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高等数学(专科)复习题及答案

中南大学现代远程教育课程考试（专科）复习题及参考答案

《高等数学》（专科）

一、填空题

1．函数1

42-+

x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞ 。

2．若函数52)1(2

-+=+x x x f ，则=)(x f ．

解. 62

-x 3．________________sin lim =-∞→x

x x

答案：1

正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim

=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x

x x x x x x x x x

4.已知22

lim 2

22=--++→x x b

ax x x ，则=a _____, =b _____。由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由

23412lim 2lim 2222=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→)

1)((lim

0x a x b

e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a

e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数?????

≥+<=0

01sin

)(x x x x

x x f 的间断点是x = 。

解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。因为 1)0(1)1(lim 01

sin

lim 00

==+=+-→→f x x

x x x

所以函数)(x f 在0=x 处是间断的，

又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。

7. 设()()()n x x x x y -??--= 21, 则()

=+1n y

(1)!n +

8．2

)(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。答案：2

)12(+x 或1442

++x x

9．函数)

1ln(4222

y x y x z ---=的定义域为。

解：函数z 的定义域为满足下列不等式的点集。

???

????<+<≤????????≠+<+≤????????≠-->--≥-1040141101042222222222222y x x y y x y x x y y x y x y x z ? 的定义域为：{

10|),(22<+

10．已知2

2),(xy y x y x y x f +=-+,则=),(y x f . 解令x y u +=，x y v -=，则,22

u v u v

x y +-=

=，()()()f x y x y xy x y +-=+ )(4

222),(22v u u u v u v u v u f -=-+=

，22(,)()4x

f x y x y =-

11．设2

2),(y x x

xy y x f ++

=,则=')1,0(x f 。=')1,0(y f

∵ (0,1)00f =+=

00(,1)(0,1)

1(0,1)lim

lim 2x x x x

x f x f x f x

?→?→??+

-?-?+'===?? 0

0(0,1)(0,1)00

(0,1)lim

lim 0y y y f y f f y

y ?→?→?+--'===??。 12．设,,cos ,sin 32t y t x y x z ==+=则

d d ＝。解 22sin 3cos dz

x t t y dt

=-+ 13.

=??dx x f d d dx

)( . 解：由导数与积分互为逆运算得，)()(x f dx x f d d dx

=??. 14.设)(x f 是连续函数，且

x dt t f x =?

-1

3)(，则=)7(f .

解：两边对x 求导得1)1(332=-x f x ，令713

=-x ，得2=x ，所以12

)7(2

=x x f .

15．若

d e 0

?∞

+-x kx ，则_________=k 。答案：∵)d(e 1lim d e 210

0kx k x b kx b kx

--==??-+∞→∞+-

k k k kb b b kx b 1

e 1lim 1e 1lim 0=-=-=-+∞→-+∞→

∴2=k

16．设函数f(x,y)连续，且满足??

+=D

y d y x f x y x f 2),(),(σ，其中,:222a y x D ≤+则

f(x,y)=______________.

解 .4

x a y π+ 记??

D d y x f A σ),(，则2),(y Ax y x f +=，两端在D 上积分有：

????+=D

d y Axd A σ

σ2，

其

中

??=D

xd A 0

σ（由对称性），

????=

a d d d y

320

sin πρ?ρ?σπ

即 4

a A π=

，所以，.4

),(4

x a y y x f π+

17．求曲线2

,42

x ax y =

=所围成图形的面积为，（a>0）解：

223

a 18.

∑∞

=--1

2212n n n

x n ；解：令2

x y =，则原幂级数成为不缺项的幂级数

∑∞

=--1

212n n n

y n ，记其各项系数为n b ，因为21212lim 2122212lim lim 11

=+-=+?-==∞→+∞→+∞→n n n n b b R n n n n n n n ，则20222

<≤?<<-x y ，故22<

<-x .

当2±=x 时，幂级数成为数项级数∑∞

=-1

)12(21n n ，此级数发散，故原幂级数的收敛区间

为)2,2(-.

19．()02

='-''y y 的满足初始条件()()411,1211='=y y 的特解为3

21121??

??-=x y .

20．微分方程03='-''y y 的通解为x

e c c y 321+=. 21．微分方程0136=+'+''y y y 的通解为()x c x c e

y x

2sin 2cos 213+=-.

22.设n 阶方阵A 满足|A|=3，则=|1-*7-2A A |= . 答案：()

- 23.1

x ---是关于x 的一次多项式，则该多项式的一次项系数是 . 答案： 2;

24. f (x )=312514x

是次多项式，其一次项的系数是。解：由对角线法则知，f (x )为二次多项式，一次项系数为4。

25. A 、B 、C 代表三事件，事件“A 、B 、C 至少有二个发生”可表示为 AB +BC +AC . 26. 事件A 、B 相互独立，且知()()0.2,0.5P A P B ==则()P A B = .

解：∵A 、B 相互独立， ∴P (AB )=P (A )P (B )

∴P (A ∪B )=P (A )+P (B )–P (AB )=0.2+0.5–0.1=0.6

27. A ，B 二个事件互不相容，()()0.8,0.1,P A P B ==则()P A B -= . 解： A 、B 互不相容，则P (AB )=0，P (A –B )=P (A )–P (AB )=0.8

28. 对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为 .

解：设A 、B 、C 分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰

有一次击中目标可表示为C B A C B A C B A ++，即有 P (C B A C B A C B A ++)

=P (A ))()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P ++=0.36

29. 已知事件 A 、B 的概率分别为P （A ）＝0.7,P （B ）＝0.6,且P （AB ）＝0.4，则P （A B ）

＝；P （A B －）＝；解： P (A ∪B )=P (A )+P (B )–P (AB )=0.9

P (A –B )=P (A )–P (AB )=0.7–0.4=0.3

30. 若随机事件A 和B 都不发生的概率为p ，则A 和B 至少有一个发生的概率为 .

解：P (A +B )=1–P p B A P B A -=-=+1)(1)(

二、单项选择题

1．函数)1,0(1

)(≠>+-=a a a a x x f x

x （） A.是奇函数； B. 是偶函数；

C.既奇函数又是偶函数；

D.是非奇非偶函数。解：利用奇偶函数的定义进行验证。

)(1

)1()1(11)()(x f a a x a a a a x a a x x f x x x x x x x x =+-=+--=+--=-----

所以B 正确。 2．若函数221

)1(x

x x x f +=+

，则=)(x f （） A.2

x ； B. 22

-x ； C.2

)1(-x ； D. 12

-x 。解：因为2)1(212122

-+=-++=+

x x x x x x ，所以2)1()1(2-+=+x x x x f

则2)(2

-=x x f ，故选项B 正确。

3．设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（）．

A ． x

B ．x + 1

C ．x + 2

D ．x + 3

解由于1)(+=x x f ，得 )1)((+x f f 1)1)((++=x f ＝2)(+x f 将1)(+=x x f 代入，得)1)((+x f f =32)1(+=++x x 正确答案：D

4．已知0)1

(

lim 2

=--+∞→b ax x x x ，其中a ,b 是常数，则（） (A) 1,1==b a , (B) 1,1=-=b a (C) 1,1-==b a (D) 1,1-=-=b a

解. ()()01

1lim )1(

lim 22=+-+--=--+∞→∞→x b

x b a x a b ax x x x x , 1,1,0,01-==∴=+=-∴b a b a a 答案：C

5．下列函数在指定的变化过程中，（）是无穷小量。 A.e 1x

x ,

()→∞； B.

sin ,()x

x →∞；

C. ln(),()11+→x x ；

x x x +-→11

0,()

解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以

0sin lim

=∞→x

而A, C, D 三个选项中的极限都不为0，故选项B 正确。

6．下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（）

(A))(1

sin

∞→=x x

x y ; (B)())(1∞→=-n n y n ; (C))0(ln +→=x x y ； (D))0(1

cos 1→=x x

x y

解. 11

1sin lim 1sin lim ==∞→∞→x

x x x x x , 故不选(A). 取12+=k m , 则

()01

lim

lim 1=+=∞→-∞

→k n k n n

, 故不选(B). 取2

1π

π+

n x n , 则01cos 1lim

=∞

→n

n n x x , 故不选(D). 答案：C

7．设?????

≤>=0

,1sin )(x x x x

x x f ，则)(x f 在0=x 处（）

A ．连续且可导

B ．连续但不可导

C ．不连续但可导

D ．既不连续又不可导

解：（B ）

0lim )(lim 0

==--→→x x f x x ，01

sin

lim )(lim 0

==++→→x

x x f x x ，0)0(=f 因此)(x f 在0=x 处连续

x x x x f x f f x x x 1sin lim 00

sin

lim 0

)

0()(lim )0(000

→→→+=--=--='，此极限不存在

从而)0(+'f 不存在，故)0(f '不存在

8．曲线x x y -=3

在点（1，0）处的切线是（）． A ． 22-=x y B ． 22+-=x y C ． 22+=x y

D ． 22--=x y

解由导数的定义和它的几何意义可知，

)()1(='

-='x x x y 2)

13(1

2=-==x x

是曲线x x y -=3

在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是 )1(20-=-x y ，即22-=x y

正确答案：A 9．已知4

1x y =

，则y ''=（）

． A . 3

x B . 2

3x C . x 6 D . 6 解直接利用导数的公式计算： 34

1(x x y ='=', 233)(x x y ='='' 正确答案：B

10．若x x

f =)1(，则=')(x f （）。 A ．

x 1 B ．21x C ．x 1

- D ．21x

- 答案：D 先求出)(x f ，再求其导数。

11．22ln y x z -=的定义域为（）．

A ．122≥-y x

B ．022≥-y x

C ．122>-y x

D ．

022>-y x 解 z 的定义域为{

0),(22>-y x y x }个，选D 。 12.下列极限存在的是（）

（A ）y x x y x +→→0

lim

（B ）y x y x +→→1lim 00 （C ）y x x y x +→→20

0lim （D ）y x x y x +→→1sin lim 00 解 A. 当P 沿0=x 时，0),0(lim 0

=→y f y ，当P 沿直线0=y 时，1)0,(lim 0

=→x f x ，故0

lim →→y x

x x +不存在； B. ∞=+→→y x y x 1 lim 0

0，不存在； C. 如判断题中1 题可知y x x y x +→→2

0 lim 不存在； D.

因为0lim 1

sin

lim 0

=≤+→→→→x y x x y x y x ，所以01sin

lim 0

0=+→→y x x y x ，选D

13.若))(()(+∞<<-∞=-x x f x f ，在),0(,0)(,0)()0,(+∞<''>'-∞则在内x f x f 内（）.

（A ）0)(,0)(<''>'x f x f （B ）0)(,0)(>''>'x f x f （C ）0)(,0)(<''<'x f x f （D ）0)(,0)(>''<'x f x f

解：).(,)(,)(,)(C x f x f x f 故应选为偶函数为奇函数则为偶函数因'''

14．设)(x f 为奇函数，且0>x 时0)(>'x f ，则)(x f 在]1,10[--上的最大值为（）

A ．)10(-f

B ．)1(-f

C ．)10(f

D ．)1(f

解：（B ）

因为)(x f 是奇函数，故)()(x f x f -=-，两边求导)()(x f x f '-=-'-，从而

)()(x f x f -'='，设0-x ，从而0)()(>-'='x f x f ，所以)(x f 在[-10，-1]

上单调增加，故最大值为)1(-f

15．函数2

)(4),,(y x y x z y x f ---= ( )

(A)、有极大值8 （B ）、有极小值8 （C ）无极值（D ）有无极值不确定解 42x f x =-，42y f y =--，0202x y f x f y =?=??

??→?

?==-???

2002H -??

= ?-??

0 2H >-

<，(2,2)8f -=为极大值（A ） 15.设的值则为周期的连续函数是以?+=T

a a

dx x f I T x f )(,)(（）.

（A ）依赖于T a ,

（B ）依赖于x T a 和,

（C ）依赖于x T ,，不依赖于a （D ）依赖于T ，不依赖于a 解：根据周期函数定积分的性质有,

).(,)()( 0

D dx x f dx x f T

l l

故应选??

17.曲线)0( sin 2

π≤≤=x x y 与x 轴围成的图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为（）. （A ）

34 （B ）π34 （C ）23

2π （D ）π32 解：所求旋转体的体积为

]3cos [cos cos )cos 1(sin 030

2πππππππ

=--=--===?

??x x x d x xdx dx y V

故应选(B ).

18.设?-+=2

2 42cos 1sin ππxdx x x M ，?-

+=2 2

43)cos (sin π

πdx x x N ， ?--=2

432)cos sin (π

πdx x x x P ，则有（）.

（A ）M P N <<

（B ）N P M << （C ）P M N <<

（D ）N M P <<

解：利用定积分的奇偶性质知0=M ，0cos 2

>=?

xdx N ，0cos 22

4<-=?π

xdx P ，

所以N M P <<，故选（D ）.

19．下列不定积分中，常用分部积分法的是（）。 A ．x x x d sin 2? B ．x x x d )12sin(?

C ．

x x x d ln ? D ．x x x

d 1?+

答案：B 。 20．设dxdy y x

I y x 3

)1(22--=

??≤+，则必有（）

（A ）I>0 (B)I<0 (C)I=0 （D ）I ≠0的符号位不能确定

解： D ：0202r θπ≤≤??≤≤?

222233

000

3d (1)d (1)

04I r r r r πθπ=-=-?->??

21．设f(t)是可微函数，且f(0)=1，则极限（dxdy y x f t t y x t )(

lim 2

22223

??≤+→++

π）( )

（A ）等于0 （B ）等于)0('3

f (C) 等于+∞ （D ）不存在且非∞

C ）

解：由极坐标，原极限2033

000002()12()lim ()lim lim 3t

t t t rf r dr f t d rf r dr t t t ππ?ππ+

→→→====+∞???

22.设函数项级数

∑∞

)(n n

x u

，下列结论中正确的是( ).

（A ）若函数列{})(x u n 定义在区间I 上，则区间I 为此级数的收敛区间（B ）若)(x S 为此级数的和函数，则余项)()()(x S x S x r n n -=，0)(lim =∞

→x r n n

（C ）若I x ∈0使

∑∞

0)(n n

x u

收敛，则||||0x x <所有x 都使∑∞

)(n n x u 收敛

（D ）若)(x S 为此级数的和函数，则∑∞

0)(n n

x u

必收敛于)(0x S

解：选（B ）.

23.设0>a 为常数，则级数)cos 1()1(1

n a n n

--∑∞

=（）. （A ）绝对收敛

（B ）条件收敛

（C ）发散

（D ）敛散性与a 有关

解：因为22222sin 2)cos 1()1(n a n a n a n

≤=--，而∑∞

=1222n n

a 收敛，因此原级数绝对收敛. 故选（A ）.

24.若级数∑∞

=--1

)()1(n n

n a x 在0>x 时发散，在0=x 处收敛，则常数=a （）.

（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）2

解：由于∑∞

=--1)()1(n n n

n a 收敛，由此知1≤a .当11≤<-a 时，由于∑∞

=--1

)()1(n n n n a x 的收

敛半径为1，因此该幂级数在区间)1,1(+-a a 内收敛，特别地，在)1,0(+a 内收敛，此与幂级数在0>x 时发散矛盾，因此1-=a .故选（B ）. 25.x e y y y x

2cos 52-=+'+''的特解可设为（）

（A ）;2cos *

x A e

y x

-= （B ）;2cos *x A xe y x -=

（C ）();2sin 2cos *x B x A xe

y x

+=- （D ）().2sin 2cos *x B x A e y x +=-

解：C

26.微分方程的阶数是指（）

（A ）方程中未知函数的最高阶数；（B ）方程中未知函数导数或微分的最高阶数；（C ）方程中未知函数的最高次数；（D ）方程中函数的次数. 解：B

27.下面函数( )可以看作某个二阶微分方程的通解.

（A ）;2

2c y x =+ （B ）;3221c x c x c y ++=

（C ）;cos sin 2

1x c x c y += （D ）()().cos ln ln 21x c x c y +=

解：C

28.A 、B 均为n 阶可逆矩阵，则A 、B 的伴随矩阵*)(AB =（）. （A ）**B A ；（B ）1-1-B A AB ||；（C ）1-1-A B （D ）**A B ；解答：D

29. 设A 、B 均为n 阶方阵，则必有[ ]。

(A ) |A +B |=|A |+|B | (B ) AB =BA

(C ) |AB |=|BA | (D ) (A +B )–1=A –1+B –1

解：正确答案为(C )

30.A,B 都是n 阶矩阵,则下列各式成立的是（）

（A ）()T

T T

B A AB = （B ）()T T T

B A B A +=+

（C ）()111

---=B A AB （D ）()111

---+=+B A B A

解答：B

31. 在随机事件A ，B ，C 中，A 和B 两事件至少有一个发生而C 事件不发生的随机事件可表示为（）

（A ）AC

BC （B ）ABC （C ）ABC ABC ABC （D ）A B C

解由事件间的关系及运算知，可选（A ）

32. 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为（）

（A ）38 （B ）53188?? ??? （C ）3

4831C 88

?? ??? （D ）485C 解基本事件总数为4

8C ，设A 表示“恰有3个白球”的事件，A 所包含的基本事件数为1

5C =5，故P (A )=

C ，故应选（

D ）。 33. 已知()0P 1,B ＜＜()10P 1,A ＜＜()20P A 1＜＜，且()()1

2P A |A B

()1A |P B =()2|P A B +,则下列选项成立的是（）

（A ）()()()()

212P

|A ||A B P B P A B =+;

（B ）()(

)()()1212P A |A A B P P A =+

（C ）()()()()()121122P A A |A |B

A B P P B P A P B A =+

（D ）()()()()()1122P A |A |B P P B P A P B A =+

解由题可知A 1、A 2互斥，又0

P (A 1B ∪A 2B )=P (A 1B )+P (A 2B )–P (A 1A 2B )=P (A 1)P (B |A 1)+P (A 2)P (B |A 2) 故应选（C ）。

三、解答题

1.设函数

???

???>=<+=0sin 001sin )(x x x x a x b x x x f

问（1）b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？（2）b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续？

解：（1）要)(x f 在0=x 处有极限存在，即要)(lim )(lim 0

x f x f x x +-→→=成立。

因为b b x

x x f x x =+=--→→)1

sin

(lim )(lim 0

所以，当1=b 时，有)(lim )(lim 0

x f x f x x +-→→=成立，即1=b 时，函数在0=x 处有极限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时a 可以取任意值。

（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是

)()(lim )(lim 00

x f x f x f x x x x ==+-→→

于是有a f b ===)0(1，即1==b a 时函数在0=x 处连续。

2．已知82

lim

232=-++→x b

ax x x ，试确定a 和b 的值解. 82

lim

232=-++→x b

ax x x ,()

048lim 232=++=++∴→b a b ax x x ,即a b 48--= ()[]

8124422lim 2

84lim 2lim 22232232=+=++++=---+=-++∴→→→a a x a x x a ax x x b ax x x x x , ,1-=∴a 故4-=b

3．设?????≤<-+>=-0

1),1ln(0 ,)(11

x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+1

lim x x e

,0lim 1

=-→-x x e

, ()00=f , 因此,

1sin lim )(lim 0

==+

+→→x

x f x x

1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 11

--→→==++e e

x f x x x

()()01ln lim lim 0

0=+=--

→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.

4．求方程中y 是x 的隐函数的导数（1）1e e =+-y

xy ,y '

解：方程两边对自变量x 求导，视y 为中间变量，即

1)e ()e ()('='+'-'y x xy 0e e ='+-'+y y x y y x

y y x x

-='+e )e (

整理得 y

x x y

y e e +-='

（2）设)sin(y x y +=，求dx dy ，2

2dx

d ；解：)1()cos(y y x y '+?+='

)

cos(1)

cos(y x y x y +-+=

y y x y y x y ''?++'+?+-='')cos()1()sin(2，

3)]

cos(1[)]cos(1[)sin(y x y

y x y x y +--=+-+-

='' 5．设),(y x z z =由方程y

z x z -=+e

所确定, 求x

y z

???2.

解: 设x z z y x F y z --=-e ),,(,

1-=x F , y z y F --=e , 1e -=-y z z F ,

1e 1

-=??-y z x z , z

y y z y z y z ----=-=??e

111e e , 3

)

(222)e 1(e )e 1(e )e 11(z y z y z y z y z y x z x x y z ------=

???--=-??=???∴. 6．设函数)(x f 在[0,1]上可导，且1)(0<

（0,1）内有且只有一个数x 使 x x f =)(.

)( , )1, 0( ,1)(01)( 0)( , ),(, ]1, 0[ ],[,0)()(, ]1, 0[ )( . )( ]1, 0[ ,)()( 21212121x x f x f f F c c Rolle c c c F c F c c x F x F x x f x F =='?=-'='∈?==-=使内有且只有一个与题设矛盾，故在即使定理可得至少有由，即上存在两个零点在反设至少有一个零点上用零点定理，得在设ζζζζ 7.求函数1

)1(-+=x x y 的单调区间和极值.

解函数1

)1(-+=x x y 的定义域是),1()1,(∞+---∞

221)1)(1()1(2--+-++='x x x x y

22)1()1(2x x x x +-+=2

)1()

2(x x x ++=

令 0)1()

2(2

=++='x x x y ，得驻点21-=x ，02=x

故函数的单调增加区间是)2,(--∞和),0(∞+，单调减少区间是)1,2(--及)0,1(-，当

=x -2时，极大值4)2(-=-f ；当=x 0时，极小值0)0(=f .

8.在过点)6,3,1(P 的所有平面中, 求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小.

解: 设平面方程为1=++Cz By Ax , 其中C B A ,,均为正, 则它与三坐标平面围成四面体的体积为ABC

V 1

61=

, 且163=++C B A , 令

)163(),,,(-+++=C B A ABC C B A F λλ, 则由

??????

????

?=++=+=??=+=??=+=??1

6306030C B A AB A F

AC A F BC A F

λλλ, 求得 ???

===1819131C B A . 由于问题存在最小值, 因此所求平面方程为 11893=++z y x , 且8118936

min =???=V . 9．求下列积分 (1)

x x

d 11

+∞

解：

)1(2

lim 13

lim d 1

lim

d 132

311

1-=+-==+∞→+∞→+∞→∞

b x x x

x x

b b

b 极限不存在，则积分发散. (2)

≤+--2

22222a y x d y x a σ

解

(,)f x y =D

上的半球面，由D

I σ=的几何意义知I =V

半球

=32

a π (3)

??D

yd σ ，D 由 1,1,0x y x y x +=-== 的围成。

解关于x 轴对称，且(,)f x y y =是关于y 的奇函数，由I 几何意义知， d 0D

y σ?=??。

4．判别级数∑∞

=--1

)cos 1()1(n n

n a （常数0>a ）的敛散性. 如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?

解：由n

n a

cos

1)cos 1()1(-=--，而 02

1)2(2lim 12sin 2lim 1cos 1lim

2222≠===-∞→∞→∞

→a n n a

n n a n n a n n n ，

由正项级数的比较判别法知，∑∞

=-1)cos 1(n n a 与∑∞

=121

n n 同时敛散.

而∑∞

=121n n 收敛，故∑∞

=-1

)cos 1(n n a

收敛，从而原级数绝对收敛.

4．判别级数

n n

ln 1

)1(2

∑∞

=-的敛散性. 如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛? 解：记)1ln(1)

1(1

+-=-n u n n ，则n n v n u ?

=+≥1

显见

∑

∞

n n 去掉首项后所得级数∑∞=1

n n v 仍是发散的，由比较法知∑∞=1n n u 发散，从而∑∞

=2n n u 发散. 又显见

)1ln(1)

1(11

+-∑∞

=-n n n 是Leibniz 型级数，它收敛. 即n n n ln 1)1(2

∑∞

=-收敛，从而原

级数条件收敛.

4．求幂级数∑∞

=+1

)1(n n

n n x 在收敛区间上的和函数)(x S ：

解：1)2)(1()1(lim lim

1=+++==∞→+∞→n n n n a a n n

n n ρ，所以1=R .

又当1±=x 时，级数成为∑∞

=+±1)1()1(n n

n n ，都收敛，故级数的收敛域为]1,1[-.

设级数的和函数为)(x S ，即∑∞

=+=1)

1()(n n

n n x x S .

再令∑∞

=++==1

)1()()(n n n n x x xS x f ，

逐项微分得，∑∞

=='1)(n n n x x f ，x x x f n n -==''∑∞=-11)(1

， )1ln(11

)( 0 0

x dx x

dx x f x

--=-=''?

， 0)0( ),1ln()()0()(='--='='-'f x x f f x f ，

----=--='x

dx x

x x dx x dx x f 0 0 0

1)1ln()1ln()(

x x x x x x x +--=-++--=)1ln()1()1ln()1ln(，

故)1ln()1()(x x x x f --+=，又显然有1)1(=S ，故

???

???==≠--+=.1 ,1,0 ,0,1,0 ),1ln(11)(x x x x x x

x S

5．求解微分方程

(1) 0122=+-ydy dx y x 的所有解. 解原方程可化为

xdx y ydy 212

-=-，

（当12

≠y ），两边积分得c x y +-=--221，即 c y x =--221为通解。当12=y 时，即1±=y ，显然满足原方程，所以原方程的全部

解为c y x =--2

1及1±=y 。 (2) ;22y x y y x -=

解当0>x 时，原方程可化为2

1??

??-=-'x y x y y ，令u x y =，得xu y =，原方程化为

21u u x -='，解之得c x u +=ln arcsin ；

当0

1??

??--=-'x y x y y ，类似地可解得c x u +-=ln arcsin 。综

合上述，有???<+->+=.

0ln ;

0ln arcsin x c x x c x x y 。

(3) ;2sin 2

cos x x y y =

+' 解由公式得 x xdx xdx ce x c dx xe e y sin cos cos 1sin 2sin 2

1--+-=?

????+??=?。三、求解下列各题

1．计算下列行列式：

（.2）

9876

54321，

解：0

6063032

876543

21=----=

（3）15

03100004

30021-

解：

160)16(10153

1.43214-=-?=-=

3．设矩阵A ，B 满足矩阵方程AX ＝B ，其中??????-=0121A ，??

???=2003B , 求X ．

解法一：先求矩阵A 的逆矩阵．因为

[]??????-=10010121I A ???

???→11200121???

?????-→21211010

01 所以 ???

???

?-=-2121

1A 且 B A X 1

-=???????????????-=2003212

???

????-=1 2320 解法二：因为 []?

???-=20010321B A

???

???→23200321???

?????-→123102001 所以 ???

?????-=12320X

4．设矩阵

?????-=??????????--=451001413101B A

试计算A -1B ．

解因为 ????

?????--=100010001001413101][I A

????????--→1011

00013110001

101→--???

???

??100

1010411001

101

所以

?????--=-1011141001A

且 ????

??????--=??????????-???????????--=-51344511011141001

B A

2．设()()11,32

P A P B =

=. (1)若AB =Φ，求()

P BA ； (2) 若B A ?，求()

P BA ；

(3) 若()1

P AB =

，求()

P BA . 解： (1) P (B A )=P (B )–P (AB ) 因为A ，B 互斥，故P (AB )=0，而由已知P (B )=

1 ∴ P (B A )=P (B )=2

1 (2) ∵ P (A )=

31，由A ?B 知：P (AB )=P (A )=3

1 ∴ P (B A )=P (B )–P (AB )=21–31=6

(3) P (AB )=81 ∴P (B A )=P (B )–P (AB )=21–81=8

3．假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件，30件和40件，而一等品

分别有20件，12件及24件.现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件（第一次取到的零件不放回），试求先取出的零件是一等品的概率；并计算两次都取出一等品的概率.

解：设B 1、B 2、B 3分别表示选出的其中装有一等品为20，12，24件的箱子，A 1、A 2分别表

示第一、二次选出的为一等品，依题意，有

P (A 1)=P (B 1)P (1A |B 1)+P (B 2)P (A 1|B 2)+P (B 3)P (A 1|B 3) =

7402431301231502031=?+?+?=0.467 P (21A A )=39

2340243129113012314919502031)|()(3

21??+??+??=

∑=i i i B A A P B P =0.220

高等数学下册试题及答案解析word版本

高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为。二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小；（D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（）（A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*．二、解答题（共18分每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)

???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ．解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,．解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，

高等数学专科复习题及答案

高等数学期末试卷一、填空题（每题2分，共30分） 1．函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞Y 。 2．若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f ．解. 62 -x 3．________________sin lim =-∞→x x x x 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23 4 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x Θ, 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的，又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7. 设()()()n x x x x y -??--=Λ21, 则() =+1n y (1)!n + 8．2 )(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。

高数上试题及答案

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）.

高等数学试题及答案91398

《高等数学》一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

高等数学下册期末考试题及答案

高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )12 2（。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为。二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小；（D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（）（A ）4 ? ??2 201 3 cos sin π π ???θdr r d d ；（B ）???20 1 2 sin π π??θdr r d d ；

高等数学复习题库和答案

网络远程教育专升本高等数学复习题库和答案一、选择题 1. 下列函数中，表达式为基本初等函数的为（）. A: { 2 20 21 x x y x x >= ≤+ B: 2cos y x x =+ C: y x = D: sin y = 2. 下列选项中，满足()()f x g x =的是( ). A: ()cos , ()f x x g x == B: (), ()f x x g x == C: ()(), ()arcsin sin f x x g x x == D: 2 ()ln , ()2ln f x x g x x == 3. 设)(x f 的定义域为[]1,0，则(21)f x +的定义域为( ). A: 1 ,02??- ???? B: 1,02??- ??? C: 1,02??- ??? D: 1,02??-???? 4. 函数)(x f y =的定义域为]1,0[，则函数)(2x f y =的定义域为（）. A: [0,1]; B: )1,0(; C: [-1, 1] D: (-1, 1). 5. 设)(x f 的定义域为[]1,0，则)12(-x f 的定义域为( ). A: ? ? ????1,21 B: 1,12?? ??? C: 1,12?????? D: 1,12?? ??? 6. 函数4 339 9)(2 2<<≤???? ?--=x x x x x f 的定义域为（）. A: [-3, 4] B: (-3, 4) C: [-4, 4] D: (-4, 4) 7. 3 1lim (1)n n →∞ + =（）. A: 1 B: E C: 3 e D: ∞

大一高等数学试题及答案

期末总复习题一、填空题 1、已知向量2a i j k =+-r r r r ，2b i j k =-+r r r r ，则a b ?r r = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞=?? + ???∑的敛散性为发散。 4、设L 是上半圆周222a y x =+（0≥y ），则曲线积分221L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：??--012 1),(y dx y x f dy ＝dy y x dx ),(f 0x -121?? 6．级数∑∞=+1)1(1 n n n 的和为 1 。二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系（ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是（ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:22>≤+y y x D ,则32222ln(1) 1D x x y dxdy x y ++=++??（ A ）

A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是（ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6、微分方程222()()0y y y '''+-=的阶数为（ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为（ D ） A 、3x x y e e C =++ B 、3x x y e Ce =+ C 、3x x y Ce e =+ D 、312x x y C e C e =+ 8．lim 0n n u →∞=为无穷级数1 n n u ∞=∑收敛的（ B ） A 、充要条件 B 、必要条件 C 、充分条件 D 、什么也不是三、已知1=a ?，3=b ?，b a ??⊥，求b a ??+与b a ? ?-的夹角.P7

关于高等数学复习题及答案

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中南大学现代远程教育课程考试复习题及参考答案高等数学一、填空题 1．设2 )(x x a a x f -+=，则函数的图形关于对称。 2．若???<≤+<<-=2 0102sin 2x x x x y ，则=)2(π y . 3．极限lim sin sin x x x x →=0 21 。 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 5.已知0→x 时，1)1(3 1 2-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数a = 6.设)(22y z y z x ?=+，其中?可微，则y z ??= 。 7.设2e yz u x =，其中),(y x z z =由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则 =??) 1,0(x u 。 8.设??,),()(1 f y x y xy f x z ++=具有二阶连续导数，则 =???y x z 2 。 9.函数y x xy xy y x f 22),(--=的可能极值点为和。 10.设||)1(sin ),(22xy x y x y x f -+=则_____________)0,1('=y f . 11.=?xdx x 2sin 2 . 12.之间所围图形的面积为上曲线在区间x y x y sin ,cos ],0[==π . 13．若2 1 d e 0= ? ∞ +-x kx ，则_________=k 。 14.设Ｄ：122≤+y x ,则由估值不等式得 ??≤++≤D dxdy y x )14(22

高数下册试题库

高等数学下册试题库一、填空题 1. 平面01=+++kz y x 与直线 1 1 2 z y x = -= 平行的直线方程是___________ 2. 过点)0,1,4(-M 且与向量)1,2,1(=a 平行的直线方程是________________ 3. 设k i b k j i a λ+=-+=2,4，且b a ⊥，则=λ__________ 4. 设1)(,2||,3||-===a b b a ，则=∧ ),(b a ____________ 5. 设平面0=+++D z By Ax 通过原点，且与平面0526=+-z x 平行，则 __________________,_______,===D B A 6. 设直线 )1(2 21-=+= -z y m x λ与平面025363=+++-z y x 垂直，则 ___________________,==λm 7. 直线???==0 1 y x ，绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________ 8. 过点)1,0,2(-M 且平行于向量)1,1,2(-=a 及)4,0,3(b 的平面方程是 __________ 9. 曲面2 22 y x z +=与平面5=z 的交线在xoy 面上的投影方程为__________ 10. 幂级数1 2 n n n n x ∞ =∑ 的收敛半径是____________ 11. 过直线 1 322 2 x z y --=+= -且平行于直线 1 1 3 0 2 3 x y z +-+= =的平面方程是 _________________ 12. 设),2ln(),(x y x y x f + =则__________ )0,1(' =y f 13. 设),arctan(xy z =则____________,__________ =??=??y z x z 14. 设,),(2 2 y x y x xy f +=+则=),(' y x f x ____________________

2019高数(下)试题及答案

第二学期期末考试试卷一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是（）（A ）通过y 轴（B ）通过x 轴（C ）垂直于y 轴（D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的（）（A ）充要条件（B ）充分但非必要条件（C ）必要但非充分条件（D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（）（A ）e （B ）()e dx dy +

（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）（A ）敛散性不确定（B ）发散（C ）条件收敛（D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（）（A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==，求该平面方程．四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数，试求z x ??和2z x y ???．五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???，其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤．六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，

(完整)高等数学练习题(附答案)

《高等数学》专业年级学号姓名一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）（）1. 收敛的数列必有界. （）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （）3. 闭区间上的间断函数必无界. （）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 =')3(g . 4. 设y x xy u + =, 则=du .

5. 曲线3 26y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 . 6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2 x f x f x F f +==',则=')1(F . 7. 若 ),1(2)(0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分 =-+∞? dx e x 20 . 10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D 5 2 2 1, 1 . 三、计算题（每题5分，共40分） 1. 计算)) 2(1 )1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10 3 2 )10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在（0，+∞）内的导数. 3. 求不定积分 dx x x ? -) 1(1. 4. 计算定积分 dx x x ? -π 53sin sin . 5. 求函数2 2 3 24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y == ,围成，计算dxdy y y D ?? sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y x y y 2- ='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分） 1. 证明：tan arc x = )(+∞<<-∞x .

高等数学试题及答案(广东工业大学)

《高等数学-广东工业大学》一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2l n 2x x x dx C =+? B ）、s i n c o s t d t t C =-+ ? C ）、 2a r c t a n 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x - =-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=????? ?? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

高等数学一期末复习题及答案

《高等数学（一）》期末复习题一、选择题 1、极限)x x →∞ 的结果是（ C ）（A ）0 （B ） ∞ （C ） 1 2 （D ）不存在 2、方程3310x x -+=在区间(0,1)内（ B ）（A ）无实根（B ）有唯一实根（C ）有两个实根（D ）有三个实根 3、)(x f 是连续函数, 则 ?dx x f )(是)(x f 的（ C ）（A ）一个原函数； (B) 一个导函数； (C) 全体原函数； (D) 全体导函数； 4、由曲线)0(sin π<<=x x y 和直线0=y 所围的面积是（ C ）（A ）2/1 (B) 1 (C) 2 (D) π 5、微分方程2x y ='满足初始条件2|0==x y 的特解是 ( D ) （A ）3x （B ）331x + （C ）23+x （D ）23 1 3+x 6、下列变量中，是无穷小量的为（ A ） (A) )1(ln →x x (B) )0(1ln +→x x (C) cos (0)x x → (D) )2(4 2 2→--x x x 7、极限011 lim(sin sin )x x x x x →- 的结果是（ C ）（A ）0 （B ） 1 （C ） 1- （D ）不存在 8、函数arctan x y e x =+在区间[]1,1-上（ A ）（A ）单调增加（B ）单调减小（C ）无最大值（D ）无最小值 9、不定积分 ? +dx x x 1 2 = （ D ） (A)2arctan x C + (B)2ln(1)x C ++ (C)1arctan 2x C + (D) 21 ln(1)2x C ++ 10、由曲线)10(<<=x e y x 和直线0=y 所围的面积是（ A ）（A ）1-e (B) 1 (C) 2 (D) e 11、微分方程 dy xy dx =的通解为（ B ）

(完整版)高等数学试题及答案

《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日星期三考试时间：120 分钟一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1（上）一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?

(完整版)《高等数学(下册)》第八章练习题及答案

《高等数学(下册)》第八章练习题一、填空题 1.________________ )sin(==dz xy z 则，设 2.设),cos(2y x z =，则 =??)2 ,1(π x z 3.函数22)(6y x y x z ---=的极值点为 4.设xy e z =，则=dz 5.设 y z ln z x =，则 =?zx z 二、选择题 ) 2 0( D. )0 2( C. )0 0( B. )2 2( A.) (33) ( 12233，，，，的极小值点为，函数、y x y x y x f --+= 2、),(y x f 在点),(00y x 处偏导数),(),(0000y x f y x f y x ''、存在是),(y x f 在该点连续的( ). (a)充分条件， (b)必要条件， (c)充要条件， (d)既非充分条件又非必要条件。 3、设)2ln(),(x y x y x f + =，则＝（）)1,1(-' x f . （A ），31 （B ），31- （C ），65 （D ）.65- 三、计算题方程。处的切线方程与法平面，，在点求曲线、)1 2 1( 2 13 2 ???==x z x y 2、设),(y x z z =是由方程0),(=--z y z x F 确定的隐函数，F 具有一阶连续偏导数，且,0≠'+'v u F F 其中,,z y v z x u -=-=求 .,y z x z ???? 3、求曲面3222-=+-z xz y x 在点)1,2,1(处的切平面及法线方程。 4、设,2 22 z y x e u ++=而y x z sin 2=,求 x u ??. 5、求曲线t z e y e x t t ===-,,,对应于0=t 点处的切线和法平面方程。 6、求函数)4(2y x y x z --=在闭域4,0,0≤+≥≥y x y x 上的最大值及最小值。

高等数学练习题库及答案

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《高等数学》练习测试题库及答案一．选择题 1.函数y= 1 1 2 +x 是（） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（） A ．，，， B ． 23 ，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的（） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 ) 1sin(lim 21x x x （） .0 C 2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（） 2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1) (x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（）

A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x0必不连续 f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b 14、设满足（） A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 15、若函数f(x)在点x 0连续，则下列复合函数在x 也连续的有（） A、 B、

高等数学复习题及答案完整版

高等数学复习题及答案 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列函数中为奇函数的是（ B ） A.()2x x e e f x -+= B.()2 x x e e f x --= C.3()cos f x x x =- D.5()sin f x x x = 答案：B 知识点：函数奇偶性解：()()2x x e e f x f x -+-==故()2x x e e f x -+=为偶函数()()2 x x e e f x f x ---==-，故()2 x x e e f x --=为奇函数()()33()cos cos f x x x x x -=---=--，故3()cos f x x x =-为非奇非偶函数 ()()5 5()sin sin ()f x x x x x f x -=--==，故5()sin f x x x =为偶函数 2.当0x +→时，下列变量为无穷小量的是（ C ） A.1 e x B.ln x C.x sin 1x D.1sin x x

答案：C 知识点：无穷小量解：1 lim e x x +→=+∞ 3.设函数f (x )=2ln(1), 0,, 0x x x x +≥??

高数练习题及答案

高等数学（下）模拟试卷一一、填空题（每空3分，共15分）（1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为（2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ?? ＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交（2）设是由方程2222xyz x y z + ++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） A.dx dy + B.2dx dy + C.22dx dy + D.2dx dy - （3）已知Ω是由曲面2 2 2 425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） A. 225 30 d r dr dz πθ? ?? B. 245 30 d r dr dz πθ? ?? C. 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ?? D. 22 5 2 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） A. 2 B. 1 C. 1 2 D. 2 （5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） A. B.()x ax b xe + C.()x ax b ce ++ D.()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??， z y ?? 3、设 22 {(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 得分阅卷人