高中数学人教版必修用二分法求方程的近似解教案(系列一)

《4.5.2用二分法求方程的近似解》教学设计教材内容：函数的零点与方程的解、零点的存在性定理、用二分法求方程的近似解是一个完整的利用函数方法研究和解决问题的过程。

通过本节课的学习不仅可以使学生掌握函数这一工具的具体用法，同时也揭示了解决问题的一般性过程。

这对于提高学生分析问题、解决问题的能力有着极为重要的作用。

教学目标：1.探索用二分法求方程近似解的思路.2.能借助计算工具用二分法求方程近似解.3.通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.4.通过本节内容的学习，使学生体会“逐步逼进”的方法，提升学生数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.教学重点与难点：1、教学重点：利用二分法求方程的近似解；2、教学难点：利用二分法求方程的近似解。

教学过程设计：1.二分法的形成1.1创设情境，引发思考【实际情境】在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长的线路大约有200多根电线杆子.如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，则可断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次若发现BD段正常，则故障在CD段，再到CD中点E来查.每查一次，可以把待查的线段缩减一半.问题1：上述情景中，工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的？【预设的答案】取中间、减半等。

问题2：如果把故障可能发生的范围缩小在200 m左右，至多需要爬几次电线杆子？【预设的答案】 6【设计意图】通过实例让学生初步接触二分法，了解二分法的一般步骤，让学生感知“生活处处是数学”。

1.2探究典例，形成概念活动：能否求出方程ln x＋2x－6=0的近似解？【活动预设】让学生自由发言，教师不做判断。

引导学生进一步观察，研探。

【设计意图】为引入二分法及一般步骤做铺垫.一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。

《用二分法求方程的近似解》教学设计一．教学目标情感态度和价值观目标：培养探索问题的能力和合作交流的精神，体会数学在实际生活中的应用价值，感受精确与近似的相对统一。

知识与技能目标：能够借助计算器用二分法求方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解二分法的步骤和思想。

过程与方法目标：进一步体会方程和函数的转化思想，在应用二分法求解方程的近似解的过程中，体会算法的思想和“逐步逼近”的思想。

二．教学重点掌握用二分法求给定方程的近似解三．教学难点二分法的概念，精确度的概念，二分法实施步骤中的算法思想四．教学准备（前置作业）五．教学过程精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

课题：用二分法求方程的近似解教材：人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书A》必修1一、教学目标：1、知识与技能目标：会用二分法求函数零点或方程根的近似解；知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的数学思想2、过程与方法目标：从猜眼镜价格的实例引入新课，激发学生的学习兴趣；通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索具体函数零点近似值的求法，体会二分法的具体过程和步骤。

3、情感、态度与价值观目标：通过本节课的学习，使学生经历逐渐逼近的思维过程，体验数学发现和创造的历程，体会数学知识与现实世界的联系，感受精确与相似的相对统一。

二、教学重点与难点1、重点：体会“二分法”的基本思想2、难点：对用二分法求函数零点近似解的一般步骤的概括和理解；对精确度要求的理解。

三、教学方法与手段本节课采用“问题教学”模式及“引导——探究”法，充分发挥多媒体的作用，通过创设问题情境，引导学生主动参与学习过程。

（1）、函数的零点：（2）、函数零点的求法：（3）、零点存在性定理：复习不仅是知识的回顾，更重要的是帮助学生构建清晰的知识脉络，以及为后面的学习作好铺垫。

由之前的例1，我们已经知道函数6x=xf在区间（2，3）内有零+x2(-ln)点。

如何找出这个零点？3、设置情境（请一位戴眼镜的同学上讲台，在一张纸上写出他的眼镜的价格，告知学生价格的范围，让学生猜价格。

）游戏：请你模仿李咏主持一下幸运52，请同学们猜一下下面这副眼镜的价格。

思考：如何做才能以最快的速度猜出它的价格？从实际生活提出问题体现数学源于生活，激发学生学习兴趣1、提问：利用我们猜价格的方法，你能否求解方程062ln =-+x x ？如果能求解的话，怎么去解？你能用函数的零点的性质吗？ 问题链的设置，可以更好地引导学生利用猜价格时一分为二的思想解决问题，培养学生勇于探索、合作交流的精神。

2、借助EXCEL ，计算函数62ln )(-+=x x x f 的函数值，引导学生填写事先设置好的表格。

3.1.2 用二分法求方程的近似解教学设计一、分析教材与学情本节课是新课标教材中新增的内容，要求学生根据具体的函数及其图象，借助计算器用二分法求相应方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系。

它既是本册书中的重点内容之一，又是对函数知识的拓展，同时既体现了函数在解方程中的重要应用，又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想奠定了基础。

学生在学习本节内容的时候可能会对二分法的本质理解不够透彻，对精确度的理解会有困难；另外数值计算较为复杂，对获得给定精确度的近似解增加了难度。

在学习本节内容之前已经学习了“方程的根与函数的零点”，理解了函数图象与方程的根之间的关系，已经具有一定的数形结合思想，为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识，在此基础上再介绍求函数零点近似值的二分法，并在总结用二分法求函数零点步骤中渗透算法思想，为学生继续学习算法内容埋下伏笔。

同时本节内容也能令学生形成正确的数学观，激发学生的学习兴趣，倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，培养学生自主学习的学习习惯。

二、教学设计思路用二分法求方程的近似解是函数零点性质的应用，它蕴含了数值逼近的思想、算法思想（必修3）以及数形结合思想。

随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用。

新教材有目的、有意识地将算法思想渗透在此，是为了让学生体会算法、逼近等思想方法在解决问题和培养理性思维中的意义和作用。

基于新课程的基本理念和课程目标，结合本节课的教学内容，整理出本节课的教学流程：1运用逼近思想逐步缩小区间，最后找出其近似解让学生体会求近似解的完整过程我认为这样的设计基本上把握了本节课的教学内容和结构体系，能够根据教学要求，从学生的实际出发，创设学生熟悉的教学情境；通过设计富有情趣的教学活动，如设计“八枚金币中仅有一枚较轻，给你一台天平，怎样找出那一枚较合理？为什么？”这样的贴近生活的问题，让每个学生动手、动口、动脑，积极参与数学的学习过程。

3.1.3 用二分法求方程的近似解（一）教学目标1．知识与技能掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤，会用二分法求方程的近似解.2．过程与方法体会通过取区间中点，应用零点存在性定理，逐步缩小零点所属区间的范围，而获得零点的近似值即方程的近似解的过程中理解二分法的基本思想，渗透算法思想.3．情感、态度及价值观在灵活调整算法，在由特殊到一般的认识过程中，养成良好的学习品质和思维品质，享受数学的无穷魅力.（二）教学重点与难点重点：用二分法求方程的近似解；难点：二分法原理的理解（三）教学方法讲授法与合作交流相结合，通过老师恰当合理的讲授，师生之间默切的合作交流，认识二分法、理解二分法的实质，从而能应用二分法研究问题，达到知能有机结合的最优结果.教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题引入课题1问题：一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根.但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，而没有公式. 求根：如何求得方程的根呢？①函数f (x) = ln x + 2x–6在区间(2，3)内有零点.②如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.③通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.④取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈–0.084.因为f(2.5)·f (3)＜0，所以零点在区间(2.5，3)内.师：怎样求方程ln x + 2x– 6 = 0的根.引导：观察图形生：方程的根在(2，3)区间内师：能否用缩小区间的方法逼近方程的根生：应该可用师：我们现用一种常见的数学方法—二分法，共同探究已知方程的根.师生合作，借助计算机探求方程根的近似值.区间中点的值中点函数近似值(2,3) 2.5 –0.084(2.5,3) 2.75 0.512(2.5,2.75) 2.625 0.215(2.5,2.625) 2.5625 0.066由旧到新设疑、析疑导入课题，实例分析了解二分法、进一步师生合作尝试二分法.∈(a，c))；③若f (c)·f (b)＜0，则令a = c(此时零点x0∈(c，b)).（4）判断是否达到精确度ε：即若|a–b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复2~4.应用举例例 1 借助计算器或计算机用二分法求方程2x +3x = 7的近似解(精确度0.1).师生合作应用二分法，遵循二分法的步骤求解，并借助函数图象检验.例1 解：原方程即2x + 3x–7 = 0，令f(x) = 2x + 3x–7，用计算器或计算机作出函数f (x) = 2x + 3x–7的对应值表与图象x0 1 2 3 4f(x)=2x+3x–7 –6 –2 3 10 21x 5 6 7 8f(x)=2x+3x–7 40 75 142 273观察图或表可知f(1)·f(2)＜0，说明这个函数在区间(1，2)内有零点x0.取区间(1，2)的中点x1=1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)＜0,所以x0∈(1，1.5).再取(1，1.5)的中点x2=1.25，用计算器算得f(1.25)≈–0.87.因为f(1.25)·f(1.5)＜0,所以x0∈(1.25，1.5).同理可得x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375，1.4375)由于|1.375–1.4375| = 0.0625＜0.1，所以，原方程的近似解可取为1.4375.尝试体验二分法，培养应用二分法从而固化基本理论技能巩固练习1．借助计算器或计算机，用二分法求函数f(x) =x3 + 1.1x2 + 0.9x– 1.4在区间(0，1)内的零点学生动手尝试练习，师生借助计算机合作完成求解.1．解：由题设可知f(0)= –1.4＜0，f(1)=1.6＞0，于是f(0)·f(1)＜0，所以，函数f(x)在区间(0，1)内有一个零进一步体验二分法，巩固应用二分法的方法与技巧及注意备选例题例1 用二分法求函数f (x) = x3– 3的一个正实数零点(精确到0.1).【解析】由于f (1) = –2＜0，f (2) = 5＞0，因此可以确定区间[1，2]作为计算的由上表的计算可知区间[1.4375，1.4453125]的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是1.4，所以1.4可作为所求函数的一个正实数零点的近似值.。

用二分法求方程的近似解一、教学内容分析本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修一》人教A版第三单元第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系。

教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系。

然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图像和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面的体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系。

本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解。

它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间为依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念。

求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据。

二、学生学习情况分析同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法。

其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”。

三、设计理念本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生数学的提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程。

《用二分法求方程的近似解》教学设计教学目标(1)通过对二分法原理的学习和探究，帮助学生形成用函数的观点处理方程问题的意识； (2)通过对二分法基本原理的介绍，探索用二分法求近似解的思路和步骤，体会从特殊到一般的数学思维过程，感悟数学的极限思想.教学重点与难点(1)教学重点：理解二分法的基本原理，用二分法求方程近似解的思路与步骤； (2)教学难点：用二分法求方程近似解的算法，以及对精确度的理解.教学过程环节 教 师 教 学 与 学 生 活 动 设 计 意 图创 设 情 境 渗 透 数 学 思 想游戏环节：猜猜华为音响的价格（学生活动）游戏反思环节（师生活动）问题1：商品价格“600-800”提示有什么作用？问题2：“多了”“少了”的提示在竞猜过程中起了什么作用？问题3：条件“误差不超过10元”,如何理解？ 问题4：怎样快速猜出商品价格？结合现实生活中实例创设情境，以能激发学生兴趣的华为音箱价格竞猜入手导入，激发了学生学习的兴趣，轻松的引入本节课的学习，在热烈的气氛中，让学生不知不觉地进入数学教学的情境中.在游戏反思环节，通过问题串引导学生用二分法的思想将商品价格的范围不断缩小，从而猜测出华为音箱的价格，有效地渗透了数学逼近思想.探究新 知 从实际问题转 入 数 学问题探究新知1（老师活动）生活中有大量近似值的存在，比如食品外包装的净重量；电影《攀登者》中海拔与大气压之间的关系等等，所以我们有必要研究方程的近似解.不管是在现实生活中，还是在科学决策中，都存在着大量取近似值的问题，所以我们有必要研究方程的近似解.同时也使学生感受到数学就在身边，体会到数学的价值，激发他们学习数学的积极性，增强数学情感.探究新知2（师生活动）：问题引导，类比猜商品价格的方式求方程的近似解引入问题：对比两个方程的求解追问1：估算方程lnx +2x −6=0的解的大致范围？追问2：能不能缩小函数f (x )=lnx +2x −6零点的范围学生活动：借助计算器求方程的近似解 （画表格进行计算） 次数 2a b+()2a bf +取a 取b |a -b | 1 2.5 -0.084 2.5 3 0.5 2 2.75 0.512 2.5 2.75 0.25 3 2.625 0.215 2.5 2.625 0.125 42.56250.0662.52.5625 0.063得出：当|a -b |<0.1时，终止计算.从特殊方程出发，对比两个方程，一个方程可以快速求出解, 而另一个方程无法求出准确值，所以我们有必要研究第二个方程的近似解.类比游戏环节，要求方程的近似解，先求方程解的范围，借助函数零点与方程的解的关系，将方程的解转化为函数的零点，再利用零点存在定理，估算函数零点的初始范围.再次类比游戏环节，借助数形结合和逼近的思想，利用二分法不断地去缩小零点的范围.此时主要是学生的活动，借助手中的计算器，利用零点存在定理和二分法原理缩小零点范围.再次类比游戏环节，引入了本节课的难点精确度的概追问3：怎么结束运算？念,为了很好的理解这个概念，借助数轴让学生感受准确值与近似值差的绝对值小于零点所在范围很难实现，进而转化为准确值所在区间的长度小于精确度，从而结束运算.认识新知归纳步骤老师活动：给出二分法的定义二分法：对于在区间[a,b]上连续不断，且满足f(a)∙f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．学生活动：分析定义中的关键词并归纳二分法的步骤二分法及步骤：给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：1．确定零点所在区间[a,b]，验证f(a)∙f(b)<0，给定精度ε；2．求区间(a,b)的中点x1；3．计算f(x1)：若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；若f(a)∙f(x1)<0，则令b=x1（此时零点x0∈(a,x1)）；若f(b)∙f(x1)<0，则令a=x1（此时零点x0∈(x1,b)）；4．判断是否达到精度ε；即若|a−b|<ε，则得到零点零点值a（或b）；否则重复上述步骤.1.通过游戏和求特殊方程近似解的探究，由老师讲解介绍二分法，学生归纳二分法解决问题的一般步骤,让学生从特殊到一般得出求函数零点近似解的的常用方法.2.培养学生提炼方法，归纳概括的能力，并会学以至用，渗透从特殊到一般的数学思想.合作共赢学生活动：合作共赢，巩固新知1.设计求近似解的合作共赢环节，再次强调使用二分法的程序性，体现了从一般到特殊的演绎推理的过程.2.通过学生的讲解，老师了解学生掌握的情况，用学生的思维给学生讲解更通俗易懂，同时也激发了学生学习的兴趣，调动了学生学习的积极性和主动性.应用新知学生活动：应用新知1.利用课堂练习巩固所学的知识内容、数学思想、数学方法以求达到教学目标；2.本环节老师提问，让学生起来回答问题，多给学生自主活动的空间.思想方法总结1.化归与转化的思想；2.函数与方程的思想；3.数形结合的思想：从数到形：方程的解，函数的零点，函数图象与x轴的交点；从形到数：交点的坐标，数轴上的区间，表格数据，二分法的形成;4.逼近的思想；通过问题的呈现式，引导学生归纳总结这堂课所学内容.。

《用二分法求方程的近似解》教材分析本节是人教A版《普通高中标准试验教科书·数学1（必修）》第三章“函数的应用”中第一节“函数与方程”的第二节课内容，是在学习了集合与函数概念、基本初等函数后，研究函数与方程关系的内容。

本节课的教学内容是：结合函数大致图象，能够借助计算器用二分法求出相应方程的近似解，理解二分法的思想及了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

本节内容是新教材中新增的内容。

在初中，学生学习了简单的一元一次方程和一元二次方程等简单方程的求根问题，但是实际问题中，有具体求根公式的方程是很少的。

对于这类方程，我们只能根据根的存在性定理判断根的存在，在利用二分法可以求出方程给定精确度的近似解。

经过本节内容的学习，将使学生更加深入理解函数与方程的数学思想。

教学目标【知识与能力目标】通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，会用二分法求解具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用，体会程序化解决问题的思想．【过程与方法】借助计算器求二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做准备．【情感、态度与价值观】通过探究体验、展示、交流养成良好的学习品质，增强合作意识。

通过体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．教学重难点【教学重点】过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．【教学难点】恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．课前准备多媒体课件、教具等．教学过程一、问题引入实际问题：某个雷电交加的夜晚，医院的医生正在抢救一个危重病人，忽然电停了。

据了解原因是供电站到医院的某处线路出现了故障，维修工，如何迅速查出故障所在? (线路长10km ，每50m 一棵电线杆）如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。