2018中考数学专题复习几何旋转综合题练习

2018年中考数学-----几何综合题汇总31．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现：①当α=0°时，= ；②当α=180°时，= ．（2）拓展探究：试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决：当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．2．在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E．DF 与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB；（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC 的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=（BE﹣CF）．3．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD=，其他条件不变，求线段AM的长．4．已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：．（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA•PB=k•AB．5．【问题提出】如图①，已知△ABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF；试证明：AB=DB+AF。

天津市2018年中考数学题型专项训练：旋转问题1.如图,在平面直角坐标系中,已知点A 的坐标为(0,2),△A B O 为等边三角形,P是x 轴上的一个动点(不与O 点重合),将线段A P 绕A 点按逆时针方向旋转60°,P 点的对应点为点Q . (Ⅰ)求点B 的坐标;(Ⅱ)当点P 在x 轴负半轴运动时,求证:∠A B Q =90°;(Ⅲ)连接O Q ,在点P 运动的过程中,当O Q 平行A B 时,求点P 的坐标.图① 图② 第1题解图2.在直角坐标系中,O A =C D ,O B =O D ,C D ⊥x 轴于D ,E 、F 分别是O B 、O D 中点,连接E F 交A C 于点G .(Ⅰ)如图①,若点A 的坐标为(－2,0),S △O C D =5,求点B 的坐标; (Ⅱ)如图②,当O B =2O A 时,求证:点G 为A C 的中点;(Ⅲ)如图③,当O B ＞2O A ,△A B O 绕原点O 顺时针旋转α(0°＜α＜45°),(Ⅱ)中的结论是否还成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.∵O B=O D,O E=E B,O F=D F,∴O E=D F,∵∠A O E=∠F D C,O A=C D,∴△A O E≌△C D F,∴A E=C F=C H,∠A E O=∠C F D,∵O E=O F,∴∠O E F=∠O F E,∵∠A E G=∠A E O＋∠O E F,∠C H G=180°－∠C H F=180°－∠C F H=180°－(180°－∠O F E－∠C F D)=∠O F E＋∠C F D,∴∠A E G=∠C H G,∵∠A G E=∠C G H,∴△A E G≌△C H G,∴A G=C G,即点G为A C的中点.图①图②第2题解图3.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(－8,0),直线B C经过点B(－8,6),C(0,6),将四边形O A B C绕点O按顺时针方向旋转角度α得到四边形O A′B′C′,此时边O A′与边B C交于点P,边B′C′与B C的延长线交于点Q,连接A P.(Ⅰ)求证:四边形O A B C是矩形;(Ⅱ)在旋转过程中,当∠P A O=∠P O A,求P点坐标.(Ⅲ)在旋转过程中,当P为线段B Q中点时,连接O Q,求△O P Q的面积.第3题图(Ⅰ)证明:∵点A的坐标为(－8,0),点B(－8,6),C(0,6),∴∠C O A=∠O A B=∠B=90°,∴四边形O A B C是矩形.(Ⅱ)解:如解图①,过点P作P E⊥A O于点E,∵∠P A O=∠P O A,∴P A=P O,∵P E⊥A O,∴A E=E O=4,∴P(－4,6);(Ⅲ)解:如解图②,在R t △O C Q 和R t △O C 'Q 中,CO COOQ OQ⎧⎨＝＝,2244图① 图② 第3题解图4.如图,在平面直角坐标系中A (3,0),B (0,1)P O 、P A 、P B ,将△A B 绕着点A 顺时针旋转(Ⅰ)求点B ′的坐标;(Ⅱ)当△O P A 与△A P 满足什么条件时,P O ＋小值;(Ⅲ)试直接写出(Ⅱ)中的点P 坐标.解:(Ⅰ)∵A (3,0),B (01), ∴A B =2,∠B A O =30°,∵将△A B P 绕着点A 顺时针旋转60°得到△∴A B ′=2,∠B ′A O =90°,∴B ′(3,2);(Ⅱ)由旋转可得,△A P ′是等边三角形, ∴P P ′=P A ,又∵P ′B ′=P B ,∴P O ＋A ＋P B =P O ＋P P ′＋P ′B ∴如解图①,当O 、P 、P ′、B ′四点共线时,P O ∴当∠O P A =∠A P B =∠A P ′B ′=120°时,P O ＋P A此时,P O ＋P A ＋P B =O B ′=22 2(3) =7;(Ⅲ)如解图②,将(Ⅱ)中的△O P B 绕着点O 逆时针旋转60°得到△O B ″P ″,则∠B O B ″=60°,O B ″=O B =1∴点B ″的坐标为(－32,12),由(Ⅱ)可知A 、P 、P ″、B ″四点共线, ∴点P 为O B ′与A B ″的交点,根据A 、B ″两点的坐标可得直线A B ″的解析式为y =－39x ＋13,根据B ′的坐标可得直线O B ′的解析式为y =233x ,联立方程组,解得P (37,27).图① 图② 第4题解图5.如图,将两块直角三角板摆放在平面直角坐标系中,有∠C O D =∠A B O =90°,∠O C D =45°,∠A O B =60°,且A O =C D =8.现将R t △A O B 绕点O 逆时针旋转,旋转角为β(0°≤β≤180°).在旋转过程中,直线C D 分别与直线A B ,O A 交于点F ,G . (Ⅰ)当旋转角β=45°时,求点B 的坐标; (Ⅱ)在旋转过程中,当G F =A F ,求β的值; (Ⅲ)在旋转过程中,当∠B O D =60°时,求直线A B 的解析式.解:(Ⅰ)如解图①,过点B 作B H ⊥x 轴于点H , 在R t △A O B 中,∠A O B =60°,O A =8,∴O B =12O A =4,当β=45°时,即∠B O C =45°,图①图②图③图④当点D落在△A O′B′内部(包括边界第6题图解:(Ⅰ)∵点A的坐标是(3,0),B的坐标是(0,－4),∴O A=3,O B=4.∵C D∥A B,∴△A O B∽△C O D,4 Array第6题解图7.如图,O A B C是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为坐标原点,点A在x轴上,点C在y轴上,O A=9,O C=15,将矩形纸片O A B C绕O点顺时针旋转90°得到矩形O A1B1C1.将矩形O A1B1C1折叠,使得点B1落在x轴上,并与x 轴上的点B2重合,折痕为A1D.(Ⅰ)求点B2的坐标;(Ⅱ)求折痕A1D所在直线的解析式;(Ⅲ)在x轴上是否存在点P,使得∠B P B1为直角？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.的坐标(直接写出结果即可3图①图②图③第8题解图9.在平面直角坐标系中,点A(－2,0),B(2,0),C(0,2),点D,点E分别是A C,B C的中点,将△C D E绕点C逆时针旋转得到△C D′E′,旋转角为α,连接A D′,B E′. (Ⅰ)如图①,若 0°＜α＜90°,当A D′∥C E′时,求α的大小;(Ⅱ)如图②,若 90°＜α＜180°,当点D′落在线段B E′上时,求s i n∠C B E′的值; (Ⅲ)若直线A D′与直线B E′相交于点P,求点P的横坐标m的取值范围.第9题图解:(Ⅰ)如解图①,∵A(-2,0),B(2,0),C(0,2),∴OA=OB=OC,∴∠ACB=90°,∵△C D′E′是△C D E旋转得到的,图① 图②图③ 图④ 第9题解图10.如图,在平面直角坐标系中,正方形A B C D 的顶点A 、B 、C 、D 的坐标分别为(3,0)、(0,3)、(－3,0)、(0,－3),点M 为A B 上一点,A M :B M =2:1,∠E M F 在A B 的下方以M 为中心旋转且∠E M F =45°,M E 交y 轴于点P ,M F 交x 轴于点Q .(Ⅰ)求点M 的坐标;(Ⅱ)设A Q 的长为y ,B P 的长为x .求y 与x 的函数关系式;(Ⅲ)当P 为O B 的中点时,求四边形O Q M P 的面积.图①图②图③第10题解图。

一、选择题1.（2018·济宁，5，3分）6． （2018·济宁，6，3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 、C 在x 轴上，点C 的坐标为（－1，0），AC ＝2，将Rt △ABC 先绕点C 顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A 的对应点坐标是（ ）A ．（2，2）B ．（1，2）C ．（－1，2）D ．（2，－1）答案：A ．解析：如答图所示，先根据题意画出△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后的图形△A 1B 1C ．因为C 的坐标为（－1，0），A 1C ＝AC ＝2，所以点A 1的坐标为（－1，2）；再画出将△A 1B 1C 向右平移3个单位长度后的图形△A 2B 2C 2，所以点A 2的坐标为（2，2）．2.（2018·绵阳，5，3分） 下列图形是中心对称图形的是A30B C D答案：D ，解析：根据中心对称图形的定义：整个图形绕着某个点旋转180°后能够与原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形。

进行逐项识别． 3.（2018·绵阳，7，3分） 在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A (3，4)逆时针旋转90°，得到点B ，则点B 的坐标为 A ．（4，－3） B ．（－4，3） C ．（－3，4） D ．（－3，－4）答案：B ，解析：如下图，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为E ，根据旋转的特征可证△AOD ≌△OBE ，所以BE ＝OD ＝3，OE ＝AD ＝4， 再根据B 点在第二象限，所以B (－4，3)．xyBA1234–1–2–3–4–512344.(2018·攀枝花，5，3分)下列平面图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( ) A ．菱形 B ．等边三角形 C ．平行四边形 D ．等腰梯形4．A ，解析：这里等边三角形和等腰梯形只是轴对称图形，平行四边形只是中心对称图形，只有菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，故选A ．O yx（第6题图）CAB（第6题答图）OyxCA B1B 1A 2A 2B 2C5．（2018·金华市，9，3分）如图,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A,D,E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是（▲）A.55°B.60°C.65°D.70°答案．C，解析：根据旋转的性质：旋转前后两个图形全等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.直角三角形的性质和三角形外角性质：三角形的外角等于不相邻的两个内角的和.由于旋转得出AC=CE，∠ACE=90°，即∠E=45°，所以∠ADC=∠ACB+∠E=65°.6．(2018·南充，2，3分)下列图形中，即是轴对称图形又是中心对称图形的是A．扇形B．正五边形C．菱形D．平行四边形答案：C，解析：菱形即是轴对称图形，又是中心对称图形，扇形、正五边形是轴对称图形，平行四边形是中心对称图形．7．（2018·德州，12，4）如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②ODE BDES S=V V；③四边形ODBE的面积始终等于433；④△BDE的周长的最小值为6．上述结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4答案．C，解析：连接OB，OC．∵O是△ABC的中心，∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝30°，∠BOC＝120°．∵∠FOG＝120°，∴∠DOB＝∠EOC，∴△DOB≌△EOC，∴OD＝OE，故①正解；四边ODBE的面积＝△OBC的面积＝111434233323ABCS=⨯⨯⨯=，故③正确；当D，E分别是AB，BC边中点时，ODE BDES S≠V V，DE不能平分四边ODBE的面积，故②不正确；∵△DOB≌△EOC，∴BD＝CE，∴△BDE 的周长＝BD＋DE＋EB＝CE＋DE＋EB＝BC＋DE，∴当DE最小时，△BDE的周长取得最小值，当CE越小时，DE越接近于BC长，当D，E分别是AB，BC边中点时，DE取得最小，此时△BDE的周长是6，故④正确．8．（2018·山东泰安，11，3分）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若AC上一点P(1.2，1.4)平移后对应点为P1，点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，则点P2的坐标为（）A．(2.8，3.6) B．(－2.8，－3.6)ABDCEC ．(3.8，2.6)D ．(－3.8，－2.6)答案．A ，解析：根据图形中点A 与其平移后的对应点A 1的坐标位置，可知△ABC 向左平移4个单位，再向下平移5个单位，所以P (1.2，1.4)平移后对应点P 1的坐标为(－2.8，－3.6)，则其关于原点成中心对称的点P 2的坐标为(2.8，3.6)．9.（2018·达州市，3，3分）下列图形中是中心对称图形的是（ ）．DC.B.A.答案：B ，解析：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心 ．根据中心对称图形的定义，得图形B 是中心对称图形．故选B. 10．（2018·成都，4，3分）在平面直角坐标系中，点P (－3，－5)关于原点对称的点的坐标是（ ） A ．(3，－5) B ．(－3，5) C. (3，5) D ．(－3，－5) C 解析：点P (x ，y )关于原点的对称点坐标是P ′(－x ，－y )，所以点P (－3，－5)关于原点对称点坐标是(3，5). 11．（2018·台州市，2，4分）在下列四个新能源汽车车标的设计图中，属于中心对称图形的是（ ）答案：D ，解析：根据中心对称图形的定义，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.12.如图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把ADE ∆绕点A 顺时针旋转90到ABF ∆的位置，若四边形AECF 的面积为25，2DE =，则AE 的长为（ ）A ．5B ．23C ．7D ．29 【答案】DCAPB A 1B 1C 1 xyO【解析】∵把△ADE 顺时针旋转△ABF 的位置，∴四边形AECF 的面积等于正方形ABCD 的面积等于25，∴AD=DC=5，∵DE=2，∴Rt △ADE 中，AE=2229AD DE +=．故选D. 13．(2018·衡阳市，3题，3分)下列生态环保标志中，是中心对称图形的是()答案．B ，解析：本题考查的是中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．A 、C 、D 旋转后不能重合，不是中心对称图形，所以A 、C 、D 错误；B 旋转后能重合，是中心对称图形，故B 正确，故选B ． 14．（2018·聊城市，11，3分） 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且OA=5，OC=3.若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的A 1处，则点C 的对应点C 1的坐标为（ ）A ．912(,)55- B ．129(,)55- C ．1612(,)55- D ．1216(,)55- 答案．A ，解析：过点C 1作C 1D ⊥x 轴，垂足为D.由题意得OA 1=OA=5，A 1C= 221OA OC -=4，∠A 1OC=∠C 1OD ，所以△A 1OC ∽△C 1OD ，所以1111A O A C OC C O OD C D ==，即15343OD C D ==，解得OD= 95，C 1D= 125，因为点C 1在第二象限，所以C 1912(,)55-，故选A. 15．（2018·长沙市，5，3分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A 、B 、C 、D 、答案．A ，解析：A 既是轴对称图形又是中心对称图形，B 是轴对称图形不是中心对称图形，C 既不是轴对称图形也不是中心对称图形，D 是中心对称图形不是轴对称图形. 16．（2018·盐城，2，3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A .B .C .D .答案：D ，解析：A 是中心对称图形，但不是轴对称图形；B 是轴对称图形，但不是中心对称图形；C 是轴对称图形，但不是中心对称图形；D 既是轴对称图形，又是中心对称图形. 17．（2018·天津市，4，3分） 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）A .B .C .D .答案．A ，解析：如图一个图形绕某个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形.根据中心对称图形的定义可知选项A 中的图形是中心对称图形. 18．（2018·广东，5，3分）下列所述图形中，是轴对称图形但不是．．中心对称图形的是（ ） A ．圆B ．菱形C ．平行四边形D ．等腰三角形答案：D ，解析：圆和菱形都是轴对称图形，也是中心对称图形，所以A 、B 都不对；平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，所以C 不对。

中考数学——初中数学旋转的综合压轴题专题复习含详细答案一、旋转1．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图①)，求证：△AEG≌△AEF；(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图②)，求证：EF2=ME2+NF2；(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图③)，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF．试题解析：（1）∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴AF=AG，∠FAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）设正方形ABCD的边长为a．将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．则△ADF≌△ABG，DF=BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，∴CE=CF ，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；（3）EF2=2BE2+2DF2．如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，即2（DF2+BE2）=EF2考点：四边形综合题2．平面上，Rt △ABC 与直径为CE 的半圆O 如图1摆放，∠B ＝90°，AC ＝2CE ＝m ，BC ＝n ，半圆O 交BC 边于点D ，将半圆O 绕点C 按逆时针方向旋转，点D 随半圆O 旋转且∠ECD 始终等于∠ACB ，旋转角记为α（0°≤α≤180°）（1）当α＝0°时，连接DE ，则∠CDE ＝ °，CD ＝ ；（2）试判断：旋转过程中BDAE的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）若m ＝10，n ＝8，当α＝∠ACB 时，求线段BD 的长；（4）若m ＝6，n ＝2，当半圆O 旋转至与△ABC 的边相切时，直接写出线段BD 的长．【答案】（1）90°，2n ；（2）无变化；（3125；（4）BD=102114． 【解析】试题分析：（1）①根据直径的性质，由DE ∥AB 得CD CECB CA=即可解决问题．②求出BD 、AE 即可解决问题．（2）只要证明△ACE ∽△BCD 即可．（3）求出AB 、AE ，利用△ACE ∽△BCD 即可解决问题．（4）分类讨论：①如图5中，当α=90°时，半圆与AC 相切，②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，分别求出BD 即可． 试题解析：（1）解：①如图1中，当α=0时，连接DE ，则∠CDE =90°．∵∠CDE =∠B =90°，∴DE ∥AB ，∴CE CD AC CB ==12．∵BC =n ，∴CD =12n ．故答案为90°，12n ． ②如图2中，当α=180°时，BD =BC +CD =32n ，AE =AC +CE =32m ，∴BD AE =n m．故答案为nm． （2）如图3中，∵∠ACB =∠DCE ，∴∠ACE =∠BCD ．∵CD BC nCE AC m==，∴△ACE ∽△BCD ，∴BD BC nAE AC m==．（3）如图4中，当α=∠ACB 时．在Rt △ABC 中，∵AC =10，BC =8，∴AB =22AC BC -=6．在Rt △ABE 中，∵AB =6，BE =BC ﹣CE =3，∴AE =22AB BE +=2263+=35，由（2）可知△ACE ∽△BCD ，∴BD BCAE AC=，∴35=810，∴BD =125．故答案为125． （4）∵m =6，n =42，∴CE =3，CD =22，AB =22CA BC -=2，①如图5中，当α=90°时，半圆与AC 相切．在Rt △DBC 中，BD =22BC CD +=224222+（）（）=210． ②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，作EM ⊥AB 于M ．∵∠M =∠CBM =∠BCE =90°，∴四边形BCEM 是矩形，∴342BM EC ME ===，，∴AM =5，AE =22AM ME +=57，由（2）可知DB AE =223，∴BD =2114． 故答案为210或2114．点睛：本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题．3．如图，矩形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 在y 轴正半轴上，点B 的坐标为（4，m ）（5≤m≤7），反比例函数y ＝16x（x ＞0）的图象交边AB 于点D ． （1）用m 的代数式表示BD 的长；（2）设点P 在该函数图象上，且它的横坐标为m ，连结PB ，PD①记矩形OABC面积与△PBD面积之差为S，求当m为何值时，S取到最大值；②将点D绕点P逆时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在x轴上时，求m的值．【答案】（1）BD＝m﹣4（2）①m＝7时，S取到最大值②m＝5【解析】【分析】（1）先确定出点D横坐标为4，代入反比例函数解析式中求出点D横坐标，即可得出结论；（2）①先求出矩形OABC的面积和三角形PBD的面积得出S＝﹣12（m﹣8）2+24，即可得出结论；②利用一线三直角判断出DG＝PF，进而求出点P的坐标，即可得出结论．【详解】解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴AB⊥x轴上，∵点B（4，m），∴点D的横坐标为4，∵点D在反比例函数y＝16x上，∴D（4，4），∴BD＝m﹣4；（2）①如图1，∵矩形OABC的顶点B的坐标为（4，m），∴S矩形OABC＝4m，由（1）知，D（4，4），∴S△PBD＝12（m﹣4）（m﹣4）＝12（m﹣4）2，∴S＝S矩形OABC﹣S△PBD＝4m﹣12（m﹣4）2＝﹣12（m﹣8）2+24，∴抛物线的对称轴为m＝8，∵a＜0，5≤m≤7，∴m＝7时，S取到最大值；②如图2，过点P作PF⊥x轴于F，过点D作DG⊥FP交FP的延长线于G，∴∠DGP＝∠PFE＝90°，∴∠DPG+∠PDG＝90°，由旋转知，PD＝PE，∠DPE＝90°，∴∠DPG+∠EPF＝90°，∴∠PDG＝∠EPF，∴△PDG≌△EPF（AAS），∴DG＝PF，∵DG＝AF＝m﹣4，∴P（m，m﹣4），∵点P在反比例函数y＝16，x∴m（m﹣4）＝16，∴m＝2+25或m＝2﹣25（舍）．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定，构造出全等三角形是解本题的关键．4．如图l，在AABC中，∠ACB=90°，点P为ΔABC内一点.(1)连接PB，PC，将ABCP沿射线CA方向平移，得到ΔDAE，点B，C，P的对应点分别为点D、A、E，连接CE.①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的长(2)如图3，以点A为旋转中心，将ΔABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接PA、PB、PC，当AC=3，AB=6时，根据此图求PA+PB+PC的最小值.【答案】（1）①补图见解析；②；（2）【解析】（1）①连接PB、PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B、C、P的对应点分别为点D、A、E，连接CE，据此画图即可；②连接BD、CD，构造矩形ACBD和Rt△CDE，根据矩形的对角线相等以及勾股定理进行计算，即可求得CE的长；（2）以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN，根据△PAM、△ABN都是等边三角形，可得PA+PB+PC=CP+PM+MN,最后根据当C、P、M、N四点共射线，PA+PB+PC的值最小，此时△CBN是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题.解：（1）①补全图形如图所示；②如图，连接BD、CD∵△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，∴BC∥AD且BC=AD，∵∠ACB=90°，∴四边形BCAD是矩形，∴CD=AB=6，∵BP=3，∴DE=BP=3，∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，∴在Rt△DCE中，；（2）证明：如图所示，当C、P、M、N四点共线时，PA+PB+PC最小由旋转可得，△AMN≌△APB，∴PB=MN易得△APM、△ABN都是等边三角形，∴PA=PM∴PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN，∴BN=AB=6，∠BNA=60°，∠PAM=60°∴∠CAN=∠CAB+∠BAN=60°+60°=120°，∴∠CBN=90°在Rt△ABC中，易得∴在Rt△BCN中，“点睛”本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解.5．在等边△AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合，OA＝OB＝2，OC＝OD＝1，固定等边△AOB不动，让扇形COD绕点O逆时针旋转，线段AC、BD也随之变化，设旋转角为α．（0＜α≤360°）（1）当OC∥AB时，旋转角α＝度；发现：（2）线段AC与BD有何数量关系，请仅就图2给出证明．应用：（3）当A、C、D三点共线时，求BD的长．拓展：（4）P是线段AB上任意一点，在扇形COD的旋转过程中，请直接写出线段PC的最大值与最小值．【答案】（1）60或240；(2) AC=BD，理由见解析；（3）13+1 2或1312-；（4）PC的最大值=3，PC的最小值=3﹣1．【解析】分析：（1）如图1中，易知当点D在线段AD和线段AD的延长线上时，OC∥AB，此时旋转角α=60°或240°．（2）结论：AC=BD．只要证明△AOC≌△BOD即可．（3）在图3、图4中，分别求解即可．（4）如图5中，由题意，点C在以O为圆心，1为半径的⊙O上运动，过点O作OH⊥AB于H，直线OH交⊙O于C′、C″，线段CB的长即为PC的最大值，线段C″H的长即为PC的最小值．易知PC的最大值=3，PC的最小值=3﹣1．详解：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴∠AOB=∠COD=60°，∴当点D在线段AD和线段AD的延长线上时，OC∥AB，此时旋转角α=60°或240°．故答案为60或240；（2）结论：AC=BD，理由如下：如图2中，∵∠COD=∠AOB=60°，∴∠COA=∠DOB．在△AOC和△BOD中，OA OBCOA DOBCO OD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD；（3）①如图3中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H．在Rt△COH中，∵OC=1，∠COH=30°，∴CH=HD=12，OH3Rt△AOH中，AH22OA OH-13，∴BD=AC=CH+AH113+．如图4中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H．易知AC=BD=AH﹣CH=131-．综上所述：当A、C、D三点共线时，BD的长为131+或131-；（4）如图5中，由题意，点C在以O为圆心，1为半径的⊙O上运动，过点O作OH⊥AB于H，直线OH交⊙O于C′、C″，线段CB的长即为PC的最大值，线段C″H的长即为PC的最小值．易知PC的最大值=3，PC的最小值=3﹣1．点睛：本题考查了圆综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题．6．（12分）如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接BE，CD，点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点．（1）观察猜想：图1中，△PMN的形状是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，△PMN的形状是否发生改变？并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1，AB=3，请直接写出△PMN 的周长的最大值．【答案】(1) 等边三角形；(2) △PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形,理由见解析；（3）6【解析】分析：（1）如图1，先根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，则BD=CE，再根据三角形中位线性质得PM∥CE，PM=12CE，PN∥AD，PN=12BD，从而得到PM=PN，∠MPN=60°，从而可判断△PMN为等边三角形；（2）连接CE、BD，如图2，先利用旋转的定义，把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，则BD=CE，∠ABD=∠ACE，与（1）一样可得PM=PN，∠BPM=∠BCE，∠CPN=∠CBD，则计算出∠BPM+∠CPN=120°，从而得到∠MPN=60°，于是可判断△PMN为等边三角形．（3）利用AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）得到BD的最大值为4，则PN的最大值为2，然后可确定△PMN的周长的最大值．详解：（1）如图1．∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°．∵AD=AE，∴BD=CE．∵点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点，∴PM∥CE，PM=12CE，PN∥AD，PN=12BD，∴PM=PN，∠BPM=∠BCA=60°，∠CPN=∠CBA=60°，∴∠MPN=60°，∴△PMN为等边三角形；故答案为等边三角形；（2）△PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形．理由如下：连接CE、BD，如图2．∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=60°，∴把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，与（1）一样可得PM∥CE，PM=12CE，PN∥AD，PN=12BD，∴PM=PN，∠BPM=∠BCE，∠CPN=∠CBD，∴∠BPM+∠CPN=∠CBD+∠CBD=∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN为等边三角形．（3）∵PN=12BD，∴当BD的值最大时，PN的值最大．∵AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）∴BD的最大值为1+3=4，∴PN的最大值为2，∴△PMN的周长的最大值为6．点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和三角形中位线性质．7．如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠PCQ=45°，把∠PCQ绕点C旋转，在整个旋转过程中，过点A作AD⊥CP，垂足为D，直线AD交CQ于E．（1）如图①，当∠PCQ在∠ACB内部时，求证：AD+BE=DE；（2）如图②，当CQ在∠ACB外部时，则线段AD、BE与DE的关系为_____；（3）在（1）的条件下，若CD=6，S△BCE=2S△ACD，求AE的长．【答案】(1)见解析（2）AD=BE+DE （3）8【解析】试题分析：（1）延长DA到F，使DF=DE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的即可证明AF=BE，从而得证；（2）在AD上截取DF=DE，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的即可证明AF=BE，从而得到AD=BE+DE；（3）根据等腰直角三角形的性质求出CD=DF=DE，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出AF=2AD，然后求出AD的长，再根据AE=AD+DE代入数据进行计算即可得解．试题解析：（1）证明：如图①，延长DA到F，使DF=DE．∵CD⊥AE，∴CE=CF，∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ACD+∠ACF=∠DCF=45°．又∵∠ACB=90°，∠PCQ=45°，∴∠ACD+∠BCE=90°﹣45°=45°，∴∠ACF=∠BCE．在△ACF和△BCE中，∵CE CF ACF BCE AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF ≌△BCE （SAS ），∴AF =BE ，∴AD +BE =AD +AF =DF =DE ，即AD +BE =DE ；（2）解：如图②，在AD 上截取DF =DE ．∵CD ⊥AE ，∴CE =CF ，∴∠DCE =∠DCF =∠PCQ =45°，∴∠ECF =∠DCE +∠DCF =90°，∴∠BCE +∠BCF =∠ECF =90°．又∵∠ACB =90°，∴∠ACF +∠BCF =90°，∴∠ACF =∠BCE ．在△ACF 和△BCE 中，∵CE CF ACF BCE AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF ≌△BCE （SAS ），∴AF =BE ，∴AD =AF +DF =BE +DE ，即AD =BE +DE ；故答案为：AD =BE +DE ．（3）∵∠DCE =∠DCF =∠PCQ =45°，∴∠ECF =45°+45°=90°，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴CD =DF =DE =6．∵S △BCE =2S △ACD ，∴AF =2AD ，∴AD=112+×6=2，∴AE =AD +DE =2+6=8．点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，综合性较强，但难度不是很大，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．8．如图1，菱形ABCD ，AB 4=，ADC 120∠=o ，连接对角线AC 、BD 交于点O ，()1如图2，将AOD V 沿DB 平移，使点D 与点O 重合，求平移后的A'BO V 与菱形ABCD重合部分的面积．()2如图3，将A'BO V 绕点O 逆时针旋转交AB 于点E'，交BC 于点F ，①求证：BE'BF 2+=； ②求出四边形OE'BF 的面积．【答案】()() 13?2①证明见解析3② 【解析】 【分析】(1)先判断出△ABD 是等边三角形，进而判断出△EOB 是等边三角形，即可得出结论； (2)先判断出 ≌△OBF ，再利用等式的性质即可得出结论； (3)借助①的结论即可得出结论． 【详解】()1Q 四边形为菱形，ADC 120∠=o ，ADO 60∠∴=o ，ABD ∴V 为等边三角形，DAO 30∠∴=o ，ABO 60∠=o ，∵AD//A′O ， ∴∠A′OB=60°，EOB ∴V 为等边三角形，边长OB 2=，∴重合部分的面积：343⨯=，()2①在图3中，取AB 中点E ，由()1知，∠EOB=60°，∠E′OF=60°， ∴∠EOE′=∠BOF ，又∵EO=BO ，∴∠OEE′=∠OBF=60°， ∴△OEE′≌△OBF ， ∴EE′=BF ，∴BE′+BF=BE′+EE′=BE=2；②由①知，在旋转过程中始终有△OEE′≌△OBF ，∴S△OEE′=S△OBF，∴S四边形OE′BF =OEBS3=V.【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键.9．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置.(1)设AB的长为a，PB的长为b(b<a)，求△PAB旋转到△P'CB的过程中边PA所扫过区域(图中阴影部分)的面积；(2)若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.【答案】(1) S阴影=(a2-b2)；(2)PC=6.【解析】试题分析：（1）依题意，将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合，此时阴影部分面积=扇形BAC的面积-扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积．（2）连接PP'，根据旋转的性质可知：BP=BP'，旋转角∠PBP'=90°，则△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC的长．试题解析：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，∴△PAB≌△P'CB，∴S△PAB=S△P'CB，S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=（a2-b2）；（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△C P′B，∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°，∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32；又∵∠BP′C=∠BPA=135°，∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形．PC==6．考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质．10．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．（1）①猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由．（3）在第（2）题图4中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求BE2+DG2的值．【答案】（1）①BG⊥DE，BG=DE；②BG⊥DE，证明见解析；（2）BG⊥DE，证明见解析；（3）16.25．【解析】分析：（1）①根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE，从而判断两条直线之间的关系；②结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论；（2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到（1）中的位置关系仍然成立；（3）连接BE、DG．根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和．详解：（1）①BG⊥DE，BG=DE；②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE，∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，∴BC CG b==，DC CE a又∵∠BCG=∠DCE，∴△BCG∽△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（3）连接BE、DG．根据题意，得AB=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，∵BG⊥DE，∠BCD=∠ECG=90°∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25．点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理．11．已知Rt△DAB中，∠ADB=90°，扇形DEF中，∠EDF=30°，且DA=DB=DE，将Rt△ADB 的边与扇形DEF的半径DE重合，拼接成图1所示的图形，现将扇形DEF绕点D按顺时针方向旋转，得到扇形DE′F′，设旋转角为α（0°＜α＜180°）（1）如图2，当0°＜α＜90°，且DF′∥AB时，求α；（2）如图3，当α=120°，求证：AF′=BE′．【答案】（1）15°；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）∵∠ADB=90°，DA=DB，∴∠BAD=45°，∵DF′∥AB，∴∠ADF′=∠BAD=45°，∴α=45°﹣30°=15°；（2）∵α=120°，∴∠ADE′=120°，∴∠ADF′=120°+30°=150°，∠BDE′=360°﹣90°﹣120°=150°，∴∠ADF′=∠BDE′，在△ADF′和△BDE′中，，∴△ADF′≌△BDE′，∴AF′=BE′．考点：①旋转性质；②全等三角形的判定和性质．12．已知：一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B，以B为旋转中心，将△BOA逆时针旋转，得△BCD（其中O与C、A与D是对应的顶点）.（1）求AB的长；（2）当∠BAD=45°时，求D点的坐标；（3）当点C在线段AB上时，求直线BD的关系式.【答案】（1）5；（2）D（4，7）或（-4，1）；（3）【解析】试题分析：（1）先分别求得一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标，再根据勾股定理求解即可；（2）根据旋转的性质结合△BOA的特征求解即可；（3）先根据点C在线段AB上判断出点D的坐标，再根据待定系数法列方程组求解即可.（1）在时，当时，，当时，∴；（2）由题意得D（4，7）或（-4，1）；（2）由题意得D点坐标为（4，）设直线BD 的关系式为∵图象过点B （0，4），D （4，）∴，解得∴直线BD 的关系式为.考点：动点的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．13．我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。

中考专题复习——几何题用旋转构造“手拉手”模型一、教学目标：1.了解并熟悉“手拉手模型”，归纳掌握其基本特征．2.借助“手拉手模型”，利用旋转构造全等解决相关问题．3.举一反三，解决求定值，定角，最值等一类问题． 二、教学重难点：1.挖掘和构造“手拉手模型”，学会用旋转构造全等．2.用旋转构造全等的解题方法最优化选择． 三、教学过程： 1.复习旧知师：如图，△ABD ，△BCE 为等边三角形，从中你能得出哪些结论？生：（1）△ABE ≌△DBC （2）△ABG ≌△DBF （3）△CFB ≌△EGB （4）△BFG 为等边三角形（5）△AGB ∽△DGH （6）∠DHA ＝60°（7）H ，G ，F ，B 四点共圆 （8）BH 平分∠AHC …… 师：我们再来重点研究△ABE 与△DBC ，这两个全等的三角形除了对应边相等，对应角相等外，还有什么共同特征呢？生：它们有同一个字母B ，即同一个顶点B ．师：我们也可以把△DBC 看作由△ABE 经过怎样的图形运动得到？ 生：绕点B 逆时针旋转60°得到．2.引入新课师：其实我们可以给这两个全等的三角形赋予一个模型，叫“手拉手模型”，谁可以将这个模型的特征再做进一步的简化归纳呢？ 生：对应边相等．师：我们可以称之为“等线段”． 生：有同一个顶点．师：我们可以称之为“共顶点”．师：等线段，共顶点的两个全等三角形，我们一般可以考虑哪一种图形运动？ 生：旋转．师： “手拉手模型”可以归纳为：等线段，共顶点，一般用旋转．H GFEDC B A3.小题热身图1 图2 图31．如图1，△BAD中，∠BAD＝45°，AB＝AD，AE⊥BD于E，BC⊥AD于C，则AF＝____BE．2．如图2，△ABC和△BED均为等边三角形，ADE三点共线，若BE＝2，CE＝4，则AE＝______．3．如图3，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，BE＝3，DF＝5，则EF＝_______．师：我们来看第1，第2题，这里面有“手拉手模型”吗？请你找出其中的“等线段，共顶点”．生：题1中，等线段是AC，BC，共顶点是C，△ACF绕点C逆时针旋转90°得△BCD．题2中，等线段是AB，BC，共顶点是B，△ABD绕点D顺时针旋转60°得△CBE．师：我们再来看第3题，这里有“手拉手模型”吗？生：没有．师：那其中有没有“等线段，共顶点”呢？生：等线段是AD，AB，共顶点是A．师：我们可否利用旋转来构造“手拉手模型”呢？生：将AE旋转，绕点A逆时针旋转90°．师：为什么是逆时针旋转90°，你是如何思考的？生：我准备构造一个和△ABE全等的三角形，AB绕点A逆时针旋转90°即为AD，那么将AE逆时针旋转90°可得AG，连接GD，证明全等．师：说的不错，谁能再来归纳一下，借助“手拉手模型”，用旋转构造全等的方法吗？生：先找有没有“等线段，共顶点”，再找其中一条“共顶点”的线段，将其旋转．师：旋转角度如何确定，方向怎么选择？生：选择其中一个三角形，将“共顶点”的线段旋转．旋转角为两条“等线段”间的夹角．方向应与所选择的起始“等线段”旋转到另一条“等线段”时的方向一致．师：非常棒，可以说，你已经掌握了这节课的精髓．但是，很多题目中只是隐含了“手拉手模型”的一些条件，剩余的需要我们自己去构造，可以如何构造呢？步骤1：先找有没有“等线段，共顶点”．步骤2：选择其中一个三角形，将其中经过“共顶点”的线段旋转．步骤3：旋转方向与这个三角形的“等线段”旋转到另一条“等线段”的方向一致，旋转角为“等线段”间的夹角．师：这道题还有一个要注意的地方，你发现了吗？生：连接GD后，要证明G，D，F三点共线．4.例题精讲例1：等边△ABC中，AD＝4，DC＝3，BD＝5，求∠ADC度数．师：这里有没有隐含的“手拉手模型”？要构造全等，该怎样旋转？生：将△ADC绕点A顺时针旋转60°．师：你是怎么想的，还有其他做法吗？生：我发现AB＝AC，A为“共顶点”，我选择的旋转线段是AD，因为AC绕点A顺时针旋转60°到AB，所以△ADC也要绕点A顺时针旋转60°．也可将△ADB绕点A逆时针旋转60°．【解答】将AD绕点A顺时针旋转60°到AE，连接BE，DE．则△ADE也为等边三角形．易证△AEB≌△ADC，∴BE＝DC＝4，根据勾股定理逆定理，可证∠BED＝90°，则∠AEB＝∠ADC＝150°例2：如图，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形，AOB ＝COD ＝．若△BOC的面积为1，试求以AD、BC、OC＋OD的长度为三边长的三角形的面积．师：由于线段分散，如何通过图形变换，使这些线段能构成一个三角形？生：将OD绕点O逆时针旋转90°至OE，即可使OC，OD共线，再通过证明确定△BCE即是以AD、BC、OC＋OD的长度为三边长的三角形．【解答】如图，将OD绕点O逆时针旋转90°至OE，连接BE．易证△OAD≌△OBE，AD＝BE，∴△BCE即是以AD、BC、OC＋OD长度为三边长的三角形．又∵OC＝OE，∴S△BCE＝2S△BOC＝2．EAOBCDDC BOABBDCBA5.自主练习1．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°，则BD 的长为 _________．师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．生：“等线段”是CA 和BA ，“共顶点”是A ．方法是将AD 绕点A 顺时针旋转90°．2．如图，在△ABC 中，BC ＝2，AB ＝2，以AC 为边，向外做正方形ACDE ，连接BE ，则BE 最大值为_________．师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法． 生：“等线段”是CA 和EA ，“共顶点”是A ． 方法是将AB 绕点A 逆时针旋转90°．师：你为何要逆时针旋转，你准备旋转哪个三角形？生：△ABC ，因为AC 是逆时针旋转90°到AE ，所以AB 也绕点A 逆时针旋转90°． 3．如图，点A 在⊙B 上，AB ＝1，BC ＝2，△ACD 是等边三角形，求△BCD 面积的最大值．师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法． 生：“等线段”是CA 和CD ，“共顶点”是C ． 方法是将CA 绕点C 逆时针旋转60°．附：自主练习解答1． 如图，将AD 绕点A 顺时针旋转90°至AE ，易证△EAC ≌△DAB ，可得CE ＝BD ，又∵∠EDA ＝45°，∴∠CDE ＝90°，CD ＝3，DE ＝42，则Rt △CDE 中，CE 2＝CD 2＋DE 2＝32＋ (42)2＝41 ∴CE ＝41，∴DB ＝412.如图，将AB 绕点A 逆时针旋转90°至AF ，易证△EAF ≌△CAB ，可得EF ＝BC ＝2．Rt △BAF 中，AF ＝AB ＝2，∴BF ＝2．由三角形三边关系易知，BE ≤EF ＋BF ，∴BE 最小值为4.3.如图，将CB 绕点C 逆时针旋转60°至CE ，连接DE ，过点E 作EF ⊥CBEDCBAADC BDG EFABCDFEBCDA于F ，过点D 作DG ⊥CB 于G ．易证△CBA ≌CED ， 则DE ＝1，EF ＝3，过E 作DG 边上的高，可证DG ＜DE ＋EF ．当D ，E ，F 三点共线时，DG ＝DE ＋EF ．即高的最大值为1＋3， S △BCDmax ＝12×2×（1＋3）＝1＋3FED CBA。

一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图1，在□ABCD中，AB=6，∠B= (60°<≤90°). 点E在BC上，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B与AD上的点F重合，连接EF.(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)如图2，点M是BC上的动点，连接AM，把线段AM绕点M顺时针旋转得到线段MN，连接FN，求FN的最小值(用含的代数式表示).【答案】（1）详见解析；（2）FE·sin(－90°)【解析】【分析】(1)由四边形ABCD是平行四边形得AF∥BE，所以∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA,所以∠BAE=∠FEA，故有AB∥FE，因此四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF,因此可得结论；(2)根据点M在线段BE上和EC上两种情况证明∠ENG＝90°－，利用菱形的性质得到∠FEN＝－90°，再根据垂线段最短，求出FN的最小值即可.【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA, BE=EF，∴∠BAE=∠FEA，∴AB∥FE，∴四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF，∴四边形ABEF是菱形；（2）①如图1，当点M在线段BE上时，在射线MC上取点G，使MG＝AB，连接GN、EN.∵∠AMN＝∠B＝，∠AMN+∠2＝∠1+∠B∴∠1＝∠2又AM＝NM，AB＝MG∴△ABM≌△MGN∴∠B＝∠3，NG＝BM∵MG＝AB＝BE∴EG＝AB＝NG∴∠4=∠ENG= (180°－)＝90°－又在菱形ABEF中，AB∥EF∴∠FEC＝∠B=∴∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90°②如图2，当点M在线段EC上时，在BC延长线上截取MG＝AB，连接GN、EN.同理可得：∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90°综上所述，∠FEN＝－90°∴当点M在BC上运动时，点N在射线EH上运动(如图3)当FN⊥EH时，FN最小，其最小值为FE·sin(－90°)【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及求最短距离的问题，解题的关键是分类讨论得出∠FEN ＝－90°，再运用垂线段最短求出FN的最小值.2．（探索发现）如图，ABC ∆是等边三角形，点D 为BC 边上一个动点，将ACD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到AEF ∆，连接CE .小明在探索这个问题时发现四边形ABCE 是菱形.小明是这样想的：（1）请参考小明的思路写出证明过程；（2）直接写出线段CD ，CF ，AC 之间的数量关系：______________；（理解运用）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于点D .将ABD ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AEF ∆，延长FE 与BC ，交于点G .（3）判断四边形ADGF 的形状，并说明理由；（拓展迁移）（4）在（3）的前提下，如图，将AFE ∆沿AE 折叠得到AME ∆，连接MB ，若6AD =，2BD =，求MB 的长.【答案】（1）详见解析；（2）CD CF AC +=；（3）四边形ADGF 是正方形；（4）13【解析】【分析】（1）根据旋转得：△ACE 是等边三角形，可得：AB=BC=CE=AE ，则四边形ABCE 是菱形； （2）先证明C 、F 、E 在同一直线上，再证明△BAD ≌△CAF （SAS ），则∠ADB=∠AFC ，BD=CF ，可得AC=CF+CD ；（3）先根据∠ADC=∠DAF=∠F=90°，证明得四边形ADGF 是矩形，由邻边相等可得四边形ADGF 是正方形；（4）证明△BAM ≌△EAD （SAS ），根据BM=DE 及勾股定理可得结论．【详解】（1）证明：∵ABC ∆是等边三角形，∴AB BC AC ==.∵ACD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到AEF ∆，∴60CAE =︒，AC AE =.∴ACE ∆是等边三角形.∴AC AE CE ==.∴AB BC CE AE ===.∴四边形ABCE 是菱形.（2）线段DC ，CF ，AC 之间的数量关系：CD CF AC +=.（3）四边形ADGF 是正方形.理由如下：∵Rt ABD ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AEF ∆，∴AF AD =，90DAF ∠=︒.∵AD BC ⊥，∴90ADC DAF F ∠=∠=∠=︒.∴四边形ADGF 是矩形.∵AF AD =，∴四边形ADGF 是正方形.（4）如图，连接DE .∵四边形ADGF 是正方形，∴6DG FG AD AF ====.∵ABD ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AEF ∆，∴BAD EAF ∠=∠，2BD EF ==，∴624EG FG EF =-=-=.∵将AFE ∆沿AE 折叠得到AME ∆，∴MAE FAE ∠=∠，AF AM =.∴BAD EAM ∠=∠.∴BAD DAM EAM DAM ∠+∠=∠+∠，即BAM DAE ∠=∠.∵AF AD =，∴AM AD =.在BAM ∆和EAD ∆中，AM AD BAM DAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BAM EAD SAS ∆≅∆. ∴222246213BM DE EG DG ==+=+=.【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解．3．小明在矩形纸片上画正三角形，他的做法是：①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB 与DC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；②沿折痕BG 折叠纸片，使点C 落在EF 上的点P 处，再折出PB 、PC ，最后用笔画出△PBC(图1)．（1）求证：图1中的PBC 是正三角形： （2）如图2，小明在矩形纸片HIJK 上又画了一个正三角形IMN ，其中IJ=6cm ，且HM=JN ．①求证：IH=IJ②请求出NJ 的长； （3）小明发现：在矩形纸片中，若一边长为6cm ，当另一边的长度a 变化时，在矩形纸片上总能画出最大的正三角形，但位置会有所不同．请根据小明的发现，画出不同情形的示意图(作图工具不限，能说明问题即可)，并直接写出对应的a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②1233）3＜a ＜3，a ＞3【解析】分析：（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC ，PB=CB ，得出PB=PC=CB 即可；（2）①利用“HL”证Rt △IHM ≌Rt △IJN 即可得；②IJ 上取一点Q ，使QI=QN ，由Rt △IHM ≌Rt △IJN 知∠HIM=∠JIN=15°，继而可得∠NQJ=30°，设NJ=x ，则IQ=QN=2x 、3，根据IJ=IQ+QJ 求出x 即可得；（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可． （1）证明：∵①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB 与DC 重合，得到折痕EF∴PB=PC∵沿折痕BG 折叠纸片，使点C 落在EF 上的点P 处∴PB=BC∴PB=PC=BC∴△PBC 是正三角形：（2）证明：①如图∵矩形AHIJ∴∠H=∠J=90°∵△MNJ 是等边三角形∴MI=NI在Rt △MHI 和Rt △JNI 中MI NI MH NJ=⎧⎨=⎩ ∴Rt △MHI ≌Rt △JNI （HL ）∴HI=IJ②在线段IJ 上取点Q ，使IQ=NQ∵Rt △IHM ≌Rt △IJN ，∴∠HIM=∠JIN ，∵∠HIJ=90°、∠MIN=60°，∴∠HIM=∠JIN=15°，由QI=QN 知∠JIN=∠QNI=15°，∴∠NQJ=30°，设NJ=x ，则IQ=QN=2x ，22=3QN NJ -x ，∵IJ=6cm ，∴3，∴33cm ）．（3）分三种情况：①如图：设等边三角形的边长为b，则0＜b≤6，则tan60°=3=2ab，∴a=32b，∴0＜b≤632=33；②如图当DF与DC重合时，DF=DE=6，∴a=sin60°×DE=63=33，当DE与DA重合时，a=643sin603==︒，∴33＜a＜43；③如图∵△DEF是等边三角形∴∠FDC=30°∴DF=643cos303==︒∴a＞43点睛：本题是四边形的综合题目，考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大．4．思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB 交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是；②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝l，请直接写出PC2的值．【答案】（1）200；（2）①PC＝PE，PC⊥PE；②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE，见解析；③PC2＝10332+.【解析】【分析】（1）由CD∥AB，可得∠C＝∠B，根据∠APB＝∠DPC即可证明△ABP≌△DCP，即可得AB ＝CD，即可解题．（2）①延长EP交BC于F，易证△FBP≌△EDP（SAS）可得△EFC是等腰直角三角形，即可证明PC＝PE，PC⊥PE．②作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，易证△FBP≌△EDP（SAS），结合已知得BF＝DE＝AE，再证明△FBC≌△EAC（SAS），可得△EFC是等腰直角三角形，即可证明PC ＝PE ，PC ⊥PE ．③作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点，由旋转旋转可知，∠CAE ＝150°，DE 与BC 所成夹角的锐角为30°，得∠FBC ＝∠EAC ，同②可证可得PC ＝PE ，PC ⊥PE ，再由已知解三角形得∴EC 2＝CH 2+HE 2＝10+求出2212PC EC == 【详解】（1）解：∵CD ∥AB ，∴∠C ＝∠B ，在△ABP 和△DCP 中， BP CP APB DPC B C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABP ≌△DCP （SAS ），∴DC ＝AB ．∵AB ＝200米．∴CD ＝200米，故答案为：200．（2）①PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC ＝PE ，PC ⊥PE ．理由如下：如解图1，延长EP 交BC 于F ，同（1）理，可知∴△FBP ≌△EDP （SAS ），∴PF ＝PE ，BF ＝DE ，又∵AC ＝BC ，AE ＝DE ，∴FC ＝EC ，又∵∠ACB ＝90°，∴△EFC 是等腰直角三角形，∵EP ＝FP ，∴PC ＝PE ，PC ⊥PE ．②PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC ＝PE ，PC ⊥PE ．理由如下：如解图2，作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，同①理，可知△FBP ≌△EDP （SAS ），∴BF ＝DE ，PE ＝PF ＝12EF ， ∵DE ＝AE ，∴BF ＝AE ，∵当α＝90°时，∠EAC ＝90°，∴ED ∥AC ，EA ∥BC∵FB ∥AC ，∠FBC ＝90，∴∠CBF ＝∠CAE ，在△FBC 和△EAC 中，BF AE CBE CAE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FBC ≌△EAC （SAS ），∴CF ＝CE ，∠FCB ＝∠ECA ，∵∠ACB ＝90°，∴∠FCE ＝90°，∴△FCE 是等腰直角三角形，∵EP ＝FP ，∴CP ⊥EP ，CP ＝EP ＝12EF ． ③如解图3，作BF∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点，当α＝150°时，由旋转旋转可知，∠CAE ＝150°，DE 与BC 所成夹角的锐角为30°， ∴∠FBC ＝∠EAC ＝α＝150°同②可得△FBP ≌△EDP （SAS ），同②△FCE 是等腰直角三角形，CP ⊥EP ，CP ＝EP ＝22CE ， 在Rt △AHE 中，∠EAH ＝30°，AE ＝DE ＝1，∴HE ＝12，AH ＝3， 又∵AC ＝AB ＝3， ∴CH ＝3+32， ∴EC 2＝CH 2+HE 2＝1033+∴PC 2＝2110332EC +=【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质、勾股定理和30°直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于压轴题．5．(1)问题发现如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.填空:线段AD,BE之间的关系为 .(2)拓展探究如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.(3)解决问题如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.【答案】(1) AD=BE，AD⊥BE．(2) AD=BE，AD⊥BE．(3) 5-32≤PC≤5+32．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），得AD=BE，∠EBC=∠CAD，延长BE 交AD于点F，由垂直定义得AD⊥BE．（2）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），AD=BE，∠CAD=∠CBE，由垂直定义得∠OHB=90°，AD⊥BE；（3）作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，PC=BE，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE；当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE，故5-32≤BE≤5+32.【详解】（1）结论：AD=BE，AD⊥BE．理由：如图1中，∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ACD=90°，在Rt△ACD和Rt△BCE中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∠EBC=∠CAD延长BE 交AD 于点F ，∵BC ⊥AD ，∴∠EBC+∠CEB=90°，∵∠CEB=AEF ，∴∠EAD+∠AEF=90°，∴∠AFE=90°，即AD ⊥BE ．∴AD=BE ，AD ⊥BE ．故答案为AD=BE ，AD ⊥BE ．（2）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．理由：如图2中，设AD 交BE 于H ，AD 交BC 于O ．∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∴ACD=∠BCE ，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH ，∴∠BOH+∠OBH=90°，∴∠OHB=90°，∴AD⊥BE，∴AD=BE，AD⊥BE．（3）如图3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，∴PC=BE，图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-32，图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+32，∴5-32≤BE≤5+32，即5-32≤PC≤5+32．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．6．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(5,0)A ，点(0,3)B .以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F .（Ⅰ）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H .①求证ADB AOB △△≌；②求点H 的坐标.（Ⅲ）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE △的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）.【答案】（Ⅰ）点D 的坐标为(1,3).（Ⅱ）①证明见解析；②点H 的坐标为17(,3)5.（Ⅲ3033430334S -+≤≤. 【解析】分析：（Ⅰ）根据旋转的性质得AD=AO=5,设CD=x ，在直角三角形ACD 中运用勾股定理可CD 的值，从而可确定D 点坐标；（Ⅱ）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；②由①知BAD BAO ∠=∠，再根据矩形的性质得CBA OAB ∠=∠.从而BAD CBA ∠=∠，故BH=AH ，在Rt △ACH 中，运用勾股定理可求得AH 的值，进而求得答案；（Ⅲ）303343033444S -+≤≤. 详解：（Ⅰ）∵点()5,0A ，点()0,3B ，∴5OA =，3OB =.∵四边形AOBC 是矩形，∴3AC OB ==，5BC OA ==，90OBC C ∠=∠=︒.∵矩形ADEF 是由矩形AOBC 旋转得到的，∴5AD AO ==.在Rt ADC 中，有222AD AC DC =+，∴22DC AD AC =- 22534=-=.∴1BD BC DC =-=.∴点D 的坐标为()1,3.（Ⅱ）①由四边形ADEF 是矩形，得90ADE ∠=︒. 又点D 在线段BE 上，得90ADB ∠=︒.由（Ⅰ）知，AD AO =，又AB AB =，90AOB ∠=︒，∴Rt ADB Rt AOB ≌.②由ADB AOB ≌，得BAD BAO ∠=∠.又在矩形AOBC 中，//OA BC ，∴CBA OAB ∠=∠.∴BAD CBA ∠=∠.∴BH AH =.设BH t =，则AH t =，5HC BC BH t =-=-.在Rt AHC 中，有222AH AC HC =+，∴()22235t t =+-.解得175t =.∴175BH =. ∴点H 的坐标为17,35⎛⎫ ⎪⎝⎭.（Ⅲ）3033430334S -+≤≤. 点睛：本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键.7．（1）发现如图，点A 为线段BC 外一动点，且BC a =，AB b =.填空：当点A 位于____________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为_________.（用含a ，b 的式子表示）（2）应用点A 为线段BC 外一动点，且3BC =，1AB =.如图所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE .①找出图中与BE 相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE 长的最大值.（3）拓展如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,0，点B 的坐标为()5,0，点P 为线段AB 外一动点，且2PA =，PM PB =，90BPM ∠=︒，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.【答案】（1）CB 的延长线上，a+b ；（2）①DC=BE,理由见解析；②BE 的最大值是4;（3）AM 的最大值是2，点P 的坐标为（22）【解析】【分析】（1）根据点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，即可得到结论； （2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD ≌△EAB ，根据全等三角形的性质得到CD=BE ；②由于线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM ，将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，得到△APN 是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM ，根据当N 在线段BA 的延长线时，线段BN 取得最大值，即可得到最大值为2+3；如图2，过P 作PE ⊥x 轴于E ，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∵点A 为线段BC 外一动点，且BC=a ，AB=b ，∴当点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b ， 故答案为CB 的延长线上，a+b ；（2）①CD=BE ，理由：∵△ABD 与△ACE 是等边三角形，∴AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC ，即∠CAD=∠EAB ，在△CAD 与△EAB 中，AD AB CAD EAB AC AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△CAD ≌△EAB ，∴CD=BE ；②∵线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，由（1）知，当线段CD 的长取得最大值时，点D 在CB 的延长线上，∴最大值为BD+BC=AB+BC=4；（3）∵将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，则△APN 是等腰直角三角形，∴PN=PA=2，BN=AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），∴OA=2，OB=5，∴AB=3，∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值=AB+AN，∵AN=2AP=22，∴最大值为22+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴2，∴22，∴P（22）．【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．∆绕点C顺时针旋转一定8．如图，四边形ABCD中，45∠=∠=，将BCDABC ADC∆.角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到ACE（1）判断ABC ∆的形状，并说明理由；（2）若2AD =，3CD =，试求出四边形ABCD 的对角线BD 的长.【答案】（1）ABC ∆是等腰直角三角形，理由详见解析；（222【解析】【分析】（1）利用旋转不变性证明A4BC 是等腰直角三角形.（2）证明ACDE 是等腰直角三角形，再在Rt △ADE 中，求出AE 即可解决问题.【详解】解：（1）ABC ∆是等腰直角三角形.理由：∵BC CA =，∴45CBA CAB ∠=∠=，∴90ACB ∠=，∴ACB ∆是等腰直角三角形.（2）如图：由旋转的性质可知：90DCE ACB ∠=∠=，3CD CE ==，BD AE =， ∴32DE =45CDE CED ∠=∠=，∵45ADC ∠=，∴454590ADE ∠=+=， ∴()222223222AE AD DE =+=+=∴22BD AE ==【点睛】本题考查旋转变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型。

中考数学总复习经典题(几何)（二）几何试题1、 如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上．四边形EFGB 也为正方形，设△AFC 的面积为S ，则 （ ）A ．S=2B ．S=2.4C ．S=4D ．S 与BE 长度有关2、正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图4所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则DEK △的面积为： （Ａ）10 （Ｂ）12 （Ｃ）14 （Ｄ）163、如图，矩形ABCD 中，3AB =cm ，6AD =cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，2EF BE =，则AFC S =△ 2cm ．4、 如图，在△ABC 中, ο70=∠CAB . 在同一平面内, 将△ABC 绕点A 旋转到△//C AB 的位置, 使得AB CC ///, 则=∠/BAB （ ）A. ο30 B. ο35 C. ο40 D. ο50 5、如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆1的半径）得图形34,,,,n P P P L L ，记纸板n P 的面积为n S ， 试计算求出2S = ；3S = ；并猜想得到1n n S S --= ()2n ≥。

6、如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E F ，分别是AB CD ，的中点，18AD BC PEF =∠=o ，，则PFE ∠的度数是 ．（第16题）CFD BE A P （第6题）ADCEF GB 3题图 D ABRP F CGK图4E8题10题 12题7、如图，点G 是ABC △的重心，CG 的延长线交AB 于D ，5cm GA =，4cm GC =，3cm GB =，将ADG △绕点D 旋转180o得到BDE △，则DE = cm ，ABC △的面积= cm 2．8、如图，已知梯形ABCD ，AD BC ∥，4AD DC ==，8BC =，点N 在BC 上，2CN =，E 是AB 中点，在AC 上找一点M 使EM MN +的值最小，此时其最小值一定等于（ ） A ．6B ．8C ．4D ．439、将一副直角三角板按图示方法放置（直角顶点重合），则AOB DOC ∠+∠= o．10、已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE＝AP ＝1，PB ＝ 5 ．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为 2 ；③EB ⊥ED ；④S △APD ＋S △APB ＝1＋ 6 ；⑤S 正方形ABCD ＝4＋ 6 ．其中正确结论的序号是（）A ．①③④B ．①②⑤C ．③④⑤D ．①③⑤11、如图，直角梯形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD ，E 为梯形内一点，且∠BEC ＝90°，将△BEC 绕C 点旋转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF ，连EF 交CD 于M ．已知BC ＝5，CF ＝3，则DM:MC 的值为 （ ） A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:412、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED ，AE 、DE ，△ADE 的面积为3，则BC 的长为 ． 13、如图,四边形OABC 为菱形,点B 、C 在以点O 为为圆心的上，若OA = 3，∠1 = ∠2，则扇形OEF 的面积为_________.14、 如图,点P 是∠AOB 的角平分线上一点，过点P 作PC ∥OA 交OB 于点C.若∠AOB = 60o,OC = 4,则点P 到OA 的距离PD 等于__________. 15、如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，3BC =，4AC =，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ）A ．32 B ．76 C ．256D ．2B AC D O P (第14题) AD B EC （第15题） ABE G CD（第7题）C D AO B30°45°A D EM(第11题(第13题)O A B C F 1 2 E E D（第20题）16、如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且OP AB //．若阴影部分的面积为π9，则弦AB 的长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．917、如图，等腰△ABC 中，底边a BC =，︒=∠36A ，ABC ∠的平分线交AC 于D ，BCD ∠的平分线交BD 于E ，设215-=k ，则=DE （ ）A ．a k 2B ．a k 3C ．2k aD ．3ka18、如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还应满足的一个条件是19、如图，把矩形纸条ABCD 沿EF 、GH 同时折叠，B 、C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∠FPH=90°，PF=8，PH=6，则矩形ABCD 的边BC 长为 ． 20、．梯形ABCD 中AB ∥CD ，∠ADC +∠BCD =90°，以AD 、AB 、BC 为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3 ，且S 1 +S 3 =4S 2，则CD =（ ）A. 2.5ABB. 3ABC. 3.5ABD. 4AB21、如图,在□ABCD 中，AB =3，AD =4，∠ABC =60°，过BC 的中点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，与DC 的延长线相交于点H ，则△DEF 的面积是 .22、如图，已知a ∥b ，∠1=70°，∠2=40°，则∠3= __________。

2018 初三数学中考复习图形的旋转专题综合练习题1. 图 1 和图 2 中全部的小正方形都全等，将图 1 的正方形放在图 2 中①②③④的某一地点，使它与本来 7 个小正方形构成的图形是中心对称图形，这个地点是( C )A．①B．②C．③D．④2．以下图案中，中心对称图形是( D )A．①②B．②③C．②④D．③④3．如图，将 Rt△ABC绕直角极点 C顺时针旋转 90°，获得△ A′B′C，连接AA′，若∠ 1＝25°，则∠ BAA′的度数是 ( D )A．55°B．60°C．65°D．70°4．如图，用一个半径为 5 cm的定滑轮带动重物上涨，滑轮上一点 P 旋转了 108°，假定绳子 ( 粗细不计 ) 与滑轮之间没有滑动，则重物上涨了( C )A．π cm B．2π cm C．3π cm D．5π cm5．如图，将△ ABC绕点 B 顺时针旋转 60°得△ DBE，点 C的对应点 E 恰巧落在AB延伸线上，连接 AD.以下结论必定正确的选项是 ( C )A．∠ ABD＝∠ E B．∠ CBE＝∠CC．AD∥BC D．AD＝BC6．若点 M(3，a－2) ，N(b，a) 对于原点对称，则a＋b＝__－2__．7．如图，直线 a，b 垂直订交于点 O，曲线 c 对于点 O成中心对称，点 A 的对称点是点 A′， AB⊥a于点 B，A′D⊥b 于点 D，若 OB＝ 3，OD＝2，则暗影部分的面积之和为 __6__．8．已知：如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3 cm，BO＝4 cm，将△AOB绕极点 O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段 OB1与 AB的交点 D 恰巧为 AB 的中点，则线段 B1 D＝__1.5__cm.9.如图，半径为 5 的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，而后把半圆沿直线 b 进行无滑动转动，使半圆的直径与直线 b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度等于 __5π__．10．如图，把正方形铁片 OABC置于平面直角坐标系中，极点 A 的坐标为 (3 ，0) ，点P(1，2) 在正方形片上，将正方形片其右下角的点按方向挨次旋 90°，第一次旋至①地点，第二次旋至②地点⋯，正方形片旋 2 017 次后，点 P 的坐__(6_053，2)__ ．11．如，在平面直角坐系中，△ABC各点的坐分A(－2，－2) ，B(－4，－ 1) ，C(－4，－4) ．(1)作出△ ABC对于原点 O成中心称的△A1B1C1；(2)作出点 A 对于 x 的称点 A′，若把点 A′向右平移 a 个位度后落在△A1B1C1 的内部(不包含点和界)，求a的取范．解： (1) 如所示，△ A1B1C1即所求．(2)∵点 A′坐 ( －2，2) ，∴若要使向右平移后的 A′落在△A1B1C1的内部， a 的取范 4＜a＜6.12．如，已知 AC⊥BC，垂足 C，AC＝4，BC＝3 3，将段 AC点 A 按逆方向旋60°，获得段 AD， DC，DB.(1)线段 DC＝__4__；(2)求线段 DB的长度．解：作 DE⊥BC于点 E. ∵△ ACD是等边三角形，∴∠ ACD＝60°. 又∵ AC⊥BC，∴∠D CE＝∠ ACB－∠ ACD＝ 90°－ 60°＝ 30°，13∴Rt△CDE中， DE＝2DC＝2，CE＝DC· cos30°＝ 4×2＝23，∴ BE＝BC－CE＝3 3－2 3＝ 3. ∴Rt△BDE中， BD＝2222DE＋BE＝ 2 ＋（3）＝ 7.13．已知△ ABC是等腰三角形， AB＝AC.(1)特别情况：如图①，当 DE∥BC时，有 DB___＝__EC.( 填“＞”“＜”或“＝”)(2)发现研究：若将图①中的△ ADE绕点 A 顺时针旋转α(0 °＜α＜180°) 到图②地点，则 (1) 中的结论还建立吗？若建立，请赐予证明；若不建立，请说明原因．(3)拓展运用：如图③， P 是等腰直角三角形 ABC内一点，∠ ACB＝90°，且 PB ＝1，PC＝2，PA＝3，求∠ BPC的度数．解：(2) 建立．证明：由(1) 易知 AD＝AE，∴由旋转性质可知∠ DAB＝∠ EAC.在△ DAB4 / 62018 初三数学中考复习图形的旋转专题综合练习题含答案AD＝AE，和△ EAC中，∠DAB＝∠ EAC，∴△ DAB≌△ EAC(SAS)，∴ DB＝EC.AB＝ AC，(3)如图，将△ CPB绕点 C顺时针旋转 90°得△ CEA，连接 PE，∴△CPB≌△ CEA，∴CE＝CP ＝2，AE＝BP＝1，∠PCE＝90°，∴∠ CEP＝∠ CPE＝45°. 在 Rt △PCE中，由勾股定理可得， PE＝ 222)22222＝2，在△ PEA 中， PE＝(2＝8，AE＝1＝1，PA＝32229. ∵PE＋AE＝AP，∴△ PEA是直角三角形，∴∠ PEA＝90°，∴∠ CEA＝135°.又∵△ CPB≌△ CEA，∴∠ BPC＝∠ CEA＝135°.14.如图，将等腰△ ABC绕极点 B逆时针方向旋转α到△ A1 BC1的地点，AB与 A1C1订交于点 D，AC与 A1C1，BC1分别交于点 E，F.①求证：△ BCF≌△ BA1D；②当∠ C＝α时，判断四边形A1BCE的形状并说明原因．解：①证明：∵△ ABC是等腰三角形，∴ AB＝BC，∠ A＝∠ C.由旋转性质得A1B ＝A B＝BC，∠A＝∠ A1＝∠ C，∠ A1BD＝∠ CBC1，∴△ BCF≌△BA1D(ASA)．②四边形 A1BCE是菱形．原因：∵∠ A1＝∠ A，∠ADE＝∠ A1DB，∴∠ AED＝∠ A1 BD ＝α，∴∠ DEC＝180°－α. ∵∠ C＝α，∴∠ A1＝α，∴∠ A1BC＝360°－∠ A12018 初三数学中考复习图形的旋转专题综合练习题含答案－∠ C－∠ A1EC＝180°－α，∴∠ A1＝∠ C，∠A1 BC＝∠ A1EC.∴四边形 A1BCE是平行四边形．∵ A1B＝BC，∴四边形 A1BCE是菱形．。

天津市2018届中考数学复习《旋转问题》专项训练含答案天津市2018年中考数学题型专项训练：旋转问题1.如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(0,2),△A B O为等边三角形,P 是x轴上的一个动点(不与O点重合),将线段A P绕A点按逆时针方向旋转60°,P点的对应点为点Q.(Ⅰ)求点B的坐标;(Ⅱ)当点P在x轴负半轴运动时,求证:∠A B Q=90°;(Ⅲ)连接O Q,在点P运动的过程中,当O Q平行A B时,求点P的坐标.第1题图解:(Ⅰ)如解图①,过点B作B C⊥x轴于点C,∵△A O B为等边三角形,且O A=2,∴∠A O B=60°,O B=O A=2,∴∠B O C=30°,而∠O C B=90°,(Ⅱ)∵△A P Q、△A O B均为等边三角形,∴A P=A Q,A O=A B,∠P A Q=∠O A B,∴∠P A O=∠Q A B,在△A P O与△A Q B中,AP AQPAO QAB AO AB⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝,∴△A P O≌△A Q B,∴∠A B Q=∠A O P=90°;(Ⅲ)当点P在x轴正半轴上时,∵∠O A B=60°,∴将A P绕点A逆时针旋转60°时,点Q在点B上方,∴O Q和A B必相交,当点P在x轴负半轴上时,点Q在点B的下方,∵A B∥O Q,∠B Q O=90°,∠B O Q=∠A B O=60°.在R t△B O Q中,O B=2,∠O B Q=90°－∠B O Q=30°,由(Ⅱ)可知,△A P O≌△A Q B,图①图②第1题解图2.在直角坐标系中,O A=C D,O B=O D,C D⊥x轴于D,E、F分别是O B、O D中点,连接E F交A C于点G.(Ⅰ)如图①,若点A的坐标为(－2,0),S△O C D=5,求点B的坐标;(Ⅱ)如图②,当O B=2O A时,求证:点G为A C的中点;(Ⅲ)如图③,当O B＞2O A,△A B O绕原点O顺时针旋转α(0°＜α＜45°),(Ⅱ)中的结论是否还成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.第2题图解:(Ⅰ)∵A(－2,0),∴O A=2,∵C D⊥O D,C D=O A=2,又∵S△O C D=5,∴O D=5,∴O B=O D=5,∴B(0,5);(Ⅱ)如解图①,连接E C、A E、C F.∵O B=2O A,C D=O A,O D=O B,∵E B=E O,O F=D F,∴O E∥C D,O E=C D,∴四边形O E C D是平行四边形,∴E C=O D,∵A F=O D=E C,∴E C=A F,E C∥A F,∴四边形A E C F是平行四边形,∴A G=C G,即点G为A C的中点;(Ⅲ)成立.理由:如解图②,连接A E、C F,在F E上取一点H,使得C H=C F.∵O B=O D,O E=E B,O F=D F,∴O E=D F,∵∠A O E=∠F D C,O A=C D,∴△A O E≌△C D F,∴A E=C F=C H,∠A E O=∠C F D,∵O E=O F,∴∠O E F=∠O F E,∵∠A E G=∠A E O＋∠O E F,∠C H G=180°－∠C H F=180°－∠C F H=180°－(180°－∠O F E－∠C F D)=∠O F E＋∠C F D,∴∠A E G=∠C H G,∵∠A G E=∠C G H,∴△A E G≌△C H G,∴A G=C G,即点G为A C的中点.图① 图② 第2题解图3.如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(－8,0),直线B C 经过点B (－8,6),C (0,6),将四边形O A B C 绕点O 按顺时针方向旋转角度α得到四边形O A ′B ′C ′,此时边O A ′与边B C 交于点P ,边B ′C ′与B C 的延长线交于点Q ,连接A P .(Ⅰ)求证:四边形O A B C 是矩形;(Ⅱ)在旋转过程中,当∠P A O =∠P O A ,求P 点坐标.(Ⅲ)在旋转过程中,当P 为线段B Q 中点时,连接O Q ,求△O P Q 的面积.第3题图(Ⅰ)证明:∵点A 的坐标为(－8,0),点B (－8,6),C (0,6), ∴∠C O A =∠O A B =∠B =90°, ∴四边形O A B C 是矩形.(Ⅱ)解:如解图①,过点P 作P E ⊥A O 于点E , ∵∠P A O =∠P O A ,∴P A =P O , ∵P E ⊥A O , ∴A E =E O =4, ∴P (－4,6);(Ⅲ)解:如解图②,在R t △O C Q 和R t △O C 'Q 中,CO COOQ OQ⎧⎨⎩＝＝, ∴R t △O C Q ≌R t △O C 'Q ,∴∠O Q C =∠O Q C ', 又∵O P ∥C 'Q , ∵∠P O Q =∠O Q C ',∴∠P O Q =∠P Q O ,∴P O =P Q , ∵B P =Q P ,∴B P =O P =x ,图①图② 第3题解图P A 、P B ,将△A B P 绕着点A 顺时针旋转60°得到△A B ′P ′,连接P P ′.(Ⅰ)求点B′的坐标;(Ⅱ)当△O P A与△A P B满足什么条件时,P O＋P A＋P B的值最小,并求出此最小值;(Ⅲ)试直接写出(Ⅱ)中的点P坐标.∴A B=2,∠B A O=30°,∵将△A B P绕着点A顺时针旋转60°得到△A B′P′,∴A B′=2,∠B′A O=90°,(Ⅱ)由旋转可得,△A P P′是等边三角形,∴P P′=P A,又∵P′B′=P B,∴P O＋P A＋P B=P O＋P P′＋P′B′,∴如解图①,当O、P、P′、B′四点共线时,P O＋P A＋P B的值最小,∴当∠O P A=∠A P B=∠A P′B′=120°时,P O＋P A＋P B的值最小,(Ⅲ)如解图②,将(Ⅱ)中的△O P B绕着点O逆时针旋转60°得到△O B″P″,则∠B O B″=60°,O B″=O B=1由(Ⅱ)可知A 、P 、P ″、B ″四点共线, ∴点P 为O B ′与A B ″的交点,图① 图② 第4题解图5.如图,将两块直角三角板摆放在平面直角坐标系中,有∠C O D =∠A B O =90°,∠O C D =45°,∠A O B =60°,且A O =C D =8.现将R t △A O B 绕点O 逆时针旋转,旋转角为β(0°≤β≤180°).在旋转过程中,直线C D 分别与直线A B ,O A 交于点F ,G .(Ⅰ)当旋转角β=45°时,求点B 的坐标; (Ⅱ)在旋转过程中,当G F =A F ,求β的值;(Ⅲ)在旋转过程中,当∠B O D =60°时,求直线A B 的解析式.第5题图解:(Ⅰ)如解图①,过点B作B H⊥x轴于点H,在R t△A O B中,∠A O B=60°,O A=8,当β=45°时,即∠B O C=45°,∴O H=B H,∴O H2＋B H2=42(Ⅱ)当75°＜β＜180°时,存在F A=F G(如解图④),∴∠A=∠F G A=30°,∴∠C O G=45°－30°=15°=∠A O M,∴β=∠B O C=180°－15°－60°=105°,∴当F G=A F时，β=105°;(Ⅲ)①当点B在第一象限时(如解图②),过点B作B M⊥O C于点M,∵∠B O D=60°,∴∠B O C=30°,∵点A 在y 轴上 ∴A (0,8),设直线A B 的解析式为y =k x ＋b ,②当点B 在第二象限时,(如解图③),过点B 作 B E ⊥x 轴于点E ,过点A 作A H ⊥B E 于H , ∵∠B O D =60°, ∴∠B O E =30°, ∴∠E B O =60°, ∴∠A B H =30°, 又∵O B =4,∵∠B E O =∠A H B =90°,∠A B H =∠B O E , ∴△O B E ∽△B A H ,设直线A B的解析式为y=k x＋b,图①图②图③图④第5题解图6.如图.在平面直角坐标系中,点A(3,0),B(0,－4),C是x轴上一动点,过C作C D∥A B交y轴于点D.(Ⅱ)若以A,B,C,D为顶点的四边形的面积等于54,求点C的坐标;(Ⅲ)将△A O B绕点A按顺时针方向旋转90°得到△A O′B′,设D的坐标为(0,n),当点D落在△A O′B′内部(包括边界)时,求n的取值范围.(直接写出答案即可)第6题图解:(Ⅰ)∵点A的坐标是(3,0),B的坐标是(0,－4),∴O A=3,O B=4.∵C D∥A B,∴△A O B∽△C O D,(Ⅱ)设O C=3x,则O D=4x,则A C=3＋3x,B D=4＋4x,当点C在x轴负半轴上时:∵四边形A B C D的面积是54,解得:x=2或－4(舍去).则点C的坐标是(－6,0);当点C 在x 轴的正半轴上时,(Ⅲ)O ′的坐标是(3,3),则O ′B ′与y 轴的交点坐标是(0,3); 则B ′的坐标是(－1,3). 设A B ′的解析式是y =k x ＋b ,根据题意得:303k b k b ⎨⎩+-+⎧＝＝,4⎪⎪第6题解图7.如图,O A B C是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为坐标原点,点A 在x轴上,点C在y轴上,O A=9,O C=15,将矩形纸片O A B C绕O点顺时针旋转90°得到矩形O A1B1C1.将矩形O A1B1C1折叠,使得点B1落在x轴上,并与x轴上的点B2重合,折痕为A1D.(Ⅰ)求点B2的坐标;(Ⅱ)求折痕A1D所在直线的解析式;(Ⅲ)在x轴上是否存在点P,使得∠B P B1为直角？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.第7题图解:(Ⅰ)由条件知,B2A1=B1A1=B A=15,A1O=B1C1=B C=9,∴点B2坐标为(12,0);(Ⅱ)B2C1=15－12=3,D C1=m,则B1D=9－m,∵B1D=B2D,解得m=4,∴D点的坐标为(15,4),又∵A1(0,9),设折痕A1D所在直线的解析式为y=k x＋b(k≠0),(Ⅲ)假设存在P 点,∵∠B P A ＋∠B P B 1＋∠B 1P C 1=180°,∠B P B 1=90°, ∴∠B P A ＋∠B 1P C 1=90°,∵∠B A P =90°,∠A B P ＋∠B P A =90°, ∴∠A B P =∠B 1P C 1.在△B A P 和△P C 1B 1中,111190ABP B PC BAP PC B ∠∠∠⎨⎩∠⎧︒＝＝＝,∴△B A P ∽△P C 1B 1.∵A B =15,C 1B 1=9,A C 1=24,设P C 1的长为m, 解得m 1=15或m 2=9.经检验m 1=15或m 2=9是方程的两根, 当P C 1=15时,P 点坐标为(0,0); 当P C 1=9时,P 点坐标为(6,0). 综上所述,P 点坐标为(0,0),(6,0).第7题解图8.如图,在平面直角坐标系中,已知△A O B 是等边三角形,点A 的坐标是(0,4),点B 在第一象限,点P 是x 轴上的一个动点,连接A P ,并把△A O P 绕着点A 按逆时针方向旋转,使边A O 与A B 重合,得到△A B D . (Ⅰ)求点B 的坐标及直线AB 的解析式;(Ⅱ)当点P 运动到点(t ,0)时,试用含t 的式子表示点D 的坐标;的坐标(直接写出结果即可)第8题图解:(Ⅰ)如解图①,过点B 作B E ⊥y 轴于点E ,作B F ⊥x 轴于点F .设直线A B 的解析式是y =kx ＋b (k ≠0),(Ⅱ)∵△A B D由△A O P旋转得到,∴△A B D≌△A O P.∴A P=A D,∠D A B=∠P A O.∴∠D A P=∠B A O=60°,∴△A D P是等边三角形.如解图②,过点D作D H⊥x轴于点H,延长E B交D H于点G,则B G⊥D H. 在R t△B D G中,∠B G D=90°,∠D B G=60°,(Ⅲ)存在.下面分三种情况讨论:②∵当D在x轴上时,如解图③,32图① 图② 图③ 第8题解图9.在平面直角坐标系中,点 A (－2,0),B (2,0),C (0,2),点 D ,点E 分别是 A C ,B C 的中点,将△C D E 绕点C 逆时针旋转得到△C D ′E ′,旋转角为α,连接 A D ′,B E ′. (Ⅰ)如图①,若 0°＜α＜90°,当 A D ′∥C E ′时,求α的大小;(Ⅱ)如图②,若 90°＜α＜180°,当点 D ′落在线段 B E ′上时,求 s i n ∠C B E ′的值; (Ⅲ)若直线A D ′与直线B E ′相交于点P ,求点P 的横坐标m 的取值范围.第9题图解:(Ⅰ)如解图①,∵A (-2,0),B (2,0),C (0,2), ∴OA =OB =OC ,∴∠ACB =90°, ∵△C D ′E ′是△C D E 旋转得到的, ∴∠D ′C E ′=90°,∵A D ′∥C E ′,∴∠A D ′C =∠D ′C E ′=90°,在∴α=60°;(Ⅱ)设F为D′E′的中点，连接CF,如解图②,∵C D′=C E′,∠E′C D′=90°,∴在Rt(Ⅲ)如解图③中,以C为圆心,C D′为半径作⊙C,当B E′与⊙C相切时A P最长,则四边形C D′P E′是正方形,作P H⊥A B于H.′=C D=1A C=2,∵在Rt如解图④中,当B E′与⊙C相切时A P最短,则四边形C D′P E′是正方形,作PH⊥A B于H.图①图②图③图④第9题解图10.如图,在平面直角坐标系中,正方形A B C D的顶点A、B、C、D的坐标分别为(3,0)、(0,3)、(－3,0)、(0,－3),点M为A B上一点,A M:B M=2:1,∠E M F 在A B的下方以M为中心旋转且∠E M F=45°,M E交y轴于点P,M F交x轴于点Q.(Ⅰ)求点M的坐标;(Ⅱ)设A Q的长为y,B P的长为x.求y与x的函数关系式;(Ⅲ)当P为O B的中点时,求四边形O Q M P的面积.第10题图解:(Ⅰ)∵正方形A B C D的顶点A、B、C、D的坐标分别为(3,0)、(0,3)、(－3,0)、(0,－3),∴O A=O B=O C=O D=3,在R t△A O B中由勾股定理,得∵A M:B M=2:1,作M G⊥A C于点G,∴M G∥B D,∴△A M G∽△A B O,BO∴M G=2,∴A G=2,∴O G=1,∴M(1,2);(Ⅱ)∵四边形A B C D是正方形,且A C、B D是对角线,∴∠1=∠5=45°,∴∠3＋∠4=135°,∵∠E M F=45°,∴∠2＋∠4=135°,∴∠2=∠3,有∠1=∠5,(Ⅲ)∵P为O B的中点,作M H⊥B D于H,M S⊥A C于S,由勾股定理可以求得:M H=1,M S=2,图①图②图③第10题解图。

中考数学真题汇编:平移与旋转一、选择题1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】C2. 以下图形中，能够看做是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A3. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°取得△EDC．假设点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，那么∠ADC的度数是（）A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°【答案】C4. 在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，取得点B，那么点B的坐标为（）A.（4，-3）B.（-4，3）C.（-3，4）D.（-3，-4）【答案】B5. 如图，在平面直角坐标系中，的极点在第一象限，点，的坐标别离为、，，，直线交轴于点，假设与关于点成中心对称，那么点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A6.以下图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B7.在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系如图,在平面上取定一点称为极点；从点动身引一条射线称为极轴；线段的长度称为极径点的极坐标就能够够用线段的长度和从转动到的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确信，即或或等,那么点关于点成中心对称的点的极坐标表示不正确的选项是( )A. B. C. D.【答案】D8.如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，假设四边形的面积为25，，那么的长为（）A. 5B.C. 7D.【答案】D9.如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在那个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）A. 主视图B. 左视图C. 俯视图D. 主视图和左视图【答案】C10. 如图，已知一个直角三角板的直角极点与原点重合，另两个极点A，B的坐标别离为（-1，0），（0，）．现将该三角板向右平移使点A与点O重合，取得△OCB’，那么点B的对应点B’的坐标是（）A. （1，0）B. （，）C. （1，）D. （-1，）【答案】C11. 如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部份三角形的面积为4.若，那么等于（）A. 2B. 3C.D.【答案】A12.如图，直线都与直线l垂直，垂足别离为M，N，MN=1，正方形ABCD的边长为，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处，将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止，记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于之间分的长度和为y，那么y关于x的函数图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A二、填空题13.在平面直角坐标系中，将点（3,-2）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，那么所得的点的坐标是________.【答案】（5,1）14.如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，极点AB别离落在x、y轴的正半轴上，∠OAB ＝60°,点A的坐标为（1,0），将三角板ABC沿x轴右作无滑动的转动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°，…）当点B第一次落在x轴上时，那么点B运动的途径与坐标轴围成的图形面积是________.【答案】+ π15.如图,正方形的边长为1,点与原点重合,点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上将正方形绕点逆时针旋转至正方形的位置, 与相交于点,则的坐标为________．【答案】16.如图，正比例函数y=kx与反比例函数y= 的图象有一个交点A(2，m)，AB⊥x轴于点B，平移直线y=kx使其通过点B，取得直线l，那么直线l对应的函数表达式是________ .【答案】y= x-317.如图，中，，，，将绕点顺时针旋转取得，为线段上的动点，以点为圆心，长为半径作，当与的边相切时，的半径为________.【答案】或18.设双曲线与直线交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其通过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其通过点，平移后的两条曲线相交于点，两点，现在我称平移后的两条曲线所围部份（如图中阴影部份）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”当双曲线的眸径为6时，的值为________.【答案】三、解答题19.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点.（1）①在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原先的2倍，取得线段（点A，B的对应点别离为）.画出线段;②将线段绕点逆时针旋转90°取得线段.画出线段;（2）以为极点的四边形的面积是________个平方单位.【答案】（1）解：如下图：（2）2020.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD 绕点C按逆时针方向旋转90°取得线段CE，连结DE交BC于点F，连结BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．【答案】（1）证明：∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°取得线段CE，∴∠DCE=90°，CD=CE，又∵∠ACB=90°∴∠ACB=∠DCE.∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中，∵CD=CE，∠ACD=∠BCE，AC=BC，∴△ACD≌△BCE（SAS），（2）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°由（1）知△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠CBE=∠A=45°，又∵AD=BF，∴BE=BF，∴∠BEF=∠BFE= =67.5°.21. 如图，在每一个小正方形的边长为1的网格中，的极点，，均在格点上.（1）的大小为________（度）；（2）在如下图的网格中，是边上任意一点. 为中心，取旋转角等于，把点逆时针旋转，点的对应点为.当最短时，请用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）【答案】（1）（2）解：如图，即为所求.22. 在边长为1个单位长度的正方形网格中成立如下图的平面直角坐标系，△ABC的极点都在格点上，请解答以下问题：（1）①作出△ABC向左平移4个单位长度后取得的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；②作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；（2）已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的极点A3的坐标为（－4，－2），请直接写出直线l的函数解析式. 【答案】（1）解：如下图，C1的坐标C1（-1,2）, C2的坐标C2（-3,-2）（2）解：∵A（2,4），A3（-4，-2），∴直线l的函数解析式：y=-x.23. 在中，，，，过点作直线，将绕点顺时针取得（点，的对应点别离为，）射线，别离交直线于点，.（1）如图1，当与重合时，求的度数；（2）如图2，设与的交点为，当为的中点时，求线段的长；（3）在旋转进程时，当点别离在，的延长线上时，试探讨四边形的面积是不是存在最小值.假设存在，求出四边形的最小面积；假设不存在，请说明理由.【答案】（1）由旋转的性质得：.，，，，，.（2）为的中点，.由旋转的性质得：，.，.，，.（3），最小，即最小，.法一：（几何法）取中点，那么..当最小时，最小，，即与重合时，最小.，，，.法二：（代数法）设，.由射影定理得：，当最小，即最小，.当时，“ ”成立，.24. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点.以点为中心，顺时针旋转矩形，取得矩形，点，，的对应点别离为，，.（1）如图①，当点落在边上时，求点的坐标；（2）如图②，当点落在线段上时，与交于点.①求证；②求点的坐标.（3）记为矩形对角线的交点，为的面积，求的取值范围（直接写出结果即可）. 【答案】（1）解：∵点，点，∴，.∵四边形是矩形，∴，，.∵矩形是由矩形旋转取得的，∴.在中，有，∴.∴.∴点的坐标为.（2）解：①由四边形是矩形，得.又点在线段上，得.由（Ⅰ）知，，又，，∴.②由，得.又在矩形中，，∴.∴.∴. 设，那么，.在中，有，∴.解得.∴.∴点的坐标为.（3）解：。

2018年九年级数学中考旋转专项复习1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．（1）先将△ABC竖直向上平移6个单位，再水平向右平移1个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得△A2B1C2，请画出△A2B1C2；（3）求（2）中点A1旋转到点A2所经过的弧长A1A2（结果保留π）．2.如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．3.如图,点P的坐标为（4，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．（1）写出点Q的坐标是；（2）若把点Q向右平移m个单位长度，向下平移2m个单位长度后，得到的点Q′恰好落在第三象限，求m的取值范围．4.如图，△ABC中，∠BAC=120°，以BC为边向外作等边△BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数和AD的长．5.如图1，四边形ABCD是正方形，△ADE经旋转后与△ABF重合．（1）旋转中心是；（2）旋转角是度；（3）如果连接EF，那么△AEF是三角形．（4）用上述思想或其他方法证明：如图2，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°．求证：EF=BE+DF．6.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．7.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求∠ACE的度数；（3）求证：四边形ABFE是菱形．8.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AB/C/D/，点C的对应点C/恰好落在CB的延长线上，边AB交边C/D/于点E．（1）求证：BC=BC/．（2）若AB=2，BC=1，求AE的长．9.如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF2=BE2+DF2．10.如图，已知在△ABC中，∠BAC=1200，以BC为边向形外作等边三角形△BCD，把△ABD绕着点D 按顺时针方向旋转600后得到△ECD，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数与AD的长.11.直角坐标系中，已知点P（﹣2，﹣1），点T（t，0）是x轴上的一个动点．（1）求点P关于原点的对称点P′的坐标；（2）当t取何值时，△P′TO是等腰三角形？12.如图，已知Rt△ABC中，AB=AC=，点D为直线BC上的动点（不与B、C重合），以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE（点A，D，E按逆时针顺序排列），连结CE．（1）当点D在线段BC上时，①求证：BD=CE；②求CD+CE的值；（2）当点D在直线BC上运动时，直接写出CD与CE之间的数量关系．13.探究：如图1和2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能证得EF=BE+DF，请写出推理过程；②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系时，仍有EF=BE+DF；（2）拓展:如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°.若BD=1,求DE长．14.如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．15.等边△OAB在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），将△OAB绕点O顺时针方向旋转a°（0＜a＜360）得△OA1B1．（1）求出点B的坐标；（2）当A1与B1的纵坐标相同时，求出a的值；（3）在（2）的条件下直接写出点B1的坐标．参考答案1.解：（1）如图，△AB1C1为所作；1（2）如图，△A2B1C2为所作；（3）（2）中点A1旋转到点A2所经过的弧长==π．2.解：（1）如图所示：△AB′C′即为所求；（2）∵AB==5，∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为： =π．3.解：（1）点Q的坐标为（﹣3，4）；故答案为（﹣3，4）；（2）把点Q（﹣3，4）向右平移m个单位长度，向下平移2m个单位长度后,得到的点Q′的坐标为(﹣3+m，4﹣2m),而Q′在第三象限,所以-3+m<0,4-2m<0,解得2＜m＜3,即m范围为2＜m＜3．4.由∠BAC=120°知∠ABC＋∠ACB=60°.又∵∠ABD=∠ABC＋∠CBD=∠DCE，∠CBD=∠BCD=60°，∴∠ACB＋∠BCD＋∠DCE=∠ACB＋∠BCD＋∠ABC＋∠CBD=180°，即点A、C、E在一条直线上．又∵AD=ED，∠ADE=60°，∴△ADE为等边三角形．∴∠BAD=∠E=60°，AD=AE=AC＋CE=AC＋AB=5.5.解：（1）由图1可得，旋转中心是点A，故答案为：点A；（2）由图1可得，旋转角=∠DAB=90°，故答案为：90；（3）根据∠EAF=∠DAB=90°，AE=AF可得，△AEF是等腰直角三角形；故答案为：等腰直角；（4）如图所示，将△ABE绕A点逆时针旋转90°，得到△ADE′，因为∠EAF=45°，所以∠BAE+∠DAF=45°，因为∠BAE=∠DAE′，所以∠FAE′=45°，所以∠FAE′=∠FAE，又因为AF=AF，AE=AE′，所以△EAF≌△E′AF（SAS），所以EF=E′F，因为E′F=DF+DE′，E′D=BE，所以EF=BE+DF．6.解：（1）如图1所示：（2）如图2所示：（3）找出A的对称点A′（﹣3，﹣4），连接BA′，与x轴交点即为P；如图3所示：点P坐标为（2，0）．7.（1）证明：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，∴∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAD=∠CAE=100°，又∵AB=AC，∴AB=AC=AD=AE，在△ABD与△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS）．（2）解：∵∠CAE=100°，AC=AE，∴∠ACE===40°；（3）证明：∵∠BAD=∠CAE=100°AB=AC=AD=AE，∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°．∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=140°，∴∠BAE=∠BFE，∴四边形ABFE是平行四边形，∵AB=AE，∴平行四边形ABFE是菱形．8.解：（1）连结AC、AC/，如图．∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC=90°，即AB⊥CC/．由旋转，得AC=AC/，∴BC=BC/．（2）∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC,∠D=∠ABC/=90°．∵BC=BC/，∴BC/=AD/．由旋转，得AD=AD/，∴BC/=AD/．∴△AD/E≌△C/BE．∴BE=D/E．设AE=x，则D/E=2-x．在Rt△AD/E中，∠D/=90°，由勾股定理，得x2-(2-x)2=1．解得x=．∴AE=．9.证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB=DF，AQ=AF，∠ABQ=∠ADF=45°，在△AQE和△AFE中，∴△AQE≌△AFE（SAS），∴∠AEQ=∠AEF，∴EA是∠QED的平分线；（2）由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE=EF，在Rt△QBE中，QB2+BE2=QE2，则EF2=BE2+DF2．10.（1）证明：∵△BCD为等边三角形，∴∠3=∠4=60°，DC=DB，∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，∴∠5=∠1+∠4=∠1+60°，∴∠2+∠3+∠5=∠2+∠1+120°，∴∠2+∠3+∠5=60°+120°=180°，∴点A、C、E在一条直线上；（2）∵点A、C、E在一条直线上，而△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，∴∠ADE=60°，DA=DE，∴△ADE为等边三角形，∴∠DAE=60°，∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=120°-60°=60°；（3）∵点A、C、E在一条直线上，∴AE=AC+CE，∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，∴CE=AB，∴AE=AC+AB=2+3=5，∵△ADE为等边三角形，∴AD=AE=5．解：11.12.（1）①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE．∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC=BC，DC=EC．在△ACD和△BCE中，有，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC．∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE=50°，∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°，∴∠BEC=130°．∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．（2）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°，∴∠CDM=∠CEM=×（180°﹣120°）=30°．∵CM⊥DE，∴∠CMD=90°，DM=EM．在Rt△CMD中，∠CMD=90°，∠CDM=30°，∴DE=2DM=2×=2CM．∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°，∴∠BEN=180°﹣120°=60°．在Rt△BNE中，∠BNE=90°，∠BEN=60°，∴BE==BN．∵AD=BE，AE=AD+DE，∴AE=BE+DE=BN+2CM．13.（1）如图1所示过点B作BC⊥OA，垂足为C．∵△OAB为等边三角形，∴∠BOC=60°，OB=BA．∵OB=AB，BC⊥OA，∴OC=CA=1．在Rt△OBC中，，∴BC=．∴点B的坐标为（1，）．（2）如图2所示：∵点B1与点A1的纵坐标相同，∴A1B1∥OA．①如图2所示：当a=300°时，点A1与点B1纵坐标相同．如图3所示：当a=120°时，点A1与点B1纵坐标相同．∴当a=120°或a=300°时，点A1与点B1纵坐标相同．（3）如图2所示：由旋转的性质可知A1B1=AB=2，点B的坐标为（1，2），∴点B1的坐标为（﹣1，）．如图3所示：由旋转的性质可知：点B1的坐标为（1，﹣）．∴点B1的坐标为（﹣1，）或（1，﹣）．。

2018 初三中考数学专题复习旋转专项练习题1. 下列图中的四个图案，能通过基本图形旋转得到的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△A′B′C是由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且点A，B′，A′在同一条直线上，则AA′的长为( ) A．6 B．4 3 C．3 3 D．33. 下列四组图形中成中心对称的有( )A．1组 B．2组 C．3组 D．4组4. 如图，△ABC与△A′B′C′是成中心对称的两个图形，则下列说法不正确的是( )A．AB＝A′B′，BC＝B′C′ B．AB∥A′B′，BC∥B′C′C．S△ABC＝S△A′B′C′ D．△ABC≌△A′OC′5. 观察下列图形，是中心对称图形的是( )6. 点P(3，2)关于原点对称的点在( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7. 若点A(n，2)与点B(－3，m)关于原点对称，则n－m＝( )A．－1 B．－5 C．1 D．58. 如图，点P是正方形ABCD内一点，将△PCD绕点C按逆时针方向旋转后与△P′CB 重合，若PC＝1，则PP′＝．9. 如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为．10. 已知A，B两点关于点O成中心对称，若AO＝3 cm，则BO＝____cm.11. 如图，点A，B，C的坐标分别为(2，4)，(5，2)，(3，－1)．若以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形，则点D的坐标为．12. 已知，点A(5，m)关于x轴的对称点为(5，－2)，那么m的值为____，点A关于原点对称的点的坐标是．13. 若a－3＋(b＋2)2＝0，则点M(a，b)关于原点的对称点的坐标为．14. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．(1)请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；(2)请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；(3)在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出点P的坐标．参考答案：1---7 DACDC CD8. 29. (4，2)10. 311. (0，1)12. 2 (－5，－2)13. (－3，2)14. 解：(1)提示：A，B，C向左平移5个单位后的坐标分别为(－4，1)，(－1，2)，(－2，4)，连接这三个点，得△A1B1C1(2)提示：A，B，C关于原点的对称点的坐标分别为(－1，－1)，(－4，－2)，(－3，－4)，连接这三个点，得△A2B2C2(3)P(2，0)．作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，则点P即为所求作的点。

中考数学真题汇编:平移与旋转一、选择题1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】C2. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A3. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是（）A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°【答案】C4. 在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为（）A.（4，-3）B.（-4，3）C.（-3，4）D.（-3，-4）【答案】B5. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点，的坐标分别为、，，，直线交轴于点，若与关于点成中心对称，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A6.下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B7.在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系如图,在平面上取定一点称为极点；从点出发引一条射线称为极轴；线段的长度称为极径点的极坐标就可以用线段的长度以及从转动到的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即或或等,则点关于点成中心对称的点的极坐标表示不正确的是( )A. B. C. D.【答案】D8.如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，若四边形的面积为25，，则的长为（）A. 5B.C. 7D.【答案】D9.如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）A. 主视图B. 左视图C. 俯视图D. 主视图和左视图【答案】C10. 如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标分别为（-1，0），（0，）．现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB’，则点B的对应点B’的坐标是（）A. （1，0）B. （，）C. （1，）D. （-1，）【答案】C11. 如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若，则等于（）A. 2B. 3C.D.【答案】A12.如图，直线都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN=1，正方形ABCD的边长为，对角线AC 在直线l上，且点C位于点M处，将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止，记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于之间分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A二、填空题13.在平面直角坐标系中，将点（3,-2）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得的点的坐标是________.【答案】（5,1）14.如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点AB分别落在x、y轴的正半轴上，∠OAB＝60°,点A的坐标为（1,0），将三角板ABC沿x轴右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°，…）当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是________.【答案】+ π15.如图,正方形的边长为1,点与原点重合,点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上将正方形绕点逆时针旋转至正方形的位置, 与相交于点,则的坐标为________．【答案】16.如图，正比例函数y=kx与反比例函数y= 的图象有一个交点A(2，m)，AB⊥x轴于点B，平移直线y=kx 使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是________ .【答案】y= x-317.如图，中，，，，将绕点顺时针旋转得到，为线段上的动点，以点为圆心，长为半径作，当与的边相切时，的半径为________.【答案】或18.设双曲线与直线交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于点，两点，此时我称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”当双曲线的眸径为6时，的值为________.【答案】三、解答题19.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点.（1）①在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段（点A，B的对应点分别为）.画出线段;②将线段绕点逆时针旋转90°得到线段.画出线段;（2）以为顶点的四边形的面积是________个平方单位.【答案】（1）解：如图所示：（2）2020.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连结BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．【答案】（1）证明：∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，∴∠DCE=90°，CD=CE，又∵∠ACB=90°∴∠ACB=∠DCE.∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中，∵CD=CE，∠ACD=∠BCE，AC=BC，∴△ACD≌△BCE（SAS），（2）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°由（1）知△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠CBE=∠A=45°，又∵AD=BF，∴BE=BF，∴∠BEF=∠BFE= =67.5°.21. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上.（1）的大小为________（度）；（2）在如图所示的网格中，是边上任意一点. 为中心，取旋转角等于，把点逆时针旋转，点的对应点为.当最短时，请用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）【答案】（1）（2）解：如图，即为所求.22. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：（1）①作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；②作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；（2）已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为（－4，－2），请直接写出直线l的函数解析式.【答案】（1）解：如图所示，C1的坐标C1（-1,2）, C2的坐标C2（-3,-2）（2）解：∵A（2,4），A3（-4，-2），∴直线l的函数解析式：y=-x.23.在中，，，，过点作直线，将绕点顺时针得到（点，的对应点分别为，）射线，分别交直线于点，.（1）如图1，当与重合时，求的度数；（2）如图2，设与的交点为，当为的中点时，求线段的长；（3）在旋转过程时，当点分别在，的延长线上时，试探究四边形的面积是否存在最小值.若存在，求出四边形的最小面积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）由旋转的性质得：.，，，，，.（2）为的中点，.由旋转的性质得：，.， .，，.（3），最小，即最小，.法一：（几何法）取中点，则..当最小时，最小，，即与重合时， 最小.，，，.法二：（代数法）设 ， .由射影定理得：，当最小，即最小，.当 时，“ ”成立， .24. 在平面直角坐标系中，四边形 是矩形，点 ，点 ，点.以点 为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，.（1）如图①，当点 落在 边上时，求点的坐标；（2）如图②，当点 落在线段上时，与交于点.①求证 ；②求点 的坐标.（3）记为矩形对角线的交点，为 的面积，求 的取值范围（直接写出结果即可）.WORD 资料可编辑专业整理分享 【答案】（1）解：∵点，点， ∴，. ∵四边形是矩形， ∴，，. ∵矩形是由矩形旋转得到的， ∴. 在中，有， ∴. ∴. ∴点的坐标为 . （2）解：①由四边形是矩形，得. 又点在线段上，得. 由（Ⅰ）知，，又，， ∴. ②由，得. 又在矩形中，， ∴.∴.∴. 设，则，. 在中，有， ∴.解得.∴. ∴点的坐标为 .（3）解：。

几何旋转综合题练习1、如图，已知∆ABC是等边三角形.（1）如图（1），点E 在线段AB 上，点D 在射线CB 上，且ED=EC.将∆BCE 绕点C 顺时针旋转60°至∆ACF , 连接 EF.猜想线段 AB,DB,AF 之间的数量关系;（2）点E 在线段BA 的延长线上，其它条件与（1）中一致，请在图（2）的基础上将图形补充完整，并猜想线段AB,DB,AF 之间的数量关系;（3）请选择（1）或（2）中的一个猜想进行证明.第 1 题图(2)2、如图1，△ACB、△AED 都为等腰直角三角形，∠AED＝∠ACB＝90°，点D 在AB 上，连CE，M、N 分别为BD、CE 的中点(1)求证：MN⊥CE(2)如图2 将△AED 绕A 点逆时针旋转30°，求证：CE＝2MN第1 题图(1)PA C 11OC图3B1A1O图2 CA13、在等腰Rt△A B C和等腰Rt△A1B1C1中,斜边B1C1中点O也是B C的中点。

(1)如图1，则AA1与CC1的数量关系是；位置关系是。

(2)如图2，将△A1B1C1绕点O顺时针旋转一定角度，上述结论是否仍然成立，请证明你的结论。

(3)如图3，在（2）的基础上，直线AA1、CC1交于点P，设A B=4，则P B长的最小值是。

A A AB B1O图 1B CC1C B1 B4、已知，正方形ABCD 的边长为4，点E 是对角线BD 延长线上一点，AE＝BD．将△ABE 绕点A 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△AB′E′，点B、E 的对应点分别为B′、E′(1)如图1，当α＝30°时，求证：B′C＝DE(2)连接B′E、DE′，当B′E＝DE′时，请用图2 求α的值(3)如图3，点P 为AB 的中点，点Q 为线段B′E′上任意一点，试探究，在此旋转过程中，线段PQ 长度的取值范围为14 PF ABFPF5、如图 P 为等边△ABC 外一点，AH 垂直平分 PC 于点 H ，∠BAP 的平分线交 PC 于点 D (1) 求证：DP ＝DB(2) 求证：DA ＋DB ＝DC(3) 若等边△ABC 边长为 ，连接 BH ，当△BDH 为等边三角形时，请直接写出 CP 的长度为6、如图，四边形 ABCD 为正方形，△BEF 为等腰直角三角形（∠BFE=900，点 B 、E 、F ，按逆时针排列），点 P 为 DE 的中点，连 PC ，PF(1)如图①，点 E 在 BC 上，则线段 PC 、PF 有何数量关系和位置关系？请写出你的结论，并证明．(2)如图②，将△BEF 绕点 B 顺时针旋转 a(O<a<450)，则线段 PC ，PF 有何数量关系和位置关系？请写出你的结论，并证明．(3)如图③，若 AB=1，△AEF 为等腰直角三角形，且∠A EF=90°，△AEF 绕点 A 逆时针旋转过程中，能使点 F 落在 BC 上，且 AB 平分 EF ，直接写出 AE 的值是 ．ADADDEBCB图① 图② 图③C2 7、已知等腰Rt△ABC 和等腰Rt△EDF，其中D、G 分别为斜边AB、EF 的中点，连CE，又M 为BC 中点，N 为CE 的中点，连MN、MG(1)如图1，当DE 恰好过M 点时，求证：∠NMG＝45°，且MG＝MN(2)如图2，当等腰Rt△EDF 绕D 点旋转一定的度数时，第(1)问中的结论是否仍成立，并证明(3)如图3，连BF，已知P 为BF 的中点，连CF 与PN，直接写出PN ＝CF8、已知：如图，在Rt△ABC 中，AC=BC，CD⊥AB 于D，AB=10，将CD 绕着D 点顺时针旋转a（0°<a<90°）到DP 的位置，作PQ⊥CD 于Q，点I 是△PQD 角平分线的交点，连IP，IC，（1）如图1，在PD 旋转的过程中，线段IC 与IP 之间是否存在某种确定不变的关系？请证明你的猜想。

图形的旋转专题提高训练1、如图，直角梯形ABCD 中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC ＝CD ，E 为梯形内一点，且∠BEC＝90°，将△BEC 绕C 点旋转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF，连EF 交CD 于M ．已知BC ＝5， CF ＝3，则DM:MC 的值为 （ ）A.5:3B.3:5C.4:3D.3:42、如图，已知Rt △ABC ≌Rt △DEC ，∠E ＝30°，D 为AB 的中点，AC ＝1，若△DEC 绕 点D 顺时针旋转，使ED 、CD 分别与Rt △ABC 的直角边BC 相交于M 、N ，则当△DMN 为等边三角形时，AM 的值为（ ）AB．3C．3D ．13、将直角边长为5cm 的等腰直角ΔABC 绕点A 逆时针旋转15°后,得到ΔAB’C’,则图中阴影部分的面积是 cm 24、在矩形ABCD 中，2AD AB ，E 是AD 的中点，一块三角板的直角顶点与点E 重合， 将三角板绕点E 按顺时针方向旋转．当三角板的两直角边与AB BC ，分别交于点M N ，时， 观察或测量BM 与CN 的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论．5、在矩形ABCD 中，AB =2，AD =3．（1）在边CD 上找．一点E ，使EB 平分∠AEC ，并加以说明；（3分） （2）若P 为BC 边上一点，且BP =2CP ，连接EP 并延长交AB 的延长线于F ．①求证：点B 平分线段AF ；（3分）②△P AE 能否由△PFB 绕P 点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．（4分）第一题（4题图）6、含30°角的直角三角板ABC （∠B=30°）绕直角顶点C 沿逆时针方向旋转角α（90α∠<），再沿A ∠的对边翻折得到A B C ''△，AB 与B C '交于点M ，A B ''与BC 交于点N ，A B ''与AB 相交于点E ．（1）求证：ACM A CN '△≌△．（2）当30α∠=时，找出ME 与MB '的数量关系，并加以说明．7、如图①，已知在△ABC 中，AB =AC ，P 是△ABC 内部任意一点，将AP 绕A 顺时针旋 转至AQ ，使∠QAP =∠BAC ，连接BQ 、CP ，（1）判断线段BQ 与CP 的数量关系，并证明你的结论。

2018年中考数学旋转专题练习（50题有答案)
旋转50题
一、选择题
1下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A B C D
2如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（）
A．50° B．60° C．40° D．30°
3下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
4下列图案中，可以看做是中心对称图形的有（） A1个 B2个C3个 D4个
5如图，图中的图形是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是（）
A． B． C． D．
6在平面直角坐标系中，点P（﹣1，0），并且与y轴平行．
（1）①将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，在图中画出△A1B1C1；
②求出由点C运动到点C1所经过的路径的长．
（2）①△A2B2C2与△ABC关于直线l对称，画出△A2B2C2，并写出△A2B2C2三个顶点的坐标；
②观察△ABC与△A2B2C2对应点坐标之间的关系，写出直角坐标系中任意一点P（a，b）关于直线l的对称点的坐标．
43如图，正方形中,点F在边BC上，E在边BA的延长线上
（1）若按顺时针方向旋转后恰好与重合则旋转中心是点；最少旋转了度；
（2）在（1）的条下，若 ,求四边形的面积。