有理数和数轴 4

人教版初一数学上册知识点归纳七年级数学上册知识点第一章有理数1.1 正数与负数①正数：大于0的数叫正数。

（根据需要，有时在正数前面也加上“+”）②负数：在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数。

与正数具有相反意义。

③0既不是正数也不是负数。

0是正数和负数的分界，是唯一的中性数。

注意：搞清相反意义的量：南北；东西；上下；左右；上升下降；高低；增长减少等1.2 有理数1、有理数（1）整数:正整数、0、负整数统称整数；（2）分数;正分数和负分数统称分数；（3）有理数：整数和分数统称有理数。

2、数轴（1）定义：通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴；（2）数轴三要素：原点、正方向、单位长度；（3）原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；（4）数轴上的点和有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点，不都是表示有理数。

3、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

（例：2的相反数是-2；0的相反数是0）4、绝对值：（1）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。

从几何意义上讲，数的绝对值是两点间的距离。

（2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

两个负数，绝对值大的反而小。

1.3 有理数的加减法①有理数加法法则：1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0。

3、一个数同0相加，仍得这个数。

加法的交换律和结合律②有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。

1.4 有理数的乘除法①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0；乘积是1的两个数互为倒数。

乘法交换律/结合律/分配律②有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。

1有理数知识点归纳1．正数和负数的意义(1)正数：像6,3.7，23，10%，…这样大于0的数叫做正数．①为了突出数的符号，可以在正数的前面加“＋”号，如6,3.7，23，10%可以写成＋6，＋3.7，＋23，＋10%.②正数前面的“＋”号可以省略．如＋7可以省略“＋”号写成7.(2)负数：像－3，－5.6，－50，－12，－15%，…在正数前面加上“－”号的数叫做负数．辨误区 正数和负数的理解 ①对于正数和负数的意义，不能简单地理解为带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数．②负数是在正数前面加上一个“－”号，如－5，－(＋7)等都是负数，负数中的“－”号不能省略，如－5省略“－”号就是5，变成正数了．(3)0：0既不是正数也不是负数．0是正数和负数的分界点，如温度计上的0 ℃，也是一个特定的温度，0 ℃以下为负数，0 ℃以上为正数．【例1】 下列各数中，哪些数是正数？哪些数是负数？＋12,0.15，－52，－2.05,0，－7,3.142．有理数(1)定义：整数与分数统称为有理数．(2)有理数的判断方法：①正整数、0、负整数都是有理数．②正分数和负分数都是有理数．(3)拓展发散：引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数也由自然数范围扩大到有理数范围．偶数不仅有正偶数和0，还有负偶数；奇数也包括正奇数和负奇数．【例2】 下列说法正确的有( )．①－5是有理数 ②73是有理数 ③0.3不是有理数 ④－2是偶数A ．①②③B ．①②③④C ．②③④D ．①②④3．有理数的分类方法 (1)按定义分(两分)：(2)按性质分(三分)：“不重复”的意思是说，每一个数只能属于其中的一类，不能出现某一个数属于多类的情况．如，将有理数分为非负数、非正数两类就是错误的．因为0这个数被重复分类了，把0既分在了非负数中，又分在了非正数中．“不遗漏”的意思是说，分类时，不能遗漏某些数．如，将有理数分为正有理数与负有理数两类，显然遗漏了0.【例3】 把下面各有理数填在相应的大括号里：12，－3，＋1，13，－1.5,0,0.2,314，－435.正数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 整数集合：{ …} ； 分数集合：{ …}； 正分数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}．4．具有相反意义的量及应用 (1)具有相反意义的量： ①向东向西、买进卖出、零上零下、收入和支出、运进和运出……，都具有相反的意义．如“向东5米”和“向西3米”就是一对具有相反意义的量．②特征：a .意义相反；b .成对出现．(2)表示方法：用正数和负数表示具有相反意义的量． 当规定其中一个量用正数表示时，那么另一个就用负数表示.0是正负数的界限，是表示“基准”的数．【例4－1】 阅读下面的材料，从中找出一对具有相反意义的量，并用正数和负数表示它们．非洲“撒哈拉”是世界上著名的大沙漠，昼夜温差非常大，一个科学考察队测得某一天中午12时的气温是零上53 ℃，下午2时的气温是零上58 ℃，晚上10时的气温是零下34 ℃.【例4－2】 一种零件的尺寸在图纸上标注是10±0.05(单位：毫米)，表示这种零件的标准尺寸是多少毫米？加工时，符合要求的零件最大不能超过多少毫米？最小不能少于多少毫米？2数轴1．数轴(1)定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，如图．①数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；②原点的选定，单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的．通常取向右的方向为正方向．(2)数轴的画法画一条数轴的步骤可概括为：一画、二定、三选、四标． ①画直线：就是先画一条直线，一般画成水平的直线；②定原点：通常原点选在你所画直线居中的位置，若问题中负数的个数较多时，原点选得靠右些；正数的个数较多时，原点选得靠左些．③选正方向：通常取原点向右的方向为正方向，并选取适当的长度为单位长度，将表示刻度的点用短竖线表示．④标数：在数轴上依次标出1,2,3,4,0，－1，－2，－3，－4等各点，相应的数0，±1，±2，…写在数轴的下方；将需要在数轴上表示出的数或字母写在数轴的上方，相应的点表示为实心小圆点．要是在数轴上用到30，那得标多少单位啊！ 适当的长度有两层含义：①可取实际1 cm 作为一个单位长度，也可以取2 cm 或其他实际数据作为一个单位长度；②一个单位长度可表示1，也可表示10或更多！如图所示就能做到啦！【例1】 下列图形表示的数轴正确的是( )．2．有理数与数轴上的点的关系任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，即每个有理数都对应数轴上的一个点．(1)表示正数的点都在原点的右侧；(2)表示负数的点都在原点的左侧；(3)表示0的点就是原点．【例2】 (1)画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：－2,0,1，－0.5，－32，212.(2)指出如图所示的A ，B ，C ，D ，E 各点分别表示什么数？点技巧 “数形结合”思想(1)根据已知数在数轴上标出对应点，分三步：①画数轴；②确定点，并用实心小圆点描出；③标数，即在实心小圆点的上方标出所表示的数．(2)根据数轴上的点读数，原点表示0，原点向右为正数，原点向左为负数．都体现了“数形结合”的思想． 3．利用数轴比较有理数的大小(1)数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大．(2)正数大于0，负数小于0，正数大于负数．(3)多个有理数比较大小：①把各个数在数轴上表示出来；②根据各数在数轴上的顺序，用“<”或“>”连接．析规律 两个有理数比较大小的方法分情况比较：①若两数同号(都为正数或都为负数)，数轴上左边的数＜右边的数； ②若两数异号，则正数＞0＞负数．【例3－1】 比较下列这组数的大小，并用“＜”连接起来． －412，12，1，－2,3,0，－0.5.【例3－2】 有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，试用“＝”“＞”或“＜”填空：a __________0，b __________0，a __________b .4．数轴上点的移动(1)相对于原点的移动：从原点向右a(a>0)个单位长度，则表示的数是a；从原点向左a(a>0)个单位长度，则表示的数是－a.(2)两个相对点的移动：点A相对于点B向右移动或向左移动一定的距离，最后表示的数要看点A移动结束时对应点距离原点的距离和位置．【例4】一探险队要沿着一东西走向的河流进行考察，第一天沿河岸向上游走了5 km，第二天又向上游走了4.3 km，第三天开始计划有变，向下游走了4.8 km，第四天又向下游走了3 km，你知道第四天之后，该探险队在出发点的上游还是下游吗？距离出发点多远？5.利用数轴求数轴上的点表示的数在数学里，数与形是密切联系的，数轴的引进使有理数与直线上的点联系了起来，利用数轴可以比较容易地写出数轴上某区域中的整数、正整数、负整数等．如，写出大于－5而小于3的所有整数．可以先画出数轴，在数轴上标出－5与3这两个点，再在这两个点之间找出满足题意的整数－4，－3，－2，－1，0,1,2即可．【例5】小红做题时，不小心把墨水洒在了数轴上，如图所示，请根据图中的数值，写出墨迹盖住的所有整数．巩固练习一、耐心填一填，1、若太平洋最深处低于海平面11034米，记作－11034米，则珠穆朗玛峰高出海平面8848米，记作＿＿＿＿＿＿。

第一章 有理数知识网络 有理数：一、概念：1.有理数的分类 2.相反数 3.有理数大小比较 4.绝对值 5.倒数二、运算：1.加减法 2.乘除法 3.乘方4.混合运算（法则） 学法导航1.有理数的概念是在是在自然数的基础上建立的，所以有理数的运算 依赖于算数的计算但是要认清有理数与算术数在特征上的不同。

有理数由两部分组成：一是数字（绝对值)部分，二是符号部分。

2.弄清绝对值、相反数、数轴这三个概念的本质和相互之间的联系，是学习有理数运算的必备条件。

分清有理数运算中的作用，不仅可以使运算简化，还可以使学生发现规律找到窍门，从而获得研究数学的乐趣。

知识技能一、有理数的相关概念有理数 正数与负数数轴 相关概念 计算科学记数法与近似数1.正数和负数的定义2.有理数的定义3.有理数的分类：（1）按整数和分数的关系分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 （2）按整数、负数、0的关系分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数04.数轴的概念1) 数轴的概念：规个定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

2) 用数轴表示数： 任意一个有理数，都可以用数轴上的一个点表示， 但数轴上的任意一点却不一定表示一个有理数，正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示.3) 利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数. 5.相反数1）概念:只有符号不同的两个数叫做互为相反数.0的相反数仍是0. 2）性质:①在数轴上，表示一对相反数的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，它们关于原点对称.②互为相反数的两个数的和为0；即：若a 与b 互为相反数，则0=+b a .反之，若两数的和为0，则它们互为相反数。

0000<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=a a a a a a 6.绝对值1）概念：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记做a .2）性质：①一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.②绝对值具有非负性，即a ≥0. 3）“两个负数，绝对值大的反而小” 类型1. 正数和负数考点分析：用正负数表示具有相反意义的量 典型例题：例1.下面各数哪些是正数，哪些是负数？哪些是正整数，哪些是负整数？哪些是正分数（小数），哪些是负分数（小数）？7，－9，109-，－301，274+，31.25，－3.5， ＋2004，211例2.（1）若将低于海平面392米的死海记作－392米，则高于海平面8848米的世界最高峰——珠穆朗玛峰应记作________米；（2）一根铁丝受热后伸长2mm ，记作＋2mm ，把受热的铁丝放入冷水中收缩4mm 应记作_______mm ；（3）存入银行2000元记作＋2000元，－500元表示______________；（4）图纸上一个零件的直径是03.002.030+-Φ(单位：mm).这样标注表示零件的标准尺寸是___________，实际产品的直径最大可以是___________，最小可以是___________.例3. 某粮库10日存粮食3000t ，下表是该粮库一周内进出粮食的记录（运进为正） 日期 11121314151617进出(t)+80 -22 -27 +62 -25 +50 -55(1) 根据记录，这周内该粮库哪一天运进的粮食最多？哪一天运出的粮食最多？（2）一周后（17日）该粮库共有粮食多少吨？ (3) 哪一天粮库里粮食最多？例4. 观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数，你能说出第10个数、第101个数、第2004 个数是什么吗？（1）－1，－2，＋3，－4，－5，＋6，－7，－8，______，______，______，…．（2）－1，21，－3，41，－5，61，－7，81，______，______，______，…． 类型2. 有理数 考点分析： 1.有理数的分类： 2.分数与小数的互换 典型例题：例1.下列说法正确的是（ ） A ．一个有理数不是整数就是分数 B ．正整数和负整数统称整数C ．正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数D ．0不是有理数例2.把21-，＋5，－6.3，0，6.9，1312-，542，－7，210，0.031，－43，－10％，填入它所属于集合的圈内：例３．试一试：比较a 与－a 的大小。

有理数的意义、数轴、绝对值第一部分：有理数1、正负数的概念：比0大的数是正数，比0小的数是负数。

“—”用正数和负数表示相反意义的量Ⅰ. 相反意义的量必须包含两个因素：1、它们的意义相反；2、它们都具有数量，而且一定是同类量。

Ⅱ.相反意义的量可以人为的规定其正负。

在实际生活中，习惯把零以上的温度、上升的高度、收入、买入物品等规定为正数，而把它们相反意义的量规定为负的，用负数表示。

2、对“0”的理解：0不在正、负数的范围内，它是正数和负数的分水岭。

它的意义非常特殊，它既可以表示无意义，也可以表示其他特殊的意义。

3、有理数的概念：整数和分数统称为有理数；正数、负数、零都是有理数。

4、有理数的分类：例1：（1）如果把收入50元记做50元，那么下列各数分别表示什么意义？20元 2.5元 -80元 0元（2）如果6摄氏度用6C︒表示，那么零下4摄氏度如何表示？例2：把13121271 2.80734%0.67247--、、、、、、、、、、、、、、-、、分别填在表示正数和负数的圈内。

正数负数巩固练习：1、如果规定向南走为正，那么﹣100米表示向________走100米。

2、某公司股票上周五的收盘价是27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（上涨为正）：由上表知，星期一收盘时，每股价格是元，星期四收盘时，每股价格是元。

3、下列说法正确的是（）A.一个有理数不是正数就是负数B.一个有理数不是正数就是分数C.有理数是指整数、分数（正有理数、0、负有理数）D.以上说法都正确4、把下列各数填入相应的大括号内：-7，3.01,300%，-0.142,0.1,0,5/3,-355/113,12 （1）正整数集：{ }；（2）分数集：{ } （3）负数集：{ }；（4）非负整数集：{ }5、下列判断正确的是( )A.所有的整数都是正数B.正整数，负整数统称为整数C.分数一定是有理数D.有理数包括小数和整数6、某市2009年元旦的最高气温为2℃，最低气温为-8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（）Ａ.-10℃ B.-6℃ C.6℃ D.10℃第二部分：数轴的再认识与相反数1、数轴的再认识（1）数轴的三要素：原点、正方向、长度单位。

有理数的46个知识点总结一、有理数的概念。

1. 有理数的定义。

- 有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。

例如，5是正整数属于有理数，-3是负整数属于有理数，(1)/(2)是分数属于有理数。

2. 有理数的分类。

- 按定义分类：有理数可分为整数和分数。

整数包括正整数、0、负整数；分数包括有限小数和无限循环小数，如0.25（有限小数），0.3̇（无限循环小数）。

- 按正负性分类：有理数可分为正有理数、0、负有理数。

正有理数包括正整数和正分数，负有理数包括负整数和负分数。

3. 有理数与无理数的区别。

- 无理数是无限不循环小数，如π、√(2)等，而有理数是整数或分数。

有理数可以表示为两个整数之比，无理数则不能。

二、有理数的数轴表示。

4. 数轴的定义。

- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

原点表示0，原点右边表示正数，原点左边表示负数。

5. 有理数在数轴上的表示。

- 每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

例如，3在原点右边3个单位长度处， -2在原点左边2个单位长度处。

6. 数轴上点的移动规律。

- 向右移动为加，向左移动为减。

如点A表示2，向右移动3个单位长度后表示2 + 3=5；向左移动4个单位长度后表示2-4 = - 2。

三、相反数。

7. 相反数的定义。

- 绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数。

例如，3和 - 3互为相反数，0的相反数是0。

8. 相反数的性质。

- 互为相反数的两个数相加为0，即a+(-a)=0。

如5+( - 5)=0。

- 在数轴上，互为相反数的两个数位于原点两侧，且到原点的距离相等。

四、绝对值。

9. 绝对值的定义。

- 一个数在数轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

例如，|3| = 3，| - 2|=2，|0| = 0。

10. 绝对值的性质。

- | a|≥slant0，即绝对值是非负的。

- 若| a|=| b|，则a = b或a=-b。

小专题( 一)有理数相关概念的应用有理数这部分内容的概念比较多,如有理数的定义、数轴、相反数、绝对值等,这些概念比较难理解,概念与概念之间又容易混淆,加强对概念的理解和辨析尤为重要,而对概念的考查也是常考类型.整数和分数统称有理数,有理数都可以用数轴上的点来表示.在数轴上,与原点的距离表示这个数的绝对值;位于数轴的两侧,绝对值相等的两个数互为相反数.有理数的大小比较方法常用的是绝对值法和数形结合法.类型1有理数及其分类1.下列各数:1.010010001,-π,-2.626626662…,-74,833,0,0.1·2·,其中有理数的个数是( C)A.3B.4C.5D.62.在有理数-3,0,-3.14,-16,-16,+40中,共有2个负整数. 3.将下列各数填入相应的大括号内.-( -9 ),--35,-3,2,-227,0,-235,-0.142857,2018,95%.负数集合:{…};分数集合:{…};正有理数集合:{…}.略类型2有理数与数轴4.在数轴上,点A表示-3,从点A出发,沿数轴移动5个单位长度到达点B,则点B所表示的数为( C)A.2B.-8C.2或-8D.以上均不对5.如图,在数轴上被墨汁盖住的整数共有( C)A.6个B.7个C.8个D.9个6.点M在数轴上距原点6个单位长度,将点M向左移动2个单位长度至点N,点N表示的数是( D)A.4B.-4C.8或-4D.-8或47.若数轴经过折叠,-5表示的点与3表示的点重合,则2018表示的点与数-2020表示的点重合.8.定义:已知A,B,C为数轴上任意三点,若点C到点A的距离是它到点B的距离的2倍,则称点C是[A,B]的2倍点.如图1,点C是[A,B]的2倍点,点D不是[A,B]的2倍点,但点D是[B,A]的2倍点.根据这个定义解决下面问题:( 1 )在图1中,点A是[C,D]的2倍点,点B是[D,C]的2倍点.( 选用A,B,C,D表示,不能添加其他字母)( 2 )如图2,M,N为数轴上两点,点M表示的数是-2,点N表示的数是4.若点E是[M,N]的2倍点,则点E表示的数是多少?解:因为点E是[M,N]的2倍点,点M,N分别表示数-2,4,所以EM=2EN,点E表示的数是2或10.类型3相反数及其应用9.下列说法中,正确的有( C)①π的相反数是-3.14;②-0.5的相反数是1;③-( -3 )的相反数是3;④互为相反数的两个数到2原点的距离相等;⑤正数和负数互为相反数;⑥相反数等于它本身的数是0.A.1个B.2个C.3个D.4个10.a-b+c的相反数是( C)A.-a-b-cB.-a-b+cC.-a+b-cD.a+b-c11.若m,n互为相反数,则5m+5n+3=3.12.化简下列各数:①+( -3 );②-( +5 );③-( -3.4 );④-[+( -8 )];⑤-[-( -9 )].化简过程中,你有何发现?化简结果的符号与原式中的“-”的个数有什么关系?解:①+( -3 )=-3;②-( +5 )=-5;③-( -3.4 )=3.4;④-[+( -8 )]=8;⑤-[-( -9 )]=-9.最后结果的符号与“-”的个数有着密切联系,当“-”的个数是奇数时,最后结果为负数;当“-”的个数是偶数时,最后结果为正数.类型4绝对值及其应用13.( 原创)若|-a|=|-3|,则a的值为( C)A.3B.-3C.3或-3D.非负数14.下列关系一定成立的是( D)A.若|a|=|b|,则a=bB.若|a|=b,则a=bC.若|a|=-b,则a=bD.若a=-b,则|a|=|b|类型5有理数的大小比较15.下列各式中正确的是( A)A.|5|=|-5|B.-|5|=|-5|C .|-5|=-5D .|-1.3|<016.有理数a ,b 在数轴上的位置如图所示,在-a ,b-a ,a+b ,0中,最大的是( D )A .-aB .0C .a+bD .b-a17.用“>”“<”或“=”填空:①-(+34) < -|-23|;②-( -0.3 ) < |-13|.18.规定[x ]表示不超过x 的最大整数,如[2.6]=2,[-3.14]=-4,则[0.6]= 0 ,[-434]= -5 .19.先在数轴上标出表示下列各数的点,再按从小到大的顺序用“<”把这些数连接起来: -|-4|,-|-2.5|,0,-(-12),( -1 )200.解:在数轴上表示各数如下:∴-|-4|<-|-2.5|<0<-(-12)<( -1 )200.。