分别为()14,1A -，()1,1B -和()1,3C - 在图中标出，依次连接即可如图，111A B C △即为所求（2）如图，22A BC 即为所求由图可知，点A 的对应点2A 的坐标为()12--，． 18．（1）解：根据正方形的性质可知：△AFD ≌△AEB 即AE=AF=4，∠EAF=90°，∠EBA=∠FDA ； 可得旋转中心为点A ；旋转角度为：90°或270°；（2）解：DE=AD − AE=7 − 4=3（3）解：BE ⊥DF ；延长BE 交DF 于点G由旋转△ADF≌△ABE ∴∠ADF=∠ABE又∵∠DEG=∠AEB∴∠DGE=∠EAB=90°∴BE⊥DF。

2020初中数学中考专题复习——图形变换旋转综合题专项训练6（附答案详解） 1．如图，正方形ABCD 的边长为1，点A 与原点重合，点B 在y 轴的正半轴上，点D在x 轴的负半轴上，将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°至正方形AB ′C ′D ′的位置，B ′C ′与CD 相交于点M ，则M 的坐标为（ ）A ．（1，33）B ．（﹣1，33）C ．（1，32）D ．（﹣1，32） 2．如图，现有一张三角形纸片ABC ∆，8BC =，28ABC S ∆=，点D ，E 分别是AB ，AC 中点，点M 是DE 上一定点，点N 是BC 上一动点。

将纸片依次沿DE ，MN 剪开，得到Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ三部分，将Ⅱ绕点D 顺时针旋转，DB 与DA 重合，将Ⅲ绕点E 逆时针旋转，使EC 与EA 重合，拼成了一个新的图形，则这个新图形周长的最小值是（ ）A ．15B ．20C ．23D ．303．如图，D 为等边三角形ABC 内的一点，DA ＝5，DB ＝4，DC ＝3，将线段AD 以点A 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′，下列结论：①点D 与点D′的距离为5；②∠ADC ＝150°；③△ACD′可以由△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到；④点D 到CD′的距离为3；⑤S 四边形ADCD′ ＝6＋2532．其中正确的有( ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．如图，AOB 为等腰三角形，顶点 A 的坐标为 (5，底边 OB 在 x 轴上．将 AOB 绕点 B 按顺时针方向旋转一定角度后得 11A O B ，点 A 的对应点 1A 在 x 轴上，那么点 1O 的横坐标是（ ）A ．163B ．173C ．193D ．203 5．如图，边长为2的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC 交于点O ，则四边形AB′OD 的周长是（ ）A ．42B ．6C ．22D ．2+22 6．如图，在Rt △ABC 中，90C =∠，2AC BC ==；若将△ABC 绕点B 逆时针旋转60°到△''A BC 的位置，连接'C A ,则'C A 的长为（ ）A ．622B 62-C ．222-D ．22-7．如图,在平面直角坐标系,ABC 上的顶点A 和C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,且//AB y 轴,点()1,3B ,将ABC 以点B 为旋转中心顺时针方向旋转90o 得到DBE ,恰好有一反比例函数k y x= 图象恰好过点D ，则k 的值为（ ）A．9B．9-C．6-D．68．如图，在△ABC中，AB＝2.2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（）A．1.5 B．1.4 C．1.3 D．1.29．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E,若AB=3，则△AEC的面积为（）A．3 B．1.5 C．23D．310．如图所示，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠BAC=25°，则∠ADE的度数为（）A．35°B．30°C．25°D．20°11．如图，将足够大的等腰直角三角板PCD的锐角顶点P放在另一个等腰直角三角板PAB的直角顶点处，三角板PCD绕点P在平面内转动，且∠CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N，设AB=2，AN=x，BM=y，则能反映y 与x的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ． 12．如图，在直角坐标系中，点()(0,4,3,0,)A B C -是线段AB 的中点，D 为x 轴上一个动点，以AD 为直角边作等腰直角ADE (点,,A D E 以顺时针方向排列)，其中90DAE ∠=︒，则点E 的横坐标等于_____________，连结CE ，当CE 达到最小值时，DE 的长为___________________．13．如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限，△ABO 沿x 轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A 1B 1O ，则翻滚2次后点B 的对应点B 2的坐标是_____，翻滚100次后AB 中点M 经过的路径长为_____．14．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 绕顶点A 逆时针旋转80°后得到△AB′C′，则∠CAB′的度数为_____．15．如图，四边形ABCD 的∠BAD ＝∠C ＝90°，AB ＝AD ，AE ⊥BC 于E ，△ABE 绕着点A 旋转后能与△ADF 重合，若AF ＝5cm ，则四边形ABCD 的面积为_____．16．如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BQ ，连接AQ ．若PA=4，PB=5，PC=3，则四边形APBQ 的面积为_______．17．如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝2，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得Rt △FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是_____．18．正方形ABCD 的边长为2cm ，O 点是正方形ABCD 的中心，将此正方形沿直线AB 滚动（无滑动），且每一次滚动的角度都等于90°.例如：B 点不动，滚动正方形ABCD ，当B 点上方相邻的点C 落在直线AB 上时为第1次滚动.如果将正方形ABCD 滚动2020次，那么O 点经过的路程等于__________．（结果不取近似值）19．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3sin 5B =，将ABC ∆绕顶点C 顺时针旋转，得到11A B C ∆，点A 、B 分别与点1A 、1B 对应，边11A B 分别交边AB 、BC 于点D 、E ，如果点E 是边11A B 的中点，那么1:A D DB =______.20．如图，正方形ABCD 边长为2，以直线AB 为轴，将正方形旋转一周，•所得圆柱的主视图（正视图）的周长是________．21．规定：有一角重合，且角的两边叠合在一起的两个相似四边形叫做“嵌套四边形”，如图，四边形ABCD 和AMPN 就是嵌套四边形．（1）问题联想如图①，嵌套四边形ABCD ，AMPN 都是正方形，现把正方形AMPN 以A 为中心顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N'，连接BM'，DN'交于点O ，则BM'与DN'的数量关系为_____，位置关系为_____；（2）类比探究如图②，将（1）中的正方形换成菱形，∠BAD=∠MAN=60，其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗? 若成立，请说明理由；若不成立，请给出正确的结论，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，将（1）中的嵌套四边形ABCD 和AMPN 换成是长和宽之比为2:1的矩形，旋转角换成α（90°＜α＜180°），其他条件不变，请直接写出BM'与DN'的数量关系和位置关系．22．正方形ABCD 中，点E F ，分别在边BC ，CD 上，且45EAF CEF ∠=∠=． （1）将ADF ∆绕着点A 顺时针旋转90°，得到ABG ∆（如图①），求证：AEG AEF ∆≅∆；（2）若直线EF 与AB ，AD 的延长线分别交于点M N ，（如图②），求证：222EF ME NF =+；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF ，BE ，DF 之间的数量关系 ．（不要求书写证明过程）23．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝45°，△AEF 是由△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转得到的，连接BE ，CF 相交于点D,（1）求证：BE ＝CF ；（2）当四边形ACDE 为菱形时，求BD 的长．24．在平面直角坐标系xOy 中，如图所示，已知Rt DOE △，90DOE ∠=，3OD =，点D 在y 轴上，点E 在x 轴上，在ABC 中，点A ，C 在x 轴上，5AC =．180ACB ODE ∠+∠=，ABC OED ∠=∠，BC DE =．按下列要求画图（保留作图痕迹）：（1）将ODE 绕O 点按逆时针方向旋转90°得到OMN （其中点D 的对应点为点M ，点E 的对应点为点N ），画出OMN ．（2）将ABC 沿x 轴向右平移得到A B C '''（其中点A ，B ，C 的对应点分别为点A '，B '，C '），使得边B C ''与（1）中的OMN 的边NM 重合． （3）求OE 的长．25．如图1，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ．（1）求证：AE ＝BC ；（2）如图2，过点E 作EF ∥BC 交AB 于F ，将△AEF 绕点A 逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE ′F ′，连结CE ′、BF ′，求证：CE ′＝BF ′．26．如图，点O 是等边三角形ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=β．将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得到△ADC ，连接OD ．（1）求证：△COD 是等边三角形；（2）当β=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由；（3）探究：当β为多少度时，△AOD 是以OD 为底边的等腰三角形？27．定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．观察猜想（1）线段PM 与PN “等垂线段”（填“是”或“不是”）猜想论证（2）ADE ∆绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．拓展延伸（3）把ADE ∆绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．28．已知：△ABC是等边三角形，点D是△ABC（包含边界）平面内一点，连接CD，将线段CD绕C逆时针旋转60°得到线段CE，连接BE，DE，AD，并延长AD交BE于点P．（1）观察填空：当点D在图1所示的位置时，填空：①与△ACD全等的三角形是______．②∠APB的度数为______．（2）猜想证明：在图1中，猜想线段PD，PE，PC之间有什么数量关系？并证明你的猜想．（3）拓展应用：如图2，当△ABC边长为4，AD=2时，请直接写出线段CE的最大值．29．直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将直角三角板AOB(∠OAB=30°)的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB 在直线DE上方．将直角三角板绕点O按每秒10°的速度逆时针旋转得到三角形A'OB'，三角形AOB旋转一周后停止旋转，设旋转时间为t秒．若射线OC的位置保持不变，∠COD=40°．（1）如图1，在旋转过程中，当边A'B'与直线DE相交于点F时，请用含t的代数式分别表示∠A'OC和∠B'OF的度数，并求出∠A'OC－∠B'OF的值；（2）如图2，当t=7时，试说明直线A'B'//OC；（3）在旋转过程中，若t=7，是否还存在某一时刻，使得A'B'//OC；若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．30．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE（1）求证：AD=ED（2）连接BE，猜想△BEC的形状，并说明理由参考答案1．B【解析】【分析】连接AM ，易得∠B′AD ＝60°，利用HL 判定Rt △ADM ≌Rt △AB′M ，进而得到∠DAM ＝30°，再根据DM ＝AD·tan ∠DAM 求出DM ，即可得到M 的坐标. 【详解】解：如图，连接AM ，∵将边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′，∴AD ＝AB′＝1，∠BAB′＝30°，∴∠B′AD ＝60°，在Rt △ADM 和Rt △AB′M 中，AD AB AM AM'⎧=⎨=⎩ ∴Rt △ADM ≌Rt △AB′M （HL ），∴∠DAM ＝∠B′AM ＝12∠B′AD ＝30°， ∴DM ＝AD·tan ∠DAM ＝1×33 ∴点M 的坐标为（﹣13， 故选：B ．【点睛】 本题主要考查旋转的性质、正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及三角函数的应用，解题的关键是利用旋转角度和全等三角形求出∠DAM=30°. 2．C【解析】【分析】如图，作AJ⊥BC交DE于O，由题意旋转后的新图形是平行四边形GHPQ，周长=2DE+BC+2MN=16+2MN，当MN最小时，周长的值最小，根据垂线段最短求出MN的最小值即可解决问题．【详解】解：如图，作AJ⊥BC交DE于O，由题意旋转后的新图形是平行四边形GHPQ，周长=2DE+BC+2MN，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC，DE=12BC=4，∵S△ABC=12•BC•AJ=28，∴AJ=7，∵AD=DB，DE∥BC，∴AO=OJ=72，∴四边形GHPQ的周长=16+2MN，∴当MN最小时，周长的值最小，根据垂线段最短可知MN的最小值为12，∴四边形GHPQ的周长的最小值为16+7=23，故选：C．【点睛】本题考查利用旋转设计图案，三角形的中位线定理，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3．B【解析】【分析】连结DD′，根据旋转的性质得AD=AD′，∠DAD′=60°，可判断△ADD′为等边三角形，则DD′=5，可对①进行判断；由△ABC为等边三角形得到AB=AC，∠BAC=60°，则把△ABD 逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD′重合，于是可对③进行判断；再根据勾股定理的逆定理得到△DD′C为直角三角形，则可对②④进行判断；由于四边形ADCD′的面积=△ADD′的面积+△D′DC的面积，利用等边三角形的面积公式和直角三角形面积公式计算后可对⑤进行判断．【详解】解：连结DD′，如图，∵线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′，∴AD=AD′，∠DAD′=60°，∴△ADD′为等边三角形，∴DD′=5，所以①正确；∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴把△ABD逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD′重合，∴△ACD′可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到，所以③正确；∴D′C=DB=4，∵DC=3，在△DD′C中，∵32+42=52，∴DC2+D′C2=DD′2，∴△DD′C为直角三角形，∴∠DCD′=90°，∵△ADD′为等边三角形，∴∠ADD′=60°，∴∠ADC≠150°，所以②错误；∵∠DCD′=90°，∴DC⊥CD′，∴点D到CD′的距离为3，所以④正确；∵S△ADD′+S△D′DC2153442=⨯+⨯⨯＝6所以⑤错误．故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．4．D【解析】【分析】过点A作AC⊥OB于C，过点O1作O1D⊥A1B于D，根据点A的坐标求出OC、AC，再利用勾股定理列式计算求出OA，根据等腰三角形三线合一的性质求出OB，根据旋转的性质可得BO1=OB，∠A1BO1=∠ABO，然后解直角三角形求出O1D、BD，再求出OD，然后写出点O1的坐标即可．【详解】解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O1作O1D⊥A1B于D，∵A（2，∴OC=BC=2，由勾股定理得，，∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，∴OB=2OC=2×2=4，由旋转的性质得，BO1=OB=4，∠A1BO1=∠ABO，∴BD=BO1×cos∠ABC=4×23=83，∴OD=OB+BD=4+83=203，∴点O1的横坐标为20 3.故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．5．A【解析】【分析】连接B′C，由边长为2的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形A B′C′D′，先求B′C，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求B′O，OD，从而可求四边形AB′OD 的周长．【详解】解：连接B′C，∵旋转角∠BAB′＝45°，∠BAC＝45°，∴B′在对角线AC上，∵AB＝AB′＝2，在Rt△ABC中，AC22AB BC＝22，∴B′C ＝﹣2，在等腰Rt △OB′C 中，OB′＝B′C ＝﹣2，在直角三角形OB′C 中，OC（﹣2）＝4﹣，∴OD ＝2﹣OC ＝﹣2，∴四边形AB′OD 的周长是：2AD+OB′+OD ＝﹣﹣2＝．故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意连接B′C 构造等腰Rt △OB′C 是解题的关键，注意旋转中的对应关系．6．B【解析】【分析】连接AA′，延长AC′交A′B 于点D ，易证：∆A′BA 是等边三角形，得，易证：∆A′AC′≅∆BAC′，从而得∠A′AC′=∠BAC′，AD ⊥A′B ，A′D=BD=1'2A B，由勾股定理可得：AD ，C′D 的值，进而求出答案.【详解】将△ABC 绕点B 逆时针旋转60°到△''A BC 的位置，连接AA′，延长AC′交A′B 于点D.∵A′B=AB ，∠A′BA=60°，∴∆A′BA 是等边三角形，∵在Rt △ABC 中，90C =∠，2AC BC ==，∴，在∆A′AC′和∆BAC′中， ∵''''''AA AB AC AC A C BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴∆A′AC′≌∆BAC′(SSS)，∴∠A′AC′=∠BAC′， ∴AD ⊥A′B ，A′D=BD=1'2A B =2， ∴2222(22)26AD AB BD =-=-=，2222''222C D C B BD =-=-=，∴C′A=AD -C′D=62-.故选B.【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质和等边三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造等边三角形是解题的关键.7．C【解析】【分析】首先根据旋转的性质得出DB=AB=3，进而得出点D 的坐标，然后将其代入反比例函数，即可得解.【详解】∵//AB y 轴,点()1,3B 以及旋转的性质∴DB=AB=3∴D （-2,3）将其代入反比例函数得32k =- 6k =-故答案为C.【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中利用三角形的旋转性质求坐标与反比例函数的综合应用，熟练掌握，即可解题.8．B【解析】【分析】运用旋转变换的性质得到AD＝AB，进而得到△ABD为等边三角形，求出BD即可解决问题．【详解】解：如图，由题意得：AD＝AB，且∠B＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AB＝2，∴CD＝3.6﹣2.2＝1.4．故选：B．【点睛】该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定等几何知识点及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质是解题的关键．9．D【解析】【详解】解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD=12AC′=12AC，∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，∴∠DAD′=60°，∴∠DAE=30°，∴∠EAC=∠ACD=30°，∴AE=CE．在Rt△ADE中，设AE=EC=x，则有DE=DC﹣EC=AB﹣EC=3﹣x，AD．根据勾股定理得：222(3)(3)x x =-+，解得：x =2， ∴EC =2，则S △AEC =12EC •AD =3． 故选D ．10．D【解析】解：∵Rt △ABC 绕其直角顶点C 按顺时针方向旋转90°后得到Rt △DEC ，∴AC =CD ，∠CDE =∠BAC =25°，∴△ACD 是等腰直角三角形，∴∠CDA =45°，∴∠ADE =∠CDA ﹣∠EDC =45°﹣25°=20°．故选D ．点睛：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．11．A【解析】试题分析：作PH ⊥AB 于H ，如图，∵△PAB 为等腰直角三角形，∴∠A=∠B=45°，AH=BH=AB=1，∴△PAH 和△PBH 都是等腰直角三角形，∴PA=PB=AH=，∠HPB=45°，∵∠CPD 的两边始终与斜边AB 相交，PC 交AB 于点M ，PD 交AB 于点N而∠CPD=45°，∴1≤AN≤2，即1≤x≤2，∵∠2=∠1+∠B=∠1+45°，∠BPM=∠1+∠CPD=∠1+45°，∴∠2=∠BPM ，而∠A=∠B ，∴△ANP ∽△BPM ，∴，即，∴y=，∴y 与x 的函数关系的图象为反比例函数图象，且自变量为1≤x≤2．故选A ．考点：动点问题的函数图象．12． 4- 210【解析】【分析】（1）过E 点作EF ⊥y 轴于点F ，求证AEF ∆≅()DAO AAS ∆，即可的到点E 的横坐标； （2）设点E 坐标，表示出2CE 的解析式，得到CE 的最小值进而得到点E 坐标，再由AEF DAO ∆≅∆得到点D 坐标，进而得到DE 的长.【详解】（1）如下图，过E 点作EF ⊥y 轴于点F∵EF ⊥y 轴，90DAE ∠=︒∴90AEF EAF ∠+∠=︒，90OAD EAF ∠+∠=︒∴AEF DAO ∠=∠∵ADE ∆为等腰直角三角形∴AE DA =在AEF ∆与DAO ∆中AFE DOA AEF DAO AE DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEF ∆≅()DAO AAS ∆∴EF AO =∵()0,4A∴4EF AO ==∴点E 的横坐标等于4-；（2）根据（1）设(4,)E m -∵()0,4A ，(3,0)B -，C 是线段AB 的中点 ∴3(,2)2C -∴2222325(4)(2)(2)24CE m m =-++-=-+ ∴当2m =时，2CE 有最小值，即CE 有最小值∴(4,2)E -∵()0,4A∴2AF =∵AEF ∆≅DAO ∆∴2OD =∴(2,0)D∴DE ==故答案为：4-；【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，点坐标的表示，二次函数的最值问题，两点之间的距离公式等，熟练掌握综合题的解决技巧是解决本题的关键.13．(2,0)44)π+【解析】 【分析】 观察图象可知3三次一个循环，一个循环点M 的运动路径为1203180π+1201180π+1201180π=（2343+）π，由此即可解决问题 【详解】如图作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE=5，B 3E=3，∴B 3（5，3），观察图象可知3三次一个循环，一个循环点M 的运动路径为1203180π+1201180π+1201180π=（2343+）π， ∵2017÷3=672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672•（234+）π+23π=（13463+896）π．14．125°【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB ＝45°，根据旋转的性质得到∠BAB′＝80°，结合图形计算即可．【详解】解：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝45°，由旋转的性质可知，∠BAB′＝80°，∴∠CAB′＝∠CAB+∠BAB′＝125°，故答案为：125°．【点睛】本题考查旋转的性质,关键在于熟练掌握基础性质.15．25cm2【解析】【分析】根据垂直的定义可得∠AEB＝∠AEC＝90°，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得△ADF和△ABE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AEB＝∠F，全等三角形对应边相等可得AE＝AF，然后证明四边形是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形可得四边形AECF是正方形，然后根据正方形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∵AB＝AD，△BEA旋转后能与△DFA重合，∴△ADF≌△ABE，∴∠AEB＝∠F，AE＝AF，∵∠C＝90°，∴∠AEC＝∠C＝∠F＝90°，∴四边形AECF是矩形，又∵AE＝AF，∴矩形AECF是正方形，∵AF＝5cm，∴四边形ABCD的面积＝四边形AECF的面积＝52＝25cm2．故答案为：25cm2．【点睛】本题是对几何知识的综合考查，熟练掌握旋转几何知识是解决本题的关键.166【解析】【分析】由旋转的性质可得△BPQ 是等边三角形，由全等三角形的判定可得△ABQ ≌△CBP(SAS)，由勾股定理的逆定理可得△APQ 是直角三角形，求四边形的面积转化为求两个特殊三角形的面积即可．【详解】解：连接PQ ，由旋转的性质可得，BP=BQ ，又∵∠PBQ=60°，∴△BPQ 是等边三角形，∴PQ=BP ，在等边三角形ABC 中，∠CBA=60°，AB=BC ，∴∠ABQ=60°-∠ABP∠CBP=60°-∠ABP∴∠ABQ=∠CBP在△ABQ 与△CBP 中BQ BP ABQ CBP AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABQ ≌△CBP(SAS)，∴AQ=PC ，又∵PA=4，PB=5，PC=3，∴PQ=BP=5，PC=AQ=3，在△APQ 中，因为2229,16,25AQ AP PQ ===，25=16+9，∴由勾股定理的逆定理可知△APQ 是直角三角形，∴2315346424BPQ APQ APBQ S S S =+=+⨯⨯=+四边形， 故答案为：64+【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定、勾股定理的逆定理及特殊三角形的面积，解题的关键是作出辅助线，转化为特殊三角形进行求解．17．8﹣π【解析】分析：如下图，过点D作DH⊥AE于点H，由此可得∠DHE=∠AOB=90°，由旋转的性质易得DE=EF=AB，OE=BO=2，OF=AO=3，∠DEF=∠FEO+∠DEH=90°，∠ABO=∠FEO，结合∠ABO+∠BAO=90°可得∠BAO=∠DEH，从而可证得△DEH≌△BAO，即可得到DH=BO=2，再由勾股定理求得AB的长，即可由S阴影=S扇形AOF+S△OEF+S△ADE-S扇形DEF即可求得阴影部分的面积.详解：如下图，过点D作DH⊥AE于点H，∴∠DHE=∠AOB=90°，∵OA=3，OB=2，∴223213+=由旋转的性质结合已知条件易得：13，OE=BO=2，OF=AO=3，∠DEF=∠FEO+∠DEH=90°，∠ABO=∠FEO，又∵∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠DEH，∴△DEH≌△BAO，∴DH=BO=2，∴S阴影=S扇形AOF+S△OEF+S△ADE-S扇形DEF=22 9031190(13)325236022ππ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=8π-.故答案为：8π-.点睛：作出如图所示的辅助线，利用旋转的性质证得△DEH≌△BAO，由此得到DH=BO=2，从而将阴影部分的面积转化为：S阴影=S扇形AOF+S△OEF+S△ADE-S扇形DEF来计算是解答本题的关键.18．10102cmπ【解析】【分析】根据题意，画出图形，求出每次滚动点O的运动路程乘滚动次数即可求出结论．【详解】解：如下图所示，∵正方形ABCD的边长为2cm∴AB=AD，BO=12 BD∴2222AB AD+=∴2cm∵每一次滚动的角度都等于90°∴每一次滚动，点O的运动轨迹为以90°2cm的弧长∴O点经过的路程为9022020180π⨯=2cmπ故答案为：cm ．【点睛】此题考查的是求一个点在运动过程中经过的路程，掌握正方形的性质和弧长公式是解决此题的关键．19．512【解析】【分析】设AC ＝3x ，AB ＝5x ，可求BC ＝4x ，由旋转的性质可得CB 1＝BC ＝4x ，A 1B 1＝5x ，∠ACB＝∠A 1CB 1，由题意可证△CEB 1∽△DEB ，可得11 1.53=2.55BD BE DE x B C B E CE x ===，即可表示出BD,DE ，再得到A 1D 的长，故可求解．【详解】∵∠ACB ＝90°，sin B ＝35AC AB =， ∴设AC ＝3x ，AB ＝5x ，∴BC4x ，∵将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，得到△A 1B 1C ，∴CB 1＝BC ＝4x ，A 1B 1＝5x ，∠ACB ＝∠A 1CB 1，∵点E 是A 1B 1的中点，∴CE ＝12A 1B 1＝2.5x ＝B 1E=A 1E ， ∴BE ＝BC−CE ＝1.5x ，∵∠B ＝∠B 1，∠CEB 1＝∠BED∴△CEB 1∽△DEB ∴11 1.53=2.55BD BE DE x B C B E CE x === ∴BD=125x ，DE=1.5x, ∴A 1D= A 1E- DE=x, 则1:A D DB =x:125x =512故答案为：512. 【点睛】 本题考查了旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，证△CEB 1∽△DEB 是本题的关键．20．12【解析】主视图为长方形，主视图（正视图）的周长是(24)212+⨯= ．21．（1）BM DN ''=，BM DN ''⊥；（2）BM DN ''=成立，BM DN ''⊥不成立，BM '与DN '相交，且夹角为60︒.理由见解析；（3）2BM DN ''=，BM DN ''⊥.【解析】【分析】（1）根据SAS 证明△ABM’≌△AND’，进而得到BM DN ''=，∠ABM’=∠ADN’，再利用三角形内角和可推出∠BOD=90°，即BM DN ''⊥；（2）根据旋转和菱形的性质证明ABM ADN ''∆∆≌，再推出60BOD BAD ∠=∠=︒，故可求解；（3）根据旋转和矩形的性质证明ABM ADN ''∆∆，得到2BM DN ''=，再推出90BOD BAD ∠=∠=︒即可求解．【详解】（1）如图设AB ，DN '交于点H ，，∵四边形ABCD ，AMPN 都是正方形，把正方形AMPN 以A 为中心顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N'，∴AB=AD,AM’=AD’, 150BAM DAN ''∠=∠=︒∴△ABM’≌△AND’，∴BM DN ''=，∠ABM’=∠ADN’，∵∠ADN’+∠DHA+∠DAH=180°，∠ABM’+∠BHO+∠BOD=180°，又∠DHA=∠BHO∴90BOD BAD ∠=∠=︒，即BM DN ''⊥故答案为：BM DN ''=，BM DN ''⊥；（2）BM DN ''=成立，BM DN ''⊥不成立，BM '与DN '相交，且夹角为60︒. 理由：设AB ，DN '交于点E ，由旋转的性质可得150BAM DAN ''∠=∠=︒.∵四边形ABCD ，AM P N '''都是菱形，∴AB AD =，AM AN ''=，∴ABM ADN ''∆∆≌，∴BM DN ''=，ABM ADN ''∠=∠.又∵BEO DEA ∠=∠，∴60BOD BAD ∠=∠=︒；故BM '与DN '相交，且夹角为60︒；（3）2BM DN ''=，BM DN ''⊥，理由如下：设AB ，DN '交于点E ，由旋转的性质可得BAM DAN α''∠=∠=.∵四边形ABCD 和AMPN 是长和宽之比为2:1的矩形∴2AB AD =，2AM AN ''=，∴'2'AB AM AD AN == ∴ABM ADN ''∆∆， ∴2BM DN ''=，ABM ADN ''∠=∠.又∵BEO DEA ∠=∠，∴90BOD BAD ∠=∠=︒∴2BM DN ''=，BM DN ''⊥．【点睛】此题主要考查正方形、矩形、菱形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，运用了类比的思想方法，体现了逻辑推理的核心素养．22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）()2222EF BE DF=+【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可知AF=AG ，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG ≌△AEF ；（2）将△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG ，连结GM ．由（1）知△AEG ≌△AEF ，则EG=EF ．再由△BME 、△DNF 、△CEF 均为等腰直角三角形，得出CE=CF ，BE=BM ，2DF ，然后证明∠GME=90°，MG=NF ，利用勾股定理得出EG 2=ME 2+MG 2，等量代换即可证明EF 2=ME 2+NF 2；（3）延长EF 交AB 延长线于M 点，交AD 延长线于N 点，将△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△AGH ，连结HM ，HE ．由（1）知△AEH ≌△AEF ，结合勾股定理以及相等线段可得（GH+BE ）2+（BE-GH ）2=EF 2，所以2（DF 2+BE 2）=EF 2．【详解】解：（1）证明：ADF∆绕着点A顺时针旋转90︒，得到ABG∆，AF AG∴=，90FAG∠=︒，45EAF∠=︒，45GAE∴∠=︒，在AGE∆与AFE∆中，AG AFGAE FAEAE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AGE AFE SAS∴∆≅∆；（2）证明：设正方形ABCD的边长为a．将ADF∆绕着点A顺时针旋转90︒，得到ABG∆，连结GM．则ADF ABG∆≅∆，DF BG=．由（1）知AEG AEF∆≅∆，EG EF∴=．45CEF∠=︒，BME∴∆、DNF∆、CEF∆均为等腰直角三角形，CE CF∴=，BE BM=，2NF DF，a BE a DF∴-=-，BE DF∴=，BE BM DF BG∴===，45BMG∴∠=︒，454590GME∴∠=︒+︒=︒，222EG ME MG∴=+，EG EF=，22MG BM DF NF==，222EF ME NF ∴=+；（3）解：22222EF BE DF =+．如图所示，延长EF 交AB 延长线于M 点，交AD 延长线于N 点，将ADF ∆绕着点A 顺时针旋转90︒，得到AGH ∆，连结HM ，HE ．由（1）知AEH AEF ∆≅∆，则由勾股定理有222()GH BE BG EH ++=，即222()()GH BE BM GM EH ++-=，又EF HE ∴=，DF GH GM ==，BE BM =，∴有222()()GH BE BE GH EF ++-=，∴()()222DF BE BE DF EF ++-=，即2222()DF BE EF +=.【点睛】本题是四边形综合题，其中涉及到正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理．准确作出辅助线利用数形结合及类比思想是解题的关键．23．（1）证明见解析（22-1【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，从而得出BE=CF；（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以，于是利用BD=BE﹣DE求解．【详解】（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，在△ACF和△ABE中，AC ABCAF BAEAF AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACF≌△ABE∴BE=CF.（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴，∴BD=BE﹣1．考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质．24．（1）见解析；（2）见解析；（3）6【解析】（1）以点O为圆心，以OE为半径画弧，与y轴正半轴相交于点N，以OD为半径画弧，与x轴负半轴相交于点M，连接MN即可；（2）以M为圆心，以AC长为半径画弧与x轴负半轴相交于点A'，B'与N重合，C'与M重合，然后顺次连接即可；（3）设OE=x，则ON=x，作MF⊥A'B'于点F，判断出B'C'平分∠A'B'O，再根据全等三角形的性质可得B'F=B'O=OE=x，FC'=OC'=OD=3，利用勾股定理列式求出A'F，然后表示出A'B'、A'O．在Rt△A'B'O中，利用勾股定理列出方程求解即可．【详解】（1）△OMN如图所示；（2）△A'B'C'如图所示；（3）设OE=x，则ON=x，作MF⊥A'B'于点F，由作图可知：B'C'平分∠A'B'O，且C'O⊥OB'，∴∠B'FM=∠MON=90°，∠FB'M=∠OB'M．∵B'M=B'M，∴△FB'M≌△OB'M，∴B'F=B'O=OE=x，FC'=OC'=OD=3．∵A'C'=AC=5，∴A'F22=-=4，53∴A'B'=x+4，A'O=5+3=8，在Rt△A'B'O中，x2+82=(4+x)2，解得：x=6，即OE=6．本题考查了利用旋转变换作图，平移变换作图，勾股定理，熟练掌握旋转变换与平移变换的性质是解答本题的关键．25．（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出对应角之间的关系进而得出答案；（2）由旋转的性质可知：∠E′AC ＝∠F′AB ，AE′＝AF′，根据全等三角形证明方法得出即可；【详解】（1）证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠C ＝72°，又∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ＝36°，∴∠BEC ＝180°﹣∠C ﹣∠CBE ＝72°，∴∠ABE ＝∠A ，∠BEC ＝∠C ，∴AE ＝BE ，BE ＝BC ，∴AE ＝BC ．（2）证明：∵AC ＝AB 且EF ∥BC ，∴AE ＝AF ；由旋转的性质可知：E AC F AB ''∠∠＝，AE AF ''=，∵在△CAE ′和△BAF ′中AC AB E AC F AB AE AF ''=⎧⎪∠=''∠⎨⎪=⎩，∴△CAE ′≌△BAF ′（SAS ），∴CE ′＝BF ′．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质等知识，根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键．26．（1）证明见解析；（2）△AOD是直角三角形，理由见解析；（3）125°．【解析】【分析】（1）根据图形旋转的性质，得OC=DC，∠OCD=60°，进而即可得到结论；（2）由等边三角形的性质得∠ODC=60°，结合∠ADC=∠BOC=β=150°，即可得到结论；（3）由题意得∠AOD=β-60°，结合周角的定义，列出关于β的方程，即可求解．【详解】（1）∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，∴ OC=DC，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形；（2）△AOD是直角三角形，理由如下：∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∵∠ADC=∠BOC=β=150°，∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=150°-60°=90°，∴△AOD是直角三角形；（3）∵△AOD是以OD为底边的等腰三角形，∴∠ADO=∠AOD=∠ADC-60°=β-60°，∵110°+β+（60°+∠AOD）=360°，∴110°+β+（60°+β-60°）=360°，∴β=125°，∴当β=125°时，△AOD 是以OD 为底边的等腰三角形．【点睛】本题主要考查旋转的性质，直角三角形的判定，等腰三角形的性质以及等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形和等腰三角形的性质定理，是解题的关键．27．（1）是；（2）是，理由详见解析；（3）49【解析】【分析】（1）根据题意，利用等腰三角形和三角形中位线定理得出PM PN =，∠MPN=90°判定即可；（2）由旋转和三角形中位线的性质得出PM PN =，再由中位线定理进行等角转换，得出∠MPN=90°，即可判定；（3）由题意，得出BD 最大时，PM 与PN 的积最大，点D 在BA 的延长线上，再由（1）（2）结论，12PM PN BD ==得出PM 与PN 的积的最大值. 【详解】（1）是；∵AB AC =，AD AE =∴DB=EC ，∠ADE=∠AED=∠B=∠ACB∴DE ∥BC∴∠EDC=∠DCB∵点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点∴PM ∥EC ，PN ∥BD ，11,22PM EC PN BD == ∴PM PN =，∠DPM=∠DCE ，∠PNC=∠DBC∵∠DPN=∠PNC+∠DCB∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠ACD+∠DCB+∠B=180°-90°=90°∴线段PM 与PN 是“等垂线段”；（2）由旋转知BAD CAE ∠=∠∵AB AC =，AD AE =∴ABD ∆≌ACE ∆（SAS ）∴ABD ACE ∠=∠，BD CE =利用三角形的中位线得12PN BD =，12PM CE =， ∴PM PN =由中位线定理可得//PM CE ，//PN BD∴DPM DCE ∠=∠，PNC DBC ∠=∠∵DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠∴MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠+∠ BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠∵90BAC ∠=∴90ACB ABC ∠+∠=∴90MPN ∠=∴PM 与PN 为“等垂线段”；（3）PM 与PN 的积的最大值为49；由（1）（2）知，12PM PN BD == ∴BD 最大时，PM 与PN 的积最大∴点D 在BA 的延长线上，如图所示：∴14BD AB AD =+=∴7PM =∴249PM PN PM •==.【点睛】。

旋转一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，所给的图案由△ABC绕点O顺时针旋转（）前后的图形组成的．A．45°、90°、135°B．90°、135°、180°C．45°、90°、135°、180°、225° D．45°、180°、225°3．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．1﹣D．1﹣4．如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）A．2：3：4 B．3：4：5C．4：5：6 D．以上结果都不对5．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．菱形B．等腰梯形C．等边三角形D．等腰直角三角形6．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣3，2）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是．8．如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，△ABC按逆时针方向旋转一个角度后，成为△ACD，则旋转中心是点、旋转角是．9．如图，设P是等边三角形ABC内任意一点，△ACP′是由△ABP旋转得到的，则PA PB+PC（选填“＞”、“=”、“＜”）10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF=EF，则∠EAF=度．11．如图，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，则旋转角为度，图中除△ABC外，还有等边三形是△．12．如图，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，以P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到△DEF，图中通过旋转得到的三角形还有．三、解答题13．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．14．如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．15．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．（1）请直接写出AF的长；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．旋转参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的只有A．故选A．【点评】掌握好中心对称与轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象沿对称轴折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．2．如图，所给的图案由△ABC绕点O顺时针旋转（）前后的图形组成的．A．45°、90°、135°B．90°、135°、180°C．45°、90°、135°、180°、225° D．45°、180°、225°【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】根据旋转的性质，把旋转后的图形看作为正八边形，依次得到旋转的角度．【解答】解：把△ABC绕点O顺时针旋转45°，得到△HEF；顺时针旋转180°，得到△ADC；顺时针旋转225°，得到△HGF；故选D．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．3．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．1﹣D．1﹣【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE=∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积﹣四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，在Rt△AB′E和Rt△ADE中，，∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），∴∠DAE=∠B′AE，∵旋转角为30°，∴∠DAB′=60°，∴∠DAE=×60°=30°，∴DE=1×=，∴阴影部分的面积=1×1﹣2×（×1×）=1﹣．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE，从而求出∠DAE=30°是解题的关键，也是本题的难点．4．如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）A．2：3：4 B．3：4：5C．4：5：6 D．以上结果都不对【考点】旋转的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质．【专题】计算题．【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，则AP′=AP，∠P′AP=60°，得到△AP′P是等边三角形，PP′=AP，所以△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC；再由∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，得到∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，这样可分别求出∠PP′C=∠AP′C﹣∠AP′P=∠APB ﹣∠AP′P=100°﹣60°=40°，∠P′PC=∠APC﹣∠APP′=140°﹣60°=80°，∠PCP′=180°﹣（40°+80°）=60°，即可得到答案．【解答】解：如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，∵AP′=AP，∠P′AP=60°，∴△AP′P是等边三角形，∴PP′=AP，∵P′C=PB，∴△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC，∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，∴∠PP′C=∠AP′C﹣∠AP′P=∠APB﹣∠AP′P=100°﹣60°=40°，∠P′PC=∠APC﹣∠APP′=140°﹣60°=80°，∠PCP′=180°﹣（40°+80°）=60°，∴∠PP′C：∠PCP′：∠P′PC=2：3：4．故选A．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质．5．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．菱形B．等腰梯形C．等边三角形D．等腰直角三角形【考点】中心对称图形．【分析】旋转180°后与原图重合的图形是中心对称图形．【解答】解：菱形，等腰梯形，等边三角形，等腰直角三角形都是轴对称图形；菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选A．【点评】运用轴对称和中心对称图形概念，找出符合条件的图形．【链接】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．6．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣3，2）【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）”解答．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3）．故选B．【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是（﹣1，）．【考点】坐标与图形变化﹣旋转．【专题】压轴题．【分析】已知将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，则OP1=1，P1点的坐标是（．则P2的坐标是；再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3与P2关于y轴对称，因而点P3的坐标就很容易求出．【解答】解：∵点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，∴P1点的坐标是（，∴P2的坐标是，又∵点P3与P2关于y轴对称，∴点P3的坐标是（﹣1，）．【点评】解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．8．如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，△ABC按逆时针方向旋转一个角度后，成为△ACD，则旋转中心是点A、旋转角是∠CAD，是90°．【考点】旋转的性质．【分析】确定图形的旋转时首先要确定旋转前后的对应点，即可确定旋转中心．【解答】解：旋转中心是点A、旋转角是∠CAD，是90°．【点评】本题主要考查了旋转的定义，正确确定旋转中的对应点，是确定旋转中心，旋转角的前提．9．如图，设P是等边三角形ABC内任意一点，△ACP′是由△ABP旋转得到的，则PA＜PB+PC（选填“＞”、“=”、“＜”）【考点】旋转的性质；三角形三边关系；等边三角形的判定．【分析】此题只需根据三角形的任意两边之和大于第三边和等边三角形的性质，进行分析即可．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：BC＜PB+PC．又AB=BC＞PA，∴PA＜PB+PC．【点评】本题结合旋转主要考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF=EF，则∠EAF=45度．【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】根据BE+DF=EF，则延长FD到G，使DG=BE，则FG=EF，可以认为是把△ABE 绕点A逆时针旋转90度，得到△ADG，根据旋转的定义即可求解．【解答】解：如图：延长FD到G，使DG=BE，则FG=EF，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG又∴AF=AF，GF=EF∴△AGF≌△AEF∴∠EAF=∠GAF=×90°=45°．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．11．如图，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，则旋转角为60度，图中除△ABC外，还有等边三形是△AOD．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定．【分析】根据旋转的性质及全等三角形的性质作答．【解答】解：∵将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，∴△AOB≌△ADC，∴OA=AD，∠BAO=∠DAC，∴∠BAO+∠OAC=∠DAC+∠OAC=∠BAC=60°，即∠OAD=60°，所以旋转角为60°．∵OA=AD，∠OAD=60°，∴△AOD为等边三角形．【点评】此题主要考查了图形旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．12．如图，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，以P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到△DEF，图中通过旋转得到的三角形还有△EPQ．【考点】旋转的性质．【分析】旋转中心是P，旋转方向为逆时针，旋转角是90度，已确定，再通过观察发现全等三角形，判断是否符合本题的旋转规律．【解答】解：根据旋转的性质可知，旋转中心是P，旋转角是90度，图中通过旋转得到的三角形还有△EPQ．【点评】本题考查旋转两相等的性质，即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．三、解答题13．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME=MN．（2）DN﹣BM=MN．证明方法与（1）类似．【解答】解：（1）BM+DN=MN成立．证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．∴∠EAM=90°﹣∠NAM=90°﹣45°=45°，又∵∠NAM=45°，∴在△AEM与△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，∵ME=BE+BM=DN+BM，∴DN+BM=MN；（2）DN﹣BM=MN．在线段DN上截取DQ=BM，在△ADQ与△ABM中，∵，∴△ADQ≌△ABM（SAS），∴∠DAQ=∠BAM，∴∠QAN=∠MAN．在△AMN和△AQN中，∴△AMN≌△AQN（SAS），∴MN=QN，∴DN﹣BM=MN．【点评】本题考查了旋转的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．14．如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】简单的求正方形内一个角的大小，首先从△APQ的周长入手求出PQ=DQ+BP，然后将△CDQ逆时针旋转90°，使得CD、CB重合，然后利用全等来解．【解答】解：如图所示，△APQ的周长为2，即AP+AQ+PQ=2①，正方形ABCD的边长是1，即AQ+QD=1，AP+PB=1，∴AP+AQ+QD+PB=2②，①﹣②得，PQ﹣QD﹣PB=0，∴PQ=PB+QD．延长AB至M，使BM=DQ．连接CM，△CBM≌△CDQ（SAS），∴∠BCM=∠DCQ，CM=CQ，∵∠DCQ+∠QCB=90°，∴∠BCM+∠QCB=90°，即∠QCM=90°，PM=PB+BM=PB+DQ=PQ．在△CPQ与△CPM中，CP=CP，PQ=PM，CQ=CM，∴△CPQ≌△CPM（SSS），∴∠PCQ=∠PCM=∠QCM=45°．【点评】熟练掌握正方形的性质，会运用正方形的性质进行一些简单的运算．15．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．（1）请直接写出AF的长；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．【考点】锐角三角函数的定义；旋转的性质．【专题】操作型．【分析】（1）根据旋转的性质可知△AFM≌△ADB，则AF=AD=BD•cos∠ADB=8×=4cm；（2）当△AFK为等腰三角形时，由于AM＜AF，那么A不能是等腰△AFK的顶点，则分两种情况：①K为顶点，即AK=FK时；②F为顶点，即AF=FK．针对每一种情况，利用三角形的面积公式，可分别求出△AFK的面积．【解答】解：（1）AF=；（2）△AFK为等腰三角形时，分两种情况：①当AK=FK时，如图．过点K作KN⊥AF于N，则KN⊥AF，AN=NF=AF=2cm．在直角△NFK中，∠KNF=90°，∠F=30°，∴KN=NF•tan∠F=2cm．∴△AFK的面积=×AF×KN=；②当AF=FK时，如图．过点K作KP⊥AF于P．在直角△PFK中，∠KPF=90°，∠F=30°，∴KP=KF=2cm．∴△AFK的面积=×AF×KP=12cm2．【点评】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．注意（2）中需分情况讨论△AFK为等腰三角形时的不同分类，不要漏解．。

2020年中考数学试题《旋转》试题精编含答案1．（2020•桂林）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；（3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（，）中心对称．2．如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）点F到直线CA的距离是；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．3．（2020•武汉）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD；（2）在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°（保留画图过程的痕迹）；（3）连接AC，画点E关于直线AC的对称点F，并简要说明画法．4．（2020•江西）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A'B'C'；（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB'C'．5．（2020•金昌）如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°．把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE．（1）求证：△AEM≌△ANM．（2）若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长．6．（2020•绥化）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．（1）作点A关于点O的对称点A1；（2）连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得点B对应点B1，画出旋转后的线段A1B1；（3）连接AB1，求出四边形ABA1B1的面积．7．（2020•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB，线段MN在网格线上．（1）画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1（点A1，B1分别为A，B的对应点）；（2）将线段B1A1绕点B1顺时针旋转90°得到线段B1A2，画出线段B1A2．8．（2020•宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）9．（2019•日照）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC 上，AG＝CH，直线GH绕点O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．10．（2019•宁夏）已知：在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（5，4），B（0，3），C（2，1）．（1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）画出将A1B1C1绕点C1按顺时针旋转90°所得的△A2B2C1．11．（2019•福建）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．12．（2019•淮安）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．（1）将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A1，点B的对应点为点B1，请画出平移后的线段A1B1；（2）将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°，点B1的对应点为点B2，请画出旋转后的线段A1B2；（3）连接AB2、BB2，求△ABB2的面积．13．（2019•苏州）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．14．（2019•广安）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）15．（2019•宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）16．（2019•潍坊）如图1，菱形ABCD的顶点A，D在直线上，∠BAD＝60°，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB′C′D′，B′C′交对角线AC于点M，C′D′交直线l于点N，连接MN．（1）当MN∥B′D′时，求α的大小．（2）如图2，对角线B′D′交AC于点H，交直线l与点G，延长C′B′交AB于点E，连接EH．当△HEB′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．17．（2018•南宁）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）18．（2018•吉林）如图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D．（1）请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；（2）所画图形是对称图形；（3）求所画图形的周长（结果保留π）．19．（2018•临沂）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD＝CD；（2）当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．20．（2018•温州）如图，P，Q是方格纸中的两格点，请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形．（1）画出一个面积最小的▱P AQB．（2）画出一个四边形PCQD，使其是轴对称图形而不是中心对称图形，且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到．21．（2018•枣庄）如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；（3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．22．（2018•眉山）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；（3）已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为（﹣4，﹣2），请直接写出直线l的函数解析式．23．（2018•南充）如图，矩形ABCD中，AC＝2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C′上取点F，使B'F ＝AB．（1）求证：AE＝C′E．（2）求∠FBB'的度数．（3）已知AB＝2，求BF的长．24．（2017•阜新）如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣1，5），B （﹣4，2），C（﹣2，2）．（1）平移△ABC，使点B移动到点B1（1，1），画出平移后的△A1B1C1，并写出点A1，C1的坐标．（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2．（3）线段AA1的长度为．25．（2017•巴中）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图的平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：（1）将△ABC向下平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；（2）若点M是△ABC内一点，其坐标为（a，b），点M在△A1B1C1内的对应点为M1，则点M1的坐标为；（3）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．26．（2017•长春）如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，点E是菱形ABCD内一点，连结CE绕点C顺时针旋转110°，得到线段CF，连结BE，DF，若∠E＝86°，求∠F的度数．27．（2017•仙桃）如图，下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影．（1）在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形；（2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形．28．（2017•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，2）请解答下列问题：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标．（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出A2的坐标．（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并写出A3的坐标．29．（2017•宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（1，1），C（5，1）．（1）把△ABC平移后，其中点A移到点A1（4，5），画出平移后得到的△A1B1C1；（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2．30．（2017•徐州）如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝3，将线段AC绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．（1）线段DC＝；（2）求线段DB的长度．31．（2017•宁波）在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形（画出一个即可）；（2）将图2中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形．32．（2017•广安）在4×4的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图中画出你的4种方案．（每个4×4的方格内限画一种）要求：（1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点视为相连）（2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（若两个方案的图形经过翻折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案）33．（2017•金华）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣4，﹣1），C（﹣4，﹣4）．（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；（2）作出点A关于x轴的对称点A′，若把点A′向右平移a个单位长度后落在△A1B1C1的内部（不包括顶点和边界），求a的取值范围．34．（2016•毕节市）如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．35．（2016•黑龙江）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，1），C（﹣2，1）．（1）请画出△ABC向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1．（2）请画出△A1B1C1关于原点对称的△A2B2C2．（3）求四边形ABA2B2的面积．36．（2016•莱芜）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，D为△ABC内一点，连接AD，将线段AD绕点A旋转至AE，使得∠DAE＝∠BAC，F，G，H分别为BC，CD，DE的中点，连接BD，CE，GF，GH．（1）求证：GH＝GF；（2）试说明∠FGH与∠BAC互补．37．（2016•钦州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，﹣1），B（﹣3，3），C（﹣4，1）（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；（2）画出△ABC绕点A按逆时针旋转90°后的△AB2C2，并写出点C的对应点C2的坐标．38．（2016•日照）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF2＝BE2+DF2．39．（2016•黔南州）如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）：①把△ABC沿BA方向平移，请在网格中画出当点A移动到点A1时的△A1B1C1；②把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°后得到△A2B2C2，如果网格中小正方形的边长为1，求点B1旋转到B2的路径长．40．（2016•丹东）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．1．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；（3）由图可得，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（﹣2，0）中心对称．故答案为：﹣2，0．2．【解答】解：（1）如图1中，作FD⊥AC于D，∵Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．∴∠ACB＝60°，∠FCE＝∠BAC＝30°，AC＝CF，∴∠ACF＝30°，∴∠BAC＝∠FCD，在△ABC和△CDF中，，∴△ABC≌△CDF（AAS），∴FD＝BC＝1，法二：∵∠ECF＝∠FCD＝30°，FD⊥CD，FE⊥CE，∴DF＝EF，∵EF＝BC＝1，∴DF＝1．故答案为1；（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF﹣S扇形ECH＝﹣＝．故答案为．（3）如图2中，过点E作EH⊥CF于H．设OB＝OE＝x．在Rt△ECF中，∵EF＝1，∠ECF＝30°，EH⊥CF，∴EC＝EF＝，EH＝，CH＝EH＝，在Rt△BOC中，OC＝＝，∴OH＝CH﹣OC＝﹣，在Rt△EOH中，则有x2＝（）2+（﹣）2，解得x＝或﹣（不合题意舍弃），∴OC＝＝，∵CF＝2EF＝2，∴OF＝CF﹣OC＝2﹣＝．3．【解答】解：（1）如图所示：线段CD即为所求；（2）如图所示：∠BCE即为所求；（3）连接（5，0），（0，5），可得与OA的交点F，点F即为所求，如图所示：4．【解答】解：（1）如图1中，△A'B'C'即为所求．（2）如图2中，△AB'C'即为所求．5．【解答】（1）证明：由旋转的性质得，△ADN≌△ABE，∴∠DAN＝∠BAE，AE＝AN，∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠MAE＝∠BAE+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠MAE＝∠MAN，∵MA＝MA，∴△AEM≌△ANM（SAS）．（2）解：设CD＝BC＝x，则CM＝x﹣3，CN＝x﹣2，∵△AEM≌△ANM，∴EM＝MN，∵BE＝DN，∴MN＝BM+DN＝5，∵∠C＝90°，∴MN2＝CM2+CN2，∴25＝（x﹣2）2+（x﹣3）2，解得，x＝6或﹣1（舍弃），∴正方形ABCD的边长为6．6．【解答】解：（1）如图所示，点A1即为所求；（2）如图所示，线段A1B1即为所求；（3）如图，连接BB1，过点A作AE⊥BB1，过点A1作A1F⊥BB1，则四边形ABA1B1的面积＝+＝×8×2+×8×4＝24．7．【解答】解：（1）如图线段A1B1即为所求．（2）如图，线段B1A2即为所求．8．【解答】解：（1）轴对称图形如图1所示．（2）中心对称图形如图2所示．9．【解答】证明：（1）∵对角线AC的中点为O∴AO＝CO，且AG＝CH∴GO＝HO∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC，CD＝AB，CD∥AB∴∠DCA＝∠CAB，且CO＝AO，∠FOC＝∠EOA∴△COF≌△AOE（ASA）∴FO＝EO，且GO＝HO∴四边形EHFG是平行四边形；（2）如图，连接CE∵∠α＝90°，∴EF⊥AC，且AO＝CO∴EF是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2，∴AE2＝（9﹣AE）2+9，∴AE＝510．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，其中点C1的坐标为（﹣2，﹣1）．（2）如图所示，△A2B2C1即为所求．11．【解答】（1）解：如图1，∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC 上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°；（2）证明：如图2，∵点F是边AC中点，∴BF＝AC，∵∠ACB＝30°，∴AB＝AC，∴BF＝AB，∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，∴DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，∴BE＝CB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△CFD≌△ABC，∴DF＝BC，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．12．【解答】解：（1）线段A1B1如图所示；（2）线段A1B2如图所示；（3）S＝4×4﹣×2×2﹣×2×4﹣×2×4＝6．13．【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF．∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，∴AC＝AF．在△ABC与△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴EF＝BC；（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，∴∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，∴∠F AG＝∠BAE＝50°．∵△ABC≌△AEF，∴∠F＝∠C＝28°，∴∠FGC＝∠F AG+∠F＝50°+28°＝78°．14．【解答】解：如图所示15．【解答】解：（1）如图1所示：6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形；（2）如图2所示：6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．16．【解答】解：（1）∵四边形AB′C′D′是菱形，∴AB′＝B′C′＝C′D′＝AD′，∵∠B′AD′＝∠B′C′D′＝60°，∴△AB′D′，△B′C′D′是等边三角形，∵MN∥B′D′，∴∠C′MN＝∠C′B′D′＝60°，∠CNM＝∠C′D′B′＝60°，∴△C′MN是等边三角形，∴C′M＝C′N，∴MB′＝ND′，∵∠AB′M＝∠AD′N＝120°，AB′＝AD′，∴△AB′M≌△AD′N（SAS），∴∠B′AM＝∠D′AN，∵∠CAD＝∠BAD＝30°，∠DAD′＝15°，∴α＝15°．（2）∵∠C′B′D′＝60°，∴∠EB′G＝120°，∵∠EAG＝60°，∴∠EAG+∠EB′G＝180°，∴四边形EAGB′四点共圆，∴∠AEB′＝∠AGD′，∵∠EAB′＝∠GAD′，AB′＝AD′，∴△AEB′≌△AGD′（AAS），∴EB′＝GD′，AE＝AG，∵AH＝AH，∠HAE＝∠HAG，∴△AHE≌△AHG（SAS），∴EH＝GH，∵△EHB′的周长为2，∴EH+EB′+HB′＝B′H+HG+GD′＝B′D′＝2，∴AB′＝AB＝2，∴菱形ABCD的周长为8．17．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求：（2）如图所示，△A2B2C2即为所求：（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB＝OA1＝，A1B＝，即，所以三角形的形状为等腰直角三角形．18．【解答】解：（1）点D→D1→D2→D经过的路径如图所示：（2）观察图象可知图象是轴对称图形，故答案为轴对称．（3）周长＝4×＝8π．19．【解答】解：（1）由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，∴∠AEB＝∠ABE，又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，∴∠EDA＝∠DEF，又∵DE＝ED，∴△AED≌△FDE（SAS），∴DF＝AE，又∵AE＝AB＝CD，∴CD＝DF；（2）如图，当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，∵GC＝GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形，∴AM＝BH＝AD＝AG，∴GM垂直平分AD，∴GD＝GA＝DA，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝60°；②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝360°﹣60°＝300°．20．【解答】解：（1）如图①所示：（2）如图②所示：21．【解答】解：（1）如图所示，△DCE为所求作（2）如图所示，△ACD为所求作（3）如图所示△ECD为所求作22．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，C1（﹣1，2）；（2）如图，△A2B2C2为所作，C2（﹣3，﹣2）；（3）因为A的坐标为（2，4），A3的坐标为（﹣4，﹣2），所以直线l的函数解析式为y＝﹣x，23．【解答】（1）证明：∵在Rt△ABC中，AC＝2AB，∴∠ACB＝∠AC′B′＝30°，∠BAC＝60°，由旋转可得：AB′＝AB，∠B′AC′＝∠BAC＝60°，∴∠EAC′＝∠AC′B′＝30°，∴AE＝C′E；（2）解：由（1）得到△ABB′为等边三角形，∴∠AB′B＝60°，即∠BB'F＝∠AB'B+∠AB'F＝150°，∵BB'＝B'F，∴∠FBB′＝∠B'FB＝15°；（3）法1：解：由AB＝2，得到B′B＝B′F＝2，∠B′BF＝15°，过B作B′H⊥BF，在Rt△BB′H中，cos15°＝，即BH＝2×＝，则BF＝2BH＝+（cos15°＝cos（45°﹣30°）＝cos45°cos30°+sin45°sin30°＝×+×＝）；法2：连接AF，过A作AM⊥BF，（2）可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B为等边三角形，∴∠AFB′＝45°，∴∠AFM＝30°，∠ABF＝45°，在Rt△AMF中，AM＝BM＝AB•cos∠ABM＝2×＝，在Rt△AMF中，MF＝＝＝，则BF＝+．24．【解答】解：（1）平移后的△A1B1C1如图所示，点A1（4，4）C1（3，1）．（2）△ABC关于原点O对称的△A2B2C2如图所示．（3）AA1＝＝．故答案为．25．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）∵点M是△ABC内一点，其坐标为（a，b），点M在△A1B1C1内的对应点为M1，∴点M1的坐标为：（a，b﹣5）；故答案为：（a，b﹣5）；（3）如图所示：△A2B2C2，即为所求．26．【解答】解：∵菱形ABCD，∴BC＝CD，∠BCD＝∠A＝110°，由旋转的性质知，CE＝CF，∠ECF＝∠BCD＝110°，∴∠BCE＝∠DCF＝110°﹣∠DCE，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF，∴∠F＝∠E＝86°．27．【解答】解：（1）在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形，答案如图所示；（2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形，答案如图所示；28．【解答】解：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图所示，此时A1的坐标为（﹣2，2）；（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，如图所示，此时A2的坐标为（4，0）；（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，如图所示，此时A3的坐标为（﹣4，0）．29．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求．30．【解答】解：（1）∵AC＝AD，∠CAD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴DC＝AC＝4．故答案是：4；（2）作DE⊥BC于点E．∵△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，又∵AC⊥BC，∴∠DCE＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°，∴Rt△CDE中，DE＝DC＝2，CE＝DC•cos30°＝4×＝2，∴BE＝BC﹣CE＝3﹣2＝．∴Rt△BDE中，BD＝＝＝．31．【解答】解：如图所示．32．【解答】解：如图．．33．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）∵点A′坐标为（﹣2，2），∴若要使向右平移后的A′落在△A1B1C1的内部，最少平移4个单位，最多平移6个单位，即4＜a＜6．34．【解答】解：（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB＝AC，∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠DAB，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS）；（2）∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，∴∠DBA＝∠BAC＝45°，由（1）得：AB＝AD，∴∠DBA＝∠BDA＝45°，∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，∴BD2＝2AB2，即BD＝2，∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，∴BF＝BD﹣DF＝2﹣2．35．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1是平移后所得的三角形，（2）如图所示，△A2B2C2是△A1B1C1关于原点对称的三角形；（3）四边形ABA2B2的面积＝4×3＝12．36．【解答】证明：（1）∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∵F，G，H分别为BC，CD，DE的中点，∴HG∥CE，GF∥BD，且GH＝CE，GF＝BD，∴GH＝GF；（2）∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵HG∥CE，GF∥BD，∴∠HGD＝∠ECD，∠GFC＝∠DBC，∴∠HGD＝∠ACD+∠ECA＝∠ACD+∠ABD，∠DGF＝∠GFC+∠GCF＝∠DBC+∠GCF，∴∠FGH＝∠DGF+∠HGD＝∠DBC+∠GCF+∠ACD+∠ABD＝∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∴∠FGH与∠BAC互补．37．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为△ABC关于y轴对称的图形；则B1的坐标是（3，3）；（2）△ABC绕点A按逆时针旋转90°后的△AB2C2是：则点C的对应点C2的坐标是（﹣3，﹣4）．38．【解答】证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠QAE＝45°，∴∠QAE＝∠F AE，在△AQE和△AFE中，∴△AQE≌△AFE（SAS），∴∠AEQ＝∠AEF，∴EA是∠QED的平分线；（2）由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE＝EF，在Rt△QBE中，QB2+BE2＝QE2，又∵QB＝DF，∴EF2＝BE2+DF2．39．【解答】解：①如图所示，△A1B1C1为所求三角形；②画出图形，如图所示，∵A1B1＝＝，∴点B1旋转到B2的路径长l＝＝．40．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△AB2C2即为所求，点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．。

旋转问题（中考高分必备）考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定等。

旋转性质----对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角。

注意旋转过程中三角形与整个图形的特殊位置。

一、直线的旋转1、(2009年浙江省嘉兴市)如图，已知A、B是线段MN上的两点，4=MN，1=MA，1>MB．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点，构成△ABC，设xAB=．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：△ABC的最大面积？2、（2009年河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.(1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．解：（1）①当四边形EDBC是等腰梯形时，∠EDB=∠B=60°，而∠A=30°，根据三角形的外角性质，得α=∠EDB-∠A=30，此时，AD=1；②当四边形EDBC是直角梯形时，∠ODA=90°，而∠A=30°，根据三角形的内角和定理，得α=90°-∠A=60，此时，AD=1.5．（2）当∠α=90°时，四边形EDBC是菱形．∵∠α=∠ACB=90°，∴BC‖ED，∵CE‖AB，∴四边形EDBC是平行四边形．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∴∠A=30度，∴AB=4，AC=2 ，∴AO= = ．在Rt△AOD中，∠A=30°，∴AD=2，∴BD=2，∴BD=BC．（第1题）又∵四边形EDBC 是平行四边形， ∴四边形EDBC 是菱形．3、（2009年北京市）在ABCD Y 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E ,将线段EC 绕点E 逆时针旋转90o 得到线段EF (如图1)（1）在图1中画图探究：①当P 为射线CD 上任意一点（P 1不与C 重合）时，连结EP 1绕点E 逆时针旋转90o 得到线段EC 1.判断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明；②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90o 得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD =6,tanB =43,AE =1,在①的条件下，设CP 1=x ，S 11P FC V =y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. 提示：（1）运用三角形全等，（2）按CP=CE=4将x 取值分为两段分类讨论；发现并利用好EC 、EF 相等且垂直。

2020初中数学中考一轮复习能力达标训练题：平移、旋转、对称2（附答案）1．点A （-3，2）关于x 轴的对称点A ′的坐标为（ ）A ．（-3，-2）B ．（3，2）C ．（3，-2）D ．（2，-3）2．如图，在Rt △ABC 中，AC=6，BC=4，将△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，若点F 是DE 的中点，连接AF ，则AF 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．3．在探究“尺规三等分角”这个数学名题中，利用了如图，该图中，四边形ABCD 是矩形，线段AC 绕点A 逆时针旋转得到线段AF ，CF 、BA 的延长线交于点E ，若∠E =∠F AE ，∠ACB =21°，则∠ECD 的度数是（ ）A ．7°B ．21°C ．23°D ．34°4．通过平移得到的新图形中的每一点与原图形中的对应点的连线( )A ．平行B ．相等C ．共线D ．平行(或共线)且相等5．平移前后两个图形是图形，对应点连线（ ）A ．平行但不相等B ．不平行也不相等C ．平行且相等D ．不相等6．如图，在菱形纸片ABCD 中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F ，G 分别在边AB ，AD 上，则EF 的长为A ．74B ．95C ．1910 D是（ ）A ．将原图形向x 轴的正方向平移了1个单位；B ．将原图形向x 轴的负方向平移了1个单位C ．将原图形向y 轴的正方向平移了1个单位D ．将原图形向y 轴的负方向平移了1个单位8．如图，把一个长方形的纸片按图示对折两次，然后剪下一部分，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为 ( )A ．30°或50°B ．30°或60°C ．40°或50°D ．40°或60° 9．下列各图中，是中心对称图案的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．将一个等边三角形绕着它的中心旋转一个角度后与原来的图形完全重合，那么这个角度至少应为（ ）度．A ．60B ．90C ．120D ．15011．如图所示，把△ABC 沿直线DE 翻折后得到△'A DE ，如果∠A ＝45°，∠'A EC ＝25°，那么∠'A DB 的度数为_______.12．线段CD 是由线段AB 平移得到的，其中点A （﹣1，4）平移到点C （3，﹣2），点B （5，﹣8）平移到点D ，则点D 的坐标是_____．13．已知一个点的坐标是()3,2-，则这个点关于坐标原点对称的点的坐标是________． 14．如图，将一张等腰直角三角形沿中位线剪成一个三角形与一个梯形后，则这两个图形可能拼成的平面四边形是_____．（不许重合、折叠）A向左平移一个单位得到点A'，则点A'的坐标为15．在平面直角坐标系中，把点(2,3)__________．16．（2017四川省广元市）在平面直角坐标系中，将P（﹣3，2）向右平移2个单位，再向下平移2个单位得点P′，则P′的坐标为______．17．如图的组合图案可以看作是由一个正方形和正方形内通过一个“基本图案”半圆进行图形的“运动”变换而组成的，这个半圆的变换方式是________．18．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点M、N在边BC上，且∠MAN=60°．若BM=2，CN=4，则MN的长为_____．19．在26个大写英文字母中，有许多字母是轴对称图形，请你把其中是轴对称图形的字母写出来________________（不少于5个）．20．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的点，BE=1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为_____．21．如图，△ABC，∠C=90°，将△ABC绕点B逆时针旋转90°，点A、C旋转后的对应点为A′、C′．（1）画出旋转后的△A′BC′；（2）若AC=3，BC=4，求C′C的长；（3）求出在△ABC旋转的过程中，点A经过的路径长．（结果保留π）22．如图，E与F分别在正方形ABCD边BC与CD上，∠EAF=45°.（1）以A为旋转中心，将△ABE按顺时针方向旋转90°，画出旋转后得到的图形. （2）已知BE=2cm，DF=3cm，求EF的长.23．如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，已知△ABC，（1）△ABC与△A1B1C1关于原点O对称，写出△A1B1C1各顶点的坐标，画出△A1B1C1；（2）以O为旋转中心将△ABC顺时针旋转90°得△A2B2C2，画出△A2B2C2并写出△A2B2C2各顶点的坐标．24．玩过“俄罗斯方块”游戏吗？（出现的图案可进行顺时针、逆时针旋转；向左、向右平移）.已拼好的图案如图所示.（1）若落下①—④中的一枚方块能将原图形拼成轴对称图形，请在图中画出可能摆放位置（一种即可）.（2）若先后落下①—④中的两枚方块（不重复出现）能将原图形拼成矩形，求形成矩形的概率（要求树状图或者列表）.25．综合与实践问题情境在综合实践课上，老师让同学们“以三角形的旋转”为主题进行数学活动，如图（1），在三角形纸片ABC中，AB=AC，∠B=∠C=α．操作发现（1）创新小组将图（1）中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转角度α，得到△AFG，连接DF，得到图（2），则四边形AFDE的形状是．（2）实践小组将图（1）中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针逆转90°，得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△AFG，连接DF、DG、AE，得到图（3），发现四边形AFDB为正方形，请你证明这个结论．拓展探索（3）请你在实践小组操作的基础上，再写出图（3）中的一个特殊四边形，并证明你的结论．26．在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：(1)分别写出A，B两点的坐标；(2)将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1.27．现有如图1所示的两种瓷砖.请从这两种瓷砖中各选2块,拼成一个新的正方形地板图案,使拼铺的图案成轴对称图形或中心对称图形(如示例图2).(要求:分别在图3、图4中各设计一种与示例图不同的拼法,这两种拼法各不相同,且其中至少有一个既是轴对称图形,又是中心对称图形)，它28．如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，有一个ABC的三个顶点均与小正方形的顶点重合．（1）将△ABC向左平移4个单位长度，得到△DEF（A与D，B与E，C与F对应），请在方格纸中画出△DEF；（2）在（1）的条件下，连接AE和AF，请计算△AEF的面积S.参考答案1．A【解析】【分析】根据关于x轴对称点的性质“横坐标不变，纵坐标互为相反数”，即可得出答案．【详解】解：∵点A（﹣3，2）关于x轴的对称点为A′，∴A′点的坐标为：（﹣3，﹣2）．故选：A．【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．2．C【解析】试题解析：如图所示：过点F作FG⊥AC．∵由旋转的性质可知：CE=BC=4，CD=AC=6，∠ECD=∠BCA=90°．∴AE=AC-CE=2．∵FG⊥AC，CD⊥AC，∴FG∥CD．又∵F是ED的中点，∴G是CE的中点，∴EG=2，FG=12CD=3．∴AG=AE+EG=4．∴．故选C．3．C【解析】【分析】由矩形的性质得出∠BCD=90°，AB∥CD，AD∥BC，证出∠FEA=∠ECD，∠DAC=∠ACB=21°，由三角形的外角性质得出∠ACF=2∠FEA，设∠ECD=x，则∠ACF=2x，∠ACD=3x，由互余两角关系得出方程，解方程即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，AB∥CD，AD∥BC，∴∠FEA=∠ECD，∠DAC=∠ACB=21°，∵∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA，∴∠ACF=2∠FEA，设∠ECD=x，则∠ACF=2x，∴∠ACD=3x，∴3x+21°=90°，解得：x=23°；故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握矩形，三角形的角的相关知识是解决问题的关键．4．D【解析】试题解析：平移，是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移.平移不改变图形的形状和大小. 平移后的图形与原图形上对应点连接的线段平行（或在同一条直线上）且相等.故选D.5．C【解析】试题解析：平移前后两个图形是全等图形，对应点连线平行且相等.故选C.6．A【解析】分析: 连接BE ，BD ，如图,利用菱形的性质得△BDC 为等边三角形,在Rt △BCE 中计算出BE 接着证明BE ⊥AB , 利用折叠的性质得到EF =AF .,设EF =AF =x , FG 垂直平分AE ,所以在Rt △BEF 中利用勾股定理列方程求解即可.详解: 连接BE ，BD ，如图,∵四边形ABCD 为菱形，∠A =60°,∴△BDC 为等边三角形， ∠C =∠A =60°,∴∠CBE =90°-60°=30°.∵E 点为CD 的中点，∴CE =DE =1,BE ⊥CD .在Rt △BCE 中，BC =2CE =2，BE =.∵AB ∥CD ,∴BE ⊥AB .∵菱形纸片翻折,使点A 落在CD 的中点E 处,∴EF =AF .设EF =AF =x ,则BF =2-x ,在Rt △BEF 中, ()2222x x -+=, 解得7x x=. 故选A.点睛:本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，求出BE 的长并能利用Rt △BEF 的三条边列方程是解答本题的关键. 7．B【解析】∵将△ABC的三个顶点的横坐标都加上−1，纵坐标不变，∴所得图形与原图形的位置关系是△ABC向x轴的负方向平移1个单位。

《旋转》过关检测一、选择题(每题3分,共30分)1.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A B C D2.已知点P(a-3b,2)和P'(-5,2a+6b)关于原点对称,则a+b的值为()A.1B.-1C.3D.-33.如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,BC=2,将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED,则BE的长为() A.5 B.4 C.3 D.2第3题图第4题图第5题图4.如图,四边形ABCD是中心对称图形,对称中心为点O,过点O的直线与AD,BC分别交于点E,F,则图中相等的线段有()A.3对B.4对C.5对D.6对5.如图,在平面直角坐标系中,点B,C,E在y轴上,Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE,若点C的坐标为(0,1),AC=2,则这种变换可以是()A.△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移3个单位长度B.△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移1个单位长度C.△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移1个单位长度D.△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移3个单位长度6.如图,点D是等边三角形ABC内一点,DA=13,DB=19,DC=21,将△ABD 绕点A逆时针旋转到△ACE的位置,则△DEC的周长为() A.32 B.34 C.40 D.53第6题图第7题图7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,将△ABC绕点A逆时针方向旋转得△AEF,其中E,F是B,C的对应点,BE,CF相交于点D.若四边形ABDF为菱形,则∠CAE的大小是() A.45° B.60° C.75° D.90°8.如图,在Rt△ABO中,AB⊥OB,OB=,AB=1,把△ABO绕点O旋转150°后得到△A1B1O,则点A1的坐标为()A.(-1,-)B.(-1,-)或(-2,0)C.(-,-1)或(0,-2)D.(-,-1)第8题图第9题图第10题图9.把一对三角纸板如图甲放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AB=6,DC=7,把三角纸板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图乙),此时AB与CD1交于点O,则线段AD1的长为()A.3B.5C.4D.10.如图,在△ABC中,AC=6,∠A=45°,∠B=30°,P是BC边上一点,将PC绕着点P逆时针旋转得到PC',旋转角为α(0°<α<180°),若旋转过程中,点C'始终落在△ABC内部(不包括边界),则PC的取值范围是 ()A.0<PC<4B.4<PC<6C.0<PC<6D.0<PC<4二、填空题(每题3分,共18分)11.已知点P(a+1,-+1)关于原点的对称点在第三象限,则a的取值范围是.12.线段AB在平面直角坐标系中的位置如图所示,将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后得到线段AB',则点B'的坐标为.第12题图第13题图第14题图13.如图,将△ABC绕其中一个顶点顺时针连续旋转n1,n2,n3后所得到的三角形和△ABC的对称关系是.14.如图,正方形OABC绕点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF,连接AF,则∠OFA的度数是.15.如图,已知∠AOB=90°,点A绕点O顺时针旋转后的对应点A1落在射线OB上,点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上,点A 绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上……连接AA1,AA2,AA3,…,依此作法,则∠AA2A3= ,∠AA n= .(用含n的代数式表示,n为正整数)第15题图第16题图16.如图,在Rt△ABC中,∠C=30°,将△ABC绕点B逆时针旋转θ(0°<θ<60°)到△A'BC',边AC和边A'C'相交于点P,边AC和边BC'相交于点Q,当△BPQ为等腰三角形时,θ=.三、解答题(共52分)17.(6分)在如图所示的方格中,每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,△ABC的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点).(1)建立平面直角坐标系,使点B的坐标为(-4,1),点C的坐标为(-1,1),则点A的坐标为;(2)在(1)的基础上,作出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后的△A1B1C1,写出A1,B1,C1的坐标.18.(8分)(1)尺规作图:如图1,△DEF是由△ABC旋转得到的,请作出它的旋转中心(不写作法,保留作图痕迹);(2)如图2,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).①请在图2①中画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1;②请在图2②中画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2.①②图1图219.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别在AB,AC上,且CE=BC,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到CF,连接EF.(1)求证:△BDC≌△EFC;(2)若EF∥CD,求证:∠BDC=90°.20.(8分)如图,正方形ABCD的边长为3,E,F分别是AB,BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM.(1)求证:F,C,M三点在同一条直线上;(2)求证:EF=FM;(3)当AE=1时,求EF的长.21.(10分)在△ABC中,AB=6,AC=BC=5,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ADE,旋转角为α(0°<α<180°),连接BD,BE.(1)如图,当α=60°时,延长BE交AD于点F.①求证:△ABD是等边三角形;②求证:BF⊥AD,AF=DF;③求BE的长;(2)在旋转过程中,过点D作DG垂直直线AB,垂足为G,连接CE,当∠DAG=∠ACB,且线段DG与线段AE无公共点时,求BE+CE的值.22.(12分)旋转变换在平面几何中有着广泛的应用.特别是在解(证)有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时,更是经常用到的思维方法,请你用旋转变换等知识,解决下面的问题.如图1,△ABC与△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠E=90°,DC与AB交于点M,CE与AB交于点N.(1)以点C为中心,将△ACM逆时针旋转90°,画出旋转后得到的△A'CM';(2)在(1)的基础上,证明AM2+BN2=MN2;(3)如图2,在四边形ABCD中,∠BAD=45°,∠BCD=90°,CA平分∠BCD,若BC=4,CD=3,求对角线AC的长.参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C A D A B B A 11.-1<a<212.(4,2)13.中心对称14.25°15.157.5°180°-16.20°或40°17. (1)(-3,3)平面直角坐标系如图所示.(2)△A1B1C1如图所示.A1(3,3),B1(1,4),C1(1,1).18. (1)如图1所示,点O即所求.图1(2)①如图2①所示,△A1B1C1即所求.②如图2②所示,△A2B2C2即所求.①②图219. (1)∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到CF, ∴CD=CF,∠DCF=90°,∴∠DCE+∠ECF=90°.∵∠ACB=90°,∴∠BCD+∠DCE=90°,∴∠BCD=∠ECF.在△BDC和△EFC中,∴△BDC≌△EFC.(2)∵EF∥CD,∴∠F+∠DCF=180°.∵∠DCF=90°,∴∠F=90°.由(1)知△BDC≌△EFC,∴∠BDC=∠F=90°.20. (1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠DCB=90°,∠DAE=90°.由旋转的性质可知∠DCM=∠DAE=90°,∴∠DCM+∠DCB=90°+90°=180°,∴F,C,M三点在同一条直线上.(2)∵∠EDF=45°,∴∠ADE+∠FDC=45°,由旋转的性质可知∠CDM=∠ADE,DE=DM,∴∠FDM=45°,∴∠EDF=∠MDF,在△EDF和△MDF中,∴△EDF≌△MDF,∴EF=FM.(3)设EF=MF=x,∵AE=CM=1,BC=3,∴BM=BC+CM=3+1=4,∴BF=BM-MF=4-x,∵EB=AB-AE=3-1=2,在Rt△EBF中,由勾股定理得EB2+BF2=EF2,即22+(4-x)2=x2,解得x=2.5,则EF=2.5.21. (1)①∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE, ∴AB=AD,∠BAD=60°,∴△ABD是等边三角形.②由①得△ABD是等边三角形,∴AB=BD,∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE,∴AC=AE,BC=DE.又AC=BC,∴EA=ED,∴点B,E在AD的垂直平分线上,∴BE所在直线是AD的垂直平分线.∵点F在BE的延长线上,∴BF⊥AD,AF=DF.③由②知BF⊥AD,AF=DF,∴AF=DF=3,∵AE=AC=5,∴EF=4.在Rt△ABF中,由勾股定理得BF===3,∴BE=BF-EF=3-4.(2)如图,∵∠DAG=∠ACB,∠DAE=∠BAC,∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180°,又∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°,∴∠BAE=∠ABC,∴BC∥AE,又AC=BC=AE,∴四边形AEBC为菱形,∴AB⊥CE,且CH=HE=CE,AH=BH=AB=3,在Rt△AHC中,CH==4,则CE=2CH=8,BE=5,∴BE+CE=13.22. (1)△A'CM'如图1所示.(2)如图1,连接M'N,∵△ABC与△DCE为等腰直角三角形,∠ACB=90°,∠E=90°, ∴∠A=∠CBA=45°,∠DCE=∠D=45°,∴∠ACM+∠BCN=45°.∵△BCM'是由△ACM旋转得到的,∴∠BCM'=∠ACM,CM=CM',AM=BM',∠CBM'=∠A=45°,∴∠M'CN=∠MCN=45°,∠NBM'=90°.在△MCN与△M'CN中,,∴△MCN≌△M'CN,∴MN=M'N.在Rt△BM'N中,根据勾股定理,得M'N2=BN2+BM'2,∴AM2+BN2=MN2.(3)如图2,将△ADC顺时针旋转90°到△AC'D',连接C'C,连接BD.则△AC'C是等腰直角三角形,∠AC'D'=∠ACD=45°.∵∠AC'C=∠ACC'=45°,∴∠AC'D'=∠AC'C=∠ACB=∠ACC'=45°,∴C',D',B,C在同一直线上,在△DAB与△D'AB中,,∴△DAB≌△D'AB,∴DB=D'B.在Rt△BCD中,∵BC=4,CD=3,∴DB==5,∴BD'=5.又C'D'=CD=3,∴CC'=12,∴AC=6.。

2020年全国中考数学试题分类（13）——图形的旋转一．旋转的性质（共20小题）1．（2020•陕西）如图，在5×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A 、B 、O 都在格点上．若将△OAB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△OA ′B ′，A 、B 的对应点分别为A ′、B ′，则A 、B ′之间的距离为（ ）A ．2√5B ．5C ．√13D ．√102．（2020•德阳）如图，Rt △ABC 中，∠A ＝30°，∠ABC ＝90°．将Rt △ABC 绕点B 逆时针方向旋转得到△A 'BC '．此时恰好点C 在A 'C '上，A 'B 交AC 于点E ，则△ABE 与△ABC 的面积之比为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34 3．（2020•大连）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝40°．将△ABC 绕点B 逆时针旋转得到△A ′BC ′，使点C 的对应点C ′恰好落在边AB 上，则∠CAA ′的度数是（ ）A ．50°B ．70°C ．110°D ．120°4．（2020•绵阳）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝7，AD ＝4，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转后得△A ′B ′C ，当A ′B ′恰好经过点D 时，△B ′CD 为等腰三角形，则AA ′＝（ ）A ．25√185B ．2√3C ．√13D ．√145．（2020•孝感）如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上，将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置，连接EF ，过点A 作EF 的垂线，垂足为点H ，与BC 交于点G ．若BG ＝3，CG ＝2，则CE 的长为（ ）A ．54B ．154C ．4D ．92 6．（2020•河北）如图，将△ABC 绕边AC 的中点O 顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的△CDA 与△ABC 构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB ＝AD ，”和“∴四边形…”之间作补充，下列正确的是（ ）A ．嘉淇推理严谨，不必补充B ．应补充：且AB ＝CDC ．应补充：且AB ∥CDD ．应补充：且OA ＝OC7．（2020•天津）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC ，使点B 的对应点E 恰好落在边AC 上，点A 的对应点为D ，延长DE 交AB 于点F ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AC ＝DEB ．BC ＝EF C ．∠AEF ＝∠D D ．AB ⊥DF8．（2020•齐齐哈尔）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A 顺时针旋转，使BC ∥DE ，如图②所示，则旋转角∠BAD 的度数为（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°9．（2020•苏州）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝108°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到△AB 'C '．若点B '恰好落在BC 边上，且AB '＝CB '，则∠C '的度数为（ ）A ．18°B ．20°C ．24°D ．28°10．（2020•聊城）如图，在Rt △ABC 中，AB ＝2，∠C ＝30°，将Rt △ABC 绕点A 旋转得到Rt △AB ′C ′，使点B 的对应点B ′落在AC 上，在B ′C ′上取点D ，使B ′D ＝2，那么点D 到BC 的距离等于（ ）A ．2（√33+1） B ．√33+1 C ．√3−1 D ．√3+111．（2020•绍兴）如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，BA ＝BC ，将BC 绕点B 顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP ，连结CP ，过点A 作AH ⊥CP 交CP 的延长线于点H ，连结AP ，则∠P AH 的度数（ ）A ．随着θ的增大而增大B ．随着θ的增大而减小C ．不变D ．随着θ的增大，先增大后减小12．（2020•海南）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝1cm ，将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转得到Rt △AB 'C '，使点C '落在AB 边上，连接BB '，则BB '的长度是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．√3cmD ．2√3cm13．（2020•菏泽）如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转角α，得到△ADE ，若点E 恰好在CB 的延长线上，则∠BED 等于（ ）A ．α2B ．23αC ．αD ．180°﹣α14．（2020•阜新）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2．将△ABC 绕点B 逆时针旋转60°，得到△A 1BC 1，则AC 边的中点D 与其对应点D 1的距离是 ．15．（2020•眉山）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2．将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转至△AB 1C 1的位置，点B 1恰好落在边BC 的中点处，则CC 1的长为 ．16．（2020•天水）如图，在边长为6的正方形ABCD 内作∠EAF ＝45°，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ．若DF ＝3，则BE 的长为 ．17．（2020•滨州）如图，点P 是正方形ABCD 内一点，且点P 到点A 、B 、C 的距离分别为2√3、√2、4，则正方形ABCD 的面积为 ．18．（2020•金华）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE＝OF＝1cm，AC＝BD＝6cm，CE＝DF，CE：AE＝2：3．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．（1）当E，F两点的距离最大时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是cm．（2）当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，A，B两点的距离为cm．19．（2020•广州）如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，AB'，AC'分别交对角线BD 于点E，F，若AE＝4，则EF•ED的值为．20．（2020•玉林）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD=√22AB．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）若H是边AB上一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G．设四边形BGEF的面积为s1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为s2，且s1＝s2．当AB＝2时，求AH的长．二．旋转对称图形（共1小题）21．（2020•镇江）点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转°后能与原来的图案互相重合．三．中心对称（共3小题）22．（2020•绍兴）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B 停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（）A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C．平行四边形→正方形→菱形→矩形D．平行四边形→菱形→正方形→矩形23．（2020•泰安）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为A（0，3），B（﹣1，1），C（3，1）．△A'B'C′是△ABC关于x轴的对称图形，将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，点A'的对应点为M，则点M的坐标为．24．（2020•台州）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD 的面积为．（用含a，b的代数式表示）四．中心对称图形（共3小题）25．（2020•黄石）下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．26．（2020•天水）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．27．（2020•呼伦贝尔）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．五．关于原点对称的点的坐标（共1小题）28．（2020•淮安）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣2，﹣3）六．坐标与图形变化-旋转（共6小题）29．（2020•青岛）如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（0，4）B．（2，﹣2）C．（3，﹣2）D．（﹣1，4）30．（2020•枣庄）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（）A．（−√3，3）B．（﹣3，√3）C．（−√3，2+√3）D．（﹣1，2+√3）31．（2020•黄石）在平面直角坐标系中，点G的坐标是（﹣2，1），连接OG，将线段OG绕原点O旋转180°，得到对应线段OG'，则点G'的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（1，﹣2）D．（﹣2，﹣1）32．（2020•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A（﹣2，0），B（1，2），C （1，﹣2）．已知N（﹣1，0），作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C 的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…，依此类推，则点N2020的坐标为．33．（2020•烟台）如图，已知点A （2，0），B （0，4），C （2，4），D （6，6），连接AB ，CD ，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD 重合（点A 与点C 重合，点B 与点D 重合），则这个旋转中心的坐标为 ．34．（2020•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点P 1的坐标为（√22，√22），将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；又将线段OP 2绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP 2的2倍，得到线段OP 3；如此下去，得到线段OP 4，OP 5，…，OP n （n 为正整数），则点P 2020的坐标是 ．七．作图-旋转变换（共6小题）35．（2020•广西）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别是A （1，1），B （4，1），C （5，3）．（1）将△ABC 向左平移6个单位长度得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1，并写出点A 1，C 1的坐标．（2）请画出△ABC 关于原点O 成中心对称的△A 2B 2C 2．36．（2020•巴中）如图所示，△ABC在边长为1cm的小正方形组成的网格中．（1）将△ABC沿y轴正方向向上平移5个单位长度后，得到△A1B1C1，请作出△A1B1C1，并求出A1B1的长度；（2）再将△A1B1C1绕坐标原点O顺时针旋转180°，得到△A2B2C2，请作出△A2B2C2，并直接写出点B2的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，求线段AB在变换过程中扫过图形的面积和．37．（2020•贵港）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，4），B（4，1），C（4，3）．（1）画出将△ABC向左平移5个单位得到的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2．38．（2020•阜新）如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A（4，4），B（1，1），C（4，1）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）将△ABC绕点O1顺时针旋转90°得到△A2B2C2，弧AA2是点A所经过的路径，则旋转中心O1的坐标为；（3）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．39．（2020•桂林）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；（3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（，）中心对称．40．（2020•常州）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）点F到直线CA的距离是；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．八．利用旋转设计图案（共1小题）41．（2020•枣庄）如图的四个三角形中，不能由△ABC 经过旋转或平移得到的是（ ）A ．B ．C ．D ．九．几何变换综合题（共9小题） 42．（2020•锦州）已知△AOB 和△MON 都是等腰直角三角形（√22OA ＜OM ＝ON ），∠AOB ＝∠MON ＝90°．（1）如图1：连AM ，BN ，求证：△AOM ≌△BON ；（2）若将△MON 绕点O 顺时针旋转，①如图2，当点N 恰好在AB 边上时，求证：BN 2+AN 2＝2ON 2；②当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若OB ＝4，ON ＝3，请直接写出线段BN 的长．43．（2020•葫芦岛）在等腰△ADC 和等腰△BEC 中，∠ADC ＝∠BEC ＝90°，BC ＜CD ，将△BEC 绕点C 逆时针旋转，连接AB ，点O 为线段AB 的中点，连接DO ，EO ．（1）如图1，当点B 旋转到CD 边上时，请直接写出线段DO 与EO 的位置关系和数量关系；（2）如图2，当点B 旋转到AC 边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）若BC ＝4，CD ＝2√6，在△BEC 绕点C 逆时针旋转的过程中，当∠ACB ＝60°时，请直接写出线段OD 的长．44．（2020•沈阳）在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝α，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接DB ，DC ．（1）如图1，当α＝60°时，①求证：P A ＝DC ；②求∠DCP的度数；（2）如图2，当α＝120°时，请直接写出P A和DC的数量关系．（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP=√31，请直接写出点D到CP的距离为．45．（2020•长春）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．（1）当点P与点B重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示线段CE的长．（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．46．（2020•鄂尔多斯）（1）【操作发现】如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．①请按要求画图：将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点B′，点C的对应点为点C′．连接BB′；②在①中所画图形中，∠AB′B＝°．（2）【问题解决】如图2，在Rt△ABC中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数．（3）【拓展延伸】如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k 为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．47．（2020•十堰）如图1，已知△ABC≌△EBD，∠ACB＝∠EDB＝90°，点D在AB上，连接CD并延长交AE于点F．（1）猜想：线段AF与EF的数量关系为；（2）探究：若将图1的△EBD绕点B顺时针方向旋转，当∠CBE小于180°时，得到图2，连接CD并延长交AE 于点F ，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展：图1中，过点E 作EG ⊥CB ，垂足为点G ．当∠ABC 的大小发生变化，其它条件不变时，若∠EBG ＝∠BAE ，BC ＝6，直接写出AB 的长．48．（2020•包头）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，Rt △ABC 绕点C 按顺时针方向旋转得到Rt △A ′B ′C ，A ′C 与AB 交于点D ．（1）如图1，当A ′B ′∥AC 时，过点B 作BE ⊥A ′C ，垂足为E ，连接AE ．①求证：AD ＝BD ；②求α△αααα△ααα的值； （2）如图2，当A ′C ⊥AB 时，过点D 作DM ∥A ′B ′，交B ′C 于点N ，交AC 的延长线于点M ，求αααα的值．49．（2020•东营）如图1，在等腰三角形ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD ＝AE ，连接BE ，点M 、N 、P 分别为DE 、BE 、BC 的中点．（1）观察猜想．图1中，线段NM 、NP 的数量关系是 ，∠MNP 的大小为 ．（2）探究证明把△ADE 绕点A 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP 、BD 、CE ，判断△MNP 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝1，AB ＝3，请求出△MNP 面积的最大值．50．（2020•威海）发现规律（1）如图①，△ABC 与△ADE 都是等边三角形，直线BD ，CE 交于点F ．直线BD ，AC 交于点H ．求∠BFC 的度数．（2）已知：△ABC与△ADE的位置如图②所示，直线BD，CE交于点F．直线BD，AC交于点H．若∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，求∠BFC的度数．应用结论（3）如图③，在平面直角坐标系中，点O的坐标为（0，0），点M的坐标为（3，0），N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK，连接NK，OK．求线段OK长度的最小值．2020年全国中考数学试题分类（13）——图形的旋转参考答案与试题解析一．旋转的性质（共20小题）1．【解答】解：如图，由旋转的性质作出△A 'OB '，连接AB '，∵每个小正方形的边长均为1，∴AB '=√22+32=√13，故选：C ．2．【解答】解：∵∠A ＝30°，∠ABC ＝90°，∴∠ACB ＝60°，∵将Rt △ABC 绕点B 逆时针方向旋转得到△A 'BC '，∴BC ＝BC '，∠ACB ＝∠A 'C 'B ＝60°，∴△BCC '是等边三角形，∴∠CBC '＝60°，∴∠ABA '＝60°，∴∠BEA ＝90°，设CE ＝a ，则BE =√3a ，AE ＝3a ，∴αααα=13， ∴αααα=34， ∴△ABE 与△ABC 的面积之比为34．故选：D ．3．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝40°，∴∠CAB ＝90°﹣∠ABC ＝90°﹣40°＝50°，∵将△ABC 绕点B 逆时针旋转得到△A ′BC ′，使点C 的对应点C ′恰好落在边AB 上，∴∠A ′BA ＝∠ABC ＝40°，A ′B ＝AB ，∴∠BAA ′＝∠BA ′A =12（180°﹣40°）＝70°，∴∠CAA '＝∠CAB +∠BAA ′＝50°+70°＝120°．故选：D ．4．【解答】解：过D 作DE ⊥BC 于E ，则BE ＝AD ＝4，DE ＝7，设B ′C ＝BC ＝x ，则DC =√2x ，∴DC 2＝DE 2+EC 2，即2x 2＝49+（x ﹣4）2，解得：x ＝5（负值舍去），∴BC ＝5，AC =√74，在AB 上取一点F ，使得BF ＝BC ＝5，连接DF ，则△DFC ∽△CB ′B ，且相似比为√2：1，∴AF ＝7﹣5＝2，∵AD ＝4，∴DF ＝2√5，∴BB ′=√2=√10， ∵将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转后得△A ′B ′C ，∴∠DB ′C ＝∠ABC ＝90°，B ′C ＝BC ，A ′C ＝AC ，∠A ′CA ＝∠B ′CB ，∴△A ′CA ∽△B ′CB ，∴α′αα′α=αααα，∴AA ′=√745×√10=25√185， 故选：A ．5．【解答】解：如图所示，连接EG ，由旋转可得，△ADE ≌△ABF ，∴AE ＝AF ，DE ＝BF ，又∵AG ⊥EF ，∴H 为EF 的中点，∴AG 垂直平分EF ，∴EG ＝FG ，设CE ＝x ，则DE ＝5﹣x ＝BF ，FG ＝8﹣x ，∴EG ＝8﹣x ，∵∠C ＝90°，∴Rt △CEG 中，CE 2+CG 2＝EG 2，即x 2+22＝（8﹣x ）2，解得x =154， ∴CE 的长为154，故选：B ．6．【解答】解：∵CB ＝AD ，AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故应补充“AB ＝CD ”，故选：B ．7．【解答】解：由旋转可得，△ABC ≌△DEC ，∴AC ＝DC ，故A 选项错误，BC ＝EC ，故B 选项错误，∠AEF ＝∠DEC ＝∠B ，故C 选项错误，∠A ＝∠D ，又∵∠ACB ＝90°，∴∠A +∠B ＝90°，∴∠D +∠B ＝90°，∴∠BFD ＝90°，即DF ⊥AB ，故D 选项正确，故选：D ．8．【解答】解：如图，设AD与BC交于点F，∵BC∥DE，∴∠CF A＝∠D＝90°，∵∠CF A＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，∴∠BAD＝30°故选：B．9．【解答】解：∵AB'＝CB'，∴∠C＝∠CAB'，∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，∴3∠C＝180°﹣108°，∴∠C＝24°，∴∠C'＝∠C＝24°，故选：C．10．【解答】解：方法一：∵在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，∴BC＝2√3，AC＝4，∵将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，∴AB′＝AB＝2，B′C′＝BC＝2√3，∴B′C＝2，延长C′B′交BC于F，∴∠CB′F＝∠AB′C′＝90°，∵∠C＝30°，∴∠CFB′＝60°，B′F=√33B′C=2√33，∵B′D＝2，∴DF＝2+2√3 3，过D作DE⊥BC于E，∴DE=√32DF=√32×（2+2√33）=√3+1，方法二：过B′作B′F⊥BC于F，B′H⊥DE于H，则B′F＝HE，B′H＝EF，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，∴BC＝2√3，AC＝4，∵将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，∴AB′＝AB＝2，B′C′＝BC＝2√3，∴B′C＝2，∴B′F=12AB＝1，∴HE＝1，∵∠B′HD＝∠HEC＝90°，∴∠HB′C＝∠C＝30°，∴∠DB′H＝60°，∴∠B′DH＝30°，∴B′H＝1，DH=√3，∴DE=√3+1，故选：D．11．【解答】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，∴BC＝BP＝BA，∴∠BCP＝∠BPC，∠BP A＝∠BAP，∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BP A＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，∴∠BPC+∠BP A＝135°＝∠CP A，∵∠CP A＝∠AHC+∠P AH＝135°，∴∠P AH＝135°﹣90°＝45°，∴∠P AH的度数是定值，故选：C．12．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，∴AC=12AB，则AB＝2AC＝2cm．又由旋转的性质知，AC′＝AC=12AB，B′C′⊥AB，∴B′C′是△ABB′的中垂线，∴AB′＝BB′．根据旋转的性质知AB ＝AB ′＝BB ′＝2cm ．故选：B ．13．【解答】解：∵∠ABC ＝∠ADE ，∠ABC +∠ABE ＝180°，∴∠ABE +∠ADE ＝180°，∴∠BAD +∠BED ＝180°，∵∠BAD ＝α，∴∠BED ＝180°﹣α．故选：D ．14．【解答】解：连接BD 、BD 1，如图，∵∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，∴AC =√22+22=2√2，∵D 点为AC 的中点，∴BD =12AC =√2，∵△ABC 绕点B 逆时针旋转60°，得到△A 1BC 1，∴BD 1＝BD ，∠DBD 1＝60°，∴△BDD 1为等边三角形，∴DD 1＝BD =√2．故答案为√2．15．【解答】解：∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，将该三角形绕点A 按顺时针方向旋转到△AB 1C 1的位置，点B 1恰好落在边BC 的中点处，∴AB 1=12BC ，BB 1＝B 1C ，AB ＝AB 1，∴BB 1＝AB ＝AB 1，∴△ABB 1是等边三角形，∴∠BAB 1＝∠B ＝60°，∴∠CAC 1＝60°，∵将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转至△AB 1C 1的位置，∴CA ＝C 1A ，∴△AC 1C 是等边三角形，∴CC 1＝CA ，∵AB ＝2，∴CA ＝2√3，∴CC 1＝2√3．故答案为：2√3．16．【解答】解：法一：由题意可得，△ADF ≌△ABG ，∴DF ＝BG ，∠DAF ＝∠BAG ，∵∠DAB ＝90°，∠EAF ＝45°，∴∠DAF +∠EAB ＝45°，∴∠BAG +∠EAB ＝45°，∴∠EAF ＝∠EAG ，在△EAG 和△EAF 中，{αα=αααααα=αααααα=αα，∴△EAG ≌△EAF （SAS ），∴GE ＝FE ，设BE ＝x ，则GE ＝BG +BE ＝3+x ，CE ＝6﹣x ，∴EF ＝3+x ，∵CD ＝6，DF ＝3，∴CF ＝3，∵∠C ＝90°，∴（6﹣x ）2+32＝（3+x ）2，解得，x ＝2，即BE ＝2，法二：设BE ＝x ，连接GF ，如下图所示，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ABE ＝∠GCF ＝90°，∵△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，∴∠CAF ＝90°，GA ＝F A ，∴△GAF 为等腰直角三角形，∵∠EAF ＝45°，∴AE 垂直平分GF ，∴∠AEB +∠CGF ＝90°，∵在Rt △AEB 中，∠AEB +∠BAE ＝90°，∴∠BAE ＝∠CGF ，∴△BAE ∽△CGF ，∴αααα=αααα， ∵CF ＝CD ﹣DF ＝6﹣3＝3，GC ＝BC +BG ＝BC +DF ＝6+3＝9， ∴α3=69，∴x ＝2，即BE ＝2，故答案为：2．17．【解答】解：如图，将△ABP 绕点B 顺时针旋转90°得到△CBM ，连接PM ，过点B 作BH ⊥PM 于H ．∵BP ＝BM =√2，∠PBM ＝90°，∴PM =√2PB ＝2，∵PC ＝4，P A ＝CM ＝2√3，∴PC 2＝CM 2+PM 2，∴∠PMC ＝90°，∵∠BPM ＝∠BMP ＝45°，∴∠CMB ＝∠APB ＝135°，∴∠APB +∠BPM ＝180°，∴A ，P ，M 共线，∵BH ⊥PM ，∴PH ＝HM ，∴BH ＝PH ＝HM ＝1，∴AH ＝2√3+1，∴AB 2＝AH 2+BH 2＝（2√3+1）2+12＝14+4√3，∴正方形ABCD 的面积为14+4√3．解法二：连接AC ，利用勾股定理求出AC 即可．故答案为14+4√3．18．【解答】解：（1）当E ，F 两点的距离最大时，E ，O ，F 共线，此时四边形ABCD 是矩形， ∵OE ＝OF ＝1cm ，∴EF ＝2cm ，∴AB ＝CD ＝2cm ，∴此时四边形ABCD 的周长为2+2+6+6＝16（cm ），故答案为16．（2）如图3中，连接EF 交OC 于H ．由题意CE ＝CF =25×6=125（cm ）， ∵OE ＝OF ＝1cm ，∴CO 垂直平分线段EF ，∵OC =√αα2+αα2=√(125)2+12=135（cm ）， ∵12•OE •EC =12•CO •EH ， ∴EH =1×125135=1213（cm ），∴EF ＝2EH =2413（cm ）∵EF ∥AB ，∴αααα=αααα=25， ∴AB =52×2413=6013（cm ）．故答案为6013． 19．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAC ＝∠ADB ＝45°，∵把△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB 'C '，∴∠EAF ＝∠BAC ＝45°，∵∠AEF ＝∠DEA ，∴△AEF ∽△DEA ，∴αααα=αααα，∴EF •ED ＝AE 2，∵AE ＝4，∴EF •ED 的值为16，故答案为：16．20．【解答】（1）证明：∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AC ＝BD ，∴平行四边形ABCD 是矩形，∵OA ＝OB ＝OC ＝OD =√22AB ，∴OA 2+OB 2＝AB 2，∴∠AOB ＝90°，即AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是正方形；（2）解：∵EF ⊥BC ，EG ⊥AG ，∴∠G ＝∠EFB ＝∠FBG ＝90°，∴四边形BGEF 是矩形，∵将线段DH 绕点H 顺时针旋转90°，得到线段HE ，∴∠DHE ＝90°，DH ＝HE ，∴∠ADH +∠AHD ＝∠AHD +∠EHG ＝90°，∴∠ADH ＝∠EHG ，∵∠DAH ＝∠G ＝90°，∴△ADH ≌△GHE （AAS ），∴AD ＝HG ，AH ＝EG ，∵AB ＝AD ，∴AB ＝HG ，∴AH ＝BG ，∴BG ＝EG ，∴矩形BGEF 是正方形，设AH ＝x ，则BG ＝EG ＝x ，∵s 1＝s 2．∴x 2＝2（2﹣x ），解得：x =√5−1（负值舍去），∴AH =√5−1．二．旋转对称图形（共1小题）21．【解答】解：连接OA ，OE ，则这个图形至少旋转∠AOE 才能与原图象重合，∠AOE =360°5=72°．故答案为：72．三．中心对称（共3小题）22．【解答】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．故选：B．23．【解答】解：将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，如图所示：所以点M的坐标为（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．24．【解答】解：如图，连接DK，DN，∵∠KDN＝∠MDT＝90°，∴∠KDM＝∠NDT，∵DK＝DN，∠DKM＝∠DNT＝45°，∴△DKM≌△DNT（ASA），∴S△DKM＝S△DNT，∴S四边形DMNT＝S△DKN=14a，∴正方形ABCD的面积＝4×14a+b＝a+b．故答案为（a+b）．四．中心对称图形（共3小题）25．【解答】解：A、既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D．26．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．27．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．五．关于原点对称的点的坐标（共1小题）28．【解答】解：点（3，2）关于原点对称的点的坐标是：（﹣3，﹣2）．故选：C．六．坐标与图形变化-旋转（共6小题）29．【解答】解：如图，△A′B′C′即为所求，则点A的对应点A′的坐标是（﹣1，4）．故选：D．30．【解答】解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°=√3，∴OH＝2+1＝3，∴B′（−√3，3），故选：A．31．【解答】解：由题意G与G′关于原点对称，∵G（﹣2，1），∴G′（2，﹣1），故选：A．32．【解答】解：由题意得，作出如下图形：N 点坐标为（﹣1，0），N 点关于A 点对称的N 1点的坐标为（﹣3，0），N 1点关于B 点对称的N 2点的坐标为（5，4），N 2点关于C 点对称的N 3点的坐标为（﹣3，﹣8），N 3点关于A 点对称的N 4点的坐标为（﹣1，8），N 4点关于B 点对称的N 5点的坐标为（3，﹣4），N 5点关于C 点对称的N 6点的坐标为（﹣1，0），此时刚好回到最开始的点N 处，∴其每6个点循环一次，∴2020÷6＝336……4，即循环了336次后余下4，故N 2020的坐标与N 4点的坐标相同，其坐标为（﹣1，8）．故答案为：（﹣1，8）．33．【解答】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P 点，P （4，2）．故答案为（4，2）．34．【解答】解：∵点P 1的坐标为（√22，√22），将线段OP 1绕点O 按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；∴OP 1＝1，OP 2＝2，∴OP 3＝4，如此下去，得到线段OP 4＝23，OP 5＝24…，∴OP n ＝2n ﹣1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，∵2020÷8＝252…4，∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴的负半轴上，∴点P2020的坐标是（0，﹣22019）．故答案为：（0，﹣22019）．七．作图-旋转变换（共6小题）35．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，∴A1（﹣5，1）C1（﹣1，3）；（2）如图，△A2B2C2即为所求．36．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，α1α1=3√2αα；（2）如图，△A2B2C2即为所求，B2（4，﹣4）；（3）在（1）（2）的条件下，线段AB在变换过程中扫过图形的面积和为：5×3+12π×（4√2）2−12π×（√2）2＝（15+15π）cm2．37．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．38．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）旋转中心O1的坐标为（2，0），故答案为（2，0）；（3）设旋转半径为r，则r2＝22+42＝20，∴阴影部分的图形面积为：α阴影=14⋅αα2−12×2×4−12×2×2+12×1×1=5π−112．39．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；（3）由图可得，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（﹣2，0）中心对称．故答案为：﹣2，0．40．【解答】解：（1）如图1中，作FD⊥AC于D，∵Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∠ABC ＝∠CEF ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1．∴∠ACB ＝60°，∠FCE ＝∠BAC ＝30°，AC ＝CF ，∴∠ACF ＝30°，∴∠BAC ＝∠FCD ，在△ABC 和△CDF 中，{∠ααα=∠ααααααα=αααααα=αα，∴△ABC ≌△CDF （AAS ），∴FD ＝BC ＝1，法二：∵∠ECF ＝∠FCD ＝30°，FD ⊥CD ，FE ⊥CE ，∴DF ＝EF ，∵EF ＝BC ＝1，∴DF ＝1．故答案为1；（2）线段EF 经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E 落在CF 上的点H 处．S 阴＝S △EFC +S 扇形ACF ﹣S 扇形CEH ﹣S △AHC ＝S 扇形ACF ﹣S 扇形ECH =30⋅α⋅22360−30⋅α⋅(√3)2360=α12． 故答案为α12．（3）如图2中，过点E 作EH ⊥CF 于H ．设OB ＝OE ＝x ．在Rt △ECF 中，∵EF ＝1，∠ECF ＝30°，EH ⊥CF ，∴EC =√3EF =√3，EH =√32，CH =√3EH =32， 在Rt △BOC 中，OC =√αα2+αα2=√1+α2， ∴OH ＝CH ﹣OC =32−√1+α2，在Rt △EOH 中，则有x 2＝（√32）2+（32−√1+α2）2，解得x =√73或−√73（不合题意舍弃），∴OC =1+(√73)2=43， ∵CF ＝2EF ＝2，∴OF ＝CF ﹣OC ＝2−43=23． 八．利用旋转设计图案（共1小题）41．【解答】解：由题意，选项A ，C ，D 可以通过平移，旋转得到，选项B 可以通过翻折得到． 故选：B ．九．几何变换综合题（共9小题）42．【解答】（1）证明：如图1中，∵∠AOB ＝∠MON ＝90°，∴∠AOM ＝∠BON ，∵AO ＝BO ，OM ＝ON ，∴△AOM ≌△BON （SAS ）．（2）①证明：如图2中，连接AM ．同法可证△AOM≌△BON，∴AM＝BN，∠OAM＝∠B＝45°，∵∠OAB＝∠B＝45°，∴∠MAN＝∠OAM+∠OAB＝90°，∴MN2＝AN2+AM2，∵△MON是等腰直角三角形，∴MN2＝2ON2，∴NB2+AN2＝2ON2．②如图3﹣1中，设OA交BN于J，过点O作OH⊥MN于H．∵△AOM≌△BON，∴AM＝BN，∠OAM＝∠OBN，∵∠AJN＝∠BJO，∴∠ANJ＝∠JOB＝90°，∵OM＝ON＝3，∠MON＝90°，OH⊥MN，∴MN＝3√2，MH＝HN═OH=3√2 2，∴AH=√αα2−αα2=42−(3√22)2=√462，∴BN＝AM＝MH+AH=√46+3√22．如图3﹣2中，同法可证AM＝BN=√46−3√22．43．【解答】解：（1）DO⊥EO，DO＝EO；理由：当点B旋转到CD边上时，点E必在边AC上，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，点O是AB的中点，∴OE＝OA=12AB，∴∠BOE＝2∠BAE，在Rt△ABD中，点O是AB的中点，∴OD＝OA=12AB，∴∠DOE＝2∠BAD，∴OD＝OE，∵等腰△ADC，且∠ADC＝90°，∴∠DAC＝45°，∴∠DOE＝∠BOE+∠DOE＝2∠BAE+2∠BAD＝2（∠BAE+∠DAE）＝2∠DAC＝90°，∴OD⊥OE；（2）仍然成立，理由：如图2，延长EO到点M，使得OM＝OE，连接AM，DM，DE，∵O是AB的中点，∴OA＝OB，∵∠AOM＝∠BOE，∴△AOM≌△BOE（SAS），∴∠MAO＝∠EBO，MA＝EB，∵△ACD和△CBE是等腰三角形，∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠CAD＝∠ACD＝∠EBC＝∠BCE＝45°，∵∠OBE＝180°﹣∠EBC＝135°，∴∠MAO＝135°，∴∠MAD＝∠MAO﹣∠DAC＝90°，∵∠DCE＝∠DCA+∠BCE＝90°，∴∠MAD＝∠DCE，∵MA＝EB，EB＝EC，∴MA＝EC，∵AD＝DC，∴△MAD≌△ECD，∴MD＝ED，∠ADM＝∠CDE，∵∠CDE+∠ADE＝90°，∴∠ADM+∠ADE＝90°，∴∠MDE＝90°，∵MO＝EO，MD＝DE，∴αα=12αα，OD⊥ME，∵αα=12αα，∴OD＝OE，OD⊥OE；（3）①当点B在AC左侧时，如图3，延长EO到点M，使得OM＝OE，连接AM，DM，DE，同（2）的方法得，△OBE≌△OAM（SAS），∴∠OBE＝∠OAM，OM＝OE，BE＝AM，∵BE＝CE，∴AM＝CE，在四边形ABECD中，∠ADC+∠DCE+∠BEC+∠OBE+∠BAD＝540°，∵∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠DCE＝540°﹣90°﹣90°﹣∠OBE﹣∠BAD＝360°﹣∠OBE＝360°﹣∠OAM﹣∠BAD，∵∠DAM+∠OAM+∠BAD＝360°，∴∠DAM＝360°﹣∠OAM﹣∠BAD，∴∠DAM＝∠DCE，∵AD＝CD，∴△DAM≌△DCE（SAS），∴DM＝DE，∠ADM＝∠CDE，∴∠EDM＝∠ADM+∠ADE＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°，∵OM＝OE，∴OD＝OE=12ME，∠DOE＝90°，在Rt△BCE中，CE=√22BC＝2√2，过点E作EH⊥DC交DC的延长线于H，在Rt△CHE中，∠ECH＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB﹣∠BCE＝180°﹣45°﹣60°﹣45°＝30°，∴EH=12CE=√2，根据勾股定理得，CH=√3EH=√6，∴DH＝CD+CH＝3√6，在Rt△DHE中，根据勾股定理得，DE=√αα2+αα2=2√14，∴OD=√22DE＝2√7，②当点B在AC右侧时，如图4，同①的方法得，OD＝OE，∠DOE＝90°，连接DE，过点E作EH⊥CD于H，在Rt△EHC中，∠ECH＝30°∴EH=12CE=√2，根据勾股定理得，CH=√6，∴DH＝CD﹣CH=√6，在Rt△DHE中，根据勾股定理得，DE＝2√2，∴OD=√22DE＝2，即：线段OD的长为2或2√7．44．【解答】（1）①证明：如图1中，∵将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，∴PB＝PD，∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝60°，∴△ABC，△PBD是等边三角形，∴∠ABC＝∠PBD＝60°，∴∠PBA＝∠DBC，∵BP＝BD，BA＝BC，∴△PBA≌△DBC（SAS），∴P A＝DC．②解：如图1中，设BD交PC于点O．∵△PBA≌△DBC，∴∠BP A＝∠BDC，∵∠BOP＝∠COD，∴∠OBP＝∠OCD＝60°，即∠DCP＝60°．（2）解：结论：CD=√3P A．理由：如图2中，∵AB ＝AC ，PB ＝PD ，∠BAC ＝∠BPD ＝120°，∴BC ＝2•AB •cos30°=√3BA ，BD ═2BP •cos30°=√3BP ，∴αααα=αααα=√3，∵∠ABC ＝∠PBD ＝30°，∴∠ABP ＝∠CBD ，∴△CBD ∽△ABP ，∴αααα=αααα=√3，∴CD =√3P A ．（3）过点D 作DM ⊥PC 于M ，过点B 作BN ⊥CP 交CP 的延长线于N ． 如图3﹣1中，当△PBA 是钝角三角形时，在Rt △ABN 中，∵∠N ＝90°，AB ＝6，∠BAN ＝60°，∴AN ＝AB •cos60°＝3，BN ＝AB •sin60°＝3√3，∵PN =√αα2−αα2=√31−27=2，∴P A ＝3﹣2＝1，由（2）可知，CD =√3P A =√3，∵∠BP A ＝∠BDC ，∴∠DCA ＝∠PBD ＝30°，∵DM ⊥PC ，∴DM =12CD =√32如图3﹣2中，当△ABP 是锐角三角形时，同法可得P A ＝2+3＝5，CD ＝5√3，DM =12CD =5√32，综上所述，满足条件的DM 的值为√32或5√32． 故答案为√32或5√32．45．【解答】解：（1）当点P 与B 重合时，5t ＝4，解得t =45．（2）在Rt △ABC 中，∵∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，∴AC =√αα2+αα2=√42+32=5，∴sin A =35，cos A =45， 如图①中，当点P 在线段AB 上时，在Rt △APE 中，AE ＝AP •cos A ＝4t ，∴EC ＝5﹣4t ．如图③中，当点P 在线段BC 上时，在Rt △PEC 中，PC ＝7﹣5t ，cos C =35， ∴EC ＝PC •cos C =35（7﹣5t ）=215−3t ． （3）当△PDQ 是等腰直角三角形时，则PE ＝DE ，如图④中，当点P 在线段AB 上时，在Rt △APE 中，PE ＝P A •sin A ＝3t ，∵DE ＝AC ﹣AE ﹣CD ＝5﹣4t ﹣2t ＝5﹣6t ，∵PE ＝DE ，∴3t ＝5﹣6t ，∴t =59．如图⑤中，当点P 在线段BC 上时， 在Rt △PCE 中，PE ＝PC •sin C =45（7﹣5t ）=285−4t ，∵DE ＝CD ﹣CE ＝2t −35（7﹣5t ）＝5t −215，∴285−4t ＝5t −215， 解得t =4945．∵△PDQ 是锐角三角形，∴观察图象可知满足条件的t 的值为0＜t ＜59或4945＜t ＜75．（4）如图⑥中，当点P 在线段AB 上，QM ∥AB 时，过点Q 作QG ⊥AB 于G ，延长QM 交BC 于N ，过点D 作DH ⊥BC 于H ．∵PB ∥MN ∥DH ，PM ＝DM ，∴BN ＝NH ，在Rt △PQG 中，PQ ＝2PE ＝6t ，∴QG =45PQ =245t ，在Rt △DCH 中，HC =35DC =65t ，∵BC ＝BH +CH =245t +245t +65t ＝3，解得t =518．如图⑦中，当点P 在线段BC 上，QM ∥BC 时，过点D 作DH ⊥BC 于H ，过点P 作PK ⊥QM 于K ．∵QM ∥BC ，DM ＝PM ，∴DH ＝2PK ，在Rt △PQK 中，PQ ＝2PE =85（7﹣5t ），∴PK =35PQ =2425（7﹣5t ），在Rt △DCH 中，DH =45DC =85t ，∵DH ＝2PK ，∴85t ＝2×2425（7﹣5t ）， 解得t =65， 综上所述，满足条件的t 的值为518或65．46．【解答】解：（1）①如图1中，△AB ′C ′即为所求．②由作图可知，△ABB ′是等腰直角三角形，∴∠AB ′B ＝45°，故答案为45．（2）如图2中，过点E 作EH ⊥CD 交CD 的延长线于H ．∵∠C ＝∠BAE ＝∠H ＝90°，∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB+∠EAH＝90°，∴∠B＝∠EAH，∵AB＝AE，∴△ABC≌△EAH（AAS），∴BC＝AH，EH＝AC，∵BC＝CD，∴CD＝AH，∴DH＝AC＝EH，∴∠EDH＝45°，∴∠ADE＝135°．（3）如图3中，连接AC，∵AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG，∵AB＝AC，AD＝AG，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD＝kAB，∴DG＝kBC＝2k，∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，∴∠ADG+∠ADC＝90°，∴∠GDC＝90°，∴CG=√αα2+αα2=√4α2+9．∴BD＝CG=√4α2+9．47．【解答】解：（1）延长DF到K点，并使FK＝DC，连接KE，如图1所示，∵△ABC≌△EBD，∴DE＝AC，BD＝BC，∴∠CDB＝∠DCB，且∠CDB＝∠ADF，∴∠ADF＝∠DCB，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠EDB＝90°，∴∠ADF+∠FDE＝90°，∴∠ACD＝∠FDE，∵FK+DF＝DC+DF，∴DK＝CF，在△ACF 和△EDK 中，{αα=αααααα=αααααα=αα，∴△ACF ≌△EDK （SAS ），∴KE ＝AF ，∠K ＝∠AFC ，又∠AFC ＝∠KFE ，∴∠K ＝∠KFE∴KE ＝EF∴AF ＝EF ，故AF 与EF 的数量关系为：AF ＝EF ．故答案为：AF ＝EF ；（2）仍然成立，理由如下：延长DF 到K 点，并使FK ＝DC ，连接KE ，如图2所示，设BD 延长线DM 交AE 于M 点，∵△ABC ≌△EBD ，∴DE ＝AC ，BD ＝BC ，∴∠CDB ＝∠DCB ，且∠CDB ＝∠MDF ，∴∠MDF ＝∠DCB ，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD +∠DCB ＝90°，∵∠EDB ＝90°，∴∠MDF +∠FDE ＝90°，∴∠ACD ＝∠FDE ，∵FK +DF ＝DC +DF ，∴DK ＝CF ，在△ACF 和△EDK 中，{αα=αααααα=αααααα=αα，∴△ACF ≌△EDK （SAS ），∴KE ＝AF ，∠K ＝∠AFC ，又∠AFC ＝∠KFE ，∴∠K ＝∠KFE ，∴KE ＝EF ，∴AF ＝EF ，故AF 与EF 的数量关系为：AF ＝EF ．（3）当点G 在点B 右侧时，如图3所示，过点E 作EG ⊥BC 交CB 的延长线于G ， ∵BA ＝BE ，∴∠BAE ＝∠BEA ，∵∠BAE ＝∠EBG ，∴∠BEA ＝∠EBG ，∴AE ∥CG ，∴∠AEG +∠G ＝180°，∴∠AEG ＝90°，∴∠ACG ＝∠G ＝∠AEG ＝90°，∴四边形AEGC 为矩形，∴AC ＝EG ，且AB ＝BE ，∴Rt △ACB ≌Rt △EGB （HL ），∴BG ＝BC ＝6，∠ABC ＝∠EBG ，又∵ED ＝AC ＝EG ，且EB ＝EB ，∴Rt △EDB ≌Rt △EGB （HL ），∴DB＝GB＝6，∠EBG＝∠ABE，∴∠ABC＝∠ABE＝∠EBG＝60°，∴∠BAC＝30°，在Rt△ABC中，由30°所对的直角边等于斜边的一半可知：AB＝2BC＝12．当点G在点B左侧时，如图4所示，由旋转知，∠ABC＝∠ABE，AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵∠BAE＝∠EBG＝2∠ABC＝2∠ABE，∴∠BAE＝∠AEB＝2∠ABE，∵∠AEB+∠BAE+∠ABE＝180°，∴2∠ABE+2∠ABE+∠ABE＝180°，∴∠BAE＝36°，∴∠ABC＝36°，在Rt△ABC中，cos36°=αααα，∴AB=ααααα36°=6ααα36°，即满足条件的AB＝12或6ααα36°．48．【解答】解：（1）①∵A ′B ′∥AC ，∴∠B ′A ′C ＝∠A ′CA ，∵∠B ′A ′C ＝∠BAC ，∴∠A ′CA ＝∠BAC ，∴AD ＝CD ，∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝90°﹣∠ACD ，∵∠ABC ＝90°﹣∠BAC ，∴∠CBD ＝∠BCD ，∴BD ＝CD ，∴AD ＝BD ；②∵∠ACB ＝90°，BC ＝2，AC ＝4，∴AB =√22+42=2√5，∵BE ⊥CD ，∴∠BEC ＝∠ACB ＝90°，∵∠BCE ＝∠ABC ，∴△BEC ∽△ACB ，∴αααα=αααα，即αα2=2√5， ∴CE =25√5，∵∠ACB ＝90°，AD ＝BD ， ∴CD =12AB =√5， ∴CE =25CD ，∴S △ACE =23S △ADE ，∵AD ＝BD ，∴S △ABE ＝2S △ADE ，∴α△αααα△ααα=13；（2）∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝90°＝∠A ′CB ′，∴AB ∥CN ，∴△MCN ∽△MAD ，∴αααα=αααα，∵α△ααα=12αα⋅αα=12αα⋅αα，∴αα=αα⋅αααα=4×22√5=45√5，∴AD =√αα2−αα2=85√5，∵DM ∥A ′B ′，。

旋转基础练习一一、选择题1．在26个英文大写字母中，通过旋转180°后能与原字母重合的有（）A．6个B．7个C．8个D．9个2．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（）A．20°B．26°C．30°D．36°3．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC 旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（）A．70°B．80°C．60°D．50°(图1) (图2) (图3)二、填空题．1．在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为________，这个定点称为________，转动的角为________．2．如图2，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E在AB 上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点_________；旋转的度数是__________．3．如图3，△ABC为等边三角形，D为△ABC内一点，△ABD经过旋转后到达△ACP的位置，则，（1）旋转中心是________；（2）旋转角度是________；（3）△ADP是________三角形．三、解答题．1．阅读下面材料：如图4，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△ECD的位置．如图5，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置．(图4) (图5) (图6) (图7) 如图6，以A点为中心，把△ABC旋转90°，可以变到△AED的位置，像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状和大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题如图7，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BA 延长线上一点，AF=21AB ． （1）在如图7所示，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE 移到△ADF 的位置？（2）指出如图7所示中的线段BE 与DF 之间的关系．2．一块等边三角形木块，边长为1，如图，现将木块沿水平线翻滚五个三角形，那么B 点从开始至结束所走过的路径长是多少？答案:一、1．B 2．C 3．B二、1．旋转 旋转中心 旋转角 2．A 45° 3．点A 60° 等边 三、1．（1）通过旋转，即以点A 为旋转中心，将△ABE 逆时针旋转90°．（2）BE=DF ，BE ⊥DF2．翻滚一次滚120° 翻滚五个三角形，正好翻滚一个圆，所以所走路径是2．旋转基础练习二一、选择题1．△ABC 绕着A 点旋转后得到△AB′C′，若∠BAC′=130°，∠BAC=80°，则旋转角等于（ ） A ．50° B ．210° C ．50°或210° D ．130° 2．在图形旋转中，下列说法错误的是（ ）A ．在图形上的每一点到旋转中心的距离相等B ．图形上每一点转动的角度相同C ．图形上可能存在不动的点D ．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等3．如图，下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是（ ）二、填空题1．在作旋转图形中，各对应点与旋转中心的距离________．2．如图，△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，图中的△ABD绕A旋转42°后得到的图形是________，它们之间的关系是______，其中BD CE（填“>”,“<”或“=”）．3．如图，自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，∠EAF=45°，在保持∠EAF=45°的前提下，当点E、F分别在边BC、CD上移动时，BE+DF与EF的关系是________．三、解答题1．如图，正方形ABCD的中心为O，M为边上任意一点，过OM随意连一条曲线，将所画的曲线绕O点按同一方向连续旋转3次，每次旋转角度都是90°，这四个部分之间有何关系？2．如图，以△ABC的三顶点为圆心，半径为1，作两两不相交的扇形，则图中三个扇形面积之和是多少？3．如图，已知正方形ABCD的对角线交于O点，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，则△OAF与△OBE重合吗？如果重合给予证明，如果不重合请说明理由？答案:一、1．C 2．A3．D二、1．相等2．△ACE 图形全等= 3．相等三、1．这四个部分是全等图形2．∵∠A+∠B+∠C=180°，∴绕AB、AC的中点旋转180°，可以得到一个半圆，∴面积之和=21． 3．重合：证明：∵EG ⊥AF ∴∠2+∠3=90° ∵∠3+∠1+90°=180° ∵∠1+∠3=90° ∴∠1=∠2同理∠E=∠F ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ∴△ABF ≌△BCE ，∴BF=CE ，∴OE=OF ，∵OA=OB ∴△OBE 绕O 点旋转90°便可和△OAF 重合．旋转基础练习三一、选择题1．如图，摆放有五杂梅花，下列说法错误的是（以中心梅花为初始位置）（ ） A ．左上角的梅花只需沿对角线平移即可B ．右上角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转45°C ．右下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转180D ．左下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转90° 2．同学们曾玩过万花筒吧，它是由三块等宽等长的玻璃镜片围 成的，如图是看到的万花筒的一个图案，图中所有三角形均 是等边三角形，其中的菱形AEFG 可以看成把菱形ABCD 以 A 为中心（ ）A ．顺时针旋转60°得到的B ．顺时针旋转120°得到的C ．逆时针旋转60°得到的D ．逆时针旋转120°得到的3．下面的图形中，绕着一个点旋转120°后，能与原来的位置重合的是 （ ）A ．（1），（4）B ．（1），（3）C ．（1），（2）D ．（3），（4）二、填空题1．如图，五角星也可以看作是一个三角形绕中心点旋转_______次得到的，每次旋转的角度是________．2．图形之间的变换关系包括平移、_______、轴对称以及它们的组合变换．3．如图，过圆心O和图上一点A连一条曲线，将OA绕O点按同一方向连续旋转三次，每次旋转90°，把圆分成四部分，这四部分面积_________．三、解答题．1．请你利用线段、三角形、菱形、正方形、圆作为“基本图案”绘制一幅以“校运动会”为主题的徽标．2．如图，是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转的方法，将该图案绕原点O顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出图形，你来试一试吧！但是涂阴影时，要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则你将得不到理想的效果，并且还要扣分的噢！3．如图，△ABC的直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△AC P′重合，如果AP=3，求PP′的长．答案:一、1．D 2．D 3．C二、1．4 72°2．旋转3．相等三、1．答案不唯一，学生设计的只要符合题目的要求，都应给予鼓励．2．略3．∵△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，∴AP′=AP，∠CAP′=∠BAP，∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=∠BAC=90°，△PAP′为等腰直角三角形，PP′为斜边，∴旋转基础练习四一、选择题1．在英文字母VWXYZ中，是中心对称的英文字母的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下面的图案中，是中心对称图形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED′与BC的交点为G，点D、C分别落在D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=（）A．55°B．125°C．70°D．110°二、填空题1．关于某一点成中心对称的两个图形，对称点连线必通过_________．2．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形是_________图形．3．用两个全等的直角非等腰三角形可以拼成下面图形中的哪几种：_______（填序号）（1）长方形；（2）菱形；（3）正方形；（4）一般的平行四边形；（5）等腰三角形；（6）梯形．三、解答题1．仔细观察所列的26个英文字母，将相应的字母填入下表中适当的空格内．A2．如图，在正方形ABCD中，作出关于P点的中心对称图形，并写出作法．3．如图，是由两个半圆组成的图形，已知点B是AC的中点，画出此图形关于点B成中心对称的图形．答案:一、1．B 2．D 3．D二、1．这一点（对称中心）2．中心对称3．（1）（4）（5）三、1．略2．作法：（1）延长CB且BC′=BC；（2）延长DB且BD′=DB，延长AB且使BA′=BA；（3）连结A′D′、D′C′、C′B则四边形A′BC′D′即为所求作的中心对称图形，如图所示．3.略.旋转基础练习五一、选择题1．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．直角B．等边三角形C．直角梯形D．两条相交直线2．下列命题中真命题是（）A．两个等腰三角形一定全等B．正多边形的每一个内角的度数随边数增多而减少C．菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形D．两直线平行，同旁内角相等3．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图的所示的图形，已知∠CED′=60°，则∠AED的大小是（）A．60°B．50°C．75°D．55°二、填空题1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过__________，而且被对称中心所________．2．关于中心对称的两个图形是_________图形．3．线段既是轴对称图形又是中心对称图形，它的对称轴是_________，它的对称中心是__________．三、解答题1．分别画出与已知四边形ABCD成中心对称的四边形，使它们满足以下条件：21085（1）以顶点A 为对称中心，（2）以BC 边的中点K 为对称中心．2．如图，已知一个圆和点O ，画一个圆，使它与已知圆关于点O 成中心对称．3．如图，A 、B 、C 是新建的三个居民小区，我们已经在到三个小区距离相等的地方修建了一所学校M ，现计划修建居民小区D ，其要求：（1）到学校的距离与其它小区到学校的距离相等；（2）控制人口密度，有利于生态环境建设，试写居民小区D 的位置．答案:一、1．D 2．C 3．A二、1．对称中心 平分 2．全等 3．线段中垂线，线段中点．三、1．略 2．作出已知圆圆心关于O 点的对称点O′，以O′为圆心，已知圆的半径为半径作圆．3．连结AB 、AC ，分别作AB 、AC 的中垂线PQ 、GH 相交于M ，学校M 所在位置，就是△ABC 外接圆的圆心，小区D 是在劣弧BC 的中点即满足题意．旋转基础练习六一、选择题1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰梯形 C ．平行四边形 D ．正六边形2．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．平行四边形3．如图所示，平放在正立镜子前的桌面上的数码“21085”在镜子中的像是（ ）A ．21085B ．28015C ．58012D ．51082二、填空题1．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做__________．2．请你写出你所熟悉的三个中心对称图形_________．3．中心对称图形具有什么特点（至少写出两个）_____________． 三、解答题1．在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角，例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，应有一个旋转角为90°．（1）判断下列命题的真假（在相应括号内填上“真”或“假”） ①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°；（ ） ②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°；（ ）（2）填空：下列图形中是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°是_____．（写出所有正确结论的序号）①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形．（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，却有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件：①是轴对称图形，但不是中心对称图形；②既是轴对称图形，又是中心对称图形．2．如图，将矩形A 1B 1C 1D 1沿EF 折叠，使B 1点落在A 1D 1边上的B 处；沿BG 折叠，使D 1点落在D 处且BD 过F 点．（1）求证：四边形BEFG 是平行四边形；（2）连接BB ，判断△B 1BG 的形状，并写出判断过程．FG DECA B1A 1B 1C 1D3．如图，直线y=2x+2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°得到△A 1OB 1．（1）在图中画出△A 1OB 1；（2）设过A 、A 1、B 三点的函数解析式为y=ax 2+bx+c ，求这个解析式．答案：一、1．D 2．D 3．D二、1．中心对称图形 2．答案不唯一 3．答案不唯一三、1．（1）①假 ②真 （2）①③（3）①例如正五边形 正十五边形 •②例如正十边 正二十边形2．（1）证明：∵A 1D 1∥B 1C 1，∴∠A 1BD=∠C 1FB 又∵四边形ABEF 是由四边形A 1B 1EF 翻折的，∴∠B 1FE=∠EFB ，同理可得：∠FBG=∠D 1BG ， ∴∠EFB=90°-21∠C 1FB ，∠FBG=90°-21∠A 1BD ， ∴∠EFB=∠FBG∴EF ∥BG ，∵EB ∥FG ∴四边形BEFG 是平行四边形． （2）直角三角形，理由：连结BB ，∵BD 1∥FC 1，∴∠BGF=∠D 1BG ，∴∠FGB=∠FBG 同理可得：∠B 1BF=∠FB 1B ． ∴∠B 1BG=90°，∴△B 1BG 是直角三角形 3．解：（1）如右图所示（2）由题意知A 、A 1、B 1三点的坐标分别是（-1，0），（0，1），（2，0）∴⎩=++⎪⎨=⎪⎧=-+a b cc a b c 04210 解这个方程组得⎩⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪⎪=-⎧c b a 12121∴所求五数解析式为y=-21x 2+21x+1．旋转基础练习七一、选择题1．下列函数中，图象一定关于原点对称的图象是（ ） A ．y=x1B ．y=2x+1C ．y=-2x+1D ．以上三种都不可能2．如图，已知矩形ABCD 周长为56cm ，O 是对称线交点，点O 到矩形两条邻边的距离之差等于8cm ，则矩形边长中较长的一边等于（ ）A ．8cmB ．22cmC ．24cmD ．11cm 二、填空题1．如果点P （-3，1），那么点P （-3，1）关于原点的对称点P′的坐标是P′_______． 2．写出函数y=-x 3与y=x3具有的一个共同性质________（用对称的观点写）． DCAB O三、解答题1．如图，在平面直角坐标系中，A （-3，1），B （-2，3），C （0，2），画出△ABC 关于x 轴对称的△A′B′C′，再画出△A′B′C′关于y 轴对称的△A″B″C″，那么△A″B″C″与△ABC 有什么关系，请说明理由．2．如图，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，且A （0，3），B （3，0），现将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°得到直线A 1B 1． （1）在图中画出直线A 1B 1；（2）求出过线段A 1B 1中点的反比例函数解析式； （3）是否存在另一条与直线A 1B 1平行的直线y=kx+b （我们发现互相平行的两条直线斜率k 相等）它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的解析式；若不存在，请说明不存在的理由．答案:一、1．A 2．B 二、1．（3，-1） 2．答案不唯一 参考答案：关于原点的中心对称图形． 三、1．画图略，△A″B″C″与△ABC 的关系是关于原点对称． 2．（1）如右图所示，连结A 1B 1； （2）A 1B 1中点P （1.5，-1.5），设反比例函数解析式为y=x k ，则y=-x2.25．（3）A 1B 1：设y=k 1x+b 1 ⎩=-⎨⎧=-k b 033311⎩=-⎨⎧=b k 3111∴y=x+3∵与A 1B 1直线平行且与y=x2.25相切的直线是A 1B 1•旋转而得到的． ∴所求的直线是y=x+3， 下面证明y=x+3与y=-x2.25相切， ⎩⎪=-⎨⎪⎧=+x y y x 2.253 ⇒x 2+3x+2.25=0，b 2-4ac=9-4×1×2.25=0，∴y=x+3与y=-x2.25相切．旋转基础练习八一、选择题1．在图所示的4个图案中既包含图形的旋转，还有图形轴对称是（ ）2．将三角形绕直线L 旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（ ）二、填空题1．基本图案在轴对称、平移、旋转变化的过程中，图形的______和______都保持不变．2．如上右图，是由________关系得到的图形．三、解答题 1．（1）图案设计人员在进行图设计时，常常用一个模具板来设计一幅幅美丽漂亮的图案，你能说出用同一模具板设计出的两个图案之间是什么关系吗？（2）现利用同一模具板经过平移、旋转、轴对称设计一个图案，并说明你所表达的意义．2．如图，你能利用平移、旋转或轴对称这样的变化过程来分析它的形成过程吗？答案:一、1．D 2．B二、1．形状大小2．旋转三、1．（1）用同一块模块设计出的两个图案之间可能是由平移、旋转、•轴对称变化得到的，或者是由这三种变化的组合而成的；（2）略2．略。

四川省渠县三中 2020 年中考九年级数学旋转压轴题专题复习练习1、填空或解答：点 B、C、E 在同一直线上，点 A、D 在直线 CE 的同侧，AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，直线 AE、BD 交于点 F．（1）如图①，若∠BAC=60°，则∠AFB=；如图②，若∠BAC=90°，则∠ AFB= ；（2）如图③，若∠BAC=α，则∠AFB=（用含α的式子表示）；（3）将图③中的△ABC绕点 C 旋转（点 F 不与点 A、B 重合），得图④或图⑤．在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是∠AFB=90°；在图⑤中，∠AFB与∠ α的数量关系是．请你任选其中一个结论证明．2、如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点P 在AC 上，将△ABP绕顶点 B 沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．（1）求∠PCQ的度数；（2）当AB=4，AP：PC=1：3 时，求 PQ 的大小；（3）当点 P 在线段 AC 上运动时（P 不与 A 重合），请写出一个反映PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．3、如图 1，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的三角板 DEF 的直角顶点 D 放在AC 的中点上（直角三角板的短直角边为 DE，长直角边为 DF），将直角三角板 DEF 绕D 点按逆时针方向旋转．（1）在图 1 中，DE 交AB 于M，DF 交BC 于N．①证明 DM=DN；②在这一过程中，直角三角板 DEF 与△ABC的重叠部分为四边形 DMBN，请说明四边形 DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积；（2）继续旋转至如图 2 的位置，延长 AB 交DE 于M，延长 BC 交DF 于N，DM=DN 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）继续旋转至如图 3 的位置，延长 FD 交BC 于N，延长 ED 交AB 于M，DM=DN 是否仍然成立？若成立，请给出写出结论，不用证明．4、已知△ABC中，∠ACB=135°，将△ABC绕点A 顺时针旋转90°，得到△AED，连接 CD，CE．（1）求证：△A CD 为等腰直角三角形；（2）若BC=1，AC=2，求四边形 ACED 的面积．5、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，tan∠B=，点P 在BC 边上，且BP=3．以点 P 为中心，将△ABC中按逆时针方向旋转90°至△A′B′C′，A′C′与 AC、BC 分别交于点 R、Q，B′C′与AC、BC 分别交于点 S、P．求：（1）线段PC′的长；（2）线段 RS 的长．6、如图，把一块含60°的三角尺 ACB 与边长为 2 的正方形 ACFG 按如图所示重叠在一起，∠B=30°．若把三角尺绕直角顶点 C 按顺时针方向旋转，使斜边 AB 恰好经过正方形 ACFG 的顶点 F，得△PCN，PC，PN 交AB 于D、E．（1）求∠BAC的度数；（2）△ACB至少旋转多少度才能得到△PCN？请通过计算说明理由；（3）试求出△ACB与△PCN的重叠部分（即四边形 CDEF）的面积（精确到 0.01）．7、如图 1，△ABC与△DEF中，AB=AC，D 为BC 的中点，∠EDF+∠BAC=180°，直线DF 、 DE 分别交直线AB 、AC 于点P 、Q．（1）如图 2，∠BAC=60°，猜想 BP+QC 与BC 的关系，并说明理由；（2）当∠BAC=120°，BP+QC 与BC 的关系为；（3）当∠BAC=α，探究 BP+QC 与BC 的关系，并说明理由；（4）如图 3，当△DEF绕点 D 旋转时，其他条件不变，（3）中的结论是否一定成立？若成立，请你写出一个真命题；若不成立，请你画图说明．8、把两个全等的等腰直角三角形 ABC 和 EFG（其直角边长均为 4）叠放在一起（如图①），且使三角板 EFG 的直角顶点 G 与三角板 ABC 的斜边中点 O 重合．现将三角板 EFG 绕 O 点逆时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形 CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．（1） 在上述旋转过程中，BH 与 CK 有怎样的数量关系四边形 CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论；（2） 连接 HK ，在上述旋转过程中，设 BH=x ，△GKH 的面积为 y ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3） 在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH 的面积恰好等于△ABC 面积的？若存在，求出此时 x 的值；若不存在，说明理由．9、将两块含 30°角且大小相同的直角三角板如图 1 摆放．（1） 将图 1 中△A 1B 1C 绕点 C 顺时针旋转 45°得图 2，点 P 1 是 A 1C 与 AB 的交点，求证：CP 1=AP 1；（2） 将图 2 中△A 1B 1C 绕点 C 顺时针旋转 30°到△A 2B 2C （如图 3），点 P 2 是 A 2C与 AB 的交点．线段 CP 1 与 P 1P 2 之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由； （3） 将图 3 中线段 CP 1 绕点 C 顺时针旋转 60°到 CP 3（如图 4），连接 P 3P 2，求证： P 3P 2⊥AB．10、如图，平面直角坐标系中，△ABC 为等边三角形，其中点 A 、B 、C 的坐标分别为（﹣3，﹣1）、（﹣3，﹣3）、（﹣3+，﹣2）．现以 y 轴为对称轴作△ABC 的对称图形，得△A 1B 1C 1，再以 x 轴为对称轴作△A 1B 1C 1 的对称图形，得△A 2B 2C 2． （1） 直接写出点 C 1、C 2 的坐标； （2） 能否通过一次旋转将△ABC 旋转到△A 2B 2C 2 的位置？你若认为能，请作出肯定的回答，并直接写出所旋转的度数；你若认为不能，请作出否定的回答（不必说明理由）； （3） 设当△ABC 的位置发生变化时，△A 2B 2C 2、△A 1B 1C 1 与△ABC 之间的对称关系始终保持不变．①当△ABC向上平移多少个单位时，△A1B1C1与△A2B2C2完全重合并直接写出此时点C 的坐标；②将△ABC绕点A 顺时针旋转α°（0≤α≤180），使△A1B1C1与△A2B2C2完全重合，此时α的值为多少点 C 的坐标又是什么？11、如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 C，连接 AF 和BE．（1）线段 AF 和BE 有怎样的大小关系？请证明你的结论；（2）将图 a 中的△CEF绕点 C 旋转一定的角度，得到图 b，这时（1）中的结论还成立吗？作出判断并说明理由；（3）若将图 a 中的△ABC绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形（草图即可），（1）中的结论还成立吗？作出判断不必说明理由；（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现．12、如图，已知△A BC 是等腰直角三角形，CD 是斜边AB 的中线，△ADC绕点D 旋转一定角度得到△A'DC'，A'D 交AC 于点E，DC'交BC 于点F，连接EF，若，则的值？13、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，在△DCE中，∠DCE=90°，DC=EC=6，点D 在线段 AC 上，点E 在线段 BC 的延长线上．将△DCE绕点C 旋转60°得到△D′CE′（点D 的对应点为点D′，点E 的对应点为点E′），连接AD′、BE′，过点 C 作CN⊥BE′，垂足为 N，直线 CN 交线段AD′于点 M，求MN 的长？14、如图，在等腰Rt△ABC中，P 是斜边 BC 的中点，以 P 为顶点的直角的两边分别与边 AB，AC 交于点 E，F，连接 EF．当∠EPF绕顶点 P 旋转时（点E 不与A， B 重合），△PEF也始终是等腰直角三角形，请你说明理由．答案：1、【解答】解：（1）∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED=60°，∴△ABC∽△EDC，∴∠CBD=∠CAE，∴∠AFB=180°﹣∠CAE﹣∠BAC﹣∠ABD=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=∠ACB，∴∠AFB=60°，同理可得：∠AFB=45°；（2）∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，∴△ABC∽△EDC，∴∠ACB=∠ECD，，∴∠BCD=∠ACE，∴△BCD∽△ACE，∴∠CBD=∠CAE，∴∠AFB=180°﹣∠CAE﹣∠BAC﹣∠ABD，=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=∠ACB，∵AB=AC，∠BAC=α，∴∠ACB=90°﹣，∴∠AFB=90°﹣．故答案为：∠AFB=90°．（3）图4 中：∠AFB=90°；图5 中：∠AFB=90°+．∠AFB=90°的证明如下：∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，∴△ABC∽△EDC，∴∠ACB=∠ECD，，∴∠BCD=∠ACE，∴△BCD∽△ACE，∴∠CBD=∠CAE，∴∠AFB=180°﹣∠CAE﹣∠BAC﹣∠ABD，=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=∠ACB，∵AB=AC，∠BAC=α，∴∠ACB=90°﹣，∴∠AFB=90°﹣．∠AFB=90°+的证明如下：∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，∴△ABC∽△EDC，∴∠ACB=∠ECD，，∴∠BCD=∠ACE，∴△BCD∽△ACE，∴∠BDC=∠AEC，∴∠AFB=∠BDC+∠CDE+∠DEF，=∠CDE+∠CED=180°﹣∠DCE，∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠DEC=α，∴∠DCE=90°﹣，∴∠AFB=180°﹣（90°﹣）=90°+．2、【解答】解：（1）由题意知，△ABP≌△CQB，∴∠A=∠ACB=∠BCQ=45°，∠ABP=∠CPQ，AP=CQ，PB=BQ，∴∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90°，∠ABP+∠PBC=∠CPQ+∠PBC=90°，∴△BPQ 是等腰直角三角形，△PCQ 是直角三角形．（2）当AB=4，AP：PC=1：3 时，有AC=4，AP=，PC=3，∴PQ==2 ．（3）存在 2PB2=PA2+PC2，由于△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ=PB，∵AP=CQ，∴PQ2=PC2+CQ2=PA2+PC2，故有 2PB2=PA2+PC2．3、【解答】解：（1）①如图 1，连接 DB，在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，∴DB=DC=AD，∠BDC=90°，∴∠ABD=∠C=45°，∵∠MDB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=90°，∴∠MDB=∠NDC，∴△BMD≌△CND（ASA），∴DM=DN；②四边形 DMBN 的面积不发生变化；由①知△BMD≌△CND，∴S△BMD =S△CND，∴S四边形DMBN =S△DBN+S△DMB=S△DBN+S△DNC=S△DBC=S△ABC=×=；（2）DM=DN 仍然成立；证明：如图 2，连接 DB，在Rt△ABC 中，AB=BC，AD=DC，∴DB=DC，∠BDC=90°，∴∠DCB=∠DBC=45°，∴∠DBM=∠DCN=135°，∵∠NDC+∠CDM=∠BDM+∠CDM=90°，∴∠CDN=∠BDM，则在△BMD和△CND中，，∴△BMD≌△CND（ASA），∴DM=DN．（3）DM=DN．4、【解答】证明：（1）∵△AED是△ABC旋转90°得到的，∴△ABC≌△AED，∴∠CAD=90°，AC=AD，∠ADE=∠ACB=135°，∴△ACD 是等腰直角三角形；解：（2）∵△ACD是等腰直角三角形，∴∠ADC=∠ACD=45°，AC=AD=2，∴CD==2 ，由（1）知，∠ADE=135°，∴∠CDE=∠ADE﹣∠ADC=90°，∵D E=BC=1，∴S四边形ADEC =S△ACD+S△CDE=AC•AD+ CD•DE= ×2×2+×2×1=2+．5、【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，tan∠B=，∴AC=3× =4，BC===5，∵BP=3，∴PC=BC﹣BP=5﹣3=2，∵△ABC 按逆时针方向旋转90°得到△A′B′C′，∴PC′=PC=2；（2）由题意可知∠SPC=90°，∴∠PSC=∠B，在Rt△SPC中，∠SPC=90°，tan∠PSC=，PC=2∴SP=2÷= ，∴SC===，∴SC′=PC′﹣SP=，∵∠RSC′=∠PSC，∠C′=∠C，∴△RSC′∽△PSC，∴= ，即= ，解得RS=．6、【解答】解：（1）∠BAC=90°﹣30°=60°．（2）∵AC=CP=CF，又∠CPN=∠CAB=60°，∴△PCF 是等边三角形．∴∠PCF=60°．∴∠ACP=90°﹣∠PCF=30°，即△ABC 旋转30°时，得到△PCN．（3）在△ACD 中，∠ACD=30°，∠BAC=60°，∴∠ADC=90°，AD=AC=1，CD=AC•Sin60°=，∴PD=2﹣，DE=PD•tan60°=2﹣3．∴△PDE的面积为： PD•DE==CF•CP•sin60°=．又∵S△PCF，∴四边形DCFE 的面积为：﹣（）≈1.67． 7、【解答】解：（1）BP+QC=BC；理由如下：过 D 作DM⊥AB 于 M，DN⊥AC 于 N，则∠MDN=∠PDQ=180°﹣∠BAC．∵∠B=∠C，BD=DC，∠DMB=∠DNC，∴△BDM≌△CDN，得 DM=DN，BM=NC．∵∠MDP=∠MDN﹣∠PDN，∠NDQ=∠PDQ﹣∠PDN，且∠MDN=∠PDQ，∴∠MDP=∠NDQ．又∵∠DMP=∠DNQ=90°，DM=DN，∴△DMP≌△DNQ，得 MP=NQ．∴BP+QC=BM+MP+NC﹣NQ=2BM．Rt△BDM中，∠B=60°，则BM=BD•cos∠B=BD，∴BP+QC=2BM=×2BD=BC．（2）BP+QC=BC．（证法可参照（1）（3））（3）BP+QC=BC•cos（90°﹣α）．解法同（1），过 D 作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，则∠MDN=∠PDQ=180°﹣∠BAC．∵∠B=∠C，BD=DC，∠DMB=∠DNC，∴△BDM≌△CDN，得 DM=DN，BM=NC．∵∠MDP=∠MDN﹣∠PDN，∠NDQ=∠PDQ﹣∠PDN，且∠MDN=∠PDQ，∴∠MDP=∠NDQ，又∵∠DMP=∠DNQ=90°，DM=DN，∴△DMP≌△DNQ，得 MP=NQ．∴BP+QC=BM+MP+NC﹣NQ=2BM．Rt△BDM中，∠B=（180°﹣α）=90°﹣α，则BM=BD•cos∠B=BD•cos（90°﹣α）；∴BP+QC=2BM=2BD•cos（90°﹣α）=BC•cos（90°﹣α）．（4）当P、Q 分别在线段 BA、AC 上时，（3）的结论依然成立，即BP+QC 与BC 的关系为：BP+QC=BC•cos（90°﹣α）．（证法同（3））当P、Q 在BA、AC 的延长线上时，（3）的结论不成立．如图 3，同（3）可得：BM=NC，MP=NQ．∴BP+CQ=BM+MP+NQ﹣NC=BM+MP+BM﹣MP=2BM=2NQ．因此（3）的结论不成立．8、【解答】解：（1）在上述旋转过程中，BH=CK，四边形 CHGK 的面积不变．证明：连接 CG，KH，∵△ABC 为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点，∴CG=BG，CG⊥AB，∴∠ACG=∠B=45°，∵∠BGH 与∠CGK 均为旋转角，∴∠BGH=∠CGK，在△BGH 与△CGK 中，∴△BGH≌△CGK（ASA），∴BH=CK，S△BGH =S△CGK．∴S四边形CHGK =S△CHG+S△CGK=S△CHG+S△BGH=S△ABC=××4×4=4，即：S四边形CHGK的面积为 4，是一个定值，在旋转过程中没有变化；（2）∵AC=BC=4，BH=x，∴CH=4﹣x，CK=x．由S△GHK =S四边形CHGK﹣S△CHK，得y=4﹣x（4﹣x），∴y=x2﹣2x+4．由0°＜α＜90°，得到 BH 最大=BC=4，∴0＜x＜4；（3）存在．根据题意，得x2﹣2x+4= ×8，解这个方程，得 x1=1，x2=3，即：当x=1 或x=3 时，△GHK的面积均等于△ABC的面积的．9、【解答】（1）证明：过点 P1作CA 的垂线，垂足为D．易知：△CDP1为等腰直角三角形，△P1DA 是直角三角形，且∠A=30°，所以CP1=P1D，P1D= AP1，故CP1=AP1．（2）解：过点 P1 作CA2 的垂线，垂足为 E，易知：△P1EP2是等腰直角三角形，（其中∠2=∠A+∠P2CA=45°），因为△P1CE 是直角三角形，且∠1=30°，所以CP1=2P1E，P1E=P1P2，故CP1=P1P2．（3）证明：将图 3 中线段 CP1 绕点 C 顺时针旋转60°到CP3，易证：△CP1P2≌△CP3P2，于是∠CP3P2=∠CP1P2=105°，∴∠P1P2P3=360°﹣105°×2﹣60°=90°，故 P2P3⊥AB．10、解：（1）点C1、C2的坐标分别为（3﹣，﹣2）、（3﹣，2）．（2）能通过一次旋转将△ABC旋转到△A2B2C2 的位置，所旋转的度数为180°；（3）①当△ABC向上平移 2 个单位时，△A1B1C1 与△A2B2C2 完全重合，此时点 C 的坐标为（﹣3+，0）（如图1）；②当α=180时，△A1B1C1与△A2B2C2完全重合，此时点C 的坐标为（﹣3﹣，0）（如图 2）．11、【解答】解：（1）AF=BE．证明：在△AFC和△BEC中，∵△ABC 和△CEF 是等边三角形，∴AC=BC，CF=CE，∠ACF=∠BCE=60°，∴△AFC≌△BEC．∴AF=BE．（2）成立．理由：在△AFC 和△BEC 中，∵△ABC 和△CEF 是等边三角形，∴AC=BC，CF=CE，∠ACB=∠FCE=60°，∴∠ACB﹣∠FCB=∠FCE﹣∠FCB，即∠ACF=∠BCE．∴△AFC≌△BEC，∴AF=BE．（3）此处图形不惟一，仅举几例．如图，（1）中的结论仍成立．12、【解答】解：∵△ABC 是等腰直角三角形，CD 是斜边 AB 的中线，∴CD⊥AB，CD=AD，∠A=∠BCD=45°．又∵∠ADE=90°﹣∠CDE=∠CDF，∴△ADE≌△CDF （ASA）∴DE=DF．∵DA=DA′，DC=DC′，∴DE：DA′=DF：DC′，∴EF∥A′C′．∴△DEF∽△DA′C′，∴．∵，则，∴．13、【解答】解：①若将△DCE 绕点 C 顺时针旋转60°得到△D′CE′，如图中左边所示，过点 B 作E′C的垂线交其延长线于 F 点，过点D′作CM 的垂线交 CM 于H 点，过 A 点作CM 的垂线交其延长线于 G 点．∵∠ACD′=60°，∠ACB=∠D′CE′=90°，∴∠BCE′=360°﹣∠ACD′﹣∠ACB﹣∠D′CE′=120°．∴∠BCF=180°﹣∠BCE′=60°，BF=sin∠BCF•BC= ×10=，=BF•CE′=．∴S△BCE′∵∠ACG+∠BCN=90°，∠BCN+∠CBN=90°，∴∠ACG=∠CBN，又∵AC=BC，∴Rt△ACG≌Rt△CBN，∴AG=CN，CG=BN．同理△CD′H≌△E′CN，D′H=CN，CH=NE′．∴AG=D′H，在△AMG 和△D′MH 中，∴△AMG≌△D′MH，∴HM=MG，∴M为GH 中点，CM=（CG+CH）= （NB+NE′）=BE′．又∵BF=，∠BCF=60°，∴CF=5，FE′=CF+CE′=11，∴BE′== =14，∴CM=BE′=7．又∵SCN•BE′，△BCE′=÷BE′=，∴CN=2S△BCE′∴MN=CM+CN=7．②同理，当△CDE逆时针旋转60°时，MN 如图中右边所示，MN=7﹣．故答案为：7+或7﹣．14、【解答】解：理由如下：连接 PA，∵PA 是等腰△ABC 底边上的中线，∴PA⊥PC（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一））．又AB⊥AC，∴∠1=90°﹣∠PAC，∠C=90°﹣∠PAC，∴∠1=∠C（等量代换）．同理可得PA⊥PC，PE⊥PF，∴∠2=90°﹣∠APF，∠3=90°﹣∠APF，∴∠2=∠3．由 PA 是Rt△ABC 斜边上的中线，得：PA=BC=PC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．在△PAE和△PCF中，∠1=∠C，PA=PC，∠2=∠3，∴△PAE≌△PCF（ASA）．∴PE=PF（全等三角形对应边相等），则△PEF始终是等腰直角三角形．。