线性系统理论精简版 ——4.系统的可控可观性剖析

0
1
1 1
0
即U为非奇异，所以该系统是状态能控的。
判据二：如果A的特征向量互不相同，则经过线性变 换将A阵转换为对角阵后，系统可控的充要条件是转 换后的状态方程：
其输入矩阵 没有一行的所有元素均为零。
每一个方程都有 u参与
可见，系统各状态变 量之间没有耦合关系，
u
B1


x1

系统相当于n个独立
由于：
1 1 det U det [ B AB] 0 0 0
即U为奇异，所以该系统是状态不能控的。
例4-2 考虑由下式确定的系统：
1 1 1பைடு நூலகம் x1 0 x u x 2 2 1 x2 1
由于：
det U det [ B AB]
1 5
下列系统是不能控的：
1 1 x x 2 0 1 1 x x 2 0 3 0 x 1 2 x x 2 0 x 3 0 4 x x 0 5 0 x1 2 u 2 x2 0 1 1 0 1 2 0 0 x1 4 x 0 0 2 2 3 x3 0 1 2 5 0 2 u1 0 u2 0 0 x1 4 x 2 2 x3 1 u 1 x4 3 0 5 x5
第4章控制系统的可控性和可观测性
在经典控制理论中，着眼点在于研究对系统输出
的控制。对于一个单输入—单输出系统来说，系统的
输出量既是被控量，又是观测量。因此，输出量明显 地受输人信号控制，同时，也能观测，即系统不存在 能控、不能控和能观测、不能观测的问题。现代控制 理论着眼点在于研究系统状态的控制和观测。这时就 遇到系统的能控性和能观测性问题了。可控性、可观 性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。
4.1 可控性和可观测性
4.1.1 系统的可控性概念 如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限 点的控制输入来使其由任意的初态达到任意设定的
终态，则称系统是可控的，更确切的说是状态可控
的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统 不可控。
说明1： 系统在时刻 t 的运动状态是由n个状态变量综 合描述的。系统可控就意味着这n个状态变量都必须与 系统的控制输入存在确定的联系，如果有一个或部分状 态变量不接受输入控制，就称系统是不可控的，或称系 统是部分可控。这样系统状态空间就分为可控状态空间
存在控制 u(t ) 使 x(t1 ) 0 ，则称系统状态在 t 0 时刻是
能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则
称系统是状态完全能控的。
说明4：如果在时间区间 t0 , t1 内存在控制 u(t ) ，使
系统从状态空间坐标原点 x(t0 ) 0 推向预先指定的
状态x(t1 )，则称为状态能达性。可以证明系统能控性 与能达性是等价的。
u

B1


x1



B2


x2

输入u (t)对状态变量x1和
x2也可以通过状态变量x3 产生间接的控制作用。
B3


x3

因此，只要B3≠0 ，输入
u (t)对各状态变量都有 控制作用。

例4-3 下列系统是状态能控的：
1 1 x x 2 0
1 1 x x 2 0 3 0 x 1 2 x x 2 0 x 3 0 4 x x5 0 1
和不可控状态空间。
因此，系统的可控性是刻画系统的结构性质，与系 统的具体输入u无关。
说明2： 可控性分为状态可控性和输出可控性，若 不特别指明，一般指状态可控性。状态可控性只与 状态方程有关，与输出方程无关。 说明3：等价定义于若给定系统的一个初始状态可为
x(t0 ) t0可以为 0 ，如果在的有限时间区间t0 , t1 内，
提示：说明3+说明4=任意位置 到任意位置
时变系统y可以用格拉姆矩阵 判断，充要条件。复杂。
4.1.2 系统状态的可控性判据 判据一：若线性定常系统状态方程 x(t ) Ax(t ) Bu

能控，则能控性矩阵
满秩。即
U B

AB
A2 B
...
An1B

rank(U） n
反之也成立。
0 x1 2 u 2 x2 5
1 0 1 2 0 0 x1 0 x 4 u 0 2 2 3 x3 0 1 2 5 0 0 x1 0 x 0 2 x3 3 x 4 0 2 x5 1 0 u 0 1 u 2 0 1
的子系统并联。 输入u(t)对状态变 量 xi是否有控制作用 取决于输入矩阵B中 第i行的元素是否不 全为0，即是否 Bi 0
Bn

1
B2


x2

2
xn


n
如果矩阵A不具有互异的特征向量，则不能将其化为对 角线形式。在这种情况下，可将A化为Jordan标准形。
若输入矩阵中B3≠0,则 输入u (t)对状态变量x3 有直接的控制作用。此 时，即使中其他行的元 素全为0，即B1=0和B2=0，
判据一的证明从略，结合具体例子介绍其方法。 能控性矩阵的秩称为系统的能控性指数，表示 系统的能控状态变量的个数。
其它充要判据等价从略
例4-1 考虑由下式确定的系统：
x1 1 1 x1 1 x 0 1 x 0 u 2 2