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4力学量与算符

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第二讲 力学量算符

第二讲 力学量算符




（2-20）
ˆ,a ˆ 1 ˆ 是方向的动量算符， a ˆ 与a ˆ 满足的对易关系 a 其中 p ˆ n ＝a ˆ n n 1 ＝ na ˆ n 1 ˆ a ˆ n ＝a N
＝ n n n ＝n n


（2-21）
ˆ 的本征值为粒子数 n 0,1, 2.... ，故称 N ˆ ＝a ˆ a ˆ 为粒子数算符， n 为 n 粒子态 即N
（5）证明:论据同（4） ：
2 2 [ p, pf p] p f p pf p p( pf f p) p

h pf p i
5
石家庄学院量子力学考研辅导习题讲解之二 力学量算符
主讲教师
吴海滨
（6）证明:论据同（4） ：
2 2 2 2 2 h [ p, f p ] pf p f p ( pf f p) p f p i
qpfp pfpq hipf qpfp pqfp hipf ( qp pq ) fp hipf hi ( fp pf )
（3）证明:同前一题论据：
[ q, fp 2 ] qfpp fppq fqpp fppq fqpp fp ( qp hi ) fqpp fpqp hifp
f ( qp pq ) p hifp 2hifp
（4）证明:根据题给对易式外，另外应用对易式
[ p , f ( q )]
h f i
( f )
df dq
2 2 2 2 [ p, p f] p f p f p p ( pf f p)
2 h 2 p [ p, f ] p f i
h 2 p f i h pf p i h f p2 i
矩阵力学知识点

矩阵力学知识点

矩阵力学知识点矩阵力学是量子力学的一个重要分支，它通过矩阵和线性代数来描述物理系统的性质和演化规律。

在这篇文章中，我们将介绍一些矩阵力学的基本概念和关键知识点。

1. 矩阵和矢量在矩阵力学中，我们使用矩阵来表示物理量和物理系统。

一个矩阵可以看作是一个有序的数值集合，它们按照一定的规则排列在一个矩形的方阵中。

而矢量则是矩阵的一种特殊形式，它可以被表示为一个列矩阵或行矩阵。

2. 矩阵的运算矩阵力学中，有许多重要的矩阵运算，其中包括加法、减法、数乘和矩阵乘法等。

矩阵加法和减法遵循矩阵对应元素相加（或相减）的规则。

数乘则是将矩阵中的每一个元素乘以一个常数。

矩阵乘法是矩阵力学中最重要的运算，它的结果是两个矩阵之间的线性组合。

3. 基态和本征值在矩阵力学中，基态是指物理系统的最低能量状态，通常用一个矢量表示。

本征值则是描述物理量的特征值，它是通过使用特征方程来计算得到的。

4. 变换矩阵变换矩阵在矩阵力学中扮演着重要的角色。

变换矩阵用于描述物理系统在不同坐标系下的变换规律，通过矩阵乘法来实现这种变换。

5. 算符和力学量算符是矩阵力学中另一个重要概念，它用于描述物理系统的力学量。

算符可以对矢量进行操作，从而得到该物理量的测量结果。

算符也可以用于描述系统的演化规律。

6. Heisenberg方程和Schrödinger方程Heisenberg方程和Schrödinger方程是矩阵力学中的两个基本方程。

Heisenberg方程描述了物理系统的演化，它通过施加算符对矢量进行变换，得到测量结果。

Schrödinger方程则是用于描述物理系统的波函数演化，它通过线性方程组来计算波函数的变化。

7. 不确定性原理不确定性原理是矩阵力学中一个非常重要的概念。

根据这一原理，无法同时确切知道一个粒子的位置和动量，而只能知道它们的概率分布。

总结：本文简要介绍了矩阵力学的一些核心概念和知识点。

矩阵力学通过矩阵和线性代数的方法描述了物理系统的性质和演化规律。

量子力学最全名词解释及知识点整理

量子力学最全名词解释及知识点整理

两电子自旋相互反平行的态是单一的，这种态称为单态；两电子自旋相互平行的能级
是三重简并的，对应于这些能级的态称为三重态（ | 1,1⟩, | 1, − 1⟩, | 1,0⟩）
29. 正氦与仲氦p206
处于三重态的氦称为正氦，处于单态的氦称为仲氦，或者说基态的氦是仲氦
一些结论
1. 谐振子能量本征函数及其性质


为动量，λ为波⻓。
4. 态叠加原理（Superposition principle）：p17
对 于 一 般 的 情 况 ， 如 果 ψ1 和 ψ2 是 体 系 的 可 能 状 态 ， 那 么 它 们 的 线 性 叠 加
ψ = c1ψ1 + c2ψ2也是这个体系的一个可能状态，其中c1和c2为复常数。
20. 偶极跃迁、偶极近似（Electric Dipole Approximation）： p146
由于电磁波中电场对电子能量的影响远大于磁场，忽略光波中的磁场作用和原子的尺
寸，把电场近似地用Ex = E0 cos ωt（沿z轴传播的平面单色偏振光的电场）表示后得到的
结果，这样讨论的跃迁称为偶极跃迁，这种近似叫做偶极近似。
22. 简单塞曼效应、复杂塞曼效应（Zeeman e ect）：p181
在外磁场较强的情况下，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中将分裂为三条，这就是 简单塞曼效应。
在外磁场较弱时，电子自旋与轨道相互作用不能够忽略，光谱线分裂成偶数条，这称 为复杂塞曼效应。
23. 好量子数：p187
守恒量的特点：测量值的几率分布不随时间变化，守恒量的量子数称为好量子数。
•
谐振子能量的本征函数为：ψn(x)
=
Nne−
1 2
α2 x2Hn(α
[理学]第三章量子力学中的力学量1

[理学]第三章量子力学中的力学量1


能量本征方程（定态薛定谔方程） 于这个本征值的本征函数。根据以上假定，当 粒子属于这个状态时，坐标确定，坐标值就是 本征值 r ' 。 角动量本征方程
ˆ r r ' 坐标本征方程，注意这里 r '是本征值，r ' 是属 r r' r' r'
ˆ LL ' L 'L '
注意：这些量的分量也可构成各自的本征方程。
ˆ x p
当粒子处在这个方程的解 描述的状态中 时，它的动量在x方向上的分量是确定的， 值就是所属的本征值
力学量的值肯定是实数。根据以上基本假定，这些力学量算符的 本征值是粒子力学量的某个值。因此力学量算符的本征值必须是 实数。下面我们将要介绍一种重要的算符——厄密算符
（7）复共轭算符 算符Û的复共轭算符 Û*就是把Û表达式中 的所有量换成复共轭.
ˆ O
设定义式中 则，
* ˆ ˆ )* d O d ( O
* * d ( ) d
* d * * d * * d
因为波函数 是平方可积的即
* d d A 2
ˆ T
2
2
2
前面我们已经通过能量本征值方程揭示了能量算符和能量之间 的密切关系。下面我们将这个结论推广到其他所有的物理量上：
量子力学基本假定
ˆ 表示，那么当微观粒子体系处于 F ˆ的 如果力学量 F 用算符 F ˆ 的本征函数 来描述。）时， 本征态 （即体系的状态用 F 力学量 F 具有确定值。这个值就是本征函数 所属的那个本 征值 。它们之间的关系用数学形式表达即： ˆ 本征方程 ˆ 算符 F F
第六章-力学量与本征态1

第六章-力学量与本征态1

第六章 力学量与本征态 §6 - 1 量子力学中的力学量 一 力学量用算符表达量子力学中的两个基本概念 ● 量子态 波函数 ● 力学量 （具有特定性质的）算符算符代表着对波函数的一种运算（但并不一定都与力学量相对应）：()ddx ψ：对波函数取导数，ψ)(r U ：对波函数乘以)(r U ，*ψ： 对波函数取复共轭，ψ： 对波函数开平方根考察位置算符r 和动量算符pˆ：r r →,（6. 1）∇-=→ i ˆpp . （6. 2）经典力学中的力学量还有：势能)(r V 纯位置坐标的函数（算符不变）力)()(r r F V ∇-=速度m /p v = 动量的函数（算符可由动量的对应关系得出）动能m p T 2/2= 动能2222ˆ ()222P T m m m x y z222222∂∂∂==-∇=-++∂∂∂ (6. 3)角动量∇⨯-=⨯=r p r Li ˆˆ (6. 4)在直角坐标系中的分量表达式)(i ˆˆˆyz z y p z py L y z x ∂∂-∂∂-=-= )(i ˆˆˆzx x z p x pz L z x y ∂∂-∂∂-=-=(6. 5))(i ˆˆˆxy y x p y px L x y z ∂∂-∂∂-=-=角动量算符Lˆ的模方(L ˆ的平方) L LL ˆˆˆˆ22⋅==L 222ˆˆˆz y x L L L ++=. (6. 6)角动量在球面坐标系的表示]sin 1)sin (sin 1[ˆ22222ϕθθθθθ∂∂+∂∂∂∂-= L(6. 7)ϕ∂∂-= i ˆz L (6. 8)θθθθθ2222sin ˆ)sin (sin ˆzL L +∂∂∂∂-= （6. 9）利用了：ϕθcos sin r x =，ϕθsin sin r y =， θcos r z =；2222z y x r ++=，rz =θcos , x y=ϕtan .图21 - 1 球面坐标系二 量子力学中的哈密顿量1、 哈密顿算符 薛定谔方程的普遍形式在量子力学中，薛定谔方程的普遍形式是ψψH tˆi =∂∂(6. 10)式中H ˆ是体系的哈密顿算符( = 动能函数 +势能函数)V T H +=,(6. 11)对于一个粒子在势场V ( r )中运动的情况，有)(2ˆ22r V mH +∇-= ,(6. 12) 讨论：● 哈密顿算符决定了体系的量子态随时间的变化规律，在量子力学中占有特别重要的地位。

3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件

3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件

第三章 量子力学中的力学量
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Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation 一、算符间的对易关系 (Commutation relation of operators)
ˆ ,L ˆ ]i L ˆ [ L x y z ˆ ˆ ]i L ˆ [ Ly , L z x ˆ ˆ ]i L ˆ [ L , L z x y
ˆ ˆ ˆ [ L , L ] i L , 123 1 εαβγ—列维--斯维塔(j (j=1,2,…) 分别将gj代入前式可得对应于每个gj的一组解
第三章 量子力学中的力学量
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Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
所以相应的波函数
n j ai jni ( j 1, 2,
ˆ y (i p ˆz ) i p ˆz p ˆy p ˆ z (i p ˆy) i p ˆy p ˆz 0 00 p
ˆ ,p ˆ ,p ˆ 2 ] 0,[ L ˆ 2] 0 [L y z
第三章 量子力学中的力学量
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Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
第1章 量子力学基础知识

第1章 量子力学基础知识


d 8 m E 2 2 dx h
2 2
8 m E 8 m E c1 cos( ) x c2 sin( ) x 2 2 h h
2 1 2 2 1 2
边界条件： x 0 , 0
2
x l , 2 0
8 m E 8 m E c1 cos( ) x c sin( ) x 2 h2 h2
1927年，美国, C. J. Davisson L. H. Germer 单晶 体电子衍射实验 G.P.Thomson 多晶金属箔电子衍射实验 质子、中子、氦原子、氢原子等粒子流也同样观 察到衍射现象，充分证实了实物微粒具有波动性， 而不限于电子。
22
氧化锆晶体的X射线衍射图
金晶体的电子衍射图
23
n h E 2 8m l
2
n 1,2,3,
nx ( x) c2 sin( ) l
nx ( x) c2 sin( ) l
nx c sin ( )dx 1 l 0
l 2 2 2
* d 1
nx 2 c sin ( ) 1 l 0
l 2 2 2
2 c2 l
25
波粒两相性是微观粒子运动 的本质特性，为微观世界的 普遍现象。
26
-1.1.4- 不确定关系(测不准原理)
x D A e O P
y
Q
A
O C
P psin
电子单缝衍射实验示意图
单 缝 衍 射
1.2 量子力学基本假设
量子力学是描述微观粒子运动规律 的科学。 电子和微观粒子不仅表现出粒性， 而且表现出波性，它不服从经典力 学的规律。
31
-1- 波函数和微观粒子的运动状态
量子力学教程-周世勋-第三章算符

量子力学教程-周世勋-第三章算符

C 为常数
ˆ, B ˆ, B ˆ ] = C[ A ˆ ] C 为常数 [CA
ˆ +A ˆ ,B ˆ ,B ˆ ,B ˆ] ˆ] = [A ˆ]+[A [A 1 2 1 2 ˆA ˆ ˆ ˆ ,B ˆ +A ˆ [A ˆ ,B ˆ] ˆ ]A [A 1 2 , B] = [ A 1 2 1 2
∂ ˆ ˆ ∂ ˆ ˆ ˆ, ∂ B ˆ] [ A, B ] = [ A , B] + [ A ∂t ∂t ∂t
中，因
+ * % d d ˆ + = ⎛ h ∂ ⎞ = ⎛− h ∂ ⎞ = P ˆ 。也可以直接从定义式（3.1-3）出发，来 = − ，所以 P x x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dx dx ⎝ i ∂x ⎠ ⎝ i ∂x ⎠
ˆ 是厄密算符。 证明 P x
∫
∞
−∞
ˆ φ dx = ϕ *φ |∞ − ϕ *P −∞ x
3．其他对易关系 （1）角动量算符与位置算符之间的对易关系
67
ˆ , x] = [ yP ˆ , zP ˆ , x] = 0 [L x z y ˆ , y ] = [ yP ˆ − zP ˆ , y ] = − z[ P ˆ , y ] = z[ y, P ˆ ] = ihz [L x z y y y
ˆ −1 , FF ˆ =G ˆ ˆ −1 = F ˆ −1 F ˆ = 1。 F
并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
ˆ为 ˆ ( x ) = af ( x ) ，其中 F 对于非齐次线性微分方程： Fu
d 与函数构成的线性算符，a 为常数。 dx
ˆ = 0， 其解 u 可表示为对应齐次方程的通解 u。与非齐次方程的特解 υ 之和，即 u = u0 + v 。因 Fu 0
量子力学的基本假定的解读

量子力学的基本假定的解读

0前言量子力学是物理研究领域较为高深的理论内容,也是长久以来物理专家学者极力探索的科学研究项目。

从整体来看,量子力学的理论框架是由五个基本假定所构成,其内涵较为丰富。

1量子力学的五个基本假定概述有关量子力学基本假定的内容,获得了世界范围内物理学专家和学者的普遍关注和认可,这一知识理论体系在诸多研究领域的应用较为频繁,因其是一项物理学领域当中的基本假定。

但是,任何一个繁杂深奥的学问背后的原理都是可以通过通俗易懂的方式来进行解读地,从而让更多的普通人领悟到科学知识的妙趣所在。

以下内容便是有关量子力学五个基本假定的主体内容:1.1量子力学基本假定之一围观体系的运动状态由相应的归一化波函数描述,波函数是假定一中的关键点。

1.2量子力学基本假定之二围观体系的运动状态波函数随着实践的变化规律遵循薛定谔方程。

1.3量子力学基本假定之三力学量由相应的线性算符来表示(这部分内容与假定二联系起来理解)。

1.4量子力学基本假定之四力学量算符之间有相确定的对易关系,则称其为量子条件;坐标算符的三个直角坐标系分量与动量算符的三个直角坐标系分量之间的对易关系称为基本量子条件;力学量算符由其相应的量子条件来确定。

1.5量子力学基本假定之五全同的多粒子体系的波函数对于任意一对粒子交换而言具有对称性,即波色子系的波函数是对称的,费米子系的波函数是反对称的。

这是五个基本假定理论中最为复杂的假定内容。

2运用麻将骰子模型来解读量子力学的五个基本假定从以往研究量子力学的相关资料中可以查阅得到,可以采用麻将骰子模型来具体解读量子力学的五个基本假定,令量子力学这一高深难懂的理论学问变得易于理解。

实际上,无论是多高深莫测的科学理论,大多可以通过人们熟悉的事物来进行描述,进而让人们领略到科学理论其中的复杂内涵。

因此,在研究量子力学理论的过程中,提出一种麻将骰子模型,并且利用该模型的架构将量子力学的五个基本假定分别进行解读。

实践研究证明,采取的这种麻将骰子模型的形式来解读量子力学这门高深的物理学理论极为可行。

量子力学基本假设

量子力学基本假设


ˆ ˆ A 1 a1 1 ; A 2 a2 2 ; c1 1 c2 2 ; *d 1 ˆ a A d c1 c2
2 2
“对于一个微观体系，厄米算符Â给出的本征函数组1，2，3…形成 一个正交、归一的函数组”
§1.2.5 Pauli原理
§1.2.1 波函数和微观粒子的状态
1. 假设Ⅰ
对于一个微观体系，它的状态和有关情况可用波函数 (x,y,z,t)表示。
称为体系的状态函数（简称态），它包括体系所有的信息。 例：一个粒子的体系，其波函数： ψ=ψ(x, y, z, t) 或 ψ=ψ(q, t) 三个粒子的体系，其波函数： ψ=ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,t)或ψ=ψ(q1,q2,q3,t) 简写为ψ=ψ(1,2,3,t)
22222222222222222222222222222222222222222?p?p?p?p?p?p?p?p?p?p?p?p?p???????????????????????????????????????????????????????????x??????????????????zyxzyxppppziyixixpzyxzyxzyxzyxxxxxxxx???????哈密顿算符hamiltonianvmh?v?t?h?vtemt?mp?t?mpmmvmvt???????????????????222222222222221????p?p?prmxyyximyxmypxpmkypxpj?xpzpi?zpyppppzyxkj?i?mmmzxyzxyzzyzxyzzyxzyx?????????????????????????????若厄米算符?具有本征值则其一定是实数??a????d?a??d????d?a??d?对米算符对于厄米算符
量子力学导论习题答案(曾谨言)

量子力学导论习题答案(曾谨言)

第四章 力学量用算符表达与表象变换 4.1）设A 与B 为厄米算符，则()BA AB +21和()BA AB i-21也是厄米算符。

由此证明，任何一个算符F 均可分解为-++=iF F F ，+F 与-F 均为厄米算符，且()()+++-=+=F F iF F F F 21 ,21 证：ⅰ）()()()()BA AB AB BA B A A B BA AB +=+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++21212121()BA AB +∴21为厄米算符。

ⅱ）()()()()BA AB i AB BA i B A A B i BA AB i -=--=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++++21212121()BA AB i-∴21也为厄米算符。

ⅲ）令AB F =，则()BA A B AB F ===++++，且定义 ()()+++-=+=F F iF F F F 21 ,21 （1） 由ⅰ），ⅱ）得-+-+++==F F F F ,，即+F 和-F 皆为厄米算符。

则由（1）式，不难解得 -++=iF F F4.2）设),(p x F 是p x ,的整函数，证明[][]F ,F,,pi F x x i F p ∂∂=∂∂-=整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞==,),(n m n m mnp x Cp x F 。

证： （1）先证[][]11, ,,--=-=n n m mp ni p x xmi xp 。

[][][][][][][][]()()[]()111111331332312221111,1,3,,2,,,,,------------------=---=+--==+-=++-=++-=+=m m m m m m m m m m m m m m m m m mx m i x i x i m xxp x i m x x p x i x x p x x p x x i x x p x x p x x i xx p x p x x p同理，[][][][][][]1221222111,2,,,,,--------==+=++=+=n n n n n n n n np ni ppx pi p p x p p x p p i pp x p x p p x现在，[][]()∑∑∑∞=-∞=∞=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0,1,0,,,,n m nm mnn m n m mn n m n m mn px m i C p x p C p x C p F p而 ()∑∞=--=∂∂-0,1n m n m mn p x mi C x Fi 。

量子力学第四章-表象理论(3部分)


∑a
n
n
*(t )an (t ) + ∫ aq *(t )aq (t )dq = 1
|aq(t)|2dq 是在 是在Ψ(x,t) 态中 测量力学量 Q 所得结果在 q → q + d q之间的几率。 之间的几率。 之间的几率
在这样的表象中， 在这样的表象中，Ψ 仍可以用一个列矩阵 表示： 表示：
a1(t) a 2(t) M Ψ = a n (t) M aq (t)
将Ψ(x,t) 按 Q 的 本征函数展开： 本征函数展开：
Ψ( x, t ) = ∑ an (t )un ( x)
n
证：
1 = ∫ Ψ * ( x, t )Ψ( x.t )dx
=
an (t ) = ∫ un * ( x)Ψ( x.t )dx
a1(t), a2(t), ..., an(t), ... ...,
∫
ψ p * ( x )ψ p ′ ( x ) e
− iE p′ t / h
dx
所以，在动量表象中， 所以，在动量表象中， 具有确定动量p 的粒 具有确定动量p’的粒 子的波函数是以动量 函数。 p为变量的δ- 函数。 换言之， 换言之，动量本征函 数在自身表象中是一 函数。 个δ函数。
=e
− iE p′ t / h
假设只有分立本征值将q表象的表达方式代入一力学量算符的矩阵表示22211211nm是其矩阵元写成矩阵形式q表象的表达方式11101011计算中使用了公式由此得l在自身表象中具有最简单形式是一个对角矩阵对角元素就是1力学量算符用厄密矩阵表示dx所以厄密算符的矩阵表示是一厄密矩阵
第四章 态和力学量表象
§1 态的表象 §2 算符的矩阵表示 §3 量子力学公式的矩阵表述 §4 Dirac 符号 §5 Hellmann – Feynman 定理及应用 §6 占有数表象 §7 么正变换矩阵

量子力学 算符


ˆx ˆ 1 0 ˆx ˆD D
注：对于单纯是作常数乘法的算符，常省略抑扬符。
（5）算符服从乘法结合律
ˆ (B ˆ) (A ˆB ˆ ˆC ˆ )C A
d ˆ ˆ ˆ 3 ˆ ˆ, C , Bx 例如： A dx
ˆ 3x ˆ (B ˆ )] f D ˆC ˆC ˆ (3xf ) 3 f 3xf ˆ, [ A B
量子力学的哈密顿算符：
2 2
px V ( x) 2m
其本征值为体系 能量的可能值
2
d ˆ H V ( x) 2 2m dx
这种经典力学的物理量（如能量，坐标和动量等等） 与量子力学算符之间的对应性是普遍的。这是量子力 学的一个基本假定。即：每一物理量都有一个对应的 量子力学算符。 问题：如何得到物理量F所对应的量子力学算符呢？
第一步：写出F作为笛卡儿坐标和对应动量的函数的经 典力学表示。 第二步：做以下变换：
笛卡儿坐标q代之以该坐标去乘的算符，即：q ˆ q 线动量的每个笛卡儿分量pq代之以算符：
i ˆq p 2 i i q i q q
例:
对应于坐标的算符是乘以坐标：
2 2 d ˆ T ˆ V ˆ H V ( x) 2 2m dx
这与不含时间的薛定谔方程一致。
d [ V ( x)] ( x) E ( x) 2 2m dx
2
2
量子力学算符与体系对应的性质的关系
ˆ 的具有本征值 若i 是 F
a i 的本征函数，则有：
ˆ a F i i i
由此可见，算符的假设和薛定谔方程实际上是一致的。
2
2
量子力学体系的态用包含我们可能了解的关于体系的全 部知识的态函数Ψ(x，t)来描述。Ψ如何给出关于性质F 的知识呢？

4.态和力学量的表象


例1：矢量 的性质(大小和方向)与所选的坐标系无关 直角坐标系： ，极坐标系： 例2：态Y描述的体系性质(能量、动量等)与所选的表象无关 A表象(un(x))：

B表象(vn(x)) ：


当描写态和力学量的时候，不用具体的表象，而用狄拉克引用的 一套与表象无关的符号，称为狄拉克符号(Dirac notation) 狄拉克符号中的态 普通情况：右矢(bra) 代表 ，左矢(ket) 代表 在坐标表象中： 在Q表象(un(x))中： 特殊情况：加入波函数符号或本征值或相应量子数，区别不 同的态，如
占有数表象

的本征值是n，对应的本征态是 ，该态表示n个能量为 的粒子，称 为粒子数算符 以 为基矢的表象称为占有数表象 占有数表象中的算符

占2/2
作业

4.1，4.2，4.3
作1/1

例：d势阱

普通的性方程

最适当的表象依赖于具体的问题
动2/2
算符的矩阵表示

Q的表象(只有分立本征值Qn，本征函数是un(x))下的算符

厄密算符在Q表象中的表示是厄密矩阵

算符Q在自身的表象中是对角矩阵——求解薛定谔方程
算1/2

Q的表象(只有连续本征值q，本征函数是uq(x))下的算符
态的表象

动量表象中，具有确定动量p'的波函数是以p为变量的d函数 例4：坐标表象中，位置固定的粒子(坐标x')波函数


坐标表象中，具有确定坐标x'的波函数是以x为变量的d函数 例5：动量表象中的坐标算符 动量表象中，动量算符就是自身 对易关系在不同的表象中都一样

量子力学第三章算符

第三章算符和力学量算符之宇文皓月创作3.1 算符概述设某种运算把函数u变成函数v，用算符暗示为：3.1-1）u与v中的变量可能相同，也可能分歧。

例如，x，1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u（2）算符的相加：对于任意函数u，若，则（3）算符的相乘：对于任意函数u2．几种特殊算符（1）单位算符对于任意涵数u1是等价的。

（2）线性算符对于任意函数u与v算符。

（3）逆算符对于任意函数u并不是所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。

的线性算符，a为常数。

其解u可暗示为对应齐次方程的通解u。

与分，但如果当a=0述分析可知，是否存在逆算符还与算符所作用的函数有关。

（4）转置算符函数的转置就等于它自己。

3.1-2）也应满足连续性条件：可都等于零]（5）转置共轭算符（也称为厄密共轭算符）与厄密算符转置共轭算符通常也是向左作用的算符，同时算符自己要取共义为：3.1-3）可以证明，位置算符与动量算符都是厄密算符。

因x是实数，而，所以。

在任意标积中，因，所以3.1-3）出发，来证（6）幺正算符（7）算符的函数设函数F（A F为：（3.1-4）n3.2算符的对易关系定义算符的泊松（Poisson）括号为：（3.2-1）的。

1．量子力学中基本对易关系在位置表象中，，即在动量表象中可见在位置表象中与动量表象中都得：（3.2-2）如果两个算符所含的独立变量分歧，则这两个算符是对易的。

例yx。

又如，在有心力场中，U(x)所含的变量是rx，y，z（3.2-3）（3.2-4）式就是量子力学中的基本对易关系式。

2．线性算符泊松括号的性质根据量子泊松括号的定义式以及线性算符的定义式不难证明下关系式：（其证明供练习）3.2-5）为常数（3.2-6）为常数（3.2-7）3．其他对易关系（1）角动量算符与位置算符之间的对易关系采取爱因斯坦记号，则上式可写为：3.2-11）Levi-Civita所有角标都是反对称的，即交换任意两个角标，其值反号，例如，数学性质：3.2-12）i ，j 反对称之故。

量子力学导论第4章答案参考资料

第四章力学量用算符表达与表象变换1 14.1 ）设A 与B 为厄米算符，则—AB BA 和 AB 一 BA 也是厄米算符。

由此证明，任何一个算符2 2i分解为F =F . • iFF 与F_均为厄米算符，且证：i)1AB BA1 -AB BA 为厄米算符。

1 1 1二—B A - A B 二 丄 BA - AB 二丄 AB - BA -2i 2i 2i二1（AB - BA ）也为厄米算符。

iii ）令 F 二 AB ，则 F 二 AB = B A ；= BA ,由i ） ,ii ）得F . = F , F_ = F_，即卩F 和F_皆为厄米算符。

则由（1）式，不难解得F iF4.2）设F （x, p ）是x, p 的整函数，证明整函数是指F(X, p)可以展开成F(X,p) = v C mn X m p n 。

m,n =0证： (1)先证 p,x m L -mi x m 4, X, p n]二 ni pn/。

p,xm ] =x m4 lp,x 「p, x m4 xi x m4 x m ^ ip,xk p,x m Q x 2 --2i x m4 x m ： b, x 殳2 b,x m ； x 3=-3i x m4 ■ 'p,x m ^x 3 二… =-m -1i 乂心■ b,x m —z x m _ --m -1 i x m4 -i x m J 二 mi x m4同理，F 均可1 ^2i F -F1F =2 F F ,1 11 B A A B BA AB AB BAii)扌 AB 一 BA 且定义F T F「F(1)'p,F:xX, p n .1 - p n二X, p Z- X, p n J Ip=i*p n' + p n~ IX, p】p + X, p n~ 】p2= 2i%n」+ k, p n，】p 2=n卷p n」现在，Ip,F ]= |P, hC mn X”=送C mn b,X m Ip"Q QC mn -mi x mJ p nm,n兰:F 7而-i ——C mn -mi x mJ p n。

7.2 力学量(算符)的矩阵表示


量子力学教程(第二版)
三、力学量的表象变换
ˆ L kj (y k , Ly j ) F表象（基矢yk）中，力学量L表示为矩阵（Lkj）,矩阵 元 ˆ F′表象（基矢y）中，力学量L表示为矩阵（L'b）,矩阵元 L b (y , Ly b )
y
y k (y k , y )

a
k
k
ˆ Ly
k
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
两边左乘 y
bj
j
,取标积，得
ˆ (y j , Ly k )a k

k
L
k
jk
ak
(6 )
其中
ˆ L jk (y j , Ly k )
(7 )
式(6)表示成矩阵形式则为
b1 b2 L1 1 L21 L1 2 L22 ... a 1 ... a 2
sin q A1 co s q A 2
7.2 力学量（算符）的矩阵表示
量子力学教程(第二版)
把矢量逆时针方向旋转q角的操作可用R(q )刻画
co s q R (q ) sin q
sin q
co s q
(4)
它的矩阵元是描述基矢在旋转下如何变化的. 例如第一列元素
xy
n
1
n 2
y
n 1

n 1
y n 1 2
(9 )
d dx
y
n

n 2
y
n 1

n 1
y n 1 2
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态迭加原理要求力学量算符为线性的。
证明：若1, 2 是方程Hˆ E 的解，即：
i 1 t
Hˆ 1
①；
i 2 t
Hˆ 2
②
则① c1 ＋② c2 有：
i
t
(c11
c 2 2
)
c1Hˆ
1
c2Hˆ 2
③
而根据态迭加原理，c11 c22 也是方程的解，即：
i
t
(c11
c 2 2
)
Hˆ
(c11
(2)
pˆ
x
dx
i
dx x
i
i
dx
x
(i
) dx
x
(pˆ
x
)
dx
.
(3)解法同上，有： dx
(
) dx
x
x
<2>厄米算符的本征值为实数（定理内容） 证明：若 是Fˆ 的属于本征值 的本征函数，即Fˆ ，则
Fˆ d d
①
(Fˆ )d ()d d
而k
（对于连续谱的情况同样可证）
）
假设：如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学 量， 则 表 示这 个 力学 量 的 算符 Fˆ 由经 典 表 示 式F(r, p) 中 将
r
rˆ
r
；
p
pˆ 而得出，即：Fˆ
Fˆ (
rˆ
, pˆ ）
Fˆr(,
i)
。
这就是量子力学中表示力学量算符的规则。
研究算符之间的关系以及它们代表的物理量之间的关系。
为：
1 (x)2 (x)dx 0
类似的有：
1 (r )2
( r )d
0
，积分对
r
变化的全部区域进行。
若 1(r), 2 (r) 是复函数，且满足关系式：
（1 r)2 (r)d 0
全部区域
则称为两函数1(r), 2 (r) 相互正交。
例如：动量本征函数p
(
r)
1 (2)3/ 2
i pr
zˆ, pˆ y zˆ, pˆ x 0 ； pˆ x , pˆ y =pˆ x , pˆ z = pˆ y ,pˆ z =0
以上可总结为基本对易关系：
x x
i i
, ,
p x
j j
iij 0
i, j 1,2,3
p
i
,
p
j
0
即动量分量和它所对应的坐标分量是不对易的，而和不对应的坐
c2Gˆ u
2
Fˆ 线性
)
c1Fˆ Gˆ u1 c2Fˆ Gˆ u 2
即线性算符关于乘法是闭合的。
5.算符的本征值与本征函数 <1 >若对某函数 u ，有Fˆ u u, 其中 是数量，则称 为Fˆ 的本 征值（固有值），u 是 Fˆ 的属于本征值 的本征函数。上式称为 算符 Fˆ 的本征值方程（如：Hˆ E ）。方程的解除了决定 Fˆ 的具体形式以外，还决定于 u 满足的条件， 可取分立值，用 n 表示，也可取连续值。 <2 >如对应一个 只有一个 u ，则 为非简并（如线性谐振子的 能量本征值）；如对应一个 有 n个本征函数，即u1, u 2 ,u n ， 并且它们是线性独立的，则 为 n度简并。 例如：自由粒子的能量本征值为 2 度简并。
k d 0 (k )
证明： 因 Fˆ k k k ； Fˆ ，则有：
(Fˆ k ) d k k d k k d k Fˆ d k d 而 (Fˆ k ) d kFˆ d
则： k k d k d
即：( k ) k d 0 所以： k d 0
c1Gˆ u1
c2Gˆ u 2
c1 (Fˆ u1 Gˆ u1) c 2 (Fˆ u 2 Gˆ u 2 )
和定义
c1(Fˆ Gˆ )u1 c2 (Fˆ Gˆ )u 2 即线性算符关于加法是闭合的。
<3 >线性算符之积仍是线性算符
Fˆ Gˆ (c1u1
c2u2
)
Gˆ 线性
Fˆ (c1Gˆ u1
②
由厄米算符的定义，且令 ，则有：①＝②
于是 为实数
所以厄米算符又叫实算符。
<3>厄米算符Fˆ , Gˆ 之和仍是厄米算符
证明： (Fˆ Gˆ )d (Fˆ Gˆ )d Fˆ d Gˆ d
(Fˆ )d (Gˆ )d [(Fˆ Gˆ )d [(Fˆ Gˆ )]d
力学量—表示一个体系力学性质的量。
微观体系的力学量与经典系统的力学量有着重要的区别的： 经典力学体系中假定力学量都是可以连续变化的，任何两个 力学量（如：x, px ）可同时具有确定值，即存在轨道的概念； 微观体系的一些量却往往只取分立值（如势阱中粒子的能 量，线性谐振子的能量，原子的能量及角动量等），也有些量根 本不可能同时具有确定值（如：x和px ；T和U ）。微观体系的 这些特点源于它的波动性（无轨道问题）。 正是由于这种差别的存在，在量子力学中引入算符来表示 微观粒子的力学量。
一、算符的对易关系：
Gˆ , Fˆ
Gˆ Fˆ
Fˆ Gˆ
0 0
Fˆ , Gˆ 对易 Fˆ , Gˆ 不对易
1.坐标算符xˆ 和动量算符pˆ x 的对易关系x, pˆ x ? 将x, pˆ x xpˆ x pˆ x x 作用在任意波函数上，即：
( xpˆ x
pˆ x x
)(x)
x(i) x
数。在量子力学中，大部分算符采用如下形式：
Fˆ
a0
a1
x
a2
2 x 2
b1
y
b2
2 y2
c1
z
c2
2 z 2
其中a 0 , a1, a 2 ,, b1, b2 ,, c1, c2 是x, y, z 的函数。如xˆ , pˆ x , Hˆ ，
还有要讲的角动量算符Lˆ 等…。 1.算符的相等
若对任意的函数 u ，有Fˆ u Gˆ u , 我们称 Fˆ 与Gˆ 相等，记为：
Fˆ d (Fˆ )d （一、二和三维都适用）
或 Fˆ d Fˆ d Fˆ d
则称Fˆ 为厄米算符。 其中“ ”表示取复数共轭； Fˆ u (Fˆ u) 是 Fˆ 的定义。
例：xˆ
x
和 pˆ x
i d dx
是厄米的，而 不是厄米的。 x
(1)
xdx
(x
)
dx
（因为x 是实数）
如：x, d , 2 是线性算符，而 和乘方为非线性算符。 dx xy
<2 >线性算符Fˆ , Gˆ 之和仍是线性算符
和定义
(Fˆ Gˆ )(c1u1 c2u 2 ) Fˆ (c1u1 c2u 2 ) Gˆ (c1u1 c2u 2 )
Fˆ ,Gˆ 线性
c1Fˆ u
1
c 2 Fˆ u 2
3.算符对易关系的运算法则： <1>[ Aˆ , Bˆ ] = [Bˆ , Aˆ ] ； <2>[Aˆ , Aˆ ] =0； <3>[ Aˆ , c] =0 （c 为复常数）； <4>[ Aˆ , Bˆ Cˆ ] =[Aˆ , Bˆ ] +[Aˆ , Cˆ ] ；
<5>[ Aˆ , Bˆ Cˆ ] =Bˆ [Aˆ , Cˆ ] +[Aˆ , Bˆ ]Cˆ ；
二、 量子力学中用线性厄米算符表示力学量 1.两个假定： 假定 1：量子力学中的每个力学量都用一个线性厄米算符表示。 假定 2：当体系处于任意状态下，算符Fˆ 的本征值集合即是测 量体系的力学量F 的可能值；当体系处于Fˆ 的属于n 的本征态 n 时，测量力学量 F ，得到确定值n 。
2.量子力学中的力学量为什么用线性厄米算符表示 <1>为什么用算符表示力学量？
e
，则：
p
(r )p(r )d
(p
p)
pp
0
这就是说属于动量算符不同本征值的两个本征函数p' (r), p (r)
相互正交。
二、厄米算符属于不同本征值的本征函数正交 1.非简并情况：
设 1, 2 , 3 , n 是厄米算Fˆ符 的本征函数，它们所
属本征值1, 2 , 3 , n 各不相等，则：
<3>如 Fˆ ,Gˆ 有共同的本征函u数 ，则和算符的本征值是算符本 征值之和；积算符的本征值是算符本征值之积，即：
(Fˆ Gˆ )u Fˆ u Gˆ u fu gu (f g)u Fˆ Gˆ u Fˆ gu gFˆ u gfu fgu
6.厄米算符 <1 >定义：对任意二函数, （要求它们及其微商是平方可积 的），若Fˆ 满足下式：
标分量是对易的；动量各分量和坐标各分量是对易的。
说明：a. Gˆ , Fˆ Gˆ Fˆ Fˆ Gˆ 叫Gˆ Fˆ与 的对易关系，等于 0 叫二算符
对易；否则叫二算符不对易 。 b.以上 x i 和pˆ j 的对易关系是量子力学算符的基本对易关
系，由它们可以推出其他的一些算符（有经典对应的）对易关系。
(x) i
(x(x)) x
x (x) x (x) (x)
i x
i x
i
i(x)
而 (x) 是任意的
所以：x, pˆ x =i
①
该式称为x 和pˆ x 的对易关系，等式右边不等于 0，即 x 和pˆ x 不
对易。
同样可得： yˆ , pˆ y =i
②
zˆ,pˆ z =i
③
x, pˆ y x, pˆ z 0 ； yˆ, pˆ z =yˆ, pˆ x 0 ；
<6>[ Aˆ Bˆ , Cˆ ] =Aˆ [Bˆ , Cˆ ] +[Aˆ , Cˆ ]Bˆ 。 证明<5>：等式右边=Bˆ Aˆ Cˆ Bˆ Cˆ Aˆ Aˆ Bˆ Cˆ Bˆ Aˆ Cˆ =Aˆ Bˆ Cˆ Bˆ Cˆ Aˆ