五年级奥数最大公因和最小公倍数终审稿)

数的整除（3）最大公因数、最小公倍数教室姓名学号【知识要点】1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

自然数a、b的最大公因数记作（a，b）。

2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a、b的最小公倍数记作［a，b］。

3、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：（1）（a，b）×［a，b］=a×b；（2）若a＞b，则a－b与b的最大公因数就等于a与b的最大公因数。

（3）a+b与b的最大公因数，等于a与b的最大公因数。

【典型例题】例1.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。

解：由性质（1）得到乙数=168×4÷24＝28.例2.将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边长应是长方形的长和宽的公因数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因此正方形边长是长方形长与宽的最大公因数。

（90，42）=6.至少能剪90×42÷（6×6）=105（块）.例 3.马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是多少？解：473与407的最大公因数是11，而11是质数，所以乙数是11，又473=43×11，407＝37×11，所以甲数是47，甲乙两数的乘积应为：47×11=517或1×477=477.例4.有一种自然数，它加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数，则这种自然数中除1以外，最小数是多少？解：根据已知，若这个数分别加上1、2、3、4、5、6是2、3、4、5、6、7的倍数，求这个数最小是多少，即这个数是2，3，4，5，6，7的最小公倍数加上1.［2，3，4，5，6，7］=420，最小数是：420+1=421。

文稿归稿存档编号：［KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-最大公因数和最小公倍数练习（一）一、基本概念: 公因数：两个或多个数都有的因数叫做公因数公倍数：两个或多个数都有的倍数叫做公倍数最大公因数：两个或多个数都有的因数里最大的叫做最大公因数最小公倍数：两个或多个数都有的倍数里最小的叫做最小公倍数（没有最大公倍数）公因数和最大公因数1、儿个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这儿个数的最大公因数。

例如：12的因数有1, 2, 3, 4, 6, 12；30 的因数有 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30。

12和30的公因数有1, 2, 3, 6,其中6是12和30的最大公因数。

一般地我们用（a,b）表示a, b这两个自然数的最大公因数，如（12, 30）二6。

如果（a,b） =1,则a, b两个数是互质数。

2、公倍数和最小公倍数？几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这儿个数的最小公倍数。

例如:12的倍数有12, 24, 36, 48, 60, 72,…18 的倍数有 18, 36, 72, 90, •••12和18的公倍数有:36, 72…其中36是12和18的最小公倍数。

一般地，我们用［a, b ］表示自然数，a, b 的最小公倍数,如般2, 18］=36。

求最大公因数、最小公倍数习题一、用短除法求几个数的最大公因数24、36 和 48二、用短除法求几个数的最小公倍数。

6、12 和 247、21 和 498、12 和 36八、写出下列各数的最大公因数和最小公倍数15和5的最大公因数是—最小公倍数是 L 9和3的最大公因数是 最小公倍数是9和18的最大公因数是—最小公倍数是 和44的最大公因数是—最小公倍数是30和60的最大公因数是—最小公倍数是——13和91的最大公因数是—最小公倍 数是 7和12的最大公因数是—最小公倍数是 8和11的最大公因数是—最小公倍 数是 1和9的最大公因数是—最小公倍数是 和10的最大公因数是—最小公倍数是6和9的最大公因数是—最小公倍数是 和6的最大公因数是—最小公倍数是10和15的最大公因数是—最小公倍数是——4和6的最大公因数是—最小公倍 数是 12 和30 24 和 3639 和 78 72 和 84 45 和 6045 和 75 45 和 60 42、105 和 56 25 和 3024 和 3039 和 78 60 和 84 18 和 20 45 和 60 76 和 80 36 和 60 27 和 72 42、105 和 56 24、36 和 48六、用短除法求几个数的最大公因数与最小公倍数。

数的整除（3）最大公因数、最小公倍数教室姓名学号【知识要点】1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

自然数a、b的最大公因数记作（a，b）。

2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a、b的最小公倍数记作［a，b］。

3、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：（1）（a，b）×［a，b］=a×b；（2）若a＞b，则a－b与b的最大公因数就等于a与b的最大公因数。

（3）a+b与b的最大公因数，等于a与b的最大公因数。

【典型例题】例1.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。

解：由性质（1）得到乙数=168×4÷24＝28.例2.将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边长应是长方形的长和宽的公因数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因此正方形边长是长方形长与宽的最大公因数。

（90，42）=6.至少能剪90×42÷（6×6）=105（块）.例3.马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是多少？解：473与407的最大公因数是11，而11是质数，所以乙数是11，又473=43×11，407＝37×11，所以甲数是47，甲乙两数的乘积应为：47×11=517或1×477=477.例4.有一种自然数，它加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数，则这种自然数中除1以外，最小数是多少？解：根据已知，若这个数分别加上1、2、3、4、5、6是2、3、4、5、6、7的倍数，求这个数最小是多少，即这个数是2，3，4，5，6，7的最小公倍数加上1.［2，3，4，5，6，7］=420，最小数是：420+1=421。

学生课程讲义最大公因数与最小公倍数是小学数学的基本内容，求几个数的最大公因数或最小公倍数的基本方法有因数分解法、短除法、辗转相除法等，在课外活动及竞赛中经常出现这两个概念及用其求解方法处理的问题，a1，a2,...an这n个数的最大公因数用记号（a1，a2,...an）表示，最小公倍数用[a1，a2,...an]表示。

【例1】求2520，14850，819的最大公因数和最小公倍数。

随堂练习1求35，98，112的最大公因数和最小公倍数，（用因数分解法）【例2】求36，108，126的最大公因数和最小公倍数。

随堂练习2求403，527，713的最大公因数和最小公倍数。

【例3】夜里下了一场大雪，早上，小龙和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度，他们从同一点同向行走，小龙每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时雪地上只留下60个脚印，那么这条小路长（）米。

随堂练习3甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果3月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？【例4】a=36,b=54，证明（a,b）×[a,b]=a×b随堂练习4设a=108，b=720,验证：（a,b）×[a,b]=a×b 【例5】现有4个不同的自然数，它们的和是1111，如果要使这4个数的公因数尽可能大，那么，这4个数的公因数最大是（）随堂练习5有很多方法可以将2001写成25个自然数（可以相同，也可以不同）的和，对于每一种分法，这25个自然数均有相应的最大公因数，那么这些最大公因数最大值是多少？【例6】某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以。

<<<<<<精品资料》》》》》数的整除（3）最大公因数、最小公倍数教室姓名学号【知识要点】1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

自然数a、b的最大公因数记作（a，b）。

2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a、b的最小公倍数记作［a，b］。

3、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：（1）（a，b）×［a，b］=a×b；（2）若a＞b，则a－b与b的最大公因数就等于a与b的最大公因数。

（3）a+b与b的最大公因数，等于a与b的最大公因数。

【典型例题】例1.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。

解：由性质（1）得到乙数=168×4÷24＝28.例2.将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边长应是长方形的长和宽的公因数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因此正方形边长是长方形长与宽的最大公因数。

（90，42）=6.至少能剪90×42÷（6×6）=105（块）.例3.马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是多少？解：473与407的最大公因数是11，而11是质数，所以乙数是11，又473=43×11，407＝37×11，所以甲数是47，甲乙两数的乘积应为：47×11=517或1×477=477.例4.有一种自然数，它加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数，则这种自然数中除1以外，最小数是多少？解：根据已知，若这个数分别加上1、2、3、4、5、6是2、3、4、5、6、7的倍数，求这个数最小是多少，即这个数是2，3，4，5，6，7的最小公倍数加上1.［2，3，4，5，6，7］=420，最小数是：420+1=421。

最大公因数和最小公倍数基本概念1.公约数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

2.公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。

例题分析例1 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？例2 一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？例3 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？例4 加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？例5 一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？练习提高1．一个数用3、4、5除都余1，这个数最小是多少？2．一盒钢笔，可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这盒钢笔最少有多少支？3．花花、林林、和阳阳三人在一个椭圆的跑道上跑步，花花3分钟跑了一圈，林林4分钟跑了一圈，阳阳5分钟跑了一圈，她们同时从A点一起同向出发，多少分后，三人再次在A 点同时出发？4．有批书大约300到400本。

包成每包12本，剩下11本；每包18本，缺1本；每包15本，就有7包每包各多2本，这批书有多少本？5．有一个钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点时响一次铃，中午12点时，既响铃又亮灯，问下一次既响铃又亮灯是几点钟？6．7月6日，宝柱从避暑山庄打电话给乾隆问好，贾六来看望乾隆，春喜在打扫房间。

如果春喜每隔3天打扫一次，宝柱每隔6天打一次电话，贾六每隔5天看望一次，则至少经过多少天，问好、看望、打扫这三件事才能同时发生？7．一段长90厘米的绳子，每隔2厘米点一个点，再每隔3厘米点一个点，最后在有点的地方，将绳子剪段，共可剪成几段？8．一张长方形白纸，长1.36米,宽0.8米,要剪成同样大小的正方形,并使它们的面积尽可能的大,剪完后又正好没有剩余,可剪出多少个正方形?9．把160只铅笔、128个练习本、96册故事书最多可以分成多少份同样的奖品，每份奖品的组成怎样？10．美丽加工厂加工一批零件，每个零件需要一个螺栓，三个螺母，7个螺钉，已知每个工人每小时可完成3个螺栓或12个螺母或18个螺钉，要想能均匀生产，使每件零件都配上套，生产这三种零件各需安排多少人？抽测综合练习：1、在下面3个数中，最接近1的是（）。

求最大公因数、最小公倍数练习题①文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-最大公因数和最小公倍数练习（一）一、基本概念：公因数：两个或多个数都有的因数叫做公因数公倍数：两个或多个数都有的倍数叫做公倍数最大公因数：两个或多个数都有的因数里最大的叫做最大公因数最小公倍数：两个或多个数都有的倍数里最小的叫做最小公倍数（没有最大公倍数）公因数和最大公因数1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。

例如：12的因数有1，2，3，4，6，12；30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30。

12和30的公因数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公因数。

一般地我们用（a,b）表示a,b这两个自然数的最大公因数，如（12，30）=6。

如果（a,b）=1,则a,b两个数是互质数。

2、公倍数和最小公倍数?几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，…18的倍数有18，36，72，90，…12和18的公倍数有：36，72…其中36是12和18的最小公倍数。

一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b的最小公倍数，如[12，18]=36。

求最大公因数、最小公倍数习题一、用短除法求几个数的最大公因数12和30 24和36 39和78 72和8436和6045和60 45和75 45和60 42、105和5624、36和48二、用短除法求几个数的最小公倍数。

25和30 24和30 39和78 60和84 18和20126和60 45和75 12和24 12和14 45和60 76和8036和60 27和72 42、105和56 24、36和48 六、用短除法求几个数的最大公因数与最小公倍数。

45和60 36和60 27和72 76和806、12和247、21和498、12和36八、写出下列各数的最大公因数和最小公倍数15和5的最大公因数是最小公倍数是；9和3的最大公因数是最小公倍数是9和18的最大公因数是最小公倍数是；11和44的最大公因数是最小公倍数是30和60 的最大公因数是最小公倍数是；13和91 的最大公因数是最小公倍数是7和12的最大公因数是最小公倍数是；8和11的最大公因数是最小公倍数是1和9的最大公因数是最小公倍数是；8和10的最大公因数是最小公倍数是6和9的最大公因数是最小公倍数是；8和6的最大公因数是最小公倍数是10和15的最大公因数是最小公倍数是；4和6的最大公因数是最小公倍数是26和13的最大公因数是最小公倍数是 13和6的最大公因数是最小公倍数是4和6的最大公因数是最小公倍数是；5和9的最大公因数是最小公倍数是29和87的最大公因数是最小公倍数是；30和15的最大公因数是最小公倍数是13、26和52的最大公因数是最小公倍数是2、3和7的最大公因数是最小公倍数是16、32和64的最大公因数是最小公倍数是7、9和11的最大公因数是最小公倍数是九. 求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。

数的整除（3）最大公因数、最小公倍数教室姓名学号【知识要点】1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

自然数a、b的最大公因数记作（a，b）。

2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a、b的最小公倍数记作［a，b］。

3、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：（1）（a，b）×［a，b］=a×b；（2）若a＞b，则a－b与b的最大公因数就等于a与b的最大公因数。

（3）a+b与b的最大公因数，等于a与b的最大公因数。

【典型例题】例1.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。

解：由性质（1）得到乙数=168×4÷24＝28.例2.将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边长应是长方形的长和宽的公因数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因此正方形边长是长方形长与宽的最大公因数。

（90，42）=6.至少能剪90×42÷（6×6）=105（块）.例 3.马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是多少？解：473与407的最大公因数是11，而11是质数，所以乙数是11，又473=43×11，407＝37×11，所以甲数是47，甲乙两数的乘积应为：47×11=517或1×477=477.例4.有一种自然数，它加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数，则这种自然数中除1以外，最小数是多少？解：根据已知，若这个数分别加上1、2、3、4、5、6是2、3、4、5、6、7的倍数，求这个数最小是多少，即这个数是2，3，4，5，6，7的最小公倍数加上1.［2，3，4，5，6，7］=420，最小数是：420+1=421。

数的整除(3)最大公因数、最小公倍数教室______ 姓名_________ 学号________【知识要点】1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

自然数a、b的最大公因数记作(a, b)。

2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a、b的最小公倍数记作]a, b]。

3、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：(1)(a, b)x[ a, b] =a x b；(2)若a>b,则a- b与b的最大公因数就等于a与b的最大公因数。

(3)a+b与b的最大公因数，等于a与b的最大公因数。

【典型例题】例1.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4,求乙数。

解：由性质(1)得到乙数=168 X 4 - 24 = 28.例2•将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边长应是长方形的长和宽的公因数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因此正方形边长是长方形长与宽的最大公因数。

( 90, 42) =6.至少能剪90X 42-( 6 X 6) =105 (块).例3.马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473 ;李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是多少？解：473与407的最大公因数是11，而11是质数，所以乙数是11，又473=43 X 11 , 407 = 37 X 11，所以甲数是47,甲乙两数的乘积应为：47X 11=517 或1X477=477.例4.有一种自然数，它加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数，则这种自然数中除1以外，最小数是多少？解：根据已知，若这个数分别加上1、2、3、4、5、6是2、3、4、5、6、7的倍数，求这个数最小是多少，即这个数是2, 3, 4, 5, 6, 7的最小公倍数加上 1. [2, 3, 4, 5, 6, 7] =420, 最小数是：420+1=421。

求最大公因数最小公倍数练习题文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-一、基本概念：公因数：两个或多个数都有的因数叫做公因数公倍数：两个或多个数都有的倍数叫做公倍数最大公因数：两个或多个数都有的因数里最大的叫做最大公因数最小公倍数：两个或多个数都有的倍数里最小的叫做最小公倍数（没有最大公倍数）公约数和最大公约数?几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数．例如：12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。

12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。

一般地我们用（a,b）表示a,b这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。

如果（a,b）=1,则a,b两个数是互质数。

2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，…18的倍数有18，36，72，90，…12和18的公倍数有：36，72…其中36是12和18的最小公倍数。

一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b的最小公倍数，如[12，18]=36。

求最大公因数、最小公倍数习题一、用短除法求几个数的最大公因数12和30 24和36 39和78 72和84 36和6045和60 45和75 45和60 42、105和56 24、36和48二、用短除法求几个数的最小公倍数。

25和30 24和30 39和78 60和84 18和20126和60 45和75 12和24 12和14 45和60 76和8036和60 27和72 42、105和56 24、36和48 六、用短除法求几个数的最大公因数与最小公倍数。

45和60 36和60 27和72 76和806、12和247、21和498、12和36八、写出下列各数的最大公因数和最小公倍数15和5的最大公因数是最小公倍数是；9和3的最大公因数是最小公倍数是9和18的最大公因数是最小公倍数是；11和44的最大公因数是最小公倍数是30和60 的最大公因数是最小公倍数是；13和91 的最大公因数是最小公倍数是7和12的最大公因数是最小公倍数是；8和11的最大公因数是最小公倍数是1和9的最大公因数是最小公倍数是；8和10的最大公因数是最小公倍数是6和9的最大公因数是最小公倍数是；8和6的最大公因数是最小公倍数是10和15的最大公因数是最小公倍数是；4和6的最大公因数是最小公倍数是26和13的最大公因数是最小公倍数是 13和6的最大公因数是最小公倍数是4和6的最大公因数是最小公倍数是；5和9的最大公因数是最小公倍数是29和87的最大公因数是最小公倍数是；30和15的最大公因数是最小公倍数是13、26和52的最大公因数是最小公倍数是2、3和7的最大公因数是最小公倍数是16、32和64的最大公因数是最小公倍数是7、9和11的最大公因数是最小公倍数是九. 求下面每组数的最大公约数和最小公倍数。

最大公约数和最小公倍数一、基本概念和知识1、公约数和最大公约数几个公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数。

我们可以把自然数a 、b 的最大公因数记作（a 、b ），如果（a 、b ）=1，则a 、b 互质。

2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a 、b 的最小公倍数可以记作〔a 、b 〕，当（a 、b ）=1时，〔a 、b 〕=a ×b 。

3、两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数×最小公倍数=两数的积 即（a 、b ）×〔a 、b 〕= a ×b二、方法篇短除法（最大公约数）（1）必须每次都用n 个数的公约数去除；（2）一直除到n 个数的商互质（但不一定两两互质）；（3）n 个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。

短除法（最小公倍数）（1）必须先用（如果有）n 个数的公约数去除，除到n 个数没有除去1以外的公约数后，在用1n -个数的公约数去除，除到1n -个数没有除1以外的公约数后，再用2n -个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；（2）只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到n 个数的商两两互质为止；（3）n 个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。

辗转相除法（最大公约数）设两数为a 、b(a>b ），求a 和b 最大公约数(a ，b ）的步骤如下：用b 除a ，得a ÷b=q......r1(0≤r1）。

若r1=0，则（a ，b)=b ；若r1≠0，则再用r1除b ，得b ÷r1=q......r2 (0≤r2）.若r2=0，则（a ，b)=r1，若r2≠0，则继续用r2除r1，……如此下去，直到能整除为止。

其最后一个非零除数即为（a ，b ）。

数的整除（3）最大公因数、最小公倍数教室姓名学号【知识要点】1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

自然数a、b的最大公因数记作（a，b）。

2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a、b的最小公倍数记作［a，b］。

3、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：（1）（a，b）×［a，b］=a×b；（2）若a＞b，则a－b与b的最大公因数就等于a与b的最大公因数。

（3）a+b与b的最大公因数，等于a与b的最大公因数。

【典型例题】例1.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。

解：由性质（1）得到乙数=168×4÷24＝28.例2.将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边长应是长方形的长和宽的公因数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因此正方形边长是长方形长与宽的最大公因数。

（90，42）=6.至少能剪90×42÷（6×6）=105（块）.例 3.马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是多少？解：473与407的最大公因数是11，而11是质数，所以乙数是11，又473=43×11，407＝37×11，所以甲数是47，甲乙两数的乘积应为：47×11=517或1×477=477.例4.有一种自然数，它加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数，则这种自然数中除1以外，最小数是多少？解：根据已知，若这个数分别加上1、2、3、4、5、6是2、3、4、5、6、7的倍数，求这个数最小是多少，即这个数是2，3，4，5，6，7的最小公倍数加上1.［2，3，4，5，6，7］=420，最小数是：420+1=421。

数的整除（3）最大公因数、最小公倍数教室姓名学号【知识要点】1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

自然数a、b的最大公因数记作（a，b）。

2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a、b的最小公倍数记作［a，b］。

3、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：（1）（a，b）×［a，b］=a×b；（2）若a＞b，则a－b及b的最大公因数就等于a及b的最大公因数。

（3）a+b及b的最大公因数，等于a及b的最大公因数。

【典型例题】例1.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。

解：由性质（1）得到乙数=168×4÷24＝28.例2.将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边长应是长方形的长和宽的公因数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因此正方形边长是长方形长及宽的最大公因数。

（90，42）=6.至少能剪90×42÷（6×6）=105（块）.例 3.马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是多少？解：473及407的最大公因数是11，而11是质数，所以乙数是11，又473=43×11，407＝37×11，所以甲数是47，甲乙两数的乘积应为：47×11=517或1×477=477.例4.有一种自然数，它加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数，则这种自然数中除1以外，最小数是多少？解：根据已知，若这个数分别加上1、2、3、4、5、6是2、3、4、5、6、7的倍数，求这个数最小是多少，即这个数是2，3，4，5，6，7的最小公倍数加上1.［2，3，4，5，6，7］=420，最小数是：420+1=421。

五年级奥数下册：第四讲最大公约数和最小公陪数弟凶iff震穴公约載和戴小公苗載本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题一一^关两个自然数尼们的最大各约数、最水公倍数之间的相互关系的问题。

定理1两个自然数分别除以它们的最大公约数-所得的商互质•即如果（a f b）二d,那么（a^ d（ b*d〕=1*证明：i殳n—d二企、b d=b：J那么a =岂击Wbd假设（a P bj）产1,可设〔如bj =m （m>l）,于是有角=會・b M= b；nt〔包，毎是整藪）所臥3=鱼泌二岂md" b = b,d=b;nid fl那么说是氐b■的公约数。

又'「m> 1, '/ iud〉<L这就与d是i b的最大公约数相矛盾，因此，（沁叽）#1的假设是不正确的.所反只能是:（晋.b） =1,也就是〔通m）= K定理z两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘杞〔证明略）定理3两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数.（证明略）下面我们就应用这些知识来解决一些具体的问题。

例1甲数是弧甲、乙两数的最大公约数是务最小公倍数是出&求乙数.解法1：由甲数X乙数二甲.乙两数的最大公约数X两数的最小公倍数'可得旣X乙数=4X288,乙数=4X288-36,解出乙数答；乙数是3厶解法2：因为甲、乙两数的最大公约数为4,则甲数二4X9, i殳乙数=4Xb P 且（叽，9）二1。

因为甲、乙两数的最小公倍数是2別，则288=4XgXb：,b. = 288-36,解出b产&所以，乙数=4X8=32.答‘乙数杲32。

例2己知两数的最大公约数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是多少？解：要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少.i殳这两个数为因为这两个数的最大公约数是21,故设护21j b=21b;,且bj =因为这两个数的最小公倍数是126,所以126=21 X^Xb^于是虫Xb产6,ml 3=21X1=21, fa=21X2 = 42 则{ b=21X6=126, |b= 21X3 = 63.因此，这两个数的和为21+ 126二147,或42+ 63二105。

数的整除（3）最大公因数、最小公倍数教室姓名学号【知识要点】1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

自然数a、b的最大公因数记作（a，b）。

2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a、b的最小公倍数记作［a，b］。

3、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：（1）（a，b）×［a，b］=a×b；（2）若a＞b，则a－b与b的最大公因数就等于a与b的最大公因数。

（3）a+b与b的最大公因数，等于a与b的最大公因数。

【典型例题】例1.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。

解：由性质（1）得到乙数=168×4÷24＝28.例2.将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边长应是长方形的长和宽的公因数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因此正方形边长是长方形长与宽的最大公因数。

（90，42）=6.至少能剪90×42÷（6×6）=105（块）.例 3.马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是多少？解：473与407的最大公因数是11，而11是质数，所以乙数是11，又473=43×11，407＝37×11，所以甲数是47，甲乙两数的乘积应为：47×11=517或1×477=477.例4.有一种自然数，它加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数，则这种自然数中除1以外，最小数是多少？解：根据已知，若这个数分别加上1、2、3、4、5、6是2、3、4、5、6、7的倍数，求这个数最小是多少，即这个数是2，3，4，5，6，7的最小公倍数加上1.［2，3，4，5，6，7］=420，最小数是：420+1=421。

最大公因数（约数）与最小公倍数（2）专题分析：这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。

两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。

即，（a，b）×[a，b]=a×b。

例1、两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。

已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。

例2、两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。

这两个自然数的和是77，求这两个自然数。

例3、已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。

例4、某幼儿园借阅图书，如借35本，平均分给每个小朋友差1本；如借56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如借69本，平均分给每个小朋友则差3本。

这个班的小朋友最多有多少人？例5、一些三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按由小到大的顺序排成一行，中间的一个数是多少？例6、有甲、乙、丙三种溶液，分别重614千克、433千克、922千克。

现在要将它们全部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。

问：每瓶最多装多少千克？练习1、将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。

2、两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。

满足条件的自然数有哪几组？3、两个数的积为5766,且它们的最大公因数为30,那么这两个数各为多少?4、以知A 数为24,A 与B 的最小公倍数为168,最大公因数为4,那么B 数为多少?5、有一个班的同学去划船,他们算了一下,如果增加一条船,正好每船坐6人,如果减少一条船,正好每船坐9人,求这个班有多少人?6、两个数的最大公因数为21,最小公倍数为126,那么这两数的和为多少?7、有一批砖,长45厘米,宽为30厘米,至少用这样的砖多少块,才能铺成一个正方型?8、在一条长96米的路两侧，计划每隔4米栽一棵树，画好“记号”后发现距离过近，改为每隔6米栽一棵树，还要重新做多少个“记号”？9、有一根180厘米长的绳子，从一端开始每隔3厘米做一个记号，每隔4厘米也做一个记号，然后沿有记号的地方剪断。