《机械制图》点的三面投影

第三讲点的投影（50 分钟）（一）教学内容：1．点在两投影面体系中的投影2. 点在三投影面体系中的投影3. 两点的相对位置和重影点（二）目的与要求1．掌握点在三投影面体系中的投影规律以及由点的两投影求作第三投影的要领；2．掌握根据点的投影，判断其空间位置（包括两点的相对位置）的方法。

（三）讲课提纲及其说明一、点在两投影面体系中的投影（15 分钟）1、投影面体系的建立如图1 所示，设立互相垂直的两个投影面，正立投影面（简称正面）V 和水平投影面（简称水平面）H ，构成两投影面体系。

两投影面体系将空间划分为四个分角。

本书只讲述物体在第一分角的投影。

V 面和H 面的交线称为投影轴OX。

2. 点的两面投影如图1 （a）所示，由空间点A作垂直于V面、H面的投射线Aa'、Aa，分别与V面、H面相交，交点即为A的正面投影（V面投影）a‘和水平投影（H面投影）a,即点A的两面投影。

空间点用大写字母如A、B、C、…表示，其水平投影用相应的小写字母如a、b、c、…表示，正面投影用相应的小写字母加一撇如a' b ' c'… 表示。

为使点的两面投影画在同一平面上，需将投影面展开。

展开时V面保持不动，将H面绕0X轴向下旋转90 °，与V面展成一个平面，便得到点A的两面投影图，如图1(b)所示。

投影图上的细实线aa '称为投影连线。

在实际画图时，不必画出投影面的边框和点a x,图1(c)即为点A的投影图。

3. 点的两面投影规律空间三点A、a'、a构成一个平面，由于平面Aa a分别与V面，H面垂直，所以这三个相互垂直的平面必定交于一点a x，且a x a'QX、aa x丄OX。

当H面与V面展平后，a、a x、a'三点必共线，即aa '_OX。

又因Aaa x a '是矩形，所以a x a'=Aa , a x a=Aa '。

第二章正投影法与三视图第一节投影法的概念投影法：从物体和投影的对应关系中，总结出了用投影原理在平面上表达物体形状的方法。

投影法可分为两大类：中心投影法、平行投影法。

一、中心投影法1、定义：投影线互不平行的投影方法。

2、特点：投影比实物大，立体感强。

3、适用：外观图，美术图，照相等。

二、平行投影法1、定义：投影线互相平行的投影方法。

a、斜投影：平行投影中，投影线与投影面倾斜。

b、正投影：平行投影中，投影线与投影面垂直。

第二节三视图的形成及投影规律物体是有长、宽、高三个尺度的立体。

我们要认识它，就应该从上、下、左、右、前、后各个方面去观察它，才能对其有一个完整的了解。

为了准确地表达物体的形状和大小，我们选取互相垂直的三个投影面。

一、、三投影面体系三面:正立投影面：简称正面用V表示水平投影面：简称水平面用H表示侧立投影面：简称侧面用W表示OX轴：V面与H面的交线。

OY轴：H面与W面的交线。

OZ轴：V面与W面的交线。

OX轴、OY轴、OZ轴的交点为原点（O）。

二、三视图的形成1.三视图主视图：正面投影（由物体的前方向后方投射所得到的视图）俯视图：水平面投影（由物体的上方向下投射所得到的视图）左视图：侧面投影（由物体的左方向右方投射所得到的视图）2.三视图的展开规定正面保持不动，水平面绕OX轴向下旋转900，侧面绕OZ轴向右旋转900。

三、三视图之间的对应关系1、位置关系:主视图在上方，俯视图在主视图的正下方，左视图在左视图的正右方。

2、投影关系：主视图反映物体的长度和高度。

俯视图反映物体的长度和宽度。

左视图反映物体的高度和宽度。

主、俯视图反映了物体的同样长度（等长）。

主、左视图反映了物体的同样高度（等高）。

俯、左视图反映了物体的同样宽度（等宽）。

归纳：主视、俯视长对正．．．（等长）。

主视、左视高平齐．．．（等高）。

俯视、左视宽相等．．．（等宽）。

四、方位关系主视图反映了物体的上下左右方位。

俯视图反映了物体的前后左右方位。

机械制图-点、直线、平面的投影机械制图主讲：朱飞第二章点、直线、平面的投影 2 2- - 1 投影法概述 2 2- - 2 点的投影 2 2- - 3 直线的投影 2 2- - 4 平面的投影 2 2- - 5 直线与平面、平面与平面的相对位置本章内容课件目录一、投影法投影面 S 投射中心 A 投射线投影 a P 2 2- - 1 投影法概述二、投影法分类投射中心中心投影法平行投影法斜投影法正投影法正投影的基本特性多面正投影图单面正投影多面正投影直观图多面正投影展开图多面正投影图二、点的三面投影展开图投影图立体图 X X X Y H Y W Z O Y Z Y H Y W Z例2 2- -1 1 已知点A 的正面投影a 和侧面投影a 求作该点的水平投影。

Y W Y H三、点的直角坐标表示法四、各种位置的点 1. 一般位置点。

到三个投影面的距离均不为零。

Y H Y W X Y2. 投影面上的点）到某个投影面的距离（一个坐标值）。

为零。

Y W YH Y3. 投影轴上的点到某两个投影面的距离（二个坐标值）为零。

Y W Y Y H五、两点相对位置 1. 一般情况两点到三个投影面的距离（坐标值）对应不等。

Y H Y Y W2. 特殊情况一两点到一个投影面的距离（坐标值）相等。

Y W Y H Y2. 特殊情况二两点到两个投影面的距离（坐标值）相等。

Y W Y H Y2 2- -3 直线的投影一、各种位置直线及投影特性 1. 一般位置直线由一般位置的两点连线构成。

该直线与三个投影面都倾斜。

投影特性: : 三个投影都倾斜于投影轴，每个投影既不直接反映线段的实长，也不直接反映倾角的大小。

Y W Y H Y二、特殊位置直线及特性 1. 投影面平行线在直线所平行的投影面上，投影反映实长，且该投影与相邻投影轴的夹角反映该直线对另外两个投影面的倾角大小。

在另外两个投影面上，线段的投影为缩短的线段，且分别平行于直线平行的投影面所包含的两个投影轴。

机械制图中点的三面投影在机械制图中，点是最基本的图形元素，通过点可以确定各种形状的位置和大小，因此在制图中点的表示和投影都是非常重要的。

点的三面投影指的是在三个不同的投影面上分别投影同一个点的投影形象，包括正投影、侧投影和俯视投影。

本篇文章将详细介绍机械制图中点的三面投影。

正投影正投影是指将物体投影在垂直于投影平面的平面上所得到的投影图形。

在机械制图中，正投影一般采用前视图表示。

当要投影点的时候，因为点没有大小，所以可以将点看作是一条不可见线段，使其垂直于投影平面进行投影。

在前视图上，点的投影形象为一个点（因为点的大小为零）。

下图是一个点在前视图中的投影示意图：＋————＋| ● |＋————＋在投影图中，点的位置由表示该点在三维坐标系中的坐标确定。

侧投影侧投影是指将物体投影在平行于一个主投影面的平面上所得到的投影图形。

在机械制图中，侧投影一般采用左视图或右视图表示。

当要投影点的时候，将其垂直于投影平面进行投影。

在左视图上，点的投影形象为一个点（因为点的大小为零）。

下图是一个点在左视图中的投影示意图：|●|在侧投影图中，点的位置同样由表示该点在三维坐标系中的坐标确定。

俯视投影俯视投影是指将物体从上方向下投影所得到的投影图形。

在机械制图中，俯视投影一般采用上视图表示。

当要投影点的时候，将其垂直于投影平面进行投影。

在上视图上，点的投影形象为一个点（因为点的大小为零）。

下图是一个点在上视图中的投影示意图：＋—● ——＋| |＋————＋在俯视投影图中，点的位置同样由表示该点在三维坐标系中的坐标确定。

小结以上就是机械制图中点的三面投影的介绍，通过正投影、侧投影和俯视投影，可以确定一个点在三维空间中的准确位置。

在实际的机械制图中，点不仅仅是简单的点，还可以是各种图形的交点、圆心等，因此在制图中充分掌握点的三面投影是十分必要的。

2.3 点的投影教学内容：2．3 点的投影教学目的：掌握点的投影规律，作点的三视图，并判断两点的相对位置。

教学重点：作点的三视图并判断两点的相对位置。

教学难点：作点的三视图并判断两点的相对位置。

复习：三视图的形成；三视图的配置；三视图之间的对应关系新课：2.3点的投影点是最基本的几何元素，点的投影作图方法和点的投影规律是后面学习直线、平面以及立体投影的基础。

一、点的三面投影(见下图)点及其投影的表示方法：将空间点A置于三面投影体系中，过A点分别向三个投影面作垂线，得垂足a、aˊ、a〞，即为A点在三个投影面上的投影。

分别称为水平投影、正面投影和侧面投影。

二、点的投影规律点的三面投影规律为：1.点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴，a' a⊥o x，即长对正。

2.点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，a'a''⊥o z，即高平齐。

3.点的水平投影与侧面投影具有相同的Y坐标，a ax=a'' az，即宽相等。

根据上述规律就可准确地建立空间点和该点的三面投影之间的联系。

三、点的投影与坐标点的每个投影能反映该点的两个坐标：点的正面投影a'反映出x、z坐标；点的水平投影a反映出x、y坐标；点的侧面投影a''反映出y、z坐标。

点的坐标还表示了点到投影面的距离：XA=a ayh=a ' az=A点到W面的距离YA=a ax=a ''az=A 点到V 面的距离 ZA=a' ax=a'' ayw=A 点到H 面的距离已知点A 的坐标（20，10，18），作出点的三面投影(,见下图)。

四、特殊位置的点：1、投影面上的点，即位于V 、H 、W 面上的点 投影面上的点的三个坐标中有一个为0。

点在V 面上—Y 坐标为0； 点在H 面上—Z 坐标为0； 点在W 面上—X 坐标为0。

2、.投影轴上的点，即位于X 、Y 或Z 投影轴上 投影轴上的点的三个坐标中有两个为0点在X 轴上—Y 、Z 坐标为0 点在Y 轴上—X 、Z 坐标为0 点在Z 轴上—X 、Y 坐标为0 五、两点的相对位置1、 两点的相对位置：空间两点的相对位置，在投影图中是由它们同面投影YY WYY WY WY W的坐标差来判别。

中等专业学校2024-2025-1教案编号：备课组别机械组课程名称机械制图所在年级主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题立体表面上点的投影教学目标1.理解点的三面投影；2.掌握点的投影规律；3.掌握两点的相对位置；4.正确理解重影点与可见性；重点 1.点的投影规律和两点的相对位置；2.重影点可见性的判断；难点 1.点的投影规律和两点的相对位置；2.重影点可见性的判断；教法引导法、讨论法、探究法、讲练结合法；教学设备多媒体设备、教师用绘图工具、学生用绘图工具、A4幅面的绘图纸教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容【组织教学】检查出勤情况，稳定情绪【教学引入】1．点的投影规律；2．立体表面上点的投影？利用多媒体引导学生回忆点的投影特征、投影作图方法；出示立体图，立体表面上点的投影如何求作？指出掌握常见立体表面上点的投影作图方法是解决立体表面交线投影作图问题的基础和关键。

【新课教学】教学内容从属关系：若点在直线或平面上,则点的投影一定在点所在直线或平面的投影上。

一、棱柱表面上点的投影1．明确点的位置；2．找点所在面或线的投影；3．按投影关系和从属关系作图，先画点所在表面有积聚性的投影；再由两个投影，按三等规律作出第三投影。

演示讨论讲解柱体表面点的投影作图方法步骤；强调点的投影标记和可见性的判断请同学们练一练习题册P28（2）巡回检查指导提示：两块三角板配合画平行线，作图的准确性（培养严谨作风）二、棱锥表面上点的投影凡属特殊位置表面上的点,其投影可利用平面投影的积聚性直接求得；一般位置表面上点的投影,则可通过在该面作辅助线的方法求得。

辅助线法（1）：过已知点作直线（易作）教学内容辅助线法（2）：过已知点作某棱线的平行线（空间平行线的投影仍平行）三、圆柱表面上点的投影已知圆柱三视图和表面点m’,求作M点的另两投影。

分析点在圆柱表面某一素线上作图先求作点所在表面有积聚性的投影m,再由m’、m，按三等规律求作m”四、圆锥表面上点的投影由于圆锥面的投影没有积聚性,所以必须在圆锥面上作一条包含该点的辅助线（直线或圆）,先求出辅助线的投影,再利用线上点的投影关系求出圆锥表面上点的投影。

点、直线、平面的投影一、点的投影点的投影规律：（1）点的正面投影和水平面投影的连线一定垂直于OX 轴，即aa ˊ⊥OX ；（2）点的正面投影和侧面投影的连线一定垂直OZ 轴，即a ＇a 〞⊥OZ;（3）点的水平面投影到OX 轴的距离等于点的侧面投影到OZ 轴的距离，即x z aa a a ''=。

点的投影永远是点。

点本身没有长、宽、高，但是，点在三投影面体系中的投影规律，实质上与上节所述的“三等”对应关系是一致的，几何体上的每一个点的投影都符合这条投影规律。

二、点的坐标点到W 面（侧面）的距离，以坐标x 标记，x 坐标确定左右位置。

点到V 面（正面）的距离，以坐标y 标记，y 坐标确定前后位置。

点到H 面（水平面）的距离，以坐标z 坐标标记，z 坐标确定上下位置。

如图点A （20,15,25），即表示点A 的x 坐标为20mm ，y 坐标为15mm ，z 坐标为25mm ，且A 点距离W 面20mm ，距离V 面距离15mm ，距H 面25mm 。

由此判断：点的空间位置是由三个坐标值或者由点的任意两面投影确定。

四、点的三面投影1、点的标记空间点用大写字母或者罗马数字表示，如A,B,C,D, Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ， 投影用小写字母或者阿拉伯数字表示正面投影加一撇，如：a ,b ,c ,d ,1,2,3,4''''''''侧面投影加两撇，如：a '',,1,2,3b c ''''''''''水平投影不加撇，如：a ，b ，c ，1,2,3，2、点的投影与坐标的关系如图所示，空间点的任一面投影，均由该点的两个坐标确定。

如()()(),,,,,a x z a y z a x y '''表示。

因此，根据点的投影规律，知道点的任两面投影，第三面投影均可求。

第3章点、直线、平面的投影3.1 点的投影3.2 直线的投影3.3 平面的投影3.4 直线与平面、平面与平面的相对位置3.1 点的投影3.1.1 点在三面体系中的投影3.1.2 特殊位置点的投影3.1.3 两点的相对位置和重影点3.1.1 点在三面体系中的投影1．符号规定空间点：用大写字母投影点：用小写字母a 、b 、c●水平投影a′、b′、c′●正面投影a″、b″、c″等●侧面投影WHV oXa '点A 的正面投影a 点A 的水平投影a "点A 的侧面投影a "●a ●a '●A●ZYWVH三投影面的展开V 面不动，H 面朝下旋转90°，W 面朝右旋转90°。

向右翻向下翻不动a a Za a 'ya ya XY Y O"●●a z●x W(1) 建立三面投影体系V 面：正立投影面H 面：水平投影面W 面：侧立投影面2．点的投影特性a z●a y●a x●WVHa a Za a 'ya ya XY Y O"●●a z●x W（2）点的投影特性①a 'a ⊥OX 轴a 'a "⊥OZ 轴②Aa '=aa x =a "a z =y A （A 到V Aa =a 'a x =a "a y =z A （A 到H 面的距离）Aa "=aa y =a 'a z =x A （A 到W 面的距离）WHV oXa "●a ●a '●A ●ZYa z●a y●a x●x Ay A z A画图注意：投影线为细实线【例3-1 】已知点的两个投影，求第三投影。

a 'aa xa "a 'aa xa za z解法一:通过作45°斜线使a "a z =aa x解法二:用圆规直接量取a "a z =aa xa "a) 解法一b) 解法二XOXO3．点的坐标与投影的关系a) 直观图b) 投影图图3-3 点的坐标与投影关系(1) 空间点可用三个坐标表示，如A点坐标（X A，Y A，Z A）。