小学奥数ABC试卷—最大公约数和最小公倍数B卷

最大公约数与最小公倍数1：求2520、14850、819的最大公约数和最小公倍数。

（用因数分解法）2：求35、98、112的最大公约数和最小公倍数。

（用因数分解法）3：求36、108、126的最大公约数和最小公倍数。

（用短除法）4：求403、527、713的最大公约数和最小公倍数。

（用短除法）5：有一位男同学要整理三种厚度分别为30毫米、24毫米和18毫米的一堆书，他只能将厚度相同的书叠在一起，叠成高度一样的三叠，使书得高度尽可能小。

这样的整理共用了多少本书？6：甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果3月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是月日。

7：设a=36，b=54，证明（a，b）×[a，b]=a×b。

8：设a=108，b=720，证明（a，b）×[a，b]=a×b。

9：现有4个自然数，它们的和是1111,。

如果要使这4个数的公约数尽可能大，那么，这4个数的公约数最大是。

10：有很多方法可以将2001写成25个自然数（可以相同，也可以不相同）的和。

对于每一种分法，这25个自然数均有相应的最大公约数，那么这些最大公约数最大值是。

11：某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是多少？12：把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组，要使每一组中任意两个数的最大公约数是1，那么至少要分成组。

13 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。

现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？14、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。

三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？15、爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。

2010年小学奥数ABC试卷：最大公约数和最小公倍数B卷一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．（3分）364和3003的最大公约数是_________，最小公倍数是_________．2．（3分）一盒糖果可以平均分给2，3，4，5或6个小朋友，这盒糖果最少有_________块．3．（3分）两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数是_________．4．（3分）两个整数的最小公倍数是72，最大公约数是12，且小数不能整除大数，这两个数是_________和_________．5．（3分）一个三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按由小到大的顺序排成一列，中间的一个是_________．6．（3分）一个数除以7余数是2，如果将被除数扩大9倍，那么余数是_________．7．（3分）已知两个自然数的和为224，它们的最大公约数是28，这两个数是_________或是_________．8．（3分）甲数除以18商196余7，乙数除以18商375余9，甲、乙两数的和除以18，商是_________余_________．9．（3分）一筐苹果分给几个人，若分给5个人还剩3个，分给6个人还剩4个，分给9个人则有2人各少1个，这筐苹果至少有_________个．10．（3分）用96朵红花和72朵黄花扎成花束，如果每束的红花朵数相同，黄花朵数也相同，每束花最少有_________朵．11．（3分）有一类自然数，其中每一个数与5的和都是9的倍数，与5的差都是7的倍数，按从小到大的顺序写出这类自然数的前三个．这三个数是_________．12．（3分）用一个自然数去除1850余2，除1330余70，除1552余40，这个数是_________．13．（3分）已知两个数的积是3174，它们的最大公约数是23，这两个数是_________或是_________．14．（3分）甲、乙两数的最小公倍数除以它们的最大公约数，商是12，如果甲、乙两数的差是18，那么甲数是_________，乙数是_________．二、解答题（共6小题，满分0分）15．甲、乙、丙三班同学去公园划船，甲班49人，乙班56人，丙班42人，把各班同学分别分成小组，分乘若干条小船，使每条船上人数相等，最少要有多少条船？16．三个朋友每人隔不同的天数到图书馆一次，甲3天一次，乙4天一次，丙5天一次，上次三个人是星期二在图书馆相逢，至少还要过多少天才能在图书馆重逢？重逢时是星期几？17．有两根木料，一根长2015毫米，另一根长755毫米，要把它们锯成同样长的小段，不许有剩余，但每锯一次18．有若干名学生上体育课，内容是学习篮球、排球和足球．规定每二人合用一只排球，每三人合用一只足球，每四人合用一只篮球，共用了26只球．问有多少名学生．19．幼儿园买来桃93个，杏123个，桔子150个，分给大班的小朋友，每人要分得一样多，结果桃、李各剩下3个，桔子恰好分完．大班小朋友最多有几个人？每人分到几个桃？几个杏？几个桔？20．如果我们按每一行十个人排队，那么就有一个人剩下来，如果我们按每行九个人排队，还是有一个人剩下来，如果我们按每一行是八个、七个、六个、五个、四个、三个、两个人排队，都有一个人剩下来，而且我们的总数少于5000人，试问我们一共是几个人．2010年小学奥数ABC试卷：最大公约数和最小公倍数B卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．（3分）364和3003的最大公约数是91，最小公倍数是12012．2．（3分）一盒糖果可以平均分给2，3，4，5或6个小朋友，这盒糖果最少有60块．3．（3分）两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数是60．4．（3分）两个整数的最小公倍数是72，最大公约数是12，且小数不能整除大数，这两个数是24和36．5．（3分）一个三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按由小到大的顺序排成一列，中间的一个是560．6．（3分）一个数除以7余数是2，如果将被除数扩大9倍，那么余数是4．7．（3分）已知两个自然数的和为224，它们的最大公约数是28，这两个数是28，196或是84，140．8．（3分）甲数除以18商196余7，乙数除以18商375余9，甲、乙两数的和除以18，商是571余16．9．（3分）一筐苹果分给几个人，若分给5个人还剩3个，分给6个人还剩4个，分给9个人则有2人各少1个，这筐苹果至少有88个．10．（3分）用96朵红花和72朵黄花扎成花束，如果每束的红花朵数相同，黄花朵数也相同，每束花最少有7朵．11．（3分）有一类自然数，其中每一个数与5的和都是9的倍数，与5的差都是7的倍数，按从小到大的顺序写出这类自然数的前三个．这三个数是40，103，166．12．（3分）用一个自然数去除1850余2，除1330余70，除1552余40，这个数是4．13．（3分）已知两个数的积是3174，它们的最大公约数是23，这两个数是46、69或是23、138．14．（3分）甲、乙两数的最小公倍数除以它们的最大公约数，商是12，如果甲、乙两数的差是18，那么甲数是72或54，乙数是54或72．=，所以：=（舍去）二、解答题（共6小题，满分0分）15．甲、乙、丙三班同学去公园划船，甲班49人，乙班56人，丙班42人，把各班同学分别分成小组，分乘若干条小船，使每条船上人数相等，最少要有多少条船？16．三个朋友每人隔不同的天数到图书馆一次，甲3天一次，乙4天一次，丙5天一次，上次三个人是星期二在图书馆相逢，至少还要过多少天才能在图书馆重逢？重逢时是星期几？17．有两根木料，一根长2015毫米，另一根长755毫米，要把它们锯成同样长的小段，不许有剩余，但每锯一次要损耗1毫米的木料，每小段木料最长可以是多少毫米？18．有若干名学生上体育课，内容是学习篮球、排球和足球．规定每二人合用一只排球，每三人合用一只足球，每四人合用一只篮球，共用了26只球．问有多少名学生．19．幼儿园买来桃93个，杏123个，桔子150个，分给大班的小朋友，每人要分得一样多，结果桃、李各剩下3个，桔子恰好分完．大班小朋友最多有几个人？每人分到几个桃？几个杏？几个桔？20．如果我们按每一行十个人排队，那么就有一个人剩下来，如果我们按每行九个人排队，还是有一个人剩下来，如果我们按每一行是八个、七个、六个、五个、四个、三个、两个人排队，都有一个人剩下来，而且我们的总数少于5000人，试问我们一共是几个人．。

•最大公约数和最小公倍数练习题一. 填空题。

3. 所有自然数的公约数为〔〕。

4. 如果m和n是互质数，那么它们的最大公约数是〔〕，最小公倍数是〔〕。

5. 在4、9、10和16这四个数中，〔〕和〔〕是互质数，〔〕和〔〕是互质数，〔〕和〔〕是互质数。

6. 用一个数去除15和30，正好都能整除，这个数最大是〔〕。

7. 两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公约数是〔〕，最小公倍数是〔〕。

8. 两个相邻奇数的和是16，它们的最大公约数是〔〕，最小公倍数是〔〕。

9. 某数除以3、5、7时都余1，这个数最小是〔〕。

10. 根据下面的要求写出互质的两个数。

〔1〕两个质数〔〕和〔〕。

〔2〕连续两个自然数〔〕和〔〕。

〔3〕1和任何自然数〔〕和〔〕。

〔4〕两个合数〔〕和〔〕。

〔5〕奇数和奇数〔〕和〔〕。

〔6〕奇数和偶数〔〕和〔〕。

二. 判断题。

1.互质的两个数必定都是质数。

〔〕2. 两个不同的奇数一定是互质数。

〔〕3. 最小的质数是所有偶数的最大公约数。

〔〕4. 有公约数1的两个数，一定是互质数。

〔〕三. 直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数。

26和13〔〕13和6〔〕4和6〔〕5和9〔〕29和87〔〕30和15〔〕13、26和52〔〕2、3和7〔〕四. 求下面每组数的最大公约数和最小公倍数。

〔三个数的只求最小公倍数〕45和6036和6027和7276和8042、105和5624、36和48五. 动脑筋，想一想：学校买来40支圆珠笔和50本练习本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多4支，练习本多2本，四年级有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？最大公约数与最小公倍数练习题之一1）有一个自然数，被6除余1，被5除余1，被4除余1，这个自然数最小是几？2〕把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成面积相等，最大的形而且没有剩余，可以裁成多少块？3〕把长132厘米，宽60厘米，厚36厘米的木料锯成尽可能大的，同样大小的体木块，锯后不能有剩余，能锯成多少块？4〕一盒钢笔可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这盒钢笔最小有多少枝？5〕用96朵红花和72朵白花做成花束，如果各花束里红花的朵数一样，白花的朵数也一样，每束花里最少有几朵花？6〕从小明家到学校原来每隔50米安装一根电线杆，加上两端的两根一共是55根电线杆，现在改成每隔60米安装一根电线杆，除两端的两根不用移动外，中途还有多少根不必移动？7〕在一根长100厘米的木棍上，自左到右每隔6厘米染一个红点，同时自右到左每隔5厘米染一个红点，染后沿红点将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？8〕每筐梨，按每份两个梨分多1个，每份3个梨分多2个，每份5个梨分4个，如此筐里至少有多少个梨？9〕现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？10〕有三根铁丝，一根长54米，一根长72米，一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？小学五年级奥数题:最大公约数与最小公倍数练习题之二1）五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？2)有一个电子表，每走9分钟这一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子表既响铃又灯，请问下一次既响铃又亮灯是几点钟？3〕两个整数的最小公倍数为140，最大公约数为4，且小数不能整除大数，求这两个数。

最大公约数与最小公倍数（一）教学目标：1．通过学生对应用题的条件与问题的全面分析，培养学生发现问题和解决问题的意识。

2．通过比较与辨析，使学生进一步理解和掌握“最大公约数和最小公倍数”应用题的解题规律。

3．培养学生的合作交流意识和创新意识，发展学生的空间观念与想像力。

教学过程：一、基本概念知识1.公约数和最大公约数①如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。

②如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。

在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。

例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12; 18的约数有：1，2，3，6，9，18。

自然数的最大公约数通常用符号（）表示，例如，12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作(12，18)=6。

（8，12）=4，（6，9，15）=3。

　2.公倍数和最小公倍数　③如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。

在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。

例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，… 18的倍数有：18，36，54，72，90，…自然数的最小公倍数通常用符号[]表示，例如12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。

[8，12]=24，[6，9，15]=90。

3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。

常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。

用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：求个数的最大公约数：（1）必须每次都用个数的公约数去除；（2）一直除到个数的商互质（但不一定两两互质）；（3）个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。

求个数的最小公倍数：（1）必须先用（如果有）个数的公约数去除，除到个数没有除去1以外的公约数后，在用个数的公约数去除，除到个数没有除1以外的公约数后，再用个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；（2）只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到个数的商两两互质为止；（3）个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。

2010年小学奥数ABC试卷：最大公约数和最小公倍数C卷一、填空题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3分）在1500至8000之间能同时被12，18，24，42四个数整除的自然数共有_________个．2．（3分）（2014•成都）有一整数，除300，262，205得到的余数相同，这个整数是_________．3．（3分）某数用3除余2，用7除余4，用11除余1，满足这些条件的最小自然数是_________．4．（3分）某数去除74、109和165，所得的余数相同，139与5612的积除以这个数余_________．5．（3分）有一个数除以3余2，除以4余1，这个数除以12余_________．6．（3分）乙数除甲数商3余8，若甲数扩大5倍，商正好是19，甲数是_________，乙数是_________．7．（3分）一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是_________．8．（3分）十个自然数之和等于1001，这十个自然数的最大公约数可能取的最大值是_________．9．（3分）把l，2，3，4，5，6，7，8，9九个数依不同的次序排列，可以得到362880个不同的九位数，所有这些九位数的最大公约数是_________．10．（3分）已知三个连续自然数的最小公倍数是360，这三个数是_________．11．（3分）三个互不相同的自然数之和为370，它们的最小公倍数最小能够是_________．12．（3分）一个数减去1能被2整除，减去2能被5整除，减去3能被7整除，加上4能被9整除，这个数最小是_________．13．（3分）已知数A有12个约数，数B有10个约数，且A、B两数只含有质因数3和5，A、B的最大公约数是75，A是_________，B是_________．14．（3分）有四个不同的自然数，它们的和是1991．如果要求这四个数的最大公约数尽可能的大，这四个数中最大的那个数是_________．15．（3分）（2012•剑川县模拟）已知两个合数的最大公约数与最小公倍数的和是143，这两个合数是_________．二、解答题（共6小题，满分0分）16．甲、乙、丙三人沿着200米的环形跑道跑步，甲跑完一圈要1分30秒，乙跑完一圈要1分20秒，丙跑完一圈要1分12秒，三人同时、同向、同地起跑，最少经过多少时间又在同一起跑线上相遇？相遇时甲、乙、丙三人各跑了多少圈？17．有12分米长的铁丝12根，18分米长的铁丝9根，24分米长的铁丝10根，要把它们截成一样长的铁丝，且不浪费，问截下的铁丝最长多少分米，可截多少根．18．有一条道路，左边每隔5米种一棵杨树，右边每隔6米种一棵柳树，两端都种上树，共有5处是杨树与柳树相对．这条道路长多少米？19．（2013•尚义县）从甲地到乙地原来每隔45米要装一根电线杆，加上两端的两根，一共有53根电线杆，现在改成每隔60米装一根电线杆，除两端的两根不需要移动外，中途还有多少根不必移动？20．大雪后的一天，大亮和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同，大亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后雪地上只留下60个脚印，求花圈的周长．21．某会议有代表不到200人，分住房时，每五人一间多3人，吃饭时每9人一桌少1人，开小组会时每7人一组多6人，到会的代表有多少人？2010年小学奥数ABC试卷：最大公约数和最小公倍数C卷参考答案与试题解析一、填空题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3分）在1500至8000之间能同时被12，18，24，42四个数整除的自然数共有13个．2．（3分）（2014•成都）有一整数，除300，262，205得到的余数相同，这个整数是19．3．（3分）某数用3除余2，用7除余4，用11除余1，满足这些条件的最小自然数是221．4．（3分）某数去除74、109和165，所得的余数相同，139与5612的积除以这个数余2．5．（3分）有一个数除以3余2，除以4余1，这个数除以12余5．6．（3分）乙数除甲数商3余8，若甲数扩大5倍，商正好是19，甲数是38，乙数是10．7．（3分）一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是831．8．（3分）十个自然数之和等于1001，这十个自然数的最大公约数可能取的最大值是91．9．（3分）把l，2，3，4，5，6，7，8，9九个数依不同的次序排列，可以得到362880个不同的九位数，所有这些九位数的最大公约数是9．10．（3分）已知三个连续自然数的最小公倍数是360，这三个数是8，9，10．11．（3分）三个互不相同的自然数之和为370，它们的最小公倍数最小能够是222．12．（3分）一个数减去1能被2整除，减去2能被5整除，减去3能被7整除，加上4能被9整除，这个数最小是437．13．（3分）已知数A有12个约数，数B有10个约数，且A、B两数只含有质因数3和5，A、B的最大公约数是75，A是675，B是1875．14．（3分）有四个不同的自然数，它们的和是1991．如果要求这四个数的最大公约数尽可能的大，这四个数中最大的那个数是905．15．（3分）（2012•剑川县模拟）已知两个合数的最大公约数与最小公倍数的和是143，这两个合数是33和44或26和65．二、解答题（共6小题，满分0分）16．甲、乙、丙三人沿着200米的环形跑道跑步，甲跑完一圈要1分30秒，乙跑完一圈要1分20秒，丙跑完一圈要1分12秒，三人同时、同向、同地起跑，最少经过多少时间又在同一起跑线上相遇？相遇时甲、乙、丙三人各跑了多少圈？17．有12分米长的铁丝12根，18分米长的铁丝9根，24分米长的铁丝10根，要把它们截成一样长的铁丝，且不浪费，问截下的铁丝最长多少分米，可截多少根．18．有一条道路，左边每隔5米种一棵杨树，右边每隔6米种一棵柳树，两端都种上树，共有5处是杨树与柳树相对．这条道路长多少米？19．（2013•尚义县）从甲地到乙地原来每隔45米要装一根电线杆，加上两端的两根，一共有53根电线杆，现在改成每隔60米装一根电线杆，除两端的两根不需要移动外，中途还有多少根不必移动？20．大雪后的一天，大亮和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同，大亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后雪地上只留下60个脚印，求花圈的周长．21．某会议有代表不到200人，分住房时，每五人一间多3人，吃饭时每9人一桌少1人，开小组会时每7人一组多6人，到会的代表有多少人？。

•最大公约数和最小公倍数练习题一. 填空题。

3. 所有自然数的公约数为（）。

4. 如果m和n是互质数，那么它们的最大公约数是（），最小公倍数是（）。

5. 在4、9、10和16这四个数中，（）和（）是互质数，（）和（）是互质数，（）和（）是互质数。

6. 用一个数去除15和30，正好都能整除，这个数最大是（）。

7. 两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公约数是（），最小公倍数是（）。

8. 两个相邻奇数的和是16，它们的最大公约数是（），最小公倍数是（）。

9. 某数除以3、5、7时都余1，这个数最小是（）。

10. 根据下面的要求写出互质的两个数。

.（1）两个质数（）和（）。

（2）连续两个自然数（）和（）。

（3）1和任何自然数（）和（）。

（4）两个合数（）和（）。

（5）奇数和奇数（）和（）。

（6）奇数和偶数（）和（）。

二. 判断题。

1. 互质的两个数必定都是质数。

（）2. 两个不同的奇数一定是互质数。

（）（3. 最小的质数是所有偶数的最大公约数。

（）4. 有公约数1的两个数，一定是互质数。

（）三. 直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数。

26和13（）13和6（）4和6（）5和9（）29和87（）30和15（）13、26和52 （）2、3和7（）四. 求下面每组数的最大公约数和最小公倍数。

（三个数的只求最小公倍数）45和60 36和6027和72 76和80》42、105和56 24、36和48五. 动脑筋，想一想：学校买来40支圆珠笔和50本练习本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多4支，练习本多2本，四年级有多少名三好学生，他们各得到什么奖品"最大公约数与最小公倍数练习题之一1）有一个自然数，被6除余1，被5除余1，被4除余1，这个自然数最小是几2）把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成面积相等，最大的正方形而且没有剩余，可以裁成多少块3）把长132厘米，宽60厘米，厚36厘米的木料锯成尽可能大的，同样大小的正方体木块，锯后不能有剩余，能锯成多少块4）一盒钢笔可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这盒钢笔最小有多少枝@5）用96朵红花和72朵白花做成花束，如果各花束里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花6）从小明家到学校原来每隔50米安装一根电线杆，加上两端的两根一共是55根电线杆，现在改成每隔60米安装一根电线杆，除两端的两根不用移动外，中途还有多少根不必移动7）在一根长100厘米的木棍上，自左到右每隔6厘米染一个红点，同时自右到左每隔5厘米染一个红点，染后沿红点将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根8）每筐梨，按每份两个梨分多1个，每份3个梨分多2个，每份5个梨分4个，则筐里至少有多少个梨9）现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班每个班至少分到了三种水果各多少千克10）有三根铁丝，一根长54米，一根长72米，一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米^小学五年级奥数题:最大公约数与最小公倍数练习题之二1）五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人2)有一个电子表，每走9分钟这一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子表既响铃又灯，请问下一次既响铃又亮灯是几点钟3）两个整数的最小公倍数为140，最大公约数为4，且小数不能整除大数，求这两个数。

五年级奥数最大公约数和最小公倍数练习题文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968）五年级下最大公约数和最小公倍数一、知识导航（熟记！！！）1．几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。

其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。

2．几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。

其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

3．求几个数的最大公约数和最小公倍数可以用短除法或分解质因数法。

4．两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

二、经典例题例1．甲、乙、丙三个班的同学去公园划船，甲班49人，乙班56人，丙班42人。

把各班同学分别分成小组，分乘若干条小船，使每条船上人数相等，最少要多少条船？同步演练1：有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米、300厘米。

现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余。

每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？例2．兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次。

兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？同步演练2：三个朋友每人隔不同的天数去图书馆一次，甲3天一次，乙4天一次，丙5天一次。

上次三人是星期二在图书馆相逢的，至少要过多少天才能在图书馆重逢？重逢时是星期几？例3．两个数的最大公约数是14，最小公倍数是84。

已知其中一个数是28，则另一个数是多少？同步演练3：甲数是28，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公约数是4，求乙数。

例4．三个连续自然数的最小公倍数是360，求这三个数。

同步演练4：三个连续自然数的最小公倍数是1092，求这三个数。

例5．爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过几年分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。

”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？同步演练5：大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花坛的周长。

亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。

（十六）约数和倍数例1.边长1米的正方体2100个，堆成了一个实心的长方体，它的高是10米，长、宽都大于高。

问长方体的长与宽的和是几米？例2.正整数a乘以120，得到一个完全平方数，a的最小值是多少？例3.有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟响铃又亮灯。

问：下一次响铃又亮灯是几点钟？例4.四个小孩的年龄依次相差1岁，他们年龄的乘积是5040，他们的年龄和是多少岁？例5.一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。

这个数有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？例6.两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是420。

已知其中一个自然数是42，那么另一个自然数是多少？例7. 说明：360这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？例8.求100以内恰好有8个约数（包括1和它本身）的所有自然数。

例9.已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。

例10.在100以内与77互质的所有奇数之和是多少？练习1. 求720的所有约数的个数。

2. 正整数a乘以378，得到的最小完全平方数是多少？3. 能被2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数整除的最大的六位数是多少？4. 50以内最小质数与最大质数之和是多少？5. 将长为6厘米、宽为4厘米、高为8厘米的长方体积木，叠成最小的正方体，最少要用积木多少块？6. 长96厘米、宽72厘米的长方形白纸裁成同样大小的正方形且无剩余，至少可以裁成多少块？7. 求50以内约数最多的自然数。

8.小红每隔5分钟发一封电子邮件，小明每隔9分钟发一封电子邮件，小丽每隔12分钟发一封电子邮件，今天上午8点三人同时发出电子邮件，下一次同时发电子邮件是什么时间？9. A，（A＋4），（A＋6），（A＋10），（A＋12），（A＋16），（A＋22）均为质数，那么A是多少？10. 求5040的所有约数的和。

第四讲最大公约数和最小公倍数本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题——有关两个自然数.它们的最大公约数、最小公倍数之间的相互关系的问题。

定理1 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质.即如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）＝1。

证明：设a÷d=a1，b÷d=b1，那么a＝a1d，b=b1d。

假设（a1，b1）≠1，可设（a1，b1）＝m（m＞1），于是有a1=a2m，b1＝b2m.（a2，b2是整数）所以a=a1d＝a2md，b＝b1d＝b2md。

那么md是a、b的公约数。

又∵m＞1，∵md＞d。

这就与d是a、b的最大公约数相矛盾.因此，（a1，b1）≠1的假设是不正确的.所以只能是（a1，b1）=1，也就是（a÷d，b÷d）＝1。

定理2 两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积.（证明略）定理3 两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数.（证明略）下面我们就应用这些知识来解决一些具体的问题。

例1 甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，求乙数.解法1：由甲数×乙数=甲、乙两数的最大公约数×两数的最小公倍数，可得36×乙数=4×288，乙数=4×288÷36，解出乙数=32。

答：乙数是32。

解法2：因为甲、乙两数的最大公约数为4，则甲数=4×9，设乙数=4×b1，且（b1，9）=1。

因为甲、乙两数的最小公倍数是288，则288＝4×9×b1，b1＝288÷36，解出b1＝8。

所以，乙数=4×8=32。

答：乙数是32。

例2 已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？解：要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为a、b，a＜b。