合肥二中2020届高三3月线上考试数学（文）试题注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上.2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.第I 卷 选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{2,1,1,4}A =--，2{|,}B y y x x A ==∈，则集合A B I 中的元素个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32.已知复数z 满足11124105z i i =+-，则复数z 的共轭复数为（ ） A. 34i -B. 34i +C. 34i --D. 34i -+3.“2cos 1sin 24θθ=-”是“tan 2θ=-”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知向量,m n r r 满足2,1m n ==r r ，若3m n n -=+r r r r ，则向量n r 在m r方向上投影为（ ） A.14B.12C. 2D. 45.《九章算术》是中国古代数学专著，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中“均赋粟”问题讲的是古代劳动人民的赋税问题．现拟编试题如下，已知甲、乙、丙、丁四县向国家交税，则甲必须第一个交且乙不是第三个交的概率为 A.16B.112C.18D.1106.运行如图所示的程序框图，若判断框中填写80i <，则输出的a 的值为（ ）A. 1-B. 52-C. 4-D.257.已知实数,x y 满足约束条件5,320,210,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-+≤⎩则31()2x yz +=的最小值为（ ） A.12048B.11024C.1512D.12568.如图，网格纸上小正方形的边长为1，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 20π8+B. 20π8222++C. 20π822+D. 20π8422++9.已知：抛物线2:2(0)C y px p =>，焦点为F ，过抛物线C 上一点P 作其准线l 的垂线，垂足为Q ，若PQF ∆为正．三角形，且43PFQ S ∆=C 的方程为（ ）A. 24y x =B. 24y x =或212y x =C. 212y x =D. 22y x =或26y x =10.现将“□”和“○”按照如下规律从左到右进行排列：若每一个“□”或“○”占1个位置，即上述图形中，第1位是“□”，第4位是“○”，第7位是 “□”，则在第2017位之前（不含第2017位），“○”的个数为（ ）□,○,□,○,○,○,□,○,○,○,○,○,□,○,○,○,○,○,○,○L L A. 1970B. 1971C. 1972D. 197311.若1(1,2)x ∀∈，2(1,2)x ∃∈，使得311221ln 3x x mx mx =+-，则正实数m 的取值范围为（ ） A. 3(3ln 2,)2-+∞ B. 3[3ln 2,)2-+∞C. [33ln 2,)-+∞D. (33ln 2,)-+∞12.已知函数3211()2132f x x x x =+-+，若函数()f x 在2(2,3)a a -上存在最小值，则a 的取值范围是（ ） A. 1(,2)2B. 1[,2]2C. (1,3)-D. (,2)-∞-第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上）13.已知函数22log ,0,()22,0,x x f x x x x >⎧=⎨--≤⎩则()1f x >的解集为_________． 14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离为3，且双曲线右支上的一点P 到两焦点的距离之差是虚轴长的43倍，则双曲线C 的标准方程为_________． 15.已知正项等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若762244a a ⋅=，则12T 的最大值为_________．16.已知函数()cos()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示，若3π(,4)4A 是函数()f x 图象的一个最高点，15π(,0)4B -，将函数()f x 的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图象，则当(π,2π)x ∈-时，函数()g x 的值域为_________．三、解答题（本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，6b =，42cos 7B =． （1）若30A =o ，求ABC V 的面积；（2）若点M 在线段BC 上，连接AM ，若4CM =，27AM =c的值．18.随着夏季的到来，冰枕成为市面上的一种热销产品，某厂家为了调查冰枕在当地大学的销售情况，作出调研，并将所得数据统计如下表所示： 表一：温度在30℃以下 温度在30℃以上总计 女生 10 30 40 男生 40 20 60 总计 50 50100随后在该大学一个小卖部调查了冰枕的出售情况，并将某月的日销售件数（x ）与销售天数（y ）统计如下表所示： 表二： 第x 天24 6 8 10 y （件） 3671012（1）请根据表二中的数据在下列网格纸中绘制散点图；（2）请根据表二中提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （3）从（1）（2）中的数据及回归方程我们可以得到，销售件数随着销售天数的增长而增长，但无法判断男、女生对冰枕的选择是否与温度有关，请结合表一中的数据，并自己设计方案来判段是否有99.9%的可能性说明购买冰枕的性别与温度相关. 参考数据及公式： P (K 2≥k 0) 0.100 0.050 0.0250.010 0.005 0.001k 0 2.7063.8415.0246.6357.87910.8281221ˆˆˆ,ni ii nii x ynx y a y b bx xnx ==-=-⋅=-∑∑；22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图所示，已知直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 为等腰直角三角形，点D 为线段11A B 的中点．（1）探究直线1B C 与平面1C AD 的位置关系，并说明理由； （2）若111112BB A B B C ===，求三棱锥1C ADC -的体积．20.已知函数()ln 1xf x x x e =-+，（1）求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）证明：()sin f x x <在()0,+?上恒成立.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，且椭圆C 的离心率为2，过2F 作x 轴的垂线与椭圆C 交于,A B 两点，且||2AB =，动点,,P Q R 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）记椭圆C 的左、右顶点分别为12A A 、，且直线12,PA PA 的斜率分别与直线,OQ OR （O 为坐标原点）的斜率相同，动点,,P Q R 不与12,A A 重合，求OQR △的面积．请考生从第22、23题中任选一题做答． 如果多做，则按所做的第一题计分． 作答时请写清题号．22.在平面直角坐标系xOy 中曲线C的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 04πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程；（2）将曲线C 向左平移2个单位，再将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值. 23.设函数()|2|f x x a =+．（1）当1a =时，若()|32|f x x m +-≥恒成立，求实数m 的取值范围； （2）当1a =-时，解不等式1()||2f x x a+-<合肥二中2020届高三3月线上考试数学（文）试题注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上.2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.第I 卷 选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{2,1,1,4}A =--，2{|,}B y y x x A ==∈，则集合A B I 中的元素个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】求出函数2y x =的值域，再根据集合的交运算，求得A B ⋂，即可得到元素个数. 【详解】因为2,y x x A =∈，故可得集合{}1,4,16B =，则{}1,4A B ⋂=.故A B ⋂中的元素个数有2个. 故选：C.【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题；需要注意集合B 的求解. 2.已知复数z 满足11124105z i i =+-，则复数z 的共轭复数为（ ） A. 34i - B. 34i +C. 34i --D. 34i -+【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再求其共轭复数即可.【详解】依题意得：111(i)(24i)34i 105z =+-=-， 故34z i =+， 故选：B .【点睛】本题考查复数的乘法运算，涉及共轭复数的求解，属基础题.3.“2cos 1sin 24θθ=-”是“tan 2θ=-”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦的倍角公式对2cos 1sin 24θθ=-进行整理化简，根据化简结果即可判断.【详解】依题意得，22cos cos cos 1sin 22sin cos 2sin 4θθθθθθθ===-，故tan 2θ=-，故“2cos 1sin 24θθ=-”是“tan 2θ=-”的充要条件.故选：C .【点睛】本题考查命题的充分条件和必要条件的判断，涉及正弦的倍角公式，属基础题.4.已知向量,m n r r 满足2,1m n ==r r ，若3m n n -=+r r r r ，则向量n r 在m r方向上的投影为（ ） A.14B.12C. 2D. 4【答案】A 【解析】 【分析】根据3m n n -=+r r r r ，求得m n r r ⋅，再利用向量投影的计算公式即可求得.【详解】依题意，将3m n n -=+r r rr两边同时平方可得2296m n m n -=+r r r r ，即可得222299186612m n m n m n m n +-⋅=++⋅r r r r rr r r代值可得12m n ⋅=r r； 故向量n r 在m r方向上的投影为m n m ⋅r r r =14.故选：A ．【点睛】本题考查向量投影的计算公式，涉及数量积的求解，属基础题.5.《九章算术》是中国古代数学专著，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中“均赋粟”问题讲的是古代劳动人民的赋税问题．现拟编试题如下，已知甲、乙、丙、丁四县向国家交税，则甲必须第一个交且乙不是第三个交的概率为 A.16B.112C.18D.110【答案】A 【解析】依题意，所有的基本事件为：甲—乙—丙—丁，甲—乙—丁—丙，甲—丙—乙—丁，甲—丙—丁—乙，甲—丁—丙—乙，甲—丁—乙—丙，乙、丙、丁第一个交的情况也各有6种，故总的事件数有24种，其中满足条件的基本事件为：甲—乙—丁—丙，甲—乙—丙—丁，甲—丙—丁—乙，甲—丁—丙—乙，共4种，故所求概率为41=246，故选A ． 6.运行如图所示的程序框图，若判断框中填写80i <，则输出的a 的值为（ ）A. 1-B. 52-C. 4-D.25【答案】A 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，找出规律，即可容易求得. 【详解】运行该程序，第1次循环：1b =-，1a =-，2i =； 第2次循环：52b =-，52a =-，3i =； 第3次循环：4b =-，4a =-，4i =； 第4次循环：1b =-，1a =-，5i =； …；第79次循环：1b =-，1a =-，80i =， 此时结束循环，输出的a 的值为1-. 故选：A ．【点睛】本题考查由程序框图计算输出结果，属基础题；本题的关键点是要通过执行前几次循环，找出规律.7.已知实数,x y 满足约束条件5,320,210,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-+≤⎩则31()2x yz +=的最小值为（ ） A.12048B.11024C.1512D.1256【答案】A 【解析】 【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合，求得3x y +的最大值，即可求得目标函数的最小值.【详解】根据题意，画出不等式组5,320,210x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-+≤⎩所表示的平面区域如下图中阴影部分所示：要使31()2x yz +=取得最小值，则3z x y '=+取得最大值，数形结合可知当3z x y '=+过点(3,2)B 时取得最大值即max 33211z '=⨯+=，故31()2x yz +=的最小值为1111()22048=.故选：A ．【点睛】本题考查可转化为简单线性规划的问题，注意数形结合的数学思想即可.8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. 20π8+B. 20π8222++C. 20π822+D. 20π8422++【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原出几何体，再利用表面积公式求解组合体表面积即可.【详解】该几何体是由一个圆柱和两个三棱锥P ABC -，P CDE -组成的，如下图所示：其中圆柱的底面半径为2，高为3，两个三棱锥的底面均是直角边长为2的等腰直角三角形，高均为3，所以所求表面积：22111π22π23π2222423222222S =⨯+⨯⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯11 20π8222=++故选：B .【点睛】本题考查由三视图还原几何体并求几何体表面积的问题，涉及组合体表面积的计算，属基础题. 9.已知：抛物线2:2(0)C y px p =>，焦点为F ，过抛物线C 上一点P 作其准线l 的垂线，垂足为Q ，若PQF ∆为正．三角形，且43PFQ S ∆=C 的方程为（ ） A. 24y x =B. 24y x =或212y x =C. 212y x =D. 22y x =或26y x = 【答案】A【解析】【分析】 根据43PFQ S ∆=PF ，根据几何关系，求出点P 的坐标，根据抛物线上一点，求得p ，即可求得抛物线的方程. 【详解】由43PFQ S ∆=||4PF =，设00(,)P x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为A ，则PFA ∆为30FPA ∠=︒的直角三角形，则022p x -=，0y =， 又由点P 在抛物线C 上，故06x p=， 故622p p+=，得2p =， 故答案为：A .【点睛】本题考查抛物线方程的求解，涉及抛物线定义的应用，属基础题.10.现将“□”和“○”按照如下规律从左到右进行排列：若每一个“□”或“○”占1个位置，即上述图形中，第1位是“□”，第4位是“○”，第7位是 “□”，则在第2017位之前（不含第2017位），“○”的个数为（ ）□,○,□,○,○,○,□,○,○,○,○,○,□,○,○,○,○,○,○,○L LA. 1970B. 1971C. 1972D. 1973 【答案】B【解析】【分析】根据题意，以“□,○”为第1组，“□,○,○,○,”为第2组，如此类推，发现规律，将问题转化为计算等差数列前n 项和，即可求得结果.【详解】记“□,○”为第1组，“□,○,○,○,”为第2组，“□,○,○,○,○,○”为第3组，以此类推，可知第k 组共有2k 个图形，故前k 组共有(1)k k +个图形，因为44451980201645462070⨯=<<⨯=，所以在前2016位中共有45个“□”，从而可知有2016−45=1971个“○”.故选：B .【点睛】本题本质上在考查等差数列的求和，处理问题的关键是合理的分段和转化，属基础题.11.若1(1,2)x ∀∈，2(1,2)x ∃∈，使得311221ln 3x x mx mx =+-，则正实数m 的取值范围为（ ） A. 3(3ln 2,)2-+∞ B. 3[3ln 2,)2-+∞ C. [33ln 2,)-+∞ D. (33ln 2,)-+∞【答案】B【解析】【分析】根据题意，将问题转化为函数()f x lnx x =-与函数()313g x mx mx =-值域之间的包含关系，利用导数求解函数值域，再根据集合的包含关系，求出参数的范围即可. 【详解】依题意，整理可得：311221ln 3x x mx mx -=-. 设()ln f x x x =-在(1,2)上的值域为A ， 函数31()3g x mx mx =-在(1,2)上的值域为B ， 则A B ⊆.当(1,2)x ∈时，1()10f x x '=-<，即函数()f x 在(1,2)上单调递减， 故()f x 的值域(ln 22,1)A =--.而2()(1)(1)g x mx m m x x '=-=+-，当0m >时，易知()g x 在(1,2)上是增函数，故()g x 的值域22(,)33m m B =-， 因为A B ⊆，所以2ln 223213m m ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩， 故33(ln 22)3ln 222m ≥--=-， 即实数m 的取值范围为3[3ln 2,)2-+∞． 故选：B .【点睛】本题考查利用导数研究函数的值域，以及由集合之间的关系求参数范围的问题，属综合性中档题. 12.已知函数3211()2132f x x x x =+-+，若函数()f x 在2(2,3)a a -上存在最小值，则a 取值范围是（ ） A. 1(,2)2 B. 1[,2]2 C. (1,3)- D. (,2)-∞-【答案】D【解析】【分析】对()f x 求导，利用导数研究该函数的单调性和最小值，根据题意，只需函数()f x 取得最小值时的自变量是集合2(2,3)a a -的元素即可. 【详解】因为3211()2132f x x x x =+-+，故可得()22f x x x '=+-， 令()0f x '>，解得()(),21,x ∈-∞-⋃+∞，令()0f x '<，解得()2,1x ∈-，故()f x 在1x =时取得最小值.又因为函数()f x 在2(2,3)a a -上存在最小值，故可得2213a a <<-，记得2a <-即为所求.故选：D .【点睛】本题考查利用导数研究三次方函数的最值，属常考题.第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上）13.已知函数22log ,0,()22,0,x x f x x x x >⎧=⎨--≤⎩则()1f x >的解集为_________． 【答案】(,1)(2,)-∞-+∞U【解析】【分析】分类讨论，求解对数不等式和一元二次不等式即可求得.【详解】当0x >时，由2log 1x >，解得2x >；当0x ≤时，由2221x x -->，解得1x <-（3x >舍去）.综上所述，不等式()1f x >的解集为(,1)(2,)-∞-+∞U ．故答案为：(,1)(2,)-∞-+∞U .【点睛】本题考查解分段函数不等式的求解，涉及对数不等式的求解，属基础题.14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离为3，且双曲线右支上的一点P 到两焦点的距离之差是虚轴长的43倍，则双曲线C 的标准方程为_________． 【答案】221169x y -= 【解析】【分析】根据题意，列出,,a b c 的方程组，求得,,a b c ，即可写出双曲线的方程. 【详解】依题意知，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±， 即0bx ay ±=3=，即3b =.设双曲线C 的左、右焦点分别为12F F 、， 则124||||223PF PF a b -==⨯， 解得4a =， 故双曲线C 的标准方程为221169x y -=． 故答案为：221169x y -=. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，涉及双曲线的定义，渐近线方程，属基础题.15.已知正项等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若762244a a ⋅=，则12T 的最大值为_________．【答案】1【解析】【分析】根据题意，得到67,a a 的等量关系，再根据等比数列的性质，结合均值不等式，即可求得结果.【详解】根据题意： 762672442a a a a ⋅=⇒+=， 故626671212111267()[()]12a a T a a a a a a +=⋅⋅=≤=L . 当且仅当671a a ==时取等号．故答案为：1.【点睛】本题考查等比数列的性质，涉及利用均值不等式求积的最大值，属综合基础题.16.已知函数()cos()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示，若3π(,4)4A 是函数()f x 图象的一个最高点，15π(,0)4B -，将函数()f x 的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图象，则当(π,2π)x ∈-时，函数()g x 的值域为_________．【答案】(2,4]- 【解析】【分析】根据图象先求得()f x 的解析式，再根据函数平移，得到()g x 的解析式，最后求函数()g x 在区间上的值域.【详解】依题意得：4A =，设函数()f x 的最小正周期为T ，则3π15π32π1()6π4446π3T T ω--=⇒=⇒==， 故3π12π()43k k ϕ⨯+=∈Z . 因为||2ϕπ<，所以4πϕ=-， 故1π()4cos()34f x x =-， 故1ππ1π()4cos[()]4cos()34433g x x x =--=-， 因为(π,2π)x ∈-，所以2π1ππ3333x -<-<， 所以11πcos()1233x -<-≤， 所以2()4g x -<≤，即函数()g x 的值域为(2,4]-．故答案为：(]2,4-.【点睛】本题考查由函数图象求三角函数的解析式，三角函数平移后解析式的求解，以及求余弦型三角函数值域的问题，属综合性中档题. 三、解答题（本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.已知ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，6b =，cos 7B =． （1）若30A =o ，求ABC V 的面积；（2）若点M 在线段BC 上，连接AM ，若4CM =，AM =c 的值． 【答案】（1；（2）c =【解析】【分析】 （1）由cosB 求得sinB ，再根据正弦定理求得a ；结合,sinB sinA ，求得sinC ，最后利用面积公式，即可求得结果；（2）在AMC n 中用余弦定理，求得cosC ，得到sinC ；再在ABC n 中，使用正弦定理，即可求得c .【详解】（1）因为cos 7B =，所以sin B =因为sin sin b a B A=，所以16sin sin b A a B ⨯===. 所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，12714=⨯+= 故ABC V 的面积：11sin 622142S ab C ==⨯⨯=.（2）在AMC V 中，由余弦定理，得2221cos 22AC CM AM C AC CM +-==×.因为0C π<<，所以sin 2C =． 在ABC V 中，由正弦定理sin sin b c B C =，得c =【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属综合性中档题.18.随着夏季的到来，冰枕成为市面上的一种热销产品，某厂家为了调查冰枕在当地大学的销售情况，作出调研，并将所得数据统计如下表所示：表一：随后在该大学一个小卖部调查了冰枕的出售情况，并将某月的日销售件数（x ）与销售天数（y ）统计如下表所示：表二：（1）请根据表二中的数据在下列网格纸中绘制散点图；（2）请根据表二中提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （3）从（1）（2）中的数据及回归方程我们可以得到，销售件数随着销售天数的增长而增长，但无法判断男、女生对冰枕的选择是否与温度有关，请结合表一中的数据，并自己设计方案来判段是否有99.9%的可能性说明购买冰枕的性别与温度相关.参考数据及公式： P (K 2≥k 0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.841 5.024 6.635 7.87910.8281221ˆˆˆ,n ii i n i i x y nx ya yb b x xnx ==-=-⋅=-∑∑；22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 【答案】（1）散点图见详解；（2）ˆ 1.11y x =+；（3）有99.9%的可能性说明购买冰枕的性别与温度相关，具体见详解.【解析】【分析】（1）根据表格中的数据，直接绘制即可；（2）根据参考数据，利用公式，求得回归直线的系数，即可求得结果；（3）计算2k ，结合参考数据表，即可进行判断.【详解】（1）散点图如下所示：（2）依题意，x 2+4+6+8+116(50=)=⨯， y 3+6+7+10+121()765==⨯．， 5214163664100220i i x==++++=∑， 516244*********ii i x y ==++++=∑，51522215272567.644ˆ 1.122056405i ii i i x y x y b xx ==--⨯⨯====-⨯-∑∑， ∴ˆˆ7.6 1.161ay bx =-=-⨯=. ∴y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.11yx =+. （3）采用独立性检验的方法进行说明：因为2K 的观测值20100(2001200)16.710.82840605050k ⨯-=≈>⨯⨯⨯， 所以有99.9%的可能性说明购买冰枕的性别与温度相关.【点睛】本题考查散点图的绘制，回归直线方程的求解，以及2K 的计算，属综合基础题.19.如图所示，已知直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 为等腰直角三角形，点D 为线段11A B 的中点．（1）探究直线1B C 与平面1C AD 的位置关系，并说明理由；（2）若111112BB A B B C ===，求三棱锥1C ADC -的体积．【答案】（1）1B C //平面1C AD ，证明见详解；（2）23. 【解析】【分析】 （1）连接1BC 交1B C 于点O ，取1AC 中点为G ，通过证明四边形1B OGD 为平行四边，即可由线线平行推证线面平行；（2）转换三棱锥顶点至1C ，根据棱锥的体积公式即可容易求得.【详解】（1）1B C //平面1C AD ，理由如下：连接1BC ，设1B C ⋂1BC O =，因为四边形11B BCC 为平行四边形，所以O 为1B C 的中点．设G 为1AC 的中点，连接,OG DG ，如下图所示：则OG //BA ，且12OG BA =． 由已知得11A B //AB ，且112B D AB =，所以1B D //OG ，且1B D OG =．所以四边形1B OGD 为平行四边形，所以1B O //DG ，即1B C //DG ．因为1B C ⊄平面1C AD ，DG ⊂平面1C AD ，所以1B C //平面1C AD ．（2）由（1）可知，1B C //平面1C AD ．所以点C 到平面1C AD 的距离等于点1B 到平面1C AD 的距离，所以111C C AD B C AD V V --=．易知11B C ⊥平面11AA B B ，连接1AB ，因为111112BB A B B C ===， 所以11111111111111=332B C AD C B AD B AD V V S B C B D BB B C --==⋅⨯⨯⨯⨯△ 112122323=⨯⨯⨯⨯=． 所以三棱锥1C ADC -的体积为23. 【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行以及三棱锥体积的求解，属综合基础题.20.已知函数()ln 1xf x x x e =-+， （1）求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）证明：()sin f x x <在()0,+?上恒成立.【答案】（1）()1y e x =-（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得切线斜率为()1f '，再根据点斜式求出切线方程，（2）要证：()sin f x x <，即证：0sin 1ln x e x x x <+--；令()sin 1ln x g x e x x x =+--，利用二次求导得1sin x e x x--，1 1sin 1sin 10x x e x e x sinx x>-->-->-≥当时，;可得()()1sin110g x g e >=+->，当01x <≤时，利用sin 10x e x +->，ln 0x x ≤，直接得0sin 1ln x e x x x <+--.试题解析：（Ⅰ）依题意，()11x f x nx e +'==，又()11f e =-，()11f e '=-，故所求切线方程为()()111y e e x -+=--，即()1y e x =-，（Ⅱ）依题意，要证：()sin f x x <，即证ln 1sin x x x e x -+<，即证：ln sin 1x x x e x <+-；当01x <≤时，sin 10x e x +->，ln 0x x ≤，故ln sin 1x x x e x ≤+-，即()sin f x x <；当1x >时，令()sin 1ln x g x e x x x =+--，故()cos ln 1xg x e x x =-'+-， 令()()cos ln 1x h x g x e x x ==+--'，()1sin x h x e x x=--， 当1x >时，111x e e x ->->，所以()1sin 0x h x e x x-'=->，故()h x 在()1,+∞上单调递增， 故()()1cos110h x h e >-+->，即()0g x '>，所以()()1sin110g x g e >=+->，即ln sin 1x x x e x <+-，即()sin f x x <；综上所述，()sin f x x <在()0,+∞上恒成立.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、，且椭圆C ，过2F 作x 轴的垂线与椭圆C 交于,A B 两点，且||2AB =，动点,,P Q R 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记椭圆C 的左、右顶点分别为12A A 、，且直线12,PA PA 的斜率分别与直线,OQ OR （O 为坐标原点）的斜率相同，动点,,P Q R 不与12,A A 重合，求OQR △的面积．【答案】（1）22142x y +=；（2． 【解析】【分析】（1）根据离心率以及通径的长度，建立,,a b c 的方程组，求解方程组即可得到结果；（2）根据点P 在椭圆上，可推导出OR OQ k k ⋅为定值；分类讨论直线RQ 的斜率，当斜率存在时，设出直线RQ 的方程y kx m =+，联立椭圆方程，由OR OQ k k ⋅，得到,k m 之间的关系；再求弦长RQ 以及原点O 到直线的距离，结合,k m 之间的关系，即可容易得到结果.【详解】（1）联立方程得2222,1,x c x y a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2b y a =±， 故22||2b AB a==，即21b a =，又2c a =，222a c b -=，所以2,a b c === 故椭圆C 的标准方程为22142x y +=. （2）由（1）知，12(2,0),(2,0)A A -，设00(,)P x y ， 则1220002000224PA PA y y y k k x x x ⋅=⋅=+--， 又2200142x y +=，即220042x y -=-， 所以1212PA PA k k ⋅=-，所以1212OQ OR PA PA k k k k ⋅=⋅=-. 当直线QR 的斜率不存在时，直线,OQ OR的斜率分别为,22-22- 不妨设直线OQ的方程是2y x =，由22242x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得x =1y =±．取Q，则1)R -，所以OQR △.当直线QR 的斜率存在时，设方程为(0)y kx m m =+≠．由22240y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得222(21)4240k x kmx m +++-=． 因为,Q R 在椭圆C 上，所以2222164(21)(24)0k m k m ∆=-+->，解得22420k m -+>．设11(,)Q x y ，22(,)R x y ，则122421km x x k +=-+，21222421-=+m x x k .所以||QR ===． 设点O 到直线QR 的距离为d，则d =．所以OQR △的面积为12OQR S d QR =⨯⨯=△ 因为121212OQ OR y y k k x x ⋅==-， 所以2212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m x x x x x x +++++==2224=.24m k m -- 由22241242m k m -=--，得2221k m +=， ②由①②，得OQR S ==△ 综上所述，OQR △． 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中三角形的面积问题；本题的求解中，需要注意1212OQ OR PA PA k k k k ⋅=⋅=-的利用，事实上，这也是椭圆中的一个推论；同时本题也考查了弦长的计算，点到直线距离的求解，以及韦达定理的多次使用，计算量偏大，可做压轴题使用.请考生从第22、23题中任选一题做答． 如果多做，则按所做的第一题计分． 作答时请写清题号．22.在平面直角坐标系xOy 中曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos 04πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程；（2）将曲线C 向左平移2个单位，再将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值.【答案】（1）()22:24C x y -+=；:0l x y -+=； （2）2. 【解析】 【分析】（1）曲线C 的参数方程化简消参后得到普通方程，利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，对直线l 的极坐标方程进行化简，得到l 的直角坐标方程； （2）根据变换规则，得到变换后的曲线1C 的方程，写出其参数方程，从而得到曲线1C 上任一点的坐标，利用点到直线的距离公式，结合正弦型函数的值域，得到最小值. 【详解】（1）曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数） 所以22cos 2sin x y θθ-=⎧⎨=⎩，两式平方后相加得()2224x y -+=， 即曲线C 的普通方程为：()2224x y -+=.直线l 的极坐标方程为cos 04πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即cos sin 022ρθρθ-+= cos sin 0ρθρθ-+=，因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以直线l 的直角坐标方程为：0x y -+=（2）曲线C ：()2224x y -+=向左平移2个单位，得到224x y +=，再将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12得到2244x y +=， 即曲线221:14y C x +=； 所以曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数)， 设曲线1C 上任一点()cos ,2sin P θθ，则点P 到直线l 的距离为：则d ==其中1tan 2ϕ=-)，当()sin 1θϕ+=时，d 取最小值，为2所以点P 到直线l 【点睛】本题考查参数方程化普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，曲线方程的平移和伸缩，参数方程的应用，属于中档题.23.设函数()|2|f x x a =+．（1）当1a =时，若()|32|f x x m +-≥恒成立，求实数m 的取值范围；（2）当1a =-时，解不等式1()||2f x x a+-< 【答案】（1）(,4]-∞（2）2(0,)3【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式求得()32f x x +-的最小值，即可求得参数范围；（2）分类讨论，在不同情况下分别求解不等式即可.【详解】（1）依题意，()|32||21||32||2132|4f x x x x x x +-=++-≥++-=，当且仅当()()21320x x +-≥时取得最小值.因为()|32|f x x m +-≥恒成立，所以4m ≤.即实数m 的取值范围为(,4]-∞.（2）依题意，|21||1|2x x -++<，1x <-时，1212x x ---<，解得23x >-， 与1x <-取交集，则原不等式无解； 当112x ≤≤-时，1212x x -++<，解得0x >， 与112x ≤≤-取交集，则原不等式解集为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦； 当12x >时，2112x x -++<，解得23x <， 与12x >取交集，可得原不等式解集为12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭. 综上所述，当1a =-时， 不等式1()||2f x x a+-<的解集为2(0,)3． 【点睛】本题考查由绝对值三角不等式求最小值，以及利用分类讨论求解绝对值不等式，属综合性基础题.。
