2021届题型、考点扫盲卷 第七章A3

一、单选题1. 设，其中为自然对数的底数，则（）A．B．C．D．2. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则谷雨日影长为（）A．3.5尺B．4.5尺C．5.5尺D．6.5尺3. 若，则（）A．B．C．D．4. 年发现了指数与对数的互逆关系：当，时，等价于.若，，，则的值约为（）A．B．C．D．5. 设函数，，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．6. 过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（）A．B．C．D．7. 如图，矩形ABCD是圆柱的轴截面，，，点E在上底面圆周上，且，则异面直线AE与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8. 函数在区间[－1，1]上的最大值是A．4B．2C．0D．－29. 将函数图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则的解析式为( )A．B．C．D．10. 欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，.得.根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11. 某售楼部对一周内每天的看房人数进行了统计，得到样本的茎叶图如图所示，则该样本的中位数、众数、平均数分别是（）A．22，23，23B．22，23，24C．23，23，22D．23，23，2412. 设集合，则 ( )A．B．C．D．13. 设命题，则为A．B．C．D．14. 已知数列满足，且，则的最小值是（）A．-15B．-14C．-11D．-615. 某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（）A．的数据较更集中B．C．甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于D．16. 如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小正三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小正三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基三角形.设是第n次挖去的小正三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小正三角形面积，是第2次挖去的三个小正三角形面积之和），则（）A．B．是等差数列C．二、多选题D ．前n次挖去的所有小正三角形面积之和为17. 已知双曲线（，），则不因改变而变化的是（ ）A ．焦距B ．离心率C ．顶点坐标D ．渐近线方程18. 如图，函数的图象称为牛顿三叉戟曲线，函数满足有3个零点，，，且，则（）A．B．C．D．19. 已知椭圆的左右焦点分别为，圆内切于椭圆.过椭圆上不与顶点重合的点引圆的两条切线，切点分别为，点关于原点对称，则下列结论中正确的是（ ）A ．的最小值为B ．存在点，使得C ．若直线交椭圆于两点，线段的中点为，则的值为常数D．若在轴上的射影是，直线交椭圆于另一点，则直线与不垂直20.用符号表示不超过的最大整数，例如：，.设有3个不同的零点，，，则（ ）A ．是的一个零点B．C ．的取值范围是D ．若，则的范围是.21.已知圆：与圆：，则下列说法正确的是（ ）A ．若圆与x轴相切，则B ．直线与圆始终有两个交点C ．若，则圆与圆相离D ．若圆与圆存在公共弦，则公共弦所在的直线方程为22. 虚数的平方一定不是（ ）A ．正实数B ．零C ．负实数D ．虚数23.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A．函数的一个周期为－2πB．函数图像的一条对称轴为直线C．函数的单调递减区间为（）D ．将函数的图像上所有点的横坐标扩大为原来的3倍，纵坐标不变得到函数的图像，则为函数图像的一个对称中心三、填空题四、解答题24.已知曲线在点处的切线与曲线相切于点，则下列结论正确的是（ ）A ．函数有2个零点B ．函数在上单调递增C．D．25. 已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，点P 在双曲线上，，圆：，直线与圆O 相交于A ，C 两点，直线与圆O 相交于B ，D 两点.若四边形的面积为，则的离心率为______.26. 已知向量，向量，则与的夹角的大小为__________.27. 如图，正方体的棱长为4，点P ，Q ，R 分别在棱，，上，且，则三棱锥的体积为__________．28. 已知函数f (t )=（Ⅰ）将函数g(x )化简成Asin(ωx +φ)+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π]）的形式；（Ⅱ）求函数g(x )的值域．29. 化简求值：（1）（2）已知，，求的值；30.已知函数.(1)若的图象经过点，，且点恰好是的图象中距离点最近的最高点，试求的解析式；(2)若，且在上单调，在上恰有两个零点，求的取值范围.31. 计算求值：(1)；(2)已知，均为锐角，，，求的值．32. （1）化简；（2）计算.33. 已知函数.(1)求f （x ）的最小正周期和在的单调递增区间；五、解答题(2)已知，先化简后计算求值：34. 对哈尔滨市某高校随机抽取了100名大学生的月消费情况进行统计，并根据所得数据画出如下频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点）（1）请根据频率直方图估计该学生月消费的中位数和平均数；（2）根据频率分布直方图，现采用分层抽样的方法，在月消费不少于3000元的两组学生中抽取4人，若从这4人中随机选取2人，求2人不在同一组的概率．35. 如图，在四棱锥中，平面，底面满足，且，，三角形的面积为(1)画出平面和平面的交线，并说明理由(2)求点到平面的距离36. 在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为2的等边三角形，∠SCA =90°，D 为SA 的中点，SC =BD=2.(1)如图，过BD 画出三棱锥S —ABC 的一个截面，使得这个截面与侧面SAC 垂直，并进行证明；(2)求（1）中的截面将三棱锥S —ABC 分割成两个棱锥的体积之比.37. 如图，组合体由半个圆锥和一个三棱锥构成，其中是圆锥底面圆心，是圆弧上一点，满足是锐角，.（1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明；（2）在（1）中，若是中点，且，求直线与平面所成角的正弦值.六、解答题38. 某高校为了对2018年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学，从大一理工科新生中随机抽取40名，对他们2018年高考的数学分数进行分析，研究发现这40名新生的数学分数在内，且其频率满足（其中，）.(1)求的值；(2)请画出这40名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查4名该校的大一理工科新生，记调查的4名大一理工科新生中“高考数学分数不低于130分”的人数为随机变量，求的数学期望.39. 为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年月日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校中随机调查了名学生，得到如下统计表：时间人数(1)估计该校学生每日使用手机的时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；(2)用分层抽样的方法从使用手机时间在和的两组学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人来自不同组的概率．40. 已知函数在区间上有两个不同的零点.（1）求实数的取值范围;（2）求证:.41. 如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD =，∠BAD =90°．（Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD 与平面ABD所成角的正弦值．42.如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面内的射影恰好是的中点，且．七、解答题（1）求证：平面平面；（2）若二面角的余弦值为，求斜三棱柱的侧棱的长度．43. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面，为等边三角形，底面为梯形，，，.(1)若为的中点，求证：平面；(2)求点与平面的距离.44. 已知数列满足：.(1)证明：；(2)求证：.45. 已知函数，，其中e 为自然对数的底数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，有，求证：对，有；(3)若，且，求实数a 的取值范围．46. 2017年5月27日当今世界围棋排名第一的柯洁在与的人机大战中中盘弃子认输，至此柯洁与的三场比赛全部结束，柯洁三战全负，这次人机大战再次引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查，根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.（1）请根据已知条件完成下面列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关？非围棋迷围棋迷合计男女1055合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，数学期望和方差.独立性检查临界值表：0.500.40.250.150.10.050.0250.0100.0050.001…0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828…（参考公式：，其中）47. 某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理．现需决策此蛋糕店每天应该制作几个生日蛋糕，为此搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图，以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．（1）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕，①求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：个，）的函数解析式；②在当天的利润不低于750元的条件下，求当天需求量不低于18个的概率．（2）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的期望值为决定依据，判断应该制作16个是17个？48. 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每一列､每一个粗线宫()内的数字均含1﹣9，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.（1）赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度(秒)与训练天数(天)有关，经统计得到如表的数据：(天)1234567(秒)990990450320300240210现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒？参考数据(其中)18450.370.55参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.（2）小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率.49. 直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力贫困地区农民脱贫增收.某贫困地区有统计数据显示，2022年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示，若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，且“经常使用直播销售用户”中有是“年轻人”.(1)现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成2×2列联表，根据的独立性检验，能否认为经常使用网络直播销售与年龄有关？使用直播销售情况与年龄列联表年轻人非年轻人合计经常使用直播售用户不常使用直播销售用户合计(2)某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择：方案一：线下销售､根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为.方案二：线上直播销售.根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由.参考数据：独立性检验临界值表50. 某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销.定价为1000元/件.试销结束后统计得到该4S店这30天内的日销售量（单位：件）的数据如下表：日销售406080100量频数91263（1）若该4S店试销期间每个零件的进价为650元/件，求试销连续30天中该零件日销售总利润不低于24500元的频率；（2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有60件，批发价为550元/件；小箱每箱有45件，批发价为600元/件.该4S店决定每天批发两箱，根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S店.假设该4店试销后的连续30天的日销售量（单位：件）的数据如下表：日销售507090110量频数51582（ⅰ）设该4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱，这30天这款零件的总利润；（ⅱ）以总利润作为决策依据，该4S店试销结束后连续30天每天应该批发两大箱还是两小箱？51. 党的二十大胜利召开后，某校为调查性别因素对党史知识的了解情况是否有影响，随机抽查了男女教职工各100名，得到如下数据：不了解了解女职工3070男职工2080(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为对党史知识的了解情况与性别有关？(2)为了增进全体教职工对党史知识的了解，该校组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中，若第一支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第二支部答题，第二支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第二支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第一支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828。

2023届高考数学二轮复习常考题型大通关（全国卷理数） 解答题：解三角形1.在ABC △中，sin 3cos A B a b=． （1）求角B 的值；（2）如果2b =，求ABC △面积的最大值．2.已知ABC △的内角,,A B C 对应的边分别为,,,33cos sin a b c a c B b C =+.（1）求角C 的大小；（2）如图，设P 为ABC △内一点，1,2,PA PB ==且π,APB ACB ∠+∠=求AC BC +的最大值.3.如图,平面四边形ABCD 中,30CAD BAD ∠=∠=︒(1)若75,10ABC AB ∠=︒=,且//AC BD ,求CD 的长；(2)若10BC =,求AC AB +的取值范围.4.在ABC △中, ,,a b c 分别是角,,A B C 的对边, 且cos cos 2B b C a c=-+. (1)求角B 的大小;(2)若13b =4a c +=,求ABC △的面积.5.在 ABC △ 中, 角,,A B C 所对的边分别为,,,2a b c a =.(1)若sin 1sin sin A a b B C a c -=-+-求B ; (2) 若2c b =,当角B 最大时,求ABC △的面积.6.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知sinsin 2A C a b A +=. (1)求B ； (2)若ABC △为锐角三角形，且1c =，求ABC △面积的取值范围.7.已知ABC △的三个内角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c a c +=,2cos cos C B a c b-= (1)求b 的最小值;(2)若,2a b b <=,求πcos()6A +的值. 8.已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,)cos cos a B b A ac +=,且sin2sin A A =.(1)求A 及a ；(2)若2b c -=,求BC 边上的高.答案以及解析1.答案：解：（1）∵sin A a ∴ 由正弦定理知：sin sin a b A B =∴ sin B B =，即有tan B =∵ 0πB <<∴ π3B =．（2）∵ 由（1）知，sin B ，a A =，2π3A C =- ∴112π2sin 2sin sin sin 222233ABC S ab C C C C C C C π⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯=-⨯=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△π26C ⎛⎫++ ⎪⎝⎭．∴ ABC △∴ ABC △2.答案：（1）33cos sin a B b C =+，cos sin sin A C B B C =+，)cos sin sin B C C B B C +=+，cos sin cos )cos sin sin B C C B C B B C ++，cos sin sin ,tan B C B C C =∴=，又π(0,π),3C C ∈∴=. （2）由（1）与π,APB ACB ∠+∠=得2π3APB ∠=. 由余弦定理，得2222π2cos 14212cos73AB PA PB PA PB APB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 又22222cos ()3AB AC BC AC BC ACB AC BC AC BC =+-⋅∠=+-⋅222()()324AC BC AC BC AC BC ++⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 27AC BC ∴+（当且仅当AC BC =时取等号）.AC BC +∴的最大值为 3.答案：(1) 30,75CAD BAD ABC ︒︒=∠=∠=,可得45ACB ∠=,∴在ABC △中,由10sin 45sin60CB =,可得CB =在ABD △中, 30ADB BAD ∠∠==,10DB AB ==∴在BCD △中, 45510CD ==(2) 10AC AB BC +>=,22100cos602AB AC AB AC+-=⋅,可得2()1003AB AC AB AC +-=⋅, 而22AB AC AB AC +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭, 22()10032AB AC AB AC +-+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭, 20AB AC +≤,故AB AC +的取值范围为(]10,20.4.答案：(1)∵cos cos 2B b C a c =-+,∴由正弦定理得cos sin cos 2sin sin B B C A C =-+, 即2sin cos sin cos cos sin 0A B C B C B ++=,∴2sin cos sin()0A B B C ++=.∵B C A π+=-,∴2sin cos sin 0A B A +=.∵sin 0A ≠,∴1cos 2B =-. ∵(0,π)B ∈,∴2π3B =.(2)将b =4a c +=,2π3B =代入2222cos b a c ac B =+-得11216212ac ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭, ∴3ac =,∴11sin 322ABC S ac B ==⨯△5.答案：(1)因为sin 1sin sin A a b B C a c -=-+-,所以得sin sin sin A b c a B C a c b c-==+-+ 得:2220a c b ac +--=,1cos 2B ∴=,B 为三角形的内角,π3B ∴=. (2)在ABC △中,2222cos ,2b a c ac B c b =+-=所以243cos 8b B b +=b =时將取等号 此时ππ,62B C ==所以S . 6.答案：(1)由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A C A B A +=. 因为sin 0A ≠,所以sinsin 2A C B +=.由180A B C ++=︒,可得sin cos 22A CB +=,故cos 2sin cos 222B B B =. 因为cos 02B ≠,故1sin 22B ==,因此60B =︒.(2)由题设及(1)知ABC △的面积ABC S =△.由正弦定理得sin sin(120)1sin sin 2c A C a C C ︒-===+. 由于ABC △为锐角三角形,故090,090A C ︒<<︒︒<<︒.由(1)知120A C +=︒,所以3090C ︒<<︒,故122a <<,ABC S <△因此,ABC △面积的取值范围是⎝⎭. 7.答案：(1)由题意cos (2)cos b C a c B =-,由正弦定理可得sin cos (2sin sin )cos B C A C B =- 得 sin cos cos sin 2sin cos ,sin()2sin cos B C B C A B B C A B +=+= 因为 sin()sin(π)sin ,sin 0B C A A A +=-=≠ 所以1cos 2B =.因为0πB <<,所以 π3B = . 所以222229()3939324a c b a c ac a c ac ac +⎛⎫=+-=+-=-≥-= ⎪⎝⎭当且仅当 32a c ==时,等号成立,故b 的最小值为32.(2)因为,sin sin sin a b c a A A B C ===,c C =由3a c +=2πsin sin 33A A ⎤⎛⎫+-= ⎪⎥⎝⎭⎣⎦, 整理可得π3sin 64A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 又π,3a b B <=,π3A ∴<,故πππ662A <+<,所以πcos 6A ⎛⎫+== ⎪⎝⎭8.答案：(1))cos cos a B b A ac +=,根据正弦定理得,sin cos sin cos sin ,A B B A C +sin sin ,C C ∴=又因为sin 0,C ≠,a ∴=sin2sin ,2sin cos sin ,A A A A A =∴= 因为sin 0,A ≠所以1cos 2A =, (0,),.3A A π∈π∴= (2)由(1)知,.3a A π== 由余弦定理得2222cos ,abc bc A =+- 2227,7(),b c bc b c bc ∴=+-∴=-+ 因为2b c -=,所以74,bc =+所以 3.bc =设BC 边上的高为h .11sin 322ABC S bc A ∴==⨯△11,22ABC S ah =∴△h ∴即BC 边上的高为.。

2024年新高考英语高考真题考点分布汇总新高考全国II卷题号题型考点核心素养1听力获取具体信息what语言能力文化意识思维品质2获取具体信息what 3推断具体信息what 4获取具体信息where 5推断具体信息what 6推断具体信息where 7推断具体信息what 8获取具体信息why 9获取具体信息what time 10获取具体信息what 11推断具体信息why 12获取具体信息how many 13推断具体信息what 14获取具体信息how often 15获取具体信息what116对将要发生的事简单推断what 17获取具体信息why18获取具体信息what19获取具体信息what20获取具体信息what21阅读理解细节理解语言能力文化意识思维品质学习能力22细节理解23细节理解24推理判断25细节理解26细节理解27细节理解28推理判断29细节理解30推理判断31主旨大意32词义猜测233推理判断34细节理解35目的意图36七选五过渡句语言能力思维品质37总结句38过渡句39主旨句40过渡句41完形填空动词语言能力文化意识思维品质42动词43动词44动词45名词46形容词47动词48名词49名词350名词51动词52动词短语53动词54名词55动词56语法填空定语从句语言能力文化意识学习能力57名词58动词的时态和主谓一致59介词60非谓语动词61动词的时态、语态和主谓一致62名词63非谓语动词64非谓语动词65连词66应用文写作分享信：在公园上美术课的经历语言能力4思维品质67读后续写记叙文：协商解决车费支付问题语言能力思维品质52023年新高考英语真题考点分布汇总新高考全国II卷题号题型考点核心素养1听力对将要发生的事简单推断what文化意识2对将要发生的事简单推断what 3时间的推断when4对行为原因的简单推断why 5获取具体信息what6对行为原因的简单推断why 7获取具体信息what8地点的推断where9获取具体信息what10获取事实性具体信息what 11获取事实性具体信息what 12地点的推断where13获取具体信息what14获取事实性具体信息what 15获取事实性具体信息what6716获取具体信息what17判断说话人的观点和态度how…feelabout…?18获取具体信息what 19地点的推断where 20对行为原因的简单推断why21阅读理解细节理解文化意识22细节理解23细节理解24细节理解语言能力25细节理解26推理判断27段落大意28推理判断29细节理解30词义猜测31推理判断32细节理解33推理判断34推理判断35细节理解36七选五过渡句语言能力37总结句38主旨句39过渡句40过渡句41完形填空名词语言能力42名词43副词44动词45动词46动词短语47形容词48形容词849名词50动词短语51动词52动词53形容词54动词55形容词56语法填空名词语言能力57形容词58介词59冠词60非谓语动词61名词62表语从句引导词63副词64连词65动词时态966应用文写作建议信：对外教分组安排的意见和建议语言能力、文化意识、思维品质、学习能力67读后续写记叙文：移民学生努力学习写作，克服困难并获取成功语言能力、文化意识、思维品质、学习能力102022年新高考英语高考真题考点分布汇总新高考全国II卷题号题型考点核心素养1听力获取具体信息what文化意识2地点的推断where3获取具体信息what4对行为原因的简单推断why 5获取具体信息what6对行为原因的简单推断why 7时间的推断when8获取具体信息what9获取具体信息who10对数字及事实认定判断how much 11对行为原因的简单推断why 12获取具体信息what13对将要发生的事简单推断what 14获取具体信息what15对行为原因的简单推断why111216获取事实性具体信息what 17判断说话人的观点和态度what…thinkof…?18获取具体信息who 19地点的推断where 20获取事实性具体信息what21阅读理解细节理解文化意识22细节理解23推理判断24词义猜测语言能力25推理判断26细节理解27推理判断28推理判断29细节理解30词义猜测31段落大意32细节理解33细节理解34细节理解35推理判断36七选五主题句语言能力37过渡句38过渡句39过渡句40过渡句41完形填空副词语言能力42名词43形容词44形容词45名词46介词短语47名词48动词1349名词50动词51名词52名词53动词54动词55名词56语法填空非谓语动词语言能力57冠词58形容词59非谓语动词60副词61连词62谓语动词的时态和主谓一致63动词时态64名词所有格65特殊疑问词1466应用文写作邀请信：校广播站英语节目负责人邀请外教做访谈语言能力、文化意识、思维品质、学习能力67读后续写记叙文：残疾学生坚持参加跑步比赛语言能力、文化意识、思维品质、学习能力152021年新高考英语高考真题考点分布汇总新高考全国Ⅱ卷1听力对行为原因的简单推断why文化意识2获取具体信息what3获取事实性具体信息who4获取具体信息what5获取事实性具体信息what6时间的推断when7对数字及事实认定判断how much 8获取事实性具体信息what9获取具体信息what10获取事实性具体信息what11获取事实性具体信息what12获取具体信息what13地点的推断where14对行为原因的简单推断why15地点的推断where16对动作行为发生时间的推断what time1617人物身份推断what18获取事实性具体信息what 19对行为原因的简单推断why 20获取事实性具体信息what21阅读理解细节理解语言能力22细节理解23细节理解24细节理解25词句猜测26推理判断27细节理解28细节理解29推理判断30细节理解31主旨大意32细节理解33细节理解1734推理判断35推理判断36七选五过渡句语言能力37过渡句38主题句39过渡句40过渡句41完形填空动词语言能力42名词43名词44名词45动词46名词47名词48动词49动词50动词1851动词短语52名词53形容词54动词55名词56语法填空序数词语言能力57动词现在分词58动词不定式59定语从句60连词61形容词62动词过去分词63动词时态和主谓一致64名词65冠词66应用文写作短文：庆祝Youth创刊十周年语言能力、文化意识、思维品质、学习能力1967读后续写记叙文：母亲节这天，双胞胎为自己的母亲准备礼物的故事。

必刷07实验与探究高考试题1.（2021年全国统一高考全国乙卷·2）选择合适的试剂有助于达到实验目的。

下列关于生物学实验所用试剂的叙述，错误的是（）A. 鉴别细胞的死活时，台盼蓝能将代谢旺盛的动物细胞染成蓝色B. 观察根尖细胞有丝分裂中期的染色体，可用龙胆紫溶液使其着色C. 观察RNA在细胞中分布的实验中，盐酸处理可改变细胞膜的通透性D. 观察植物细胞吸水和失水时，可用蔗糖溶液处理紫色洋葱鳞片叶外表皮【答案】 A【解析】 1、细胞膜具有选择透过性，台盼蓝等不被细胞需要的大分子物质不能进入细胞内。

2、染色质（体）主要由蛋白质和DNA组成，易被碱性染料（龙胆紫、醋酸洋红等）染成深色而得名。

3、在“观察DNA和RNA在细胞中的分布”实验中∶（1）用质量分数为0.9%的NaCl溶液保持细胞原有的形态﹔（2）用质量分数为8%的盐酸改变细胞膜的通透性，加速染色剂进入细胞，将染色体上的DNA和蛋白质分离，便于染色剂与DNA结合；（3）用吡罗红-甲基绿染色剂对DNA和RNA进行染色。

2．(2021·全国乙，5)在格里菲思所做的肺炎双球菌转化实验中，无毒性的R型活细菌与被加热杀死的S型细菌混合后注射到小鼠体内，从小鼠体内分离出了有毒性的S型活细菌。

某同学根据上述实验，结合现有生物学知识所做的下列推测中，不合理的是( )A．与R型细菌相比，S型细菌的毒性可能与荚膜多糖有关B．S型细菌的DNA能够进入R型细菌细胞指导蛋白质的合成C．加热杀死S型细菌使其蛋白质功能丧失而DNA功能可能不受影响D．将S型细菌的DNA经DNA酶处理后与R型细菌混合，可以得到S型细菌【答案】D【解析】与R型细菌相比，S型细菌具有荚膜多糖，S型细菌有毒，故可推测S型细菌的毒性可能与荚膜多糖有关，A正确；S型细菌的DNA进入R型细菌细胞后使R型细菌具有了S 型细菌的性状，可知S型细菌的DNA进入R型细菌细胞后指导蛋白质的合成，B正确；加热杀死的S型细菌不会使小鼠死亡，说明加热杀死的S型细菌的蛋白质功能丧失，而加热杀死的S型细菌的DNA可以使R型细菌发生转化，可知其DNA功能不受影响，C正确；将S型细菌的DNA经DNA酶处理后，DNA被水解为小分子物质，故与R型细菌混合，不能得到S型细菌，D错误。

2022届高考数学二轮复习常考题型大通关（全国卷理数）选择题：数列1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a ++⋅⋅⋅+=()A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+2.已知等差数列{}n a 中，79416,1a a a +==，则12a 的值是()A ．15B ．30C ．31D ．643.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表,第一行为1,第二行为3,5,第三行为7,9,11,第四行为13,15,17,19,如图所示,在宝塔形数表中位于第i 行,第j 列的数记为,i j a ,比如3,24,25,49,15,23a a a ===,若,2017i j a =,则i j +=()A.64B.65C.71D.724.已知{}n a 为等差数列,若3489a a a ++=,则9S =()A.24B.27C.36D.545.已知{}n a 是等差数列,且34784,8a a a a +=-+=-,则这个数列的前10项和等于()A.16- B.30- C.32- D.60-6.已知等差数列{}n a 满足3456790a a a a a ++++=，则28a a +等于（）A.18B.30C.36D.457.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若14611,6a a a =-+=-,则当n S 取最小值时,n 等于（）A.6B.7C.8D.58.等差数列{}n a 中,已知611||||a a =,且公差0d >,则其前n 项和取最小值时n 的值为()A.6B.7C.8D.99.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a aa a a++++的值为（）A ．914B ．1115C ．1316D ．151710.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：有一人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，则此人第二天走的路程为（）A ．96里B ．189里C ．192里D ．288里11.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若23a a ＝89，5a ＝163，则()A ．23nn a ＝B ．13n n a －＝C ．312nn S －＝D ．213n n S -=12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n S a =-，则{}n a 的通项公式n a =（）A ．21n -B ．12n -C ．21n-D ．21n +13.等比数列{}n a 各项均为正数,若12118,n n n a a a a ++=+=,则{}n a 的前6项和为()A.1365B.63C.6332D.1365102414.已知等比数列{}n a 的各项都为正数，当2n 时，22222n n a a -=，设2log n n b a =，数列()21(1)1nn n n b b ⎧⎫+⎪⎪-⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S =()A.20202021B.20202021-C.20192020-D.2019202015.化简式子11111+++12233445(1)n n ++=⨯⨯⨯⨯+ ()A.n +11B.n n -+11C.n n +1 D.n n-1答案以及解析1.答案：B解析：{}n a ∵是各项均为正数的等比数列，4756a a a a =∴又475618a a a a +=,47569a a a a ==∴110293847569a a a a a a a a a a =====∴()3132310312310log log log log a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅∴51033log 9log 310===2.答案：A解析：由等差数列的性质得，79412a a a a +=+，∵79416,1a a a +==，∴1279415a a a a =+-=.故选A.3.答案：D解析：按照蛇形排列,第1行到第i 行末共有(1)122i i i ++++=个奇数,则第1行到第44行末共有990个奇数;第1行到第45行末共有1035个奇数;则2017位于第45行;而第45行是从右到左依次递增,且共有45个奇数;故2017位于第45行,从右到左第19列,则45,2772i j i j ==⇒+=,故选D4.答案：B解析：根据等差数列的通项公式,我们根据3489a a a ++=,易求也53a =,由等差数列的前 n 项和公式,我们易得()91992S a a =+,结合等差数列的性质“当2q m n =+时,2a q =a m +a n ”,得()1952a a a +=,即可得到答案.解:设等差数列{}n a 的公差为 d ,3489a a a ++= ()()()1112379a d a d a d ∴+++++=即()1349a d +=143a d ∴+=即53a =又()919992S a a =+=527a =5.答案：B解析：通解设{}n a 的公差为d ,则341781254,2138,a a a d a a a d +=+=-⎧⎨+=+=-⎩解得13,41,2a d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以{}n a 的前10项和10310911030422S ⨯⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选B.优解因为数列{}n a 是等差数列,所以374856,22a a a a a a ++==,所以34785662a a a a a a ++++==-,所以{}n a 的前10项和()()110561*********a a a a S ++===-.故选B.6.答案：C解析：因为等差数列{}n a 满足3456790a a a a a ++++=，所以由题55590,18a a ==，285236a a a +==.7.答案：A解析：465676320,0a a a d a a +=-∴=-∴∴<>=，所以6S 最小8.答案：C解析：由0d >可得等差数列{}n a 是递增数列,又611||||a a =,所以611a a -=,即11510a d a d --=+,所以1152d a =-,则890,022d da a =-<=>,所以前8项和为前n 项和的最小值,故选C.9.答案：C解析：等差数列{}n a 中，因为139,,a a a 成等比数列，所以有2319a a a =⋅，即()()211128a d a a d +=⋅+，解得1d a =，所以该等差数列的通项为n a nd =，则1392410(139)13(2410)16a a a d a a a d ++++==++++，故选C ．10.答案：A 解析：111113782481632x x x x x x +++++=,解得192x =，故962x =.11.答案：D解析：设公比为q ,有2314189163a q a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1132a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则1(12)213123n n n S --==-.12.答案：B解析：当1n =时，111121,1S a a a =-=∴=，当2n ≥时，11122,2n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-∴=，因此12n n a -=13.答案：B解析：设公比为(0).q q >218,n n n a a a +++= 228,n n n a q a q a ∴+=228,q q ∴+=解得2q =或4q =-(舍)，661(12)63,12S ⨯-∴==-故选B.14.答案：B解析： 数列{}n a 是各项都为正数的等比数列，∴当2n 时，222222n n na a a -==，2(2)n n a n ∴= ，又{}n a 为等比数列，*22,,log n n n n a n b a n ∴=∈∴==N ，()212111(1)(1)(1)1(1)1nn n n n n n b b n n n n ++⎛⎫∴-=-=-+ ⎪+++⎝⎭，2020111111122320192020S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+++--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111202012020202120212021⎛⎫+=-+=- ⎪⎝⎭，故选B.15.答案：C 解析：()n n n n =-++111∵11()n n +++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯+1111∴1223341n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111122334111。

(名师选题)全国通用版高中数学第七章复数考点题型与解题方法单选题1、已知下列三个命题：①若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数；②z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数；③复数z是实数的充要条件是z=z.则其中正确命题的个数为A．0个B．1个C．2个D．3个答案：C解析：运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.对于①中复数z1和z2的模相等,例如z1=1+i,z2=√2i,则z1和z2是共轭复数是错误的;对于②z1和z2都是复数,若z1+z2是虚数,则其实部互为相反数,则z1不是z2的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z是实数,令z=a,则z̅=a所以z=z̅,反之当z=z̅时,亦有复数z是实数,故复数z是实数的充要条件是z=z̅是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C小提示：本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.2、已知i为虚数单位，则i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2021=（）A．i B．−i C．1D．-1答案：A分析：根据虚数的运算性质，得到i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0，得到i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2021=i2021，即可求解.根据虚数的性质知i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=1+i−1−i=0，所以i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2021=505×0+i2021=i.故选：A.3、已知复数z满足z−z=2i，则z的虚部是（）A．−1B．1C．−i D．i答案：A分析：设z=a+bi(a,b∈R)，根据z−z=2i，求得b=−1，即可求得复数z的虚部，得到答案.设z=a+bi(a,b∈R)，因为z−z=2i，可得z−z=a−bi−(a+bi)=−2bi=2i，则−2b=2，可得b=−1，所以复数z的虚部是−1.故选：A小提示：关键点点睛：本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数相等的应用，其中解答中熟记复数相等的条件是解答的关键，属于基础题.4、已知复数z对应的点在第二象限，z为z的共轭复数，有下列关于z的四个命题：甲：z+z=−2；乙：z−z=2i；丙：z⋅z=4；丁：z÷z=−12−√32i．如果只有一个假命题，则该命题是（）A．甲B．乙C．丙D．丁答案：B分析：设z=a+b i,z=a−b i，根据复数所在象限、复数加法、减法、乘法和除法，结合“只有一个假命题”进行分析，由此确定正确选项.设z=a+b i,z=a−b i，由于z对应点在第二象限，所以a<0,b>0，z+z=2a<0，z−z=2b i，z⋅z=a2+b2，z =a+b ia−b i=(a+b i)2(a−b i)(a+b i)=a2−b2+2ab ia2+b2=a2−b2a2+b2+2aba2+b2i.甲⇒2a=−2,a=−1，乙⇒2b=2,b=1，丙⇒a2+b2=4，丁⇒a 2−b2a2+b2=−12,2aba2+b2=−√32⇒b=−√3a，由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，b的值应为√3. 故选：B5、若i(1−z)=1，则z+z̅=（）A．−2B．−1C．1D．2答案：D分析：利用复数的除法可求z，从而可求z+z̅.由题设有1−z=1i =ii2=−i，故z=1+i，故z+z̅=(1+i)+(1−i)=2，故选：D6、3+i1−3i=（）A．1B．−1C．i D．−i答案：C解析：根据复数运算将分之分母同乘以1+3i，化简即可得出答案.解：3+i1−3i =(3+i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=3+3i2+10i10=3−3+10i10=i.故选：C.小提示：复数乘除法运算技巧：（1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．（2）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．7、在复平面内，把复数3−√3i对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是()A ．2√3B ．−2√3iC ．√3−3iD ．3+√3i答案：B分析：由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果．解：∵由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，∴旋转后的向量为(3−√3i )[cos(−π3)+i sin(−π3)]=(3−√3i )(12−√3i 2)=32−3√3i 2−√3i 2+3i 22=−2√3i ．故选：B ．8、设2(z +z )+3(z −z )=4+6i ，则z =（ ）A ．1−2iB ．1+2iC ．1+iD ．1−i答案：C分析：设z =a +bi ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .设z =a +bi ，则z =a −bi ，则2(z +z )+3(z −z )=4a +6bi =4+6i ，所以，{4a =46b =6，解得a =b =1，因此，z =1+i . 故选：C.9、若复数z 满足z(1−2i )=5，则（ ）A ．z =1−2iB ．z +1是纯虚数C ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限D ．若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，则cos α=√55 答案：D分析：利用复数的除法求复数z 及对应点坐标，并确定所在的象限，结合各选项描述判断正误.由题设，z=51−2i=1+2i且对应点在第一象限，A、C错误；z+1=2+2i不是纯虚数，B错误；由z在复平面内对应的点为(1,2)，所以cosα=√55，D正确.故选：D10、已知复数z满足(z−i)(2+i)=6−2i，则|z|=（）A．√3B．2C．√5D．√6答案：C分析：利用复数的运算先求z，再利用复数的模长公式求解. 因为(z−i)(2+i)=6−2i，所以z=6−2i2+i +i=(6−2i)(2−i)(2+i)(2−i)+i，=2−2i+i=2−i，所以|z|=√22+(−1)2=√5.故选：C.11、欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ(e为自然底数，i为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名､最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数e2i在复平面内对应点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B分析：根据欧拉公式有e2i=cos2+isin2，判断cos2, sin2即可确定e2i对应点所在象限.由题意知：e2i=cos2+isin2，而π2<2<π，∴cos2<0, sin2>0，故e2i对应点在第二象限.故选：B12、已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（）A．1B．–1C．2D．–2答案：C分析：根据复数为实数列式求解即可.因为(a−1)+(a−2)i为实数，所以a−2=0，∴a=2，故选：C小提示：本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.填空题13、已知|z|=1，则|z−1+√3i|的最小值是_________．答案：1解析：由|z|=1，得z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为r=1的圆上．|z−1+√3i|=|z−(1−√3i)|，表示Z到点1−√3i所对应的点P(1，−√3)的距离，求出|OP|后减去半径可得最小值．解：因为|z|=1，所以z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为r=1的圆上．|z−1+√3i|=|z−(1−√3i)|，表示Z到点1−√3i所对应的点P(1，−√3)的距离，∵|OP|=√1+3=2，所以|PZ|min=|OP|−r=1．故答案为1．小提示：方法点睛：本题考查复数模的几何意义，|z|表示复平面上z对应的点Z到原点的距离，|z−z0|表示z 在复平面上z对应的点Z与z0对应的点Z0间的距离．因此有|z−z0|=r表示z0对应的点为圆心，r为半径的圆．14、如果复数z满足|z+i|+|z−i|=2，那么|z+i+1|的最小值是________．答案：1分析：由|z+i|+|z−i|=2的几何意义得z对应复平面的点(a,b)的轨迹为线段AB，再由|z+i+1|的几何意义为复平面内点(a,b)到点(−1,−1)的距离，数形结合即可求出最小值.设z=a+bi，则|z+i|+|z−i|=|z−(−i)|+|z−i|=2的几何意义为复平面内点(a,b)到点(0,−1)及点(0,1)的距离和为2，又1−(−1)=2，设点A(0,−1)和点B(0,1)，则点(a,b)的轨迹为线段AB，又|z+i+1|=|z−[(−1)+(−i)]|的几何意义为复平面内点(a,b)到点(−1,−1)的距离，设P(−1,−1)，结合图像可知，当z=−i时，|z+i+1|的最小值为1.所以答案是：1.15、i是虚数单位，(√21−i )2020＋(1+i1−i)6＝________.答案：－2分析：按照复数除法、乘方运算法则计算即可.(√21−i)2=2−2i=−i(−i)2=i1+i 1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=i(√2 1−i )2020＋(1+i1−i)6＝i1010+i6=(−1)505+(−1)3=−2所以答案是：−216、已知i是虚数单位，化简11−3i1+2i的结果为_______．答案：1−5i##−5i+1分析：根据复数代数形式的运算法则即可解出．11−3i 1+2i =(11−3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=11−6−25i5=1−5i．所以答案是：1−5i．17、已知复数z1=1+3i，z2=t+i（i为虚数单位），且z1⋅z̅2是实数，则实数t=___________.答案：13分析：由共轭复数定义和复数乘法运算可求得z1⋅z̅2，利用实数定义可构造方程求得t.∵z1⋅z̅2=(1+3i)⋅(t−i)=(t+3)+(3t−1)i为实数，∴3t−1=0，解得：t=13.所以答案是：13.解答题18、求tan θ，使得复数z=cos2θ+(tan2θ−tanθ−2)i是：（1）实数（2）纯虚数.（3）零.答案：（1）2；（2）1；（3）-1.分析：由复数的代数形式，结合其所代表的复数类型，列方程组求tanθ即可.（1）由题意，tan2θ−tanθ−2=0，得tanθ=−1或tanθ=2.（2）由题意，{cos2θ=0tan2θ−tanθ−2≠0，得{cos2θ=sin2θ(tanθ+1)(tanθ−2)≠0，即{tan2θ=1(tanθ+1)(tanθ−2)≠0，解得tanθ=1.（3）由题意，{cos2θ=0tan2θ−tanθ−2=0，得{cos2θ=sin2θ(tanθ+1)(tanθ−2)=0，即{tan2θ=1(tanθ+1)(tanθ−2)=0，解得tanθ=−1.19、已知i是虚数单位，设复数z满足|z−2|=2.（1）求|z+1−4i|的最小值与最大值；（2）若z+4z为实数，求z的值.答案：（1）最大值为7，最小值为3.（2）见解析解析：（1）根据题意|z −2|=2，可知z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，|z +1−4i |表示点(x,y)到(−1,4)的距离，结合几何意义求得结果；（2）根据z +4z 为实数，列出等量关系式，求得结果.（1）设z =x +yi ，根据|z −2|=2，所以有(x −2)2+y 2=4，所以z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，所以|z +1−4i |=|(x +1)+(y −4)i |=√(x +1)2+(y −4)2，其表示点(x,y)到(−1,4)的距离，所以其最大值为圆心(2,0)到(−1,4)的距离加半径，最小值为圆心(2,0)到(−1,4)的距离减半径，所以最大值为√(2+1)2+42+2=7，最小值为√(2+1)2+42−2=3；（2）z +4z =x +yi +4x+yi =x +yi +4(x−yi)x 2+y 2=(x +4x x 2+y 2)+(y −4y x 2+y 2)i ， 因为z +4z为实数，所以y −4y x 2+y 2=0， 即y(1−4x 2+y 2)=0，所以y =0或x 2+y 2=4，又因为(x −2)2+y 2=4，所以{x =0y =0 （舍去），{x =4y =0 ，{x =1y =√3 ，{x =1y =−√3， 所以z =4或z =1+√3i 或z =1−√3i .小提示：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有根据几何意义有模的最值，根据复数为实数求复数的值，属于简单题目.20、已知a ∈R ，b ∈R ，方程x 2+ax +b =0的一个根为1−i ，复数z 1=a +b i ，满足|z 2|=4.（1）求复数z 1；（2）若z 1⋅z 2>0，求复数z 2.答案：（1）z 1=−2−2i ；（2）z 2=−2√2+2√2i . 分析：（1）将1−i 代入方程x 2+ax +b =0，化简后利用复数相等的知识列方程组，由此求得a,b ，从而求得z 1.（2）设z 2=x +y i ，利用|z 2|=4、z 1⋅z 2>0来求得x,y ，进而求得z 2.（1）依题意，得(1−i )2+a(1−i )+b =0，即(a +b)+(−2−a)i =0，由复数相等的定义及a ，b ∈R ，得{a +b =0−2−a =0， 解得{a =−2b =2. 故复数z 1=a −b i =−2−2i .（2）设z 2=x +y i （x ∈R ，y ∈R ），由|z 2|=4，得x 2+y 2=16， z 1⋅z 2=(−2−2i )(x +y i )=(−2x +2y)−(2x +2y)i ，又z 1⋅z 2>0，得{−2x +2y >02x +2y =0，即{y >x x =−y ， 所以{x 2+y 2=16x =−y y >x，解得{x =−2√2y =2√2 ， 所以z 2=−2√2+2√2i .。

重难点02有关实数与数轴的应用题（3种题型）【考点剖析】一．数轴（共9小题）1．（2022秋•东阳市月考）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆周的四等分点处标上字母A，B，C，D，先将圆周上的字母A对应的点与数轴上的原点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，那么数轴上的2022所对应的点与圆周上字母（）所对应的点重合．A．A B．B C．C D．D2．（2022秋•义乌市校级月考）点A、B在数轴上所对应的数分别是x、y，其中x、y满足（x﹣3）2+|y+5|＝0．若点D是AB的中点，O为原点，数轴上有一动点P，|PD|、|PO|分别表示数轴上P与D，P与O两点间的距离，则|PD|﹣|PO|的最小值是．3．（2021秋•慈溪市期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足|a+2|+（c﹣7）2＝0．（1）a＝，b＝，c＝；（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示的点重合；（3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C 分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，则AB＝，AC＝，BC＝．（用含t的代数式表示）（4）请问：3BC﹣2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．4．（2022秋•吴兴区期中）【新知理解】点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“优点”，线段AC，BC称作互为“优点“伴侣线段．例如，图1，线段AB的长度为6，点C在AB上，AC的长度为2，则点C是线段AB的其中一个“优点”．（1）若点C为图1中线段AB的“优点”AC＝6（AC＜BC），则AB＝；（2）若点D也是图1中线段AB的“优点”（不同于点C），则AC BD（填“＝”或“≠”）【解决问题】如图2，数轴上有一点E表示的数为1，向右平移3个单位到达点F；（3）若不同的两点M，N都在线段OF上，且M，N均为线段OF的“优点”，求线段MN的长；（4）如图2，若点G在射线EF上，且线段GF与以E，F，G中某两个点为端点的线段互为“优点”伴侣线段，求点G表示的数（写出所有可能）．5．（2022秋•宁波期中）如图，圆的半径为个单位长度．数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分点处分别标上点A，B，C，D．先让圆周上的点A与数轴上表示—1的点重合．（1）圆的周长为多少？（2）若该圆在数轴上向右滚动2周后，则与点B重合的点表示的数为多少？（3）若将数轴按照顺时针方向绕在该圆上，（如数轴上表示—2的点与点B重合，数轴上表示—3的点与点C重合…），那么数轴上表示—2024的点与圆周上哪个点重合？6．（2022秋•义乌市月考）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：（一）数轴上表示数﹣8的点和表示数3的点之间的距离是．（二）数轴上点A用数a表示，（1）若|a﹣3|＝5，那么a的值是．（2）当|a+2|+|a﹣3|＝5时，这样的整数a有个．（3）|a﹣3|+|a+2022|最小值是．（4）3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|最小值是．（5）|3a+3|+|a+4|+|4a﹣8|最小值是．7．（2021秋•西湖区期末）已知点A，B，C，D是同一数轴上的不同四点，且点M为线段AB的中点，点N 为线段CD的中点．如图，设数轴上点O表示的数为0，点D表示的数为1．（1）若数轴上点A，B表示的数分别是﹣5，﹣1，①若点C表示的数是3，求线段MN的长．②若CD＝1，请结合数轴，求线段MN的长．（2）若点A，B，C均在点O的右侧，且始终满足MN＝，求点M在数轴上所表示的数．8．（2021秋•东阳市期末）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离满足2倍关系，则称该点是其它两个点的“友好点”，这三点满足“友好关系”．已知点A、B表示的数分别为﹣2、1，点C为数轴上一动点．（1）当点C在线段AB上，点A是B、C两点的“友好点”时，点C表示的数为；（2）若点C从点B出发，沿BA方向运动到点M，在运动过程中有4个时刻使A、B、C三点满足“友好关系”，设点M表示的数为m，则m的范围是．9．（2021秋•武昌区期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB＝2（单位长度），慢车长CD＝4（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是b．若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且|a+8|与（b﹣16）2互为相反数．（1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度？（2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度？（3）此时在快车AB上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即P A+PC+PB+PD 为定值）．你认为学生P发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由．二．实数与数轴（共12小题）10．（2022秋•慈溪市期中）数轴上有A，B，C三个点，点A表示的数是，点B表示的数是1，点A到点B的距离与点C到点B的距离相等，那么点C表示的数是（）A．B．C．D．11．（2022秋•杭州期中）如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是，B表示的数是．12．（2022秋•北仑区期中）如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m，（1）求m的值．（2）求|m﹣3|+m+2的值．13．（2022秋•越城区期中）如图，在数轴上表示2、的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，则点A 表示的数是（）A．﹣B．2﹣C．4﹣D．﹣214．（2021秋•吴兴区期末）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以A 为圆心，AB为半径画圆，和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（）A．3.2B．C．D．15．（2022秋•义乌市校级月考）若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为AB，即AB＝|a﹣b|．利用数轴回答下列问题：（1）①数轴上表示2和5两点之间的距离是；数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为．②若x表示一个有理数，且﹣2＜x＜2，则|x﹣2|+|x+2|＝．③当|x﹣1|+|x+2|＝10﹣|y﹣3|﹣|y+4|时，求xy的最大值和最小值．（2）实数a、b、c满足a＜b＜c（ac＜0），且|c|＜|b|＜|a|，当x为何值时，|x﹣a|+|x+b|+|x﹣c|的值最小，并求最小值．16．（2022秋•拱墅区月考）【方法感悟】阅读下面材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．如图1，从数轴上看，若点A，B表示的分别是1，4，则|AB|＝|4﹣1|＝3或|AB|＝|1﹣4|＝3；若点A，B表示的数分别是﹣1，4，则|AB|＝|4﹣（﹣1）|＝4+1＝5或|AB|＝|﹣1﹣4|＝|﹣5|＝5；若点A，B表示的数分别是﹣1，﹣4，则|AB|＝|（﹣1）﹣（﹣4）|＝|﹣1+4|＝3或|AB|＝|﹣4﹣（﹣1）|＝|﹣4+1|＝3．【归纳】若点A，B表示的数分别是x1，x2则|AB|＝|x1﹣x2|或|AB|＝|x2﹣x1|．【知识迁移】（1）如图1，点A，B表示的数分别是﹣4.5，b，且|AB|＝3，则b＝；（2）如图2，点A，B表示的数分别是x1，x2，若把AB向左平移|AB|个单位，则点A与﹣50重合：若把AB向右平移|AB|个单位，则点B与70重合，那么x1＝，x2＝；【拓展应用】（3）一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，请问村长爷爷现在到底是多少岁？美羊羊现在又是几岁？请写出解题思路．（4）结合几何意义，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|最小值．17．（2021秋•拱墅区校级期中）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．（1）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．（2）把正方形ABCD放到数轴上．如图2．使得A与1重合，那么D在数轴上表示的数为．（3）在（2）的条件下，把正方形ABCD沿数轴逆时针方向滚动．当点B第一次落在数轴上时，求点B 在数轴上表示的数．18．（2022秋•海曙区期中）长方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点B、C对应的数分别为﹣2和﹣1，CD＝2．若长方形ABCD绕着点C顺时针方向在数轴上翻转，翻转1次后，点D所对应的数为1；绕D 点翻转第2次；继续翻转，则翻转2022次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的是．19．（2022秋•温州期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示），（1）折叠纸片，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣2的点与表示的点重合；（2）折叠纸片，使表示﹣1的点与表示3的点重合，回答以下问题：①表示5的点与表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为13（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是；点B表示的数是．③表示点与表示的点重合；（3）已知数轴上P，Q两点表示的数分别为﹣1和3，有一只电子小蜗牛从P点出发以每秒2个单位的速度向右移动，运动多少秒时，它到点P的距离是到点Q的距离的2倍？20．（2021秋•诸暨市期末）期末复习过程中，七（1）班的张老师设计了一个数学问题，涉及本册中多个知识点和多种数学思想，请聪明的你来解答一下吧．（1）若一个数x的立方等于﹣8，请求出x的值．（2）请利用整体思想和方程思想进行解题．①若（1）中的x的值也是关于x的一元一次方程x﹣3＝5x﹣p的解，那么关于y的一元一次方程（y﹣8）﹣3＝5（y﹣8）﹣p的解为y＝．②在如图所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将①中的x，y填入如图所示的位置，则（a﹣b）+（d﹣c）的值为多少？（3）在（2）的条件下，在数轴上标注x，y所表示的数的对应点，分别记作A，B，已知P点从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动，Q点从B点出发，以4个单位每秒的速度在A、B两点之间做往返运动，P、Q两点同时开始运动，当Q点第一次返回到B点时，两点同时停止运动，若记数轴的原点为O，则P点运动几秒后OQ＝2OP？21．（2022秋•鄞州区期中）“数形结合”是重要的数学思想．如：|3﹣（﹣2）|表示3与﹣2差的绝对值，实际上也可以理解为3与﹣2在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，B所对应的数分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上﹣2和5这两点之间的距离为．（2）若x表示一个实数，|x+2|+|x﹣4|的最小值为．（3）直接写出所有符合条件的x，使得|x﹣2|+|x+5|＝9，则x的值为．三．实数与数轴复杂应用题（共7小题）22．（2022秋•宁波期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【知识应用】如图，在数轴上，点A表示的数为5，点B表示的数为3，点C表示的数为﹣2，点P从点C出发，以每秒2个单位沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒t＞0，根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：①A，C两点之间的距离AC＝，线段BC的中点表示的数为．②用含t的代数式表示：t秒后点P表示的数为．（2）若点M为P A的中点，当t为何值时，．【拓展提升】（3）在数轴上，点D表示的数为9，点E表示的数为6，点F表示的数为﹣4，点G从点D，点H从点E同时出发，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，且当它们各自到达点F时停止运动，设运动时间为t秒，线段GH的中点为点K，当t为何值时，HK＝3．23．（2022秋•莲都区期中）已知数轴上的A、B两点分别对应的数字为a、b，且a、b满足|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0．（1）直接写出a、b的值；（2）P从A出发，以每秒3个长度的速度沿数轴正方向运动，何时P，A，B三点中其中一个点到另外两个点的距离相等？求出相应的时间t；（3）数轴上还有一点C对应的数为36，若点P从A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，同时，Q从B点出发，以每秒1个长度的速度向正方向运动，点P运动到C点立即返回再沿数轴向左运动．当PQ＝10时，求P运动的时间．24．（2021秋•平阳县期中）如图1，数轴上有A，B两点（点A在点B的左侧），点A表示的数是﹣x，点B 表示的数是3x﹣4，点P，Q是数轴A，B之间的动点，且点P以每秒4个单位的速度运动，点Q以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为t秒．（1）当数轴沿原点折叠时，点A与点B重合，则点A表示的数为．（2）若x＝22时，点P，Q分别从点A，B同时出发，相向而行，点P到达点B时，点P，Q同时停止运动，当t为何值时，A，B两点之间的距离是P，Q两点之间距离的6倍．（3）若点P，Q同时从点A出发，在线段AB上各自做不间断的往返运动（即只要动点与线段AB的某一端点重合则立即转身以同样的速度向另一点运动）．①如图2，点P与点Q第一次重合于点C，第二次重合于点D，且点C与点D之间的距离为40，求线段AB的长；②在①的基础上，当t＝2021时，点P，Q两点之间的距离是点A，P两点之间的距离的倍．（请直接写出答案）25．（2022秋•富阳区期中）如图数轴上有两个点A、B，分别表示的数是﹣2，4．请回答以下问题：（1）A与B之间距离为，A，B中点对应的数为，B点向左平移7个单位对应的数为．（2）若点C对应的数为﹣3，只移动C点，要使得A，B，C其中一点到另两点之间的距离相等，请写出所有的移动方法．（3）若点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向左做匀速运动，点Q从B出发，以每秒5个单位长度的速度向左做匀速运动，P，Q同时运动：①当点P运动多少秒时，点P和点Q重合？②当点P运动多少秒时，P，Q之间的距离为3个单位长度？26．（2022秋•萧山区期中）如图，已知数轴上三点A、B、C分别对应的数为a、b、c．（1）点A、点B在数轴上所表示的数互为相反数，且A、B两点之间距离为4．①若A、C两点之间距离为2，且点C在点A的左侧，则点C所表示的数为．②点D位于点C的左侧，且点D到B、C两点的距离之和为7，则点D所表示的数为．③数轴上是否存在点P，使得点P到A、B、C三点的距离之和为9．若存在，请直接写出点P在数轴上所表示的数，若不存在请说明理由．（2）点B、点C在数轴上所表示的数互为相反数．请判断下列两个代数式的结果是正数还是负数，并说明理由．①a（b+c）+ac；②|c+a|﹣|a+b|．27．（2021秋•定海区期末）已知M、N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且满足（m﹣11）2+（n+4）2＝0．（1）m＝，n＝；（2）若点P从N点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时点Q从M点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，经过多长时间后P、Q两点相距6个单位长度？（3）若点A、B为线段MN上的两点，且NA＝AB＝BM，点P从N点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，点Q从M点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，点R从B点出发，以每秒5个单位长度的速度向右运动，P、Q、R同时出发，是否存在常数k，使得PQ﹣kAR的值与它们的运动时间无关，为定值？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由．28．（2020秋•鹿城区期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？。

第 1 页 共 9 页第十九章 几何证明 单元测试（能力提升）一、单选题1．下列四个命题中真命题的是（ ）①有一个角相等的两个等腰三角形全等②有一个钝角相等且有一条边相等的两个等腰三角形全等③有两边相等的两个等腰直角三角形全等④一个三角形的底和腰与另一个三角形的底和腰对应相等的两个等腰三角形全等A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④2．下列定理，没有逆定理的是（ ）A ．两直线平行，同旁内角互补B ．两个全等三角形的对应角相等C ．等角对等边D ．两内角相等的三角形是等腰三角形3．尺规作图：作∠AOB 的平分线如下:以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，连结CD ，则下列结论：①∠AOP=∠BOP ；②OC=PC ；③OA∠DP ；④OP 是线段CD 的垂直平分线.一定正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，∠AOB ＝45°，OC 是∠AOB 的角平分线，PM∠OB ，垂足为点M ，PN∠OB，PN与OA 相交于点N ，那么PM PN的值等于（ ）第 2 页 共 9 页A ．12B 2C 3D 35．如图，在∠ABC 中，BC=8，AB 的中垂线交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 于E ，则∠ADE 的周长等于（ ）A ．8B ．4C ．12D ．166．如图，在ABC 中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，且//EF BC 交AC 于M ，若3CM =，则22CE CF +的值为( )A ．36B ．9C ．6D ．187．如图在Rt∠ABC =90︒，如果CD 、CM 分别是斜边上的高和中线，AC =2，BC =4，那么下列结论中错误的是（ ）A ．∠ACD =∠B B ．CM 5C ．∠B =30︒D ．CD 4558．如图(图在第二页)所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A 、B 、C、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是第 3 页 共 9 页A ．13B ．26C ．47D ．949．如图，∠MON =30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，∠A 1B 1A 2、∠A 2B 2A 3、∠A 3B 3A 4…均为等边三角形，若OA 1=1，则∠A 7B 7A 8的边长为（ ）A ．6B ．12C ．32D ．6410．如图，O 是正∠ABC 内一点，OA ＝3，OB =4，OC ＝5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO '，下列结论；①∠AOO '是直角三角形；②点O 与O '的距离为4；③以∠AOB ＝150°；④S 四边形AOBO ′＝3⑤S ∠AOC +S ∠AOB ＝93 ）A ．.①②③⑤B ．①②③④C ．.①②③④⑤D ．.①②③二、填空题11．同角的余角相等的逆命题是_________，它是一个___________命题（填“真”或“假”）第 4 页 共 9 页12．以线段AB 为底边的等腰三角形ABC 的顶点C 的轨迹是:________________.13．如图，在∠ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，已知BC=8cm ，BD=4.5cm ，则点D 到AB 的距离是______cm.14．已知如图，在Rt∠ABC 中，∠C=90︒，DE 是AB 的垂直平分线，其中∠ABD ：∠DBC=2:5，那么∠A=________15．如图，已知点B 、C 分别在∠EAF 的两边AE ，AF 上，BP ,CP 分别平分∠EBC, ∠BCF,则点P__________（填“一定在”或“不一定在”） ∠A 的平分线上16．如果点A 的坐标为()3,5，点B 的坐标为()0,4，那么,A B 两点的距离等于_________．17．《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：有一根长为10尺的竹子，中间折断后竹梢触底，如图，离开根部为3尺（3BC =），那么折断后的竹子（AB ）的高度为___________．第 5 页 共 9 页18．如果四边形中的一条对角线长度是另一条对角线的两倍，那么称这个四边形为倍长对角线四边形．如图，四边形ABCD 是倍长对角线四边形，且90BAD BCD ∠=∠=︒，四边形ABCD 中最小的内角的度数是________．三、解答题19．如图， AB=AC ， E 是AD 上的一点，∠BAE=∠CAE ．求证：∠EBD=∠ECD ．20．如图，有两条互相垂直的公路12,l l ，A 厂离公路1l 的距离为2千米，离公路2l 的距离为5千米；B 厂离公路1l 的距离为11千米，离公路2l 的距离为4千米；现在要在公路2l 上建造一仓库P ，使A 厂到P 仓库的距离与B 厂到P 仓库的距离相等，求仓库P 的位置．21．如图：已知 ∠BAC=30°，AT 平分∠BAC ，TE∠AC ．第 6 页 共 9 页（1）求证：AET △是等腰三角形；（2）若TD AC ⊥，垂足为点D ，AE=4cm ，求TD 的长．22．已知：如图，ABC ∆中，,,AB AC BD CE =分别是,AC AB 上的中线，,BD CE 相交于点O ，联结OA DE ,．求证：（1）OB OC =；（2）OA 垂直平分DE ．23．已知：如图，在∠EBC 中，作∠EBA =∠C ，AB 交EC 于点A ，作BD 平分∠ABC 交AC 于点B ，F 是BD 上一点，联结EF ，点G 是EF 上一点，且有GB =GD ．求证：EF ∠BD ．24．已知：如图，在ABC 中，AB AC =，AE BC ⊥，垂足为E ．DC BC ⊥，2DC BC ==，90ADB∠=︒，BD 与AE 、AC 分别相交于点F 、G ．求：第 7 页 共 9 页（1）AF 的长；（2）AG 的长．25．已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 边上一动点（与点B 不重合），连接AD ，以AD 始边作()0180DAE αα∠=︒<<︒．（1）如图一，当90α=︒且AE AD =时，试说明CE 和BD 的位置关系和数量关系；（2）如图二，当45α=︒且点E 在边BC 上时，求证：222BD CE DE +=．26．在Rt ∠ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠CAB ，交BC 于点D ，作DE ∠AB 于点E ．（1）如图1，当AC ＝6，AB ＝10时，求∠ACD 的面积；（2）如图2，当∠B ＝45°，取AD 中点为F ，连接FC ，EF ，CE ，试判断∠CEF 的形状，并说明理由； （3）如图3，取AD中点为F ，当∠B ＝x °，∠CFE ＝y °，确定两者之间的函数关系式．第8页共9页。