《高等数学二》期末复习题及答案_28171462418361700

《高等数学》2期末复习题一、填空题:1、函数得定义域就是 1≦X^2+Y^2<3 、2、设则、3、函数在点得全微分4.设则、设则、5、设而则6.函数在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,)得方向导数就是7、改换积分次序 ; 、8.若L就是抛物线上从点A到点B得一段弧,则=9、微分方程得通解为、二、选择题:1. 等于 ( )(上下求导)A.2, B、 C、0 D、不存在2.函数得定义域就是( D )A. B、C、 D.3、 ( B )A、 B、C、 D、5、设,且F具有导数,则(D )A、;B、;C、 ;D、、6.曲线 ,,,在处得切向量就是 ( D )A. B、 C、 D、7.对于函数 ,原点 ( A )A.就是驻点但不就是极值点 B、不就是驻点 C、就是极大值点 D、就是极小值点8.设I=, 其中D就是圆环所确定得闭区域,则必有( )A.I大于零 B、I小于零 C、I等于零 D、I不等于零,但符号不能确定。

9、已知L就是平面上不包含原点得任意闭曲线,若曲线积分,则a等于( )、A -1B 1C 2D -210.若L为连接及两点得直线段,则曲线积分=( )A.0 B、1 C、 D、211、设D为则( )A、;B、 ;C、 ;D、、12、微分方程得通解为( )A、;B、;C、;D、13、( )就是微分方程在初始条件下得特解、A、;B、;C、;D、、三、计算题:1、设,求及,其中f 具有一阶连续偏导数、2．设, 求 ,3．求旋转抛物面在点处得切平面及法线方程。

4．求函数得极值5．计算,其中D就是由圆周及轴所围成得右半闭区域、6．计算,其中D就是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点得三角形闭区域、7、计算 ,其中就是三个坐标面与平面所围成得区域、8、计算 ,其中L为圆得正向边界。

9、计算曲线积分其中L就是从O(0, 0)沿上半圆到A(2, 0)、10、验证:在整个面内,就是某个函数得全微分,并求出这样得一个函数、11、求微分方程得通解、12、求解微分方程得特解:13、解微分方程、四、应用题:1、用钢板制造一个容积为V得无盖长方形水池,应如何选择水池得长、宽、高才最省钢板、2、已知矩形得周长为24cm,将它绕其一边旋转而构成一圆柱体,试求所得圆柱体体积最大时得矩形面积、3、求抛物线所围成得闭区域得面积、4、求抛物面与锥面所围成得立体得体积、高等数学2期末复习题答案一、填空题:1、2、3、4、5、6、(注:方向导数)7、;8、(注:) 9、二、选择题:1、A;2、 D;3、 B;4、缺5、 D;6、 D;7、 A;8、 A;9、 A; 10、C;11、 C; 12、C; 13、D三、计算题:1、解:令,则2212sin 3sin 3x x z z u z v z z e y x e y f x f x u x v x u v∂∂∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂ 2212cos 3cos 3x x z z u z v z z e y y e y f y f y u y v y u v∂∂∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂ 2、 解:两方程分别两边对求偏导数,注意就是关于得二元函数,得即这就是以为未知量得二元线性方程组。

高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。

解：选A 。

23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。

2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ](A) –2和2； (B) –3和3；(C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。

x y axy yP xy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(r rdr r r d A πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-202202rdr r d C πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d D πθ 。

解：选D 。

()⎰⎰+-=202220412rdr r r d I πθ 。

4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ](A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交 。

x 2 + y 2 - 1 3 1- y 2《高等数学》2 期末复习题一、填空题：1. 函 数 z = + ln(3 - x 2 - y 2 ) 的 定 义 域 是 1≦X^2+Y^2<3 . 2.设 z = (1 + x ) y, 则∂z =∂y(1+ x ) yln(1+ x ) .3.函数 z = ln(1+ x 2 + y 2 ) 在点(1, 2) 的全微分dz = 1dx + 2 dy(1,2)3 34．设 f (x + y , xy ) = x 2 + y 2 , 则 f (x , y ) =.设 f (x + y , y) = x 2 - y 2 , 则 f (x , y ) = .x5. 设 z = e u sin v 而 u = xy v = x + y 则 ∂z =∂ye xy [x sin(x + y ) + cos(x + y )]6. 函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，2 + ）的方向导数是1+ 222 y 17. 改换积分次序⎰0dy ⎰y 2f (x , y )dx =； ⎰0 dy ⎰y -1f (x , y )dx = .8. 若 L 是抛物线 y 2 = x 上从点 A (1,-1) 到点 B (1,1) 的一段弧，则⎰xydx =L9. 微分方程(1+ e 2x )dy + ye 2x dx = 0 的通解为.二、选择题： 1.lim ( x , y )→(2,0) tan(xy )y 等于 （）（上下求导）A ．2，B. 12C.0D.不存在2. 函 数 z = 的定义域是（ D ）A． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0} C. {(x , y ) y ≥ 0, x 2 ≥ y }B. {(x , y ) x 2 ≥ y } D． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 ≥ y }3 x - y23.∂f (x , y ) | ∂x( x0 ,y 0 ) = （ B ）A. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 , y 0 )∆xB. lim∆x →0f (x 0 + ∆x , y 0 ) - f (x 0 , y 0 )∆xC. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 + ∆x , y 0 )∆xD. lim∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 ) ∆x5. 设 z = F (x 2 + y 2 ) ，且 F 具有导数，则∂z + ∂z= （D ）∂x ∂yA. 2x + 2 y ；B. (2x + 2 y )F (x 2 + y 2 ) ；C. (2x - 2 y )F '(x 2 + y 2 ) ；D. (2x + 2 y )F '(x 2 + y 2 ) .6. 曲线 x = a cos t ， y = a sin t ， z = amt ，在 t = 处的切向量是 （ D ）4A ． (1,1, 2)B. (-1,1, 2)C. (1,1, 2m )D. (-1,1, 2m )7. 对于函数 f (x , y ) = x 2 + xy ，原点(0,0)（ A ）A ．是驻点但不是极值点B.不是驻点C.是极大值点D.是极小值点8．设 I= ⎰⎰5Dx 2 + y 2 -1dxdy ， 其中 D 是圆环1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 所确定的闭区域， 则必有（ ） A ．I 大于零 B.I 小于零C.I 等于零D.I 不等于零，但符号不能确定。

自考高等数学2试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，满足f(2+x)=f(2-x)的是：A. f(x) = sin(x)B. f(x) = cos(x)C. f(x) = x^2D. f(x) = e^x答案：B2. 设函数f(x)在点x=a处可导，且f'(a)≠0，那么曲线y=f(x)在点(x=a, y=f(a))处的切线斜率为：A. f(a)B. f'(a)C. f(a+1)D. 0答案：B3. 不等式e^x > x^2在区间(0, +∞)上成立的充要条件是：A. x > 0B. x > 1C. x > 2D. x > 3答案：A4. 设数列{an}是等差数列，且a1=1，a2=3，a3=5，则此等差数列的公差d为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B5. 曲线y=x^3在点(1,1)处的法线方程为：A. y=3x-2B. y=-3x+4C. y=3x+2D. y=-3x-2答案：B6. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若f(x)在[a,b]上单调递增，则f(x)在[a,b]上：A. 有最大值和最小值B. 有最大值或最小值C. 有界但不一定有最大值或最小值D. 无界答案：A7. 二元函数z=xy^2在点(1,1)处的偏导数分别为：A. 1, 2B. 2, 1C. 1, 1D. 2, 28. 设函数f(x)在区间(-∞, +∞)上满足f(x)=f(x+3)，则f(x)的周期为：A. 1B. 3C. 6D. 不确定答案：B9. 利用定积分的几何意义，计算曲边梯形的面积，其公式为：A. ∫[a,b] f(x) dxB. ∫[b,a] f(x) dxC. ∫[a,b] f(x) + g(x) dxD. ∫[a,b] f(x) - g(x) dx答案：A10. 微积分基本定理指出，若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则：A. F(b) - F(a) = f(b) - f(a)B. F(b) - F(a) = ∫[a,b] f(x) dxC. F(b) - F(a) = f(a) - f(b)D. F(b) - F(a) = ∫[b,a] f(x) dx答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 若函数f(x)=x^2+1在区间[-1,2]上的最大值为M，则M=________。

高数2试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)等于：A. 3x^2-3B. x^3-3C. 3x^2-3xD. 3x^2答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x)/x 的值是：A. 0B. 1C. πD. ∞答案：B3. 若函数f(x)=e^x，则f'(x)等于：A. e^xB. e^(-x)C. ln(e^x)D. 0答案：A4. 函数y=x^2-4x+4的图像与x轴的交点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^2-6x+8，则f(1)的值为____。

答案：32. 曲线y=x^3-3x在点(1,-2)处的切线斜率为____。

答案：03. 函数y=ln(x)的定义域为____。

答案：(0, +∞)4. 函数y=x^2-4x+4的最小值为____。

答案：0三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数y=x^3-3x^2+2x-1的导数。

答案：y'=3x^2-6x+22. 求极限lim(x→2) (x^2-4)/(x-2)。

答案：lim(x→2) (x^2-4)/(x-2) = lim(x→2) (2x) = 43. 求函数y=e^x+ln(x)的二阶导数。

答案：y''=e^x+1/x4. 求函数y=x^3-6x^2+11x-6在x=2处的切线方程。

答案：切线方程为y=-3x+85. 求函数y=x^2-4x+4的极值点。

答案：极值点为x=26. 求曲线y=x^3-3x在点(1,-2)处的法线方程。

答案：法线方程为y=x-1四、证明题（每题10分，共20分）1. 证明：若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处连续。

答案：略2. 证明：若函数f(x)在区间(a,b)上连续，则f(x)在(a,b)上一定存在极值。

答案：略。

高等数学二试题及答案一、选择题1. 函数y=2x^3-3x^2+4x-1的导数为：A. 6x^2 - 6x + 4B. 6x^2 - 4x + 4C. 6x^3 - 6x^2 + 4D. 6x^3 - 6x + 4答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x) - x) / x^3的值为：A. 1B. 0C. 不存在D. 无穷大答案：A3. 曲线y=x^2在点x=1处的切线方程为：A. y=2x-1B. y=x+1C. y=2xD. y=x-1答案：A4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 0答案：A5. 级数Σ(n=1 to ∞) (n^2 / 2^n)收敛于：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题1. 函数z=e^(x+y)在点(0,0)的偏导数∂z/∂x为_________。

答案：12. 极限lim(x→∞) (1+1/x)^x的值为_________。

答案：e3. 曲线y=2x^3在点x=-1处的法线方程为_________。

答案：y=-6x+24. 定积分∫(1,2) (2t^2 + 3t + 1) dt的值为_________。

答案：10/35. 幂级数Σ(n=0 to ∞) (x^n / 2^n)在|x|≤2时收敛于_________。

答案：1 + x三、计算题1. 求函数f(x)=ln(x^2-4)的反函数，并证明其在定义域内是单调的。

解：首先找到反函数的定义域，由于ln(x^2-4)的定义域为x^2-4>0，解得x^2>4，因此x<-2或x>2。

设y=ln(x^2-4)，则x^2-4=e^y，解得x=±√(e^y+4)。

由于x<-2或x>2，我们选择x=√(e^y+4)作为反函数，定义域为y>ln(4)。

显然，当y>ln(4)时，函数√(e^y+4)是单调递增的，因此反函数也是单调的。

《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b （ A ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( C )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI xy dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ D ）(A)224ad a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 22402ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ A ）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D)235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ B ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim),(σηξσλ中的λ代表的是（ D ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( B )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-x x y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰101d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( A )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ B ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件 10、设平面曲线L 为下半圆周 21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰( C )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π 11、若级数1nn a∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ B ）(A)12nn a∞=∑收敛 (B)1(2)nn a∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D)13nn a∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ C ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。

大学数学二试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = sin(x)2. 微分方程 y'' - y = 0 的通解是：A. y = C1 * cos(x) + C2 * sin(x)B. y = C1 * e^x + C2 * e^(-x)C. y = C1 * x + C2 * x^2D. y = C1 * ln(x) + C2 * x3. 矩阵 A = \[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}\] 的行列式是：A. 1B. 2C. -2D. 54. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) 的值是：A. 0B. 1C. -1D. 不存在5. 积分∫(0 to π) sin(x) dx 的值是：A. 0B. πC. -2D. 26. 函数 y = ln(x) 的反函数是：A. y = e^xB. y = e^(-x)C. y = 10^xD. y = x^e二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果函数 f(x) 在点 x=a 处可导，则 f'(a) 表示______。

2. 函数 y = x^2 - 4x + 3 的顶点坐标是（______，______）。

3. 微分方程 y' + 2y = 0 的通解形式为 y = ______。

4. 函数 y = sin(x) 的不定积分是 ______。

三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数 f(x) = x^2 - 6x + 9 在区间 [2, 5] 上的最大值和最小值。

2. 证明：如果一个数列 {a_n} 收敛于 L，则其子数列 {a_{2n}} 也收敛于 L。

3. 计算定积分∫(0 to 1) (3x^2 - 2x + 1) dx。

高等数学二试题及答案试题一：1. (10分) 在直角坐标系中，曲线 $y = \sqrt{x}$ 与 $y = -\sqrt{x}$ 交于两点 $A$ 和 $B$，且两点的横坐标之差为 $4$，求 $A$、$B$ 两点的坐标。

试题一答案解析：解析：我们可以通过将两个函数相等，来找到交点的横坐标。

$\sqrt{x} = -\sqrt{x}$将等式两边平方，得到$x = x$因此，两个函数相等的条件是 $x=0$。

又因为两个函数在对称轴 $y$ 轴上对称，所以 $A$、$B$ 两点的横坐标之差为 $4$，即 $B$ 点的横坐标是 $4$。

所以，$A$、$B$ 两点的坐标分别为 $(0, 0)$ 和 $(4, 0)$。

试题二：2. (15分) 计算 $\int_{0}^{1} (x^4 - 2x + 1) \ dx$。

试题二答案解析：解析：首先，我们需要对被积函数进行积分。

$\int_{0}^{1} (x^4 - 2x + 1) \ dx$通过对多项式逐项积分，得到$\int_{0}^{1} x^4 \ dx - \int_{0}^{1} 2x \ dx + \int_{0}^{1} 1 \ dx$根据积分的定义，我们可以进行求解：$\frac{1}{5}x^5 \Bigg|_{0}^{1} - x^2 \Bigg|_{0}^{1} + x\Bigg|_{0}^{1}$代入上下限进行计算，结果为：$\frac{1}{5} - 1 + 1 = \frac{1}{5}$所以，$\int_{0}^{1} (x^4 - 2x + 1) \ dx = \frac{1}{5}$。

试题三：3. (20分) 求函数 $f(x) = e^{2x}$ 在区间 $[0, 1]$ 上的最小值。

试题三答案解析：解析：对于给定的区间 $[0, 1]$，我们需要找到函数 $f(x) =e^{2x}$ 在该区间上的最小值。

首先，求函数的导数 $f'(x)$：$f'(x) = 2e^{2x}$在 $[0, 1]$ 区间上，我们可以通过求解导数为 $0$ 的点来找到函数的极值点。

第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1.设()=⎰22t xFx e dt ，则()F x '=-22x xe.2.曲面sin cos =⋅z x y 在点,,⎛⎫⎪⎝⎭1442ππ处的切平面方程是--+=210x y z .3.交换累次积分的次序：=(),-⎰⎰2302xxdx f x y dy.4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则：使得格林公式： ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰D LQ P dxdy Pdx Qdy x y 成立的充分条件是：()(),,和在D上具有一阶连续偏导数P x y Q x y .其中L 是D 的取正向曲线;5.级数∞=-∑1nn 的收敛域是(],-33.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1.当→0x ，→0y 时,函数+2423x yx y 的极限是()DA.等于0;B. 等于13;C. 等于14; D. 不存在.2.函数(),=zf x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ，(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()CA.充分必要条件;B.充分但非必要条件;C.必要但非充分条件;D. 既非充分又非必要条件.3.设()cos sin =+x ze y x y ，则==10x y dz()=BA.e ;B. ()+e dx dy ;C.()-+1e dx dy ; D. ()+x e dx dy .4.若级数()∞=-∑11nn n a x 在=-1x 处收敛,则此级数在=2x处()AA.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定. 5.微分方程()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()DA. 3x ae ;B. ()+3x ax b e ;C.()+3x x ax b e ; D. ()+23x x ax b e .三.（8分）设一平面通过点(),,-312,而且通过直线-+==43521x y z,求该平面方程. 解：()(),,,,,--312430A B(),,∴=-142AB 平行该平面∴该平面的法向量()()(),,,,,,=⨯-=--5211428922n ∴所求的平面方程为：()()()----+=83912220x y z即：---=8922590xy z四.（8分）设(),=yzf xy e ,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数,试求∂∂z x 和∂∂∂2zx y.解：令=uxy ，=y v e五.（8分）计算对弧长的曲线积分⎰L其中L 是圆周+=222xy R 与直线,==00x y在第一象限所围区域的边界.解：=++123L L L L其中： 1L ：(),+=≥≥22200x y R x y 2L ：()=≤≤00x y R3L ： ()=≤≤00y x R而Re ==⎰⎰1202RR L e Rdt ππ故：()Re =+-⎰212R R Le π六、（8分）计算对面积的曲面积分∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰423z x y dS ,其中∑为平面++=1234x y z在第一卦限中的部分. 解：xy D ：≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩023032x y x=3-==⎰⎰323200x dx 七.（8分）将函数()=++2143f x x x ,展开成x 的幂级数.解：()⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪+++⎝⎭+111111121321613f x x x x x , 而()∞=⋅=-+∑01111212n n n x x , (),-11()∞=-⋅=+∑01116313nn n n x x , (),-33()()∞+=⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭∑10111123nnn n f x x , (),-11八.（8分）求微分方程：()()+-+-+=42322253330xxy y dx x y xy y dy 的通解.解：∂∂==-∂∂263P Qxy y y x, ∴原方程为：通解为：++-=532231332x y x y y x C 九.幂级数：()()!!!!=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅246212462nx x x x y x n1.试写出()()'+y x y x 的和函数;（4分）2.利用第1问的结果求幂级数()!∞=∑202nn x n 的和函数.（8分）解：1、()()!!!-'=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-35213521n x x x y x x n (),-∞∞ 于是()()!!'+=++++⋅⋅⋅=23123x x x y x y x x e (),-∞∞ 2、令：()()!∞==∑202nn x S x n由1知：()()'+=x S x S x e 且满足：()=01S通解：()()--=+=+⎰12xx xxx Sx eC e e dx Cee 由()=01S ，得：=12C ；故：()()-=+12x x S x e e十.设函数()f t 在(),+∞0上连续,且满足条件其中Ωt 是由曲线⎧=⎨=⎩2z ty x ,绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面=zt (参数>0t )所围成的空间区域。

太原科技大学2013/2014学年第2学期《高等数学二》课程试卷B卷、填空题(每小题4分，共20分)1、已知Z=/2(2xy),其中/■为任意可微函数，则备=2、函数的定义域是___________________________________ln(l-x z-y z) ----------------------------------------------3、化下述积分为极坐标下的累次积分I =dyf^y~y2 f(x,y) dx _________________________________________________4、设曲线L的质量密度函数为戒3+力，则L的质量可表示为,又若I为二=x(0 « x « 1),则其质量等于5、已知lim”* a n = a> 0,则级数S^=i(—)n,0 < a <a nb的敛散性是____________________注：填空题由于数据丢失具体数据不详, 凭本人根据图片猜测而来，如有错误还请大家尽快指出 1.2小题可以肯定正确。

二、单项选择题(每小题4分，共20分)1、设z=<p(x + y)-巾(x - y),其中<p,小具有二阶连续导数, 则必有()_ d2z d2z - - d2z行一d2z d2z - - d2z d2z _A、—^+—^=0 B> —— = 0 C、—=0 D> —-=0 dx2 dy2dxdy dx2dy2dxdy dydx2、若函数笑/(X )=0,务I(X y)=°测，(勺)在(W。

)是A、连续且可微B、连续但不一定可微C、可微但不一定连续D、不一定可微也不一定连续3、1=贷dy丁疽刁3x2y2 dx,则交换积分次序后，得()A> \=j^ dxjf^3x2y2 dy B> \=ff^ dx 3x2y2 dyC. \=f^ dx f^~x2 3x2y2 dy D> \=f^ dx 3x2y2 dy4、1=]^ xe cosxy tan(xy)dxdy, D: |x| < 1, |y| « 1,则1=()A> 0 B> e C、 1 D > e-25、若级数蠢=1 %收敛于S,贝U级数Xn=l(U n + U n+1)().A、收敛于2sB、收敛于2s-UiC、收敛于2S+U1D、发散三、求下列偏导数(每小题5分，共10分)<、FL - -r^ du du1.设心,求源菽2.设u=x2+ y2 + z2,x=rcos 6 sin(p,y=rsin 0,z=rcos 伊，求房，舞.四、在椭圆x2 + 4y2 = 4上求一点使其到直线2% + 3,-6 = 0的距离最短。

高等数学二试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)等于（）。

A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^2-3x+1D. x^2+3x+1答案：A2. 计算定积分∫(0到1) (2x+1)dx的值是（）。

A. 3/2B. 2C. 1D. 1/2答案：A3. 设数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求a3的值是（）。

A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C4. 若矩阵A=| 1 2 |，矩阵B=| 3 4 |，则AB的行列式值是（）。

| 5 6 | | 7 8 |A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-6x+8，则f(x)的最小值是_________。

答案：22. 计算极限lim(x→0) (sinx/x)的值是_________。

答案：13. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f''(x)的值是_________。

答案：6x-64. 设矩阵A=| 1 2 |，求矩阵A的逆矩阵A^-1是_________。

| 2 3 |答案：| -3/2 1/2 || 1/2 -1/3 |三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在x=1处的切线方程。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，代入x=1得到f'(1)=8，然后求f(1)=6，所以切线方程为y-6=8(x-1)，即8x-y-2=0。

2. 计算定积分∫(0到π) sinx dx。

答案：∫(0到π) sinx dx = [-cosx](0到π) = -cos(π) + cos(0) = 2。

3. 设数列{an}满足a1=1，an+1=3an-2，求数列的前5项。

答案：a1=1，a2=3a1-2=1，a3=3a2-2=1，a4=3a3-2=1，a5=3a4-2=1，所以前5项为1, 1, 1, 1, 1。

高等数学二期末复习题及答案集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅，则=（ ）（A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--，（C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ）(A) 22400a d a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 224002ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ ）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ ）（A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y(B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-xx y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰1010d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ）椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件10、设平面曲线L 为下半圆周 y =则曲线积分22()L x y ds +=⎰( )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π11、若级数1n n a ∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ ）(A)12n n a ∞=∑收敛 (B) 1(2)n n a ∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D) 13n n a ∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。

1. 求微分方程y x dxdy23=的通解. 2. 求微分方程()()0x 22=−++dy y x y dx xy 满足初始条件1,0==y x 的特解. 3. 求微分方程x e y x sin 3+=''的通解. 4. 求微分方程056=+'−''y y y 的通解. 5. 求微分方程096=+'+''y y y 的通解. 第八章1. 已知()4,2,3−=a()2,1,1−=b ，求b a •，b a ⨯.2. 求过点()111，，且与平面013z -y x 2=++平行的平面方程.第九章1. 设xy x z sin 2=，求yx z x z dz y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂222,,,，.2. 设，求yx ux u du y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂∂222,,,，.3. 求函数()568,33+−+=xy y x y x f 的极值.4. 求函数xy z =在条件1=+y x 下的极大值.5. 求()1ln 12222−+++=y x yx z 的定义域.6. 求()22,yx xy y x f +=，求()1,1−f .7. ()()220,1,2lim yx xyy x +−→计算二重积分：1. ()⎰⎰+=Dd y x I δ2,其中D 区域是由2,2==x x y 及x 轴围城的区域.2. ⎰⎰=Ddxdy y x I 22,其中D 区域是由双曲线1=xy ，直线2=x 和x y =围城的区域.3. ()⎰⎰+=Ddxdy y x I 22，其中D 是圆环9422≤+≤y x .4. 三重积分计算:dxdydz z G⎰⎰⎰cos xsiny ，其中(){}20,20,10,,ππ≤≤≤≤≤≤=z y x z y x G5. 三重积分计算：()dxdydz z y x G ⎰⎰⎰++其中(){}20,10,11,,≤≤≤≤≤≤−=z y x z y x G .第11章1. ⎰L xyds ，其中L 为x y 2=从()00，到()21，的直线段.2. ⎰L ds y ，其中L 为抛物线2x y =从()00，到()11，的一段弧.3. ()⎰+L ds y x 22，其中L 为圆周222a y x =+.4. 计算曲线积分()()dy x y dx L −++⎰y x ,其中L 为 （1）抛物线x y =2从()11，到()24，的一段弧. （2）从()11，到()24，的直线段.5. 验证曲线积分与路径无关，并计算其值：()()()()dy y x x −++⎰d y x 3210，，第12章1. 判断级数的敛散性： （1）∑∞=121n n（2）∑∞=++1)2(1n n n n（3）∑∞=1!2n nn（4）∑∞=+−1232n1n n n2. 判断交错级数的绝对收敛还是条件收敛： （1）()nn n 1111∑∞=−−（2）()nn n 41111∑∞=−−（3）()∑∞=+−1121n nn（4）()()∑∞=+−121n n n n3. 求级数的和. （1）()n n n3111∑∞=− （2）()nn n2511∑∞=−（3）()∑∞=+111n n n 4.求级数()∑∞=−125n n n nx 的收敛域.5.求级数∑∞=123n nnn x的收敛半径和收敛域.。

高数〔2〕期末复习题一、填空题1. 322()y y xy x '''+=为___ 二 ___阶微分方程．2. 微分方程dy x dx =的通解为212y x c=+ ．3. 微分方程04=-''y y 的通解为___x x e c e c y 2221-+=___.4. 点(1,2,1)M --到平面0522=--+z y x 的距离是 4 .5. 空间点(4,4,2)M -关于xoy 平面的对称点坐标为 (4,4,2)--6. y0z 平面的曲线z y a =+ 绕z 轴旋转生成的曲面方程为_222()z a x y -=+_.7. 将xoy 面上的双曲线221x y -=绕X 轴旋转一周，所形成的曲面方程为_________________________.9. 三单位向量c b a ,,满足0=++c b a ，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅= .10. 函数()22ln 1z x y =+-域为 .11. 设函数22e y xz +=，则z d = .12. 已知函数324),(y x y x y x f -+=，则=∂∂x f．13. 设21()y xdz e xdy ydx x =-，则22zy ∂=∂ ．14. 曲面122-+=y x z 在点〔2，1，4〕处的切平面方程为__________.15. 曲线23,,x t y t z t ===在点〔1，1，1〕处的切线方程为___________.16.由二重积分的几何意义，计算二重积分221x y +≤σ=⎰⎰________．17. 改变积分次序210(,)x x dx f x y dy =⎰⎰.18. 在直角坐标系下将二重积分化为累次积分，其中D 为11≤+x ，1≤y 围成的区域，则(,)d d Df x y x y =⎰⎰ ．19. 幂级数121n nn x n ∞=+∑的收敛半径为 . 20. 幂级数12nnn x n ∞=∑的收敛半径为 .21.幂级数4)n n x ∞=-的收敛域为___________．二、选择题1. 微分方程22(1)0y dx x dy --=是〔 〕微分方程.A. 一阶线性齐次B. 一阶线性非齐次C. 可别离变量D. 二阶线性方程2. 方程 0y y '''-= 的通解为 〔 〕.A. 12x y C C e =+B. 12()x y e C x C =+C. 12x y C C e -=+D.12()x y e C x C -=+ 3.以下微分方程中，通解为)sin cos (212x C x C e y x +=的方程是〔 〕. A．054=-'-''y y yB ．054=+'-''y y yC ．052=+'-''y y yD ．x e y y y 254=+'-''4. 与向量)0,1,1(-垂直的单位向量是 〔 〕．A ．)0,21,21( B ．)0,21,21(C ．)0,1,1(D ．)0,1,1(-5. 设(2,3,2)a =，(2,4,)b c =-，a b ⊥，则常数c =〔 〕.C. 4D. 56. 直线327x y z==-与平面3278x y z -+=的位置关系是 〔 〕.A.线与面平行但不相交B.线与面垂直C.直线在平面上D.线与面斜交7. 方程322=++z y x 表示的曲面是 〔 〕.A. 旋转抛物面B. 圆柱面C. 圆锥面D. 球面8. 以下曲面方程为抛物柱面方程的是 〔 〕．A ．222z y x =+B ．2222a z y x =++C ．222z y x =-D ．242+=x y9. 等式〔 〕是正确的.A. 01a =(0a 是单位向量)B. ||||||cos(,)a b a b a b ⋅=C. 222()()()a b a b ⋅=D. ||||||sin(,)a b a b a b ⨯=10. 函数1ln()z x y =+的定义域是 〔 〕. B. {}0|),(≠+y x y x C. {}1|),(>+y x y x D. {}10|),(≠+>+y x y x y x 且11. 函数3322(,)339f x y x y x y x =-++-的极大值点是 〔 〕.A. (1,0)B. (1,2)C. (3,0)-D. (3,2)-12. 设22y x x z ++=，则(1,1)zy -∂=∂ 〔 〕．A.211+B. 21-C. 211-D. 2113. 设二元函数22sin y z y e x =-，则dz =〔 〕.A.2yye dy ；C.2(2sin cos )(2)y yx x dx ye y e dy -++; D. (2sin cos )x x dx -.14. 曲线 2,1 ,1t z t ty t t x =+=+= 对应 t = 1的点处的切向量为〔 〕.A. )1,2,21(； B. (1, -4, 8) ；C. (1,1,1)；D. (1,2,3).15. 函数 22z x y = 当1,1,0.2,0.1x y x y ==∆=∆=- 时的全微分为 ( ) .A. 0.20B. 0.20-C. 0.1664-D. 0.1664 16. 以224y x z --=为顶，0=z 为底，侧面为柱面122=+y x 的曲顶柱体体积是〔 〕.A.22d πθ⎰⎰B. 2202d ππθ-⎰⎰21d πθ⎰⎰D. 2204d πθ⎰⎰17. 二重积分22214x y x d σ≤+≤⎰⎰可表达为累次积分〔 〕.A.223201cos d r drπθθ⎰⎰ B.223201cos r dr d πθθ⎰⎰C.222dx dy-⎰D.121dy dx-⎰18. 二重积分2214(,)x dx f x y dy⎰⎰ 交换积分次序后成为〔 〕.A. 100(,)dy f x y dx ⎰B. 120(,)dy f x y dx ⎰C.210(,)dy f x y dx⎰D.201(,)dy f x y dx⎰19. 以下级数中，发散的级数是〔 〕.①2211n n ∞=+∑ ②2111n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ ③31113n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑④1n ∞=∑A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④20. 以下级数中,收敛的级数为〔 〕．①11n n ∞=∑ ②3121n n ∞=∑ ③14!n n n ∞=∑ ④∑∞=+1)11ln(n nA. ①③B. ①④C. ②③D. ②④21. 以下说法不正确的选项是 〔 〕.A. ∑∞=1n nn x 的收敛域为 [-1, 1 )；B.∑∞=1n nka与∑∞=1n na同时发散 ；C. 假设∑∞=1||nnu收敛，则∑∞=1nnu收敛；D. ∑∞=1)3(nnx的收敛半径是3 .三、解答题1. 求微分方程dxyedye xx=+)1(的通解.2. 求微分方程()sin tan0y x dx xdy-+=的通解.3. 求微分方程2x yy e-'=满足初始条件0|0xy==的特解.4. 求过点(2,0,3)-且与直线247035210x y zx y z-+-=⎧⎨+-+=⎩垂直的平面方程．5. 与z轴垂直的直线l在平面1=+yx上且过点(2,1,4)-，求其方程．6. 求平行于平面12=--+zyx和12=+-+zyx，且通过点)1,2,1(-的直线方程．7. 设函数),,(xyzxyxfw=，求xw∂∂，yw∂∂, zw∂∂．8. 设函数)(222yxfyxz++=，求xz∂∂，yz∂∂．9. 设),(22xyyxfz-=，其中f是可微函数，求yzxz∂∂∂∂,．10. 设vez u sin=，而yxvxyu+==,，试求yzxz∂∂∂∂,．11. 方程2=-yzxe z确定二元函数),(yxfz=，求dz．12. 设),(yxfz=由方程xyzzx=+)2sin(确定，求yzxz∂∂∂∂,．13. 求yzeyxu++=2sin的全微分．14. 计算二重积分⎰⎰+-Dy x yx d d e )(22，其中D 是由0,0≥≥y x ，122≤+y x 所围区域．,d d ⎰⎰y x xy 2,2y x y x ==-所围成的闭区域.16. 计算⎰⎰-+Dyx y x d d )12(，其中D 是由直线0=x ，0=y 及12=+y x 围成的区域．17. 求幂级数1n n x n ∞=∑的收敛域及和函数()S x18. 求幂级数∑∞=+0)1(n nxn 的收敛域及和函数()S x .19. 求幂级数211121n n x n ∞-=-∑的收敛域及和函数()S x .四、应用题1. 要设计一个容量为8m 3的长方体无盖水箱, 问长、宽、高为多少时用料最省？2. 求内接于半径为R的球面，且具有最大体积的长方体．3. 求函数222(,,)23f x y z x y z=++在平面11x y z++=上的最小值.4. 计算由平面0=x,0=y及1x y+=所围成的柱体被平面0=z及抛物面226x y z+=-截得的立体的体积.5. 求圆柱面122=+yx与平面2,0=+-+=zyxz所围成的立体的体积. 6. 求由曲面222yxz+=及2226yxz--=所围成的立体的体积.。

高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ] (A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。

解：选A 。

23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得 242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。

2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ] (A) –2和2； (B) –3和3； (C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。

x y axy yPxy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(rrdr r r d A πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-22202rdr r d C πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d D πθ。

解：选D 。

()⎰⎰+-=22220412rdr r r d I πθ 。

4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ] (A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交 。

高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。

解：选A 。

23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得 242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。

2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ] (A) –2和2； (B) –3和3； (C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。

x y axy yPxy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(rrdr r r d A πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-22202rdr r d C πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d D πθ。

解：选D 。

()⎰⎰+-=22220412rdr r r d I πθ 。

4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ] (A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交 。