五年级奥数第四讲最大公因数和最小公倍数

数的整除（3）最大公因数、最小公倍数教室姓名学号【知识要点】1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

自然数a、b的最大公因数记作（a，b）。

2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a、b的最小公倍数记作［a，b］。

3、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：（1）（a，b）×［a，b］=a×b；（2）若a＞b，则a－b与b的最大公因数就等于a与b的最大公因数。

（3）a+b与b的最大公因数，等于a与b的最大公因数。

【典型例题】例1.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。

解：由性质（1）得到乙数=168×4÷24＝28.例2.将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边长应是长方形的长和宽的公因数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因此正方形边长是长方形长与宽的最大公因数。

（90，42）=6.至少能剪90×42÷（6×6）=105（块）.例 3.马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是多少？解：473与407的最大公因数是11，而11是质数，所以乙数是11，又473=43×11，407＝37×11，所以甲数是47，甲乙两数的乘积应为：47×11=517或1×477=477.例4.有一种自然数，它加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数，则这种自然数中除1以外，最小数是多少？解：根据已知，若这个数分别加上1、2、3、4、5、6是2、3、4、5、6、7的倍数，求这个数最小是多少，即这个数是2，3，4，5，6，7的最小公倍数加上1.［2，3，4，5，6，7］=420，最小数是：420+1=421。

的最大公因数是（ ），最小公倍 数是（ ）。 2、a与b是互质数，a，b的最大公因 数是（ ），最小公倍数是（ ）。
新知学习
例1
：用60元钱可以买一级茶叶144 克，或买二级茶叶180克，或买三级 茶叶240克。现将这三种茶叶分别按 整克数装袋，要求每袋的价格都相 等，那么每袋的价格最低是多少元 钱？
家庭作业

2.大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点 出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃 的周长。亮亮每步长54厘米，爸爸每步 长72厘米，由于两个人的脚印有重合， 所以雪地上只留下60个脚印。问：这个 花圃的周长是多少米？
家庭作业
3.某公共汽车站有三条线路的公共汽
车。第一条线路每隔5分钟发车一次， 第二、三条线路每隔6分钟和8分钟 发车一次。9点时三条线路同时发车， 下一次同时发车是什么时间？
五年级数学
最大公因数和最小公倍数
现在我们孝顺父母的最好方 法就是好好学习。
课前铺垫
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数， 其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的 最小公倍数。自然数a、b的最小公倍数可 以记作［a、b］，当（a、b）＝1时，［a、 b］＝a×b。两个数的最大公约数和最小公 倍数有着下列关系： 最大公约数×最小公倍数＝两数的成积 即（a、b）×［a、b］＝a×b
用短除法求最大公因数
2
2 3
所以（144，180，240）
=2×2×3=12，即每60元的茶叶 分装成12袋，每袋的价格最低是 60÷12=5（元）。
练习
1.幼儿园的大班有36个小朋友，
中班有48个小朋友，小班有54个 小朋友。按班分组，三个班的各 组人数一样多，问每组最多有 （ ）个小朋友。
练习

北外启航五年级春季班数学第四讲最大公因数和最小公倍数教学目标：1.熟练掌握求最大公因数及最小公倍数的方法。

2.能运用最大公因数和最小公倍数的知识正确解答有关的问题。

知识点拨：1.公因数和最大公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。

我们可以把自然数a、b的最大公因数记作（a、b）。

求几个数的的最大公因数可以用列举法、分解质因数法和短除法等方法。

2.公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

我们可以把自然数a、b的最小公倍数记作〔a、b〕。

3.互质数如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数叫做互质数。

当（a、b）=1时，〔a、b〕=a×b。

两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数×最小公倍数=两数的积即（a、b）×〔a、b〕= a×b经典例题：例1.求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。

15和12 90和45 42和70 39和65例2.一块长方体木料，长72厘米，宽60厘米，高36厘米，请你把它锯成同样大小的正方体木块，且木块的体积要最大，木料又不能剩。

算一算可以锯成几块？例3. 用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块？例4. 两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数的和是多少？例5. 三位朋友每人隔不同的天数到图书馆去看书，甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。

一个星期一，他们三人在图书馆相遇，至少再过多少天他们又在图书馆相遇？例6.有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1.这个自然数最小是多少？巩固练习：1.两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？2. 1路、2路和5路车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。

；
（搭配方法相当于将 1,2,4 全排列）
答案：6 个。
（3）1001 的倍数中，有多少个数恰好有 1001 个约数？
提示：与练习 2 相同
答案：6 个
（4）210 的倍数中，有多少个数恰好有 210 个约数？
提示：与练习 2,3 相似，此题是能分解成 2,3,5,7 四个数，所以会将次数分配到这
4 个质因数的次数上，共有 24 中搭配方法。
提示：同例 3。先求出 a 和 b。 答案：65 或 13.
例4、 分析此题相当于已知 A+B 和(A,B)求其他的量。同样根据短除模型得到：A=36×a,B=36×b
则 A+B=36×a+36×b=36×(a+b)=432,即 a+b=432÷36=12,且 a 与 b 必须互质，则得到
或
，那么根据 A=36×a,B=36×b 可求出 A、B 两数。 答案：36 和 396,或 180 和 252。
4A B ab
则
或
A=4×a; B=4×b 可得出这两个数为 4 和 60；或 12 和 20
巩固练习：（1）已知(A,B)=8,[A,B]=64，求 A+B=?
提示：同例 3。先求出 a=1 和 b=8。 答案：72.
（2）两个自然数的最大公约数是 7，最小公倍数是 210，且两个自然数的和是 77，求这两个数？
提示：A×B=（A,B）×[A,B]
答案：24
（2）（a,24）=4; [a,24]=168，求 a 的值？
提示： 4 a 24 则 4×x×6=168 答案：a=28x 6
例3、 分析：此题相当于已知(A,B),[A,B]，那我们该怎么求出其他的量呢？首先根据

分类讨论
• • • • • • 如果d=1时： 由d(a1－b1)=4得a1－b1=4； 由d×da1b1=252可得a1b1=252 252=1×252=4×63=7×36=9×28 但此时都不满足a1－b1=4 所以d≠1
• • • • • • • • • • •
如果d=2时： 由d(a1－b1)=4得 a1－b1=2； 由d×da1b1=252可得 a1b1=63 63=1×63=7×9 此时63－1=62≠2不满足a1－b1=2 ， 9－7=2满足a1－b1=2 所以d=2并且a1=9、b1=7 所以a=18、b=14 答：这两个数为18和14。
（二）已知最大公约数和最小公倍数求两个数
• 例2、已知两数的最大公约数是21，最小公倍数 是126。求着两个数的和是多少？ • 分析：思路1，由最大公约数与最小公倍数的积等 于两个数的积可得到两个数的积为 • 21×126=2646， • 再利用分解质因数后重新组合即可 • 2646=2×3×3×3×7×7 • =(3×7×2)×(3×7×3)=42×63 • 或 =(3×7)×(3×7×2×3)=21×126
如果d =1则a1+b1=54 a1×b1－1=114 即a1×b1=115 115=1×115=5×23 但是1+115=116≠54 5+23=28≠54 d≠1 下面分别讨论d=2、3、6的情况得到： d=6是成立，此时a1=4,b1=5 a=6×4=24 b=6×5=30
• 例6、已知两个自然数的差为4，它们的最 大公约数与最小公倍数的积为252，求这两 个自然数 • 分析：差为4即a－b=4即d(a1－b1)=4 • 最大公约数与最小公倍数的积为252即 • d×da1b1=d×da1b1=252=2×2×3×3×7 • 所以d是6的约数，即d是4与6的公约数， d=1或2

数的整除（3）最大公因数、最小公倍数教室姓名学号【知识要点】1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

自然数a、b的最大公因数记作（a，b）。

2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a、b的最小公倍数记作［a，b］。

3、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：（1）（a，b）×［a，b］=a×b；（2）若a＞b，则a－b与b的最大公因数就等于a与b的最大公因数。

（3）a+b与b的最大公因数，等于a与b的最大公因数。

【典型例题】例1.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。

解：由性质（1）得到乙数=168×4÷24＝28.例2.将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边长应是长方形的长和宽的公因数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因此正方形边长是长方形长与宽的最大公因数。

（90，42）=6.至少能剪90×42÷（6×6）=105（块）.例3.马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是多少？解：473与407的最大公因数是11，而11是质数，所以乙数是11，又473=43×11，407＝37×11，所以甲数是47，甲乙两数的乘积应为：47×11=517或1×477=477.例4.有一种自然数，它加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数，则这种自然数中除1以外，最小数是多少？解：根据已知，若这个数分别加上1、2、3、4、5、6是2、3、4、5、6、7的倍数，求这个数最小是多少，即这个数是2，3，4，5，6，7的最小公倍数加上1.［2，3，4，5，6，7］=420，最小数是：420+1=421。

数的整除(3)最大公因数、最小公倍数教室______ 姓名_________ 学号________【知识要点】1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

自然数a、b的最大公因数记作(a, b)。

2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a、b的最小公倍数记作]a, b]。

3、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：(1)(a, b)x[ a, b] =a x b；(2)若a>b,则a- b与b的最大公因数就等于a与b的最大公因数。

(3)a+b与b的最大公因数，等于a与b的最大公因数。

【典型例题】例1.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4,求乙数。

解：由性质(1)得到乙数=168 X 4 - 24 = 28.例2•将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边长应是长方形的长和宽的公因数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因此正方形边长是长方形长与宽的最大公因数。

( 90, 42) =6.至少能剪90X 42-( 6 X 6) =105 (块).例3.马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473 ;李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是多少？解：473与407的最大公因数是11，而11是质数，所以乙数是11，又473=43 X 11 , 407 = 37 X 11，所以甲数是47,甲乙两数的乘积应为：47X 11=517 或1X477=477.例4.有一种自然数，它加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数，则这种自然数中除1以外，最小数是多少？解：根据已知，若这个数分别加上1、2、3、4、5、6是2、3、4、5、6、7的倍数，求这个数最小是多少，即这个数是2, 3, 4, 5, 6, 7的最小公倍数加上 1. [2, 3, 4, 5, 6, 7] =420, 最小数是：420+1=421。

第三单元最大公因数和最小公倍数知识点：一、公倍数：2×4=8，8既是2的倍数，也是4的倍数，那么就称8是2和4的公倍数。

2和4的公倍数不止一个，还有4、12、16、20……，其中最小的那个叫做2和4的最小公倍数。

（两个数的公倍数的个数是无限的）二、公因数：2既是8的因数，也是12的因数，那么就称2是8和12的公因数。

8和12的公因数不止一个，还有1、4，其中最大的那个就叫做8和12的最大公因数。

（两个数的公因数的个数是有限的）例如：求24和36的公因数和最大公因数24的因数：1、2、3、4、6、12、2436的因数: 1、2、3、4、6、9、12、18、3624和36的公因数：1、2、3、4、6、1224和36的最大公因数：12【练习】1.写出下面每组数的最大公因数。

3和5 （） 4和8 （） 1和13 （）13和26 （） 4和9 （） 17和51 （）21和36 （） 22和55 （）2.写出下面每组数的最小公倍数。

3和5 （） 4和8 （） 1和13 （）13和26 （） 22和55 （） 21和36 （）4和9 （） 17和51 （） 30和45 （）三、最小公倍数与最大公因数的求法：1.用大数除以小数，若能整除，最小公倍数就是大的那个，最大公因数就是小的那个。

2.若不能整除，再看两数是否互质，若互质，最小公倍数是两数相乘，最大公因数是1。

3.若不互质，运用短除法计算。

2 ∣24 36 将两个数同时除以相同的质因数，所得结果2 |12 18 对齐写在相应的数字下面，直到不能分解为止3 |6 9 最大公因数：2×2×3=122 3 最小公倍数：2×2×3×2×3=72四、性质一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

一个数倍数的个数是无限的。

一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。

一个数因数的个数是有限的。

2的倍数的特征是：位上的数是2、4、6、8或0。

第四讲最大公约数和最小公倍数本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题——有关两个自然数.它们的最大公约数、最小公倍数之间的相互关系的问题。

定理1 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质.即如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）＝1。

证明：设a÷d=a1，b÷d=b1，那么a＝a1d，b=b1d。

假设（a1，b1）≠1，可设（a1，b1）＝m（m＞1），于是有a1=a2m，b1＝b2m.（a2，b2是整数）所以a=a1d＝a2md，b＝b1d＝b2md。

那么md是a、b的公约数。

又∵m＞1，∵md＞d。

这就与d是a、b的最大公约数相矛盾.因此，（a1，b1）≠1的假设是不正确的.所以只能是（a1，b1）=1，也就是（a÷d，b÷d）＝1。

定理2 两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积.（证明略）定理3 两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数.（证明略）下面我们就应用这些知识来解决一些具体的问题。

例1 甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，求乙数.解法1：由甲数×乙数=甲、乙两数的最大公约数×两数的最小公倍数，可得36×乙数=4×288，乙数=4×288÷36，解出乙数=32。

答：乙数是32。

解法2：因为甲、乙两数的最大公约数为4，则甲数=4×9，设乙数=4×b1，且（b1，9）=1。

因为甲、乙两数的最小公倍数是288，则288＝4×9×b1，b1＝288÷36，解出b1＝8。

所以，乙数=4×8=32。

答：乙数是32。

例2 已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？解：要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为a、b，a＜b。

五年级数学下册『最大公因数·最小公倍数·知识点』一、公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

几个数的公倍数也是无限的。

二、公因数：两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数，两个数的公因数也是有限的。

例如：求24和36的公因数和最大公因数24的因数：1、2、3、4、6、12、2436的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、3624和36的公因数：1、2、3、4、6、1224和36的最大公因数：12三、最小公倍数与最大公因数的求法：1.用大数除以小数，若能整除，最小公倍数就是大的那个，最大公因数就是小的那个。

2.若不能整除，再看两数是否互质，若互质，最小公倍数是两数相乘，最大公因数是1。

3.若不互质，运用短除法计算。

2 | 24 36 将两个数同时除以相同的质因数，所得结果2 |12 18 对齐写在相应的数字下面，直到不能分解为止3 |6 9 最大公因数：2×2×3=122 3 最小公倍数：2×2×3×2×3=72五年级数学下册『最大公因数·最小公倍数·知识点』一、公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

二、公因数：两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数，。

例如：求24和36的公因数和最大公因数24的因数：1、2、3、4、6、12、2436的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、3624和36的公因数：1、2、3、4、6、1224和36的最大公因数：12三、最小公倍数与最大公因数的求法：1.用大数除以小数，若能整除，最小公倍数就是大的那个，最大公因数就是小的那个。

2.若不能整除，再看两数是否互质，若互质，最小公倍数是两数相乘，最大公因数是1。

数的整除（3）最大公因数、最小公倍数教室姓名学号【知识要点】1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

自然数a、b的最大公因数记作（a，b）。

2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a、b的最小公倍数记作［a，b］。

3、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：（1）（a，b）×［a，b］=a×b；（2）若a＞b，则a－b及b的最大公因数就等于a及b的最大公因数。

（3）a+b及b的最大公因数，等于a及b的最大公因数。

【典型例题】例1.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。

解：由性质（1）得到乙数=168×4÷24＝28.例2.将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边长应是长方形的长和宽的公因数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因此正方形边长是长方形长及宽的最大公因数。

（90，42）=6.至少能剪90×42÷（6×6）=105（块）.例 3.马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是多少？解：473及407的最大公因数是11，而11是质数，所以乙数是11，又473=43×11，407＝37×11，所以甲数是47，甲乙两数的乘积应为：47×11=517或1×477=477.例4.有一种自然数，它加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数，则这种自然数中除1以外，最小数是多少？解：根据已知，若这个数分别加上1、2、3、4、5、6是2、3、4、5、6、7的倍数，求这个数最小是多少，即这个数是2，3，4，5，6，7的最小公倍数加上1.［2，3，4，5，6，7］=420，最小数是：420+1=421。

第4讲最大公因数与最小公倍数一、教学目标1.掌握公因数与公倍数、最大公因数与最小公倍数的概念．2.学会求多个数的最大公因数与最小公倍数的方法．3.学会利用最大公因数与最小公倍数解决实际应用题．二、知识要点1.公因数与最大公因数：公因数，亦称“公约数”，即多个自然数公共的因数．它是一个能同时整除若干个整数的整数．其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，a、b 的最大公因数记作：(a,b).公因数只有1的两个数，叫互质数．例如，8和9是一组互质数，也可以说8和9互质．注意：对任意的若干个正整数，1总是它们的公因数．2.最小公倍数：同理，公倍数即几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个自然数，叫做这几个数的最小公倍数，a、b的最小公倍数记作：[a,b]．3.短除法：短除符号与除式倒过来的符号十分相似，待分解的数放在被除数位置，除数位置放能整除待分解数的一个共有约数，一直除到商互质为止．格式如图：口诀：最大公因算一边，最小公倍算一圈．被除数待分解21812396324.最大公因数的性质：①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；①几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；①几个数都乘一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n．5.最小公倍数的性质：①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．①两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．①两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．三、例题精选【例1】51与87的最大公因数与最小公倍数分别是多少？【①①①①①】【解析】(51,87)=3，[51,87]=1479．51=3×17，87=3×29，(51,87)=3，[51,87]=3×17×29=1479．【巩固1】24与60的最大公因数与最小公倍数分别是多少？【①①①①①】【解析】(24,60)=12，[24,60]=120．24=23×3，60=22×3×5，(24,60)=22×3=12，[24,60]=23×3×5=120．【例2】12、28与36的最大公因数与最小公倍数分别是？【①①①①①】【解析】(12,28,36)=4，[12,28,36]=252．12=22×3，28=22×7，36=22×32；(12,28,36)=22=4，[12,28,36]=22×32×7=252．【巩固2】15、20与45的最大公因数与最小公倍数分别是？【①①①①①】【解析】(15,20,45)=5，[15,20,45]=180．15=3×5，20=22×5，45=32×5；(15,20,45)=5，[15,20,45]=22×32×5=180．【例3】有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？【①①①①①】【解析】60厘米，10段．需要截成相等的小段且无剩余，则每段长度必须是120、180、300的公因数．又要求每段尽可能长，则所求应为其最大公因数．（120,180,300）=60，所以每小段最长为60厘米．（120+180+300）÷60=10（段）【巩固3】长48分米,宽40分米的长方形卧室铺地砖，请问最大可以选用边长为多少分米的方砖，能铺的又整齐又节约？【①①①①①】【解析】8分米．正方形边长相等，所以要求的边长长度必须是48和40的公因数，又问边长最大可取多少，则所求应为其最大公因数．（48,40）=8，所以边长最大可取8分米．【例4】一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶.平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？【①①①①①】【解析】60人．由题意可知，参加会餐人数应是2、3、4的公倍数，首先求出2、3、4的最小公倍数：[2,3,4]=12，故参加会餐的人数应是12的倍数，又12人共需：12÷2+12÷3+12÷4=13（瓶），即12人需要13瓶饮料．一共用了65瓶饮料，65÷13=5，则知参加会餐的总人数应是12的5倍，12×5=60（人），即得参加会餐的总人数为60人．【巩固4】加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？【①①①①①】【解析】第一道工序10人，第二道工序3人，第三道工序6人．要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总件数应是3、10、5的公倍数．要求三道工序“至少”要多少工人，首先求3、5、10的最小公倍数．[3,5,10]=30，均衡各道工序，一轮最少应加工30个零件，各道工序最少需要：3÷3=10（人），30÷10=3（人），30÷5=6（人）【例5】两个自然数的和是125，它们的最大公约数是25，两个数是多少？【①①①①①】【解析】25、100或50、75．125÷25=5，5=1+4=2+3，所以两数可以为1×25=25、4×25=100或2×25=50、3×25=75．【巩固5】已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？【①①①①①】【解析】105或147．假设这两个数是21a和21b，易得21×a×b=126，所以a×b=6，由a和b互质，就有6=1×6=2×3这两种情况．所以甲乙是21×1=21、21×6=126或21×2=42、21×3=63这两种情况，它们的和是147或105．【例6】在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了10等份、12等份和15等份．如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？【①①①①①】【解析】28段．首先求10、12、15最小公倍数：[10,12,15]=60．60÷10=6、60÷12=5、60÷15=4，则知将木棍分成60小份后，每隔6小份有一个红标记，5小份有一个黄标记，4小份有一个蓝标记，因此断点为：4，5，6，8，10，12，15，16，18，20，24，25，28，30，32，35，36，40，42，44，45，48，50，52，54，55，56，则知木棍一共被锯成28段．【巩固6】父子二人在雪地散步，父亲在前，每步80厘米，儿子在后，每步60厘米．在120米内一共留下多少个脚印？【①①①①①】【解析】301个．首先求60、80最小公倍数：[60,80]=240．则知每240厘米，即2.4米有一个脚印踩到了一起，120÷2.4=50，则知120米可以分成50个2.4米，每2.4米中，爸爸脚印有240÷80=3（个），儿子脚印有240÷60=4（个），排除重复脚印则一共有3+4-1=6（个），50个2.4米则有50组6步，故有50×6=300（个），又在0米处二人开始走时也有一个脚印，即共有脚印300+1=301（个）．四、回家作业【作业1】18与48的最大公因数与最小公倍数分别是多少？【①①①①①】【解析】(18,48)=6，[18,48]=144．18=2×32，48=24×3，(18,48)=2×3=6，[18,48]=24×32=144．【作业2】12、24与36的最大公因数与最小公倍数分别是多少？【①①①①①】【解析】(12,24,36)=12，[12,24,36]=72．12=22×3，24=23×3，36=22×32；(12,24,36)=12，[12,24,36]=23×32=72．【作业3】有三根棉线，长度分别是9厘米、18厘米和36厘米．现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？【①①①①①】【解析】7段．需要截成相等的小段且无剩余，则每段长度必须是9、18、36的公因数．又要求每段尽可能长，则所求应为其最大公因数．（9,18,36）=9，所以每小段最长为9厘米．（9+18+36）÷9=7（段）【作业4】一个汽车站有1路车和3路车，1路车每隔20分钟发一辆车，3路车每隔25分钟发一辆车．已知上午8时正1路车和3路车同时出发，再过多长时间两车又同时从车站出发？是几时几分？【①①①①①】【解析】100分（1时40分）后，9时40分；首先求20、25最小公倍数：[20,25]=100．则知100分后辆车又同时出发，100分=1时40分．8时+1时40分=9时40分．【作业5】已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为60，两个数是多少？【①①①①①】【解析】4与60、12与20．这两个数分别除以最大公约数所得的商乘积等于最小公倍数除以最大公约数的商，60÷4=15，将30分解成两个互质数的乘积，有1、15，3、5。

五年级数学奥赛起跑线
01
几个数公有的因数
02
几个数公有的倍数
03
公因数中最大的一个，记作（a，b）
04
公倍数中最小的一个，记作[a，b]
两个数的最大公因数和最小公倍数有如下关系： （a，b）✖️[a，b]=a✖️b
求因数个数的公式：
例题分析
例1:一个房间长450厘米，宽330厘米。现在计划用方砖铺地。问需要边 长最大为多少厘米的方砖多少块（整块）才正好将房间的地面铺满？
要使方砖正好铺 满地面，就必须 使方砖的边长恰 好为房间长和宽 的公因数。
由于题中要求的边长尽可能大，所以方砖 的边长，应是450和330的最大公因数，即 （a，b）=30厘米
沿着房间长可以铺：450➗30=15（列） 沿着房间宽可以铺：330➗30=11（行） 共铺15✖️11=165（块）
例题分析
例题分析
例5:动物园里的饲养员给三群猴子分花生。如果只分给第一群猴子，则每只猴子可 分得12粒；如果只分给第二群猴子，则每只猴子可分得15粒；如果只分给第三群猴 子，则每只猴子可分得20粒。那么，把花生同时分给这三群猴子，平均每只猴子可 分得花生多少粒？
一二群的猴子数量比为15：12=5：4 二三群的猴子数量比为20：15=4：3 三群猴子的数量比为：5：4：3 数量的公倍数为5✖️4✖️3=60； 平均分给三群猴子,每只可得： 60➗(5+4+3)=5粒
例题分析
例4:加工பைடு நூலகம்种零件有三道工序，第一道工序每个工人每小时可完成48个零件，第二 道工序每个工人每小时可完成32个，第三道工序每个工人每小时可完成28个。在每 道工序至少要安排多少工人，才能搭配合适，使每道工序不产生积压或停工等料？

这两个因数互质
A=62 B=93 A=31 B=186 A×B = 31×31×6
A=93 B=62 A=186 B=31
12×63
例五 两个数的最大公因数是21，最小公倍数是126，这两个数的和 是多少？
短除法后，两个独有质因数的乘积= 最小公倍数÷最大公因数
=126÷21
=6
6 = 1×6
6 = 2×3
6.两个数的最大公因数是60，最小公倍数是720，其中一个数是180，另一个数是多少？
7.两个数的乘积是180，最大公因数是3，这两个数分别是多少？
8.某工厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每时可完成3个，第 二道工序每个工人每时可完成12个，第三道工序每个工人每时可完成5个。要使流 水线能正常生产，各道工序至少安排几个工人最合理？
弟12天回家一次。兄弟三人同时在八月一日回家，下一次三人再都
一个长方形，长90分米，宽20分米，把这个长方形分成大小相等，面积尽可能大 解：设这两个自然数分别为 5A、5B
回家是哪一天？ 先计算快的追上慢的用的时间；
如果分成3人一组，4人一组，或者6人 每分钟慢跑120米，丙每分钟走70米。 42，那么另一个数是多少？ 例五 两个数的最大公因数是21，最小公倍数是126，这两个数的和
练习2
两个数的最大公因数是6，最小公倍数是504，如果其中一个数是 42，那么另一个数是多少？
练习3
已知A和B的最大公因数是31，且A×B=5766，求A和B。
A 31 × 2316
B 31 × 3261
A中含有一个因数31，B中也含有一个因数31 5766中含有两 2×7 =14 （42，112，70）=14 所以最多可以分14堆。

五年级奥数-最小公约数和最大公倍数最小公约数和最大公倍数是数学中常见的概念，同时也是五年级奥数考试中的重要内容。

了解并掌握最小公约数和最大公倍数的概念和计算方法，对于解决数学题目和提高数学能力非常有帮助。

最小公约数最小公约数是指两个或多个数共有的约数中最小的那个数。

计算最小公约数有多种方法，常用的方法是因数分解法和短除法。

因数分解法因数分解法的步骤如下：1. 对于每一个要找最小公约数的数，将其分解为质因数的乘积形式。

2. 找出所有数的质因数，并列出每个质因数的最小次数。

3. 最小公约数就是这些质因数的乘积。

例如，我们要计算最小公约数（最大公因数）15和20：15 = 3 * 520 = 2 * 2 * 5最小公约数就是两个数的质因数的公共部分，即5。

短除法短除法适用于两个数字较小的情况。

步骤如下：1. 用一个数除以另一个数，并将商和余数的结果写下来。

2. 用余数再次除以商，直到余数为0。

3. 最后一次的除数即为最小公约数。

例如，我们要计算最小公约数（最大公因数）24和36：36 ÷ 24 = 1 余数1224 ÷ 12 = 2 余数0最小公约数为12。

最大公倍数最大公倍数是指两个或多个数的公共倍数中最小的那个数。

计算最大公倍数有多种方法，常用的方法包括因数分解法和倍数法。

因数分解法因数分解法的步骤如下：1. 对于每一个要找最大公倍数的数，将其分解为质因数的乘积形式。

2. 将所有数的质因数以最高次数的形式列出。

3. 最大公倍数就是这些质因数的乘积。

例如，我们要计算最大公倍数18和24：18 = 2 * 3 * 324 = 2 * 2 * 2 * 3最大公倍数为2 * 2 * 2 * 3 * 3 = 72。

倍数法倍数法适用于两个数字较小的情况。

步骤如下：1. 找到两个数的公共倍数。

2. 最小的公共倍数即为最大公倍数。

例如，我们要计算最大公倍数15和20：15的倍数：15, 30, 45, 60, 75, ...20的倍数：20, 40, 60, 80, 100, ...最小的公共倍数即为60。

第四讲最大公因数和最小公倍数一、知识梳理1、最大公因数几个数共有的因数叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。

a 和b 的最大公因数一般用（a，b）表示。

如：1，2，4 是 8 和 12 的公因数，4 是 8 和 12 的最大公因数，即（8，12）=4.2、最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

a 和b 的最小公倍数一般用[a,b]表示。

一、方法归纳1、求最大公因数的方法①特殊方法：如果两个数互质，那么它们的最大公因数是 1。

如果一个数是另一个数的倍数，那么它们的最大公因数是较小的那个数。

②分解质因数法几个自然数的最大公因数，必须包含这几个自然数全部公有的质因数，因此，可先把各个自然数分解质因数，再把这几个自然数全部公有的质因数选出，然后连乘起来，所得的积就是要求的最大公因数。

例.用分解质因数法解 18 与 12 的最大公约数。

（1）所以18=2×3×3，（2）因为：所以12=2×2×3，所以 18 和 12 的最大公约数是：2×3=6。

③短除法先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。

2、找最小公倍数的方法①特殊方法如果两个数互质，那么它们的最小公倍数就是这两个数的积。

如果一个数是另一个数的倍数，那么它们的最小公倍数就是较大的那个数。

②分解质因数法求两个自然数的最小公倍数，先把每个自然数分解质因数，再把这两个自然数公有的一切质因数和其中每个自然数独有的质因数全部连乘起来，积就是它们的最小公倍数。

例：用分解质因数法解 18 与 12 的最小公倍数。

（1）所以18=2×3×3，（2）因为：所以12=2×2×3，所以 18 和 12 的最小公倍数是：2×3×3×2=36③短除法先用这几个数的公因数去除每一个数，再用部分数的公因数去除，并把不能整除的数移下来，一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数④利用最大公因数求最小公倍数因为两个自然数的最大公因数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，所以，我们可以用这两个数的乘积除以它们的最大公因数，便可得到这两个数的最小公倍数。

五年级秋季
基础
3
例7
小琦的新居还有一个正方形储物室专门用来摆放芭比娃 娃．有一天，爸爸买回了一些 3dm 5dm 的地砖，地砖按 照一个方向铺，刚好把这个储物室的地面铺满．请问正方 形储物室的边长可能是多少分米？最小是多少分米？ 【解析】 储物室的边长必须是 3dm 的倍数，也必须是 5dm 的倍数， 所以必须是 3 5 的倍数，边长可能是：15dm 、 30dm 、 45dm …最小是15 分米． 边长是 3 与 5 的公倍数，公倍数中最少的一个称为最小公 倍数．
例8
（2011 年中大附中入学测试题）中大附中学生会的同学 们到郊外野炊，生活部部长到老师那里去领碗，老师问他 领多少，他说领 55 个，老师又问“多少人吃饭？”他说： “一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗． ”请你 算一算，有多少人吃饭？ 【解析】 取1、2 、3 的最小公倍数 6 ，如果有 6 个人，那么他们一共 需要饭碗 6 个、菜碗 3 个、汤碗 2 个，合计 6 3 2 11(个), 所以总人数为 55 11 6 30 （人） ．
第 4 讲
第四讲
例1
最大公因数与最小公倍数
⑴写出 30 以内的所有质数：_________________________． ⑵写出所有比10 小与10 互质的数：__________________． 72 =_____________； 240 =_____________． ⑶分解质因数： 【解析】 ⑴ 30 以内所有质数： 2 、 3 、 5 、 7 、11、13 、17 、19 、 23 、 29 ； ⑵比10 小与10 互质的数：1、 3 、 7 、 9 ； ⑶ 72 23 32 ， 240 23 3 5 ．