当前位置：文档之家 › 81量子力学第六章中心力场郭华忠PPT课件

81量子力学第六章中心力场郭华忠PPT课件

  • 格式：ppt
  • 大小：1.04 MB
  • 文档页数：29

下载文档原格式

  / 29

合集下载

量子力学课件第六章

量子力学课件第六章

第二部分应用第6章不含时微扰理论6.1非简并微扰理论6.1.1 一般公式表达假设对于某些势场（比如，一维无限深势阱），我们已经解出了（定态）薛定谔方程：(6.1)ψ，从而可以得到一套完备的正交本征函数，0n(6.2)E。

现在，我们对这个势进行微小扰动(比方说,在势阱底部加入一个小突起−及对应的能量本征值0n图6.1)。

我们期望可以找到新的本征函数和本征值：(6.3) 但是除非我们非常幸运，对于这个有些复杂的势场，一般我们是不可能精确求解薛定谔方程的。

微扰理论是一套系统的理论，它可以利用已得的无微扰时地精确解求出有微扰时的近似解。

图6.1：受到小微扰的无限深势阱。

首先，我们将哈密顿量写成两项之和：(6.4)其中'H 是微扰（上标0总是表示非微扰量）。

此时，我们将λ取为一个很小的数；稍后我们会将取它为1，H 将为真实的哈密顿量。

下面我们把n ψ和n E 展为λ的幂级数：(6.5)(6.6)其中，1n E 为第n 个本征值的一级修正，1n ψ为第n 个本征函数的一级修正；2n E 和2n ψ为二级修正，以此类推。

将6.5和6.6式代入6.3式，得到：或（将λ幂次相同的项合并）对于零级（0λ）项1有，这没有什么新的内容（它就是6.1式）。

对于一级（1λ）项有，(6.7)对于二级（2λ）项有，(6.8)以此类推。

（方程中并没有λ——它仅仅用来更清楚地按数量级分出各方程——所以现在把λ取为1。

）6.1.2 一级近似理论将0n ψ与6.7式进行内积运算（即乘以(0n ψ)*后积分），1级数展开的唯一性（见第2章，脚标25）保证了相同幂次的系数是相等的。

但是0H 为厄米算符，所以它和右边第一项相抵消。

又有001n n ψψ=，所以，2(6.9)这就是一级近似理论的一个最基本的结果；在实际中，它也是量子力学最重要的方程。

它说明能量的一级修正就是微扰在非微扰态中的期待值。

例子6.1 无微扰的无限深势阱波函数为（2.28式）：图6.2：存在于整个势阱的常微扰。

量子力学(第六章)

量子力学(第六章)

i ( ) t 2 2 q 1 p p A p A p c 2


1 q p p p p A 2 c 2q i p p A 2 c
代入正则方程
H H ,P r P r
(2)
即可得出
式中
1 r q E v B (3) c 1 E A (电场强度) (4) c t
B A (磁感应强度)
c
• H和 p 的关系一样。这里 p 为正则动量。由这
个原理和正则量子化规则可知，有电磁场时， 量子化规则应当变更为
i i q t t q i A c
• 这就将电磁势引进了 Schrodinger 方程 。于是， 有电磁场时的 Schrodinger 方程为
的电子的速度 v 远小于光速 c ( v / c 102 ),辐
射场中磁场对电子的作用远小于电场,一般只
考虑电场的作用 。
本章将讨论恒定磁场中原子能级和光谱
的变化(Zeeman效应)以及自由荷电粒子在恒
定磁场中的运动(Lanbau能级)。 下面首先给出给出荷电粒子在恒定电磁 场中的Schrodinger方程。
A A A ( r , t ) 1 (r , t ) (16) c t 电场强度 E 和磁场强度 B 都不改变。
可以证明Schrodinger方程(9)在规范变换(16)
式下，只需波函数也同时经受如下定域相位变

量子力学课件(完整版)

量子力学课件(完整版)

Light beam
metal
electric current
11
能量量子化的假设
造成以上难题的原因是经典物理学认为 能量永远是连续的。
如果能量是量子化的，即原子吸收或发 射电磁波，只能以“量子”的方式进行， 那末上述问题都能得到很好的解释。
12
能量量子化概念对难题的解释
原子寿命 ①原子中的电子只能处于一系列分立的能级之中。
18
当 kT hc（高频区）
E(, T)

2hc2 5
e hc
kT
Wein公式
当 kT hc（低频区）
E(, T)

2c 4
kT
Rayleigh–Jeans公式
19
能量量子化概念对难题的解释
对光电效应的解释
如果电子处于分立能级且入射光的能 量也是量子化的，那么只有当光子的能 量（E =hυ）大于电子的能级差，即E =hυ > En－Em时，光电子才会产生。如 果入射光的强度足够强，但频率υ足够 小，光电子是无法产生的。
2 , k 2 / ,
得到 d 2 0,所以，t x(t)
dk 2 m
物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀 了粒子性的一面，与实际不符。
45
（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大 量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果 而言， 弱电子密度＋长时间＝强电子密度＋短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体 现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以 一定的概率存在于空间的某个位置。
2
这面临着两个问题：
1、信号电磁波所覆盖的区域包括大量的 元件，每个元件的工作状态有随机性，但 器件的响应具有统计性；

《量子力学基础》PPT课件_OK

《量子力学基础》PPT课件_OK

光的粒子性：
光电效应和康普顿效应等证明 光的粒子性。 光在与物质作用，转移能量时 显显示粒子性。
h
p h
或 p k
•4
光是粒子性和波动性的矛盾统一体。
原子物理学(Atomic Physics)
二、微观粒子的波粒二象性
1、德布罗意假说 (L.De Broglie)
德布罗意
“整个世纪以来，在光学上比起波动的研究方法，是过 于忽略了粒子的研究方法，在实物理论上，是否发生了 相反的错误呢？是不是我们把粒子的图象想的太多，而 过分忽略了波的图象？”
1 n2
谱 线 •31 的
RH
1 m
2
1 n2
波 数
原子物理学(Atomic Physics)
•32
原子物理学(Atomic Physics)
三、氢原子中电子的几率分布
z
d r 2 sin drdd
d rsin
d sin dd
dS r 2 sin dd
2.一个粒子就是一个 波,或粒子只是由许多 波组合起来的一个波 包,波包的速度也就是 粒子的速度,波包的活 动表现出粒子的性质 。
电子衍射动画3
•16
原子物理学(Atomic Physics)
粒子与描写它的波之间的关系：
伴随粒子的波反映了粒子具有波粒二象性
电子的 粒子性
电子的 波动性
表现在不可分割、稳定不变 的特性，表现在它的一次行 为上。
第三章 量子力学基础
思维世界的发展,从某种意义上说,就 是对“惊奇”的不断摆脱。
—爱因斯坦
•2021/7/26 •1
原子物理学(Atomic Physics)
• §3.1微观粒子的波粒二象性 • §3.2测不准关系 • §3.3 波函数及其统计解释 • §3.4 Schrödinger方程算符 • §3.5量子力学问题的简例 • §3.6 氢原子的量子力学描述

2.第二讲.中心力场(课件2)

2.第二讲.中心力场(课件2)


2 E

h2

22r2
h2

l(l 1)
r2

R

0
（13）
令
k2

2 E
h2
,
4

22
h2

k

2 E
h2
,



h
k 与 的量纲均为[长度-1]，此时，方程（13）化为
22
d d
2R r2

2 r
dR dr

k
对于给定 N，有
n x 0,
1, 2, L , N 1, N
n y n z N, N 1, N 2, L , 1, 0
19
即当 N给定时，nx可取 0,1, 2,L , N 等 N 1个值； 当 nx 固定时，ny 可取 0,1,2, L , N nx 1 等，
共 N nx 1 种取法；

h2 2M
2R
V
(r)
v (R
rv)

Et
v (R
rv)

14
二.中心力场问题举例
EX.1. 三维各向同性谐振子场
1．在直角坐标系中求三维各向同性谐振子问题 体系的哈密顿算符
Hˆ 1 2
pˆ x2

pˆ
2 y

pˆ z2
1 2 (x2 y2 z2 )
2
2
一 粒子在中心力场中运动的一般描述
哈密顿量
Hˆ 1 pˆ 2 V (r) 2 2 V (r)
2
2
角动量 Lˆ r pˆ
对易关系 [Lˆi Lˆ j ] iijk Lˆk

量子力学ppt

量子力学ppt
详细描述
量子计算和量子通信是量子力学的重要应用之一，具有比传统计算机和通信更高的效率和安全性。
量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式，具有比传统计算机更快的计算速度和更高的安全性。量子通信是一种基于量子力学原理的通信方式，可以保证通信过程中的安全性和机密性。这两个应用具有广泛的应用前景，包括密码学、金融、人工智能等领域。
薛定谔方程
广泛应用于原子、分子和凝聚态物理等领域，可以用于描述物质的量子性质和现象。
薛定谔方程的应用
哈密顿算符与薛定谔方程
03
量子力学中的重要概念
是量子力学中的一种重要运算符号，用于描述量子态之间的线性关系，可以理解为量子态之间的“距离”。
狄拉克括号
是一种量子化方法，通过引入正则变量和其对应的算符，将经典物理中的力学量转化为量子算符，从而建立量子力学中的基本关系。
描述量子系统的状态，可以通过波函数来描述。
量子态与波函数
量子态
一种特殊的函数，可以表示量子系统的状态，并描述量子粒子在空间中的概率分布。
波函数
波函数具有正交性、归一性和相干性等性质，可以用于计算量子系统的性质和演化。
波函数的性质
一种操作符，可以用于描述物理系统的能量和动量等性质。
哈密顿算符
描述量子系统演化的偏微分方程，可以通过求解该方程得到波函数和量子系统的性质。
量子优化
量子优化是一种使用量子计算机解决优化问题的技术。最著名的量子优化算法是量子退火和量子近似优化算法。这些算法可以解决一些经典优化难以解决的问题，如旅行商问题、背包问题和图着色问题等。然而，实现高效的量子优化算法仍面临许多挑战，如找到合适的启发式方法、处理噪声和误差等。
量子信息中的量子算法与量子优化
解释和预测新材料的物理性质，如超导性和半导体性质等。

量子力学6-1

m1 x1 m2 x2 X M m1r1 m2 r2 m1 y1 m2 y2 R Y M M m1 z1 m2 z 2 Z M
24
这样
x X m1 x1 x1 x x1 X x M X
第六章 中心力场
§1 中心力场中粒子运动的一般规律 例 （1）引力场中的运动 如Kepler运动：
地球同步卫星
1
（2）库仑场中的运动(经典理解) 如原子体系：
电子的运动
共同特点：
角动量守恒
在中心力场中角动量概念非常重要。
2
角动量的经典表示： L r p
则 dL dr dp pr dt dt dt 1 p p r [V (r )] r dV (r ) V (r ) 是中心力场， r ( p p 0) 梯度方向就是径向 r dr 0
13
2、径向波函数在r→0邻域的渐近行为 在研究具体问题以前，先简介奇点概念 对方程
y' ' p( x) y'q( x) y 0
如果 xp( x)，x 2 q( x) 在x=a处不解析， 则x=a点为非正则奇点； 若在x=a处解析，则 x=a点为正则奇点； 比如对方程
2 l (l 1) l ' '[2 E 2 ] l (r ) 0 r r
得r最低次幂所满足的指标方程：
s( s 1) l (l 1) 0
s=l 和 s=-(l+1) 故当r→0时，有
Rl (r ) ~ r l
或 Rl (r ) ~ r (l 1)
17
根据波函数的统计解释,当r→0时,若

量子力学第六章-中心力场-郭华忠


[ E V ( r )]u 0
d 2u dr 2 2 Ze 2 2 l ( l 1) 2 2 |E | u 0 r r2
讨论 E < 0 情况， 方程可改写如下：
d 2u
2Ze 2 1 1 8 | E | l ( l 1) 2 2 r 4 2 r 2 u 0 dr
b 1
级 数 e ρ与f(ρ) 收 敛 性 相同
后项与前项系数之比
1 ( 1 )!
1. ρ→ 0 时， R(r) 有限已由!1源自!( 1)!
1
所以讨论波函数 s = + 1 条件所保证。 的收敛 性可以用 e ρ代替 f (ρ) 2. ρ→∞ 时， f (ρ) 的收敛性 如何？ 需要进一步讨论。
第六章
电子在库仑场中的运动
（一）有心力场下的 SchrÖdinger 方程 （二）求解 SchrÖdinger 方程 （三）使用标准条件定解 （四）归一化系数 （五）总结
（一）有心力场下的 Schrodinger 方程
体系 Hamilton 量
考虑一电子在一带正电的核 所产生的电场中运动，电子 质量为μ，电荷为 -e，核电 荷为 +Ze。取核在坐标原点， 电子受核电的吸引势能为： 对于势能只与 r 有关而与θ, 无关的有心力场，使用球坐标求 解较为方便。于是方程可改写为：
则
注意 此时多项式最高项 的幂次为 nr+ + 1
bnr 0 所以
bnr 0 bnr 1 0
于是递推公式改写为
因为 分子
nr l 1 0
量子数
nr l 1 n

量子物理PPt


经典物理的解释及困难
1.斯忒藩玻耳兹曼定律 黑体的辐出度曲线下的面积（总辐射能）与黑体的热力学 温度的四次方成正比：
σ称为斯忒藩玻耳兹曼常量。
定律表示单位时间单位表面积上辐射出的各种波长电磁波的总能量 与温度之间的关系。
2. 维恩位移定律 当黑体的热力学温度升高时，峰值波长向短波方向 移动。
维恩定律是由经典统计物理导出的半经验公式，在短波波段与 实验符合的很好，而在长波波段有明显的差异。
海森伯不确定关系告诉我们：微观粒子不能同时用坐标和动量进行准确
的测量。
27
对于原子尺寸的粒子，我们不能用经典的方法来描述，轨道的概念是没 有意义的，因为它是建立在有同时确定的位置和动量的基础上的。
3.能量和时间的不确定关系 在量子力学中，对能量和时间的同时测量也存在类似的不确定关系， 即：
E 表示粒子能量的不确定量，而t可表示粒子处于该能态的平均时间。
经典的反义词是什么？ 量子。
研究 对象
量子物理研究的东西都超级超级小
理论
量子物理里边只讲求概率，不讲求规 律
应用 没有量子力学你将不能吃鸡
想要了解量子力学， 那么一切都不得不从两 多乌云谈起。这两朵乌 云出自1900年4月27日 开尔文的演讲《在热和 光动力理论上空的19世 纪乌云》：“动力学理 论断言，热和光都是运 动的方式，但是，现在 这一理论的优美性和明 晰性却被两朵乌云遮蔽， 显得黯然失色”。
粒子性：主要是指它具有集中的不可分割的特性。
波动性：指周期性地传播、运动着的场。它能在空间表现出干涉、衍 射等波动现象，具有一定的波长、频率。
德布罗意关系式 德布罗意把爱因斯坦对光的波粒二象性 描述应用到实物粒子， 动量为 P 的粒子波长：

第六章 中心力场 量子力学教学课件

第六章 中心力场 量子力学教学课件
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun
§1 中心力场中粒子运动的 一般性质
一、角动量守恒与径向方程
中心力场
粒子的受力经过某个固定的中心（力心），其势能只是粒子到力心的距离r 的函数，即V (r)，为球对称势。（例如Coulomb场, 万有引力）
氢原子问题是典型的中心力场问题。 氢原子的原子核是一个质子，带电+e，在它的周围有 一个电子绕着它运动 。它与电子的库仑吸引能为（取无 穷远为势能零点）
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第28页
具有一定角动量的氢原子的径向波函数χl(r)=rRl(r) 满足下方程：
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第10页
1
m1 m1 m2
R
;
2
m2 m1 m2
R
1 m1
12
1 m2
2 2
1 m1
m1 m1 m2
R
2
1 m2
m2 m1 m2
R
2
1
m1
12
1 m2
2 2
1 M
2 R
1
2
以上结果带入到两粒子能量本征方程，
[2
4 3a0
r
4 27
(1 a0
r
)
2
]e
1 3 a0
r
R31(r)
2 a0
[ r] re 3/ 2 2
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第5页
一定边界条件下求解径向方程，可求得能量本征值E及本
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

系数bν的递推公式
(s) b1(s1)(s)l(l1)b
注意到 s = +1
l 1 ( l 2)( l 1)l(l 1)b
(
l 1 l)( 2l
2)
b
6
（三）使用标准条件定解
二
（1）单值； 条
（2）连续。
件 满
足
（3）有限性条件
与谐振子问题类似，为讨论 f (ρ) 的收敛性现考察级 数后项系数与前项系数之比：
0
0
把第一个求和号中ν= 0 项单独写出，则上式改为：
R u f ( )e / 2
r
e / 2
b s 1
0
[s(s1)l(l1)b]0s2 [(s)(s1)l(l1)b]s2
1
令 ν'=ν-1
: 第一个求和改为 [(s)b]s10
0
即
b s
0
1
0
再将标号ν'改用ν 后与第二项合并， 代回上式得：
[( 1 s )( 1 s 1 ) l(l 1 )b ] 1 s 1
0
[ s ( s 1 ) l ( l 1 ) b 0 ] s 2 0 { [ s 1 ) ( ( s ) l ( l 1 ) b 1 ] ( s ) b ] } s 1 5 0
讨论 E < 0 情况， 方程可改写如下：
d2u 2Z2e2 l(l1 )
d2r 2
r 2|E | r2
u0 3
d d2u 2r 2 Z 22 e1 r1 4 8 |2E | l(lr 21) u0令
2
8 | E |
2
2Ze 2 2
Ze 2
2| E |
（2）求解
ρ→∞ 时，方 程变为
uf()e/2
4
(II) 求级数解 令
f() b s 0
为了保证有限性条件要求：
当r→0时 R = u / r → 有限成立
f()f() l(l 21) f()0
b00
代入方程
[ (s ) (s 1 ) l( l 1 )b ] s 2 [ ( s )b ] s 1 0
2. ρ→∞ 时， f (ρ) 的收敛性 如何？
需要进一步讨论。
e ρ代替 f (ρ)
e / 2e
可见若 f (ρ) 是
e / 2
无穷级数，则波函数 R 不满足有限性条件，所 以必须把级数从某项起
截断。
e / 2
7
令
最高幂次项的 νmax = nr
则
bnr bnr
1
0
0
第六章 电子在库仑场中的运动
（一）有心力场下的 SchrÖdinger （二）求解 SchrÖdinger （三）使用标准条件定解 （四）归一化系数 （五）总结
1
（一）有心力场下的 Schrodinger 方程
体系 Hamilton 量
V=-Ze2/r
H ˆ 2 2 Ze2
2
r
考虑一电子在一带正电的核 所产生的电场中运动，电子 质量为μ，电荷为 -e，核电 荷为 +Ze。取核在坐标原点， 电子受核电的吸引势能为：
上式之和恒等于零，所以ρ得各次幂得系数分别等于零，即
[s(s-1)-( +1)]b0 = 0 → s(s-1)- ( +1) = 0
s
l
l
1
S = - 不满足
s ≥1 条件，舍去。
s = &3; s + 1)(ν+ s )- ( + 1)]bν+1+(β-ν-s)bν = 0
e11 !2!2 !
l im bb 1l im ( l)l( 12 l2)1
级 数 e ρ与f(ρ) 收 敛 性 相同
后项与前项系数之比
1
(1)!
!
1
1
!
( 1)!
1. ρ→ 0 时，
R(r) 有限已由
所以讨论波函数
s = + 1 条件所保证。 的收敛 性可以用
R u( ) e / 2 f ( )
r
22 r2 r(r2 r)2L ˆ2 r2Z r2e E
此式使用了角动量平方 算符 L2 的表达式：
L ˆ2 2 s1 in (si n )s1 i2n 222
（二）求解 Schrodinger 方程 2 2 r2 r(r2 r)2 L ˆ2 r2Z r2 eE
L2 Ylm =(+1) 2 Ylm 则方程化为：
若令
令 R(r) = u(r) / r 代入上式得：
d d2u 2r 2 2 EZ r2 el(lr 21) u0
l(l1)2 Ze2
V(r) 2r2
r
于是化成了一维问题，势V(r) 称为等效势，它由离心势和库
d d2u 2 r2 2 [EV(r)u ]0仑势两部分组成。
r
du du
dr
d
d 2u dr 2
2
d 2u d 2
(I) 解的渐近行为
d 2u 1
d 2
u0 4
ur
2 l(l1)
4
r2
u0
d d2u 2 1 4l(l 21) u0
有限性条件要求 A'= 0
u Ae /2A e/2
uAe/2
所以可 取 解 为
f()f() l(l 21)f()0
H的本征方程
z
r
r
x
y
球坐标
22 2Zre2E
对于势能只与 r 有关而与θ, 无关的有心力场，使用球坐标求 解较为方便。于是方程可改写为：
2 2 ( r 1 2 ) r ( r 2 r ) s 1 i n (s i) n s1 2 i n 2 2
Z 2 e E
于是递推公式改写为
因为 分子
注意 此时多项式最高项 的幂次为 nr+ + 1
bnr 0 所 以 nr l 1 0
nr l 1 n
bnr1(nrn rl )ln ( r1 2l2)bnr 0
量子数 取值
lnr0,01,,12,,2 , 角 径量 量子 子数 数
n1,2,3,主量子数
（1）分离变量 令 化简方程
2 2 r 2 r(r 2 r ) 2 L ˆ2 r 2 Z r2 R e (r ) Y lm (,) E (r ) Y R lm (,)
ψ(r,θ, ) = R(r) Ylm(θ,) 注意到
2 2 r2 r(r2 r)l(l2 1 r)22Z r2 eR ER
由 定义式
Ze 2
2|E |
Z 2e 4 | E | | E n | 2 2 n 2
n 1,2,3
由此可见，在粒子能量 小于零情况下（束缚态） 仅当粒子能量取 En 给出 的分立值时，波函数才满