河北省唐山一中2015-2016学年高二下学期期末考试数学(文)试题

河北唐山一中2014—2015学年度下学期开学调研考试高二数学文试题说明：1．考试时间120分钟，满分150分。

2．将卷Ⅰ答案用2B铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ用黑色钢笔或签字笔答在试卷上。

3．Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后5位。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分.）1.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.2.已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（）A B C D3.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．B．C．D．4.给出下列四个命题：①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是（）A.②和④B．②和③C．③和④D．①和②5.已知抛物线的焦点F恰为双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右焦点,且两曲线交点的连线过点F,则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.6.已知：命题P：，总有|x|≥0；命题q：x=1是方程x2+x+1=0的根，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧q C．p∧q D．p∧q7.已知A(－3, 0)，B(0, 4)，M是圆C : x2+y2－4x=0上一个动点，则△MAB的面积的最小值为（）A．4 B．5 C．10 D．158.设A、B、C、D是球面上的四点，AB、AC、A D两两互相垂直，且，，，则球的表面积为()A. B. C. D.9. 如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最大值为( )A.5B. C ．22+1 D.2－110. 设a ∈R ，若函数有大于零的极值点，则（ ）A ．B ．C ．D ．11．设p ：在内单调递增，，则是的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12.已知椭圆C :(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y =(x +c )与椭圆C 的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则C 的离心率为 ( )A.-1B.C.-1D.二、填空题（每小题5分，共20分）13.命题p ：“”的否定是_________．14．曲线在点处的切线的一般式方程为__________．15.已知双曲线左、右焦点分别为，过点作与轴垂直的直线与双曲线一个交点为，且，则双曲线的渐近线方程为_______.16.已知圆1)sin 2()cos 2(:221=-+-θθy x C 与圆，在下列说法中：①对于任意的，圆与圆始终有四条公切线；②对于任意的，圆与圆始终相切；③分别为圆与圆上的动点，则的最大值为4． 其中正确命题的序号为___________.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17（10分）直线:y =x -1与抛物线C :y 2=2px (p >0)相交于A ,B 两点,且直线过C 的焦点.(Ⅰ)求抛物线C 的方程.(Ⅱ)若以AB 为直径作圆Q ,求圆Q 的方程.18（12分）已知直线的方程为，，点的坐标为．（Ⅰ）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；（Ⅱ）设点在直线上的射影为点，点的坐标为，求||的取值范围．19（12分）如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，E 、F 分别为A 1C 1和BC 的中点.（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；（Ⅱ）求证：C 1F //平面ABE .20.（12分)如图，E 为矩形ABCD 所在平面外一点，平面ABE ，AE =EB =BC =2，F 为CE 上的点， 且平面ACE ，（Ⅰ）求证：平面BCE ；（Ⅱ）G 为矩形ABCD 对角线的交点，求三棱锥C —BGF 的体积。

2015-2016学年河北省唐山一中高二（下）期中数学试卷（文科）一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1．（5分）若z=，则复数z的虚部为（）A．i B．1 C．﹣i D．﹣12．（5分）已知函数f（x）=x﹣sinx，则（）A．是增函数B．是减函数C．在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减D．在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增3．（5分）已知i是虚数单位，若z 1=2+i，z2=1+i，则z=z1•在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）如图是人教A版教材选修1﹣2第二章“推理与证明”的知识结构图（部分），那么知识点“三段论”应该填在图中（）A．位置①处B．位置②处C．位置③处D．位置④处5．（5分）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确6．（5分）已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为=0.95x+a，则a=（）A．0 B．2.2 C．2.6 D．3.257．（5分）点P是曲线x2﹣y﹣lnx=0上的任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1 B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象如图，则函数y=f′（x）的单调减区间为（）A．[0，3） B．[﹣2，3]C．（﹣∞，） D．（﹣∞，﹣2）9．（5分）用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个角不大于60°”时，应假设（）A．三角形的三个内角都不大于60°B．三角形的三个内角都大于60°C．三角形的三个内角至多有一个大于60°D．三角形的三个内角至少有两个大于60°10．（5分）如图，小圆圈表示网络结点，结点之间的连线表示它们之间有网线连接，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B发送信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）A．19 B．20 C．24 D．2611．（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1） D．（0，+∞）12．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R）导函数为f′（x），f（1）=1，且f′（x）＞，则不等式2f（x）＜x+1的解集为（）A．{x|x＜1}B．{x|x＜﹣1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|x＜﹣1或x＞1}二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）观察如图等式，照此规律，第n个等式为．14．（5分）已知函数f（x）=f′（）sin x+cos x，则f′（）=．15．（5分）在△ABC中，AD平分∠A的内角且与对边BC交于D点，则=，将命题类比空间：在三棱锥A﹣BCD中，平面BCE平分二面角B﹣AD﹣C且与对棱BC交于E点，则可得到的正确命题结论为．16．（5分）已知直线l：，t为参数过定点P，曲线C极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l与曲线C交于A，B两点，则|PA|•|PB|值为．三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），若以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣cosθ）=4，（1）已知点M的极坐标为（2，），写出点M关于直线l对称点M′的直角坐标；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值与最大值．18．（12分）已知函数f（x）=x3﹣x2﹣x﹣a．（1）求f（x）的极值；（2）若函数f（x）有且只有一个零点，试求实数a的取值范围．19．（12分）已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0（（ρ≥0），直线l 的参数方程为（t为参数，0°≤α＜180°）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C有且只有一个交点，求α的值．20．（12分）有40名高校应届毕业生参加某招工单位应聘，其中甲组20人学历为硕士研究生，乙组20人学历是本科，他们首先参加笔试，统计考试成绩得到的茎叶图如图（满分100分），如果成绩在86分以上（含86分）才可以进入面试阶段（1）现从甲组中笔试成绩在90分及其以上的同学随机抽取2名，则至少有1名超过95分同学的概率；（2）通过茎叶图填写如表的2×2列联表，并判断有多大把握认为笔试成绩与学历有关？．下面临界值表仅供参考参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax，其中a＞0（1）求证：函数f（x）在x=1处的切线经过原点；（2）如果f（x）的极小值为1，求f（x）的解析式．22．（12分）已知函数f（x）=lnx+．（1）若函数f（x）在区间为（0，1）上单调递减，求k的取值范围；（2）若k取（1）中的最小值，且x≥1，求证：2+≤f（x）≤（x+）．2015-2016学年河北省唐山一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1．（5分）若z=，则复数z的虚部为（）A．i B．1 C．﹣i D．﹣1【解答】解：z===﹣i+1，则复数z的虚部为﹣1．故选：D．2．（5分）已知函数f（x）=x﹣sinx，则（）A．是增函数B．是减函数C．在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减D．在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增【解答】解：因为函数f（x）=x﹣sinx，所以f′（x）=1﹣cosx≥0，所以函数f（x）=x﹣sinx是增函数．故选：A．3．（5分）已知i是虚数单位，若z 1=2+i，z2=1+i，则z=z1•在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由z 1=2+i，z2=1+i，得，则z=z 1•=（2+i）（1﹣i）=3﹣i．z在复平面内的对应点的坐标为：（3，﹣1），位于第四象限．故选：D．4．（5分）如图是人教A版教材选修1﹣2第二章“推理与证明”的知识结构图（部分），那么知识点“三段论”应该填在图中（）A．位置①处B．位置②处C．位置③处D．位置④处【解答】解：演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论，故知识点“三段论”，应放在演绎推理后，位置②处，（B）正确．故选：B．5．（5分）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【解答】解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x=x0附近的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选：A．6．（5分）已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为=0.95x+a，则a=（）A．0 B．2.2 C．2.6 D．3.25【解答】解：由题意可得：==2，==4.5，回归直线经过样本中心，所以：4.5=0.95×2+a，解得a=2.6．故选：C．7．（5分）点P是曲线x2﹣y﹣lnx=0上的任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1 B．C．D．【解答】解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．直线y=x﹣2的斜率等于1，令y=x2﹣lnx的导数y′=2x﹣=1，x=1，或x=﹣（舍去），故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣2平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y=x﹣2的距离等于，故点P到直线y=x﹣2的最小距离为，故选：D．8．（5分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象如图，则函数y=f′（x）的单调减区间为（）A．[0，3） B．[﹣2，3]C．（﹣∞，） D．（﹣∞，﹣2）【解答】解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，∴f'（x）=3x2+2bx+c由函数f（x）的图象知，f'（﹣2）=0，f'（3）=0∴b=﹣，c=﹣18，∴f′（x）=3x2﹣3x﹣18=3（x+2）（x﹣3）令f′（x）＜0，则﹣2＜x＜3，∴函数y=f′（x）的单调递减区间是[﹣2，3]故选：B．9．（5分）用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个角不大于60°”时，应假设（）A．三角形的三个内角都不大于60°B．三角形的三个内角都大于60°C．三角形的三个内角至多有一个大于60°D．三角形的三个内角至少有两个大于60°【解答】解：∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°，∴第一步应假设结论不成立，即假设三个内角都大于60°．故选：B．10．（5分）如图，小圆圈表示网络结点，结点之间的连线表示它们之间有网线连接，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B发送信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）A．19 B．20 C．24 D．26【解答】解：由A到B共有4条不同连接线路，由于每条连结线路都由不同的网线连接，故只需计算每条连接线路上可以通过的最大信息量的最小值即可，所以从A到B单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19．故选：A．11．（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1） D．（0，+∞）【解答】解：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．简解：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，可得2a=有两个不同的解，设g（x）=，则g′（x）=，当x＞1时，g（x）递减，0＜x＜1时，g（x）递增，可得g（1）取得极大值1，作出y=g（x）的图象，可得0＜2a＜1，即0＜a＜，故选：B．12．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R）导函数为f′（x），f（1）=1，且f′（x）＞，则不等式2f（x）＜x+1的解集为（）A．{x|x＜1}B．{x|x＜﹣1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|x＜﹣1或x＞1}【解答】解：构造函数g（x）=2f（x）﹣x﹣1，则函数的导数为g′（x）=2f′（x）﹣1，∵f′（x）＞，∴g′（x）＞0，即函数g（x）是增函数，∵f（1）=1，∴g（1）=2f（1）﹣1﹣1=0，即当x＜1时，g（x）＜g（1）=0，即不等式2f（x）＜x+1解集为{x|x＜1}，故选：A．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）观察如图等式，照此规律，第n个等式为n+（n+1）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．【解答】解：等式的右边为1，9，25，49，即12，32，52，72…，为奇数的平方．等式的左边为正整数为首项，每行个数为对应奇数的和，∴第n个式子的右边为（2n﹣1）2，左边为n+（n+1）+…+（3n﹣2），∴第n个等式为：n+（n+1）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．故答案为：n+（n+1）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．14．（5分）已知函数f（x）=f′（）sin x+cos x，则f′（）=．【解答】解：∵f（x）=f′（）sinx+cosx，∴f′（x）=f′（）cosx﹣sinx，令x=，∴f′（）=f′（）cos﹣sin=﹣1，∴f′（x）=﹣cosx﹣sinx，∴f′（）=﹣cos﹣sin==﹣．故答案为：﹣15．（5分）在△ABC中，AD平分∠A的内角且与对边BC交于D点，则=，将命题类比空间：在三棱锥A﹣BCD中，平面BCE平分二面角B﹣AD﹣C且与对棱BC交于E点，则可得到的正确命题结论为=．【解答】解：根据面积类比体积，长度类比面积可得：=，即=．故答案为：=．16．（5分）已知直线l：，t为参数过定点P，曲线C极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l与曲线C交于A，B两点，则|PA|•|PB|值为1．【解答】解：曲线C极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程：x2+y2=2y．把直线l的参数方程代入上述方程可得：t2﹣t+1=0，∴t1t2=1，∴|PA|•|PB|=|t1t2|=1，故答案为：1．三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），若以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣cosθ）=4，（1）已知点M的极坐标为（2，），写出点M关于直线l对称点M′的直角坐标；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值与最大值．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣cosθ）=4，化为直角坐标方程：x﹣y+4=0，点M的极坐标为（2，），化为直角坐标方程：（2，2），设点M关于直线l对称点M′的直角坐标（x，y），可得，解得x=﹣2，y=6．∴点M关于直线l的对称点M'直角坐标为（﹣2，6）；（2）由已知可设Q，利用点到直线距离公式可得：∈，那么到直线l的距离的最小值与最大值分别为与．18．（12分）已知函数f（x）=x3﹣x2﹣x﹣a．（1）求f（x）的极值；（2）若函数f（x）有且只有一个零点，试求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由已知，f'（x）=3x2﹣2x﹣1=0，得或x=1，那么，x变化f'（x）与f（x）变化情况表为：因而f（x）的极大值为，f（x）的极小值为f（1）=﹣1﹣a；（2）由（1）若函数f（x）有且只有一个零点，则f（x）的极大值或f（x）的极小值﹣1﹣a＞0，因而所求实数a的取值范围为{a|a＜﹣1或或．19．（12分）已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0（（ρ≥0），直线l 的参数方程为（t为参数，0°≤α＜180°）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C有且只有一个交点，求α的值．【解答】解：（1）将极坐标与直角坐标互化公式及ρ2=x2+y2，代入ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0（，得x2+4x﹣x2﹣y2=0，因而曲线C的直角坐标方程为y2=4x，当α=90°时，直线l的普通方程为x=0，y∈R，当α≠90°时，消去参数t，得直线l的普通方程为y=x•tanα+1．（2）由已知，直线l过定点（0，1），将直线l 的参数方程代入到y2=4x，得t2sin2α+2t（sinα﹣2cosα）+1=0由已知则△=（sinα﹣2cosα）2﹣4sin2α=0，即4cosα（cosα﹣sinα）=0，∴cosα=0，cosα=sinα，则α=90°，α=45°，又当α=0°时直线l化为y=1，x∈R，此时与曲线C也只有一个交点，从而所求α的值为0°，45°，90°．20．（12分）有40名高校应届毕业生参加某招工单位应聘，其中甲组20人学历为硕士研究生，乙组20人学历是本科，他们首先参加笔试，统计考试成绩得到的茎叶图如图（满分100分），如果成绩在86分以上（含86分）才可以进入面试阶段（1）现从甲组中笔试成绩在90分及其以上的同学随机抽取2名，则至少有1名超过95分同学的概率；（2）通过茎叶图填写如表的2×2列联表，并判断有多大把握认为笔试成绩与学历有关？．下面临界值表仅供参考参考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d ．【解答】解：（1）甲组90（分）以上的同学数为5人，其中有2名同学分数超95（分），可记为A 、B 、c 、d 、e ，从这5人中任取2名，基本事件是AB 、Ac 、Ad 、Ae 、Bc 、Bd 、Be 、cd 、ce 、de 共有10种不同取法，若不含这两名同学，有cd 、ce 、de 共3种不同取法， 因而由古典概型与对立事件概率计算公式得概率；（2）2×2列联表为计算观测值，对照临界值表知，有97.5%的把握认为笔试成绩与学历有关．21．（12分）已知函数f （x ）=e x ﹣ax ，其中a ＞0 （1）求证：函数f （x ）在x=1处的切线经过原点； （2）如果f （x ）的极小值为1，求f （x ）的解析式． 【解答】解：（1）由已知f'（x ）=e x ﹣a ，则f'（1）=e ﹣a ， 即函数f （x ）在x=1处的切线斜率为e ﹣a ，而f（1）=e﹣a，因而切线方程为y﹣（e﹣a）=（e﹣a）（x﹣1），即y=（e﹣a）x，因而经过原点；（2）由f'（x）=e x﹣a=0，得x=lna，当x∈（﹣∞，lna）时f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（lna，+∞）时f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）的极小值为f（lna）=a﹣alna，由已知a﹣alna=1，显然有解a=1，设g（a）=a﹣alna﹣1，则g'（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna=0，则a=1，因而a∈（0，1）时g'（a）＞0，g（a）单调递增，a∈（1，+∞）时g'（a）＜0，g（a）单调递减，∴g（a）极大值为g（1）=0，因而方程a﹣alna=1有且只有一解a=1，∴f（x）=e x﹣x．22．（12分）已知函数f（x）=lnx+．（1）若函数f（x）在区间为（0，1）上单调递减，求k的取值范围；（2）若k取（1）中的最小值，且x≥1，求证：2+≤f（x）≤（x+）．【解答】解：（1）f′（x）=﹣=，∵f（x）在区间为（0，1）上单调递减，∴f′（x）=≤0在（0，1）上恒成立，∴即k≥x在（0，1）上恒成立，∴k≥1．（2）证明：由（Ⅰ）k=1，f（x）=lnx+，2+≤f（x）≤（x+）⇔2+≤lnx+≤（x+）⇔2﹣≤lnx≤（x﹣）．设h（x）=lnx+﹣2，则，∴h（x）在（1，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，∴h min（x）=h（e）=0，∴h（x）≥0，即2﹣≤lnx．设g（x）=lnx ﹣+，则g′（x）=﹣﹣=≤0，∴g（x）在（1，+∞）单调递减，∴g（x）≤g（1）=0，即lnx ≤（x ﹣）．综上，则x≥1时成立．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

唐山市2015年高二数学第二学期期末试题（文科含答案）说明：1.考试时间120分钟，满分150分。

2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案答在答题纸上。

3.Ⅱ卷答题纸卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。

卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。

在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确）1．集合{}{}0,2,022>==>-=x y y B x x x A x ，R 是实数集，则A B C R )(等于（ ）A ．RB ．),1()0,(+∞-∞C ．(]10，D ．(]()∞+∞-，21, 2.已知复数)(11为虚数单位i iiz +-=，则z 的共轭复数是（ ） A.i B.i +1 C.i - D. i -13.=-40cos 40sin 5sin 5cos 22 （ ） A.1 B.21C.2D.1-4.已知向量)3,1(=a ，),3(m b =，若向量b a ,的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 3 5. 曲线)(2152为参数t ty tx ⎩⎨⎧-=+-=与坐标轴的交点是( )A ．），）、（，（021520 B ．），）、（，（021510 C ．(0，－4)、(8,0) D ．(0，4)、(8,0) 6．下列函数中，在),0(+∞上为增函数的是（ ）A x x f 2sin )(=B ．x xe x f =)( C.x x x f -=3)( D ．x x x f ln )(+-= 7.以模型kxce y =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设y z ln =，其变换后得到线性回归方程43.0+=x z ，则=c ( ) A.0.3 B.3.0eC.4D.4e8．把函数x x x x x f 22cos 3cos sin 2sin )(+-=的图像沿x 轴向左平移)0(>m m 个单位，所得函数)(x g 的图像关于直线8π=x 对称，则m 的最小值为 （ ）Ａ．4π Ｂ．3π Ｃ．2πＤ．43π9.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=)1(log )1(3)(31x xx x f x，则函数)1(x f y -=的大致图象是( )10．已知四边形ABCD ，0120BAD ∠=，060BCD ∠=，AB＝AD ＝２，则AC 的最大值为（ ）A ．４33 B ．４ C ．８33D ．８11. 设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则cb a Sr ++=2，类比这个结论可知：四面体S —ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S —ABC 的体积为V ，则R 等于( ) A ．4321S S S S V +++ B ．43212S S S S V+++C ．43213S S S S V +++ D ．43214S S S S V+++12．若)(x f 满足23'22)2(,)(2)(e f e x x xf x f x x-==-.则0>x 时，)(x f ( ) Ａ．有极大值，无极小值 Ｂ．有极小值，无极大值 Ｃ．既有极大值，又有极小值 Ｄ．既无极大值，也无极小值 卷Ⅱ(非选择题 共90分) 二．填空题（共4小题，第小题5分，计20分）13.已知向量),1(x a =，)2,1(-=x b ，若//，则=x __________________.14. 某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：AByDyyC由表中数据，求得线性回归方程为∧∧+=a x y 54，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为________．15. 将正方形ABCD 分割成),2(2N n n n ∈≥个全等的小正方形（图1，图2分别给出了3,2=n 的情形），在每个小正方形的顶点各放置一个数，使位于正方形ABCD 的四边及平行于某边的任一直线上的数都分别依次成等差数列，若顶点A,B,C,D 处的四个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为)(n f ，则=)4(f _______________.16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-)0()0(3)(x x x x f x，若函数b x x f x g --=21)()(有且仅有两个零点，则实数b 的取值范围是_________________.三．计算题（共6小题，计70分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题共10分）已知函数1)(-=x x f （1）解关于x 的不等式01)(2>-+x x f ;（2）若)()(,3)(x g x f m x x g <++-=的解集非空，求实数m 的取值范围.18. （本小题共12分）设向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈==2,0),sin ,(cos ),sin ,sin 3(πx x x x x (1)若a b →→=，求x 的值； (2)设函数()f x a b →→=⋅,求()f x 的最大值. 19．（本小题共12分）如图所示，在四边形ABCD 中， DA AB ⊥，7=CE ，32π=∠ADC ,E 为AD 边上一点，321π=∠==BEC EA DE ，，. （1）求CED ∠sin 的值； （2）求BE 的长．20. （本小题共12分）在极坐标系中，曲线23)3cos(:),0(cos 2=->=πθρθρl a a C ：,曲线C 与l 有且仅有一个公共点. （1）求a 的值；（2）O 为极点，A ，B 为C 上的两点，且3π=∠AOB ，求OB OA +的最大值.21. （本小题满分12分）“ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．（1）若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？（2）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查根据表中数据，能否有90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=D AC BE22. （本小题共12分）已知函数xe xf =)(（e 为自然对数的底），))(ln()(a x f xg +=（a为常数），)(x g 是实数集R 上的奇函数.⑴ 求证：)(1)(R x x x f ∈+≥；⑵ 讨论关于x 的方程：))(2()()(ln 2R m m ex x x g x g ∈+-⋅=的根的个数.2014—2015学年度第二学期期末考试高二年级数学答案（文科）1． D 2. A 3. C 4． B. 5. B 6．B 7. D 8．Ａ 9. D 10．B 11.C 12． B 13. 2或1- 14. 9.5 15.425 16. 210<<b 17. 解：(Ⅰ)由题意原不等式可化为：2-11-x x >即：1-1--11-22x x x x <>或……………2分由2-11-x x >得2-1<>x x 或 由1-1-2x x <得01<>x x 或综上原不等式的解为{}01<>x x x 或……………5分(Ⅱ)原不等式等价于-13x x m ++<的解集非空.令31-)(++=x x x h ，即mx x x h <++=min 31-)(，…………8分由43--1-31-=≥++x x x x ，所以4)(min =x h ，所以4>m .………………10分18.19．解:（Ⅰ）设CED α∠=.在CED ∆中，由余弦定理，得2222cos CE CD DE CD DE CDE =+-⨯⨯∠得CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在CED ∆中，由正弦定理，得sin 7CED ∠=…………6分（Ⅱ）由题设知03πα∈（，），所以cos α=而23AEB πα∠=-，所以222cos cos =cos cos sin sin 333AEB πππααα∠=-+（）11=cos 22αα-+=-⨯+=.在Rt EAB ∆中，2cos BE AEB ==∠. (12)20. （Ⅰ）曲线C 是以(a ，0)为圆心，以a 为半径的圆；l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.由直线l 与圆C 相切可得|a －3|2＝a ，解得a ＝1.………4分（Ⅱ）不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋ π3，则|OA|＋|OB|＝2cos θ＋2cos(θ＋ π3)＝3cos θ－3sin θ＝23cos(θ＋ π6)， ………10分当θ＝－ π6时，|OA|＋|OB|取得最大值2 3.…12分21. 解:（Ⅰ）这33个人不接受挑战．这38种；其中，至少有2共有4种．………6分列联表，得到的观测值为：79.1142530704060)15251545(100))()()(()(22≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n k90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”． …12分22.解：⑴ 证明：设()()1F x f x x =--，则'()1xF x e =-，∵当(,0)x∈-∞时，'()0F x<，当(0,)x∈+∞时，'()0F x>，∴F(x)min=F(0)=0∴即()1f x x≥+；………4分⑵解：∵()g x是实数集R上的奇函数，∴0a=，()g x x=，∴方程为2ln(2)x x x ex m=⋅-+，即2ln2xx ex mx=-+.设ln()xh xx=，则由21ln'()0xh xx-==得，x=e，又∵当(0,)x e∈时，'()0h x>，当(,)x e∈+∞时，'()0h x<，∴1()()h x h ee≤=，………8分设2()2l x x ex m=-+，则222()2l x e e m m e≥-+=-，∴①当21m ee>+时，原方程无解；②当21m ee=+时，方程有且只有一根x e=；③当21m ee<+时，方程有两根；………12分。

2015-2016学年河北省唐山市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）直线x+y﹣3=0的倾斜角为（）A．B．C．D．2．（5分）命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+5=0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+5=0B．∀x∈R，x2+2x+5≠0C．∀x∉R，x2+2x+5=0D．∀x∉R，x2+2x+5≠03．（5分）设l是空间一条直线，α和β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若l∥α，l⊥β，则α⊥β4．（5分）“直线ax+3y+1=0与直线2x+（a+1）y+1=0平行”是“a=﹣3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）椭圆的焦距与短轴长相等，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）与曲线共焦点，而与双曲线共渐近线的双曲线方程为（）A．B．C．D．7．（5分）抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是（）A．（1，1）B．（）C．D．（2，4）8．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是（）A．（5+）πcm2B．（5+2）πcm2C．（6+）πcm2D．（6+2）πcm29．（5分）已知△ABC在平面α内，直线CD⊥平面α，P是平面α内的一个动点，设P到直线AB的距离为d1，P到直线CD的距离为d2，若d1=d2，则动点P的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线10．（5分）已知A（﹣1，0），B（2，0），平面内与点A距离为1，且与点B距离为2的直线的条数是（）A．0B．1C．2D．311．（5分）已知A（2，0），B（﹣2，0），P（x，y），下列命题正确的是（）A．若P到A，B距离之和为4，则点P的轨迹为椭圆B．若P到A，B距离之差为3，则点P的轨迹为双曲线C．椭圆+=1上任意一点M（长轴端点除外）与A，B连线斜率之积是﹣D．双曲线﹣=1上任意一点M（实轴端点除外）与A，B连线斜率之积是﹣12．（5分）若P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不正确的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PAE⊥平面ABC D．平面PDF⊥平面ABC二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）抛物线y=2x2的焦点坐标是．14．（5分）若直线2x+ay﹣7=0和直线（a﹣3）x+y+4=0互相垂直，则实数a=．15．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥AB，AA1=4，AB=AC=2，则此三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球表面积为．16．（5分）已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线的一个交点为P，且P在第一象限内，若|PF2|=2a，则双曲线的离心率为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知命题p：关于x的方程x2﹣2mx+1=0有实数根，命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2），若￢q与p∧q均为假命题，求实数m的取值范围．18．（12分）已知圆C经过抛物线y=x2﹣4x+3与坐标轴的三个交点．（1）求圆C的方程；（2）设直线2x﹣y+2=0与圆C交于A，B两点，求|AB|．19．（12分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E在棱CC1上，CE=2EC1，AB=6，M，N分别为棱AB和AD的中点．（1）求三棱锥M﹣BDE的体积；（2）求证：平面C1MN∥平面BDE．20．（12分）已知抛物线y2=4x和点M（6，0），O为坐标原点，直线l过点M，且与抛物线交于A，B两点．（1）求•；（2）若△OAB的面积等于12，求直线l的方程．21．（12分）如图，多面体ABCDE中，ABCD是矩形，AB=2，BC=2，直线DA ⊥平面ABE，AE=BE，O为棱AB的中点．（1）求证：直线BD⊥平面OCE；（2）在线段BD上是否存在点F，使直线AF∥平面OCE？若存在，求线段DF的长，若不存在，请说明理由．22．（12分）已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，右焦点为F（2，0），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆C于不同的两点M，N，线段MN 的垂直平分线与x轴交于点D，求点D的横坐标的取值范围．2015-2016学年河北省唐山市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）直线x+y﹣3=0的倾斜角为（）A．B．C．D．【解答】解：直线x+y﹣3=0可化为y=﹣x+3，∴直线的斜率为﹣，设倾斜角为α，则tanα=﹣，又∵0≤α＜π，∴α=，故选：C．2．（5分）命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+5=0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+5=0B．∀x∈R，x2+2x+5≠0C．∀x∉R，x2+2x+5=0D．∀x∉R，x2+2x+5≠0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+5=0”的否定是：∀x∈R，x2+2x+5≠0．故选：B．3．（5分）设l是空间一条直线，α和β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若l∥α，l⊥β，则α⊥β【解答】解：由l是空间一条直线，α和β是两个不同的平面，知：在A中：若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中：若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故B错误；在C中：若α⊥β，l⊥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；在D中：若l∥α，l⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．4．（5分）“直线ax+3y+1=0与直线2x+（a+1）y+1=0平行”是“a=﹣3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当直线ax+3y+1=0与直线2x+（a+1）y+1=0平行时，a（a+1）﹣2×3=0，解得a=﹣3或a=2（两直线重合，应舍去），充分性成立；当a=﹣3时，直线﹣3x+3y+1=0与直线2x﹣2y+1=0平行，必要性成立；∴“直线ax+3y+1=0与直线2x+（a+1）y+1=0平行”是“a=﹣3”的充要条件．故选：C．5．（5分）椭圆的焦距与短轴长相等，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵椭圆的焦距与短轴长相等，∴2c=2b，即b2=c2椭圆方程中的a，b，c之间的关系是a2=b2+c2，把b2=c2代入a2=b2+c2中化简得：=，即=所以椭圆的离心率为：故选：C6．（5分）与曲线共焦点，而与双曲线共渐近线的双曲线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知椭圆焦点在y轴上，且c==5，双曲线的渐近线方程为y=±x，设欲求双曲线方程为，则，解得a=4，b=3，所以欲求双曲线方程为．故选：D．7．（5分）抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是（）A．（1，1）B．（）C．D．（2，4）【解答】解：设抛物线y=x2上一点为A（x0，），点A（x0，）到直线2x﹣y﹣4=0的距离d==，∴当x0=1时，即当A（1，1）时，抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短．故选：A．8．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是（）A．（5+）πcm2B．（5+2）πcm2C．（6+）πcm2D．（6+2）πcm2【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体上部分为圆锥体，下部分为圆柱体；且圆锥体的高为2，底面圆半径为1，所以圆锥的母线长为=，所以圆锥的侧面积为π•1•=π；又圆柱的底面半径为1，高为2，所以圆柱的侧面积为2π•1•2=4π，底面圆面积为π•12=π；所以该几何体的表面积为S=π+4π+π=（5+）π（cm2）．故选：A．9．（5分）已知△ABC在平面α内，直线CD⊥平面α，P是平面α内的一个动点，设P到直线AB的距离为d1，P到直线CD的距离为d2，若d1=d2，则动点P的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线【解答】解：由题意，在平面α内，P到直线AB的距离等于P到点C的距离，∴动点P的轨迹是抛物线．故选：B．10．（5分）已知A（﹣1，0），B（2，0），平面内与点A距离为1，且与点B距离为2的直线的条数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：设与A（﹣1，0）的距离为1且与点B距离为2的点为P（x，y），∴，∴，∵（x+1）2+y2=1的圆心C1（﹣1，0），半径r1=1，（x﹣2）2+y2=4的圆心C2（2，0），半径r2=2，|C1C2|==3=r1+r2，∴两圆外切，有3条公切线，∴满足条件的直线有3条．故选：D．11．（5分）已知A（2，0），B（﹣2，0），P（x，y），下列命题正确的是（）A．若P到A，B距离之和为4，则点P的轨迹为椭圆B．若P到A，B距离之差为3，则点P的轨迹为双曲线C．椭圆+=1上任意一点M（长轴端点除外）与A，B连线斜率之积是﹣D．双曲线﹣=1上任意一点M（实轴端点除外）与A，B连线斜率之积是﹣【解答】解：∵A（2，0），B（﹣2，0），P（x，y），∴|AB|=4，若P到A，B距离之和为4，则点P的轨迹为线段AB，故A错误；若P到A，B距离之差为3，则点P的轨迹为双曲线的左支，故B错误；依题意可知A（2，0），B（﹣2，0）是椭圆+=1顶点，M是椭圆椭圆+=1上任意一点，设坐标为M（2cosα，），∴MA、MB的斜率分别是k1=，k2=∴k1k2=×==﹣，故C正确；依题意可知A（2，0），B（﹣2，0）是双曲线=1的项点，椭圆+=1焦点，M是双曲线﹣=1上任意一点，设坐标为M（2sect，tant），∴MA、MB的斜率分别是k1=，k2=，∴k1k2=×=，故D错误．故选：C．12．（5分）若P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不正确的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PAE⊥平面ABC D．平面PDF⊥平面ABC【解答】解：∵P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DF∥BC，∵DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A正确；∵PA=PB=PC，E是BC中点，∴PE⊥BC，AE⊥BC，∵PE∩AE=E，∴BC⊥平面PAE，∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，故B正确；∵BC⊥平面PAE，BC⊂平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，故C正确；设AE∩DF=O，连结PO，∵O不是等边三角形ABC的重心，∴PO与平面ABC不垂直，∴平面PDF与平面ABC不垂直，故D错误．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）抛物线y=2x2的焦点坐标是（0，）．【解答】解：抛物线y=2x2的方程即x2=y，∴p=，故焦点坐标为（0，），故答案为：（0，）．14．（5分）若直线2x+ay﹣7=0和直线（a﹣3）x+y+4=0互相垂直，则实数a=2．【解答】解：∵直线2x+ay﹣7=0和直线（a﹣3）x+y+4=0互相垂直，∴2（a﹣3）+a×1=0，解得a=2．故答案为：2．15．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥AB，AA1=4，AB=AC=2，则此三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球表面积为32π．【解答】解：由于直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，把直三棱柱ABC﹣A1B1C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为=2，表面积为4π•8=32π．故答案为：32π．16．（5分）已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线的一个交点为P，且P在第一象限内，若|PF2|=2a，则双曲线的离心率为3．【解答】3解：由题得以F1F2为直径的圆的圆心是（0，0），半径为：c；故圆的标准方程为：x2+y2=c2又双曲线的其中一条渐近线方程为：y=x联立可得：，即P（a，b）．∵F2（c，0），|PF2|=2a∴|PF2|==2a，平方得（a﹣c）2+b2=12a2，即a2﹣2ac+c2+c2﹣a2=12a2，即c2﹣ac﹣6a2=0，即e2﹣e﹣6=0，即e=3或e=﹣2（舍），故双曲线的离心率为3．故答案为：3三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知命题p：关于x的方程x2﹣2mx+1=0有实数根，命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2），若￢q与p∧q均为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若命题p为真，则有△=4m2﹣4≥0，解得m≤﹣1或m≥1，当p为假时有﹣1＜m＜1．…（3分）若命题q为真，则有1＜＜4，即解得0＜m＜15．…（6分）因为“﹁q”为假命题，“p∧q”为假命题，所以q为真命题，p为假命题．…（8分）于是由解得0＜m＜1．故所求实数m的取值范围是0＜m＜1．…（10分）18．（12分）已知圆C经过抛物线y=x2﹣4x+3与坐标轴的三个交点．（1）求圆C的方程；（2）设直线2x﹣y+2=0与圆C交于A，B两点，求|AB|．【解答】解：（1）抛物线y=x2﹣4x+3与坐标轴的交点分别是（1，0），（3，0），（0，3）…（3分）所求圆的圆心是直线y=x与x=2的交点（2，2），圆的半径是，于是圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=5．…（6分）（2）圆心C到直线2x﹣y+2=0的距离d=…（9分）|AB|=2=…（12分）19．（12分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E在棱CC1上，CE=2EC1，AB=6，M，N分别为棱AB和AD的中点．（1）求三棱锥M﹣BDE的体积；（2）求证：平面C1MN∥平面BDE．【解答】解：（Ⅰ）∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=6，CE=2EC1，∴CE=4．∵CE⊥平面BDM，=V E﹣BDM=S△BDM•CE==12．∴V M﹣BDE（Ⅱ）连接AC与MN和BD分别交于F，G两点，连接C1F和EG．∵M，N分别是AB和AD的中点，∴MN∥BD，又∵MN⊄平面BDE，BD⊂平面BDE，∴MN∥平面BDE．∵==2，∴EG∥C1F，又∵C1F⊄平面BDE，EG⊂平面BDE，∴C1F∥平面BDE．∵C1F⊂平面C1MN，MN⊂平面C1MN，C1F∩MN=F，∴平面C1MN∥平面BDE．20．（12分）已知抛物线y2=4x和点M（6，0），O为坐标原点，直线l过点M，且与抛物线交于A，B两点．（1）求•；（2）若△OAB的面积等于12，求直线l的方程．【解答】解：（1）设直线l的方程为x=my+6，A（x1，y1），B（x2，y2），由x=my+6与抛物线y2=4x得y2﹣4my﹣24=0，显然△＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣24，x1x2=36可得•=x1x2+y1y2=12．…（6分）=|OM|•|y1﹣y2|=3=12=12，（2）S△OAB∴m2=4，m=±2．那么直线l的方程为x+2y﹣6=0和x﹣2y﹣6=0…（12分）21．（12分）如图，多面体ABCDE中，ABCD是矩形，AB=2，BC=2，直线DA ⊥平面ABE，AE=BE，O为棱AB的中点．（1）求证：直线BD⊥平面OCE；（2）在线段BD上是否存在点F，使直线AF∥平面OCE？若存在，求线段DF的长，若不存在，请说明理由．【解答】（本题满分为12分）解：（1）证明：∵AD⊥平面ABE，OE⊂平面ABE，∴AD⊥OE；∵AE=BE，AO=BO，∴AB⊥OE，又AB∩AD=A，∴OE⊥平面ABCD，于是OE⊥BD；∵==，∴∠COB=∠ADB，而∠ADB+∠ABD=90°，则∠COB+∠ABD=90°，于是∠OMB=90°，即BD⊥OC；又OE∩OC=O，故直线BD⊥平面OCE．…（6分）（2）在线段BD上存在点F，使直线AF∥平面OCE．过A作AF⊥BD，垂足F，由（Ⅰ）知AF∥OC，OC⊂平面OCE，AF⊄平面OCE，可得直线AF∥平面OCE．Rt△DAB内，由勾股定理知BD=，另有cos∠ADB===，Rt△DAF内，DF=DAcos∠ADB=．…（12分）22．（12分）已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，右焦点为F（2，0），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆C于不同的两点M，N，线段MN 的垂直平分线与x轴交于点D，求点D的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，c=2，e==，故a=，b=2，故椭圆C的方程为+=1；（2）设直线l的方程为y=k（x﹣2），k为斜率且k≠0，设M（x1，y1），N（x2，y2），将其代入+=1，整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，由于F在椭圆内，当然对任意实数都有△＞0；根据韦达定理得，x1+x2=，x1x2=；y1+y2=k（x1﹣2）+k（x2﹣2）=k（x1+x2）﹣4k=，于是线段MN的中点为（，），则线段MN的垂直平分线方程为y﹣=﹣（x﹣）．令y=0，得x==1﹣，1+2k2∈（1，+∞），所以点D横坐标的取值范围是（0，1）．。