高一数学 二分法

二分法的定义与应用4．二分法的定义与应用【二分法的定义】二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f （b）＞0，那么当x1 =푎+푏时，若f（x1）＝0，这说x1 为零点；若不为 0，假设大于 0，那么继续在[x1，b]区间2取中点验证它的函数值为 0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．【二分法的应用】我们以具体的例子来说说二分法应用的一个基本条件：例题：下列函数图象均与x 轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是解：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，有图象可得，只有③能满足此条件，故答案为③．在这个例题当中，所要求的能力其实就是对概念的理解，这也是二分法它惯用的考查形式，通过这个例题，希望同学们能清楚二分法的概念和常考题型．【二分法求方程的近似解】二分法在高中主要属于了解性的内容，拿二分法求近似解思路也比较固定，这里我们主要以例题来做讲解．例：用二分法求方程푙푛푥=1在[1，2]上的近似解，取中点c＝1.5，则下一个有根区间是[1.5，2]．푥解：令函数f（x）＝lnx ―1，由于f（1.5）＝ln（1.5）―푥11.5=11（ln1.52﹣2）＜（lne2﹣2）＝0，即f（1.5）33＜0，而f（2）＝ln2 ―12=ln2﹣ln 푒=ln2푒=1412ln푒＞2ln1＝0，即f（2）＞0，1/ 2故函数f（x）在[1.5 2]上存在零点，故方程푙푛푥=1在[1.5，2]上有根，푥故答案为[1.5，2]．通过这个例题，我们可以发现二分法的步奏，第一先确定f（a）•f（b）＜0 的a，b 点；第二，寻找区间（a，b）的中点，并判断它的函数值是否为 0；第三，若不为 0，转第一步．2/ 2。

高中数学二分法二分法：1、定义：二分法，是一种从曲线上求解函数极值、积分和解方程等不确定解的有效方法，它是利用一个给定的区间，先假设其取值范围，然后把这个区间分成两部分，根据函数的性质得到函数的最大值和最小值，最终把有限的区间越缩越小，趋近于极限，把某种特征的问题求解出来。

2、特点：二分法具备简单、有效率和可取得近似精确结果的特点，其完成求解的有效步骤是：先将需求解的范围把重点放在中间部分，然后判断函数在两个部分哪个更接近局部最优解，根据这种判断，把不满足要求的部分清除，继续通过重复偏心格把结果的范围缩小，最终当剩余段小于给定的一个误差范围时，得到比较接近真实解的一个近似解。

3、应用场景：二分法在高中数学中有广泛的应用，主要用于求定积分和平面几何中曲线，椭圆等函数最大值、最小值等问题的求解，在十字交叉法中，利用十字构图，根据不等式的约束条件，将最优解的区域以二分的方式划分，把区域的最优解计算出来，而在统计学中，也可以用来找出自变量和因变量的最佳拟合函数，这可通过对拟合函数的在自变量取值的山谷值的搜索，帮助研究者快速找到正确的回归模型。

4、具体实现：二分法是一种迭代算法，算法的迭代重点是：给定一个准确的区间，计算区间的中点，根据函数的增减性质来选取最优解，把不满足要求的部分清除掉，通过迭代的方式，重复这个过程，直到得到的某种特征的结果满足要求。

5、优点：二分法比较简单、有效率，而且可取得近似精确结果，也很容易理解，还可以获得较高的精度，并且在实际有效应用中具有良好的鲁棒性及快速类容错能力，适用于大规模数值计算，提高计算效率。

6、缺点：二分法所限制的误差范围可能过大，得到的结果往往不够精确，而且可能出现陷入局部最优的情况，从而影响最终的结果，易受到初值的影响，同时由于迭代容易受到干扰，有可能出现闭塞的情况。

综上所述，二分法是一种有效的有限迭代的方法，是高中数学中必不可少的重要的求解手段，它可以用来求解函数在某一区间最大值、最小值等问题，可以获得近似精确的结果，但同时也有一些缺点需要注意，所以才能在快速有效精确的基础上找到最佳解。

高一数学之：二分法求方程的近似解一：知识点精析1、二分法定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(注意如下两点：①二分法的基本思想：逼近思想；②用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用。

)2、给定精确度ε，用二分法求方程的近似解的步骤：第一步：确定闭区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；第二步：求区间(a，b)的中点c；第三步：计算f(c)；(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x。

∈(a，c))；(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x。

∈ (c，b))。

第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<c，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二步至第四步。

二：典例讲解题型一：用二分法判断方程根所在区间问题例1、用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间[2，3]内的实根，取区间中点为x。

=2.5，那么下一个有根的区间是_____________________。

题型二：用二分法求函数零点问题例2 求函数发f(x)＝x3+2x2-3x-6的一个为正数的零点(精确度o.01)．题型三：用二分法求方程近似解问题例3、利用计算器求下列方程的近似解(精确度0.1)．（1）x2-2x-1=0 （2）2x3+3x-3=0题型四：用二分法解决实际应用问题例6 如果在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点就要爬一次电线杆，10 km长大约有200多根电线杆呢! 想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理?例7、如图，有一块边长为15 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为J cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．(1)求出盒子的体积y以z为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；(2)如果要做一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长工是多少(精确到o.1 cm)?三：素质测试1、下列图象与z轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )2、下列关于二分法叙述正确的是( )A、用二分法可求所有函数零点的近似值B、用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C、二分法无规律可循，无法在计算机上完成D、只有在求函数零点时才用二分法3、下列函数不能用二分法求零点的是( )A、f(x)＝2x+3B、f (x)＝lnx+2x-6C、f(x)＝x2-2x+1D、f(x)＝2x-14 、函数f(x)＝5-x2的负数零点的近似值(精确到o.1)是( )A-2. B-2.1 C．-2.2 D．-2.35、用二分法研究函数f(x)＝x3+3x-1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0．可使其中一个零点x∈____________，第二次应计算____________以上横线应填的内容为( )A、(0，0.5) f(0.25)B、(0，1) f(0.25)C、(0.5，1) f(0.75)D、(0，0.5) f(0.125)27、f(x)是定义在区间[-c，c]上的奇函数，其图象如图所示．令g(x)＝af(x)+b，则下列关于函数g(x)的叙述正确的是( )A若a<0，则函数g(X)的图象关于原点对称B若a＝1，0<b<2，则方程g(x)＝0有大于2的实根C若a＝-2，b=0，则函数g(x)的图象关于y轴对称d若a≠0，b＝2，则方程g(x)＝0有三个实根xA(-1，0) B(0，1) C (1，2) D(2，3)9、某方程有一无理根在区间D＝(1，2)内，若用二分法求此根的近似值，则将D至少等分___________次后，所得近似值可精确到0．01．=0在(-∞，o)内是否存在实数根?并说明理由．10、方程x2-1x。

高一数学2分法的知识点2分法是高中数学中的一个重要知识点，它在数学分析和数值计算中起到了至关重要的作用。

本文将详细介绍2分法的概念、原理和应用，以帮助读者更好地理解和运用这一数学方法。

一、概念2分法，又称二分法或折半法，是一种常用的数值逼近方法。

它的基本思想是将计算区间二等分，通过逐步缩小区间范围来逼近函数的根或极值。

二、原理2分法的原理基于介值定理和收敛定理。

当函数在某一区间上连续且函数值在区间两端的符号不同，根据介值定理，可以推断该区间内存在根。

通过将区间一分为二，根据符号变化确定目标区间，不断缩小区间范围，就能逐步逼近函数的根或极值点。

三、步骤使用2分法求解函数根的一般步骤如下：1. 选择一个初始的区间[a, b]，确保函数在该区间上连续且函数值在区间两端的符号不同。

2. 计算区间的中点c，即c = (a + b) / 2。

3. 计算函数在中点处的函数值f(c)。

4. 如果f(c)为0，则c为函数的根，算法结束。

5. 如果f(c)不为0，根据中点的函数值与区间两端的函数值的符号关系，确定目标区间。

6. 将目标区间重新定义为[a, c]或[c, b]，重复步骤2至步骤5，直到满足收敛条件。

7. 根据需要，可以设置最大迭代次数或精度条件，以控制算法的收敛速度和结果精度。

四、应用案例2分法在实际问题中有广泛的应用，比如求方程的根、函数的零点、函数的极值点等。

以下是一个应用于求方程根的例子：假设要求方程f(x) = x^3 - 2x - 5 = 0在区间[1, 2]内的根，可以使用2分法进行逼近计算：1. 初始区间为[1, 2]，可以验证f(1) = -6，f(2) = 1，符号不同，满足条件。

2. 计算区间中点c = (1 + 2) / 2 = 1.5。

3. 计算f(1.5)，得到f(1.5) = -2.375。

4. 由于f(1.5)与f(1)的符号相同，目标区间为[1.5, 2]。

5. 将区间重新定义为[1.5, 2]，重复步骤2至步骤5。

第19讲用二分法求方程的近似解模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件；2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解；3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解.知识点1二分法1、二分法的定义：对于区间[],a b 上图象连续不断且()()0⋅<f a f b 的函数()f x ，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法．2、二分法要点辨析：（1）二分法的求解原理是函数零点存在定理；（2）函数图象在零点附近连续不断；（3）用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反，比如2=y x ，该函数有零点0，但不能用二分法求解．知识点2二分法求零点近似值1、给定精确度ε，用二分法求函数()=y f x 零点0x 的近似值的步骤（1）确定零点0x 的初始区间[],a b ，验证()()0⋅<f a f b ；（2）求区间(),a b 的中点c ；（3）计算()f c ，进一步确定零点所在的区间：①若()0=f c （此时0=x c ），则c 就是函数的零点；②若()()0⋅<f a f c （此时()0,∈x a c ），则令=b c ；③若()()0⋅<f c f b （此时()0,∈x c b ），则令=a c .（4）判断是否达到精确度ε：若-<a b ε，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复（2）~（4）【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点．2、关于精确度（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值ε，即-<a b ε；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位，如计算213-，精确到0.01，即0.33（2）精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值．考点一：判断二分法的适用条件例1．（23-24高一上·天津·月考）下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（）A ．B ．C ．D ．【变式1-1】（22-23高一上·陕西咸阳·月考）已知函数()y f x =的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是（）A ．4，4B ．3，4C ．4，3D ．5，4【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（）A ．()2f x x =B ．()22f x x =++C ．()13f x x x=+-D ．()ln 3f x x =+【变式1-3】（23-24高一上·广东东莞·月考）（多选）下列方程中能用二分法求近似解的为（）A ．ln 0x x +=B ．e 30x x -=C ．3310x x -+=D ．2450x -+=考点二：二分法的具体步骤例2.（23-24高一下·江苏扬州·月考）用二分法研究函数53()81f x x x =+-的零点时，第一次经过计算得(0)0f <，(0.5)0>f ，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（）A ．(0,0.5)，(0.125)fB ．(0,0.5)，(0.25)fC ．(0.5,1)，(0.75)f D ．(0,0.5)，(0.375)f 【变式2-1】（23-24高一上·湖南长沙·期末）设()28x f x x =+-，用二分法求方程280x x +-=在[1,5]上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（）A ．[]1,2或[]2,3都可以B ．[]2,3C ．[]1,2D ．不能确定【变式2-2】（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知增函数()y f x =的图象在[,]a b 上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[,]a b ，[,]2a ba +，1[,33ba +，则b a -的值是（）A ．1B ．43C ．23-D ．23【变式2-3】（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函数()e 2xf x x =--的一个正零点的近似值（精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据；()()()()10.28, 1.50.98, 1.250.24, 1.1250.04f f f f ≈-≈≈≈-，关于下一步的说法正确的是（）A ．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值B ．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值C ．没有达到精确度的要求，应该接着计算()1.1875fD ．没有达到精确度的要求，应该接着计算()1.0625f 考点三：二分法次数的确定例3.（23-24高一上·湖北襄阳·期末）已知函数()ln 26f x x x =+-在区间()2,3内存在一个零点，用二分法求方程近似解时，至少需要求（）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）.A ．5B ．6C ．7D ．8【变式3-1】（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知函数()y f x =为[]0,1上的连续函数，且()()010f f ⋅<，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少二分的次数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式3-2】（23-24高一上·湖南株洲·期末）用二分法求函数在区间[]1,3的零点，若要求精确度0.01<，则至少进行次二分.【变式3-3】（23-24高一上·江西抚州·期末）在用二分法求方程23x =的正实数跟的近似解（精确度0.001）时，若我们选取初始区间是[]1,7,1,8，为达到精确度要求至少需要计算的次数是．考点四：用二分法求零点近似值例4.（23-24高一上·江苏苏州·期末）若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：(1)2f =-(1.5)0.625f =(1.25)0.984≈-f(1.375)0.260f ≈-(1.4375)0.162≈f (1.40625)0.054≈-f 那么方程32220x x x +--=的一个近似根(精确度为0.05)可以是（）A ．1.25B ．1.39C ．1.41D ．1.5【变式4-1】（23-24高一上·浙江温州·期末）（多选）设()()22log 12xh x x =++-，某同学用二分法求方程()0h x =的近似解(精确度为0.5)，列出了对应值表如下：x 0.5-0.1250.43750.752()h x 1.73-0.84-0.42-0.032.69依据此表格中的数据，方程的近似解0x 不可能为（）A ．00.125x =-B ．00.375x =C ．00.525x =D ．0 1.5x =【变式4-2】（23-24高一上·湖北黄冈·月考）（多选）某同学求函数()ln 2 6.5f x x x =+-的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示:()2 1.807f ≈-()30.599f ≈()2.50.584f ≈-()2.750.012f ≈()2.6250.285f ≈-()2.68750.136f ≈-则方程ln 2 6.50x x +-=的近似解(精确度0.1)可取为（）A ．2.72B ．2.69C ．2.61D ．2.55【变式4-3】（23-24高一上·江苏·课后作业）已知函数()()211xx f x a a x -=+>+.(1)求证：()f x 在(1),-+∞上为增函数.(2)若3a =，求方程()0f x =的正根（精确度为0.01）.一、单选题1．（223-24高一上·浙江杭州·月考）设函数()348f x x x =+-，用二分法求方程3480x x +-=近似解的过程中，计算得到()()10,30f f <>，则方程的近似解落在区间（）A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函数()231=+-f x x x 的零点时，第一次经过计算发现()00f <，()0.50f >，可得其中一个零点()00,0.5x ∈，则第二次还需计算函数值（）A ．()1fB ．()0.5f -C ．()0.25fD ．()0.125f 3．（23-24高一上·上海虹口·期末）若在用二分法寻找函数212(1)1xx y x x +=->-零点的过程中，依次确定了零点所在区间为41[,],,234a b a b b a b +⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,,，则实数a 和b 分别等于（）A ．35,22B ．2，3C ．3,22D ．6552,4．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数()y f x =的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：(1)2f =-，(1.25)0.984f =-，(1.375)0.260f =-，(1.40625)0.054f =-，(1.4375)0.162f =，(1.6)0.625f =，那么方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）为（）A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.55．（23-24高一上·安徽·月考）已知函数()31f x x x =+-在()0,1内有一个零点，且求得()f x 的部分函数值如下表所示：x 010.50.750.6250.56250.68750.656250.671875()f x 1-10.375-0.17190.1309-0.2595-0.012450.06113-0.02483-若用二分法求()f x 零点的近似值（精确度为0.1），则对区间()0,1等分的最少次数和()f x 零点的一个近似值分别为（）A ．4，0.7B ．5，0.7C ．4，0.65D ．5，0.656．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（）A ．2log 0x x +=B ．e 0x x +=C ．2210x x -+=D ln 0x =二、多选题7．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）在用“二分法”求函数()f x 零点的近似值时，若第一次所取区间为[]2,4-，则第二次所取区间可能是（）A ．[]2,1--B ．[]2,1-C ．[]2,4D ．[]1,48．（23-24高一上·广东广州·期末）教材中用二分法求方程2370x x +-=的近似解时，设函数()237x f x x =+-来研究，通过计算列出了它的对应值表x 1.25 1.375 1.406251.422 1.4375 1.5()f x 0.87-0.26-h0.05-0.020.33分析表中数据，则下列说法正确的是：（）A ．0h >B ．方程2370x x +-=有实数解C ．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375D ．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375三、填空题9．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）用“二分法”研究函数()33f x x x =+-的零点时，第一次经计算可知()()020f f <，说明该函数在区间()0,2内存在零点0x ，下一次应计算()1f x ，则1x =．10．（23-24高一上·上海·期末）若函数()31f x x x =--在区间[]1,1.5的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：()10f <()1.50f >()1.250f <()1.3750f >()1.31250f <()1.343750f >那么方程310x x --=的一个近似解为x =（精确到0.1）11．（23-24高一上·山东临沂·期末）用二分法求函数()ln 26f x x x =+-在区间()2,3内的零点近似值，至少经过次二分后精确度达到0.1.四、解答题12．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知函数1()3f x x x=+-．(1)判断函数()f x 在区间()1,+∞上的单调性，并用定义证明；(2)用二分法求方程()0f x =在区间()1,+∞上的一个近似解（精确度为0.1）．13．（23-24高一上·山东青岛·月考）已知()()ln 2,e xf x x xg x x =+-=+.(1)通过二分法且满足精确度为0.5，求方程()0f x =的近似解（精确到0.1）(2)设()()120,0f x g x ==，求证：12e x x ⋅>-.第19讲用二分法求方程的近似解模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件；2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解；3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解.知识点1二分法1、二分法的定义：对于区间[],a b 上图象连续不断且()()0⋅<f a f b 的函数()f x ，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法．2、二分法要点辨析：（1）二分法的求解原理是函数零点存在定理；（2）函数图象在零点附近连续不断；（3）用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反，比如2=y x ，该函数有零点0，但不能用二分法求解．知识点2二分法求零点近似值1、给定精确度ε，用二分法求函数()=y f x 零点0x 的近似值的步骤（1）确定零点0x 的初始区间[],a b ，验证()()0⋅<f a f b ；（2）求区间(),a b 的中点c ；（3）计算()f c ，进一步确定零点所在的区间：①若()0=f c （此时0=x c ），则c 就是函数的零点；②若()()0⋅<f a f c （此时()0,∈x a c ），则令=b c ；③若()()0⋅<f c f b （此时()0,∈x c b ），则令=a c .（4）判断是否达到精确度ε：若-<a b ε，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复（2）~（4）【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点．2、关于精确度（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值ε，即-<a b ε；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位，如计算213-，精确到0.01，即0.33（2）精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值．考点一：判断二分法的适用条件例1．（23-24高一上·天津·月考）下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据零点存在定理可知，能用二分法求零点的函数，在零点左右两侧的函数值应该是正负符号相反，对于A ，0x =两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；对于B ，1x =两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；对于C ，图象与x 轴有交点，图象在x 轴及其上方，0x =两侧函数值符号相同，故不可用二分法求交点横坐标；对于D ，0x =两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；故选：C【变式1-1】（22-23高一上·陕西咸阳·月考）已知函数()y f x =的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是（）A ．4，4B ．3，4C ．4，3D ．5，4【答案】C【解析】图象与x 轴有4个交点，所以零点的个数为4，左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.故选：C【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（）A ．()2f x x =B ．()22f x x =++C ．()13f x x x=+-D ．()ln 3f x x =+【答案】B【解析】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号；对于A ，()2f x x =有唯一零点0x =，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；对于B ，()(222f x x x =++=+有唯一零点x =但(20y x =≥恒成立，故不可用二分法求零点；对于C ，()13f x x x =+-有两个不同零点32x =，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点；对于D ，()ln 3f x x =+有唯一零点3x e -=，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.故选：B.【变式1-3】（23-24高一上·广东东莞·月考）（多选）下列方程中能用二分法求近似解的为（）A ．ln 0x x +=B ．e 30x x -=C ．3310x x -+=D ．2450x -+=【答案】ABC【解析】对于A 项，设()ln f x x x =+，则22221111ln 20e e e e f ⎛⎫=+=-+< ⎪⎝⎭，()110f =>，所以，()2110e f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，且()f x 的图象是一条连续不断的曲线.根据零点的存在定理可知，121,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x =，故A 正确；对于B 项，设()e 3xg x x =-，则()010g =>，()1e 30g =-<，所以，()()010g g <，且()g x 的图象是一条连续不断的曲线..根据零点的存在定理可知，()20,1x ∃∈，使得()20g x =，故B 正确；对于C 项，设()331h x x x =-+，则()010h =>，()113110h =-+=-<，所以，()()010h h <，且()h x 的图象是一条连续不断的曲线..根据零点的存在定理可知，()30,1x ∃∈，使得()30h x =，故C 正确；对于D 项，设()245k x x =-+，因为()(220k x x =≥恒成立，不存在函数值异号区间，所以不满足二分法的条件，故D 错误.故选：ABC.考点二：二分法的具体步骤例2.（23-24高一下·江苏扬州·月考）用二分法研究函数53()81f x x x =+-的零点时，第一次经过计算得(0)0f <，(0.5)0>f ，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（）A ．(0,0.5)，(0.125)fB ．(0,0.5)，(0.25)fC ．(0.5,1)，(0.75)fD ．(0,0.5)，(0.375)f 【答案】B【解析】因为(0)(0.5)0f f <，由零点存在性知：零点()00,0.5x ∈，根据二分法，第二次应计算00.52f +⎛⎫⎪⎝⎭，即()0.25f .故选：B.【变式2-1】（23-24高一上·湖南长沙·期末）设()28x f x x =+-，用二分法求方程280x x +-=在[1,5]上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（）A ．[]1,2或[]2,3都可以B ．[]2,3C ．[]1,2D ．不能确定【答案】B【解析】(1)2821850x f x =+-=+-=-<，55(5)258230f =+-=->，第一次取11532x +==，有3(3)23830f =+-=>，故第二次取21322x +==，有2(2)22820f =+-=-<，故此时可确定近似解所在区间为[]2,3.故选：B.【变式2-2】（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知增函数()y f x =的图象在[,]a b 上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[,]a b ，[,]2a ba +，1[,33ba +，则b a -的值是（）A ．1B ．43C ．23-D ．23【答案】B【解析】因为依次确定了零点所在区间为[,]a b ，[,]2a b a +，1[,]33ba +，可得231223a b b a b a a +⎧=⎪⎪⎨++⎪=+⎪⎩，即3043a b b a +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1,13a b =-=.所以14133b a ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭.故选：B.【变式2-3】（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函数()e 2xf x x =--的一个正零点的近似值（精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据；()()()()10.28, 1.50.98, 1.250.24, 1.1250.04f f f f ≈-≈≈≈-，关于下一步的说法正确的是（）A ．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值B ．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值C ．没有达到精确度的要求，应该接着计算()1.1875fD ．没有达到精确度的要求，应该接着计算()1.0625f 【答案】C【解析】由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，()()()1,1.51,1.25 1.125,1.25→→时的区间长度为1.125 1.250.1250.1-=>，故没有达到精确的要求，应该接着计算()1.125 1.25 1.18752f f +⎛⎫= ⎪⎝⎭的值.故选：C考点三：二分法次数的确定例3.（23-24高一上·湖北襄阳·期末）已知函数()ln 26f x x x =+-在区间()2,3内存在一个零点，用二分法求方程近似解时，至少需要求（）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）.A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】由所给区间()2,3的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 次操作后，区间长度变为12n，故需10.012n≤，解得7n ≥，所以至少需要操作7次.故选：C【变式3-1】（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知函数()y f x =为[]0,1上的连续函数，且()()010f f ⋅<，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少二分的次数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】区间[]0,1的长度为1，没经过一次操作，区间长度变成原来的一半，经过n 次后，区间长度变成12n ，则10.12n≤，即4n ≥，n *∈N 故对区间只需要分4次即可．故选：C.【变式3-2】（23-24高一上·湖南株洲·期末）用二分法求函数在区间[]1,3的零点，若要求精确度0.01<，则至少进行次二分.【答案】8【解析】根据题意，原来区间[]1,3的长度等于2，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，则经过n 次操作后，区间的长度为111222n n -⨯=，若110.012n -<，即8n ≥，故最少为8次.故答案为：8.【变式3-3】（23-24高一上·江西抚州·期末）在用二分法求方程23x =的正实数跟的近似解（精确度0.001）时，若我们选取初始区间是[]1,7,1,8，为达到精确度要求至少需要计算的次数是．【答案】7【解析】设至少需要计算n 次，则n 满足1.8 1.70.0012n-<，即2100n >，由于67264,2128==，故要达到精确度要求至少需要计算7次.故答案为：7考点四：用二分法求零点近似值例4.（23-24高一上·江苏苏州·期末）若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：(1)2f =-(1.5)0.625f =(1.25)0.984≈-f (1.375)0.260f ≈-(1.4375)0.162≈f (1.40625)0.054≈-f 那么方程32220x x x +--=的一个近似根(精确度为0.05)可以是（）A ．1.25B ．1.39C ．1.41D ．1.5【答案】C【解析】因为(1)0f <，(1.5)0f >，所以(1)(1.5)0f f ⋅<，所以函数在(1,1.5)内有零点，因为1.510.50.05-=>，所以不满足精确度为0.05;因为(1.25)0f <，所以(1.25)(1.5)0f f ⋅<，所以函数在(1.25,1.5)内有零点，因为1.5 1.250.250.05-=>，所以不满足精确度为0.05;因为(1.375)0f <，所以(1.375)(1.5)0f f ⋅<，所以函数在(1.375,1.5)内有零点，因为1.5 1.3750.1250.05-=>，所以不满足精确度为0.05;因为(1.4375)0f >，所以(1.4375)(1.375)0f f ⋅<，所以函数在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.3750.06250.05-=>，所以不满足精确度为0.05;因为(1.40625)0f <，所以(1.40625)(1.4375)0f f ⋅<，所以函数在(1.40625,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.406250.031250.05-=<，满足精确度为0.05，所以方程32220x x x +--=的一个近似根(精确度为0.05)可以是区间(1.40625,1.4375)内任意一个值(包括端点值).故选：C.【变式4-1】（23-24高一上·浙江温州·期末）（多选）设()()22log 12xh x x =++-，某同学用二分法求方程()0h x =的近似解(精确度为0.5)，列出了对应值表如下：x 0.5-0.1250.43750.752()h x 1.73-0.84-0.42-0.032.69依据此表格中的数据，方程的近似解0x 不可能为（）A ．00.125x =-B ．00.375x =C ．00.525x =D ．0 1.5x =【答案】ABD【解析】由题中参考数据可得根在区间()0.43750.75，内，故通过观察四个选项，符合要求的方程近似解0x 可能为0.525，0x 不可能为ABD 选项．故选：ABD ．【变式4-2】（23-24高一上·湖北黄冈·月考）（多选）某同学求函数()ln 2 6.5f x x x =+-的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示:()2 1.807f ≈-()30.599f ≈()2.50.584f ≈-()2.750.012f ≈()2.6250.285f ≈-()2.68750.136f ≈-则方程ln 2 6.50x x +-=的近似解(精确度0.1)可取为（）A ．2.72B ．2.69C ．2.61D ．2.55【答案】AB【解析】由函数()ln 2 6.5f x x x =+-在()0,∞+上单调递增，要使得精确度为0.1，结合表格可知：()2.68750.1360f ≈-<，()2.750.0120f ≈>，此时2.75 2.68750.0650.1-=<，所以方程ln 2 6.50x x +-=的近似解在区间()2.6875,2.75内.故选：AB.【变式4-3】（23-24高一上·江苏·课后作业）已知函数()()211xx f x a a x -=+>+.(1)求证：()f x 在(1),-+∞上为增函数.(2)若3a =，求方程()0f x =的正根（精确度为0.01）.【答案】(1)证明见解析；(2)0.2734375【解析】（1）证明：设121x x -<<，12()()f x f x ∴-=121212*********()11(1)(1)x xx x x x x x a a a a x x x x ----+-=-+++++，121x x -<< ，110x ∴+>，210x +>，120x x -<，∴12123()0(1)(1)x x x x -<++；121x x -<< ，且1a >，12ax ax ∴<，∴120-<x x a a ，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <，∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）由（1）知，当3a =时，2()31xx f x x -=++在(1,)-+∞上为增函数，故在(0,)+∞上也单调递增，因此()0f x =的正根仅有一个，以下用二分法求这一正根，由于(0)10f =-<，(1)f 502=>，∴取(0,1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：区间中点中点函数值(0,1)0.50.732(0,0.5)0.250.084-(0.25,0.5)0.3750.322(0.25,0.375)0.31250.124(0.25,0.3125)0.281250.021()0.25,0.281250.2656250.032-()0.265625,0.281250.27343750.00543-()0.2734375,0.28125由于0.27343750.281250.00781250.01-=<，∴原方程的根的近似值为0.2734375，即()0f x =的正根约为0.2734375.一、单选题1．（223-24高一上·浙江杭州·月考）设函数()348f x x x =+-，用二分法求方程3480x x +-=近似解的过程中，计算得到()()10,30f f <>，则方程的近似解落在区间（）A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数()348f x x x =+-，且()()10,30f f <>，可得3(70,(2)2602f f =>=>，所以3(1)()02f f ⋅<，根据零点的存在性定理，可得方程3480x x +-=的近似解落在区间为31,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.2．（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函数()231=+-f x x x 的零点时，第一次经过计算发现()00f <，()0.50f >，可得其中一个零点()00,0.5x ∈，则第二次还需计算函数值（）A ．()1fB ．()0.5f -C ．()0.25f D ．()0.125f 【答案】C【解析】由题意，第一次经过计算发现()00f <，()0.50f >，可得其中一个零点()00,0.5x ∈，由于()100.50.252+=，则第二次需计算()0.25f ，故选：C ．3．（23-24高一上·上海虹口·期末）若在用二分法寻找函数212(1)1xx y x x +=->-零点的过程中，依次确定了零点所在区间为41[,],,234a b a b b a b +⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,,，则实数a 和b 分别等于（）A ．35,22B ．2，3C ．3,22D ．6552,【答案】A【解析】由函数()2122332222111xx x x x f x x x x +-+=-=-=-----，根据指数函数与反比例函数的性质，可得函数()f x 在(1,)+∞上为单调递增函数，所以函数()f x 在(1,)+∞至多有一个零点，又由依次确定了零点所在区间为41[,],,,,234a b a b b a b +⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，可得4231224a b aa b b b +⎧=⎪⎪⎨++⎪=-⎪⎩，即5301a b b a -=⎧⎨-=⎩，解得35,22a b ==.故选：A.4．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数()y f x =的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：(1)2f =-，(1.25)0.984f =-，(1.375)0.260f =-，(1.40625)0.054f =-，(1.4375)0.162f =，(1.6)0.625f =，那么方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）为（）A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5【答案】C【解析】因为1.6 1.43750.16250.1-=>，所以不必考虑端点1.6；因为1.40625 1.250.156250.1-=>，所以不必考虑端点1.25和1；因为(1.4375)0f >，(1.375)0f <，所以(1.4375)(1.375)0f f <，所以函数()f x 在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.3750.06250.1-=<，所以满足精确度0.1；所以方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知：1.4[1.375,1.4375]∈.故选：C.5．（23-24高一上·安徽·月考）已知函数()31f x x x =+-在()0,1内有一个零点，且求得()f x 的部分函数值如下表所示：x 010.50.750.6250.56250.68750.656250.671875()f x 1-10.375-0.17190.1309-0.2595-0.012450.06113-0.02483-若用二分法求()f x 零点的近似值（精确度为0.1），则对区间()0,1等分的最少次数和()f x 零点的一个近似值分别为（）A ．4，0.7B ．5，0.7C ．4，0.65D ．5，0.65【答案】C【解析】由题意可知，对区间(01),内，设零点为0x ，因为()00f <，()10f >，(0.5)0f <，所以()00.5,1x ∈，精确度为10.50.50.1-=>，又0.510.752+=，(0.75)0f >，()00.5,0.75x ∈，精确度为0.750.50.250.1-=>，又0.50.750.6252+=，(0.625)0f <，()00.625,0.75x ∈，精确度为0.750.6250.1250.1-=>又0.6250.750.68752+=，(0.6875)0f >，()00.625,0.6875x ∈，精确度为0.68750.6250.06250.1-=<，需要求解(0.5)(0.75)(0.625)(0.6875),,,f f f f 的值，然后达到()f x 零点的近似值精确到0.1，所以零点的近似解为0.65，共计算4次.故选：C6．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（）A ．2log 0x x +=B ．e 0x x +=C ．2210x x -+=D ln 0x =【答案】C【解析】对于A ，()2log f x x x =+在()0,∞+上单调递增，且()1110,11022f f ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，可以使用二分法，故A 错误；对于B ，()e xf x x =+在R 上连续且单调递增，且()()1010,1e 10f f -=>-=-<，可以使用二分法，故B 错误；对于C ，()222110x x x -+=-≥，故不可以使用二分法，故C 正确；对于D ，()ln f x x =+在()0,∞+上单调递增，且()110,110e f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可以使用二分法，故D 错误.故选：C二、多选题7．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）在用“二分法”求函数()f x 零点的近似值时，若第一次所取区间为[]2,4-，则第二次所取区间可能是（）A ．[]2,1--B ．[]2,1-C ．[]2,4D ．[]1,4【答案】BD【解析】由题知第一次所取区间为[]2,4-，取中间值2412-+=，则第二次所取区间可能是[]2,1-或[]1,4.故选：BD.8．（23-24高一上·广东广州·期末）教材中用二分法求方程2370x x +-=的近似解时，设函数()237x f x x =+-来研究，通过计算列出了它的对应值表x 1.25 1.375 1.406251.422 1.4375 1.5()f x 0.87-0.26-h0.05-0.020.33分析表中数据，则下列说法正确的是：（）A ．0h >B ．方程2370x x +-=有实数解C ．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375D ．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375【答案】BC【解析】∵2x y =与37y x =-都是R 上的单调递增函数，∴()237xf x x =+-是R 上的单调递增函数，∴()f x 在R 上至多有一个零点，由表格中的数据可知：()1.4220f <，()1.43750f >，∴()f x 在R 上有唯一零点，零点所在的区间为()1.422,1.4375，∴0h <，A 错误；方程2370x x +-=有实数解，B 正确；(1.375)0.260(1.4375)0.020f f =-=，，1.4375 1.3750.06250.1-=<，即精确度到0.1，则近似解可取为1.375，C 正确；(1.422)0.050(1.4375)0.020f f =-=，，1.4375 1.4220.01550.01-=>，即精确度为0.01，则近似解不可取为1.4375，D 错误.故选：BC.三、填空题9．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）用“二分法”研究函数()33f x x x =+-的零点时，第一次经计算可知()()020f f <，说明该函数在区间()0,2内存在零点0x ，下一次应计算()1f x ，则1x =．【答案】1【解析】第一次经计算可知()()020f f <，说明该函数在区间()0,2内存在零点0x ，下次计算()1f x ，10212x =+=.故答案为：110．（23-24高一上·上海·期末）若函数()31f x x x =--在区间[]1,1.5的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：()10f <()1.50f >()1.250f <()1.3750f >()1.31250f <()1.343750f >那么方程310x x --=的一个近似解为x =（精确到0.1）【答案】1.3【解析】由表格中的数据，可得函数()31f x x x =--的零点在区间(1.3125,1.3475)之间，结合题设要求，可得方程310x x --=的一个近似解为 1.3x =.故答案为：1.3.11．（23-24高一上·山东临沂·期末）用二分法求函数()ln 26f x x x =+-在区间()2,3内的零点近似值，至少经过次二分后精确度达到0.1.【答案】4【解析】()2ln 220f =-<，()3ln 30f =>，()()230f f ⋅<，所以()02,3x ∃∈，满足()00f x =，开区间()2,3的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 此操作后，区间长度变为12n，故有10.12n ≤，即210n ≥，则4n ≥，所以至少需要操作4次.故答案为：4.四、解答题12．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知函数1()3f x x x=+-．(1)判断函数()f x 在区间()1,+∞上的单调性，并用定义证明；(2)用二分法求方程()0f x =在区间()1,+∞上的一个近似解（精确度为0.1）．【答案】(1)()y f x =在()1,∞+单调递增，证明见解析；(2)2.6（()2.5625,2.625内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解）【解析】（1）()y f x =在()1,+∞单调递增；证明如下：任取()12,1,x x ∈+∞，不妨设12x x <，211221212112()(1)11()()x x x x f x f x x x x x x x ---=-+-=，因为121x x <<，则210x x ->，1210x x ->，120x x >，可得21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >，所以()y f x =在()1,+∞上单调递增.（2）因为函数1()3f x x x=+-在区间()1,+∞上是连续且单调的，可知其在区间()1,+∞上的零点即为方程()0f x =在区间()1,+∞上的解，且()20f <，()30f >，可得()f x 在()1,+∞内有且仅有一个零点()02,3x ∈，在区间()1,+∞上利用二分法列表如下：区间中点0x 中点函数值()0f x 区间长度()2,352.52=502f ⎛⎫< ⎪⎝⎭15,32⎛⎫⎪⎝⎭112.754=1104f ⎛⎫> ⎪⎝⎭12511,24⎛⎫ ⎪⎝⎭212.6258=2108f ⎛⎫> ⎪⎝⎭14521,28⎛⎫ ⎪⎝⎭412.562516=41016f ⎛⎫< ⎪⎝⎭18此时解在区间4121,168⎛⎫⎪⎝⎭，此区间长度为116，111610<，满足精确度为0.1，故区间4121,168⎛⎫⎪⎝⎭，即()2.5625,2.625内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解，比如2.6是方程()0f x =在()1,+∞上的一个近似解．13．（23-24高一上·山东青岛·月考）已知()()ln 2,e xf x x xg x x =+-=+.(1)通过二分法且满足精确度为0.5，求方程()0f x =的近似解（精确到0.1）(2)设()()120,0f x g x ==，求证：12e x x ⋅>-.【答案】(1)1.5；(2)证明见解析.【解析】（1）由解析式知：()f x 在(0,)+∞上递增，()1ln11210f +-=-<=，()2ln 222ln 20f +-=>=，12322x +==，则33331ln 2ln 022222f ⎛⎫=+-=-==< ⎪⎝⎭，327224x +==，则1ln 2ln ln ln 0477774444f ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭，又7310.5424-=<，且|ln |ln ln ==216e 2401181256e <<，所以32x =更接近于零点，故方程()0f x =的近似解为1.5.（2）由题设21111222ln 2ln 2e 0ln()x x x x x x x x +==-⎧⎧⇒⎨⎨+=-=⎩⎩，故121212ln ln()ln()2x x x x x x +-=-=-+，且20x <，要证12e x x ⋅>-，只需1221x x -+<，即211x x <-，由（1）知137(,)24x ∈，显然211x x <-成立，综上，12e x x ⋅>-，得证.。