一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图所示，
(1)正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF=90°，连接BE、DF．将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明；
(2)将(1)中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD=kAB，
AF=kAE，其他条件不变．(1)中的结论是否发生变化？结合图(2)说明理由；
(3)将(2)中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将Rt△AEF变为△AEF，且
∠BAD=∠EAF=a，其他条件不变．(2)中的结论是否发生变化？结合图(3)，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用a表示出直线BE、DF 形成的锐角β．
【答案】（1）DF=BE且DF⊥BE，证明见解析；（2）数量关系改变，位置关系不变，即DF=kBE，DF⊥BE；（3）不改变．DF=kBE，β=180°-α
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的过程中线段的长度不变，得到AF＝AE，又∠BAE与∠DAF都与∠BAF互余，所以∠BAE＝∠DAF，所以△FAD≌△EAB，因此BE与DF相等，延长DF交BE于G，根据全等三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EGF＝90°，所以DF⊥BE；（2）等同（1）的方法，因为矩形的邻边不相等，但根据题意，可以得到对应边成比例，所以△FAD∽△EAB，所以DF＝kBE，同理，根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EHF＝90°，所以DF⊥BE；
（3）与（2）的证明方法相同，但根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EAF+∠EHF＝180°，所以DF与BE的夹角β＝180°﹣α．
【详解】
（1）DF与BE互相垂直且相等．
证明：延长DF分别交AB、BE于点P、G
在正方形ABCD和等腰直角△AEF中
AD＝AB，AF＝AE，
∠BAD＝∠EAF＝90°
∴∠FAD ＝∠EAB ∴△FAD ≌△EAB ∴∠AFD ＝∠AEB ，DF ＝BE ∵∠AFD+∠AFG ＝180°， ∴∠AEG+∠AFG ＝180°， ∵∠EAF ＝90°，
∴∠EGF ＝180°﹣90°＝90°， ∴DF ⊥BE
（2）数量关系改变，位置关系不变．DF ＝kBE ，DF ⊥BE ． 延长DF 交EB 于点H ，
∵AD ＝kAB ，AF ＝kAE ∴AD k AB =，AF
k AE
= ∴
AD AF
AB AE
= ∵∠BAD ＝∠EAF ＝a ∴∠FAD ＝∠EAB ∴△FAD ∽△EAB
∴
DF AF
k BE AE == ∴DF ＝kBE
∵△FAD ∽△EAB ， ∴∠AFD ＝∠AEB ， ∵∠AFD+∠AFH ＝180°， ∴∠AEH+∠AFH ＝180°， ∵∠EAF ＝90°，
∴∠EHF ＝180°﹣90°＝90°， ∴DF ⊥BE
（3）不改变．DF ＝kBE ，β＝180°﹣a ． 延长DF 交EB 的延长线于点H ，
∵AD ＝kAB ，AF ＝kAE ∴AD k AB =，AF
k AE = ∴
AD AF
AB AE
= ∵∠BAD ＝∠EAF ＝a ∴∠FAD ＝∠EAB ∴△FAD ∽△EAB
∴
DF AF
k BE AE == ∴DF ＝kBE
由△FAD ∽△EAB 得∠AFD ＝∠AEB ∵∠AFD+∠AFH ＝180° ∴∠AEB+∠AFH ＝180°
∵四边形AEHF 的内角和为360°， ∴∠EAF+∠EHF ＝180° ∵∠EAF ＝α，∠EHF ＝β ∴a+β＝180°∴β＝180°﹣a 【点睛】
本题（1）中主要利用三角形全等的判定和性质以及正方形的性质进行证明；（2）（3）利用相似三角形的判定和性质证明，要解决本题，证明三角形全等和三角相似是解题的关键，也是难点所在．
2．如图1，在□ABCD 中，AB =6，∠B = (60°<≤90°). 点E 在BC 上，连接AE ，把△ABE 沿AE 折叠，使点B 与AD 上的点F 重合，连接EF . (1)求证：四边形ABEF 是菱形；
(2)如图2，点M 是BC 上的动点，连接AM ，把线段AM 绕点M 顺时针旋转得到线段MN ，连接FN ，求FN 的最小值(用含的代数式表示).
【答案】（1）详见解析；（2）FE·sin(－90°)
【解析】
【分析】
(1)由四边形ABCD是平行四边形得AF∥BE，所以∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得
∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA,所以∠BAE=∠FEA，故有AB∥FE，因此四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF,因此可得结论；
(2)根据点M在线段BE上和EC上两种情况证明∠ENG＝90°－，利用菱形的性质得到∠FEN＝－90°，再根据垂线段最短，求出FN的最小值即可.
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE=∠BEA，
由折叠的性质得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA, BE=EF，
∴∠BAE=∠FEA，
∴AB∥FE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又BE=EF，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）①如图1，当点M在线段BE上时，在射线MC上取点G，使MG＝AB，连接GN、EN.
∵∠AMN＝∠B＝，∠AMN+∠2＝∠1+∠B
∴∠1＝∠2
又AM＝NM，AB＝MG
∴△ABM≌△MGN
