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基于卡尔曼滤波的一级倒立摆LQR控制研究_孙大卫

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可以这样考虑 , 由于白噪声干扰的影响 , 导致状态
向量滤波误差的产生 , 为减少干扰对滤波误差的影
响 , 若 P0 0阵的对角元素值较 大 , 则相应 要减少 Q、 R阵中相关元素值 。
孙大卫 , 等 :基于卡尔曼滤波的一级倒立摆 LQR控制研 究
39
4 基于卡尔曼滤波的一级直线倒立摆 LQR 基于卡尔曼滤波的直线一级倒立摆 LQR控制过程
通过反复仿真 验证 , 选 定各参数值 。 其中 增
益矩阵 Kk只与滤波误差方差阵 Pk k和预测误差方 差阵 Pk k-1 和 Q、 R阵 有 关 , 所 以 可 离线 算 出 。 在经过一定步骤 的运算后 , 增益 矩阵和滤波误 差
方差阵均收敛 。 所以对系统的滤 波误差方差阵 初
始值 P0 0确定 , 初始可取 为较大值的对角阵 , 经 过仿真选取收敛矩阵 为 P0 0 , 再次仿真选取 收敛 矩阵为 P0 0 , 并对比增益矩阵的变化 , 直至 P0 0 阵的选择对增益 矩阵收敛已无影响 , 即选择该 阵
实 验 技 术 与 管 理
制策略 , 如 LQR控制使小车 、 摆杆稳定 , 这种近 似不可避免地造成了状态量 x的不准确 。
3 一级倒立摆系统最优状态估计
图 1 直线一级倒立摆示意图
字母 M m b l I F x θ
表 1 直线一级倒立摆参数
意义
实际数值
小车质量 摆杆质量 小车摩擦力 摆杆转动轴心到杆质心的长度 摆杆转动惯量
2 一级倒立摆系统的数学模型
在忽略了空气阻力和各种摩擦之后 , 可将直线 一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统 , 如图 1所示 。
假设直线一级倒立摆各项参数的符号 、 意义与 数据如表 1所示 , 分析小车水平方向 、 摆杆垂直方 向上所受的合力 , 建立力和力矩的平衡方程 。
3 8
P =Υ P Υ +Γ Γ , kk-1
T k, k-1 k-1 k-1 k, k-1
T k, k-1 k, k-1
(7) (8) (9)
Pkk =[ I-KkHk] Pk, k-1 .
(10)
式 (5)中 , Xk+1为式 (3)经离散化后第 k+
1步系统状态量 , Zk为第 k步系统的观测量输出 。
设线性离散系统的模型为
Xk+1 =Υk+1, kXk +Gk+1, kUk +Γk+1, kWk , Zk =HkXk +Vk
(5)
上式中 , Uk为已知的非随机控制序列 , Wk和
Vk为零均值的白噪声序列 , 且相互独立 , Wk和 Vk
的统计 特 性 为 E{Wk}=0, E{WkWT j}=Qkδkj,
验师 .
态量 x常常是不准确的 。 因而依据式 (1)得到的 控制量 u也是不准确的 , 难 于实现对系统 的最优 控制 。
为了解决状态量不准确对 LQR调节器带来的 影响 , 本文中在 LQR调 节器 前 端引 入 卡尔 曼 滤 波 , 得到关于状 态量 x的最优 状态 估计 x, 将 最 优估计量 x输入 LQR调节器 , 从而完成对系统的 最优控制 , 并有效地提高一级倒 立摆系统控制 的 鲁棒性 。
图 3 直线一级倒立摆前置卡尔曼滤波的 LQR控制过程
对上述 2 个系统 , 当采用 LQR求得的 K= 22.3607, -16.0646, 67.6570, 13.0760 时 , 在 Matlab下研究施加 0.2 N阶跃输入时系统的阶跃响 应 。 图 2所示系统的仿真图如图 4所示 。图 3所示 系统的仿真图如图 5所示 。图 4和图 5中 , Cart小 车位移 , VCart为小车速度 , Single为摆 杆角度 , Vs 为摆杆角速度 。
小车位移 小车速度 摆杆角度 摆杆角速度
表 2 仿真结果的性能指标对比表
单一 LQR系统
调节时间 /s
1.1
负向振荡最大值 /m
-0.02
负向振荡最大值 / (m/s)
-0.14757
负向振荡最大值的时间 /s
0.09
正向振荡最大值 / (m/s)
0.35535 秒
正向振荡最大值的 /s
0.57
负向振荡最大值 /rad
ISCSNN1110-0220-3449/T56
Ex实per im验ent al技Tec hn术olo gy与and M管an ag理ement 第
24卷 第 2 期 2007年 2月 Vol.24 No.2 Feb.2007
基于卡尔曼滤波的一级倒立 摆 LQR控制研究
d2 dt
=0。用 u来表示被控对象的输入力 F, 线性化后
两个运动方程为
(I+ml2 )θ¨ -mglθ=mlx ¨ . (M +m)x¨+bx﹒ -mlθ ¨ =u
(2)
对 x¨, θ¨解代数方程 , 代入实际数据 , 可得到
系统的状态方程为
x﹒ 0 1.000
0 0x 0
¨x ·θ =
0 0
1 问题的提出
倒立摆系 统是一个非线性 、 不稳定 的快速系
统 , 其控制方式与直立行走的机器人 、 飞行中的静
不稳定导弹有许多相似之处 。 倒立摆系统是控制理
论实验的典型装置 , 也是控制理论研究中常用的验
证对象 。
线性二次型调节 器 (LQR)是倒 立摆系统的
典型控制方法 。 系统控制量 u为
u=-Kx
-0.073081
负向振荡最大值的时间 /s
0.285
正向振荡最大值 /rad
0.040235
正向振荡最大值的时间 /s
1.096 kg 0.109 kg 0.1 N/m/sec 0.25 m 0.0034 kg· m2
加在小车上的力
小车位置
摆杆与垂直向上方向的夹角
设 φ=π +θ(θ是摆杆与垂直向上方向之间的
夹角 ), 假设 θ与 1弧度相比很小 , 即 θ 1, 则可
以进行近似处理 :cos =-1,
sin = -θ,
控制仿真
如图 3所示 。
直线一级倒立摆的 LQR控制过程如图 2所示 。
图 2 直线一级倒立摆的 LQR控制过程
根据最优控制理论 , 如图 2所示的直线一级倒 立摆 LQR控制过程 , 实质上完成了对控制系统的 最优极点配置 。 最后得到的控制策略为
u(t) =-R-1 (t)BT(t)P(t)x(t). (12) 但是 , 由于式 (5)中系统噪声 W(t)与 观测噪声 V(t)的影响 , 式 (12)中的状态量 x(t)并非系统 的真实 值 , 而是含有 噪声的状态量 。 因而需要应 用 卡尔曼 滤波 , 得到 关于 x(t)的最 近估 计 x(t)。
孙大卫 1 , 曾 静1 , 张国良1, 2
(1.第二炮兵工程学院 自动控制系 , 陕西 西安 710025; 2.西安理工大学 自动化系 , 陕西 西安 710048)
摘 要 :倒立摆系统的输出不 可避免地受到系统噪声和量测 噪声的影 响 , 应用卡 尔曼滤 波对系 统输出 作最 优估计 , 可以有效地提高系统的鲁棒性 。 文中给出了卡尔曼滤波应用条件 , 对单一 LQR调 节器系统和 前置 卡尔曼滤波的 LQR调节器系统作了仿真对比 。 并 应用前 置卡尔 曼滤波的 LQR调 节器成 功稳定 了一级 倒立 摆系统 。 关键词 :卡尔曼滤波 ;倒立摆 ;仿真 中图分类号 :TP13 文献标识码 :B 文章编号 :1002-4956(2007)02-0037-04
4 0
实 验 技 术 与 管 理
kr =8时 kr ×0.09 ×0.09 0
0
0
Q= 0
kr ×0.0001 ×0.0001 0
0
,
0
0
kr ×0.005 ×0.005 0
0
0
0
kr ×0.0001 ×0.0001
kr ×0.005 ×0.005 0
0
0
R= 0
kr ×0.001 ×0.001 0
E{Vk}=0, E{VkVT j}=Rkδkj, E{WkVT j}=0。 Γk+1, k
为单位阵 。则卡尔曼滤波方程组为
Xkk =Xkk-1 +Kk[ Zk -HkXkk-1 ] ,
(6)
X =Υ X kk-1
k, k-1 k-1 k-1
+Gk+1, U k k-1 ,

Kk =Pkk-1 Ht k[ HkPkk-1 Ht k +Rk] -1 ,
车的速度 x、 摆杆的角度 θ、 摆杆的角速度 θ。 系统
输出的观测量为小车的位移 x、 摆杆的角度 θ。
通常通过对小车位移和摆杆角度作差商得到小
车速度和摆干角速度 , 再对 4个状态量应用相关控
当工程实际中有用信号被噪声信号污染时 , 卡
尔曼滤波可以对系统的状态向量作最优估计 , 并且
估计量与实际状态量尽量接近 。
Controltoinvertedpendulumbasedonkalmanfilter
SUNDa-wei, ZENGJing, ZHANGGuo-liang
(1.TheSecondArtilleryEngineeringCollege, Xi' an710025 China; 2.Xi' anUniversityofTechnology, Xi' an 710048 China)
0
.
0
0
kr ×0.005 ×0.005 0
0
0
0
kr ×0.001 ×0.001
从图 5中可以看出 , 约经过 2 s小车稳定于距 导轨中心 0.2 m处 ;小车速度 、 摆杆角度 、 摆杆角

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二级倒立摆系统的LQR控制算法研究

二级倒立摆系统的LQR控制算法研究

1.毕业设计（论文）题目：二级倒立摆系统的LQR控制算法研究2.题目背景和意义：本课题来源于西安工业大学机器人实验室的倒立摆实验台。

倒立摆系统是一个多变量、快速、非线性和自然不稳定系统。

在控制过程中能有效地反映控制中的许多关键问题如非线性问题、系统的鲁棒性问题、随动问题、镇定问题及跟踪问题等。

倒立摆在控制理论研究中是一种较为理想的实验装置。

从日常生活中所见到的各种重心在上，支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服机构的稳定，都和倒立摆的控制有很大的相似性，故对其的稳定控制在实际生产和生活中有很多用场。

3.设计(论文)的主要内容（理工科含技术指标）：本题目是以倒立摆为研究对象，设计一个LQR控制器。

借助Matlab语言编程，得出直线二级倒立摆LQR控制器、仿真图。

修改Simulink 的LQR模块中的参数，观察仿真；通过试验对系统进行仿真分析，从而得出对系统的最佳控制方案。

4.设计的基本要求及进度安排（含起始时间、设计地点）：按毕业设计题目的要求在毕业设计时间内完成设计内容并。

1-5周；开题，针对原理及应用、主要技术难点的收集资料，熟悉课题方案。

6-10周；完成方案论证，确定设计方案。

10-15周；利用Matlab对系统做进一步的仿真分析，完善控制器的设计和算法，得到系统的最优控制器。

16—18周；完成所有的设计工作，整理资料，完成毕业论文，准备答辩。

5.毕业设计（论文）的工作量要求：*或实习（天数）：350小时①实验（时数）*：A4一张②图纸（幅面和张数）③其他要求：外文翻译3000字指导教师签名：年月日学生签名：年月日系（教研室）主任审批：年月日说明：1本表一式二份，一份由学生装订入附件册，一份教师自留。

2 带*项可根据学科特点选填。

西安工业大学北方信息工程学院本科毕业设计(论文)题目：二级倒立摆系统的LQR控制算法研究系别电子信息工程系专业电气工程及其自动化班级B070307姓名龙仕学号B********导师张荷芳焦灵侠2011年 6 月二级倒立摆系统的LQR控制算法研究摘要倒立摆系统是一个非线性自然不稳定系统，是验证各种控制理论和方法有效性的典型理想模型，许多抽象的控制概念如控制系统的稳定性、系统收敛速度等，都可以通过倒立摆系统直观的表现出来。

基于卡尔曼滤波的倒立摆控制系统噪声抑制

基于卡尔曼滤波的倒立摆控制系统噪声抑制

收稿日期: 2009-07-16；修回日期: 2009-10-17. 基金项目: 国家自然科学基金项目(60574076).
作者简介: 祁虔(1977−), 男, 四川会理人, 博士生, 从事先进控制方法、 智能控制的研究；李祖枢(1945−), 男, 四川三台 人, 教授, 博士生导师, 从事仿人智能控制、 机器人等研究.
(1. 重庆大学 自动化学院，重庆 400030；2. 西南大学 计算机与信息科学学院，重庆 400715) 要: 在二级倒立摆稳摆控制中, 摆杆的角度信号受到测量噪音污染, 通过差分获取角速度时, 该噪音被放大, 导
致稳摆控制器的输出产生较大的随机波动, 同时电机作为执行器, 也混入了较大的过程噪音. 这两种噪音使系统出现 较强抖动, 既不利于摆杆稳定, 也缩短了电机寿命. 对此, 将稳态卡尔曼滤波器与渐消记忆法结合起来, 找到了确定稳 态卡尔曼滤波器增益矩阵的有效方法, 既克服了模型误差, 又满足实时性要求, 减小了电机抖动, 取得了较好的效果. 关键词: 倒立摆；噪音；稳态卡尔曼滤波；渐消记忆法 中图分类号: TP273 文献标识码: A
2 , ������32 = −������2 ������������2 cos (������1 − ������2 ), ������33 = ������2 + ������2 ������2
˙2 , ������22 = −(������1 + ������2 ), ������23 = ������2 + ������2 ������������2 sin (������1 − ������2 )������ ˙1 sin (������1 − ������2 ) + ������2 , ������33 = −������2 , ������32 = ������2 ������������2 ������ ������1 = ������, ������2 = (������1 ������1 + ������2 ������ + ������3 ������)������ sin (������1 ), ������3 = ������2 ������2 ������ sin (������2 ).
卡尔曼滤波器在倒立摆控制系统中的应用

卡尔曼滤波器在倒立摆控制系统中的应用

卡尔曼滤波器在倒立摆控制系统中的应用
李国欣;徐艳丽;蒋永洲
【期刊名称】《长春大学学报》
【年(卷),期】2009(019)006
【摘要】倒立摆系统是一个非线性多变量的不稳定的系统。

过去人们对倒立摆的控制都没有考虑到输出噪声的影响，这样就降低了控制的精度。

卡尔曼滤波器能够对被噪声污染的信号进行有效地估计，从而降低了噪声的影响。

本文介绍了卡尔曼滤波器在倒立摆控制系统中的应用并给出了仿真结果。

【总页数】0页(P12-14,34)
【作者】李国欣;徐艳丽;蒋永洲
【作者单位】长春大学电子信息工程学院,吉林长春130022;空军航空大学航空理论系,吉林长春130022
【正文语种】中文
【中图分类】TP271.72
【相关文献】
B WINDOWS/CVI在倒立摆控制系统中的应用 [J], 张燕;管晓虎;时谦;付晶晶;徐波
2.μC/OS-Ⅱ在倒立摆控制系统中的应用 [J], 杨兴明;孙锐;赵鹏;张培仁
3.卡尔曼滤波器在倒立摆控制系统中的应用 [J], 李国欣;徐艳丽;蒋永洲
4.直线一级倒立摆模糊控制中次优滤波器的应用 [J], 李晓梅;嵇启春;冯仰敏
5.二次型最优控制在小车倒立摆控制系统中的应用 [J], 彭锦; 黄为; 熊欢
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卡尔曼滤波在一阶倒立摆中的应用

卡尔曼滤波在一阶倒立摆中的应用

卡尔曼滤波在一阶倒立摆中的应用一、一阶倒立摆系统的建模一阶倒立摆系统的结构示意图如图1所示本系统内部各相关参数定义如下：M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量F加在小车上的力x小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角图一一阶段倒立摆系统的组成θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）应用Newton经典力学对系统进行受力分析，图二所示：图二系统的受力分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：Nx bFxM--=由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：22(sin)dN m x ldt θ=+即：2cos sin N mxml ml θθθθ=+- 把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：F ml ml x b xm M =-+++θθθθsin cos )(2 （1-1） 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：22(cos )d P mg m l dtθ-=-即：2sin cos P mg ml ml θθθθ-=+ 力矩平衡方程如下：θθθ I Nl Pl =--cos sin 注意：此方程中力矩的方向，由于θφθφφπθsin sin ,cos cos ,-=-=+=，故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：θθθcos sin )(2xml mgl ml I -=++ （1-2） 设φπθ+=，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角φ与1（单位是弧度）相比很小，即 1<<φ 时，则可以进行近似处理：1cos -=θ，φθ-=sin ，0)(2=dtd θ。

这里用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后得到该系统数学模型的微分方程表达式：()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+u m l x b x m M x m l m gl m l I φφφ)(2 (1-3)由现代控制理论原理可知，控制系统的状态空间方程可写成如下形式：DuCX Y Bu AX X+=+=方程组（1-3）对φ ,x解方程，可以得到：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++++++++-==++++++++++-==u Mm l m M I m l Mm l m M I m M m gl x Mm l m M I m lb u Mm l m M I m l I Mm l m M I gl m x Mm l m M I b m l I x x x 2222222222)()()()()()()()()(φφφφφ整理后得到系统状态空间方程：u Mm l m M I m l Mm l m M I m lI x x Mm l m M I m M m gl Mm l m M I m lbMm l m M I gl m Mm l m M I b m l I x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++-+++++-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(00010φφφφu x x x Y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001000001φφφ 上式就是一阶倒立摆小车系统的状态空间方程，式中：x 为小车的位移；x为小车的速度；φ为摆杆的角度；φ为摆杆的角速度；u 为输入；Y 为输出。