直线一级倒立摆的自动起摆与稳摆控制

现代控制一级倒立摆倒立摆实验电子工程学院自动化学号：目录1实验设备简介 (4)1.1倒立摆介绍 (4)1.2直线一级倒立摆 (5)2 倒立摆建模 (6)2.1 直线一阶倒立摆数学模型的推导 (6)2.1.1受力分析 (6)2.1.2微分方程建模 (8)2.1.3状态空间数学模型 (9)2.2 实际系统模型建立 (10)3系统定性、定量分析 (11)3.1系统稳定性与可控性分析 (11)3.1.1稳定性分析 (11)3.1.2能控性分析 (13)4极点配置的设计步骤 (13)4.1极点配置的计算 (13)4.2用MATLAB进行极点配置的计算 (15)4.3极点配置的综合分析 (16)5小结 (17)1实验设备简介1.1倒立摆介绍倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。

如杂技演员顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统，是一个复杂，多变量，存在严重非线性，非自制不稳定系统。

常见的倒立摆一般由小车和摆杆两部分组成，其中摆杆可能是一级，二级或多级，在复杂的倒立摆系统中，摆杆的长度和质量均可变化。

1.2直线一级倒立摆根据自控原理实验书上相关资料，直线一级倒立摆在建模时,一般忽略系统中的一些次要因素.例如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处的松弛程度等，之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质的杆组成的系统。

倒立摆系统是典型的机电一体化系统其机械部分遵循牛顿的力学定律其电气部分遵守电磁学的基本定理.无论哪种类型的倒立摆系统,都具有3个特性,即:不确定性、耦合性、开环不稳定性. 直线型倒立摆系统,是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的匀质长杆组成的系统.小车可以通过传动装置由交流伺服电机驱动. 小车导轨一般有固定的行程,因而小车的运动范围是受到限制的。

2 倒立摆建模2.1 直线一阶倒立摆数学模型的推导对于忽略各种摩擦参数和空气阻力之后，直线一即倒立摆抽象为小车和均质杆组成的系统。

直线一级倒立摆系统实验指导书—自动控制综合实验（2）基于固高科技生产的GLIP2001直线一级倒立摆北京邮电大学自动化学院林雪燕2015年5月1 实验目的和要求自动控制理论实验主要目的是通过实验进一步理解自动控制理论的基本概念，熟悉和掌握控制系统的分析方法和设计方法，掌握常用工程软件使用，如MATLAB、LabVIEW等。

本实验指导书以典型控制理论实验设备直线一级倒立摆为被控对象，通过控制摆杆角度和小车位移，使学生理解和掌握自动控制理论的基本原理和应用方法。

实验共覆盖了自动控制理论中的机理法建模、时域法分析和校正、根轨迹法分析和校正、频域法分析和校正、复合校正、状态空间分析、状态反馈、LQR控制等内容。

本实验指导书主要针对现代控制理论之用。

通过选择不同方法，确定不同参数，观察实验效果，可以深入理解控制方法之间的差异以及参数对控制系统性能指标的影响。

1.1 实验准备实验准备是顺利完成实验内容的必要条件。

实验准备的主要内容包括如下的几个方面： （1） 复习实验所涉及的MATLAB 软件和自动控制理论知识；（2） 熟悉实验的内容和步骤；（3） 根据实验要求，作必要的理论分析与推导，做好实验预习。

1.2 实验报告内容实验报告包含以下的内容。

可根据实验的具体情况和要求进行适当调整。

（1） 实验名称，目的，要求，设备等（2） 有软仿真结构图、结果及分析；（2） 实验数据及图表齐全；（3） 实验结果及分析；（4） 回答思考题；（5） 实验研究的体会和收获，对实验的意见或建议。

1.3 安全注意事项（1）实验之前一定要做好预习。

（2）一定要将摆杆牢固安装到位。

（3）为了避免设备失控时造成人身伤害，操作时人员应该与设备保持安全距离，不要站在摆的两端。

（4）实验前，确保倒立摆放置平稳；要检查摆杆的可能摆动范围，确保不会发生碰撞。

（5）如果发生异常，马上关闭电控箱电源。

（6）系统运行时禁止将手或身体的其他部位伸入小车运行轨道之间。

一阶倒立摆的控制方法
一阶倒立摆是一种非常有趣的机械系统，它提供了在控制和稳定化方面的许多挑战。

一阶倒立摆的控制方法取决于许多因素，包括机械结构、系统响应、控制信号和传感器输入等。

在一阶倒立摆中，一个质点在垂直支撑物上平衡，支撑物可以是摆锤也可以是其他机械结构。

在“正常”情况下，质点的位置会小幅度波动，但总体上保持平衡。

在不正常的情况下，例如外力干扰或系统响应问题，质点的位置可能会失去平衡，导致设备失效。

为了解决这些问题，一些常见的控制方法包括PID控制、神经网络控制和模糊控制等。

其中，最常用的PID控制方法是基于比例、积分和微分控制来实现的。

这种方法可以计算出当前状态和目标状态的差异，然后调节偏差的大小和方向，以让设备回归到稳定状态。

另一种常见的控制方法是神经网络控制。

这种方法的理念是通过构建一个基于神经网络结构的模型来控制设备。

神经网络具有学习和记忆功能、非线性映射和复杂的自适应能力等特点，可以较好地应对一阶倒立摆的不稳定性与外部干扰的问题。

最后，模糊控制是一种模糊数学技术，它可以将输入和输出模糊化，以便通过一系列规则来达到控制目标。

模糊控制方法较为简单，但需要有丰富经验和良好的控制规则，否则很容易导致控制结果的不稳定性。

总的来说，在一阶倒立摆的控制中，各种方法都有自己的优缺点。

开发一种切实可行的控制方法需要考虑到各种因素，包括系统响应时间、控制稳定性、控制信号噪声干扰、成本等等。

因此，为了实现一
阶倒立摆的各种应用，需要有较为全面的控制方案和少量控制策略的
实践应用。

直线一级倒立摆系统实验报告1. 实验目的：通过对直线一级倒立摆系统进行分析，掌握系统的基本原理、参数设置和控制策略；提高学生实际动手能力和科学实验能力。

2. 实验内容：（1）搭建直线一级倒立摆系统实验平台；（2）设置系统的动力学模型，采集系统的状态变量；（3）根据系统的特性设计控制策略，实现系统的稳定控制；（4）记录实验数据，并进行数据处理和分析。

3. 实验原理：直线一级倒立摆系统是一种经典的非线性控制系统，其原理和稳定性分析可以使用动力学建模方法来描述。

系统由直线弹簧、质量块、直线导轨和质量块的摆杆组成。

当摆杆处于垂直状态时，系统处于平衡状态；当摆杆被扰动后，系统进入不稳定状态，需要通过控制策略来实现其稳定控制。

在实验中，我们选取了单摆系统作为直线一级倒立摆系统的原形。

单摆系统由一个质点和一个线性弹簧组成，其状态变量为质点的位置和速度。

当质点处于平衡位置时，系统拥有稳定状态；当质点被扰动后，系统进入不稳定状态，需要通过控制策略来实现其稳定控制。

因此，我们可以使用单摆系统来研究直线一级倒立摆系统的控制策略。

4. 实验步骤：（1）搭建实验平台：搭建直线一级倒立摆系统实验平台，包括直线导轨、摆杆、质点、力传感器、位移传感器和控制电路等。

将质点放置在导轨上，并用摆杆将其固定在弹簧上。

使用力传感器和位移传感器来测量系统的状态变量。

（2）设置系统模型：对实验平台的动力学模型进行建模，将系统的状态变量与控制策略联系起来。

（3）设计控制策略：根据系统的特性设计相应的控制策略，使系统保持稳定状态。

常用的控制策略包括模型预测控制、PID控制、滑模控制等。

（4）记录实验数据：实验过程中需要记录系统的状态变量和控制参数，并进行数据处理和分析，得到实验结论。

5. 实验结果分析：通过对直线一级倒立摆系统的实验研究，我们发现系统的稳定控制需要根据其特性和实际情况来确定相应的控制策略。

在实验中，我们采用了模型预测控制策略，通过对系统的状态变量进行预测和调节，成功实现了系统的稳定控制。

直线一级倒立摆控制方法研究毕业论文目录前言 (1)第1章倒立摆系统 (2)1.1 倒立摆的简介 (2)1.2 倒立摆的分类 (3)1.3 倒立摆的特性 (5)1.4 控制器的设计方法 (6)1.5 倒立摆系统研究的背景及意义 (6)1.6 直线倒立摆控制系统硬件框图 (8)第2章倒立摆的数学模型 (9)2.1 数学模型概述 (9)2.2 拉格朗日建模法 (9)2.3 倒立摆系统参数 (11)2.4 实际数学模型 (12)第3章MATLAB工具软件 (13)3.1 MATLAB简介 (13)3.2 SIMULINK仿真 (14)3.3 SIMULINK仿真建模方法 (15)第4章PID控制 (17)4.1 PID控制简述 (17)4.2 国内外的研究现状和发展趋势 (18)4.3 PID控制器设计 (20)4.4 PID控制器参数的整定 (21)第5章直线一级倒立摆的PID控制 (22)5.1 直线一级倒立摆的PID控制Simulink仿真 (22)5.2 直线一级倒立摆的PID仿真程序 (25)5.3 直线一级倒立摆的PID实时控制 (26)第6章直线一级倒立摆LQR控制 (29)6.1 线性二次最优控制LQR基本原理及分析 (29)6.2 LQR控制参数调节及仿真 (30)6.3 直线一级倒立摆LQR控制simulink仿真 (32)6.4 直线一级倒立摆LQR控制 (34)结论 (37)谢辞 (38)参考文献 (39)附录 (41)外文资料翻译 (45)MATLAB (45)MATLAB简介 (51)前言倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台。

由于倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，而且许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来，因此在欧美发达国家的高等院校，它已成为必备的控制理论教学实验设备]2[。

一级倒立摆的实时控制摘要倒立摆系统，顾名思义就是将倒置摆铰链固定在小车的车架上处于不稳定状态，从而通过人为操控使其处于动态平衡状态用来验证相对应的控制算法的可靠性。

倒立摆是个非常典型的多变量、非线性、快速的不稳定系统。

可以通过倒立摆反应出控制中的许多问题，例如：系统的鲁棒性、稳定性、可靠性、随动性问题，具有重要的理论和应用价值。

理论中，倒立摆系统能够检验许多控制理论与控制算法是否有效，并且倒立摆的控制方法在航天，机器人控制中应用广泛。

本文通过对直线一级摆的物理模型进行分析，运用了牛顿-欧拉方法进行数学建模，进而通过倒立摆的各种物理参数进行运算，证明一级直线倒立摆系统是开环不稳定的，但其在平衡点附近是能控能观的。

本文只讨论研究倒立摆稳摆时的控制方式，对此设计了PID控制器，通过Simulink仿真来确定控制器参数；还运用了线性二次型最优控制器—LQR，用Matlab 软件仿真多次选取矩阵Q和R得到最合适的反馈矩阵K。

分别运用这两种控制器在实验室的固高台上进行实物操作并记录实验现象；设计模糊控制器并仿真，最后对比以上三种方法的实验结果分析它们的优缺点，为以后更好地开展倒立摆的实物操作提供了多种控制方法与控制思路。

关键词倒立摆; 牛顿-欧拉方法; LQR; PID控制Real-time Control of an Inverted PendulumAbstractInverted pendulum system, just as its name implies is to inverted pendulum hinge is fixed on the frame of the car is in unstable state, and thus is in a state of dynamic equilibrium by artificial control used to verify the reliability of the control algorithm. Inverted pendulum system is a very typical multi-variable, nonlinear, unstable system rapidly. Can through the study of inverted pendulum system reflects many problems in control, for example: the system robustness, stability, reliability, follow-up, has important theoretical and application value. Theory, the inverted pendulum system can test many control theory and control algorithm is valid, and the inverted pendulum control method in the aerospace, widely used in robot control.This article through to the straight line level of the physical model of inverted pendulum is analyzed, using the Newton - euler method for mathematical modeling, and then through the operations of the various physical parameters of the inverted pendulum, the inverted pendulum system is open-loop unstable, but is can control can view it in balance. This article just discuss research of inverted pendulum is steady time control method, have designed the PID controller, using Simulink simulation controller parameters; Also using the linear quadratic optimal controller - LQR, Matlab software simulation multiple selection matrix Q and R are the most appropriate feedback matrix K. Respectively using the two kinds of controller in the laboratory physical operation and record the experimental phenomenon; Design simulation of the fuzzy controller, finally compared to the experimental results of the three kinds of methods mentioned above analysis the advantages and disadvantages of them, for later better physical operation of inverted pendulum in university laboratoryoffers a variety of control and control method is proposed.Keywords Inverted pendulum, Newton-euler method, LQR, PID control目录摘要 (I)Abstract (II)第1章绪论 (1)1.1 倒立摆课题简介 (1)1.1.1 研究意义 (2)1.1.2 国内外研究状况介绍 (2)1.2 本论文主要研究的内容 (4)第2章直线一级摆系统的建模分析 (5)2.1 直线一级摆系统的控制原理 (5)2.2直线一级摆数学模型的构建 (6)2.2.1 一级摆模型原理的推导 (6)2.2.2 直线一级摆的数学建模 (6)2.3一级倒立摆系统的性能分析 (10)2.4本章小结 (11)第3章控制器的仿真 (12)3.1 PID控制 (12)3.1.1 PID控制器简介 (12)3.1.2 PID控制器的仿真设计 (13)3.2直线一级摆的LQR控制 (21)3.2.1线性二次型最优控制 (21)3.2.2 直线一级摆LQR控制器设计 (23)3.3基于融合函数的模糊控制 (26)3.3.1模糊控制简介 (26)3.3.2 模糊控制的思想方法 (27)3.3.3直线一级摆的模糊控制 (30)3.4本章小结 (32)第4章实时控制 (33)4.1 直线一级摆实物介绍 (33)4.2 控制软件简介 (34)4.3不同方法的实时控制结果 (35)4.3.1单回路PID的实时控制 (35)4.3.2双闭环PID的实时控制 (36)4.3.3 线性二次型调节器的实时控制 (39)4.4 本章小结 (40)结论 (41)致谢 (42)参考文献 (43)附录A (45)附录B (51)第1章绪论1.1倒立摆课题简介随着航空航天，机器人，工业过程领域的不断发展，对控制理论领域的要求越来越高并提出了一系列的难度挑战。

一级倒立摆系统分析一级倒立摆系统由一个垂直的支撑杆和一个质量为m、长度为l的摆杆组成。

摆杆的一端通过一个旋转关节连接在支撑杆的顶端，另一端可以自由地在重力作用下摆动。

我们将摆杆的摆动角度定义为θ，并假设摆杆的运动是平面运动，不考虑摆杆在垂直方向上的移动。

首先，我们需要建立一级倒立摆系统的动力学方程。

根据牛顿第二定律和角动量守恒定律，可以得到以下方程：1.支撑杆垂直方向受力平衡方程：-mgl sinθ = 0其中g为重力加速度。

2. 摆杆绕旋转关节的转动惯量为I = ml^2/3，根据转动惯量的定义可以得到角加速度α与力矩τ之间的关系：τ=Iα其中τ = ml^2/3α。

3.摆杆绕旋转中心的转动方程：τ = Iα = ml^2/3α = -mgl sinθ可以得到α与θ之间的关系：α = -3g/(2l)sinθ。

以上方程可以描述一级倒立摆系统在垂直方向上的平衡和旋转运动。

其中，第一条方程表示摆杆在垂直方向上的受力平衡，第二条方程表示摆杆的转动惯量及其与角加速度之间的关系，第三条方程表示摆杆绕旋转中心的转动方程。

接下来，我们可以通过线性化分析来研究一级倒立摆系统的稳定性。

线性化是一种将非线性系统近似为线性系统的方法，通过计算系统在一些平衡点附近的一阶导数来实现。

我们首先要找到一级倒立摆系统的平衡点。

根据第一条方程，当θ=0时，系统达到平衡。

在这个平衡点，摆杆不再摆动，所有受力均平衡。

接下来，我们对系统进行线性化。

首先将θ分解为平衡点的偏差值Δθ和小量δθ，即：θ=θ_e+Δθ+δθ其中θ_e为平衡点的角度。

将上述表达式带入到第三条方程中，并只保留一阶项，可以得到线性化的转动方程：α = -3g/(2l)(sinθ_e + cosθ_e Δθ +cosθ_e δθ)。

我们可以进一步线性化该方程，即将sinθ_e和cosθ_e在一阶项展开，并忽略二阶项，得到：α=-3g/(2l)(θ_e+Δθ+δθ)。

关于一级倒立摆的模糊控制班级：12级电气工程及其自动化2班学号：2012330301139姓名：吕杰1.倒立摆模糊控制的研究倒立摆一般有两种起始状态的控制。

一种是在摆杆自然下垂，竖直向下为起始状态，通过不断的摆动,最终使其稳定在竖直向上的不稳定点,这种控制叫做起摆稳定控制,也即DOWN-UP控制；另一种是用手提起摆杆,在不稳定平衡点处开始实行控制,称作稳定控制,也即UP-UP控制。

倒立摆系统也是一个复杂的、非线性的、不稳定的高阶系统。

倒立摆的控制一直是控制理论及应用的典型课题。

为了解决这个问题，张乃尧等提出双闭环的倒立摆模糊控制方案，内环控制倒立摆的角度，外环控制倒立摆的位移。

范醒哲等人将这一方法推广到三级倒立摆控制系统中，并提出两种模糊串级控制方案，用来解决倒立摆这类多变量系统模糊控制时的规则爆炸问题。

2.位置模糊控制器的设计位置模糊控制器是二维模糊控制器，以小车位移误差e和小车速度误差ec为该模糊控制器的输入，u为输出量。

位移误差e,控制输出速度误差ec，u的论域均选为｛6,4,2,0,2,4,6｝采用七级分割，表示为[NB,NM,NS.ZO,PS,PM,PB]。

图1-1模糊关系的建立在进行模糊推理运算时，采用Mamdani的max-min合成算法，而输出量的解模糊运算则采用常用的重心法。

通过该模糊控制规则,实现了小车的位移和速度的输入到虚拟角的输出。

从而间接控制了小车的位置。

还要注意到,由于位置控制器先运行,然后是角度控制器工作,两者串行工作,很好的解决了实时性的问题。

图1-2模糊规则的确定图1-3 模糊规则的建立位移误差e的实际范围为[-0.6,0.6]，单位为m,规定Kel=10。

速度误差ec实际范围为[-1,1],单位为m/s规定Kecl=1。

只讨论平衡点附近30°的倒立摆的稳定，输出量（虚拟角）实际范围为[-30°,30°]，[-0.52,0.52],单位rad,规定Kul=0.09。

小车倒立摆系统起摆与稳定控制策略的研究作者：杨占松来源：《科技探索》2012年第10期1 引言本文从实时和稳态性能角度出发，研究倒立摆系统的起摆和稳摆控制，在建立了小车直线一级倒立摆非线性数学模型的基础上，提出将基于能量的起摆控制方法与基于滑模[16-18]的稳摆控制方法相结合，设计并实现了基于实验的起摆与稳摆自动切换的控制策略。

2 倒立摆的数学模型2.1 受力分析如图1所示，在忽略了空气阻力和各种摩擦后，可将直线一级倒立摆抽象成一个由小车和匀质杆组成的系统。

图1. 直线一级倒立摆模型其中M：小车质量，m：摆杆质量，b：小车摩擦系数，l：摆杆转动轴心到杆质心的长度，I：摆杆惯量，F：加在小车上的力，x：小车位置，φ：摆杆与垂直方向的夹角。

以上各参数的单位均采用国际单位制。

下面分别以N和P作为作为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向上的分量。

分析小车水平方向所受的合力可以得到：（1）由摆杆水平方向的受力分析可以得到：（2）即：（3）将（3）式代入（1）式中即可得到系统的第一个运动方程：（4）为了得到系统的第二个运动方程，需要对摆杆垂直方向的受力进行分析，可得如下方程：（5）即：（6）力矩平衡方程：（7）合并方程（6）和（7），得到第二个运动方程：（8）至此倒立摆系统的两个运动方程（4）和（8）就已经得到。

2.2 建立数学模型根据倒立摆运动方程可以很容易得出倒立摆系统典型的非线性特性，为了更近一步进行分析建模，考虑其状态空间表达式：（9）其中为系统的状态空间变量，为小车的速度，为摆杆的角速度，为小车的控制输入，，为系统的扰动，我们令，就可以得到系统的状态空间方程的标准形式，再根据倒立摆系统的运动方程可以很容易得出和：（10）上述方程即定义了一级倒立摆系统的非线性模型。

3 基于能量的摆起控制能量控制策略摆杆初始时处于自然下垂状态，假设此时系统的能量为0，要使摆杆从初始位置起摆并稳定在竖直向上位置所需要的能量为（11）摆杆在任意角度φ时所具有的能量其中为水平向右的控制量。

基于拉格朗日建模的单级倒立摆起摆与稳定控制拉格朗日建模是一种经典的用来描述物体运动的数学方法。

倒立摆是一个典型的动态系统，在控制领域中有着广泛的应用。

通过拉格朗日建模可以描述单级倒立摆的运动方程，进而实现其起摆和稳定控制。

单级倒立摆由一个固定在支撑平面上的杆和一个可以沿杆轴旋转的质量小车组成。

杆的角度记为θ，小车的位置记为x。

首先，通过拉格朗日方程可以得到倒立摆的动力学方程：L = T - U其中，L为系统的拉格朗日函数，T为系统的动能，U为系统的势能。

对于单级倒立摆，可以将系统的动能和势能表示为：T = 1/2*m*ẋ^2 + 1/2*I*θ̇^2U = m*g*l*cos(θ)其中，m为小车的质量，I为杆的转动惯量，g为重力加速度，l为杆的长度。

ẋ和θ̇分别表示小车和杆的速度。

将动能和势能代入拉格朗日方程，即可得到系统的动力学方程：d/dt(∂L/∂ẋ) - ∂L/∂x = Fd/dt(∂L/∂θ̇) - ∂L/∂θ = 0其中，F为施加在小车上的外力。

经过计算，可以得到如下的方程：m*ẍ - m*l*θ̈*cosθ + m*l*θ̇^2*sinθ = FI*θ̈+ m*l*ẍ*cosθ - m*g*l*sinθ = 0这就是单级倒立摆的动力学方程，描述了杆的运动以及小车的受力等关系。

接下来，可使用控制理论中的各种控制方法，例如线性控制、非线性控制等，来实现单级倒立摆的起摆和稳定控制。

通过施加合适的控制输入F，使得杆保持在垂直位置附近，并稳定在指定的位置。

总之，基于拉格朗日建模的单级倒立摆起摆与稳定控制，通过分析系统的动能和势能，得到系统的动力学方程，然后使用控制理论中的方法进行控制设计，从而实现摆杆的起摆与稳定控制。

课程设计任务书学生姓名： 王建华 专业班级： 自动化1005班 指导教师： 陈跃鹏 工作单位： 自动化学院题 目: 单级移动倒立摆建模及串连超前校正 初始条件：要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）1、研究该装置的非线性数学模型，并提出合理的线性化方法，建立该装置的线性数学模型－传递函数（以u 为输入，θ为输出）；2、要求系统输出动态性能满足,1%,3.4%s t s ≤≤σ试设计串连超前校正装置。

3、 用Matlab 对校正后的系统进行仿真分析，比较校正装置加在线性化前的模型上和线性化后的模型上的时域相应有何区别，并说明原因。

时间安排：指导教师签名： 年 月 日/10,1,1.0,1s m g m l kg m kg M ====系主任（或责任教师）签名：年月日目录摘要 (1)1.一级倒立摆数学模型建立 (2)1.1一级倒立摆的组成 (2)1.2应用牛顿力学建立系统数学模型 (2)1.3数学模型的线性化 (4)2.校正前系统动态性能分析 (4)2.1待校正系统阶跃响应曲线 (4)2.2待校正系统根轨迹分析 (5)3.串联超前校正设计分析 (6)3.1系统校正前性能指标要求分析 (6)3.2校正环节设计分析 (7)3.3校正后系统动态性能分析 (8)3.4系统参数的修正 (9)4.SIMULINK仿真设计 (11)4.1MATLAB及SIMULINK (11)4.2绘制系统仿真结构图并进行S IMULINK仿真 (11)5.系统校正前后动态性能比较 (13)5.1待校正系统的阶跃响应曲线、根轨迹图、B ODE图和N YQUIST图 (13)5.2校正以后系统的阶跃响应曲线、根轨迹图、B ODE图和N YQUIST图 (13)6.小结 (14)7.心得体会 (15)8.附录倒立摆在MATLAB中自带的倒立摆模型 (16)参考文献 (18)摘要在控制理论发展的过程中，某一理论的正确性及在实际中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证，倒立摆就是这样一个对象。

直线一级倒立摆控制一、课程设计目的学习直线一级倒立摆的数学建模方法，运用所学知识设计PID控制器，并应用MATLAB进行仿真。

通过本次课程设计，建立理论知识与实体对象之间的联系，加深和巩固所学的控制理论知识，增加工程实践能力。

二、课程设计要求1. 应用动力学知识建立直线一级倒立摆的数学模型（微分方程形式），并建立系统的开环传递函数模型。

2. 运用经典控制理论知识，按设计要求设计控制器。

3. 应用MATLAB的Simulink建立控制系统的仿真模型，得出仿真结果。

4. 控制要求：※小车的位置x和摆杆角度的稳定时间小于10秒；※阶跃响应摆杆角度的摆幅小于2°；※θ有≤8°扰动时，摆杆的稳定时间小于三秒。

对比仿真结果与控制要求，修正设计值，使之满足设计要求。

三、控制系统建模过程1、控制对象示意图图1.控制对象示意图图中对象参数：M 小车质量 1.32kg l 摆杆转动中心到杆质心的距离0.27mm 摆杆质量0.132kg F 作用在系统上的外力X 小车位移θ 摆杆与竖直方向的夹角，以垂直向上为起始位置,取逆时针方向为正方向。

b 小车摩擦阻尼系数 m/sec 2. 控制系统模拟结构图：图2.系统的模拟结构图其中G1（s ）表示关于摆角θ的开环传递函数，D(S)表示PID 控制器的传递函数，G2（s ）表示小车位移x 的传递函数。

由于摆角与垂直向上方向夹角为0时为平衡状态，故摆角的理想输出值应为R （S ）=0。

3. 建模过程：T图3.小车及摆杆的受力分析图如图3所示，对小车及摆杆进行受力分析，得到以下平衡方程：对小车有： 22..................................(1)dx d xF F b N M dt dt=--=∑小车对摆杆有：2222(cos ) (2)(cos ).............................(3)d F N m x l dt d Fmg P m l l dtθθ==-=-=-∑∑水平竖直转矩：2222sin cos ...................................(4)1 (5)23ll d T I Pl Nl dt mr I dr ml l θθθ-==+==∑⎰为使摆杆直立，需使θ≪1，则有sin ,cos 1θθθ≈≈， 线性化（2）（3）（4）方程得：2222() (6)0.......................................................................(7)..............................d N m x l dtmg P d I Pl Nl dtθθθ=--==+................................(8) 由（1）（5）（6）（7）（8）式联立解得：222222222() (9)4 (10)3d x d dxF M m ml b dt dt dtd d xmgl ml ml dt dtθθθ=+-+=- 对（9）（10）两式进行拉式变换，得：22222()()()()()4()()()3F S M m s X s Mls s bsX s mgl s ml s s mls X s θθθ=+-+=- 传递函数：13222432()3()()(4)43()3()43()()(4)43()3s sG s F s Ml ml s bls M m gs gbX s ls gG s F s Ml ml s bls M m gs gbsθ==++-+--==++-+-将数值带入后得到系统的传递函数：132224323() 1.461240.10842.6888 2.941.0829.4() 1.461240.10842.6888 2.94sG s s s s s G s s s s s =+---=+--四、应用Simulink建立仿真模型进行实验1．控制系统的simulink仿真结构图及仿真结果其中PID控制器的传递函数参数的初步范围可以由劳斯判据确定，具体过程如下：设PID控制器的传递函数为1()P I DD s K K K ss=++，则以θ为输出量的系统特征方程为111()()0P ID K K K s G s s+++= 整理得321.46124(30.108)(342.6888)(3 2.94)0D P I s K s K s K +++-+-=通过劳斯判据可以确定，若使系统稳定，则有0.48708(3 2.94)0.98,0,14.22960.1083I I D P DK K K K K ->>>++通过模拟系统反复实验，根据PID 各个参数的作用进行数值调整，得到使系统满足要求的PID 控制器的传递函数为：1()90092650D s s s=++2. 系统响应曲线在单位阶跃输入下，θ（t ）的响应曲线为：从该响应曲线可以看出，此时系统的稳定时间小于10s ，且摆杆的摆幅小于2度，满足控制要求。

直线一级倒立摆的自动起摆与稳摆控制（Simulink仿真）通过对倒立摆系统的力学及运动学分析，建立系统的非线性数学模型为可见，直线一级倒立摆为单输入双输出系统，利用Simulink可建立上式的框图模型，如图1所示。

图1 直线一级倒立摆系统的非线性Simulink模型倒立摆的起摆问题，是控制理论中的一个经典实验，其实质是倒立摆系统从一个稳定的平衡状态（垂直向下）在外力的作用下自动转移到另一个平衡状态（垂直向上）。

在这个过程中，要求起摆快速，但又不能过于超调。

由于输入、输出之间的非线性，许多常用的线性控制理论都不适用。

基于非线性理论，目前常用的几种起摆方法为：Bang-Bang控制、能量控制、仿人智能控制等。

这里采用Bang-Bang控制作为起摆方法，LQR控制作为稳摆方法，Simulink框图如图2所示。

图2 倒立摆自动起摆控制Simulink框图（Bang-Bang + LQR）图2中，子系统“Inverted Pendulum”是直线一级倒立摆的非线性模型，如图1所示；S函数“ang_proc”模块用于摆杆角度的处理，即将任意角度信号转换为“ -π ~ π”之间的对应值；子系统“Bang-Bang Controller”为Bang-Bang控制器；子系统“LQR Controller”为LQR 控制器。

双击“Bang-Bang Controller”模块可打开Bang-Bang控制器框图如下：图3 Bang-Bang控制器框图图3中，bang_controller是为实现Bang-Bang控制算法而编写的S函数，信号Ang_s是Bang-Bang控制切换角，F_bang是Bang-Bang控制作用力。

双击“LQR Controller”子系统，打开LQR控制器框图如下：图4 LQR控制器框图运行图2中的仿真框图，则基于Bang-Bang控制和LQR控制算法的直线一级倒立摆自动起摆控制效果如图5所示。

专业实验报告3. 实验装置直线单级倒立摆控制系统硬件结构框图如图1所示，包括计算机、I/O设备、伺服系统、倒立摆本体和光电码盘反馈测量元件等几大部分，组成了一个闭环系统。

图1 一级倒立摆实验硬件结构图对于倒立摆本体而言，可以根据光电码盘的反馈通过换算获得小车的位移，小车的速度信号可以通过差分法得到。

摆杆的角度由光电码盘检测并直接反馈到I/O设备，速度信号可以通过差分法得到。

计算机从I/O设备中实时读取数据，确定控制策略（实际上是电机的输出力矩），并发送给I/O设备，I/O设备产生相应的控制量，交与伺服驱动器处理，然后使电机转动，带动小车运动，保持摆杆平衡。

图2是一个典型的倒立摆装置。

铝制小车由6V的直流电机通过齿轮和齿条机构来驱动。

小车可以沿不锈钢导轨做往复运动。

小车位移通过一个额外的与电机齿轮啮合的齿轮测得。

小车上面通过轴关节安装一个摆杆，摆杆可以绕轴做旋转运动。

系统的参数可以改变以使用户能够研究运动特性变化的影响，同时结合系统详尽的参数说明和建模过程，我们能够方便地设计自己的控制系统。

图2 一级倒立摆实验装置图上面的倒立摆控制系统的主体包括摆杆、小车、便携支架、导轨、直流伺服电机等。

主图7 直线一级倒立摆PD控制仿真结果图从上图可以看出，系统在1.5秒后达到平衡，但是存在一定的稳态误差。

为消除稳态误差，我们增加积分参数Ki，令Kp=40，Ki=60，Kd=2，得到以下仿真结果：图8 直线一级倒立摆PID控制仿真结果图从上面仿真结果可以看出，系统可以较好的稳定，但由于积分因素的影响，稳定时间明显增大。

双击“Scope1”，得到小车的位置输出曲线为：图9 施加PID控制器后小车位置输出曲线图由于PID 控制器为单输入单输出系统，所以只能控制摆杆的角度，并不能控制小车的位置，所以小车会往一个方向运动，PID控制分析中的最后一段，若是想控制电机的位置，使得倒立摆系统稳定在固定位置附近，那么还需要设计位置PID闭环。

倒立摆系统的起摆及稳摆研究首先，我们需要考虑倒立摆系统的起摆问题。

起摆过程是指将摆锤从静止状态调整到竖直朝上的过程。

当我们将摆锤稍微离开竖直方向并释放时，它将会开始摆动。

我们可以利用一些力学原理和数学模型来描述起摆过程。

倒立摆系统的起摆可以分为两个阶段：摆杆自由下落和摆杆的运动。

在摆杆自由下落阶段，摆杆和摆锤受到重力的作用，因此摆杆将会加速下落。

在摆杆运动阶段，由于摆锤的角动量守恒原理，摆杆将会开始向上摆动，直到达到竖直位置。

在起摆过程中，动力学方程和能量守恒原理是非常有用的工具。

通过这些原理，我们可以得到摆杆的运动方程和摆动过程中的能量变化。

利用这些方程，我们可以预测起摆的过程和时间，并控制摆锤的起始状态，以实现所需的起摆效果。

其次，我们需要研究倒立摆系统的稳摆问题。

稳摆是指在摆锤达到竖直朝上的状态后，摆杆能够保持在竖直位置上下摆动的过程。

稳摆过程中，重力和摩擦力是主要的影响因素。

对于稳摆问题，我们可以利用线性控制理论和反馈控制的方法来进行研究。

通过建立系统的数学模型，并设计合适的控制算法，可以使得摆锤保持在竖直位置上下摆动，并在外部扰动下保持稳定。

此外，倒立摆系统的稳态分析和参数优化也是研究的重要方向。

通过分析系统的稳态解和响应特性，可以得到系统的稳定性条件和稳态运动规律。

通过参数优化，可以调整系统的结构参数和控制参数，以提高倒立摆系统的性能和稳定性。

总结起来，倒立摆系统的起摆和稳摆问题是倒立摆系统研究中的核心问题。

通过建立适当的数学模型和控制算法，可以预测起摆过程和控制稳摆状态，实现所需的效果并提高系统的性能。

同时，系统的稳态分析和参数优化对于深入理解系统行为和改进系统性能也具有重要意义。