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力学量和算符.

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力学量的平均值、算符表示 平均值

力学量的平均值、算符表示 平均值


r = x2 + y2 + z 2 z θ = arccos x2 + y2 + z 2 y ϕ = arctan x

§2.6 单电子(H)原子—中心力场薛定谔方程
From
求解中心力场中的薛定谔方程，球坐标系是自然的选择
§2.6 单电子(H)原子—角向方程
角动量平方算符
2 ∂ ∂ ∂ 1 1 ˆ L = sin θ − + 2 2 sin sin θ θ θ θ ϕ ∂ ∂ ∂ 2 2
所以
1 ∂ 1 ∂ 2Y ∂Y λY − = sin θ − 2 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ
2 2 Eu (r ) − ∇ u (r ) + V (r )u (r ) = 2m
库仑势 Laplace算符：
Ze 2 V (r ) = − 4πε 0 r
r = (r ,θ , ϕ )
1 ∂ 2 ∂ 1 1 ∂2 ∂ ∂ ∇ = 2 + 2 2 sin θ + 2 r ∂θ r sin θ ∂ϕ 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ
p ↔ −i∇
动量算符：
ˆ= p −i∇
§2.5 力学量的平均值、算符表示—平均值
(4) 粒子的动能T = p2/2m
类似地，动能的平均值
2 2 = T ∫−∞ ψ (r , t )(− 2m ∇ )ψ (r , t )dτ 2 2 ˆ p ˆ= ˆ= 动能算符： T 且有 T − ∇2 2m 2m
2
∫
+∞
−∞
ϕ * ( p, t ) pϕ ( p, t )dp
ϕ ( p, t ) =
力学量与算符

力学量与算符

表象与矩阵力学思考题：3-1力学量的本征态在该力学量自身的表象中的矩阵表示是什么？3-2左矢与右矢能相加吗？3-3一个力学量算符在一个表象中表示成一个矩阵，该矩阵的维度由什么决定？3-4如果一个表象是无穷维，而实际的数值计算中又不能进行无穷维的计算，哪该怎么办？ 3-5在第一章介绍了薛定谔方程，其中的波函数是在什么表象中的表示？3-6比较力学量分别为连续谱和离散谱时，它们的本征函数簇作为基组的完备性和归一性关系式。

习题：3-1写出动量表象中的薛定谔方程。

3-2写出动量表象中粒子在常力作用下的运动方程。

3-3粒子在一维无限深势阱V (x )=0,0£x £a ¥,x <0,x >aìíïîï 中运动。

求动量算符在该体系能量表象中的矩阵。

3-4已知体系的哈密顿算符H 和另一力学量算符A 在能量表象中的矩阵分别为H = w 010*******éëêêêùûúúú，010100001A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 0(a ω和均为正的实数）在初始时刻，体系在能量表象中的态函数为210)121t ψ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦（，求（1）体系在能量表象中的态函数)t ψ（；（2）体系的能量可能值及相应的几率；（3）体系能量的期望值；（4）力学量A 的可能取值及相应的几率；（5）力学量A 的期望值；（6）体系态矢量)t ψ（在A 表象中的矩阵表示；（7）能量表象与A 表象间的变换矩阵。

3-5已知体系的哈密顿算符在某一表象中的矩阵表示为H =e 201020102éëêêêùûúúú（1）求体系能量的本征值和相应的本征函数；（2）求出将H对角化的幺正变换矩阵。

算符与力学量的关系

算符与力学量的关系

算符与力学量的关系
7
§3-6-2 力学量的可能值和相应几率
在一般状态 ψ(x) 中测量力学量F，将会得到哪些值? 即测量的可能值及其每一可能值对应的几率? 量子力学假定， 量子力学假定，测力学量 F 得到的可能值必是力学量算符 F的 本征值 λn (n = 1,2,…) 之一, 该本征值由本征方程确定： 该本征值由本征方程确定： ˆ φ n ( x ) = λ nφ n ( x ) F n = 1, 2 , L |cn|2具有几率的意义, 而每一本征值λn各以一定几率出现。 各以一定几率出现。 cn 称为几率振幅 称为几率振幅 那末这些几率究竟是多少呢？ 那末这些几率究竟是多少呢？ 如前所述， 如前所述，如果φn(x)组成完备系, ψ ( x) = ∑cnφn ( x) n 体系任一状态 体系任一状态Ψ(x)可按其展开： 可按其展开： 量子力学基本假定： 量子力学基本假定： ˆ 的本征函数φn(x)组成正交归一完备系， 任何力学量算符 F 组成正交归一完备系， 在任意已归一态ψ (x)中测量力学量 F 得到本征值 λn的几率等 于ψ (x)按φn(x)展式中φn(x) 前的系数cn的平方|cn|2 ， ˆ 取λ 的几率. 即|cn|2则表示 F n 8
ψ ( x) = ∑cnφn ( x)
n
量子力学基本假定： 量子力学基本假定： ˆ 的本征函数φn(x)组成正交归一完备系， 任何力学量算符 F 组成正交归一完备系， 在任意已归一态ψ (x)中测量力学量 F 得到本征值 λn的几率等 于ψ (x)按φn(x)展式中φn(x) 前的系数cn的平方|cn|2 ， ˆ 取λ 的几率. 即|cn|2则表示 F n 9
展开系数
* c( p) = ∫ Ψp ( x)Ψ( x, t )dx
力学量和算符

力学量和算符

第三章力学量和算符内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数。

用波函数描述粒子的运动状态。

本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。

然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。

我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现。

§3.1 力学量算符的引入§3.2 算符的运算规则§3.3 厄米算符的本征值和本征函数§3.4 连续谱本征函数§3.5 量子力学中力学量的测量§3.6 不确定关系§3.7 守恒与对称在量子力学中。

微观粒子的运动状态用波函数描述。

一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。

在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。

一般说来。

当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。

当给定描述这一运动状态的波函数后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。

利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。

既然一切力学量的平均值原则上可由给出，而且这些平均值就是在所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。

力学量的平均值对以波函数(,)r t ψ描述的状态，按照波函数的统计解释，2(,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是:()2*(,)(,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞∞-∞-∞==⎰⎰坐标r 的函数()f r 的平均值是：()()()*(,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞-∞=⎰现在讨论动量的平均值。

3.6算符与力学量的关系

3.6算符与力学量的关系

2 n
1 x xdx c c xn xdx c c
m n mn
cn 称为概率振幅。
二.展开假定 量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本 征函数组成完全系。当体系处于 x cnn x 所描写
ˆ 的状态时，测量力学量F所得的数值，必定是算符 F
s x e dx, s 0
s 1 x 0
，
5
，



0
x n e ax dx

n! a n 1
当s=1时， 递推公式
1 e dx 1
x 0

2 x e x dx 1 1
0
s 1 ss , s 0
x x dx c n m xn xdx cn mn cm m n n
即
cn n ( x) x dx
（3.6.2）
由 x 的归一化条件，可得出 cn
m n m n n
2
1 。
cn （3.6.3）
§3.6算符与力学量的关系
ˆ 是满足一定条件的厄米算符， 一.数学中已证明：如果 F 它的正交归一本征函数是 n x ，对应的本征值是
n ，则任意函数 x 可以按 n x 展开为级数：
x cnn ， x （3.6.1）
n
本征函数的这种性质称为完全性。或者说 n x 组成完全系。展开系数
x cnn x c x d
n
（3.6.7）
（3.6.8）
c x dx
代替（3.6.3）式：有
cn
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱc
4. 力学量与算符

4. 力学量与算符

ˆ 之积不一定是厄米算符 ˆ,G <4>厄米算符F
ˆ ) d F ˆ )d ( F ˆ )d ˆG ˆ (G ˆ ) (G 证明： ( F
ˆ F ˆF ˆF ˆ d (G ˆ ) d [( G ˆ )] d G
力学量—表示一个体系力学性质的量。 微观体系的力学量与经典系统的力学量有着重要的区别的：
经典力学体系中假定力学量都是可以连续变化的，任何两个 力学量（如： x, p x ）可同时具有确定值，即存在轨道的概念；
微观体系的一些量却往往只取分立值（如势阱中粒子的能 量，线性谐振子的能量，原子的能量及角动量等） ，也有些量根 本不可能同时具有确定值（如： x和p x ；T和U ） 。微观体系的 这些特点源于它的波动性（无轨道问题） 。
ˆ 之和仍是线性算符 ˆ,G <2 >线性算符F
ˆ (c u c u ) ˆ (c u c u ) G ˆ )(c u c u ) F ˆ G (F 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ 线性 ˆ ,G F
和定义
ˆ ˆ ˆu c F ˆ c1 F 1 2 u 2 c 1 Gu 1 c 2 Gu 2
3. 算符相乘 ˆ 之 ˆ (F ˆ u) M ˆ u , 则称算符 M ˆ F ˆ为 与 G u ，有G 若对任意的函数
ˆF ˆ 不一定等于 ˆF ˆ ） ˆ G ˆ （注意：G ˆG F 积。记为 M 。
ˆ 相继作用在 ˆ n 表示，即： u 上 n 次，则可用 F F 如一个算符
ˆF ˆ F ˆu F ˆ nu ˆ (F ˆ u) F ˆ 2u ； F F ˆ m和F ˆ n 可以交换顺序，n, m 均为正整数。 ˆ nF ˆm F ˆ mF ˆ n ，即 F 即有F
力学量的算符表示和平均值

力学量的算符表示和平均值

§15-3 力学量的算符表示和平均值
一、力学量的算符表示 量子力学中描述系统的每一个力学量对应一个算符。 与动量相对应的算符 动量分量的算符
p x i x p y i y p z i z
ˆ p i
与动量平方相对应的算符是
ˆ 2 2 2 p
与能量相对应的算符
2 2 ˆ H U (r ) 2
称为哈密顿算符
1
角动量算符为
直角坐标系中的分量式
ˆrp ˆ L
球坐标系中的分量式
ˆ Lx i(sin cot cos ) ˆ i( cos cot sin ) Ly ˆ i Lz
2
2
角动量平方算符也可以表示为
2 1 ˆ2 ˆ2 L (sin ) 2 Lz sin sin
二、本征函数、本征值和平均值
算符是代表对波函数的一种运算，是把一个波函数 或量子态变换成另一个波函数或量子态。 A A
此式为力学量的本征值方程，常量A称为力学量的本征值。
角动量平方算符为
ˆ ˆ ˆ ˆ L2 L2 L2y L2 x z
1 1 ˆ ˆ L2 2 [ (sin ) 2 ] 2 Ω 2 sin sin
式中算符
1 1 (sin ) sin sin 2
ˆ yp zp i( y z ) ˆz ˆy Lx z y ˆ zp xp i( z x ) ˆx ˆz Ly x z ˆ xp yp i( x y ) ˆy ˆx Lz y x
引入哈密顿算符后，定态薛定谔方程可以简化为 ˆ
力学量和算符

力学量和算符

第三章 力学量和算符内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数 。

用波函数描述粒子的运动状态。

本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。

然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。

我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现 。

§ 3.1 力学量算符的引入 § 3.2 算符的运算规则§ 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 § 3.4 连续谱本征函数§ 3.5 量子力学中力学量的测量 § 3.6 不确定关系 § 3.7 守恒与对称在量子力学中。

微观粒子的运动状态用波函数描述。

一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。

在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。

一般说来。

当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。

当给定描述这一运动状态的波函数 后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。

利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。

既然一切力学量的平均值原则上可由 给出，而且这些平均值就是在 所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。

力学量的平均值对以波函数(,)r t ψ 描述的状态，按照波函数的统计解释，2(,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是:()2*(,)(,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞∞-∞-∞==⎰⎰坐标r 的函数()f r的平均值是：()()()*(,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞-∞=⎰现在讨论动量的平均值。

力学量与算符

力学量与算符

1 ∂ ∂ 1 ∂2 −h2 Y(θ,ϕ) =λY(θ,ϕ) + 2 sinθ 2 ∂θ sin θ ∂ϕ sinθ ∂θ
令本征值 令本征值
′h2 上式可写为： λ = λ 上式可写为：
该微分方程被称为球谐方程。 该微分方程被称为球谐方程。在数学物理方法中 有专门的讲述
ˆ Aunj =anunj
j =12,3,⋅⋅⋅g ,
g 为简并度
ˆ = −ih d 的本征值及本征波函数。 的本征值及本征波函数。 例1：求解算符 Lz ： dϕ
解：首先写出该算符的本征值方程为： 首先写出该算符的本征值方程为：
ˆ Φ(ϕ) =−ih d Φ(ϕ) = L Φ(ϕ) Lz z dϕ i 求解此方程： 求解此方程： dΦ i Lzϕ = Lzdϕ ⇒Φ(ϕ) =ceh Φ h
i Lz 2π eh
Φ(ϕ) =Φ(ϕ +2π)
=1
2 Lz π +isin 2πLz =1 cos h h 2πLz 2 Lz π =m2π m=0,±1±2,±3⋅⋅⋅ cos =1⇒ , h h
则本征值及本征波函数为： 则本征值及本征波函数为：
Lz = mh m=0,±1±2,±3⋅⋅⋅ , Φ(ϕ) =ceimϕ 积分常数c 利用归一化条件来确定积分常数 ： 2π 1 2 2 ∫0 Φ(ϕ) dϕ = c 2π =1⇒c = 2π 最后结果： 最后结果： Lz = mh m=0,±1±2,±3⋅⋅⋅ , 1 imϕ Φ(ϕ) = e 2π
§2、力学量的测得值与平均值
问题: 问题 如何确定在一定的微观状态下, 如何确定在一定的微观状态下 微观粒子各力学量的取值呢? 微观粒子各力学量的取值呢
对微观粒子进行力学量的测量, 对微观粒子进行力学量的测量 每次测得的结果只能是该力学量算 符的所有本征值中的一个. 符的所有本征值中的一个
第三章 力学量与算符

第三章 力学量与算符

i H t t 0
H
U t , t0 e
力学量与算符
• • • • • 作业： 1、分析厄米算符 2、讨论幺正算符（投影算符、宇称算符） 3、算符运算的证明 4、讲课过程中的简单证明，一些概念、或 是各算符的特性
力学量与算符
定义
r r
性质 （1） 2 1 ，本征值为 1 ； （2）是厄米、幺正算符 （3）波函数和算符按宇称分类
A, 0
r r
偶宇称
奇宇称
A, 0 r r
力学量与算符
性质12完备性三宇称算符定义2是厄米幺正算符3波函数和算符按宇称分类力学量与算符4宇称算符的选择定律力学量与算符四时间演化算符不显含时间力学量与算符力学量与算符力学量与算符
力学量与算符
力学量与算符
算符的定义及运算 算符的定义 单位算符 算符的和 积 转置
ˆ F
I
ˆB ˆ B ˆ ˆ A A
d
d A B A B A B d
力学量与算符
3.2.2设算符 A、B 不可对易： A , B C ，但
A, C ， B , C ，试证明Glauber公式：
e A B e A e B e
n n 1
C1 A C 0，则
A有 n 个本征值，且满足
Cnan Cn 1an 1 C1a C 0
。
力学量与算符
二、算符导数 1.定义
F F ，
为参量，
dF F F lim 0 d
2.基本性质 d A B A B
Aij
算符与力学量的关系_第三章

算符与力学量的关系_第三章



2
(2a0 )
2i
3
2
e
0 1 2
1
e

i pr cos
r drd cos
2 i pr
p(2a0 )
3
re
0

r a0
[e

i pr
e
]dr
8
3.6 算符与力学量的关系（续８）

a p
2 0 2
( 2a 0 ) 2
3
2 2
2
3.6 算符与力学量的关系（续２）
| Cn |2 具有概率的意义，它表示在 态中测量力学量 F 得到结果是 n 本征值的几率，故 Cn 常称为概率幅
基 本 假 设
量子力学中表示力学量的算符都是厄米算 符，它们的本征函数 组成完全系。当体系 处于波函数 所描写的状态时，测量力 ˆ 学量 F 所得的数值，必定是算符 F 的本征值 之一，测得值为其本征值 n 的概率是 | Cn |2

C p 与动量值 P 的大小有关，与 p的方向无关， 由此得到动量 的概率分布 p
W ( p) C p
2
a p
2 2 0 2
8a
3 5 0
2 4

9
3.6 算符与力学量的关系（小结）
厄米算符本征函数组成正交、归一的完全函数系
任意函数可以用这些本征函数做线性展开（态叠加 原理）
① 此假设的正确性，由该理论与实验结 注 果符合而得到验证 意 ② 一般状态中，力学量一般没有确定的数 值，而是具有一系列的可能值，这些可能值 就是该力学量算符的本征值，测得该可能值 的概率是确定的
3
3.6 算符与力学量的关系（续３）

4力学量与算符

态迭加原理要求力学量算符为线性的。
证明：若1, 2 是方程Hˆ E 的解，即：
i 1 t
Hˆ 1
①；
i 2 t
Hˆ 2
②
则① c1 ＋② c2 有：
i
t
(c11
c 2 2
)
c1Hˆ
1
c2Hˆ 2
③
而根据态迭加原理，c11 c22 也是方程的解，即：
i
t
(c11
c 2 2
)
Hˆ
(c11
(2)
pˆ
x
dx
i
dx x
i
i
dx
x
(i
) dx
x
(pˆ
x
)
dx
.
(3)解法同上，有： dx
(
) dx
x
x
<2>厄米算符的本征值为实数（定理内容） 证明：若 是Fˆ 的属于本征值 的本征函数，即Fˆ ，则
Fˆ d d
①
(Fˆ )d ()d d
而k
（对于连续谱的情况同样可证）
）
假设：如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学 量， 则 表 示这 个 力学 量 的 算符 Fˆ 由经 典 表 示 式F(r, p) 中 将
r
rˆ
r
；
p
pˆ 而得出，即：Fˆ
Fˆ (
rˆ
, pˆ ）
Fˆr(,
i)
。
这就是量子力学中表示力学量算符的规则。
研究算符之间的关系以及它们代表的物理量之间的关系。
为：
1 (x)2 (x)dx 0
类似的有：
1 (r )2
( r )d
0

算符与力学量的关系

１１９§3.6 算符与力学量的关系重点: 完全性关系，算符与力学量的关系的基本假设 难点: 完全性关系一、厄米算符的本征函数的完全性 1.复习§3.1的两个假定假定1：量子力学中的每个力学量用一个线性厄米算符表示。

假定2：算符Fˆ的本征值集合即是测量体系力学量F 可能得到的所有量值；体系处在F ˆ的属于本征值的本征态nψ时，测力学量F ，得到确定值n λ。

但是在任意态ψ中（非F ˆ的本征态），此时Fˆ与代表的力学量F 的关系如何？这需引进新的假设，适合于一般情况，且不能与假定2相抵触，应包含它。

2.完全性：若F ˆ是满足一定条件⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ΦΦ级数收敛的平方可积的n n F ˆ)2(F ˆ)1(的厄米算符，且它的正交归一的本征函数系)x (1Φ、)x (2Φ…)x (n Φ…对应的本征值为1λ、2λ…n λ…，则任一函数)x (Ψ可以按)x (n Φ展为级数：)x (C )x (n nn Φ=Ψ∑ ①式中n C 是与x 无关的展开系数。

我们称本征函数)x (n Φ的这种性质为完全性，或者说)x (n Φ组成完全系。

１２０说明：①展开系数∫ΨΦ=∗dx )x (C n n以)x (m ∗Φ左乘)x (C )x (n nn Φ=Ψ∑，且对x 的整个区域积分有m mn n n mnn n nn m m C C dx )x ()x (C dx)x (C dx )x ()x (=δ=ΦΦ=ΦΦ=ΨΦ∑∫∑∑∫∫∗∗∗即：∫ΨΦ=∗dx )x (C n n ② ②表示力学量的算符是厄米算符，不管它是否满足完全性关系要求的条件，都可以直接将数学上证明过的定理拿来就用，即假定力学量算符本征函数的正交归一系具有完全性。

3.展开系数2n C 的物理含义：设)x (Ψ为归一化的波函数，则根据)x (n Φ是正交归一化的完全函数系，有：1dx )x ()x (ΨΨ=∫∗=dx C C n nn m mm Φ⋅Φ∑∫∑∗∗==ΦΦ∗∗∫∑dx C C n m n n ,m m n ,m n n ,m m C C δ∑∗2nn C ∑=即：1C 2nn=∑因左边是总几率，所以2n C 有几率的意义。

第三章-力学量的算符表示

px能够取-~+中连续变化旳一切实数，为了拟定C，考虑积分
p
'
x
(
x)
px (x)dx
CC
exp(i
px
px
x)dx
因为
1
exp(ikx)dx (k)
2
13
p'x
( x)
px
( x)dx
C
2
2 ( px
p'x
)
假如取 C
1
2
,
px (x) 的归一化为 函数
p'x
( x)
简并：一种本征值相应一种以上本征函数旳情况
简并度：相应于同一本征值旳本征函数旳数目
27
LˆzYlm mYlm
在Ylm态中，体系角动量在z方向上旳投影为m 前面几种球函数
1
Y00 4
Y1,1
3 sinei 8
Y1,0
3 cos 4
Y1,1
3 sinei 8
28
3.5 厄密算符本征函数旳性质
31
f重简并： 对一种本征值ln, 若同步有f个本征函数与之相应
属于同一种本征值ln旳简并波函数ψnk,，有
Lˆ nk ln nk , k 1, ..., f
一般来说，ψnk不正交， 但总能够找到正交函数。
例题 对下面两个氢原子旳未归一化旳1s和2s电子旳波函数
1s (r, , ) 1s (r) er /a ,
假如 Aˆ Bˆ BˆAˆ 0 则Aˆ 和Bˆ对易 记为 [ Aˆ, Bˆ] Aˆ Bˆ BˆAˆ 0
例 [xˆ, pˆ x ] ?
(xˆpˆ x
pˆ x xˆ)
ix

第三章 力学量的算符.


若两个算符 Ô、Û 对体系的任何波函数ψ 有： ( Ô + Û) ψ= Ôψ+ Ûψ= Êψ 则Ô + Û = Ê 称为算符之和。
例如：体系Hamilton 算符 算符求和满足交换率和结合率。 注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。
f
f
j , j 1,2,, f
ˆ F ˆ F A ji ni nj
f
ˆ A ji F ni
i 1
f
i 1
Fn A ji ni
i 1
f
Fn nj
算符 F 本征值 Fn简并 的本质是当 Fn 确定后 还不能唯一的确定状态， 要想唯一的确定状态还 得寻找另外一个或几个 力学量算符，F 算符与 这些算符对易，其本征 值与 Fn 共同确定状态。
在势场中 V ( r ) 的粒子 H T V
2 ˆ T ˆ V (r ) 2 V (r ) H 2m
问题：算符、动量算符、 Hamilton算符
§3-2
算符的本征值和本征函数
ˆ F F n n n
其中Fn, ψn 分别称为算符 F的本征值和相应的本征态， 上式即是算符 F 的本征方程。求解时，ψ 作为力学量 的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求 即波函数的标准条件。
定理I：体系任何状态ψ下，其厄密算符的平
均值必为实数。
证：
F
ˆ d * F
ˆ ) * d ( F
ˆ ]* [ d * F
F*
逆定理：在任何状态下，平均值均为 实数的算符必为厄密算符。
定理II：厄密算符的本征值必为实。

1.7-量子力学中的算符和力学量

算符即运算规则算符即运算规则。

它作用在一个函数ψ(x)(x)上即是对上即是对ψ(x)(x)进行某进行某种运算种运算，，得到另一个函数ϕ(x)§1.7 1.7 量子力学中的力学量和算符量子力学中的力学量和算符例：)()(ˆx x Fϕψ=)()(ˆx xf x f x =)()(ˆx f x f I =dxd D =ˆ1、定义2、乘法与对易算符的乘法一般不服从交换律:)ˆ(ˆˆψψB A BA ≡AB B Aˆˆˆˆ≠例如:则算符的对易式可记为则算符的对易式可记为：：若对任意若对任意ΨΨ，都有：则称和对易:引入记号: ψψA B B Aˆˆˆˆ=A ˆB ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆˆˆB A A B B A≡−0]ˆ,ˆ[=B AI x Dˆ]ˆ,ˆ[=h i p xx =]ˆ,ˆ[易证:可定义算符的可定义算符的n n 次方为：A A AA n ˆˆˆˆ⋅⋅⋅=可定义算符的多项式和算符的函数可定义算符的多项式和算符的函数。

例如：3、线性算符设C 1, C 2为常数为常数，，若算符满足：则称其为线性算符则称其为线性算符。

量子力学态叠加原理要求力学量算符必须是线性算符例如例如，，下列算符为线性算符下列算符为线性算符：：22112211ˆˆ)(ˆΨ+Ψ=Ψ+ΨF C F C C C F x pH y x x ˆ,ˆ,,2∂∂∂∂∂算符的本征值方程:4、本征函数本征函数、、本征值λ为算符的本征值的本征值，，为算符的本征值为λ的本征函数的本征函数。

例如，e 2x 是微商算符的本征函数：)()(ˆx x Fλψψ=)(x ψFˆF ˆF ˆ定态薛定谔方程：它是哈密顿算符的本征方程它是哈密顿算符的本征方程，，波函数ψ 是哈密顿算符的本征函数征函数，，能量E 是哈密顿算符的本征值是哈密顿算符的本征值。

例如例如：：ψψE H=ˆ2211ˆˆΨ=ΨΨ=ΨλλF F )(ˆˆ)(ˆ221122112211Ψ+Ψ=Ψ+Ψ=Ψ+ΨC C F C F C C C F λ则：狄拉克符号：〉≡ψψ|)(r v |)(*ψψ〈≡r r ∗〉〈=〉〈≡∫ψϕϕψτϕψ||)()(*d r r v v一个算符如果满足如下关系一个算符如果满足如下关系，，则称为厄米算符则称为厄米算符，：，：其中积分遍及整个空间其中积分遍及整个空间，，函数ψ, ϕ是任意的品优函数是任意的品优函数。

算符与力学量的关系


1
2
0
1 8
(2k)2
1 (2k)2 8
1 (k)2 8
1 8
(
k
)2
5k 22
8
2 4
2
(
k
)2
(I) 数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成完备系 （参看：梁昆淼，《数学物理方法》P324；王竹溪、郭敦仁，《特殊函数概 论》1.10 用正交函数组展开 P41），即若：
Fˆn nn
则任意函数ψ(x) 可 按φn(x) 展开：
(x) cnn( x)
n
(II) 除上面提到的动量本征函数外,人们已经证明了一些力学量
表明，测量 F 得λm 的几率为 1， 因而有确定值。
（二）力学量的平均值
力学量平均值就是指多次测量的平均结果， 如测量长度 x，测了 10 次，其中 4 次得 x1，6 次得 x2，则 10 次测量的平均值为：
x
同样，在任一态ψ(x)
4 x1 6 x2 10
4 10
x1
6 10
x2
1 x1 2 x2
*Y21
2 9
Y11
*Y21
2 9
Y21
*Y11
d
c2 1 4 5 c2 9 9 9
c 3 5
归一化波函数
c
1 3
Y11
2 3
Y21
3 5
1 3 Y11
2 3
Y21
1 5
Y11
2Y21
L2 * Lˆ2d
1 5
Y11
2Y21 *
Lˆ2
1 5
Y11
2Y21
d
1 5
证明这两种求平均值的公式都要求波函数是已归一化的如果波函数未归一化则能谱分布情况分立谱连续谱cossincossinmama写出t时刻的波函数
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2 p2 * T (r , t )( 2 ) (r , t )d r 2m 2m
（3.1.11）
角动量 L 的平均值是
L r p * r (i ) d r


（3.1.12）
综上所述，我们得出，在求平均值的意义下，力学 量可以用算符来代替。
2

（3.1.1）
坐标 r 的函数 f (r ) 的平均值是：
f (r ) * (r, t ) f (r ) (r, t )d r

(3.1.2)
3.1 力学量算符的引入

p 的平均值 p 不能 现在讨论动量的平均值。显然， 2 2 简单的写成 p (r , t ) pd r ，因为 (r, t ) d r 只表示
（3.1.5)
利用公式
1 (2 )
3
pe
i
p ( r r )
dp
1 (2 )
3
(i ) e
i
p ( r r )
dp
（3.1.6)
i 3 (r r)
3.1 力学量算符的引入
可以得到
p * (r , t )(i ) (r , t )d r

第三章 力学量和算符
内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波 动力学，它的着眼点是波函数 ( x.t ) 。用波函 数描述粒子的运动状态。本章将介绍量子力学 的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量 的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用 线性厄米算符表示。然后进一步讨论力学量的 测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的 条件。我们将证实算符的运动方程中含有对易 子，出现 。
3.1 力学量算符的引入
力学量的平均值
对以波函数 (r, t ) 描述的状态，按照波函数的统计 2 (r, t ) dr 表示在t时刻在 r r dr 中找到粒子的几 解释， 率，因此坐标的平均值显然是:

r

* ( r , t ) rd r (r, t )r (r, t )d r
在r
r d r 中的概率而不代表在 p
p
2

p d p中找到粒子
的概率。要计算
，应该先找到在 t 时刻，在 p p d p
中找到粒子的概率 C ( p, t ) d p ，这相当于对 (r, t ) 作傅里 叶变化，而 C ( p, t ) 有公式
C ( p, t ) 1 (2 )
3 2
( r , t ) e
i
( Et p r )
dr
(3.1.3)
给出。动量 p 的平均值可表示为
p C * ( p, t ) pC ( p, t )d p
（3.1.4)
3.1 力学量算符的引入
但前述做法比较麻烦，下面我们将介绍一种直接从 (r, t ) 计算动量平均值的方法。由（3.1.4)式得
-a d dx


( x) e
i - px a
( x)
（3.1.14）
0
a
x
3.1 力学量算符的引入
即当 a 在无穷小的情况下，取准确到一级项有
( x) 1 px a ( x)
i
（3.1.15）
因此，状态 ( x) 经空间平移后变成另一态 ( x) ，它等于 某个变量算作用于原来态上的结果，而该变换算符可由动 i - p a 量算符来表达 e ，特别在无穷小移动的情况下，动量 算符纯粹反映着空间平移的特性，所以动量算符又称为空 间平移无穷小算符，动量反映着坐标变化（平移）的趋势 或能力。推广到三维运动，状态 (r ) 在空间平移 a 下，变 为
第三章 力学量和算符
§ 3.1 力学量算符的引入
§ 3.2 算符的运算规则
§ 3.3 厄米算符的本征值和本征函数
§ 3.4 连续谱本征函数
§ 3.5 量子力学中力学量的测量
§ 3.6 不确定关系
§ 3.7 守恒与对称
3.1 力学量算符的引入
在量子力学中。微观粒子的运动状态用波函数描述。 一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。在 本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以 及能求得平均值意义下说的。一般说来。当微观粒子处 在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动 量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可 能值，每一可能值、均以一定的概率出现。当给定描述 这一运动状态的波函数 后，力学量出现各种可能值的 相应的概率就完全确定。利用统计平均的方法，可以算 出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。既 然一切力学量的平均值原则上可由 给出，而且这些平 均值就是在 所描述的状态下相应的力学量的观测结果， 在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。
（3.1.7）
记动量算符为
p i
p * (r , t ) p (r , t )d r

（3.1.8）
则
（3.1.9）
从而有
f ( p) * (r , t ) f ( p) (r, t )d r


（3.1.10）
3.1 力学量算符的引入
例如：动能的平均值是
i i 1 ( Et p r ) ( Et p r ) 1 * p d p (r , t )e dr p (r , t )e d r 3 3 2 2 (2 ) (2 )
i p ( r r ) (r , t ) pe d p 3 (2 )
3.1 力学量算符的引入
下面我们来介绍动量算符的物理意义。为简单考虑一 维运动，设量子体系沿 x 方向做一空间平移 a ，这是状态 由原 变为 ，如图所示。 显然 若a
( x a)
（3.1.13）
1，可做泰勒展开
d (a) 2 d 2 ( x) ( x) (a) ( x) ( x) 2 dx 2! dx d (a ) 2 d 2 = 1+(a) ( x ) 2 dx 2! dx =e